偏微分方程论文：偏微分方程孤立子解Lie变换群

我所认识的偏微分方程自然辩证法概论论文姓名：张树兴我所认识的偏微分方程我研究生阶段的主修专业是应用数学，方向是偏微分方程。

偏微分方程是分析学的一个分支，我选择这个方向也是因为相较于代数来说，我更擅长分析。

经过大四下学期和开学以来的学习，我对偏微分方程有了一些认识和体会。

偏微分方程这门学科开始于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动问题的二阶偏微分方程。

1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。

这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。

偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候对于数学物理问题的研究也处在繁荣时期。

偏微分方程的主要问题是研究波动方程、热传导方程和调和方程的解的存在性、唯一性、稳定性等问题。

随着物理学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。

从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、李群李代数、微分几何等各方面得到发展。

从这个角度说，对偏微分方程的研究，极大提高数学自身的发展，使得偏微分的研究成了数学的主流方向之一。

到目前为止，偏微分方程已经在解决有关人口问题、传染病动力学、高速飞及城市交通等方面的实际课题中做出了重大的贡献。

在和我的导师的交流中，我得知国内的高校数学系介绍偏微分方程都是在数学物理方程这门课上引入的。

数学物理方程这门课，弱化了偏微分方程的基本理论，而是把物理学规律和微积分结合起来，得到满足自然规律的方程，这门课的重点就是方程的得到和方程的求解。

然后在研究生阶段再讲授其理论，即真正意义上的偏微分方程。

我觉得这样的安排就是在回溯偏微分方程的发展史，每一个伟大的偏微分方程的得到，首先就是根据自然规律作出假设和简化，之后列出方程，最后才是理论的推导和证明。

正如认识事物一定是从现象到本质，从简单到复杂，从一般到抽象。

偏微分方程的发展，无时无刻不体现认识事物的规律。

偏微分方程数值解法[摘要]偏微分方程课程主要介绍了求一阶拟线性偏微分方程、波动方程、热传导方程及位势方程的解析解。

本文受此启发，并结合所学数值计算方法知识，介绍几种偏微分方程的数值解法。

1.背景现实世界中，许多实际问题可归结为微分方程的定解问题。

很多情况下，人们无法或不方便求出这些问题的解析解，从而要求它们的数值解。

因此，需要了解偏微分方程的数值解法。

2.内容(一)双曲型方程∞≤≤∞-=x x x u ),()0,(ϕ初值条件将x-t 平面分割成矩形网格,2,1,0,,2,1,0,0=+==±±===j j t t t k kh x x j k τ用(k,j)表示网格节点(x k ,t j )，网格节点上的函数值为u(k,j)用差商表示导数 ),~(2),(),1()~,(2),()1,(,,j x u h h j k u j k u x u t k u j k u j k u t u x j k t j k ''--+=∂∂''--+=∂∂ττ ),~(62),1(),1()~,(62)1,()1,(2,2,j x u h h j k u j k u x u t k u j k u j k u t u x j k t j k '''---+=∂∂'''---+=∂∂ττ方程变为 0),(),(),1(),()1,(1=--++-+ττh R hj k u j k u a j k u j k u 略去误差项，得到差分方程0,,1,1,=-+-h u u a u u jk j k jk j k ＋＋τ加上初始条件，构成差分格式kk j k j k j k j k u u u ar u u ϕ=--=0,,,1,1,)(＋＋0=∂∂+∂∂=xu a t u Lu(二)抛物型方程 T t b xu b t u Lu ≤≤>=∂∂-∂∂=0,0022 )(g )t ,1(),(g )t ,0();10(),()0,(2),()0,(121x u x u x x x u x x x u ==≤≤=∞≤≤∞-=ϕϕ）初边值混合问题（）初值问题（定解条件有两类：将x-t 平面分割成矩形网格,2,1,0,,2,1,0,0=+==±±===j j t t t k kh x x j k τ用(k,j)表示网格节点(x k ,t j )，网格节点上的函数值为u(k,j)用差商表示导数 ),~(12),1(),(2),1()~,(2),()1,()4(22,22,j x u h h j k u j k u j k u x u t k u j k u j k u t u x j k t j k --+-+=∂∂''--+=∂∂ττ则方程变为 0),(),1(),(2),1(),()1,(12=--+-+--+ττh R hj k u j k u j k u b j k u j k u 略去误差项，并令s ＝τ/h 2 得到差分方程)2(,1,,1,1,j k j k j k j k j k u u u bs u u -+-+=＋＋边界条件差分化（第二、三类边界条件） ),~(2),(),(),~(2),0(),(1,1,0t x u h h t x u t x u x u t x u h h t u t h u x u x N N t x t ''+-=∂∂''--=∂∂- 得显式格式 ⎪⎩⎪⎨⎧===-===-=+-+=-,2,1,0)(),(1,,2,1)(,2,1,0,1,,2,1)2(2,1,00,,1,,1,1,j j g u j g u N k kh u j N k u u u bs u u j N jk j k j k j k j k j k ττϕ＋＋(三)椭圆形方程),(f 2222y x yu x u u =∂∂+∂∂=∆边值问题⎪⎩⎪⎨⎧Γ∈=Ω∈=∂∂+∂∂=∆Γ),(),(),(),(f 2222y x y x u y x y x y u x u u ϕ将x-y 平面分割成矩形网格,2,1,0,,2,1,0,±±===±±===j j y y k kh x x j k τ用(k,j)表示网格节点(x k ,y j )，网格节点上的函数值为u(k,j) 用差商表示导数 )~,(12)1,(),(2)1,(),~(12),1(),(2),1()4(22,22)4(22,22y k u h j k u j k u j k u y u j x u h h j k u j k u j k u x u x j k x j k ττ--+-+=∂∂--+-+=∂∂方程变为j k f h R j k u j k u j k u h j k u j k u j k u ,122),()1,(),(2)1,(),1(),(2),1(=--+-++-+-+ττ 略去误差项，得到差分方程 j h j k j k j k j k j k j k f u u u s u u u h ,1,,1,2,1,,12)2(1)2(1=+-++--+-τ＋。

