北京西城学习探究诊断高中数学选修2-1全本练习

北师大版高中数学选修2--1检测试题答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 椭圆x 216+y 29=1中，以点M(1,2)为中点的弦所在直线斜率为( )A. 916B. 932C. 964D. −932【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系，考查直线的斜率，考查分析与计算能力，属于中档题．在解决弦的中点问题，常用“点差法”，设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率． 【解答】解：设弦的两端点为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，代入椭圆得{x 1216+y 129=1x 2216+y 229=1, 两式相减得(x 1+x 2)(x 1−x 2)16+(y 1+y 2)(y 1−y 2)9=0，即(x 1+x 2)(x 1−x 2)16=−(y 1+y 2)(y 1−y 2)9，∴−9(x 1+x 2)16(y 1+y 2)=y 1−y2x 1−x2， 又M(1,2)为弦AB 的中点， ∴ x 1+x 2=2，y 1+y 2=4， ∴−9×216×4=y 1−y2x 1−x 2，即y 1−y 2x1−x 2=−932，∴弦所在的直线的斜率为−932，故选D ．2. 给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若a >b ，则2a >2b −1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b −1”；③“，x 2+1≥1”的否定是“，x 2+1<1”； ④在△ABC 中，“A >B ”是“sinA >sinB ”的充要条件． 其中正确的命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C【解析】【分析】本题以命题的真假判断与应用为载体考查了复合命题，四种命题，全称命题，充要条件等知识点，属于中档题．根据复合命题真假判断的真值表，可判断①；根据四种命题的定义，可判断②；根据全称命题的否定，可判断③；根据充要条件的定义及三角形正弦定理，可判断④． 【解答】解：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 存在至少一个假命题，但不一定均为假命题，故错误；②命题“若a >b ，则2a >2b −1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b −1”，故正确； ③“，x 2+1≥1”的否定是“，x 2+1<1”，故正确； ④在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔2RsinA >2RsinB ⇔sinA >sinB ， 故“A >B ”是“sinA >sinB ”的充要条件，故正确． 故选C ．3. 一动圆P 过定点M(−4,0)，且与已知圆N ：(x −4)2+y 2=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是( )A. x 24−y 212=1(x ≥2) B. x 24−y 212=1(x ⩽2) C. x 24−y 212=1 D. y 24−x212=1 【答案】C【解析】【分析】本题考查圆与圆的位置关系，考查双曲线的定义，属于中档题．动圆圆心为P ，半径为r ，已知圆圆心为N ，半径为4，由题意知，动点P 到两定点的距离之差的绝对值为常数4，P 在以M 、N 为焦点的双曲线上，且2a =4，2c =8，从而可得动圆圆心P 的轨迹方程． 【解答】解：动圆圆心为P ，半径为r ，已知圆圆心为N ，半径为4， 由题意知：当动圆与圆N 外切时，|PM |=r ，|PN |=r +4， 所以|PN |−|PM |=4;当动圆与圆N 内切时，|PM |=r ，|PN |=r −4， 所以||PM |−|PN ||=4;即动点P 到两定点的距离之差的绝对值为常数4，故P 在以M 、N 为焦点的双曲线上，且2a =4，2c =8， ∴b =2√3．∴动圆圆心P 的轨迹方程为x 24−y 212=1．故选C ．4. 若点O 与点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值，考查了综合应用能力、运算能力，属于中档题．先求出左焦点坐标F ，设P(x 0,y 0)，根据P(x 0,y 0)在椭圆上可得到x 0、y 0的关系式，表示出向量FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据数量积的运算将x 0、y 0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案． 【解答】解：由题意，F(−1,0)，设点P(x 0,y 0)，则有x 024+y 023=1，解得y 02=3(1−x 024)，因为FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0+1,y 0)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0)，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0(x 0+1)+y 02 =x 024+x 0+3=14(x 0+2)2+2，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0=−2，因为−2≤x 0≤2，所以当x 0=2时，OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值224+2+3=6， 故选：C ．5. 下列命题中真命题的个数是( )①∀x ∈R ，x 4>x 2；②若“p ∧q ”是假命题，则p ，q 都是假命题；③命题“∀x ∈R ，x 3−x 2+1≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 3−x 2+1>0”． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B【解析】【分析】此题是个基础题．考查命题的否定和复合命题的真假判定方法等基础知识，考查学生对基础知识的记忆和理解．要说明一个命题不正确，举出反例即可①当x =0时不等式不成立，②根据复合命题真值表可知，“p ∧q ”是假命题，只需两个命题中至少有一个为假即可；③全称命题的否定是特称命题，既要对全称量词进行否定，又要否定结论，故正确． 【解答】 解：易知①当x =0时不等式不成立，对于全称命题只要有一个情况不满足，命题即假； ②错，只需两个命题中至少有一个为假即可； ③正确，全称命题的否定是特称命题， 即只有一个命题是正确的， 故选B ．6. 已知椭圆x 24+y 2b2=1(0<b <2)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|+|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A. √3B. √2C. 32D. 1【答案】A【解析】【分析】本题主要考查椭圆的定义的应用，属中档题.三角形AF 2B 为焦点三角形，根据椭圆方程，即可求出三角形AF 2B 的周长，欲使|BF 2|+|AF 2|的最大，只须|AB|最小，利用椭圆的性质即可得出答案。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作选修2-1模块检测（北京师大版）建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分一、选择题（每小题5分，共60分）1. 若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( )A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线2.已知p:|x+1|≤4;q:＜5x－6,则p是q成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3. 设,若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.4. 已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则点Q的轨迹方程是( )A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝05. 若AB是过椭圆22221x ya b+=(a＞b＞0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与坐标轴不平行，k AM，k BM分别表示直线AM，BM的斜率，则k AM•k BM=（）A．22ca- B.22ba-C．22cb-D．22ab-6. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M ，N 分别是棱DD 1，D 1C 1的中点，则直线OM （ ）A ．和AC ，MN 都垂直B ．垂直于AC ，但不垂直于MN C ．垂直于MN ，但不垂直于ACD ．与AC ，MN 都不垂直7. 如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E 是棱AB 的中点，点F （0，y ，z ）是正方体的面AA 1D 1D 上一点，且CF ⊥B 1E ，则点 F （0，y ，z ）满足方程（ ）A ．y-z =0B ．2y-z-1=0C ．2y-z-2=0D ．z-1=08. 圆心在抛物线22y x=（0y >）上，并且与抛物线的准线及（ ）x 轴都相切的圆的方程是A .221204x y x y +---=B .22210x y x y ++-+=C .22210x y x y +--+= D .221204x y x y +--+=9. 给出下列命题：①若“”是假命题，则是真 命题； ②；③若关于的实系数一元二次不等式的解集为，则必有且； ④其中真命题的个数是（ ） A .1 B .2 C.3 D .410. 设双曲线的半焦距为，直线过两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ） A .2 B . C . D .11. 已知△ABC 的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.221916x y -= B.221169x y -= C.221916x y -=(x>3) D.221169x y -= (x>4) 12. 已知抛物线上一点0到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是（ ） A. B. C. D.二、填空题（每小题5分，共20分）13. 已知命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是________．14. 下列四个结论中，正确的有 (填序号).①若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件； ②“是“一元二次不等式a ＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③“x ≠1”是“≠1”的充分不必要条件； ④“x ≠0”是“x ＋|x |＞0”的必要不充分条件. 15. 在三棱锥P -ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝21P A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值是 .16. 若点O 和点F 分别为椭圆的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为三、解答题（共70分）17. （12分）已知四棱锥-P ABCD 的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且1PA AD DC ===，2AB =，点M 是PB 的中点.（1）证明：平面PAD ⊥平面PCD ；（2）求AC 与PB 所成角的余弦值（3）求平面AMC 与平面BMC 所成二面角的平面角的余弦值.18.（12分）设p：实数x满足－4ax+3＜0，其中a＞0；q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围19.（14分）已知椭圆22221x ya b+=(0)a b>>的离心率63e=，过点和的直线与原点的距离为32．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点，若直线 与椭圆交于两点．问：是否存在，使以为直径的圆过?请说明理由．20. （16分）如图，在长方体1111-ABCD A B C D 中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.（1）求证：11D E A D ⊥；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到平面1ACD 的距离（3）当AE 为何值时，二面角1--D EC D 的大小为4？21. （16分）设分别为椭圆：22221x y a b += (0)a b >>的左、右两个焦点. （1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标.（2）设点是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.（3）已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线、的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点位置无关的定值.试对双曲线22221x ya b-=写出类似的性质，并加以证明一、选择题1. D 解析：由题意知，点P到点(2,0)的距离与点P到直线x＝－2的距离相等，由抛物线定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线，故选D.2. B 解析：由|x+1|≤4－4≤x+1≤4，得－5≤x≤3，即p对应的集合为[－5,3];由＜5x－6－5x+6＜0，解一元二次不等式可得2＜x＜3，即q对应的集合为(2,3).因为(2,3)[－5,3]，所以p 是q成立的必要不充分条件.3. A 解析：由已知得若成立，则,若成立，则.又﹁p是﹁q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，所以所以.4. D 解析：设点Q(x，y)，则点P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.5. B解析：设A（x1，y1），M（x0，y0），则B（x1，y1），则k AM•k BM=22 0122 01y yx x--.∵A，M在椭圆上，∴2222001122221,1x yx ya b a b+=+=，两式相减，可得k AM•k BM=22ba-，故选B．6. A解析：以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2a，则D（0，0，0），D1（0，0，2a），M（0，0，a），A（2a，0，0），C（0，2a，0），O（a，a，0），N（0，a，2a），∴OM=（-a，-a，a），MN=（0，a，a），AC=（-2a，2a，0）．∴OM•AC=0，OM•MN=0，∴OM⊥AC，OM⊥MN．故选A．7.D解析：如题图所示，由已知可得E（1，0，0），B1（2，0，2），C（2，2，0），所以1B E=(-1，0，-2)，CF=(-2，y-2，z).因为CF⊥B1E，所以1B E•CF=0.即2-2z=0，即z=1.故选D．8. D 解析：抛物线的焦点坐标为，由圆心在抛物线上，且与轴和该抛物线的准线都相切以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标，即圆心是，半径长是1，故所求圆的方程为221204x y x y+--+=．9. B 解析：“p或q”是假命题，则它的否定是真命题，即“﹁p且﹁q”是真命题，①是真命题；若，若,则，所以②是真命题；若一元二次不等式的解集是，则必有且，所以③是假命题；当时，必有但当y=5时，满足但，所以④是假命题.共有2个真命题.10.A 解析：由已知，直线的方程为.原点到直线的距离为34，则有2234abca b=+.又，所以，两边平方，得.两边同除以，并整理，得，所以或43.而，得222221a b ba a+=+＞2，所以.故（负值舍去）．11. C 解析:如图,|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（除与轴的交点外），所以顶点C 的轨迹方程为221916x y -=(x ＞3)． 12. B 解析：依题意知，所以，所以，所以，点的坐标为. 又，所以直线的斜率为.由题意得，解得. 二、填空题13. 解析：已知命题是假命题，则原命题的否定“对任意，使”是真命题，所以，解得. 14. ①②④ 解析：∵ 原命题与其逆否命题等价，∴ 若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件. x ≠1≠1，反例：x ＝－1＝1， ∴“x ≠1”是“≠1”的不充分条件. x ≠0x ＋|x |＞0，反例：x ＝－2x ＋|x |＝0. 但x ＋|x |＞0x ＞0x ≠0，∴“x ≠0”是“x ＋|x |＞0”的必要不充分条件. 15. D 解析：()().-222,0,0,0,,0,,0,0.2220,0,.OP ABC OA OC AB BC OA OB OA OP OB OP O OP z O xyz AB a A a B a C a OP h P h ⊥==∴⊥⊥⊥⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 平面，，， ，，以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图，设，则设，则2,7,2214,0,,4411,1,,7210cos ,.30210sin cos ,,30210.30n n n nn PA a h a OD a a PBC OD OD OD OD PBC OD OD PBC θθ=∴=⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⋅∴〈〉==⋅=〈〉=∴ 可求得平面的法向量 设与平面所成的角为，则 与平面所成角的正弦值为16. 6 解析：由题意，得F (-1，0)，设点，，则有 =1，解得=. 因为＝，，=，， 所以此二次函数对应的抛物线的对称轴为直线=-2，因为-2≤≤2，所以当=2时，取得最大值6. 三、解答题17. （1）证明：如图，以A 为坐标原点，AD 长为单位长度，建立空间直角坐标系，则各点坐标为1(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2A B C D P M .因为.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=∙==所以故由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线， 由此得DC ⊥平面PAD .又DC 在平面PCD 内，故平面PAD ⊥平面PCD . （2）解：因为),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC .510||||,cos ,2,5||,2||=∙>=<=∙==PB AC PB AC PB AC PB AC PB AC 所以所以故AC 与PB 所成角的余弦值为510. （3）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在λ∈R 使,MC NC λ=.21,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC要使14,0,0,.25AN MC AN MC x z λ⊥∙=-==只需即解得 .0),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=∙-===∙=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=∙=∙所以，得由.,0,0为所求二面角的平面角.30304||,||,5552cos ,.3||||2.3AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN ==∙=-∙<>==--因为，所以由题图知所求二面角的平面角为钝角，故所求的二面角的平面角的余弦值为 18. 解：由－4ax +3＜0，得(x －3a )(x －a )＜0.又a ＞0，所以a ＜x ＜3a .（1）当a =1时，1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3.由得2＜x ≤3，即q 为真时实数x 的取值范围是2＜x ≤3.若p ∧q 为真，则p 真q 真，所以实数x 的取值范围是2＜x ＜3.（2）若p 是q 的充分不必要条件，即q ，且p .设A ={x |p },B ={x |q },则A B .又A ={x |p }={x |x ≤a 或x ≥3a }，B ={x |q }={x |x ≤2或x ＞3}，则有0＜a ≤2且3a ＞3，所以实数a 的取值范围是1＜a ≤2.19. 解：（1）因为直线的方程为， 依题意得解得所以椭圆方程为2213x y +=． （2）假设存在这样的值，由得22(13)1290k x kx +++=,所以22(12)36(13)0k k D =-+>.①设11()C x y ，、22()D x y ，，则②而212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++×． 当且仅当时，以为直径的圆过点，则1212111y y x x =-++×， 即1212(1)(1)0y y x x +++=，所以21212(1)(21)()50k x x k x x +++++=． ③ 将②式代入③式整理解得76k =．经验证，76k =使①式成立． 综上可知，存在76k =，使得以为直径的圆过点． 20. （1）证明：如图，以D 为坐标原点，直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴轴轴，建立空间直角坐标系，设AE x =，则11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)A D E x A C ，).1,1(,1,0111-==x E D DA ，），（.,0)1,,1()1,0,1(111111DA E D E D DA x E D DA ⊥⊥=-⋅=⋅，即所以因为（2）解：因为E 为AB 的中点，则(1,1,0)E ， 从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D ，)1,0,1(1-=AD . 设平面1ACD 的法向量为n ),,(c b a =，则10,0,AC AD ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n即⎩⎨⎧=+-=+-,0,02c a b a 得⎩⎨⎧==,,2c a b a令b =1,从而n )2,1,2(=，所以点E 到平面1A C D 的距离为=h 1D E ∙n n.313212=-+= （3）解：设AE x =，平面1D EC 的法向量1n ),,(111c b a =， 所以),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD C D x CE由1110,0D C CE ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n ⎩⎨⎧=-+=-⇒.0)2(,021111x b a c b 令11112,2b c a x ===-，所以， 所以1n ).2,1,2(x -= 依题意=4πcos 1111DD DD ∙n n .225)2(2222=+-⇒=x 所以321+=x （不合题意，舍去），322-=x .所以当23AE =-时，二面角1--D EC D 的大小为4π.21. 解：（1）由题意知，椭圆的焦点在轴上.由椭圆上的点到两点的距离之和是4，得，即. 又点312A 骣÷ç÷ç÷÷ç桫，在椭圆上，因此22232112b 骣÷ç÷ç÷ç÷桫+=，得，于是. 所以椭圆的方程为22143x y +=，焦点，. （2）设椭圆上的动点，线段的中点满足111,22x y x y -+==，即，. 因此=22(21)(2)143x y ++，即2214123y x 骣÷ç÷++=ç÷ç÷桫为所求的轨迹方程. （3）类似的性质为：若是双曲线22221x y a b -=上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点， 当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值. 证明如下：设点的坐标为，则点的坐标为，其中22221m n a b -=. 又设点的坐标为，由,PM PN y n y n k k x m x m-+==-+， 得2222y n y n y n x m x mx m -+-?-+-. 将22222222,b b y x b n a a =-=代入得22b a。

