高中数学新课程创新教学设计案例50篇___37_向量加法运算及其几何意义

《向量的加法运算及其几何意义》教学设计一、教材分析向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，在实际生活中有着广泛的应用。

向量的加法是向量的第一运算，是向量其他运算的基础。

通过本节课的学习，使学生认识到向量作为一种量，也同其他的量一样，有自己的运算。

学好本节课将为后面学习向量的其他知识奠定基础，为用“数”的运算解决“形”的问题提供工具和方法。

二、教学目标知识目标：理解向量加法的概念，会用向量加法法则及运算律求向量的和。

能力目标：培养学生用类比的方法探索研究数学问题的素养及数学交流能力。

情感目标：增强学生学习的积极性、主动性，挖掘出学生自身智力潜能，促进学生的个性发展。

三、重难点分析教学重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构，以及利用法则作两个向量的和向量．教学难点：理解向量的加法法则及其几何意义．四、教法、学法分析1、教法分析本着“以学生为主体，以教师为主导，以问题解决为主线，以能力发展为目标”的指导思想，结合学生实际，主要采用“问题导引，自主探究”式教学方法。

2、学法指导引导学生从实际问题中抽象出数学模型，提高观察、归纳、分析的能力；引导学生自己发现问题、提出问题并予以解决，学会合作交流;引导学生具有“用数学”的意识，尝试着用数学知识解决实际问题。

五、教学过程环节一复习回顾1、复习：提问向量的定义以及有关概念。

2、强调：向量是既有大小又有方向的量长度相等、方向相同的向量相等因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置【设计意图】复习回顾，巩固上节课知识，做好知识的衔接工作。

环节二实例引入揭示课题[实例1]外地游客到甘南旅游，玛曲到合作约2021里，合作到卓尼约100公里，那么玛曲到卓尼的路程是多少，位移是多少？[实例2]有两辆汽车牵引一辆大卡车，他们的牵引力分别是F1=3000N，F2=2021N，牵绳间的夹角θ=600。