数学的偏微分方程偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中的一门重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

本文将简要介绍偏微分方程的概念、分类和应用，并探讨其在现实生活中的重要性。

一、偏微分方程的概念偏微分方程是涉及未知函数的偏导数的方程。

与常微分方程不同，偏微分方程中的未知函数通常是多变量的函数。

偏微分方程的解是一个多变量函数，它满足方程中的所有偏导数关系。

二、偏微分方程的分类偏微分方程根据方程中出现的最高阶导数的类型和个数进行分类。

常见的分类包括：1. 线性偏微分方程与非线性偏微分方程：线性偏微分方程中，未知函数和其偏导数之间的关系是线性的；非线性偏微分方程中则不是线性关系。

2. 齐次偏微分方程与非齐次偏微分方程：齐次偏微分方程中，未知函数和其偏导数之间的关系不含有常数项；非齐次偏微分方程中则包含常数项。

3. 一阶偏微分方程与高阶偏微分方程：一阶偏微分方程中，方程中的最高阶导数是一阶导数；高阶偏微分方程中则是高于一阶的导数。

三、偏微分方程的应用偏微分方程在多个领域中都有广泛应用，包括但不限于以下几个方面：1. 物理学中的应用：偏微分方程在物理学中有着重要的应用，如热传导方程、波动方程、电磁场方程等。

这些方程描述了物理系统中的变化和传播过程，对于研究物理现象和解决实际问题至关重要。

2. 工程学中的应用：偏微分方程在工程学中也有着广泛的应用，如结构力学、流体力学、电路分析等。

这些方程可以描述工程系统中的变化和行为，为工程设计和优化提供理论基础。

3. 经济学中的应用：偏微分方程在经济学中的应用越来越重要。

例如，用偏微分方程可以描述金融市场中的价格变动和风险传播，对于风险管理和投资决策有着重要的意义。

四、数学的偏微分方程的重要性数学的偏微分方程在科学研究和工程应用中具有重要的地位和作用。

通过研究和解决偏微分方程，我们可以深入理解自然界和人类社会中的各种现象和问题，为科学技术的发展和社会进步做出贡献。

非线性偏微分方程及其几种解法综述姓名：柏宝红学号：BY1004120目录1、绪论 (3)1.1背景 (3)1.2 现状 (7)2、非线性偏微分方程的几种解法 (10)2.1逆算符法 (10)2.2 齐次平衡法 (11)2.3 Jacobi椭圆函数方法 (12)2.4 辅助方程方法 (14)2.5 F-展开法 (15)2.6 双曲正切函数展开法 (17)1、绪论以应用为目的，或以物理、力学等其他学科问题为背景的微分方程的研究，不仅是传统应用数学中一个最主要的内容，也是当代数学的一个重要组成部分.它是数学理论与实际应用之间的一座重要桥梁，研究工作一直十分活跃，研究领域日益扩大。

目前微分方程研究的主体是非线性微分方程，特别是非线性偏微分方程(NLPDE).很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为非线性偏微分方程的研究.现实生活的许多领域内数学模型都可以用NLPDE来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是NLPDE，另外，随着研究的深入，有些原先可用线性微分方程近似处理的问题，也必须考虑非线性的影响，所以对NLPDE的研究，特别是NLPDE求解精确解的研究工作就显示出了很重要的理论和应用价值，但是数学研究的结果，在目前还未能提供一种普遍有效的求精确解的方法.20世纪50年代以来，人们对非线性现象的研究中提出了“孤子”的概念，进而使得对NLPDE求解的研究成为非线性科学中的热点。

下面介绍一下孤立子理论的研究背景、研究现状。

1.1背景孤立子理论己经成为应用数学和数学物理的一个重要组成部分，在流体力学，等离子物理，经典场论，量子论等领域有着广泛的应用。

随着近代物理学和数学的发展，早在1834年由英国科学家Russell发现的孤立波现象近二十多年来引起了人们的极大关注，对这一现象的兴趣与日俱增.这是因为一方面孤立子具有粒子和波的许多性能，在自然界中有一定的普遍性，利用孤立子理论也成功地解释了许多物理上长期用经典理论未能解答的现象;另一方面，随着孤立子物理问题的深入研究，孤立子的数学理论也应运而生，并已初步形成比较完善的理论体系。