北京西城区学习探究诊断高中数学选修2- 1第一章 常用逻辑用语 测试一 命题与量词Ⅰ 学习目标会判断命题的正误，理解全称量词与存在量词的意义．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．下列语句中不是命题的是( )(A)(C)2(A)3＞3(A)y ＝(C)4①∃x ③∃x (A)05(A)x ＞(C)6(A)b a ∀⊥(C)⊥∃b a 7．下列命题是假命题的是( )(A)对于非零向量a ，b ，若a ·b ＝0，则a ⊥b (B)若｜a ｜＝｜b ｜，则a ＝b (C)若ab ＞0，a ＞b ，则ba 11< (D)a 2＋b 2≥2ab8．若命题“ax 2－2ax ＋3＞0对x ∈R 恒成立”是真命题，则实数a 的取值范围是( )(A)0≤a ＜3(B)0≤a ≤3(C)0＜a ＜3(D)0≤a ＜3二、填空题9．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对于∀x ∈R 均成立，则实数a 的取值范围是______． 10．设A 、B 为两个集合，下列四个命题：①A ⊄B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ②A ⊆/B ⇔A ∩B ＝∅③A ⊆/B ⇔A ⊇B④A ⊆/B ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B其中真命题的序号是______．(把符合要求的命题序号都填上)三、解答题11．判断下列语句哪些是命题？如果是命题，是真命题还是假命题？(1)末位数字是0的整数能被5整除； (2)平行四边形的对角线相等且互相平分； (3)(4)△(5)12(1)(2)(3)13(1)(2)(3)∃x 1．D 29．21<-11．(1)(4)12．(1)∀(2)∃x (3)∃(13．测试二 基本逻逻辑联结词Ⅰ 学习目标1．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义． 2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．命题“菱形的对角线互相垂直平分”是( )(A)简单命题(B)“非p ”形式的命题(C)“p 且q ”形式的命题 (D)“p 或q ”形式的命题2．下列结论中正确的是( )(A)p是真命题时，“p且q”一定是真命题(B)p是假命题时，“p且q”不一定是假命题(C)“p且q”是假命题时，p一定是假命题(D)“p且q”是真命题时，p一定是真命题3．如果“p或q”与“非p”都是真命题，那么( )(A)q一定是真命题(B)q不一定是真命题(C)p不一定是假命题(D)p与q的真假相同4．“xy≠0”是指( )(A)x≠0且y≠0 (B)x≠0或y≠0(C)x，y至少一个不为零(D)x，y不都为零5．命题p(A)(C)6(A)∀x(C)∃x7(A)∃x(C)∀x8．已知U(A)2∈(C)29“非p(A)p：(B)p：{0}{(C)p(D)p10．命题(A)(B)不存在实数a，使方程x2＋ax＋1＝0没有实数根(C)对任意实数a，使方程x2＋ax＋1＝0没有实数根(D)至多有一个实数a，使方程x2＋ax＋1＝0有实数根二、填空题11．命题“∀x∈A，x∈A∪B”的命题的否定是________________．12．“l⊥??”的定义是“若∀g⊂??，l⊥g，则称l⊥??”，那么“直线l不垂直于平面??”的定义是_____________________________．13．已知命题：“非空集合A的元素都是集合B的元素”是假命题．那么给出下列命题：①“A中的元素都不是集合B的元素”；②“A中有不属于B的元素”；③“A中有B的元素”；④“A中的元素不都是B的元素”．其中真命题的序号是______．(将正确命题的序号都填上)14．“A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈A，都有x∈B，则称A⊆B”．那么“A不是B的子集”可用数学语言表达为________________．三、解答题15．写出下列命题的否定，并判断真假：(1)质数都是奇数；(2)∀x∈R，3x－5＞2x；(3)∀A⊆U(U为全集)，∅是集合A的真子集．16．命题p：正方形是菱形；q：正方形是梯形．写出其构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断1．C 2．11．∃x∈12．∃g⊂13．②④14．若∃x15．解：16．答：pp121(A)(C)2．已知a(A)(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件3．条件p：ac2＞bc2是条件q：a＞b(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件4．若条件甲：“=”，条件乙：“ABCD是平行四边形”，则甲是乙的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件5．若命题p的逆命题是q，命题p的逆否命题是r，则q是r的( )(A)逆命题(B)否命题(C)逆否命题(D)非四种命题关系6．原命题的否命题为假，可判断( )(A)原命题为真(B)原命题的逆命题为假(C)原命题的逆否命题为假(D)都无法判断7．已知集合A＝{x｜x2－5x－6≤0}，B＝x｜x2－6x＋8≤0，则x∈A是x∈B的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件8．在下列命题中，真命题是( )(A)命题“若ac＞bc，则a＞b”(B)命题“若a n是n的一次函数，则数列{a n}是等差数列”的逆命题(C)命题“若x＝3，则x2－4x＋3＝0”的否命题(D)9．设x，y(A)x＝(C)x≠10．下列(A)(B)(C)(D)111213141516其中正确的命题是______(请填入正确命题的序号)．17．①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若a≤－1，则方程x2－2ax＋a2⊆＋a＝0有实数根”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中正确的命题是______．(填上你认为正确的命题序号)18．设全集为S，集合A，B⊆S，有下列四个命题：①A∩B＝A；②s A⊇s B；③(s B)∩A＝∅；④(s A)∩B＝∅．其中是命题A⊆B的充要条件的命题序号是______．测试三充分条件、必要条件与四种命题1．C 2．B 3．A 4．B 5．B 6．B 7．B 8．D 9．C 10．D 11．若x ≥4，则x ≥3 12．充分不必要13．若x ≠0且y ≠0，则xy ≠0 14．b ≥－2 15．2,2-==b a 都是无理数，但a ＋b ＝0是有理数；也可举例2,21-=+=b a 等．16．①②④ 17．①③ 18．①②③121．在点A (A)1个2．方程x 2(A)(C)3(A)y ＝4．方程(A)y ＝(C)y ＝5．方程(2(A)(C)6．直线x 7．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)经过坐标原点的充要条件是______． 8．到两平行线l 1：3x ＋2y －4＝0，l 2：3x ＋2y －8＝0距离相等的点的轨迹方程是______． 9．若动点P 到点(1，1)的距离等于它到y 轴的距离，则动点P 的轨迹方程是______． 10．已知两定点A (－1，0)，B (3，0)，动点P 满足21||||=PB PA ，则动点P 的轨迹方程是 ________________________． 三、解答题11．已知动点P 到两定点M (1，3)，N (3，1)的距离平方之和为20，求动点P 的轨迹方程． 12．试画出方程｜x ＋｜y ｜＝1的曲线，并研究其性质．13．如图，设D 为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0的圆心，若P 为圆C 外一动点，过P 向圆C 作切线PM ，M 为切点，设2=PM ，求动点P 的轨迹方程．Ⅲ 拓展性训练14．如图，已知点P (-3，0)，点Q 在x 轴上，点A 在y 轴上，且0=⋅AQ PA ，AQ QM 2=．当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．第二章 圆锥曲线与方程测试四 曲线与方程1．C 2．B 3．D 4．B 5．B6．(5，2)，)25,4( 7．F ＝0 8．3x ＋2y －6＝0 9．21(2)1(2-=-x y 10．3x 2＋3y 2＋14x －5＝011．x 2＋y 2－4x －4y ＝0． 12．方程的曲线如图．(1)曲线的组成：由四条线段首尾连接构成的正方形；13．14测试五 椭圆AⅠ 学习目标1．理解椭圆的定义，掌握椭圆的两种标准方程．2．掌握椭圆的几何性质，椭圆方程中的a ，b ，c ，e 的几何意义、相互关系、取值范围等对图形的影响．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．长半轴长为4，短半轴长为1，目焦点在x 轴上的椭圆标准方程是( )(A)1422=+y x(B)1422=+y x(C)11622=+y x(D)11622=+y x2．椭圆1251622=+y x 的焦点坐标是( )(A)(0，3)，(0，－3) (B)(3，0)，(－3，0) (C)(0，5)，(0，－5)(D)(4，0)，(－4，0)3．若椭圆13610022=+y x 上一点P 到其焦点F 1的距离为6，则P 到另一焦点F 2的距离为( )(A)4(B)194(C)94(D)144．已知F 1，F 2是定点，821=F F ，动点M 满足｜MF 1｜＋｜MF 2｜＝8，则动点M 的轨迹是( )(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段5．如果方程x 2＋ky 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )(A)k ＜6．经过点7．设a ，． 8．设P _______．9．过椭圆101134|1=，|2PF 12轴上．(1)(2)13求点1．C 2．6．151522=+y x 7．a ＞b ＞c 8．)1,215(±± 9．22 10．)0(1203622=/=+y y x 11．因为点P 在椭圆C 上，所以2a ＝｜PF 1｜＋｜PF 2｜＝6，所以a ＝3．在Rt △PF 1F 2中，52||||||212221=-=PF PF F F ，故椭圆的半焦距5=c ，从而b 2＝a 2－c 2＝4，所以，椭圆C 的方程为14922=+y x ．12．(1)长半轴长10，短半轴长8，焦点坐标(6，0)、(－6，0)，离心率53=e； (2)椭圆164100:222=+x y C ，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴，y 轴，原点对称；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)； ④离心率：53=e． 13．由题意，)0,5(),0,5(21F F -，设P (x ，y )，1212(A)3(A)4．已知F (c ，0)是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点，设b ＞c ，则椭圆C 的离心率e 满足( )(A)20<<e (B)220<<e (C)210<<e (D)122<<e 5．已知两定点M (－1，0)、N (1，0)，直线l ：y ＝－2x ＋3，在l 上满足｜PM ｜＋｜PN ｜＝4的点P 有( )(A)0个 (B)1个(C)2个(D)3个二、填空题6．若方程1162522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是______.7．若椭圆)8(19822->=++k y k x 的离心率21=e ，则k 的值为________.8．过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的中心的直线l 与椭圆相交于两点A 、B ，设F 2为该椭圆的右焦点，则△ABF 2面积的最大值是________.9．椭圆192522=+y x 上一点M 到左焦点F 1的距离为2，点N 是MF 1的中点，设O 为坐标原点，则ON ＝________.10．P 为椭圆16410022=+y x 上一点，左右焦点分别为F 1、F 2，若∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________.11121314＝b 2＋c 2，a＞0，1A 2的中点． (1)(2)设B 1，B 2或A 1(3)若测试六 椭圆B1．C 2．A 3．B 4．B 5．C 6．2529<<m 7．4或45- 8．22b a b - 9．4 10．3364 提示：9．设F 2为椭圆的右焦点，由椭圆的定义｜MF 2｜＋MF 1｜＝2a ，得｜MF 2｜＝10－2＝8，在△MF 1F 2中，∵｜MN ｜＝NF 1｜，｜OF 1｜＝｜OF 2｜， ∴4||21||2==MF ON． 10．设｜PF 1｜＝r 1，｜PF 2｜＝r 2，由椭圆定义，得r 1＋r 2＝20……①由①211．设A (x 把y 解得所以故AB (12．设P (x 则|13则有⎩⎨⎧-==.||,||1r R CC r CP 消去r ，得CC 1｜＋CP ｜＝10，又C 1(－3，0)，P (3，0)，｜C 1P ｜＝6＜10，所以，由椭圆的定义知圆心C 的轨迹是以C 1，P 为焦点的椭圆， 且半焦距c ＝3，2a ＝10，a ＝5，从而b ＝4，所以，所求的动圆的圆心C 的轨迹方程为1162522=+y x ．14．(1)∵),0(),,0(),0,(2222210c b F c b F c F ---，∴1)(||32220==+-=b c c b F F ,12||2221=-=c b F F ，于是47,432222=+==c b a c， 所求“果圆”方程为)0(134),0(1742222≤=+≥=+x x y x y x ．(2)∵M 是线段A 1A 2的中点，又A 1(－c ，0)，A 2(a ，0)，∴)0,2(ca M -，设P (x ，y )，则12222=+c x b y ，即22222x c b b y -=，又222c a -∵(3)x ≥0)上的当当｜综上所述，若a ≤2c ，当｜PM ｜取得最小值时，点P 的横坐标是22c ；若a ＞2c ，当｜PM ｜取得最小值时，点P 的横坐标是a 或－c ．测试七 双曲线Ⅰ 学习目标1．理解双曲线的定义，掌握椭圆的两种标准方程．2．掌握双曲线的几何性质，双曲线方程中的a ，b ，c ，e 的几何意义、相互关系、取值范围等对图形的影响． 3．能初步应用双曲线的定义、几何性质解决与双曲线有关的简单问题，并初步体会数形结合的思想．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．双曲线117822=-x y 的焦点坐标为( )(A)(±5，0)(B)(±3，0)(C)(0，±3)(D)(0，±5)23456789．双曲线191622=-y x 上的一点P ，到点(5，0)的距离为15，则点P 到点(－5，0)的距离为_____________________.10．已知双曲线)2(12222>=-a y a x 两条渐近线的夹角为3π，则此双曲线的离心率为_________________. 三、解答题11．已知三点P (5，2)，F 1(－6，0)，F 2(6，0)．(1)求以F 1，F 2为焦点，且过点P 的椭圆的标准方程；(2)设点P ，F 1，F 2关于直线y ＝x 的对称点分别为P ′，F 1′，F 2′，求以F 1′，F 2′为焦点且过点P ′的双曲线的标准方程．12．已知定圆O 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆O 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆O 1，O 2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．13．以双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做C 的共轭双曲线．(1)写出双曲线15422=-y x 的共轭双曲线的方程；(2)设双曲线C 与其共轭双曲线的离心率分别为e 1，e 2，求证1112221=+e e . 测试七 双曲线1．D 2．A 3．C 4．D 5．C6．(9．711．1242故双曲线的方程为)23(19149422>-≤=-x y x ． 13．(1)双曲线15422=-y x 的共轭双曲线的方程为14522=-x y ；(2)在双曲线C 中，半焦距22b ac +=，所以离心率ab a ace 221+==；双曲线C 共轭双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a x by α，其半焦距为22b a +，所以离心率bb a e 222+=． 所以，1112222222221=+++=+b a b b a a e e． 测试八 抛物线A121(A)y 2＝2．抛物线(A)(－3(A)(18(C)(184．方程2(A)(C)5．点P (A)y 26．准线为7．过点A 8．抛物线910①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．能使这抛物线方程为y 2＝10x 的条件是_______．(要求填写合适条件的序号) 三、解答题11．抛物线的顶点在原点，焦点在直线x －2y －4＝0上，求抛物线的标准方程．12．求以抛物线2y ＝8x 的顶点为中心，焦点为右焦点且渐近线为x y 3±=的双曲线方程．13．设P 是抛物线221x y =上任意一点，A (0，4)，求｜PA ｜的最小值． 测试八 抛物线A 1．B 2．D 3．C 4．A 5．C 6．x y 82-= 7．x y342=或y x 292= 8．161-=y 9．4 10．②，④ 11．由题意，焦点既在坐标轴上，又在直线x －2y －4＝0上，令x ＝0，得焦点为(0，－2)；令y ＝0，得焦点为(4，0) 当焦点为(0，－2)时，抛物线方程为x 2＝－8y ； 当焦点为(4，0)时，抛物线方程为y 2＝16x ． 12．抛物线y 2＝8x 的顶点为(0，0)，焦点为(2，0)，即2λx 13则|因为因为121．抛物线x 2＝y 的准线方程是( )(A)4x ＋1＝0(B)4y ＋1＝0(C)2x ＋1＝0(D)2y ＋1＝02．抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离是( )(A)32(B)3(C)321 (D)341 3．连接抛物线x 2＝4y 的焦点F 与点M (1，0)所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为( ) (A)21+-(B)223- (C)21+(D)223+ 4．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( )(A)34 (B)57 (C)58 (D)35．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上的一点，若4-=⋅，则点A 的坐标为( )(A))22,2(± (B)(1，2)(C)(1，±2)(D))22,2(二、填空题6．过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，作垂直于抛物线对称轴的直线l ，设l 交抛物线于A ，B 两点，则｜AB ｜＝_________． 7．抛物线y ＝－ax 2(a ＞0)的焦点坐标为_________．8．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝_________． 9．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点横坐标为3，则｜10．设F ｜MF 11 122＝x 1＋x 3，13点的坐标．14．设F l ：x ＝－1(1)(2)设1．B 2．6．6 7．11所以(所以抛物线的标准方程为x 2＝2y ，或x 2＝18y ． 12．由抛物线定义，知2||11p x PF +=,2||22p x F P +=,2||33px F P +=, 所以｜FP 1｜＋｜FP 3｜＝x 1＋x 2＋p ，2｜FP 2｜＝2x 2＋p ， 又x 1＋x 3＝2x 2，所以2｜FP 2｜＝｜FP 1｜＋｜FP 3｜． 13．直线AB 的方程为30233--+=x y ，即3x －y －3＝0， 102)33()20(||22=--+-=AB ，因为点P 在x 2＝y 上，所以设P (x ，x 2)，所以点P 到直线AB 的距离10|43)23(|91|33|22+-=+--=x x x d ， 因为x ∈R ，所以当23=x 时，1043min =d , 故当49,23(P 时，△PAB 面积有最小值43104310221=⨯⨯=S ． 14．(1)(2)设∴∵∴∵当121．过点P (A)1条2．一个正三角形的顶点都在抛物线y 2＝4x 上，其中一个顶点在坐标原点，则这个三角形的面积是( )(A)348(B)324(C)3916(D)3463．