高中数学新课程创新教学设计案例50篇3539平面向量及其应用36 向量的概念教材分析向量是近代数学中重要和基本概念之一，它集“大小”与“方向”于一身，融“数”、“形”于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是高中数学重要的知识网络的交汇点，也是数形结合思想的重要载体．这节通过对物理中的位移和力的归纳，抽象、概括出向量的概念、有向线段、向量的表示、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的准确含义．与数学中的许多概念一样，都可以追溯它的实际背景．这节的重点是向量的概念、相等向量的概念和向量的几何表示等．难点是向量的概念．教学目标1. 通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力和科学的思维方法，使学生逐步由感性思维上升为理性思维．2. 理解向量的概念，会用有向线段表示向量，会判断零向量，单位向量，平行的、相等的、共线的向量．教学设计一、问题情景数学是研究数量关系和空间形式的科学．思考以下问题：1. 在数学或其他学科中，你接触过哪些类型的量？这些量本质上有何区别？试描述这些量的本质区别．2. 既有大小又有方向的量应如何表示？二、建立模型1. 学生分析讨论学生回答：人的身高，年龄，体重；……图形的面积，体积；物体的密度，质量；……物理学中的重力、弹力、拉力，速度、加速度，位移……引导学生慢慢抽象出数量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念．2. 教师明晰人们在长期生产生活实践中，会遇到两种不同类型的量，如身高、体重、面积、体积等，在规定的单位下，都可以用一个实数表示它们的大小，我们称之为数量；另一类，如力、速度、位移等，它们不仅有大小，而且有方向．作用于某物体上的力，它不仅有大小，而且有作用方向；物体运动的速度既有快慢之分，又有方向的区别．这类既有数量特性又有方向特性的量，就是我们要研究的向量．在数学上，往往用一条有方向的线段，即有向线段来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．向量不仅可以用有向线段表示，也可用a，b，c，…表示，还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如，向量的大小就是向量的长度（模），记作.长度为零的向量叫零向量，记作0或.长度等于1的向量叫作单位向量．方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作a∥b，规定0∥a（a 为任一向量）长度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，记作a＝b．任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在同一平面上，两个平行的长度相等且指向一致的有向线段可以表示同一向量．因为向量完全由它的方向和模决定．任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫“共线向量”．3. 提出问题，组织学生讨论（1）时间、路程、温度、角度是向量吗？速度、加速度、物体所受重力是向量吗？（2）两个单位向量一定相等吗？（3）相等向量是平行向量吗？（4）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量吗？（5）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量吗？强调：大小、方向是向量的两个基本要素，当且仅当两个向量的大小和方向两个要素完全相同时，两个向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共线向量之间的异同．三、解释应用［例题］如图，边长为1的正六边形ABCDEF的中心为O，试分别写出与相等、平行和共线的向量，以及单位向量．解：都是单位向量．［练习］1. 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，试写出图中与相等的向量．2. 如果四边形ABCD满足，那么四边形ABCD的形状如何？3. 设E，F，P，Q分别是任意四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，对于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？4. 在平面上任意确定一点O，点P在点O“东偏北60°，3cm”处，点Q在点O“南偏西30°，3cm”处，试画出点P和Q相对于点O的向量．5. 选择适当的比例尺，用有向线段分别表示下列各向量．（1）在与水平成120°角的方向上，一个大小为50N的拉力．（2）方向东南，8km／h的风的速度．（3）向量四、拓展延伸1. 如图，在ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，在向量中相等的向量是哪些？为什么？2. 数能进行运算，那么与数的运算类比，向量是否也能进行运算？36 向量的概念教材分析向量是近代数学中重要和基本概念之一，它集“大小”与“方向”于一身，融“数”、“形”于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是高中数学重要的知识网络的交汇点，也是数形结合思想的重要载体．这节通过对物理中的位移和力的归纳，抽象、概括出向量的概念、有向线段、向量的表示、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的准确含义．与数学中的许多概念一样，都可以追溯它的实际背景．这节的重点是向量的概念、相等向量的概念和向量的几何表示等．难点是向量的概念．教学目标1. 通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力和科学的思维方法，使学生逐步由感性思维上升为理性思维．2. 理解向量的概念，会用有向线段表示向量，会判断零向量，单位向量，平行的、相等的、共线的向量．任务分析在这之前，学生接触较多的是只有大小的量（数量）．其实生活中还有一种不同于数量的量———向量．刚一开始，学生很不习惯，但可适时地结合实例，逐步让学生理解向量的两个基本要素———大小和方向，再让学生于实际问题中识别哪些是向量，哪些是数量．这样由具体到抽象，再由抽象到具体；由实践到理论，再由理论到实践，可使学生比较容易地理解．紧紧抓住向量的大小和方向，便于理解两个向量没有大小之分，只有相等与不相等、平行与共线等．要结合例、习题让学生很好地理解相等向量（向量可以平移）．这些均可为以后用向量处理几何等问题带来方便．教学设计一、问题情景数学是研究数量关系和空间形式的科学．思考以下问题：1. 在数学或其他学科中，你接触过哪些类型的量？这些量本质上有何区别？试描述这些量的本质区别．2. 既有大小又有方向的量应如何表示？二、建立模型1. 学生分析讨论学生回答：人的身高，年龄，体重；……图形的面积，体积；物体的密度，质量；……物理学中的重力、弹力、拉力，速度、加速度，位移……引导学生慢慢抽象出数量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念．2. 教师明晰人们在长期生产生活实践中，会遇到两种不同类型的量，如身高、体重、面积、体积等，在规定的单位下，都可以用一个实数表示它们的大小，我们称之为数量；另一类，如力、速度、位移等，它们不仅有大小，而且有方向．作用于某物体上的力，它不仅有大小，而且有作用方向；物体运动的速度既有快慢之分，又有方向的区别．这类既有数量特性又有方向特性的量，就是我们要研究的向量．在数学上，往往用一条有方向的线段，即有向线段来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．向量不仅可以用有向线段表示，也可用a，b，c，…表示，还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如，向量的大小就是向量的长度（模），记作.长度为零的向量叫零向量，记作0或.长度等于1的向量叫作单位向量．方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作a∥b，规定0∥a（a 为任一向量）长度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，记作a＝b．任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在同一平面上，两个平行的长度相等且指向一致的有向线段可以表示同一向量．因为向量完全由它的方向和模决定．任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫“共线向量”．3. 提出问题，组织学生讨论（1）时间、路程、温度、角度是向量吗？速度、加速度、物体所受重力是向量吗？（2）两个单位向量一定相等吗？（3）相等向量是平行向量吗？（4）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量吗？（5）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量吗？强调：大小、方向是向量的两个基本要素，当且仅当两个向量的大小和方向两个要素完全相同时，两个向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共线向量之间的异同．三、解释应用［例题］如图，边长为1的正六边形ABCDEF的中心为O，试分别写出与相等、平行和共线的向量，以及单位向量．解：都是单位向量．［练习］1. 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，试写出图中与相等的向量．2. 如果四边形ABCD满足，那么四边形ABCD的形状如何？3. 设E，F，P，Q分别是任意四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，对于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？4. 在平面上任意确定一点O，点P在点O“东偏北60°，3cm”处，点Q在点O“南偏西30°，3cm”处，试画出点P和Q相对于点O的向量．5. 选择适当的比例尺，用有向线段分别表示下列各向量．（1）在与水平成120°角的方向上，一个大小为50N的拉力．（2）方向东南，8km／h的风的速度．（3）向量四、拓展延伸1. 如图，在ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，在向量中相等的向量是哪些？为什么？2. 数能进行运算，那么与数的运算类比，向量是否也能进行运算？37 向量加法运算及其几何意义教材分析引入向量后，考查向量的运算及运算律，是数学研究中的基本的问题．教材中向量的加法运算是以位移的合成、力的合成等物理模型为背景引入的，在此基础上抽象概括了向量加法的意义，总结了向量加法的三角形法则、平行四边形法则．向量加法的运算律，教材是通过“探究”和构造图形引导学生类比数的运算律，验证向量的交换律和结合律．例2是一道实际问题，主要是要让学生体会向量加法的实际意义．这节课的重点是向量加法运算（三角形法则、平行四边形法则），向量的运算律．难点是对向量加法意义的理解和认识．教学目标1. 通过物理学中的位移合成、力的合成等实例，认识理解向量加法的意义，体验数学知识发生、发展的过程．2. 理解和掌握向量加法的运算，熟练运用三角形法则和平行四边形法则作向量的和向量．3. 理解和掌握向量加法的运算律，能熟练地运用它们进行向量运算．4. 通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生的探究能力，使学生数学地思考问题，数学地解决问题．任务分析这节的主要内容是向量加法的运算和向量加法的应用．对向量加法运算，学生可能不明白向量可以相加的道理，产生疑惑：向量既有大小、又有方向，难道可以相加吗？为此，在案例设计中，首先回顾物理学中位移、力的合成，让学生体验向量加法的实际含义，明确向量的加法就是物理学中的矢量合成．在此基础上，归纳总结向量加法的三角形法则和平行四边形法则．向量加法的运算律发现并不困难，主要任务是让学生对向量进行探究，构造图形进行验证．