非线性偏微分方程及其几种解法综述姓名：柏宝红学号：BY1004120目录1、绪论 (3)1.1背景 (3)1.2 现状 (7)2、非线性偏微分方程的几种解法 (10)2.1逆算符法 (10)2.2 齐次平衡法 (11)2.3 Jacobi椭圆函数方法 (12)2.4 辅助方程方法 (14)2.5 F-展开法 (15)2.6 双曲正切函数展开法 (17)1、绪论以应用为目的，或以物理、力学等其他学科问题为背景的微分方程的研究，不仅是传统应用数学中一个最主要的内容，也是当代数学的一个重要组成部分.它是数学理论与实际应用之间的一座重要桥梁，研究工作一直十分活跃，研究领域日益扩大。

目前微分方程研究的主体是非线性微分方程，特别是非线性偏微分方程(NLPDE).很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为非线性偏微分方程的研究.现实生活的许多领域内数学模型都可以用NLPDE来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是NLPDE，另外，随着研究的深入，有些原先可用线性微分方程近似处理的问题，也必须考虑非线性的影响，所以对NLPDE的研究，特别是NLPDE求解精确解的研究工作就显示出了很重要的理论和应用价值，但是数学研究的结果，在目前还未能提供一种普遍有效的求精确解的方法.20世纪50年代以来，人们对非线性现象的研究中提出了“孤子”的概念，进而使得对NLPDE求解的研究成为非线性科学中的热点。

下面介绍一下孤立子理论的研究背景、研究现状。

1.1背景孤立子理论己经成为应用数学和数学物理的一个重要组成部分，在流体力学，等离子物理，经典场论，量子论等领域有着广泛的应用。

随着近代物理学和数学的发展，早在1834年由英国科学家Russell发现的孤立波现象近二十多年来引起了人们的极大关注，对这一现象的兴趣与日俱增.这是因为一方面孤立子具有粒子和波的许多性能，在自然界中有一定的普遍性，利用孤立子理论也成功地解释了许多物理上长期用经典理论未能解答的现象;另一方面，随着孤立子物理问题的深入研究，孤立子的数学理论也应运而生，并已初步形成比较完善的理论体系。