过双曲线1222=-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若｜AB ｜＝4，则这样的直线有( )(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条4．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上总存在点P ，使021=⋅PF PF ，其中F 1，F 2是椭圆的焦点，那么该椭圆的离心率的取值范围是( )(A)]21,12[-(B))12,0(- (C)]22,21[ (D))1,22[5．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 1，左、右顶点分别为A 1、A 2，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆的位置关系为( ) (A)相切 (B)相交(C)相离(D)以上情况都有可能二、填空题6．直线y ＝x ＋1与抛物线y 2＝4x 的公共点坐标为____________．7228．设P ｜PF 191011C 的方程．12(1)若(2)1314．设点AB ，都有(1)判断椭圆的“左特征点”是否存在，若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由；(2)参考椭圆的“左特征点”定义，给出双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的“左特征点”定义，并指出该点坐标．测试十 圆锥曲线综合练习(选学)1．B 2．A 3．C 4．D 5．A6．(1，2) 7．m ≥1且m ≠5 8．x 2－y 2＝4 9．179010．2>e 11．由题意，设椭圆150:2222=-+a x ay C ,把直线y ＝3x －2代入椭圆方程150222=-+a x ay , 得(a 2－50)(3x －2)2＋a 2x 2＝a 2(a 2－50)，整理得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x －a 4＋54a 2－200＝0， 设直线与椭圆的两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有45010)50(122221--=-a a x x ,?＝144(a 2－50)2－4(10a 2－450)(－a 4＋54a 2－200)＞0， 由题意，得1)50(622221=-=+a x x ，解得a 2＝75， 12．(1)(2)由⎪⎩>-=∆04242k 解得：)3,6(--∈k ∪)6,3(．13．因为AB //CD ，所以设直线CD 方程为y ＝x ＋t ，把y ＝x ＋t 代入y 2＝x ，消去y ，得x 2＋(2t －1)x ＋t 2＝0， 设C (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝1－2t ， x 1·x 2＝t 2，?＝(2t －1)2－4t 2＞0， 所以)41(2]4)21[(2)()(||22221221t t t y y x x CD -=--=-+-=，又AB 与CD 间的距离为2|4|||-=t AD ， 由正方形ABCD ，得｜AD ｜＝｜CD ｜，即2|4|)41(2-=-t t ， 解得t ＝－2，或t ＝－6， 从而，边长|AD|＝23或25，所以正方形面积为18)23(21==S 或50)25(22==S ． 14．(1)y ∴?∴＝k [2x 1·x 2＋c (x 1＋x 2)－x 0(x 1＋x 2)－2cx 0]∵M (x 0，0)是椭圆的“左特征点”，∴∠AMF ＝∠BMF ． ∴k AM ＝－k BM ，即k AM ＋k BM ＝0， ∴分子0222220222222222222222222[cx ka b ck a x k a b c k a c ab b ac k a k k-+-⨯-+-⨯++-⨯＝0， ∵上式要对任意非零实数k 都成立， ∴02222202222202222222222222=-+-⨯-+-⨯++-⨯cx ka b ck a x k a b c k a c ab b ac k a k∴2a 2k 2c 2－2a 2b 2－2a 2k 2c 2＋2a 2k 2cx 0－2b 2cx 0－2a 2k 2cx 0＝0，∴0220222=--cx b b a ∴ca x 20-=．故对过F 与两坐标轴都不垂直的任意弦AB ，点)0,(2c a M -都能使MF 为△AMB 的一条内角平分线， 所以，椭圆的“左特征点”存在，即为点)0,(2c a M -．方法2：先用特殊值法(可用一条特殊直线AB ，如斜率为1的直线)找出符合“左特征点”性质的一个点M (具体找的过程略，可找到点)0,(2c a M -，即为椭圆的左准线与x 轴的交点)，再验证对任意一条与两坐标轴都F＝M ，过A x 轴(2)AB ，且A ，B 在双曲线左支上，都有MF 为△AMB 的一条内角平分线，则称点M 为该双曲线的“左特征点”．点)0,(2c a M -是双曲线的左特征点．(其中22b a c +=)．第三章 空间向量与立体几何 测试十一 空间向量及其运算AⅠ 学习目标1．会进行空间向量的加法、减法、数乘运算．2．会利用空间向量基本定理处理向量共线，共面问题以及向量的分解．3．会进行空间向量数量积的运算，并会求简单的向量夹角．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1DD ++＝( )(A)11B D (B)D 1 (C)1DB(D)1BD2．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若c b a ===1,,AA AD AB ，则下列式子中与M B 1相(A)(C)3(A)(C)4b 共面，则实数(A)15(A)1 67. 8；异面直线AB 9．已知10．______. 11．如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，c b a ===1,,，E 为A 1D 1中点，用基底{a ，b ，c }表示下列向量(1)AF BE DB ,,1；(2)在图中画出DD ++1化简后的向量．12．已知向量a ＝2i ＋j ＋3k ,b ＝－i －j ＋2k ，c ＝5i ＋3j ＋4k ，求证向量a ，b ，c 共面． 13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，E 为CC 1中点，(1)求⋅1；(2)求><⋅BE AB BE AB ,cos ,11．Ⅲ 拓展性训练14．如图，点A 是△BCD 所在平面外一点，G 是△BCD 的重心，求证：)(31++=． (注：重心是三角形三条中线的交点，且CG ∶GE ＝2∶1)第三章 空间向量与立体几何1234567891011111111112．解：设c ＝m a ＋n b ，则5i ＋3j ＋4k ＝m (2i ＋j ＋3k )＋n (－i －j ＋2k ) ＝(2m －n )i ＋(m －n )j ＋(3m ＋2n )k ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-423352n m n m n m ，解得⎩⎨⎧-==12n m ，所以c ＝2a －b ，所以向量a ，b ，c 共面． 13．)()(1111CC BC BB AB BC AB +⋅+=⋅2121000=+++=． 1010||||,cos ,25||,2||1111=>=<==BE AB AB AB ． 14．证明∵+= ∴)(31)2(31AD AC AB AD AB CA AC AG ++=+++=．测试十二 空间向量及其运算B1231．a ＝(2(A)(14(C)(142(A)a ＝(C)e ＝3(A)24(A)31((C)31(5(A)2 6．已知点A (3，2，1)，向量＝(2，－1，5)，则点B 的坐标为______，｜｜＝______． 7．已知3(2，－3，1)－3x ＝(－1，2，3)，则向量x ＝______． 8．若向量a ＝(2，1，－2)，b ＝(6，－3，2)，则cos<a ，b>＝______．9．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 值是______． 10．若空间三点A (1，5，－2)，B (2，4，1)，C (p ，3，q ＋2)共线，则p ＝______，q ＝______． 三、解答题11．已知向量a ＝(1，－1，2)，b ＝(－2，1，－1)，c ＝(2，－2，1)，求(1)(a ＋c )·a ； (2)｜a －2b ＋c ｜；(3)cos 〈a ＋b ，c 〉．12．已知向量a ＝(2，－1，0)，b ＝(1，2，－1)，(1)求满足m ⊥a 且m ⊥b 的所有向量m ． (2)若302||=m ，求向量m ．13．已知向量a ＝(－2，1，－2)，b ＝(1，2，－1)，c ＝(x ，5，2)，若c 与向量a ，b 共面，求实数x 的值．14．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点。

新课程标准数学选修2—1第一章课后习题解答第一章常用逻辑用语1．1命题及其关系练习（P4）1、略.2、（1）真；（2）假；（3）真；（4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题.（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称. 这是真命题.（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题.练习（P6）1、逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题.否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除. 这是假命题.逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题.2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题.否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题.逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题.否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题. 逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题. 练习（P8）证明：若1a b -=，则22243a b a b -+--()()2()2322310a b a b a b b a b b a b =+-+---=++--=--=所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题. 习题1.1 A 组（P8）1、（1）是； （2）是； （3）不是； （4）不是.2、（1）逆命题：若两个整数a 与b 的和a b +是偶数，则,a b 都是偶数. 这是假命题.否命题：若两个整数,a b 不都是偶数，则a b +不是偶数. 这是假命题. 逆否命题：若两个整数a 与b 的和a b +不是偶数，则,a b 不都是偶数. 这是真命题.（2）逆命题：若方程20x x m +-=有实数根，则0m >. 这是假命题. 否命题：若0m ≤，则方程20x x m +-=没有实数根. 这是假命题. 逆否命题：若方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤. 这是真命题.3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等.逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题.否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不 相等. 这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上. 这是真命题.（2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题. 否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题.逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题.4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题 B 组（P8）证明：要证的命题可以改写成“若p ，则q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分.此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设,AB CD 是O 的两条互相平分的相交弦，交点是E ，若E 和圆心O 重合，则,AB CD 是经过圆心O 的弦，,AB CD 是两条直径. 若E 和圆心O 不重合，连结,,AO BO CO 和DO ，则OE 是等腰AOB ∆，COD ∆的底边上中线，所以，OE AB ⊥，OE CD ⊥. AB 和CD 都经过点E ，且与OE 垂直，这是不可能的. 所以，E 和O 必然重合. 即AB 和CD 是圆的两条直径.原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1．2充分条件与必要条件练习（P10）1、（1）⇒；（2）⇒；（3）⇒；（4）⇒.2、（1）. 3（1）.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真.练习（P12）1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p是q的充要条件；（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p是q的充要条件；（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p是q的必要条件.2、（1）p是q的必要条件；（2）p是q的充分条件；（3）p是q的充要条件；（4）p是q的充要条件.习题1.2 A组（P12）1、略.2、（1）假；（2）真；（3）真.3、（1）充分条件，或充分不必要条件；（2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件；（4）充分条件，或充分不必要条件.4、充要条件是222+=.a b r习题 B组（P13）1、（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件.2、证明：（1）充分性：如果222++=++，那么a b c ab ac bc2220a b c ab ac bc++---=.所以222-+-+-=a b a c b c()()()0所以，0b c-=.-=，0a b-=，0a c即a b c∆是等边三角形.==，所以，ABC（2）必要性：如果ABC==∆是等边三角形，那么a b c所以222-+-+-=()()()0a b a c b c所以2220++---=a b c ab ac bc所以222++=++a b c ab ac bc1．3简单的逻辑联结词练习（P18）1、（1）真；（2）假.2、（1）真；（2）假.3、（1）225x-=的根，假命题；+≠，真命题；（2）3不是方程290（31≠-，真命题.习题1.3 A组（P18）1、（1）4{2,3}∈或2{2,3}∈且2{2,3}∈，假命题；∈，真命题；（2）4{2,3}（3）2是偶数或3不是素数，真命题；（4）2是偶数且3不是素数，假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题.3、（1不是有理数，真命题；（2）5是15的约数，真命题；（3）23+=，真命题；≥，假命题；（4）8715（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.习题 B组（P18）（1）真命题. 因为p为真命题，q为真命题，所以p q∨为真命题；（2）真命题. 因为p为真命题，q为真命题，所以p q∧为真命题；（3）假命题. 因为p为假命题，q为假命题，所以p q∨为假命题；（4）假命题. 因为p为假命题，q为假命题，所以p q∧为假命题.1．4全称量词与存在量词练习（P23）1、（1）真命题； （2）假命题； （3）假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.练习（P26）1、（1）00,n Z n Q ∃∈∉； （2）存在一个素数，它不是奇数；（3）存在一个指数函数，它不是单调函数.2、（1）所有三角形都不是直角三角形； （2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）所有实数的绝对值都是正数.习题1.4 A 组（P26）1、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题； （4）假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.3、（1）32000,x N x x ∃∈≤； （2）存在一个可以被5整除的整数，末位数字不是0；（3）2,10x R x x ∀∈-+>； （4）所有四边形的对角线不互相垂直. 习题 B 组（P27）（1）假命题. 存在一条直线，它在y 轴上没有截距；（2）假命题. 存在一个二次函数，它的图象与x 轴不相交；（3）假命题. 每个三角形的内角和不小于180︒；（4）真命题. 每个四边形都有外接圆.第一章 复习参考题A 组（P30）1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题；逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题.2、略.3、（1）假； （2）假； （3）假； （4）假.4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真； （5）真.5、（1）2,0n N n ∀∈>； （2）{P P P ∀∈在圆222x y r +=上}，(OP r O =为圆心)；（3）(,){(,),x y x y x y ∃∈是整数}，243x y +=；（4）0{x x x ∃∈是无理数}，30{x q q ∈是有理数}.6、（1）32≠，真命题； （2）54≤，假命题； （3）00,0x R x ∃∈≤，真命题；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章 复习参考题B 组（P31）1、（1）p q ∧； （2）()()p q ⌝∧⌝，或()p q ⌝∨.2、（1）Rt ABC ∀∆，90C ∠=︒，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则222c a b =+；（2）ABC ∀∆，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则sin sin sin a b c A B C==.新课程标准数学选修2—1第二章课后习题解答第二章 圆锥曲线与方程2．1曲线与方程练习（P37）1、是. 容易求出等腰三角形ABC 的边BC 上的中线AO 所在直线的方程是0x =.2、3218,2525a b ==. 3、解：设点,A M 的坐标分别为(,0)t ，(,)x y .（1）当2t ≠时，直线CA 斜率 20222CA k t t-==-- 所以，122CB CA t k k -=-= 由直线的点斜式方程，得直线CB 的方程为 22(2)2t y x --=-. 令0x =，得4y t =-，即点B 的坐标为(0,4)t -.由于点M 是线段AB 的中点，由中点坐标公式得4,22t tx y -==. 由2t x =得2t x =，代入42ty -=， 得422xy -=，即20x y +-=……① （2）当2t =时，可得点,A B 的坐标分别为(2,0)，(0,2) 此时点M 的坐标为(1,1)，它仍然适合方程①由（1）（2）可知，方程①是点M 的轨迹方程，它表示一条直线. 习题2.1 A 组（P37）1、解：点(1,2)A -、(3,10)C 在方程2210x xy y -++=表示的曲线上；点(2,3)B -不在此曲线上2、解：当0c ≠时，轨迹方程为12c x +=；当0c =时，轨迹为整个坐标平面. 3、以两定点所在直线为x 轴，线段AB 垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，得点M 的轨迹方程为224x y +=.4、解法一：设圆22650x y x +-+=的圆心为C ，则点C 的坐标是(3,0). 由题意，得CM AB ⊥，则有1CM AB k k =-. 所以，13y yx x⨯=--(3,0)x x ≠≠ 化简得2230x y x +-=(3,0)x x ≠≠当3x =时，0y =，点(3,0)适合题意；当0x =时，0y =，点(0,0)不合题意.解方程组 222230650x y x x y x ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩， 得5,3x y ==所以，点M 的轨迹方程是2230x y x +-=，533x ≤≤. 解法二：注意到OCM ∆是直角三角形，利用勾股定理，得2222(3)9x y x y ++-+=， 即2230x y x +-=. 其他同解法一. 习题 B 组（P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线l 的方程为1x y ab+=. 因为直线l 经过点(3,4)P ，所以341ab+= 因此，430ab a b --=由已知点M 的坐标为(,)a b ，所以点M 的轨迹方程为430xy x y --=.2、解：如图，设动圆圆心M 的坐标为(,)x y .由于动圆截直线30x y -=和30x y +=所得弦分别为AB ，CD ，所以，8AB =，4CD =. 过点M 分别作直线30x y -=和30x y +=的垂线，垂足分别为E ，F ，则4AE =，2CF =.ME =，MF =.连接MA ，MC ，因为MA MC =， 则有，2222AE ME CF MF+=+所以，22(3)(3)1641010x y x y -++=+，化简得，10xy =. 因此，动圆圆心的轨迹方程是10xy =.2．2椭圆 练习（P42）1、14. 提示：根据椭圆的定义，1220PF PF +=，因为16PF =，所以214PF =.2、（1）22116x y +=； （2）22116y x +=； （3）2213616x y +=，或2213616y x +=.3、解：由已知，5a =，4b =，所以3c ==.（1）1AF B ∆的周长1212AF AF BF BF =+++.由椭圆的定义，得122AF AF a +=，122BF BF a +=. 所以，1AF B ∆的周长420a ==.（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长不变化.