关于例2的教学，主要是帮助学生正确理解题意，把问题转化为向量加法运算．教学设计一、问题情境1. 如图，某物体从A点经B点到C点，两次位移，的结果，与A 点直接到C 点的位移结果相同．2. 如图，表示橡皮筋在两个力F1，F2的作用下，沿GE的方向伸长了EO，与力F的作用结果相同．位移与合成为等效，力F与分力F1，F2的共同作用等效，这时我们可以认为：，F分别是位移与、分力F1与F2某种运算的结果．数的加法启发我们，位移、力的合成可看作数学上的向量加法．2. 在师生交流讨论基础上，归纳并抽象概括出向量加法的定义已知非零向量a，b（如图37-3），在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.求两个向量和的运算，叫作向量的加法．这种求向量和的作图法则，称为向量求和的三角形法则，我们规定0＋a＝a＋0＝ａ．3. 提出问题，组织学生讨论（1）根据力的合成的平行四边形法则，你能定义两个向量的和吗？（2）当a与b平行时，如何作出a＋b？强调：向量的和仍是一个向量．用三角形法则求和时，作图要求两向量首尾相连；而用平行四边形法则求和时，作图要求两向量的起点平移在一起．（3）实数的运算和运算律紧密联系，类似地，向量的加法是否也有运算律呢？首先，让学生回忆实数加法运算律，类比向量加法运算律．向量加法的交换律由平行四边形法则容易验证．向量加法的结合律的验证则比较困难，教学时，应放手让学生进行充分探索．最后通过下面的两个图形验证加法结合律．三、解释应用［例题］1. 已知非零向量a，b，就（1）a与b不共线，（2）a与b共线，分别求作向量a＋b．注：要求写出作法，规范解题格式．2. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输．一艘轮船从长江南岸Ａ点出发，以5km／h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km／h．（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度．（2）求船实际航行的速度的大小与方向（速度的大小保留2个有效数字，方向用与江水速度间的夹角表示，精确到度）．［练习］1. 如图，已知a，b，画图表示a＋b．2. 已知两个力F1，F2的夹角是直角，合力F与F1的夹角是60°，｜F｜＝10N，求F1和F2的大小．3. 在△ABC中，求证.4. 在n边形A1A2…A n中，计算四、拓展延伸1. 对于任意向量a，b，探索｜a＋b｜与｜a｜＋｜b｜的大小，并指出取“＝”号的条件．2. 在求作两个向量和时，你可能选择不同的始点求和．你有没有想过，选择不同的始点作出的向量和都相等吗？你可能认为，这是“显然”对的，你能证明这个问题吗？38 平面向量的基本定理教材分析平面向量的基本定理是说明同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，它是平面向量坐标表示的基础，也是平面图形中任一向量都可由某两个不共线向量量化的依据．这节内容以共线向量为基础，通过把一个向量在其他两个向量上的分解，说明了该定理的本质．教学时无须严格证明该定理，只要让学生弄清定理的条件和结论，会用该定理就可以了．向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，也叫“向量的初等运算”．由平面向量的基本定理，知任一平面内的直线型图形都可表示为某些向量的线性组合，这样在证明几何命题时，可先把已知和结论表示成向量形式，再通过向量的运算，有时能很容易证明几何命题．因此，向量是数学中证明几何命题的有效工具之一．为降低难度，目前要求用向量表示几何关系，而不要求用向量证明几何命题．平面向量的基本定理的理解是学习的难点，而应用基本向量表示平面内的某一向量是学习的重点．教学目标1. 了解平面向量基本定理的条件和结论，会用它来表示平面图形中任一向量，为向量坐标化打下基础．2. 通过对平面向量基本定理的归纳、抽象和概括，体验数学定理的产生、形成过程，提升学生的抽象和概括能力．3. 通过对平面向量基本定理的运用，增强向量的应用意识，进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具之一．任务分析这节课是在学生熟悉向量加、减、数乘线性运算的基础上展开的，为了使学生理解和掌握好平面向量的基本定理，教学时，常应用构造式的作图方法，同时采用师生共同操作，增强直观认识，归纳和总结出任意向量与基本向量的线性组合关系，并且通过适当的练习，使学生进一步认识和理解这一基本定理．教学设计一、问题情景1. 在ABCD中，（1）已知＝ａ，＝ｂ，试用ｂ，ｂ来表示，，；（2）已知＝ｃ，＝ｄ，试用ｃ，ｄ表示向量，.2. 给定平面内任意两个不共线向量e1，e2，试作出向量3e1＋2e2，e1－2e2．3. 平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示？二、建立模型1. 学生回答（1）由向量加法，知＝ａ＋ｂ；由向量减法，知＝ａ－ｂ，＝ａ＋0·ｂ．（2）设AC，BD交于点O，由向量加法，知2. 师生总结以ａ，ｂ为基本向量，可以表示两对角线的相应向量，还可表示一边对应的向量，估计任一向量都可以写成ａ·ｂ的线性表达．任意改成另两个不共线向量ｃ，ｄ作基本向量，也可表示其他向量．3. 教师启发通过了e1＋2e2，e1－2e2的作法，让学生感悟通过改变λ1，λ2的值，可以作出许多向量ａ＝λ1e1＋λ2e2．在此基础上，可自然形成一个更理性的认识———平面向量的基本定理．4. 教师明晰如图，设e1，e2是平面内两个不共线的向量，ａ是这一平面内的任一向量．在平面内任取一点O，作＝e1，＝e2，＝ａ；过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于N．这时有且只有实数λ1，λ2，使＝λ1e1，＝λ2e2．由于＝＋，所以ａ＝λ1e1＋λ2e2，也就是说任一向量ａ都可表示成λ1e1＋λ2e2的形式，从而有平面向量的基本定理如果e1，e2是一平面内的两个不平行向量，那么该平面内的任一向量ａ，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使ａ＝λ1e1＋λ2e2．我们把不共线向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底，有序实数对（λ1，λ2）叫ａ在基底e1，e2下的坐标．三、解释应用［例题］1. 已知向量e1，e2（如图38-3），求作向量－2.5e1＋3e2．注：可按加法或减法运算进行．2. 如图38-4，，不共线，＝t（t∈R），用，表示．解：∵［练习］1. 已知：不共线向量e1，e2，求作向量ａ＝e1－2e2．2. 已知：不共线向量e1，e2，并且e1－3e2＝λ1e1＋λ2e2，求实数λ1，λ2．3. 已知：基底｛a，b｝，求实数ｘ，ｙ满足向量等式：3xa＋（10－y）b＝（4y＋7）a ＋2xb．4. 在△ABC中，＝ａ，＝ｂ，点G是△ABC的重心，试用ａ，ｂ表示．5. 已知：ABCDEF为正六边形，＝ａ，＝ｂ，试用a，b表示向量．6. 已知：M是平行四边形ABCD的中心，求证：对于平面上任一点O，都有.四、拓展延伸39 平面向量的正交分解与坐标运算教材分析这节课通过建立直角坐标系，结合平面向量基本定理，给出了向量的另一种表示———坐标表示，这样使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应关系，然后导出了向量的加法、减法及实数与向量的积的坐标运算，这就为利用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，更突出也更简化了向量的应用．所以，一定要让学生重点掌握向量的坐标运算，以利于掌握坐标形式下的向量的一些关系式及运用．教学难点是让学生建立起平面向量的坐标概念．教学目标1. 理解平面向量坐标概念，领会它的引入过程，进一步体会一一对应的思想意识．2. 理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算，并能应用坐标运算解决一些问题．3. 增强数形结合意识，领会“没有运算，向量只是一个‘路标’，因为有了运算，向量的力量无限”的说法．任务分析1. 有了平面向量的基本定理，就不难有平面向量的正交分解，有了坐标系下点与坐标的一一对应关系，也就容易有在直角坐标平面内的向量与坐标的一一对应．2. 可以从两个角度来理解平面向量的坐标表示：（1）设i，j为x，y轴方向上的单位向量，则任一向量ａ可唯一地表示为xi＋yj，即唯一对应数对（x，y），所以可以说a＝（x，y）．（2）任一向量ａ可平移成，一一对应点A（x，y），从而可说a ＝（x，y）．3. 在接触过xOy平面内一点到它的坐标的这种形、数过渡的基础上，容易接受由向量到坐标的这种代数化的过渡．教学设计一、问题情景1. 光滑斜面上的木块所受重力可以分解为平行斜面使木块下滑的力F1和木块产生的垂直于斜面的压力F2（如图）．一个向量也可以分解为两个互相垂直的向量的线性表达，这种情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，许多有关向量问题将变得较为简单．2. 在平面直角坐标系中，每一个点可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么对平面直角坐标内的每一个向量，可否用实数对来表示？又如何表示呢？二、建立模型1. 如图，在直角坐标系中，先分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面上一个向量a，由平面向量的基本定理，知有且只有一对实数x，y使ａ＝xi＋yj，这样平面内任一向量a 都可由x，y唯一确定，（x，y）叫a的坐标，记作a＝（x，y）．显然，i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）．若把ａ的起点平移到坐标原点，即ａ＝，则点A的位置由ａ唯一确定．设＝xi＋yj，则的坐标就是点A的坐标；反过来，点A的坐标（x，y）也就是的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数（即坐标）唯一表示．2. 学生思考讨论已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），你能得出a＋b，a－b，λa的坐标吗？∵ａ＝（x1，y1），b＝（x2，y2），∴ａ＝x1ｉ＋y1ｊ，b＝x2ｉ＋y2ｊ．∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2）j，∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2，y1＋y2）．同理ａ＋ｂ＝（x1－x2，y1－y2），λａ＝（λx1，λy1）．上述结论可表述为：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．三、解释应用［例题］1. 已知A（x1，y1），B（x2，y2），求AB→的坐标．解：如图39-3，AB→＝－＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1）．总结：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．思考：能在图中标出坐标为（x2－x1，y2－y1）的P点吗？平移到，则P（x2－x1，y2－y1）．2. 已知A（－2，1），B（－1，3），C（3，4）．（1）求－的坐标．（2）求ABCD中D点的坐标．放开思考，展开讨论，看学生们有哪些不同方法．（1）解法1：∵＝（1，2），＝（5，3），∴－＝（1，2）－（5，3）＝（－4，－1）．解法2：－＝＝（－4，－1）．（2）解法1：设D（x，y），＝，即（1，2）＝（3－x，4－y），∴x＝y＝2，D（2，2）．思考：你能比较出对（2）的两种解法在思想方法上的异同点吗？（解法1是间接的思想，即方程的思想，解法2是直接的思想）3. 在直角坐标系xOy中，已知点A（3，2），点B（－2，4），求向量＋的方向和长度．解：由已知，得＝（3，2），＝（－2，4）．设＝＋，则＝＋＝（3，2）＋（－2，4）＝（1，6）．由两点的距离公式，得设相对x轴正向的转角为α，则查表或使用计算器，得α＝80°32′．答：向量的方向偏离ｘ轴正向约为80°32′，长度等于，向量的方向偏离x 轴正向约为116°34′，长度等于2．［练习］。