解偏微分方程偏微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域的建模和分析中。

解偏微分方程是求解方程中未知函数关于多个自变量的偏导数的问题。

本文将介绍解偏微分方程的基本概念、常见方法和应用领域。

偏微分方程是包含未知函数及其偏导数的方程，其中未知函数的变量可以是多个自变量。

与常微分方程不同，偏微分方程中的未知函数的导数是依赖于多个自变量的。

因此，解偏微分方程需要找到一个函数，使得该函数满足方程以及其边界条件。

解偏微分方程的基本方法有分离变量法、特征线法、变换法、格林函数法等。

其中，分离变量法是最常用的方法之一。

分离变量法的基本思想是将多个自变量分别单独处理，然后将得到的多个常微分方程组合起来求解。

这种方法适用于形式简单的偏微分方程，例如线性齐次方程。

另一种常见的方法是特征线法，适用于一阶偏微分方程。

特征线法的核心思想是通过选择合适的曲线，使得偏微分方程在该曲线上的导数满足某种关系，从而将偏微分方程化简为常微分方程。

变换法是一种将偏微分方程通过适当的变换转化为另一种形式，进而求解的方法。

常见的变换包括拉普拉斯变换、傅里叶变换等。

格林函数法是基于格林函数的特性来求解偏微分方程的方法，其中格林函数是满足特定边界条件的偏微分方程的解。

解偏微分方程的应用广泛。

在物理学中，偏微分方程被用于描述传热、传质、电磁场等现象。

在工程领域，偏微分方程被应用于流体力学、结构力学、电路分析等问题的建模和分析。

在经济学中，偏微分方程被用于描述金融市场中的随机波动等现象。

在实际应用中，解偏微分方程的复杂度往往很高，需要借助数值方法进行求解。

常见的数值方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。

这些方法通过将偏微分方程离散化为代数方程组，然后通过数值计算求解。

解偏微分方程是数学中的一个重要问题，涉及到多个自变量的未知函数及其偏导数的求解。

通过分离变量法、特征线法、变换法和格林函数法等方法，可以求解各种形式的偏微分方程。

数理基础科学中的偏微分方程方法偏微分方程是数理基础科学中的重要研究领域，它在物理学、工程学、生物学等多个学科中都有广泛的应用。

偏微分方程方法是解决这些问题的一种有效手段，它通过数学模型和分析技巧，帮助我们理解自然现象和工程问题，并提供解决方案。

一、偏微分方程的基本概念偏微分方程是描述多变量函数的方程，其中包含了函数的偏导数。

它可以分为椭圆型、双曲型和抛物型三类，每一类都有不同的特征和解法。

椭圆型方程主要描述稳态和静态问题，双曲型方程描述波动和传播问题，抛物型方程描述扩散和耗散问题。

二、常见的偏微分方程方法1. 分离变量法分离变量法是解偏微分方程最常用的方法之一。

它的基本思想是将多变量函数分解为多个单变量函数的乘积，并将原方程转化为一系列常微分方程。

通过求解这些常微分方程，可以得到原方程的解。

2. 特征线法特征线法适用于双曲型和抛物型方程的求解。

它的关键是找到方程中的特征线，通过参数化特征线上的点，将原方程转化为常微分方程。

通过求解这些常微分方程，可以得到原方程的解。

3. 变换法变换法是通过引入新的变量或坐标系，将原方程转化为更简单的形式。

常见的变换包括傅里叶变换、拉普拉斯变换和相似变量变换等。

这些变换可以将原方程转化为常微分方程或代数方程，从而简化求解过程。

4. 数值方法数值方法是通过离散化偏微分方程，将其转化为代数方程或常微分方程，并采用数值计算方法进行求解。

常见的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。

这些方法可以在计算机上进行高效的求解，适用于复杂的偏微分方程问题。

三、偏微分方程方法的应用偏微分方程方法在物理学、工程学、生物学等多个学科中都有广泛的应用。

在物理学中，偏微分方程方法可以用于描述电磁场的传播、流体的运动和量子力学中的波动现象。

在工程学中，偏微分方程方法可以用于模拟材料的力学性质、流体的流动行为和电路的电磁特性。

在生物学中，偏微分方程方法可以用于模拟生物体内的传输过程、生物反应和生物发展。

偏微分方程的解法及其应用偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中的一种重要的分支，是与自然科学和工程技术研究密切相关的基础理论。

它的研究涵盖了数值计算、物理学、化学、金融学、生物学等众多学科领域。

本文将以解法及其应用为主题，简要介绍偏微分方程的基本概念、模型以及求解算法。

一、基本概念偏微分方程是包含多个自变量的微分方程。

与常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODEs）不同，偏微分方程中的未知函数是一个或多个变量的函数，而常微分方程中的未知函数只是一个自变量的函数。

偏微分方程也常常用于表征热传导、流体力学、宏观物理学、生物学和经济学等领域的现象。

举个例子，波动方程就是一个著名的偏微分方程模型。

波动方程具有以下形式：$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\nabla^2 u$其中，$u$是待求函数，$t$是时间变量，$\nabla$是空间微分算子，$c$代表波速。

此方程描述了一个物质在空间中随着时间传播的状态。

在此，我们可以看到偏微分方程的一般形式中涉及的多个自变量和微分算子。

二、常见算法在现代科学和工程领域中，为了求解偏微分方程，研究者们发明了多种算法。

这里，我们将简要介绍一些常见的算法。

1. 分离变量法分离变量法（Separation of Variables Method）是一种经典的求解偏微分方程的方法。

该方法的思想是，将多自变量的函数$u(x_1,x_2,...,x_n)$看作是各个自变量的单独函数的积的形式。

然后，我们可以将多自变量的偏微分方程转化为多个一元函数的常微分方程，便于求解。

虽然分离变量法并不适用于所有类型的偏微分方程，但是在实际应用中已经证明是十分有效的。

2. 有限差分法有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值求解偏微分方程的方法。

《偏微分方程分析的Laplace变换》论文
《Laplace变换的偏微分方程分析》
Laplace变换是一种用来分析偏微分方程解决问题的强大工具。

其主要目的是将时间域知识转换为频域知识，使得复杂的微分方程可以轻松解决。

Laplace变换不仅可以用于偏微分方程，
还可以用于积分方程，这两者是计算机科学中广泛使用的数学工具。

Laplace变换在偏微分方程分析中的应用是通过将偏微分方程
转换成一个常微分方程的问题，并且显式表达出所有的解，从而帮助偏微分方程的解决者。

由于Laplace变换是针对时域信
号的特性，有时会改变偏微分方程的现实表现形式，这可能会影响最终求解结果。

因此，在使用Laplace变换时应注意偏微
分方程的表达形式。

Laplace变换的主要优势在于它可以解决复杂的微分方程，允
许几乎立即求解这样的问题。

因此，它可以在许多情况下，如系统动态行为分析、热传导分析和控制系统分析等，都得到有效的应用，从而实现快速的解决数学问题的方法。

总的来说，Laplace变换是一种用于分析偏微分方程的非常有
用的工具，它可以帮助解决者更快地求解复杂的微分方程，并且可以解决多个问题。

应灵活使用Laplace变换，以便获得最
佳效果。

论文题目：偏微分方程的来源与发展课程：数学物理方程姓名：卢江学号：162210012专业：轮机工程偏微分方程的来源与发展摘要：“数学物理方程”是以物理、工程技术和其它科学中出现的偏微分方程为主要研究对象，并且主要介绍求偏微分方程精确解方法的一门数学基础课程。

本文简单介绍了偏微分方程发展的来源、发展历程及特点、解决问题的方法，给出了偏微分方程的发展趋势。

关键词：偏微分方程；模型；发展阶段；历程。

一、偏微分方程问题的来源以及模型的建立偏微分方程由起初研究直接来源于物理与几何的问题发展到一个独立的数学分支，它内容庞杂，方法多样。

偏微分方程讨论的问题不仅来源于物理、力学、生物、几何和化学等学科的古典问题，而且在解决这些问题时应用了现代数学的许多工具。

近几十年来，该领域的研究工作，特别是对非线性方程的理论、应用以及计算方法的研究起到了极大的推动作用，十分活跃。

用数学方法处理应用问题时，首先是要建立合理的数学模型。

在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题需要用多个变量的函数来描述。

这样建立的数学模型在很多情况下是偏微分方程。

比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量; 速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量; 物体在一点上的张力状态的量叫做张量。