这是因为①②两式仍然成立，1AF B ∆的周长20=，这是定值. 4、解：设点M 的坐标为(,)x y ，由已知，得直线AM 的斜率 1AM yk x =+(1)x ≠-； 直线BM 的斜率 1BM yk x =-(1)x ≠； 由题意，得2AM BM k k =，所以211y yx x =⨯+-(1,0)x y ≠±≠ 化简，得3x =-(0)y ≠因此，点M 的轨迹是直线3x =-，并去掉点(3,0)-.练习（P48）1、以点2B （或1B ）为圆心，以线段2OA 为半径画圆，圆与x 轴的两个交点分别为点12,F F 就是椭圆的两个焦点.这是因为，在22Rt B OF ∆中，2OB b =，222B F OA a ==，所以，2OF c =. 同样有1OF c =. 2、（1）焦点坐标为(8,0)-，(8,0)； （2）焦点坐标为(0,2)，(0,2)-.3、（1）2213632x y +=； （2）2212516y x +=.4、（1）22194x y += （2）22110064x y +=，或22110064y x +=.5、（1）椭圆22936x y +=，椭圆2211612x y +=的离心率是12，因为132>，所以，椭圆2211612x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁；（2）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆221610x y +=的离心率是5，因为3>221610x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁.6、（1）8(3,)5； （2）(0,2)； （3）4870(,)3737--. 7、7. 习题2.2 A 组（P49）1、解：由点(,)M x y 10=以及椭圆的定义得，点M 的轨迹是以1(0,3)F -，2(0,3)F 为焦点，长轴长为10的椭圆.它的方程是2212516y x +=.2、（1）2213632x y +=； （2）221259y x +=； （3）2214940x y +=，或2214940y x +=.3、（1）不等式22x -≤≤，44y -≤≤表示的区域的公共部分； （2）不等式x -≤≤，101033y -≤≤表示的区域的公共部分. 图略.4、（1）长轴长28a =，短轴长24b =，离心率e =，焦点坐标分别是(-，，顶点坐标分别为(4,0)-，(4,0)，(0,2)-，(0,2)；（2）长轴长218a =，短轴长26b =，离心率e =，焦点坐标分别是(0,-，，顶点坐标分别为(0,9)-，(0,9)，(3,0)-，(3,0).5、（1）22185x y +=； （2）2219x y +=，或221819y x +=；（3）221259x y +=，或221259y x +=.6、解：由已知，椭圆的焦距122F F =.因为12PF F ∆的面积等于1，所以，12112P F F y ⨯⨯=，解得1P y =.代入椭圆的方程，得21154x +=，解得x =所以，点P 的坐标是(1)2±±，共有4个7、解：如图，连接QA . 由已知，得QA QP =. 所以，QO QA QO QP OP r +=+==. 又因为点A 在圆内，所以OA OP <根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为长轴长的椭圆. 8、解：设这组平行线的方程为32y x m =+.把32y x m =+代入椭圆方程22149x y +=，得22962180x mx m ++-=.这个方程根的判别式 223636(218)m m ∆=-- （1）由0∆>，得m -<<当这组直线在y 轴上的截距的取值范围是(-时，直线与椭圆相交.（2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段AB 的中点为(,)M x y . 则 1223x x mx +==-. 因为点M 在直线32y x m =+上，与3m x =-联立，消去m ，得320x y +=.这说明点M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上.9、222213.525 2.875x y +=. 10、地球到太阳的最大距离为81.528810⨯km ，最下距离为81.471210⨯km. 习题 B 组（P50）1、解：设点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，则0x x =，032y y =. 所以0x x =，023y y = ……①. 因为点00(,)P x y 在圆上，所以22004x y += ……②.将①代入②，得点M 的轨迹方程为22449x y +=，即22149x y +=所以，点M 的轨迹是一个椭圆与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为(,)P x y ，半径为R ，两已知圆的圆心分别为12,O O .分别将两已知圆的方程 22650x y x +++=，226910x y x +--= 配方，得 22(3)4x y ++=， 22(3)100x y -+=当P 与1O ：22(3)4x y ++=外切时，有12O P R =+ ……①当P 与2O ：22(3)100x y -+=内切时，有210O P R =- ……② ①②两式的两边分别相加，得1212O P O P +=12= ……③ 化简方程③.先移项，再两边分别平方，并整理，得 12x =+ ……④ 将④两边分别平方，并整理，得 22341080x y +-= ……⑤将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得 2213627x y += ……⑥由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，12= ……①由方程①可知，动圆圆心(,)P x y 到点1(3,0)O -和点2(3,0)O 距离的和是常数12，所以点P 的轨迹方程是焦点为(3,0)-、(3,0)，长轴长等于12的椭圆. 并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x 轴上，于是可求出它的标准方程.因为 26c =，212a =，所以3c =，6a =所以236927b =-=.于是，动圆圆心的轨迹方程为2213627x y +=.3、解：设d 是点M 到直线8x =的距离，根据题意，所求轨迹就是集合12MF P M d ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭由此得12= 将上式两边平方，并化简，得 223448x y +=，即2211612x y +=所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为8，. 4、解：如图，由已知，得(0,3)E - 因为,,R S T 是线段OF ,,R S T '''是线段CF 所以，(1,0),(2,0),(3,0)R S T ；933(4,),(4,),(4,)424R S T '''.直线ER 的方程是33y x =-； 直线GR '的方程是3316y x =-+. 联立这两个方程，解得 3245,1717x y ==.所以，点L 的坐标是3245(,)1717. 同样，点M 的坐标是169(,)55，点N 的坐标是9621(,)2525. 由作图可见，可以设椭圆的方程为22221x y m n+=(0,0)m n >> ……①把点,L M 的坐标代入方程①，并解方程组，得22114m =，22113n =. 所以经过点,L M 的椭圆方程为221169x y +=.把点N 的坐标代入22169x y +，得22196121()()11625925⨯+⨯=，所以，点N 在221169x y +=上.因此，点,,L M N 都在椭圆221169x y +=上.2．3双曲线 练习（P55）1、（1）221169x y -=. （2）2213y x -=.（3）解法一：因为双曲线的焦点在y 轴上所以，可设它的标准方程为22221y x a b-=(0,0)a b >>将点(2,5)-代入方程，得222541a b-=，即22224250a b a b +-=又 2236a b +=解方程组 222222425036a b a b a b ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩令22,m a n b ==，代入方程组，得425036mn m n m n +-=⎧⎨+=⎩解得 2016m n =⎧⎨=⎩，或459m n =⎧⎨=-⎩第二组不合题意，舍去，得2220,16a b ==所求双曲线的标准方程为2212016y x -=解法二：根据双曲线的定义，有2a ==.所以，a = 又6c =，所以2362016b =-=由已知，双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为2212016y x -=.2、提示：根据椭圆中222a b c -=和双曲线中222a b c +=的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标.3、由(2)(1)0m m ++>，解得2m <-，或1m >- 练习（P61）1、（1）实轴长2a =，虚轴长24b =；顶点坐标为-；焦点坐标为(6,0),(6,0)-；离心率e =（2）实轴长26a =，虚轴长218b =；顶点坐标为(3,0),(3,0)-； 焦点坐标为-；离心率e =（3）实轴长24a =，虚轴长24b =；顶点坐标为(0,2),(0,2)-； 焦点坐标为-；离心率e =（4）实轴长210a =，虚轴长214b =；顶点坐标为(0,5),(0,5)-；焦点坐标为；离心率5e =2、（1）221169x y -=； （2）2213628y x -=.3、22135x y -=4、2211818x y -=，渐近线方程为y x =±.5、（1）142(6,2),(,)33-； （2）25(,3)4习题2.3 A 组（P61）1、把方程化为标准方程，得2216416y x -=. 因为8a =，由双曲线定义可知，点P 到两焦点距离的差的绝对值等于16. 因此点P 到另一焦点的距离是17.2、（1）2212016x y -=. （2）2212575x y -=3、（1）焦点坐标为12(5,0),(5,0)F F -，离心率53e =； （2）焦点坐标为12(0,5),(0,5)F F -，离心率54e =；4、（1）2212516x y -=. （2）221916y x -=（3）解：因为ce a==，所以222c a =，因此2222222b c a a a a =-=-=.设双曲线的标准方程为 22221x y a a -=，或22221y x a a-=.将(5,3)-代入上面的两个方程，得222591a a -=，或229251a a-=. 解得 216a = （后一个方程无解）.所以，所求的双曲线方程为2211616x y -=.5、解：连接QA ，由已知，得QA QP =. 所以，QA QO QP QO OP r -=-==. 又因为点A 在圆外，所以OA OP >.根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为实轴长的双曲线.6、22188x y -=.习题 B 组（P62）1、221169x y -=2、解：由声速及,A B 两处听到爆炸声的时间差，可知,A B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以,A B 为焦点的双曲线上.使,A B 两点在x 轴上，并且原点O 与线段AB 的中点重合，建立直角坐标系xOy .设爆炸点P 的坐标为(,)x y ，则 34031020PA PB -=⨯=. 即 21020a =，510a =.又1400AB =，所以21400c =，700c =，222229900b c a =-=.因此，所求双曲线的方程为221260100229900x y -=. 3、22221x y a b-=4、解：设点11(,)A x y ，22(,)B x y 在双曲线上，且线段AB 的中点为(,)M x y .设经过点P 的直线l 的方程为1(1)y k x -=-，即1y kx k =+-把1y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=得222(2)2(1)(1)20k x k k x k ------=（220k -≠） ……① 所以，122(1)22x x k k x k +-==- 由题意，得2(1)12k k k -=-，解得 2k =.当2k =时，方程①成为22430x x -+=.根的判别式162480∆=-=-<，方程①没有实数解.所以，不能作一条直线l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点.2．4抛物线 练习（P67）1、（1）212y x =； （2）2y x =； （3）22224,4,4,4y x y x x y x y ==-==-.2、（1）焦点坐标(5,0)F ，准线方程5x =-； （2）焦点坐标1(0,)8F ，准线方程18y =-；（3）焦点坐标5(,0)8F -，准线方程58x =； （4）焦点坐标(0,2)F -，准线方程2y =；3、（1）a ，2pa -. （2），(6,- 提示：由抛物线的标准方程求出准线方程. 由抛物线的定义，点M 到准线的距离等于9，所以 39x +=，6x =，y =±练习（P72） 1、（1）2165y x =； （2）220x y =； （3）216y x =-； （4）232x y =-. 2、图形见右，x3、解：过点(2,0)M 且斜率为1的直线l 的方程 为2y x =-与抛物线的方程24y x =联立 224y x y x=-⎧⎨=⎩解得 1142x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩2242x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB ===.4、解：设直线AB 的方程为x a =(0)a >.将x a =代入抛物线方程24y x =，得24y a =，即y =± 因为 22AB y ==⨯== 所以，3a = 因此，直线AB 的方程为3x =.习题2.4 A 组（P73）1、（1）焦点坐标1(0,)2F ，准线方程12y =-； （2）焦点坐标3(0,)16F -，准线方程316y =； （3）焦点坐标1(,0)8F -，准线方程18x =； （4）焦点坐标3(,0)2F ，准线方程32x =-. 2、（1）28y x =-； （2），或(4,-3、解：由抛物线的方程22y px =(0)p >，得它的准线方程为2px =-.根据抛物线的定义，由2MF p =，可知，点M 的准线的距离为2p . 设点M 的坐标为(,)x y ，则 22p x p +=，解得32px =. 将32px =代入22y px =中，得y =. 因此，点M的坐标为3()2p，3(,)2p. 4、（1）224y x =，224y x =-； （2）212x y =-（图略）5、解：因为60xFM ∠=︒，所以线段FM所在直线的斜率tan 60k =︒= 因此，直线FM 的方程为1)y x =-与抛物线24y x =联立，得21)142y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩将1代入2得，231030x x -+=，解得，113x =，23x =把113x =，23x =分别代入①得1y =，2y = 由第5题图知1(,33-不合题意，所以点M的坐标为.因此，4FM ==6、证明：将2y x =-代入22y x =中，得2(2)2x x -=， 化简得 2640x x -+=，解得3x =± 则321y =±=±因为OB k =，OA k所以15195OB OA k k -⋅===--所以 OA OB ⊥7、这条抛物线的方程是217.5x y =8、解：建立如图所示的直角坐标系，设拱桥抛物线的方程为22x py =-， 因为拱桥离水面2 m ，水面宽4 m 所以 222(2)p =--，1p =因此，抛物线方程为22x y =- ……①水面下降1 m ，则3y =-，代入①式，得22(3)x =-⨯-，x =.这时水面宽为 m.习题 B 组（P74）1、解：设垂线段的中点坐标为(,)x y ，抛物线上相应点的坐标为11(,)x y .根据题意，1x x =，12y y =，代入2112y px =，得轨迹方程为212y px =. 由方程可知，轨迹为顶点在原点、焦点坐标为(,0)8p 的抛物线.2、解：设这个等边三角形OAB 的顶点,A B 在抛物线上，且坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则 2112y px =，2222y px =.又OA OB =，所以 22221122x y x y +=+即221212220x x px px -+-=，221212()2()0x x p x x -+-= 因此，1212()(2)0x x x x p -++= 因为120,0,20x x p >>>，所以12x x =由此可得12y y =，即线段AB 关于x 轴对称.因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=︒，所以11tan303y x =︒=. 因为2112y x p=，所以1y =，因此12AB y ==.3、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+. 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠-. 由题意，得2AM BM k k -=，所以，2(1)11y y x x x -=≠±+-，化简，得2(1)(1)x y x =--≠±第二章 复习参考题A 组（P80）1、解：如图，建立直角坐标系，使点2,,A B F 在x 轴上，2F 为椭圆的右焦点（记1F 为左焦点）.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为22221(0)x y a b+=>>.则 22a c OA OF F A -=-=63714396810=+=22a c OB OF F B +=+=637123848755=+=，解得 7782.5a =，8755c =所以 b ==用计算器算得 7722b ≈因此，卫星的轨道方程是2222177837722x y +=.2、解：由题意，得 12a c R r a c R r -=+⎧⎨+=+⎩， 解此方程组，得1221222R r r a r r c ++⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩因此卫星轨道的离心率21122cr r e aR r r -==++.3、（1）D ； （2）B .4、（1）当0α=︒时，方程表示圆.（2）当090α︒<<︒时，方程化成2211cos y x α+=. 方程表示焦点在y 轴上的椭圆.（3）当90α=︒时，21x =，即1x =±，方程表示平行于y 轴的两条直线. （4）当90180α︒<≤︒时，因为cos 0α<，所以22cos 1x y α+=表示双曲线，其焦点在x 轴上. 而当180α=︒时，方程表示等轴双曲线.5、解：将1y kx =-代入方程224x y -=得 2222140x k x kx -+--= 即 22(1)250k x kx -+-= ……①222420(1)2016k k k ∆=+-=-令 0∆<，解得k >，或k <因为0∆<，方程①无解，即直线与双曲线没有公共点，所以，k 的取值范围为k >，或k <6、提示：设抛物线方程为22y px =，则点B 的坐标为(,)2p p ，点C 的坐标为(,)2pp - 设点P 的坐标为(,)x y ，则点Q 的坐标为(,0)x .因为，PQ y ==2BC p =，OQ x =.所以，2PQ BC OQ =，即PQ 是BC 和OQ 的比例中项.7、解：设等边三角形的另外两个顶点分别是,A B ，其中点A 在x 轴上方.直线FA 的方程为 )2p y x =-与22y px =联立，消去x ，得 220y p --=解方程，得 12)y p =+，22)y p =-把12)y p =+代入)2p y x =-，得 17(2x p =+.把22)y p =代入)2p y x =-，得 27(2x p =-.所以，满足条件的点A 有两个17((2))2A p p +，27((2))2A p p -.根据图形的对称性，可得满足条件的点B 也有两个17((,2))2B p p +-，27((,2))2B p p --所以，等边三角形的边长是112)A B p =+，或者222(2A B p =. 8、解：设直线l 的方程为2y x m =+.把2y x m =+代入双曲线的方程222360x y --=，得221012360x mx m +++=.1265mx x +=-，2123610m x x += ……①由已知，得 21212(14)[()4]16x x x x ++-= ……②把①代入②，解得 m =所以，直线l 的方程为2y x =±9、解：设点A 的坐标为11(,)x y ，点B 的坐标为22(,)x y ，点M 的坐标为(,)x y .并设经过点M 的直线l 的方程为1(2)y k x -=-，即12y kx k =+-.把12y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=，得222(2)2(12)(12)20k x k k x k ------=2(20)k -≠. ……① 所以，122(12)22x x k k x k+-==-由题意，得2(12)22k k k -=-，解得4k =当4k =时，方程①成为 21456510x x -+=根的判别式25656512800∆=-⨯=>，方程①有实数解. 所以，直线l 的方程为47y x =-.10、解：设点C 的坐标为(,)x y .由已知，得 直线AC 的斜率 (5)5AC yk x x =≠-+ 直线BC 的斜率 (5)5BC yk x x =≠- 由题意，得AC BC k k m =. 所以，(5)55y y m x x x ⨯=≠±+- 化简得，221(5)2525x y x m-=≠± 当0m <时，点C 的轨迹是椭圆(1)m ≠-，或者圆(1)m =-，并除去两点(5,0),(5,0)-；当0m >时，点C 的轨迹是双曲线，并除去两点(5,0),(5,0)-；11、解：设抛物线24y x =上的点P 的坐标为(,)x y ，则24y x =.点P 到直线3y x =+的距离d ===.当2y =时，d. 此时1x =，点P 的坐标是(1,2).12顶为原点、拱高所在直线为y 轴 （向上），建立直角坐标系.设隧道顶部所在抛物线的方程 为22x py =-因为点(4,4)C -在抛物线上 所以 242(4)p =-- 解得 24p =-所以，隧道顶部所在抛物线的方程 为24x y =-.设0.5EF h =+. 则(3, 5.5)F h -把点F 的坐标代入方程24x y =-，解得 3.25h =. 答：车辆通过隧道的限制高度为3.2 m.第二章 复习参考题B 组（P81）1、12PF F S ∆=2、解：由题意，得1PF x ⊥轴.把x c =-代入椭圆方程，解得 2b y a=±. 所以，点P 的坐标是2(,)b c a -直线OP 的斜率21b k ac =-. 直线AB 的斜率2bk a=-.由题意，得2b bac a=，所以，b c =，a =.由已知及1F A a c =+，得 a c +=所以 (1c += c =所以，a =，b =因此，椭圆的方程为221105x y +=.3、解：设点A 的坐标11(,)x y ，点B 的坐标22(,)x y .