全国⾼中数学教师优秀教案-《向量加法运算及其⼏何意义》教案（河南省杜志国）
第五届全国⾼中青年数学教师优秀课观摩活动教案
《向量加法运算及其⼏何意义》
河南省商丘市实验中学
杜志国
《2.2.1向量加法运算及其⼏何意义》教案
授课教师：河南省商丘市实验中学杜志国
⼀、教学⽬标
知识⽬标：理解向量加法的含义，会⽤向量加法的三⾓形法则和平⾏四边形法则作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会
⽤它们进⾏向量运算．
能⼒⽬标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的思想⽅法，培养学⽣发现问题、分析问题、解决
问题的能⼒．
情感⽬标：经历运⽤数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学⽣的学习热情．培养学⽣勇于探索、敢于创新的个性品质．⼆、重点与难点
重点：向量加法的定义与三⾓形法则的概念建构；以及利⽤法则作两个向量的和向量．
难点：理解向量的加法法则及其⼏何意义．
三、教法学法
教法运⽤了“问题情境教学法”、“启发式教学法”和“多媒体辅助教学法”．学法采⽤以“⼩组合作、⾃主探究”为主要⽅式的⾃主学习模式．
四、教学过程
新课程理念下的教学过程是⼀个内容活化、创⽣的过程，是⼀个学⽣思考、体验的过程，更是⼀个师⽣互动、发展的过程．基于此，我设定了5个教学环节：
⼀、创设情境引⼊课题
师：在前⼀节课中我们学习了⼀个新的量——向量，今天就让我们共同来探究向量的加法运算，⾸先，请看课件．（出⽰）
师：他是谁？
⽣：丁俊晖．
师：对，著名的台球神童——
看他好像遇到了难题？（出⽰）。