这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。

研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程。

物质总是在时间和空间中运动着的。

虽然物质的运动形式千差万别，然而却具有共同的量的变化规律。

客观世界的一切事物的运动和变化在数学上的反映就是变量的概念。

事物的运动和变化又是相互依赖、相互制约的，反映在数学上，就是变量之间的关系，从而又形成了函数的概念。

由于大量的实际问题中，稍微复杂一些的运动过程往往不能直接写出他们的函数，却容易建立变量及其导数( 或微分) 间的关系式，即微分方程。

研究生毕业学术论文——求解偏微分方程简介本文旨在探讨研究生毕业学术论文中的一个重要课题：求解偏微分方程。

偏微分方程在数学和物理学领域具有广泛的应用，它们描述了许多自然现象的行为。

本文将介绍偏微分方程的基本概念和求解方法，并探讨其在实际问题中的应用。

偏微分方程的基本概念偏微分方程是包含多个变量的方程，其中包含函数及其各个变量的偏导数。

它们描述了不同变量之间的关系，以及这些变量随时间的变化。

偏微分方程可分为多种类型，包括椭圆型、双曲型和抛物型方程。

每种类型的方程都具有不同的特征和求解方法。

偏微分方程的求解方法在研究生毕业学术论文中，我们关注如何有效地解决偏微分方程。

以下是一些常见的求解方法：1. 分离变量法：通过假设解可分为两个或多个变量的乘积形式，将偏微分方程转化为一系列普通微分方程，然后解决这些普通微分方程。

2. 特征线法：通过引入特征线，将偏微分方程转化为一组常微分方程，然后求解这些常微分方程。

3. 数值方法：使用数值算法近似求解偏微分方程，例如有限差分法、有限元法和谱方法等。

使用适当的求解方法取决于偏微分方程的类型和实际问题的要求。

偏微分方程在实际问题中的应用偏微分方程在各个领域中都有广泛的应用。

以下是一些实际问题的例子：1. 热传导方程：描述了热能在物体中传播的行为，可以用于分析传热问题和温度分布。

2. 波动方程：描述了波动现象的行为，可以用于分析声波、光波等的传播。

3. 扩散方程：描述了物质扩散的行为，可以用于分析化学反应和溶质在流体中的传输。

4. 矩阵方程：描述了电路、管道等网络中的电流、液流等行为，可以用于分析电路和流体力学问题。

这些应用说明了偏微分方程在解决实际问题中的重要性。

结论本文介绍了研究生毕业学术论文中的一个重要课题：求解偏微分方程。

偏微分方程是描述自然现象行为的数学工具，其求解需要使用适当的数学方法。

我们讨论了偏微分方程的基本概念、常见的求解方法以及其在实际问题中的应用。

偏微分方程总结报告一、引言偏微分方程是数学中一个重要的分支，它描述了时间和空间中变化的物理量之间的关系。

在自然科学、社会科学和工程学中，偏微分方程有着广泛的应用。

本文将对偏微分方程的基本概念、分类和常见的求解方法进行总结。

二、偏微分方程的基本概念偏微分方程是一个包含未知函数的偏导数的方程。

它通常表示为一个数学表达式，其中包含一个或多个未知函数和这些函数的偏导数。

例如，热传导方程、波动方程和拉普拉斯方程等都是偏微分方程的实例。

三、偏微分方程的分类根据不同的分类标准，偏微分方程可以分为多种类型。

常见的分类方式包括：1. 按照阶数：一阶偏微分方程、二阶偏微分方程等。

2. 按照自变量的个数：常微分方程、偏微分方程等。

3. 按照边界条件：Dirichlet边界条件、Neumann边界条件和Robin边界条件等。

4. 按照方程的形式：线性偏微分方程和非线性偏微分方程等。

四、偏微分方程的求解方法求解偏微分方程的方法有很多种，下面列举几种常见的求解方法：1. 分离变量法：将偏微分方程转化为多个常微分方程，然后求解这些常微分方程。

这种方法适用于具有周期性解的偏微分方程。

2. 有限差分法：将偏微分方程转化为差分方程，然后在离散点上求解这个差分方程。

这种方法适用于具有规则网格的偏微分方程。

3. 有限元法：将偏微分方程转化为变分问题，然后使用有限元方法求解这个变分问题。

这种方法适用于具有复杂边界条件的偏微分方程。

4. 谱方法：将偏微分方程转化为谱问题，然后使用傅里叶分析、小波分析等方法求解这个谱问题。

这种方法适用于具有快速收敛解的偏微分方程。

偏微分方程的基本方法偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

解决偏微分方程的问题是这些领域中的关键任务之一。

本文将介绍偏微分方程的基本方法，包括分类、求解技巧和应用。

一、偏微分方程的分类偏微分方程可以分为线性偏微分方程和非线性偏微分方程两大类。

1. 线性偏微分方程线性偏微分方程是指方程中的未知函数及其偏导数之间的关系是线性的。

常见的线性偏微分方程有波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程等。

求解线性偏微分方程的方法主要包括分离变量法、变换法和特征线法等。

2. 非线性偏微分方程非线性偏微分方程是指方程中的未知函数及其偏导数之间的关系是非线性的。

非线性偏微分方程的求解相对复杂，常用的方法有变分法、数值方法和近似解法等。

二、偏微分方程的求解技巧1. 分离变量法分离变量法是求解线性偏微分方程的常用方法。

它的基本思想是将多元函数的偏导数分离成单变量函数的导数，从而将原方程转化为一系列常微分方程。

通过求解这些常微分方程，再将解合并，即可得到原偏微分方程的解。

2. 变换法变换法是通过引入适当的变量变换，将原偏微分方程转化为更简单的形式。

常见的变换方法有特征变量法、相似变量法和积分变换法等。

变换法的关键是选择合适的变换，使得新的方程更易求解。

3. 特征线法特征线法适用于一类特殊的偏微分方程，如一阶线性偏微分方程和一些非线性偏微分方程。

它的基本思想是通过沿着特征线进行变量替换，将原方程转化为常微分方程。

通过求解这些常微分方程，再将解映射回原坐标系，即可得到原偏微分方程的解。

三、偏微分方程的应用偏微分方程在科学和工程领域有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域：1. 物理学偏微分方程在物理学中的应用非常广泛，如波动方程用于描述声波、光波等的传播；热传导方程用于描述热量的传导；薛定谔方程用于描述量子力学中的粒子行为等。

偏微分方程论文：偏微分方程孤立子解 Lie变换群【中文摘要】本文取得的主要结果属于理论性的,可概括如下:首先利用推广的Tanh-函数法以及在此基础上的拓展和形变映射法,获得了BBM方程的许多显式精确行波解,包括孤子解、复线孤子解、周期波解、Jacobi椭圆函数解、维尔斯特拉斯椭圆函数解等。

其次介绍如何利用Lie变换群作用下偏微分方程的不变性来构造它的解。