由OA OB ⊥，得12120x x y y +=.由已知，得直线AB 的方程为25y x =-+. 则有 12125()250y y y y -++= ……①由25y x =-+与22y px =消去x ，得250y py p +-= ……② 12y y p +=-，125y y p =- ……③ 把③代入①，解得54p =当54p =时，方程②成为245250y y +-=，显然此方程有实数根. 所以，54p =4、解：如图，以连接12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的中点为原点，建立直角坐标系.对于抛物线，有176352922922p =+=， 所以，4584p =，29168p =.对于双曲线，有2080529c a c a +=⎧⎨-=⎩解此方程组，得775.5a =，1304.5c = 因此，2221100320b c a =-=.所以，所求双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 因为抛物线的顶点横坐标是 (1763)(1763775.5)987.5a --=--=- 所以，所求抛物线的方程是 29168(987.5)y x =+ 答：抛物线的方程为29168(987.5)y x =+，双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 5、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+ 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠-由题意，得2AM BM k k +=，所以2(1)11y y x x x +=≠±-+，化简，得21(1)xy x x =-≠±所以，点M 轨迹方程是21(1)xy x x =-≠±.6、解：（1）当1m =时，方程表示x 轴；（2）当3m =时，方程表示y 轴；（3）当1,3m m ≠≠时，把方程写成22131x y m m +=--. ①当13,2m m <<≠时，方程表示椭圆； ②2m =时，方程表示圆；③当1m <，或3m >时，方程表示双曲线.7、以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切.证明：如图，过点,A B 分别作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的 垂线，垂足分别为,D E .由抛物线的定义，得 AD AF =，BE BF =.所以，AB AF BF AD BE =+=+.设AB 的中点为M ，且过点M 作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的垂线，垂足为C .显然MC ∥x 轴，所以，MC 是直角梯形ADEB 的中位线. 于是，11()22MC AD BE AB =+=.因此，点C 在以AB 为直径的圆上.又MC l ⊥，所以，以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切. 类似地，可以证明：对于椭圆，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相离； 对于双曲线，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相交.新课程标准数学选修2—1第三章课后习题解答 第三章 空间向量与立体几何 3．1空间向量及其运算 练习（P86）1、略.2、略.3、A C AB AD AA ''=+-，BD AB AD AA ''=-+，DB AA AB AD ''=--.练习（P89）1、（1）AD ； （2）AG ； （3）MG .2、（1）1x =； （2）12x y ==； （3）12x y ==. 3练习（P92） 1、B .2、解：因为AC AB AD AA ''=++，所以22()AC AB AD AA ''=++2222222()4352(0107.5)85AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯++=所以85AC '=3、解：因为AC α⊥所以AC BD ⊥，AC AB ⊥，又知BD AB ⊥. 所以0AC BD ⋅=，0AC AB ⋅=，又知0BD AB ⋅=.2CD CD CD =⋅222222()()CA AB BD CA AB BD CA AB BDa b c =++⋅++=++=++所以CD .练习（P94）1、向量c 与a b +，a b -一定构成空间的一个基底. 否则c 与a b +，a b -共面，于是c 与a ，b 共面，这与已知矛盾. 2、共面 2、（1）解：OB OB BB OA AB BB OA OC OO a b c ''''=+=++=++=++；BA BA BB OC OO c b '''=+=-+=-CA CA AA OA OC OO a b c '''=+=-+=-+（2）1111()2222OG OC CG OC CB b a c a b c '=+=+=++=++. 练习（P97）1、（1）(2,7,4)-； （2）(10,1,16)-； （3）(18,12,30)-； （4）2.2、略.3、解：分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.则(0,0,0)D ，1(1,1,1)B ，1(1,,0)2M ，(0,1,0)C 所以，1(1,1,1)DB =，1(1,,0)2CM =-.所以，111110cos ,3DB CM DB CM DB CM-+⋅<>===⋅习题3.1 A 组（P97）1、解：如图，（1）AB BC AC +=；（2）AB AD AA AC AA AC CC AC ''''++=+=+=；（3）设点M 是线段CC '的中点，则12AB AD CC AC CM AM '++=+=； （4）设点G 是线段AC '的三等分点，则11()33AB AD AA AC AG ''++==. 向量,,,AC AC AM AG '如图所示. 2、A .3、解：22()AC AB AD AA ''=++2222222()15372(53573722298AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+所以，13.3AC '≈.4、（1）21cos602AB AC AB AC a ⋅=⋅︒=； （2）21cos1202AD DB AD DB a ⋅=⋅︒=-； （3）21cos1802GF AC GF AC a ⋅=⋅︒=- 11()22GF AC a ==； （4）21cos604EF BC EF BC a ⋅=⋅︒= 11()22EF BD a ==； （5）21cos1204FG BA FG BA a ⋅=⋅︒=- 11()22FG AC a ==； （6）11()22GE GF GC CB BA CA ⋅=++⋅2111()222111424111cos120cos60cos6042414DC CB BA CA DC CA CB CA BA CA DC CA CB CA BA CA a =++⋅=⋅+⋅+⋅=⋅︒+⋅︒+⋅︒=5、（1）60︒； （2）略.6、向量a 的横坐标不为0，其余均为0；向量b 的纵坐标不为0，其余均为0；向量c 的竖坐标不为0，其余均为0.7、（1）9； （2）(14,3,3)-.8、解：因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即8230x --+=，解得103x =. 9、解：(5,1,10)AB =--，(5,1,10)BA =-设AB 的中点为M ，119()(,,2)222OM OA OB =+=-，所以，点M 的坐标为19(,,2)22-，(AB =-=10、解：以1,,DA DC DD 分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则1,,,C M D N 的坐标分别为：(0,1,0)C ，1(1,0,)2M ，1(0,0,1)D ，1(1,1,)2N . 1(1,1,)2CM =-，11(1,1,)2D N =-所以2312CM ==，21312D N ==111114cos ,994CM D N --<>==- 由于异面直线CM 和1D N 所成的角的范围是[0,]2π因此，CM 和1D N 所成的角的余弦值为19.11、31(,,3)22- 习题 B 组（P99）1、证明：由已知可知，OA BC ⊥，OB AC ⊥∴ 0OA BC ⋅=，0OB AC ⋅=，所以()0OA OC OB ⋅-=，()0OB OC OA ⋅-=. ∴ OA OC OA OB ⋅=⋅，OB OC OB OA ⋅=⋅.∴ 0OA OC OB OC ⋅-⋅=，()0OA OB OC -⋅=，0BA OC ⋅=. ∴ OC AB ⊥.2、证明：∵ 点,,,E F G H 分别是,,,OA OB BC CA 的中点.∴ 12EF AB =，12HG AB =，所以EF HG = ∴四边形EFGH 是平行四边形.1122EF EH AB OC ⋅=⋅11()()44OB OA OC OB OC OA OC =-⋅=⋅-⋅ ∵ OA OB =，CA CB =（已知），OC OC =.∴ BOC ∆≌AOC ∆（SSS ） ∴ BOC AOC ∠=∠ ∴ OB OC OA OC ⋅=⋅ ∴ 0EF EH ⋅= ∴ EF EH ⊥∴ 平行四边形□EFGH 是矩形.3、已知：如图，直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，,O B 为垂足. 求证：OA ∥BD证明：以点O 为原点，以射线OA 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，,,i j k 分别为沿x 轴、y 轴、z 轴的坐标向量，且设(,,)BD x y z =.∵ BD α⊥.∴ BD i ⊥，BD j ⊥.∴ (,,)(1,0,0)0BD i x y z x ⋅=⋅==，(,,)(0,1,0)0BD j x y z y ⋅=⋅==. ∴ (0,0,)BD z =. ∴ BD zk =.∴ BD ∥k ，又知,O B 为两个不同的点. ∴ BD ∥OA .3．2立体几何中的向量方法 练习（P104）1、（1）3b a =，1l ∥2l ； （2）0a b ⋅=，1l ⊥2l ； （3）3b a =-，1l ∥2l .2、（1）0u v ⋅=，αβ⊥； （2）2v u =-，α∥β；（3）2247u v u v⋅=-α与β.练习（P107）1、证明：设正方形的棱长为1.11D F DF DD =-，AE BE BA =-.因为11()000D F AD DF DD AD ⋅=-⋅=-=，所以1D F AD ⊥.因为1111()()00022D F AE DF DD BE BA ⋅=-⋅-=+-+=，所以1D F AE ⊥. 因此1D F ⊥平面ADE .2、解：22()CD CD CA AB BD ==++222222361664268cos(18060)68CA AB BD CA AB CA BD AB BD=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯⨯︒-︒=∴CD =练习（P111）1、证明：1()()2MN AB MB BC CN AB MB BC CD AB ⋅=++⋅=++⋅222211()22111cos120cos60cos600222MB BC AD AC AB a a a a =++-⋅=+︒+︒-︒=∴ MN AB ⊥. 同理可证MN CD ⊥.2、解：222222()2cos l EF EA A A AF m d n mn θ''==++=+++（或2cos()mn πθ-）22222cos d l m n mn θ=--，所以AA d '==.3、证明：以点D 为原点，,,DA DC DD '的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,1,0)B ，(0,1,1)C '，11(,1,)22O . ∵ 11(,1,)(1,0,1)022DO BC '⋅=---⋅-= ∴DO BC '⊥ 习题3.2 A 组（P111） 1、解：设正方形的棱长为1（1）1()()2MN CD MB B N CC C D ''''''⋅=+⋅+=，21MN CD '⋅== 112cos 12θ==，60θ=︒.（2）1()2MN AD MB B N AD ''⋅=+⋅=，21MN AD ⋅==1cos 22θ==，45θ=︒.2、证明：设正方体的棱长为1因为11()000DB AC DB BB AC ⋅=+⋅=+=，所以1DB AC ⊥.因为111111()000DB AD DA AB AD ⋅=+⋅=+=，所以11DB AD ⊥. 因此，1DB ⊥平面1ACD .3、证明：∵()cos cos 0OA BC OC OB OA OC OA OB OA θθ⋅=-⋅=-=，∴OA BC ⊥.4、证明：（1）因为11()000AC LE A A AC LE ⋅=+⋅=+=，所以1AC LE ⊥. 因为11()000AC EF A B BC EF ⋅=+⋅=+=，所以1AC EF ⊥. 因此，1AC ⊥平面EFGHLK . （2）设正方体的棱长为1因为1111()()1AC DB A A AC DB DB ⋅=+⋅+=-，211(3)3ACDB ⋅== 所以 1cos 3θ=-.因此1DB 与平面EFGHLK 的所成角α的余弦cos 3α=. 5、解：（1）222211111()()22222DE DE DE DE DA AB AC AB OA AC AB ==⋅=++-=++11(111111)42=++-+-=所以，2DE =（2）11111()()22222AE AO AC AB AO ⋅=+⋅=+=，32AE AO ⋅=1cos2θ===sin 3θ=点O 到平面ABC的距离sin 1OH OA θ=== 6、解：（1）设1AB =，作AO BC ⊥于点O ，连接DO .以点O 为原点，,,OD OC OA 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O ，D ，1(0,,0)2B ，3(0,,0)2C ，A .∴3((4DO DA ⋅=-⋅=，18DODA ⋅=，cos 2θ=. ∴ AD 与平面BCD所成角等于45︒.（2）(0,1,0)(0BC DA ⋅=⋅=. 所以，AD 与BC 所成角等于90︒.（3）设平面ABD 的法向量为(,,1)x y ，。

（北师大版）高中数学选修2-1（全册）课时同步练习汇总[基础达标]1.命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题为()A．若a＞b，则2a≤2b B．若a≤b，则2a≤2bC．若a≤b，则2a＞2b D．若a＞b，则2a＜2b解析：选B.把条件和结论分别加以否定．2.“若x＞1，则p”为真命题，那么p不能是()A．x＞－1 B．x＞0C．x＞1 D．x＞2解析：选D.x＞1⇒/ x＞2，故选D.3.给出下列命题：①a＞|b|⇒a2＞b2；②a＞b⇒a3＞b3；③|a|＞b⇒a2＞b2.其中正确的个数是()A．0 B．2C．1 D．3解析：选B.由不等式的性质可知①②正确．当|a|≤|b|时，③不正确．4.已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，下列命题中的假命题是()A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交D．若α，β相交，则a，b相交解析：选D.举反例如图，已知α，β为两个不同的平面，且α∩β＝c，a⊥α于点A，b⊥β于点B，a与b异面．故“若α，β相交，则a，b相交”是假命题．5.命题“如果a，b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是()A．如果ab是奇数，则a，b都是奇数B．如果ab不是奇数，则a，b不都是奇数C．如果a，b都是奇数，则ab不是奇数D．如果a，b不都是奇数，则ab不是奇数解析：选B.先写原命题的否命题为“如果a，b不都是奇数，则ab不是奇数，”再把否命题的条件和结论交换，得“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”．6.下列语句中是命题的有________，其中是真命题的有________(写序号)．①北京是中国的首都；②x＝2是方程x2－4x＋4＝0的根；③3n不是个大数；④sin x＞－x2；⑤0是自然数吗？⑥我希望明年考上北京大学．解析：①是命题，且是真命题．②是命题，且是真命题．③不是命题，因为无法判断其真假．④不是命题，因为随着x取值的不同，式子有的成立，有的不成立，即无法判断其真假．⑤不是命题，因为它是疑问句．⑥不是命题，因为它是祈使句．答案：①②①②7.命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题为________．解析：先写出逆命题，再把逆命题条件和结论交换即可．答案：已知a、x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅8.有下列四个命题：①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的是________(填上正确命题的序号)．解析：④中由A∩B＝B，应该得出B⊆A，原命题为假命题，所以逆否命题为假命题．答案：①②③9.判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假．(1)若a＞b，则ac2＞bc2；(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac＜0，则该二次函数图像与x轴有公共点．解：(1)该命题为假．因为当c＝0时，ac2＝bc2.逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b，为真．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2，为真．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b，为假．(2)该命题为假．∵当b2－4ac＜0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴无公共点．逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有公共点，则b2－4ac＜0，为假．否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，则该二次函数图像与x轴没有公共点，为假．逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0，为假．10.(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．解：(1)证明：如图，设c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，作PO⊥π，垂足为O ，则O ∈c ，∵PO ⊥π，a π，∴PO ⊥a ，又a ⊥b ，b 平面P AO ，PO ∩b ＝P ，∴a ⊥平面P AO ，又c平面P AO ，∴a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是平面π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在平面π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．[能力提升]1.下列命题正确的个数为( )①已知－1≤x ＋y ≤1，1≤x －y ≤3，则3x －y 的范围是[1，7]；②若不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|m |≤2的所有m 都成立，则x 的范围是(7－12，3＋12)； ③如果正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是[8，＋∞)； ④a ＝log 132，b ＝log 123，c ＝(13)0.5的大小关系是a ＞b ＞c .A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.对①，令3x －y ＝λ(x ＋y )＋μ(x －y )＝(λ＋μ)x ＋(λ－μ)y ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝3λ－μ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，μ＝2. ∴(3x －y )min ＝1×(－1)＋2×1＝1， (3x －y )max ＝1×1＋2×3＝7， ∴3x －y ∈[1，7]，①正确；对②，令f (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，由题意f (m )＜0在[－2，2]上恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧－2（x 2－1）－2x ＋1＜02（x 2－1）－2x ＋1＜0， 解得7－12＜x ＜3＋12，②正确； 对③，∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，由ab ＝a ＋b ＋3，得ab ≥2ab ＋3. 即(ab )2－2ab －3≥0，解得ab ≥3或ab ≤－1(舍)，∴ab ≥9，③不正确； 对④，∵a ＜0，b ＜0，c ＞0，∴④不正确．2.设p ：平面向量a ，b ，c 互不共线，q 表示下列不同的结论： ①|a ＋b |＜|a |＋|b |.②a·b ＝|a |·|b |.③(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直．④(a·b )c ＝a (b·c )．其中，使命题“若p ，则q ”为真命题的所有序号是________． 解析：由于p ：平面向量a ，b ，c 互不共线， 则必有|a ＋b |＜|a |＋|b |，①正确； 由于a·b ＝|a ||b |cos θ＜|a ||b |，②不正确；由于[(a·b )c －(a·c )b ]·a ＝(a·b )(c·a )－(a·c )(b·a )＝0，所以(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直，③正确； 由于平面向量的数量积不满足结合律，且a ，b ，c 互不共线，故(a·b )c ≠a (b·c )，④不正确．综上可知真命题的序号是①③. 答案：①③3.求证：若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.证明：该命题的逆否命题为：若p ＋q ＞2，则p 2＋q 2≠2. p 2＋q 2＝12[(p ＋q )2＋(p －q )2]≥12(p ＋q )2.∵p ＋q ＞2，∴(p ＋q )2＞4，∴p 2＋q 2＞2. 即p ＋q ＞2时，p 2＋q 2≠2成立． ∴若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2. 4．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：1－x ＋x 24＜1，若命题p 是真命题，命题q是假命题，求实数x 的取值范围．