高一数学教案：《向量的加法运算及其几何意义》高一数学教案：《向量的加法运算及其几何意义》教学目标：1、把握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培育数形结合解决问题的力量；3、通过将向量运算与熟识的数的运算进行类比，使同学把握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.学法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让同学顺理成章接受向量的加法定义.结合图形把握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和把握向量加法运算的交换律和结合律.教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、设置情景：1、复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们讨论的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不转变它的方向和大小的前提下，移到任何位置2、情景设置：（1）某人从a到b，再从b按原方向到c，则两次的位移和：（2）若上题改为从a到b，再从b按反方向到c，则两次的位移和：（3）某车从a到b，再从b转变方向到c，则两次的位移和：（4）船速为，水速为，则两速度和：二、探究讨论：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.２、三角形法则（"首尾相接，首尾连'）如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ，规定： a + 0-= 0 + a探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量与不共线时， + 的方向不同向，且| + || |+| |；（3）当与同向时，则 + 、、同向，且| + |=| |+| |，当与反向时，若| || |，则 + 的方向与相同，且| + |=| |-| |；若| || |，则 + 的方向与相同，且| +b|=| |-| |.（4）"向量平移'（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加３．例一、已知向量、，求作向量 +作法：在平面内取一点，作，则 .４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中 + 的结果与 + 是否相同？验证结果相同从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律： + = +５．向量加法的结合律：( + ) + = + ( + )证：如图：使，，则( + ) + = ， + ( + ) =( + ) + = + ( + )从而，多个向量的加法运算可以根据任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例：例二（p94—95）略练习：p95四、小结1、向量加法的几何意义；２、交换律和结合律；３、留意：| + | | | + | |，当且仅当方向相同时取等号.五、课后作业：p103第２、３题六、板书设计（略）七、备用习题1、一艘船从a点动身以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为，求水流的速度.2、一艘船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.3、一艘船从a点动身以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和 .4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是 km/h，最小是 km/h５、已知两个力f1，f2的夹角是直角，且已知它们的合力f与f1的夹角是60 ，|f|=10n求f1和f2的大小.６、用向量加法证明：两条对角线相互平分的四边形是平行四边形。