与常微分方程的情形相似,我们将看到,确定一个给定PDE所拥有的Lie点变换群的无穷小生成元,其算法可由它的不变性无穷小准则直接导出。

利用Lie对称群的不变曲面可得到相似解,这样的解是通过求解约化方程得到的。

约化方程所含未知变量个数比原方程少。

本节就是用古典无穷小算法导出了由轴对称波方程的任意元和无穷小生成子的系数构成的超定线性偏微分方程组,即确定方程DE。

其次借助符号计算机软件maple解方程组,求出了轴对称波方程的一些无穷小生成元,然后根据Lie第一基本定理求出了相对应的单参数Lie变换群.最后将所求得的无穷小生成元代入不变曲面条件,分别利用不变形式法和直接代入法求出轴对称波方程的群不变解。

最后讨论如何利用Lie点变换群作用下的不变性求解PDEs的边值问题。

如果PDE所拥有的单参数Lie点对称群同时也使边值问题的边界条件和领域不变,那么此边值问题的解也是不变解。

因此,边值问题也可被构造性地约化为含更少的自变量的PDEs的边值问题。

对于线性PDE,限制条件可放宽,不必要求边界条件不变。

对应于同一特征函数展开的不变解进行叠加。

可得边值问题的解,其中特征值是利用一个齐次线性PDE 在其自变量的标度下的不变性得到的。

另外,也将讨论多参数Lie点变换群作用下边值问题的不变性。

我们利用上面给出的方法求出了Green函数的边值问题的不变解。

【英文摘要】First tanh-function method is extended then used to solve BBM equation. we also used deformation mapping method to obtain solutions of BBM equation. With both methods we can obtain abundant explicit and exact traving wave solutions. Which coation Soliton solutions, Plural line soliton solutions, periodic wave solutions, Jacobi elliptic fuction solutions,Weierstrass elliptic function solutions and other exact solutions.Second we apply infinitesimal transformations to the construction of solutions of partial differential equations. As for ODE’s we will show that the infinitesimal criterion for invariance of PDE’s leads directly to an algorithm to determine infinitesimal generators X admitted by given PDE’s . Invariant surfaces of the corresponding Lie group of point transformations lead to similarity solutions. These solutions are obtained by solving PDE’s with fewer independent variables than the given PDE’s. Now we obtain the set of determining equations is an overdermined system of PDE’s which is composed of the arbitraryelement of axisymmetric wave equation and the coefficient of infinitesimal generators, that derived by classicalinfinitesimal Lie method. Second we give some infinitesimal generators of axisymmetric wave equation with the help ofsymbols computer sorftware, after we find out the PDE’Sone-parameter Lie group of transformations by firstfundamental theorem of Lie. Last take the infinitesimalgenerators that we find out into invariant surface conditionthen we can get group invariant solutions of axisymmetric waveequation by use invariant form method or directst we discuss how one can use infinitesimal transformations to solve boundary value problems for PDE’s .Ifa one-parameter Lie group of transformation admitted by a PDEleaves the domain and boundary conditions of a BVP invariant ,then the solution of the BVP is an invariant solution, and hencethe given BVP is reduced to a BVP with one less independentvariable .we also consider the invariant of BVP’s undermulti-parameter Lie groups of transformations. We now apply thegiven method to solve the boundary value probolems’solutionsof Green function.【关键词】偏微分方程孤立子解 Lie变换群【采买全文】1.3.9.9.38.8.4.8 1.3.8.1.13.7.2.1 同时提供论文写作一对一辅导和论文发表服务.保过包发.【说明】本文仅为中国学术文献总库合作提供，无涉版权。

毕业论文文献综述信息与计算科学椭圆型偏微分方程的求解及其应用一、 前言部分微积分产生以后，人们就开始把力学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究。