解：由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 由1－x ＋x 24＜1，得x 2－4x ＜0，解得0＜x ＜4.因为命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，解得x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．[A.基础达标]1．“若x＞1，则p”为真命题，那么p不能是()A．x＞－1B．x＞0C．x＞1 D．x＞2解析：选D. x＞1⇒/ x＞2，故选D.2．命题“若x>a2＋b2，则x>2ab”的逆命题是()A．“若x<a2＋b2，则x<2ab”B．“若x>a2＋b2，则x≥2ab”C．“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”D．“若x>2ab，则x>a2＋b2”解析：选 D.把命题“若x>a2＋b2，则x>2ab”的条件和结论互换得其逆命题为“若x>2ab，则x>a2＋b2”．3．如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题是()A．真命题B．假命题C．与所给的命题有关D．无法判断解析：选A.因为一个命题的逆命题、否命题是互为逆否命题，它们的真假性相同．由于逆命题是真命题，所以否命题也是真命题．4．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.因为“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，所以在M中存在不属于集合P的元素，故②③④正确，①不正确，故选C.5．若命题p的等价命题是q，q的逆命题是r，则p与r是()A．互逆命题B．互否命题C．互逆否命题D．不确定解析：选B.因为p与q互为逆否命题，又因为q的逆命题是r，则p与r为互否命题．6．命题“对顶角相等”的等价命题是________________．解析：因为原命题和逆否命题是等价命题，所以该原命题的等价命题为“若两个角不相等，则这两个角不是对顶角”．答案：若两个角不相等，则这两个角不是对顶角7．命题“若x∈R，则x2＋(a－1)x＋1≥0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围为________．解析：由题意得：Δ≤0，即：(a－1)2－4×1×1≤0，解得：a∈[－1，3]．答案：[－1，3]8．命题“若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形”的否命题的真假性为________．解析：该命题的否命题为“若∠C≠90°，则△ABC不是直角三角形”．因为∠A、∠B 可能等于90°，所以该命题的否命题为假命题．答案：假9．已知命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”．写出命题的逆否命题并判断其真假．解：逆否命题为“若x2＋x－a＝0无实根，则a<0”．因为a≥0，所以4a≥0，所以方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1>0，所以方程x2＋x－a＝0有实根．故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真命题．又因原命题与其逆否命题等价，所以“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．10．(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在平面π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．解：(1)证明：如图，设c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，作PO⊥π，垂足为O，则O∈c，因为PO⊥π，aπ，所以PO⊥a，又a⊥b，b平面P AO，PO∩b＝P，所以a⊥平面P AO，又c平面P AO，所以a⊥c.(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在平面π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．[B.能力提升]1．有下列四个命题：①“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“矩形的对角线相等”的逆命题．其中真命题为( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．③④解析：选B.对于①：原命题为真命题，故逆否命题也为真命题．对于②：该命题的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，显然为假命题．对于③：该命题的逆否命题为“若x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q >1”，即Δ＝4－4q <0⇒q >1，故③为真命题．对于④：该命题的逆命题为“对角线相等的四边形为矩形”．反例：等腰梯形，故为假命题．2．原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：选A.a n ＋a n ＋12＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A.3．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：1－x ＋x 24＜1，若命题p 是真命题，命题q是假命题，则实数x 的取值范围是________．解析：由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.由1－x ＋x 24＜1，得x 2－4x ＜0，解得0＜x ＜4.因为命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，解得x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，－1]∪[4，＋∞)4．设p ：平面向量a ，b ，c 互不共线，q 表示下列不同的结论： ①|a ＋b |＜|a |＋|b |.②a·b ＝|a |·|b |. ③(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直．④(a·b )c ＝a (b·c )．其中，使命题“若p ，则q ”为真命题的所有序号是________． 解析：由于p ：平面向量a ，b ，c 互不共线， 则必有|a ＋b |＜|a |＋|b |，①正确； 由于a·b ＝|a ||b |cos θ＜|a ||b |，②不正确； 由于[(a·b )c －(a·c )b ]·a ＝(a·b )(c·a )－(a·c )(b·a )＝0，所以(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直，③正确； 由于平面向量的数量积不满足结合律，且a ，b ，c 互不共线，故(a·b )c ≠a (b·c )，④不正确．综上可知真命题的序号是①③. 答案：①③5．求证：若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.证明：该命题的逆否命题为：若p ＋q ＞2，则p 2＋q 2≠2.p 2＋q 2＝12[(p ＋q )2＋(p －q )2]≥12(p ＋q )2.因为p ＋q ＞2，所以(p ＋q )2＞4，所以p 2＋q 2＞2. 即p ＋q ＞2时，p 2＋q 2≠2成立． 所以若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.6．(选做题)在公比为q 的等比数列{a n }中，前n 项的和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断公比q 为何值时，逆命题为真？公比q 为何值时，逆命题为假？解：(1)逆命题：在公比为q 的等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．(2)因为{a n }为等比数列，所以a n ≠0，q ≠0. 由a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列． 得2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，所以2a m ·q 2＝a m ＋a m ·q ， 所以2q 2－q －1＝0.解得q ＝－12或q ＝1.当q ＝1时，a n ＝a 1(n ＝1，2，…)，所以S m ＋2＝(m ＋2)a 1，S m ＝ma 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1， 因为2(m ＋2)a 1≠ma 1＋(m ＋1)a 1， 即2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，所以S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列． 即q ＝1时，原命题的逆命题为假命题．当q ＝－12时，2S m ＋2＝2·a 1（1－q m ＋2）1－q ，S m ＋1＝a 1（1－q m ＋1）1－q ，S m ＝a 1（1－q m ）1－q，所以2S m ＋2＝S m ＋1＋S m ，所以S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．即q ＝－12时，原命题的逆命题为真命题．[A.基础达标]1．使不等式1a ＞1b成立的充分条件是( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜0D ．a ＞0，b ＜0解析：选D.a ＞0，b ＜0⇒1a ＞1b ，其他条件均推不出1a ＞1b，故选D.2．使不等式a 2＞b 2成立的必要条件是( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．|a |＞|b |D ．ab ＞0解析：选C.因为a 2＞b 2⇒|a |＞|b |，而推不出A 、B 、D ，故选C. 3．下列说法不正确的是( ) A ．a ∥b 是a ＝b 的必要条件 B ．a ∥b 不是a ＝b 的充分条件 C ．θ＞0是sin θ＞0的充分条件 D ．θ＞0不是sin θ＞0的必要条件解析：选C.由于θ＞0⇒/ sin θ＞0，例如θ＝π，sin θ＝0，所以C 的说法不正确，其余均正确．4.若“x ＞1”是“x ＞a ”的充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＞1 B ．a ≥1 C ．a ＜1 D ．a ≤1解析：选D.由题意，需x ＞1⇒x ＞a ，所以a ≤1，选D.5．如果不等式|x －a |＜1成立的充分条件但不是必要条件是12＜x ＜32，则实数a 的取值范围是( )A.12＜a ＜32B.12≤a ≤32C ．a ＞32或a ＜12D ．a ≥32或a ≤12解析：选B.|x －a |＜1⇔a －1＜x ＜a ＋1，由题意可得⎩⎨⎧a －1≤12，a ＋1≥32，即a ∈⎣⎡⎦⎤12，32. 6.a 为素数________a 为奇数的充分条件(填是或不是)．解析：由于a ＝2时不成立，所以a 为素数不是a 为奇数的充分条件． 答案：不是7.若“x 2＋ax ＋2＝0”是“x ＝1”的必要条件，则a ＝________． 解析：由题意x ＝1是方程的根，所以12＋a ＋2＝0，所以a ＝－3. 答案：－38.命题“已知n ∈Z ，若a ＝4n ，则a 是偶数”中，“a 是偶数”是“a ＝4n ”的________条件，“a ＝4n ”是“a 是偶数”的________条件(用“充分”、“必要”填空)．解析：命题“已知n ∈Z ，若a ＝4n ，则a 是偶数”是真命题，所以“a 是偶数”是“a ＝4n ”的必要条件，“a ＝4n ”是“a 是偶数”的充分条件．答案：必要 充分9．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝(x －34)2＋716，因为x ∈[34，2]，所以716≤y ≤2.所以A ＝{y |716≤y ≤2}．由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， 所以B ＝{x |x ≥1－m 2}，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是(－∞，－34]∪[34，＋∞)．10．分别判断下列“若p ，则q ”的命题中，p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)若α≠β，则sin α≠sin β；(2)若m ＞2，则方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根． 解：(1)由于α＝β ⇒sin α＝sin β， sin α＝sin β α＝β，由逆否命题的真假性相同，得 sin α≠sin β ⇒α≠β， α≠β sin α≠sin β，所以α≠β不是sin α≠sin β的充分条件，α≠β是sin α≠sin β的必要条件． (2)由方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，得 Δ＝m 2－4≥0⇔m ≤－2或m ≥2.由于m ＞2⇒Δ＞0⇒方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，而反推不成立，所以m ＞2是方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根的充分条件，m ＞2不是方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根的必要条件．[B.能力提升]1．已知等比数列{a n }的公比为q ，则下列不是{a n }为递增数列的充分条件的是( ) ①a 1＜a 2；②a 1＞0，q ＞1；③a 1＞0，0＜q ＜1；④a 1＜0，0＜q ＜1. A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①③④解析：选B.由等比数列－1，1，－1，…知①不是等比数列{a n }递增的充分条件，排除C ；显然②是等比数列{a n }递增的充分条件，排除A ；当a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列{a n }递增，排除D.故选B.2．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2，3)∈A ∩(∁U B )的既是充分条件，又是必要条件的是( )A ．m ＞－1，n ＜5B ．m ＜－1，n ＜5C ．m ＞－1，n ＞5D ．m ＜－1，n ＞5解析：选A.由P (2，3)∈A 得2×2－3＋m ＞0，即m ＞－1；由P (2，3)∈∁U B 得2＋3－n ＞0，即n ＜5.3．函数f (x )＝a －42x ＋1为奇函数的必要条件是________．解析：因为x ∈R ，f (x )为奇函数． 所以f (0)＝0，即a －2＝0，所以a ＝2. 答案：a ＝24．如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________条件．(填“充分”、“必要”)解析：因为该命题的否命题为真命题，所以B ⇒A .又因为原命题和逆否命题有相同的真假性，因为它的逆否命题是假命题，所以原命题也为假命题，故A ⇒/ B ，即A 是B 的必要条件．答案：必要5．已知集合P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，集合S ＝{x ||x －1|≤m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充分条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)由题意，x ∈P 是x ∈S 的充分条件，则P ⊆S . 由x 2－8x －20≤0，解得－2≤x ≤10， 所以P ＝[－2，10]．由|x －1|≤m 得1－m ≤x ≤1＋m ，所以S ＝[1－m ，1＋m ]．要使P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3，m ≥9.所以m ≥9，所以实数m 的取值范围是{m |m ≥9}．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P . 由|x －1|≤m ，可得1－m ≤x ≤m ＋1，要使S ⊆P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以m ≤3.所以实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．6．(选做题)设函数f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝x 2－x . (1)解不等式|f (x )－g (x )|≥2 015；(2)若|f (x )－a |＜2恒成立的充分条件是1≤x ≤2，求实数a 的取值范围．解：(1)由|f (x )－g (x )|≥2 015得|－x ＋3|≥2 015，即|x －3|≥2 015，所以x －3≥2 015或x －3≤－2 015，解得x ≥2 018或x ≤－2 012.故不等式的解集为{x |x ≤－2 012或x ≥2 018}．(2)依题意知：当1≤x ≤2时，|f (x )－a |＜2恒成立，所以当1≤x ≤2时，－2＜f (x )－a ＜2恒成立，即f (x )－2＜a ＜f (x )＋2恒成立．由于当1≤x ≤2时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2的最大值为3，最小值为2，因此3－2＜a ＜2＋2，即1＜a ＜4，所以实数a 的取值范围是(1，4)．[基础达标]1.使不等式1a ＞1b 成立的充分条件是( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜0D ．a ＞0，b ＜0解析：选D.a ＞0，b ＜0⇒1a ＞1b ，其它条件均推不出1a ＞1b ，故选D.2.使不等式a 2＞b 2成立的必要条件是( ) A ．a ＜b B ．a ＞b C ．|a |＞|b |D ．ab ＞0解析：选C.∵a 2＞b 2⇒|a |＞|b |，而推不出A 、B 、D ，故选C.3.下列说法不正确的是( ) A ．a ∥b 是a ＝b 的必要条件 B ．a ∥b 是a ＝b 的不充分条件 C ．θ＞0是sin θ＞0的充分条件 D ．θ＞0是sin θ＞0的不必要条件解析：选C.由于θ＞0/⇒ sin θ＞0，例如θ＝π，sin θ＝0，∴C 中命题不正确，其余均正确．4.若“x ＞1”是“x ＞a ”的充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．a ≥1C ．a ＜1D ．a ≤1解析：选D.由题意，需x ＞1⇒x ＞a ，∴a ≤1，选D. 5.对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是( ) A ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的必要条件 B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件 C ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的充分条件 D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件 解析：选B.6.a 为素数解析：由于a ＝2时不成立，∴a 为素数不是a 为奇数的充分条件． 答案：不是7.若“x 2＋ax ＋2＝0”是“x ＝1”的必要条件，则a ＝________． 解析：由题意x ＝1是方程的根，∴12＋a ＋2＝0，∴a ＝－3. 答案：－38.命题“已知n ∈Z ，若a ＝4n ，则a 是偶数”中，“a 是偶数”是“a ＝4n ”的________条件，“a ＝4n ”是“a 是偶数”的________条件(用充分、必要填空)．解析：命题“已知n ∈Z ，若a ＝4n ，则a 是偶数”是真命题，所以“a 是偶数”是“a ＝4n ”的必要条件，“a ＝4n ”是“a 是偶数”的充分条件．答案：必要 充分9.(1)是否存在实数m ，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件？ (2)是否存在实数m ，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的必要条件？解：(1)欲使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件，则只要{x |x ＜－m2}⊆{x |x ＜－1或x＞3}，则只要－m2≤－1，即m ≥2.故存在实数m ≥2，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件．(2)欲使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的必要条件，则只要{x |x ＜－m2}⊇{x |x ＜－1或x ＞3}，这是不可能的，故不存在实数m ，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的必要条件．10.分别判断下列“若p ，则q ”的命题中，p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)若α≠β，则sin α≠sin β.(2)若m ＞2，则方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根． 解：(1)由于α＝β ⇒sin α＝sin β， sin α＝sin β/⇒ α＝β，由逆否命题的真假性相同，得 sin α≠sin β ⇒α≠β，α≠β/⇒ sin α≠sin β，所以α≠β是sin α≠sin β的不充分条件，α≠β是sin α≠sin β的必要条件． (2)由方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，得Δ＝m 2－4≥0⇔m ≤－2或m ≥2.由于m ＞2⇒Δ＞0⇒方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，而反推不成立，所以m ＞2是方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根的充分条件，m ＞2是方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根的不必要条件．[能力提升]1.已知等比数列{a n }的公比为q ，则下列不是{a n }为递增数列的充分条件的是( ) ①a 1＜a 2；②a 1＞0，q ＞1；③a 1＞0，0＜q ＜1；④a 1＜0，0＜q ＜1. A ．①② B ．①③ C ．③④D ．①③④解析：选B.