向量的加法运算及其几何意义一、教学目标：1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和；3．理解向量的加法交换律和结合律，并能熟练地运用它们进行向量计算。

二、教学重难点：1．如何作两向量的和向量；2．向量加法定义的理解。

三、教学过程：（一）复习：1．向量的概念、表示法。

2．平行向量、相等向量的概念。

例：已知O 点是正六边形ABCDEF 的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（ ） （A ）OB 、CD 、FE 、CB （B ）AB 、CD 、FA 、DE （C ）FE 、AB 、CB 、OF （D ）AF 、AB 、OC 、OD（二）新课讲解：情景：利用向量的表示，从景点Ｏ到景点Ａ的位移为OA，从景点Ａ到景点Ｂ的位移为 OB ，那么经过这两次位移后游艇的合位移是 OB （图２２ １）A C E O D B1．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。

规定：零向量与任一向量a ，都有00a a a +=+=．说明：①共线向量的加法： a b a b +②不共线向量的加法：如图（1），已知向量a ，b ，求作向量a b +.作法：在平面内任取一点O （如图（2）），作OA a =，AB b =，则OB a b =+ .（1） （2）2．向量加法的法则：（1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。

表示：AB BC AC +=．（2）平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作ABCD ，则以A 为起点的对角线AC 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。

3．向量的运算律：b a OBA b a b a A BC D A B C+=+．交换律：a b b a结合律：()()a b c a b c++=++．说明：多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行：例如：()()()()++++=++++．a b c d b d a ca b c d e d a c b e+++=+++；[()]()六、小结：1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则。