早在18世纪初，人们已经将弦线振动的问题归结为弦振动方程，并开始探讨了它的解法。

随后，人们又陆续了解了流体的运动、弹性体的平衡和振动、热传导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解答，从而能通过实践，验证这些基本规律的正确性，显示了数学物理方程对于认识自然界基本规律的重要性。

有了基本规律，人们还要利用这些基本规律来研究复杂的自然现象和解决复杂的工程技术问题，这就需要求出数学物理方程中的许多特定问题的解答。

随着电子计算机的出现及计算技术的发展，即使是相当复杂的问题，也有可能计算出解得足够精确的数值来，这对于预测自然现象的变化（如天气预报）和进行各种工程设计（如机械强度的计算）都有着很重要的作用[1]。

许多复杂的自然现象，其运动规律、过程和状态都是通过微分方程这种数学形式来描述的。

当我们研究只有一个自变量的运动过程时出现的微分方程称为常微分方程。

当一个微分方程除了含有几个自变量和未知数外，还含有未知数的偏导数时，称为偏微分方程[2]-[6]。

在偏微分方程中，偏导数自然是不可缺少的。

例如： ()(),,u ua x y f x y x y∂∂+=∂∂ （1.1.1） 拉普拉斯方程22232220u u uu x y z∂∂∂∆=++=∂∂∂（1.1.2） 热传导方程()222,,u u a f x t u t x ∂∂=+∂∂（1.1.3） 波动方程()2222,,u a u f t x y t∂=∆+∂（1.1.4）等都是偏微分方程。

其中，u 为未知数，a 为常数，(),a x y 、f 为已知函数。

偏微分方程的一般形式为()112,,,,,,,,0n n x x F x x x u u u ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= （1.1.5） 其中：F 为已知函数；12,,,n x x x ⋅⋅⋅为自变量；u 是关于这些自变量的未知数。

大连民族学院偏微分方程数值解课程论文----椭圆型方程的差分解法****：***所属院系：数学与信息科学学院所属班级：联合培养141班**：***学号：********椭圆型方程的差分解法1.问题介绍考虑二维Poison 方程Dirichlet 边值问题：),,(y x f u =∆- Ω∈),(y x),,(y x u ϕ= Γ∈),(y x其中2222y ux u u ∂∂+∂∂=∆，在此，只考虑Ω为矩形区域{}.,|),(d y c b x a y x <<<<=Ω2.网格剖分及差分格式的建立2.1网格剖分将区间[]b a ,作m 等分，记;0,,/)(11m i ih a x m a b h i ≤≤+=-=将区间[]d c ,作n 等分，记.0,,/)(22n j jh c y n c c h j ≤≤+=-=其中1h 为x 方向的步长，2h 为y 方向的步长。

用两簇平行线 ,i x x = ,0m i ≤≤,j y y = n j ≤≤0将区域Ω剖分为mn 个小矩形，称两簇直线的交点),(j i y x 为网格结点，如下图所示：上图中，取8,8,18,2,9,1======n m d c b a ,因此.2,121==h h 2.2 差分格式的建立 定义下列记号，记：{}n j m i y x j i h ≤≤≤≤=Ω0,0|),(内结点：{}11,11|),(-≤≤-≤≤=Ω︒n j m i y x j i h边界上的结点：︒ΩΩ=Γh h h \为方便起见，记：,),((⎭⎬⎫⎩⎨⎧Ω∈≡︒h j i y x ω{}h j i y x j i Ω∈≡),(|),(γ设{}n j m i v v ij ≤≤≤≤=0,0|为h Ω上的网格函数，记),(1,11ij j i ij x v v h v D -=+)(1,1,1j i j i ij x v v h v D --=- ),(1,1,2j i j i ij y v v h v D -=+ )(11,,2--=-j i j i ij yv v h v D ),(112ij x ij x ij x v D v D h v --=δ)(122ij y ij y ij y v D v D h v --=δ在结点处考虑边值问题，有： ),,(),(),(2222j i j i j i y x f y x y uy x x u =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂- ω∈),(j i),,(),(j i j i y x y x u ϕ= γ∈),(j i定义h Ω上的网格函数：{},0,0|n j m i U U ij ≤≤≤≤=其中，),,(j i ij y x u U = n j m i ≤≤≤≤0,0 利用泰勒公式可得到：11+-<<i ij i x x ξ [],),(12),(),(2),(1),(4422112222yu h y x u y x u y x u h y x y u j ij j i j i j i j i ∂∂-+-=∂∂+-ηξ11+-<<i ij i y y η将上面两式代入原Poison 方程，可得：)(22ij y ij x U U δδ+-44224421),(12),(12),(y u h x y u h y x f j ij j ij j i ∂∂-∂∂-=ηξξ， ω∈),(j i ，),(j i ij y x U ϕ= ，γ∈),(j i .在上式中略去小量项:44224421),(12),(12yu h x y u h R j ij j ij ij ∂∂-∂∂-=ηξξ 并用ij u 代替ij U ，得到下面的差分格式：),()(22j i ij y ij x y x f u u =+-δδ，ω∈),(j i),(j i ij y x u ϕ=， γ∈),(j i2.3 差分格式的求解将上面的向量形式化简可得：),(11)11(2111,22,1212221,1211,22j i j i j i ij j i j i y x f u h u h u h h u h u h =---++--++-- ,11-≤≤m i 11-≤≤n j[],),(12),(),(2),(1),(4421112122xy u h y x u y x u y x u h y x x u j ij j i j i j i j i ∂∂-+-=∂∂+-ξ记⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1-n 1,-m 211,11211u u u u u u n ij ， ,0m i ≤≤.0n j ≤≤ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+----+----+---+=)11(21111)11(21111)11(2111)11(222212221212222212221212222212221222221h h h h h h h h h h h h h h h h h h h C⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++++=------1,21,1221,10,222211,021,1221,12,021121,0210,1221111111111n m n m n m ij n n n u h u h f f u h f u h u h f u h f u h u h f f11,11-≤≤-≤≤n j m i差分格式可进一步写成矩阵形式，即：f Cu ij =上述线性方程组的系数矩阵是一个五对角矩阵，每一行至多有五个非零元。