由等比数列－1，1，－1，…知①不是等比数列{a n }递增的充分条件，排除C ；显然②是等比数列{a n }递增的充分条件，排除A ；当a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列{a n }递增，排除D.故选B.2.函数f (x )＝a －42x ＋1为奇函数的必要条件是________． 解析：∵x ∈R ，f (x )为奇函数． ∴f (0)＝0，即a －2＝0，∴a ＝2. 答案：a ＝23.已知集合P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，集合S ＝{x ||x －1|≤m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充分条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)由题意，x ∈P 是x ∈S 的充分条件，则P ⊆S . 由x 2－8x －20≤0，解得－2≤x ≤10， ∴P ＝[－2，10]．由|x －1|≤m 得1－m ≤x ≤1＋m ， ∴S ＝[1－m ，1＋m ]．要使P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3，m ≥9.∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是{m |m ≥9}．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P . 由|x －1|≤m ，可得1－m ≤x ≤m ＋1，要使S ⊆P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴m ≤3.∴实数m 的取值范围是{m |m ≤3}． 4．设函数f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝x 2－x . (1)解不等式|f (x )－g (x )|≥2 014；(2)若|f (x )－a |＜2恒成立的充分条件是1≤x ≤2，求实数a 的取值范围．解：(1)由|f (x )－g (x )|≥2 014得|－x ＋3|≥2 014，即|x －3|≥2 014，所以x －3≥2 014或x －3≤－2 014，解得x ≥2 017或x ≤－2 011.(2)依题意知：当1≤x ≤2时，|f (x )－a |＜2恒成立，所以当1≤x ≤2时，－2＜f (x )－a ＜2恒成立，即f (x )－2＜a ＜f (x )＋2恒成立．由于当1≤x ≤2时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2的最大值为3，最小值为2，因此3－2＜a ＜2＋2，即1＜a ＜4，所以实数a 的取值范围是(1，4)．[基础达标]1.设x ∈R ，则x ＞e 的一个必要不充分条件是( ) A ．x ＞1 B ．x ＜1 C ．x ＞3D ．x ＜3解析：选A.∵x ＞1⇒/ x ＞e ，而x ＞e ⇒x ＞1. 2.设α，β分别为两个不同的平面，直线l α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.根据两个平面垂直的判定定理知“l ⊥β”是“α⊥β”的充分条件，但由两个平面垂直的性质知α⊥β时，平面α内只有和它们的交线垂直的直线才能垂直于平面β，故本题中由“α⊥β”不能得到“l ⊥β”，因此选A.3.设a ，b 都是非零向量，则“a·b ＝±|a||b|”，是“a ，b 共线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.设〈a ，b 〉＝θ，a·b ＝|a||b|cos θ，当|a||b|·cos θ＝±|a||b|时，cos θ＝±1，θ＝0或π，则a 与b 共线，若a 、b 共线，则〈a ，b 〉＝0或π，则a·b ＝±|a||b|.4.若a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分且必要条件D ．既非充分也非必要条件解析：选D.a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝(a ＋b )(a －b )2，a ＞b /⇔ a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2，故选D. 5.设{a n }是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.设公比为q ，由a 1＜a 2＜a 3得a 1＜a 1q ＜a 1q 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0q ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜00＜q ＜1，∴充分性成立； 当{a n }递增时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0q ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜00＜q ＜1，∴a 1＜a 2＜a 3，必要性成立． 6.在△ABC 中，“sin A ＝sin B ”是“a ＝b ”的________条件．解析：在△ABC 中，由正弦定理及sin A ＝sin B 可得2R sin A ＝2R sin B ，即a ＝b ；反之也成立．答案：充要7.设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的________条件．解析：由题意知：A ⇒B ⇒C ⇔D ，∴A ⇒D . 答案：必要不充分8.已知条件p ：|x －1|＞a 和条件q ：2x 2－3x ＋1＞0，则使p 是q 的充分不必要条件的最小整数a ＝________．解析：由题意知a ＞0，设A ＝{x ||x －1|＞a }＝{x |x ＜1－a 或x ＞1＋a }，B ＝{x |2x 2－3x ＋1＞0}＝{x |x ＜12或x ＞1}，由题意，AB ，∴由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤121＋a ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜121＋a ≥1.∴a ≥12，故a 的最小整数为1.答案：19.已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：(1)s是q的什么条件？(2)r是q的什么条件？(3)p是q的什么条件？解：如图所示，可知：(1)因为q⇒s，s⇒r⇒q，所以s是q的充要条件．(2)因为r⇒q，q⇒s⇒r，所以r是q的充要条件．(3)因为q⇒s⇒r⇒p，而p⇒/ q，所以p是q的必要不充分条件．10.求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.证明：(1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，由根与系数的关系知，x1·x2＝1＞0，所以x1，x2同号．又x1＋x2＝－m≤－2＜0，所以x1，x2同为负数．即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2.(2)必要性：因为x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根，设其为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4≥0，x 1＋x 2＝－m ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2或m ≤－2，m ＞0，所以m ≥2，即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件是m ≥2. 综上可知，m ≥2是x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件．[能力提升]1.对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.若{a n }单调递增，不一定能够说明a n ＋1＞|a n |一定成立，如a n ：{－n ，－(n －1)，…，－2，－1}显然不满足a n ＋1＞|a n |一定成立，但是该数列递增；如果a n ＋1＞|a n |＞0，那么无论a n 的值取正还是取负，一定能够得到{a n }单调递增，所以a n ＋1＞|a n |是{a n }为递增数列的充分不必要条件，选B.2.设a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＞0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2＞0的解集分别为M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的________条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＞0，则M ＝N ；如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＜0，则M ≠N ，∴a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2/⇒ M＝N .反之，若M ＝N ＝∅，即说明二次不等式的解集为空集、与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．因此，M ＝N /⇒a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2. 答案：既不充分也不必要3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝aq n ＋b (a ≠0，q 是不等于0和1的常数)，求证数列{a n }为等比数列的充要条件是a ＋b ＝0.证明：(1)必要性． ∵数列{a n }为等比数列，∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 11－q －a 11－q q n .∵S n ＝aq n ＋b ，∴a ＝－a 11－q ，b ＝a 11－q .∴a ＋b ＝0. (2)充分性．∵a ＋b ＝0，∴S n ＝aq n ＋b ＝aq n －a .∵a n＝S n－S n－1＝(aq n－a)－(aq n－1－a)＝a(q－1)q n－1(n＞1)，∴a n＋1a n＝a（q－1）q na（q－1）q n－1＝q(n＞1)．又∵a1＝aq－a，a2＝aq2－aq，∴a2a1＝aq2－aqaq－a＝q.故数列{a n}是公比为q的等比数列．综上所述，数列{a n}为等比数列的充要条件是a＋b＝0.4．已知命题p：|x－1|＜a(a＞0)，命题q：x2＋21＞10x，且p是q的既不充分也不必要条件，求a的取值范围．解：由|x－1|＜a(a＞0)，解得1－a＜x＜1＋a.∴命题p对应的集合为A＝{x|1－a＜x＜1＋a，a＞0}．由x2＋21＞10x，解得x＜3或x＞7.∴命题q对应的集合为B＝{x|x＜3或x＞7}．显然集合B A，即q/⇒p，所以p不是q的必要条件．如果p是q的充分条件，则p⇒q，即A⊆B，所以1＋a≤3或1－a≥7.又a＞0，所以0＜a≤2.∴若p是q的既不充分也不必要条件，应有a＞2.[A.基础达标]1．x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选B.因为x 2＋(y －2)2＝0⇒x ＝0且y ＝2， 所以x (y －2)＝0成立．但由x (y －2)＝0⇒x ＝0或y ＝2， 所以x 2＋(y －2)2＝0不一定成立． 故x (y －2)＝0x 2＋(y －2)2＝0.2．平面α∩平面β＝l ，直线a α，直线b β，则p ：“a 和b 是异面直线”是q ：“a 与b 均与直线l 相交且交点不同”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由p ：“a 和b 是异面直线”，则可推出其中一条直线可能与l 平行，另一条可能与l 相交，故p 不是q 的充分条件，由a 与b 均与l 相交且交点不同，则a 与b 一定异面，故p 是q 的必要条件．3．设a ，b 都是非零向量，则“a·b ＝±|a||b|”是“a ，b 共线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选C.设〈a ，b 〉＝θ，a·b ＝|a||b|cos θ，当|a||b|·cos θ＝±|a||b|时，cos θ＝±1，θ＝0或π，则a 与b 共线，若a 、b 共线，则〈a ，b 〉＝0或π，则a·b ＝±|a||b|.4．“ω＝2”是“函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.根据T ＝2π|ω|＝π，得ω＝±2，故选A.5．“a ＜2”是“a 2－2a ＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选B.a 2－2a ＜0⇔a ∈(0，2)，因为{a |0＜a ＜2}{a |a ＜2}，所以“a ＜2”是“a 2－2a ＜0”的必要不充分条件．6．函数f (x )＝a ＋sin x ＋3cos x 有零点的充要条件为a ∈________．解析：f (x )＝a ＋2sin(x ＋π3)，令f (x )＝0，得sin(x ＋π3)＝－a2，因为－1≤sin(x ＋π3)≤1，所以－2≤a ≤2.答案：[－2，2]7．已知全集S ，若p ：AB ，q ：∁S B∁S A ，则p 是q 的________条件．解析：如图，A B ⇒∁S B ∁S A ，∁S B ∁S A ⇒A B ⊆S .故p 是q 的充分条件，也是必要条件，即p 是q 的充要条件．答案：充要8．已知条件p ：|x －1|＞a 和条件q ：2x 2－3x ＋1＞0，则使p 是q 的充分不必要条件的最小整数a ＝________．解析：由题意知a ＞0，设A ＝{x ||x －1|＞a }＝{x |x ＜1－a 或x ＞1＋a }，B ＝{x |2x 2－3x ＋1＞0}＝{x |x ＜12或x ＞1}，由题意，AB ，所以由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤12，1＋a ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜12，1＋a ≥1.所以a ≥12，故a 的最小整数为1.答案：19．求不等式ax 2＋2x ＋1＞0恒成立的充要条件． 解：当a ＝0时，2x ＋1＞0不恒成立．当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1＞0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ＜0⇔a ＞1.所以不等式ax 2＋2x ＋1＞0恒成立的充要条件是a ＞1.10．已知命题p ：|x －1|＜a (a ＞0)，命题q ：x 2＋21＞10x ，且p 是q 的既不充分也不必要条件，求a 的取值范围．解：由|x －1|＜a (a ＞0)，解得1－a ＜x ＜1＋a .所以命题p 对应的集合为A ＝{x |1－a ＜x ＜1＋a ，a ＞0}． 由x 2＋21＞10x ，解得x ＜3或x ＞7.所以命题q 对应的集合为B ＝{x |x ＜3或x ＞7}． 显然集合B A ，即q p ，所以p 不是q 的必要条件．如果p 是q 的充分条件，则p ⇒q ，即A ⊆B ，所以1＋a ≤3或1－a ≥7. 又a ＞0，所以0＜a ≤2.所以若p 是q 的既不充分也不必要条件，应有a ＞2.[B.能力提升]1．设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选D.设a ＝1，b ＝－2，则有a >b ，但a 2<b 2，故a >b ⇒/ a 2>b 2；设a ＝－2，b ＝1，显然a 2>b 2，但a <b ，即a 2>b 2⇒/ a >b .故“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．2．设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为0＜x ＜π2，所以0＜sin x ＜1.由x sin x ＜1知x sin 2x ＜sin x ＜1，因此必要性成立．由x sin 2x ＜1得x sin x ＜1sin x ，而1sin x＞1，因此充分性不成立．3．设a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＞0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2＞0的解集分别为M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的________条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＞0，则M ＝N ；如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＜0，则M ≠N ，所以a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2⇒/ M ＝N .反之，若M ＝N ＝∅，即说明二次不等式的解集为空集、与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．因此，M ＝N a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2.答案：既不充分也不必要4．张老师上课时在黑板上写出三个集合：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |□x －1x ＜0，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，C＝{x |log 12x ＞1}，然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“□”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能够确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述：甲：此数为小于6的正整数；乙：A 是B 成立的充分不必要条件；丙：A 是C 成立的必要不充分条件．若老师评说三位同学都说得对，则“□”中的数为________．解析：设“□”中的数为a ，由甲的描述知a 为小于6的正整数，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜1a ，B ＝{x |－1≤x ≤4}，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12，由乙的描述知1a ≤4，由丙的描述知1a ＞12，所以14≤a ＜2，再由甲的描述知a ＝1.答案：15．已知p ：x (x －3)＜0，q ：2x －3＜m ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：p ：x (x －3)＜0，则0＜x ＜3；q ：2x －3＜m ，则x ＜m ＋32.令集合A ＝{x |0＜x ＜3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜m ＋32，在数轴上表示出集合A ，B 如图所示．由于p 是q 的充分不必要条件，则A B ，即m ＋32≥3，解得m ≥3.6．(选做题)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c ∈R ，且a ≠0)．证明方程f (x )＝0有两个不相等的实数根的充要条件是：存在x 0∈R ，使af (x 0)＜0.证明：①充分性：若存在x 0∈R ，使af (x 0)＜0，则b 2－4ac ＝b 2－4a [f (x 0)－ax 20－bx 0] ＝b 2＋4abx 0＋4a 2x 20－4af (x 0)＝(b ＋2ax 0)2－4af (x 0)＞0，所以方程f (x )＝0有两个不等实数根．②必要性：若方程f (x )＝0有两个不等实数根，则b 2－4ac ＞0，设x 0＝－b2a，a ·f (x 0)＝a ⎣⎡⎦⎤a ⎝⎛⎭⎫－b 2a 2＋b ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＋c ＝b 24－b22＋ac ＝4ac －b 24＜0.所以存在x 0∈R ，使af (x 0)＜0.[A.基础达标]1．下列命题中，真命题是( )A ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：选A.由于当m ＝0时，函数f (x )＝x 2＋mx ＝x 2为偶函数，故“存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )为偶函数”是真命题．2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2解析：选B.A ，C 为全称命题；对于B ，当x ＝0时，x 2＝0≤0，正确；对于D ，显然错误．3．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( ) A ．每一个二次函数的图像都开口向上 B ．存在一条直线与两个相交平面都垂直 C ．存在一个实数x ，使x 2－3x ＋6＜0 D ．对任意c ≤0，若a ≤b ＋c ，则a ≤b解析：选D.对A 当二次项系数小于零时不成立，A 为假命题；B 、C 均为特称命题．故选D.4．下列命题是假命题的为( ) A ．存在x ∈R ，lg e x ＝0 B ．存在x ∈R ，tan x ＝xC ．任意x ∈(0，π2)，1tan x＞cos xD ．任意x ∈R ，e x ＞x ＋1解析：选D.对A ，x ＝0时成立，为真命题；对B ，当x ＝0时成立，为真命题；对C ，因为x ∈(0，π2)，cos x ＞0，0＜sin x ＜1，所以1tan x ＝cos xsin x＞cos x ，为真命题，故选D.5．已知正四面体A -BCD 的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是( )A ．对任意的F ∈BC ，EF ⊥ADB ．存在F ∈BC ，EF ⊥AC C ．对任意的F ∈BC ，EF ≥ 3D ．存在F ∈BC ，EF ∥AC 解析：选A.因为△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点，⎭⎪⎬⎪⎫所以BE ⊥AD 同理CE ⊥AD BE ∩CE ＝E ⇒AD ⊥平面BCE ，故AD ⊥EF . 6．“对于任意的x ∈Z ，2x ＋1是整数”的逆命题是________． 答案：若2x ＋1是整数，则x ∈Z7．若对任意的x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是减函数，则a 的取值范围是________．解析：依题意有：0<a 2－1<1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，a 2－1<1⇔⎩⎨⎧a <－1或a >1，－2<a <2⇔－2<a <－1或1<a < 2.答案：(－2，－1)∪(1，2)8．若对任意x ∈R ，都有ax 2＋2x ＋a ＜0，则实数a 的取值范围是________．解析：命题为真命题时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4－4a 2＜0.解得a ＜－1.即a 的取值范围是(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假． (1)任意x ∈(－1，2)，x 2－x ＜2；(2)存在x ∈{x |x ＞1}，log 2x ＋log x 2＜2； (3)指数函数都是单调函数；(4)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．解：(1)全称命题．由于x 2－x ＜2⇔x 2－x －2＜0⇔－1＜x ＜2，所以任意x ∈(－1，2)，x 2－x ＜2成立．真命题．(2)特称命题．当x ∈{x |x ＞1}时，log 2x ＞0，故log 2x ＋log x 2＝log 2x ＋1log 2x≥2，当且仅当x ＝2时，(log 2x ＋log x 2)min ＝2，所以不存在x ∈{x |x ＞1}，使log 2x ＋log x 2＜2成立．假命题．(3)全称命题．当a ＞1时，指数函数f (x )＝a x 为增函数，当0＜a ＜1时，指数函数f (x )＝a x 为减函数，所以指数函数都是单调函数．真命题．(4)特称命题．例如，10既能被2整除，又能被5整除，真命题．10．不等式x 2－2mx －1＞0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围． 解：法一：因为Δ＝4m 2＋4＞0恒成立，所以设方程x 2－2mx －1＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2 .。