2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义整体设计教学分析向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,是向量的第二节内容.其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则,并对向量加法的交换律、结合律进行证明,同时运用他们进行相关计算,这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解,同时也为接下来学习向量的减法奠定基础,起到承上启下的重要作用.学生已经通过上节的学习,掌握了向量的概念、几何表示,理解了什么是相等向量和共线向量.在学习物理的过程中,已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量,可以合成,而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则,这为本课题的引入提供了较好的条件.培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识.在向量加法的概念中,由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况,因此有利于渗透分类讨论的数学思想,而在猜测向量加法的运算律时,通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比.则能培养学生类比、迁移等能力.在实际教学中,类比数的运算,向量也能够进行运算.运算引入后,向量的工具作用才能得到充分发挥.实际上,引入一个新的量后,考察它的运算及运算律,是数学研究中的基本问题.教师应引导学生体会考察一个量的运算问题,最主要的是认清运算的定义及其运算律,这样才能正确、方便地实施运算.向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的.这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意,由于向量有方向,因此在进行向量运算时,不但要考虑大小问题,而且要考虑方向问题,从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特点.三维目标1.通过经历向量加法的探究,掌握向量加法概念,结合物理学实际理解向量加法的意义.能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,并能作出已知两向量的和向量.2.在应用活动中,理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义.掌握有特殊位置关系的两个向量的和,比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.3.通过本节内容的学习,让学生认识事物之间的相互转化,培养学生的数学应用意识,体会数学在生活中的作用.培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力.重点难点教学重点:向量加法的运算及其几何意义.教学难点:对向量加法法则定义的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)上一节,我们一起学习了向量的有关概念,明确了向量的表示方法,了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念,并接触了这些概念的辨析判断.另外,向量和我们熟悉的数一样也可以进行加减运算,这一节,我们先学习向量的加法.思路2.(问题导入)2004年大陆和台湾没有直航,因此春节探亲,要先从台北到香港,再从香港到上海,这两次位移之和是什么?怎样列出数学式子？一位同学按以下的命令进行活动:向北走20米,再向西走15米,再向东走5米,最后向南走10米,怎样计算他所在的位置?由此导入新课.推进新课新知探究提出问题①数能进行运算,向量是否也能进行运算呢？类比数的加法,猜想向量的加法,应怎样定义向量的加法？②猜想向量加法的法则是什么?与数的运算法则有什么不同?图1活动:向量是既有大小、又有方向的量,教师引导学生回顾物理中位移的概念,位移可以合成,如图1.某对象从A点经B点到C点,两次位移AB、BC的结果,与A点直接到C点的位移AC结果相同.力也可以合成,老师引导,让学生共同探究如下的问题:图2(1)表示橡皮条在两个力的作用下,沿着GC的方向伸长了EO；图2(2)表示撤去F1和F2,用一个力F作用在橡皮条上,使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度.图2改变力F1与F2的大小和方向,重复以上的实验,你能发现F与F1、F2之间的关系吗?力F对橡皮条产生的效果与力F1与F2共同作用产生的效果相同,物理学中把力F叫做F1与F2的合力.合力F与力F1、F2有怎样的关系呢?由图2(3)发现,力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上,并且大小等于平行四边形对角线的长.数的加法启发我们,从运算的角度看,F可以认为是F1与F2的和,即位移、力的合成看作向量的加法.讨论结果:①向量加法的定义:如图3,已知非零向量a、b,在平面内任取一点A,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=+=.图3求两个向量和的运算,叫做向量的加法.②向量加法的法则:1°向量加法的三角形法则在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则.运用这一法则时要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量.0位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.2°向量加法的平行四边形法则图4如图4,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.力的合成可以看作向量加法的物理模型.提出问题①对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢？②两共线向量求和时,用三角形法则较为合适.当在数轴上表示两个向量时,它们的加法与数的加法有什么关系？③思考|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？④数的运算和运算律紧密联系,运算律可以有效地简化运算.类似地,向量的加法是否也有运算律呢?活动:观察实际例子,教师启发学生思考,并适时点拨,诱导,探究向量的加法在特殊情况下的运算,共线向量加法与数的加法之间的关系.数的加法满足交换律与结合律,即对任意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律?引导学生画图进行探索.讨论结果:①对于零向量与任一向量,我们规定a+0=0+a=a.②两个数相加其结果是一个数,对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加,它们的和仍是一个向量,对应于数轴上的一条有向线段.③当a,b不共线时,|a+b|<|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边);当a,b共线且方向相同时,|a+b|=|a|+|b|;当a,b共线且方向相反时,|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中当向量a的长度大于向量b的长度时,|a+b|=|a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时,|a+b|=|b|-|a|.一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|.④如图5,作AB=a,AD=b,以AB、AD为邻边作ABCD,则=b,=a.因为AC=AB+AD=a+b,AC=AD+DC=b+a,所以a+b=b+a.如图6,因为AD=AC+CD=(AB+BC)+CD=(a+b)+c,AD==AB+BD=AB+(BC+CD)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c).综上所述,向量的加法满足交换律和结合律.图5 图6应用示例思路1例1 如图7,已知向量a、b,求作向量a+b.活动:教师引导学生,让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.在向量加法的作图中,学生体会作法中在平面内任取一点O的依据——它体现了向量起点的任意性.在向量作图时,一般都需要进行向量的平移,用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起,而用三角形法则作图则要求首尾相连.图7 图8 图9解:作法一:在平面内任取一点O(如图8),作OA=a,AB=b,则OB=a+b.作法二:在平面内任取一点O(如图9),作OA=a,OB=b.以OA、OB为邻边作OACB,连接OC,则=a+b.变式训练化简:(1)+;(2)++;(3)++++.活动:根据向量加法的交换律使各向量首尾顺次相接,再运用向量加法的结合律调整运算顺序,然后相加.解:(1)BC+=+BC=AC.(2)DB+CD+BC=BC+CD+DB=(BC+CD)+DB=BD+DB=0.(3)++++FA=++++=++DF+=++=+=0.点评:要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量. 例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图10所示,一艘船从长江南岸A 点出发,以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2 km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字);(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度).图10 图11活动:本例结合一个实际问题说明向量加法在实际生活中的应用.这样的问题在物理中已有涉及,这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算,体会其中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向(与某一方向所成角的大小).引导点拨学生正确理解题意,将实际问题反映在向量作图上,从而与初中学过的解直角三角形建立联系.解:如图11所示,AD 表示船速,AB 表示水速,以AD 、AB 为邻边作ABCD,则AC 表示船实际航行的速度.(2)在Rt △ABC 中,|AB |=2,|BC |=5,所以|AC |=2952|||AB |2222=+=+BC ≈5.4. 因为tan ∠CAB=229,由计算器得∠CAB=70°. 答:船实际航行速度的大小约为5.4 km/h,方向与水的流速间的夹角为70°.点评:用向量法解决物理问题的步骤为:先用向量表示物理量,再进行向量运算,最后回扣物理问题,解决问题.变式训练用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.图12活动:本题是一道平面几何题,如果用纯几何的方法去思考,问题不难解决,如果用向量法来解,不仅思路清晰,而且运算简单.将互相平分利用向量表达,以此为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式成立.教师引导学生探究怎样用向量法解决几何问题,并在解完后总结思路方法.证明:如图12,设四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,=+,=+.AC 与BD 互相平分,=,=,=,因此AB∥CD且|AB|=|DC|,即四边形ABCD是平行四边形.点评:证明一个四边形是平行四边形时,只需证明AB=DC或AD=BC即可.而要证明一个四边形是梯形,需证明AB与DC共线,且|AB|≠|DC|.思路2例3 如图13,O为正六边形ABCDEF的中心,作出下列向量:(1)OA+OC;(2)BC+FE;(3)OA+FE.活动:教师引导学生由向量的平行四边形法则(三角形法则)作出相应的向量.教师一定要让学生亲自动手操作,对思路不清的学生教师适时地给予点拨指导.图13解:(1)因四边形OABC是以OA、OC为邻边的平行四边形,OB是其对角线,故+=.(2)因=,故+与方向相同,长度为的长度的2倍,故BC+=.(3)因OD=FE,故+=+=0.点评:向量的运算结合平面几何知识,在长度和方向两个方面做文章.应深刻理解向量的加、减法的几何意义.例2 在长江的某渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度是25 km/h,渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定？活动:如图14,渡船的实际速度、船速与水速应满足+=.图14解:设AB表示水流速度,AD表示渡船的速度,AC表示渡船实际垂直过江的速度,以AB为一边,AC为对角线作平行四边形,AD就是船的速度.在Rt△ACD中,∠ACD=90°,|DC|=|AB|=12.5,|AD|=25,∠CAD=30°.答:渡船的航向为北偏西30°.点评:根据题意画出草图,是解决问题的关键.变式训练已知O是四边形ABCD内一点,若OA+OB+OC+OD=0,则四边形ABCD是怎样的四边形?点O是四边形的什么点?活动:要判断四边形的形状就必须找出四边形边的某些关系,如平行、相等等;而要判断点O是该四边形的什么点,就必须找到该点与四边形的边或对角线的关系.图15解:如图15所示,设点O是任一四边形ABCD内的一点,且OA+OB+OC+OD=0,过A作AE OD,连结ED,则四边形AEDO为平行四边形,设OE与AD的交点为M,过B作BF OC,则四边形BOCF为平行四边形,设OF与BC的交点为N,于是M、N分别是AD、BC的中点.∵+++=0,+=+=,+=+=OF,∴+OF=0,即与OF的长度相等,方向相反.∴M、O、N三点共线,即点O在AD与BC的中点连线上.同理,点O也在AB与DC的中点连线上.∴点O是四边形ABCD对边中点连线的交点,且该四边形可以是任意四边形.知能训练课本本节练习.解答:1.直接在教科书上据原图作(此处从略).2.直接在教科书上据原图作(此处从略).3.(1)DA；(2)CB.点评:在向量的加法中要注意向量箭头的方向.4.(1)c；(2)f；(3)f；(4)g.点评:通过填空,使学生得出首尾相接的几个向量的求和规律.课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:向量的加法定义,向量加法的三角形法则和平行四边形法则,向量加法满足交换律和结合律,几何作图,向量加法的实际应用.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法:特殊与一般,归纳与类比,数形结合,分类讨论,特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法.这种迁移类比的方法将把我们引向数学的王国,科学的殿堂.作业如图16所示,已知矩形ABCD中,|AD|=43,设AB=a,BC=b,BD=c,试求向量a+b+c的模.图16解:过D作AC的平行线,交BC的延长线于E,∴DE∥AC,AD∥BE.∴四边形ADEC为平行四边形.∴=,=.于是a+b+c=++=+==+=2,∴|a+b+c|=2||=83.点评:求若干个向量的和的模(或最值)的问题通常按下列步骤进行:(1)寻找或构造平行四边形,找出所求向量的关系式;(2)用已知长度的向量表示待求向量的模,有时还要利用模的重要性质.设计感想1.本节内容是向量的加法,运算法则有三角形法则和平行四边形法则,而两个法则的运用有各自的条件:三角形法则适合于首尾顺次相接的两向量相加,对于共线向量的加法仍然适合；而平行四边形法则适合于两个同起点的向量相加,对于共线向量却不能用此法解决.三角形法则可以推广到多个首尾顺次相接的向量的加法.2.本节要求使用多媒体辅助教学,便于直观、生动地揭示向量加法的概念,突破难点,提高效率,因为本节解决问题的方法主要是借助图形,采用数形结合的思想方法.多让学生动手画图,识图,让学生在动态中经历和体会概念的形成过程.让学生自己类比、猜想、发现及应用新知识解决问题.。