数学中的偏微分方程研究偏微分方程是数学的一个分支，旨在研究描述自然现象中的变化率的方程。

在物理、工程、金融、生命科学和大气科学等领域，偏微分方程都扮演着不可或缺的角色。

本文将探讨偏微分方程的研究及其应用，并特别关注一些著名的方程。

1. 偏微分方程的研究偏微分方程顾名思义，是一种描述变化率随时间和空间变化的方程。

它通常用于研究自然现象中的变化，例如热传导、流体运动和波动现象等。

偏微分方程中最常见的类型是常微分方程，常微分方程是描述不带空间变量的系统的方程。

例如，一个球在空气中下落的速度可以用常微分方程来描述。

但偏微分方程描述的是有空间变量的系统，如通过物体的热传导、沿管道内液体的流动和声波的传播。

偏微分方程通常需要具有某种形式的边界条件和初值条件，以确定问题的解。

许多偏微分方程是非线性的，这意味着变量之间存在复杂的相互作用。

因此，解决偏微分方程需要一些更复杂的技术和方法。

2. 偏微分方程的应用偏微分方程的应用广泛，几乎掌握了整个自然科学的不同分支。

例如：2.1 热传导热传导是材料中的热现象，是大量物质科学和工程学的关键组成部分。

数学家可以通过对热传导方程建立数学模型来预测热传导的过程。

这样即使不能进行实际实验，也能够在计算机中得到比较准确的预测结果。

2.2 流体力学流体的运动可以通过一组基本方程来描述，这些方程有时被称为Navier-Stokes方程。

处理这些方程本身就是一个数学挑战，但成功地解决这些方程是解决飞机气动、天气预测和海洋生物学等问题的关键。

2.3 金融数学在金融中的应用是广泛的，例如用于定价期权问鼎（在股票或商品期货市场上的衍生品交易）或模拟股票价格的波动模式。

偏微分方程可以用来描绘期权定价中的随机波动。

3. 著名的偏微分方程许多偏微分方程都有着自己的名称，因为它们被广泛应用于不同的领域并在研究中产生了重大影响。

3.1 热传导方程热传导方程是研究热传导现象的基本方程。

热传导方程是一个非常重要的偏微分方程，其描述的是材料中热量的流动现象。

一类偏微分方程的行波解法与Lie点变换群解法的开题报告一、研究背景：偏微分方程在科学与工程实践中起着重要的作用。

然而，大部分偏微分方程是无法直接求解的。

因此，寻找通用的技术来解决偏微分方程成为重要的课题之一。

目前，对于偏微分方程的求解方法可以分为多种，其中行波解法和Lie点变换群解法是比较流行和有效的方法之一。

二、研究目的：本研究旨在探讨一类偏微分方程的行波解法和Lie点变换群解法，在理论和实践上深入了解这两种方法的原理和应用，为相关领域的以后研究提供可行性的解决方法和技术支持。

三、研究内容：1. 行波解法的基本原理和特点2. Lie点变换群解法的基本原理和特点3. 一类偏微分方程的行波解法实践4. 一类偏微分方程的Lie点变换群解法实践5. 行波解法与Lie点变换群解法的对比及应用前景。

四、拟解决的关键问题：1. 研究行波解法和Lie点变换群解法的核心思想和实际应用需要用到的基本知识及数学方法，并对其进行详细分析。

2. 对前人研究成果进行全面归纳总结，以及现有的问题和局限性分析，从而为后续的研究提供可行的解决方案和技术支持。

3. 结合具体的实际例子，通过理论分析以及计算机仿真实验等方式，进一步探索行波解法和Lie点变换群解法在一类偏微分方程求解中的实际应用性和优劣性。

五、拟采取的方法和技术：1. 建立模型，对比不同方法在解决一类偏微分方程中的应用效果。

2. 运用数学分析和计算机仿真等实验方法，评估不同方法的优缺点，探索其适用范围。

3. 分析理论与实际结果之间的差异，探讨可能的原因和解决方案。

六、预期成果：1. 全面而深入的对比分析行波解法和Lie点变换群解法，研究两者在一类偏微分方程求解中的实际应用性和优缺点。

2. 对问题进行进一步的解读和分析，提出可行性的解决方案和技术支持。

3. 结果发表在相关领域的高水平学术期刊上，为后续的研究提供重要的参考资料，以及为实践提供技术支持和解决方案。