《向量的加法运算及其几何意义》教学设计方案《《向量的加法运算及其几何意义》教学设计方案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！学习主题介绍学习主题名称：向量的加法运算及其几何意义主题内容简介：本学习主题主要学习了平面向量的加法的定义、几何意义和运算法则，通过对平面向量加法的学习，加深对于平面向量的理解。

学习目标分析1、知识与技能：（1）理解认知平面向量的加法的定义（2）掌握平面向量的加法的集合意义及运算法则2、过程与方法：（1）通过对平面向量的加法的学习，在探究过程中，掌握对运算法则的应用（2）在问题的层层递进中，培养学生数形结合的思想方法（3）在对问题的不断深入思考中，提高数学知识的综合运用能力3、情感态度与价值观通过学习，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神，体会学以致用的乐趣。

学情分析前需知识掌握情况：1、学生的基础知识：学生在前面的学习中已经掌握了什么是平面向量，并学习了平面向量的相关概念知识;2、知识的应用层面：学生已经学会了应用平面向量来表达、解决一些实际问题，将平面向量的“有方向、有大小”这个特点应用在题目中。

综合对上述两点的分析，学生已经掌握了一定的平面向量的知识，可以运用微课进行接下来的学习，但是微课的制作需要注意图形变换与讲解相结合，微课的内容以基础知识为主，方便学生理解。

对微课的认识：学生已经在前面的学习过程中经历了我采用的微课形式和使用微课学习的方式，经历过以下几种方式：1、应用微课学习某个特定的知识点，并根据指导在课本中画出重点内容;2、应用微课学习了某个知识点的类型题，在学后测试表现出了学习的效果;3、应用微课加深了对于“数形结合”这一思想的理解。

以上三种方式可以观察到，学生比较乐于接受微课，对于微课的学习有一定的兴趣。

学生特征分析学习态度：学生对于自主学习的态度分为两种：1、学习习惯好、成绩优异的学生：对于此类学生而言，自主学习可以增加他们自主调配的时间，让他们更有针对性地学习，提高学习的效率，此类学生非常乐于接受自主学习的方式;2、学习习惯一般，成绩有待提高的学生：此类学生对于自主学习的态度不是非常积极，学习习惯一般导致他们面对自主学习时，会显得局促不安，此类学生需要老师的指引，帮助他们度过适应期。

《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版第一章：向量的引入1.1 实数与向量的关系介绍实数的概念和性质。

解释实数可以看作是二维向量空间中的一条直线上的点。

强调实数与向量的相关性。

1.2 向量的定义定义向量的概念，包括大小和方向。

强调向量是自由矢量，可以自由平移。

解释向量与箭头表示法的区别。

第二章：向量的表示法2.1 箭头表示法介绍箭头表示法，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

强调箭头表示法中的大小和方向的表示方法。

2.2 坐标表示法介绍坐标表示法，使用有序数对(x, y) 来表示向量，其中x 表示向量在x 轴上的分量，y 表示向量在y 轴上的分量。

强调坐标表示法中的分量的概念和计算方法。

第三章：向量的加法运算3.1 向量加法的定义定义向量加法的概念，即将两个向量相加得到一个新的向量。

强调向量加法满足交换律和结合律。

3.2 向量加法的几何意义解释向量加法的几何意义，即将两个向量的箭头首尾相接，得到一个新的向量箭头。

强调向量加法是将两个向量的方向和大小相加。

第四章：平行向量与共线向量4.1 平行向量的定义定义平行向量的概念，即方向相同或相反的向量。

强调平行向量具有相同的方向或相反的方向。

4.2 共线向量的定义定义共线向量的概念，即在同一直线上的向量。

强调共线向量可以是同方向的或反方向的。

第五章：向量加法的平行四边形法则5.1 平行四边形法则的定义介绍平行四边形法则，即将两个向量的起点相连，形成一个平行四边形，平行四边形的对角线表示两个向量相加的结果。

强调平行四边形法则是向量加法的一种直观表示方法。

5.2 平行四边形法则的应用解释如何使用平行四边形法则计算两个向量的和。

强调平行四边形法则适用于任意两个向量的加法运算。

第六章：向量减法与相反向量6.1 向量减法的定义定义向量减法，即将一个向量与它的相反向量相加。

强调向量减法实际上是加上一个相反向量。

6.2 相反向量的概念解释相反向量的定义，即大小相等、方向相反的向量。

《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版第一章：向量概念的复习1.1 向量的定义1.2 向量的基本性质1.3 向量的表示方法1.4 向量的模长与方向第二章：向量的加法运算2.1 向量加法的定义2.2 向量加法的基本性质2.3 向量加法的几何意义2.4 向量加法的运算规则第三章：向量的减法运算3.1 向量减法的定义3.2 向量减法与向量加法的关系3.3 向量减法的几何意义3.4 向量减法的运算规则第四章：向量的数乘运算4.1 向量数乘的定义4.2 向量数乘的基本性质4.3 向量数乘的几何意义4.4 向量数乘的运算规则第五章：向量加法运算的坐标表示5.1 坐标系的建立5.2 向量坐标的定义5.3 向量加法运算的坐标表示方法5.4 向量加法运算的坐标运算规则第六章：向量加法运算的图形验证6.1 向量加法图形的表示方法6.2 向量加法的平行四边形法则6.3 向量加法的三角形法则6.4 向量加法的图形验证练习第七章：向量的减法与数乘的图形意义7.1 向量减法的图形意义7.2 向量减法的三角形法则7.3 向量数乘的图形意义7.4 向量数乘的三角形法则第八章：向量加减法的综合应用8.1 向量加减法的混合运算8.2 向量加减法的坐标应用8.3 向量加减法的几何解释8.4 向量加减法的综合练习第九章：向量数乘的应用9.1 向量数乘与向量长度的关系9.2 向量数乘与向量方向的关系9.3 向量数乘的几何应用9.4 向量数乘的实际问题应用第十章：总结与提高10.1 向量加法、减法、数乘的总结10.2 向量运算在几何中的应用10.3 向量运算在坐标系中的应用10.4 向量运算的综合练习与提高重点和难点解析一、向量概念的复习补充说明：向量是具有大小和方向的量，可用箭头表示。

向量具有平行四边形法则、三角形法则等基本性质。

向量可用字母和箭头表示，例如→a、→b。

向量的模长表示向量的大小，方向表示向量的指向。

二、向量的加法运算补充说明：向量加法是将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。