第一章第1课时一、选择题1．下列语句中命题的个数为( )①{0}∈N；②他长得很高；③地球上的四大洋；④5的平方是20.A．0 B．1C．2 D．3[答案] C[解析] ①④是命题，②③不是命题．地球上的四大洋是不完整的句子．2．若a>1，则函数f(x)＝a x是增函数( )A．不是命题B．是真命题C．是假命题D．是命题，但真假与x的取值有关[答案] B[解析] 当a>1时，指数函数f(x)＝a x是增函数，故“若a>1，则函数f(x)＝a x是增函数”是真命题．3．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．n∥m，n⊥α⇒m⊥α[答案] D[解析] 验证排除法：A选项中缺少条件m与n相交；B选项中两平行平面内的两条直线m与n关系不能确定；C选项中缺少条件n⊄α.4．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中是真命题的是( )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④[答案] B[解析] ①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B.5．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是( )A. a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c[答案] B[解析] A选项中可能有a⊥b；C选项中a2＝b2说明|a|＝|b|，a与b并不一定共线，D选项中a·b＝a·c说明a·(b－c)＝0，则a⊥(b－c)6．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )A．这个四边形的对角线互相平分B．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D．这个四边形是平行四边形[答案] C[解析] 该命题的条件是“一个四边形是平行四边形”，结论是“这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”．二、填空题7．下面是关于四棱柱的四个命题：①如果有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②如果两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③如果四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④如果四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的编号是__________________(写出所有真命题的编号)．[答案] ②④[解析] ②中由过相对侧棱截面的交线垂直于底面并与侧棱平行，可知命题成立，④中由题意，可知对角面均为长方形，即可证命题成立．①、③错误，反例如有一对侧面与底面垂直的斜四棱柱．8．设a、b、c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是__________________．[答案] 0[解析] ∵垂直于同一直线的两条直线不一定平行，∴命题①不正确；∵与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面，也可以异面，∴命题②不正确；∵与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交，也可以平行或异面，∴命题③不正确；∵当两平面的相交直线为直线b时，两平面内分别可以作出直线a与c，即直线a与c 不一定共面，∴命题④不正确．综上所述，真命题的个数为0.三、解答题9．判断下列语句中哪些是命题，是命题的，请判断真假．(1)末位是0的整数能被5整除；(2)△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；(3)余弦函数是周期函数吗(4)求证：当x∈R时，方程x2＋x＋2＝0无实根．[解析] (1)是命题，真命题．(2)是命题，真命题．(3)、(4)不是命题．10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)对角线相等的四棱柱是长方体；(2)整数的平方是非负整数；(3)能被10整除的数既能被2整除，也能被5整除．[解析] (1)可写为：“若四棱柱的对角线相等，则它是长方体”，这个命题是假命题，如底面是等腰梯形的直四棱柱．(2)可写为：“若一个数是整数，则它的平方是非负整数”，真命题．(3)可写为：“若一个数能被10整除，则它既能被2整除，也能被5整除”，真命题．一、选择题1．“红豆生南国，春来发几枝愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这四句诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思[答案] A[解析] “红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.2．设α、β、γ为两两不重合的平面，c 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①如果α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②如果α∥β，c ⊂α，则c ∥β；③如果α∩β＝c ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，c ∥γ，则m ∥n .其中真命题个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 [答案] C[解析] ①α⊥γ，β⊥γ，则α与β可相交，①错误；②中∵α∥β，∴α与β无公共点，又c ⊂α，∴c 与β无公共点，∴c ∥β，故②正确；由c ∥γ，c ⊂β，β∩γ＝m 得c ∥m ，同理可得c ∥n ，∴m ∥n ，故③正确．3．下面的命题中是真命题的是( )A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则c a >0C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 为锐角三角形[答案] B[解析] y ＝sin 2x ＝1－cos2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题； 当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；当AB →·BC →>0时，向量AB →与BC →的夹角为锐角，B 为钝角，故D 为假命题．4．设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；③给定向量b 和正数μ，总存在单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .上述命题中的向量b 、c 和a 在同一平面内，且两两不共线，则真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] 对于①，由向量的三角形加法法则可知其正确；由平面向量基本定理知②正确；对③，可设e 与b 是不共线单位向量，则存在实数λ，y 使a ＝λb ＋y e ，若y >0，则取μ＝y ，c ＝e ，若y <0，则取μ＝－y ，c ＝－e ，故③正确；④显然错误，给定正数λ和μ，不一定满足“以|a |，|λb |，|μc |为三边长可以构成一个三角形”，这里单位向量b 和c 就不存在．可举反例：λ＝μ＝1，b 与c 垂直，此时必须a 的模为2才成立．二、填空题5．给出下列四个命题：①若a >b >0，则1a >1b； ②若a >b >0，则a －1a >b －1b； ③若a >b >0，则2a ＋b a ＋2b >a b； ④若a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，则2a ＋1b的最小值为9. 其中正确命题的序号是__________________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ②④[解析] ①在a >b >0两端同乘以1ab 可得1b >1a，故①错； ②由于⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b －1b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab >0， 故②正确；③由于2a ＋b a ＋2b －a b＝b 2－a 2a ＋2b b <0，即2a ＋b a ＋2b <a b ， 故③错；④由2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2a b ≥5＋22b a ·2a b ＝9，当且仅当2b a ＝2a b，即a ＝b ＝13时取得等号，故④正确． 6．已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题：①若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；②若a 2－b >0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；③当x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2；④当a 2－b ≤0时，f (x )有最小值b －a 2.其中正确命题的序号是__________________．[答案] ①④[解析] 由题意知f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝|(x －a )2＋b －a 2|.若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2，可知f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a 2－b ≤0的条件下，才可能在x ＝a 时，f (x )取最小值b －a 2，所以③错误，④正确．三、解答题7．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式．(1)ac >bc ⇒a >b ；(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根； (3)方程x 2－2x －3＝0的解为x ＝3或x ＝－1.[解析] (1)若ac >bc ，则a >b .(2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根． (3)若x 2－2x －3＝0，则x ＝3或x ＝－1.8．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0<x <4，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．[解析] 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，即x 2－2x －3≥0.解得x ≤－1或x ≥3.故命题p ：x ≤－1或x ≥3.又命题q ：0<x <4，且命题p 为真，命题q 为假，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，所以x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．第一章 第2课时一、选择题1．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0[答案] C[解析] 原命题是真命题，因为幂函数的图象不过第四象限，反过来，图象不过第四象限的函数不一定是幂函数，所以逆命题为假命题，根据等价命题的真假性相同可知，否命题为假命题，逆否命题为真命题，故选C.2．“若x2＝1，则x＝1”的否命题为( )A．若x2≠1，则x＝1B．若x2＝1，则x≠1C．若x2≠1，则x≠1D．若x≠1，则x2≠1[答案] C[解析] “若p则q”的否命题形式为“若¬p则¬q”．3．命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是( )A．如果ab是奇数，则a、b都是奇数B．如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数C．如果a、b都是奇数，则ab不是奇数D．如果a、b不都是奇数，则ab不是奇数[答案] B[解析] 命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”．4．“a2＋b2≠0”的含义是( )A．a、b不全为0B．a、b全不为0C．a、b至少有一个为0D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0[答案] A[解析] 若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0，或a＝0且b≠0，或a≠0且b＝0，即a、b不全为0，故选A.5．原命题为“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是( )A．原命题是真命题B．逆命题是假命题C．否命题是真命题D．逆否命题是真命题[答案] C[解析] 否命题是“非圆内接四边形不是等腰梯形”，为真命题．6．设a、b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b[答案] D[解析] 命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”，故选D.二、填空题7．(2015·福建八县一中高二期末测试)命题“若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形”的否命题的真假性为__________________．[答案] 假[解析] 原命题的否命题是“若∠C≠90°，则△ABC不是直角三角形”，是假命题．8．“若a∈A，则a∈B”的逆否命题为__________________．[答案] 若a∉B，则a∉A[解析] 一个命题的逆否命题是结论的否定作条件，条件的否定作结论，故原命题的逆否命题为“若a∉B，则a∉A”．三、解答题9．设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明他们的真假．[解析] 逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．如a＝2，b＝－2，a＋b＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．如a＝2，b＝2，则a＋b＝2＋2是无理数，故逆否命题为假．10．判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．[解析] 逆否命题：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，真命题．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a<1，∴4a－7<0，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）第一章常用逻辑用语（北京师大版选修2-1）一、选择题（本题共12小题，每小题5分,共60分）1. 下列说法中,不正确的是( )A.“若则”与“若则”是互逆命题B.“若﹁则﹁”与“若则”是互否命题C.“若﹁则﹁”与“若则”是互否命题D.“若﹁则﹁”与“若则”是互为逆否命题2.以下说法错误的是( )A.如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题B.如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题C.原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D.一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题3.命题“设a，b，c∈R,若a>b,则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有( ) A．0个B．1个C．2个D．3个4.（2012·山东济宁一模）已知p:|x+1|≤4;q:＜5x －6,则p是q成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.设：：,若﹁是﹁的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.6.命题：将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像；命题：函数的最小正周期是，则复合命题“或”“且”“非”中真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.37.已知命题：“”,命题：，,若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（）A.或B.或C.D.8.给出下列命题：①若“或”是假命题，则“﹁且﹁”是真命题；②；③若关于的实系数一元二次不等式的解集为，则必有且；④，其中真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.49.关于的函数有以下命题：①,；②；③，都不是偶函数；④,使f是奇函数．其中假命题的序号是（）A.①③B.①④C.②④D.②③10.下面有关命题的说法正确的是( )A.命题“若－3x+2=0，则x=1”的逆命题为“若x≠1，则－3x+2≠0”B.命题“若－3x+2=0，则x=1”的否命题为“若x≠1，则－3x+2≠0”C.命题“x∈R,≤0”的否定为“x∈R,＞0”D.命题“x∈R,≤0”的否定为“x∈R,＞0”11.有限集合中元素的个数记作，设A,B都是有限集合，给出下列命题：①的充要条件是=；②的必要条件是；③的充分条件是；④的充要条件是.其中正确的命题个数是（）A.0B.1C.2D.312.已知命题使；命题,都有给出下列结论：①命题“”是真命题；②命题“﹁”是假命题；③命题“﹁”是真命题；④命题“﹁﹁”是假命题，其中正确的是（）A.②④B.②③C.③④D.①②③二、填空题（本题共4小题，每小题4分,共16分）13.若为定义在D上的函数，则“存在D,使得”是“函数为非奇非偶函数”的________条件.14.已知与整数的差为的数；整数的，则是的________条件.15.已知命题p:命题q:若命题p是命题q的充分不必要条件，则实数的取值范围是____________.16.下列四个结论中，正确的有(填序号).①若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件；②“＞－”是“一元二次不等式a ＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；③“x≠1”是“≠1”的充分不必要条件；④“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.三、解答题（本题共6小题，共74分）17.（本小题满分12分）设命题为“若，则关于的方程有实数根”,试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．18.（本小题满分12分）已知命题：任意，，如果命题﹁是真命题，求实数的取值范围．19.（本小题满分12分）已知P＝{x|－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1+m}.（1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的取值范围；（2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要不充分条件，若存在，求出m的取值范围.20.（本小题满分12分）设p：实数x满足－4ax+3＜0，其中a＞0；q：实数x满足－－－＞（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.21.（本小题满分12分）设P,Q,R,S四人分别获得一到四等奖，已知：（1）若P得一等奖，则Q得四等奖；（2）若Q得三等奖，则P得四等奖；（3）P所得奖的等级高于R；（4）若S未得一等奖，则P得二等奖；（5）若Q得二等奖，则R不是四等奖；（6）若Q得一等奖，则R得二等奖.问P,Q,R,S分别获得几等奖？22.（本小题满分14分）设命题p:函数是R上的减函数，命题q:函数在上的值域为．若“”为假命题，“”为真命题，求的取值范围．第一章常用逻辑用语（北京师大版选修2-1）答题纸得分：________ 一、选择题二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.解：18.解：19.解：20.解：21.解：22.解：第一章常用逻辑用语（北京师大版选修2-1）答案一、选择题1.B 解析：“若﹁则﹁”与“若则”是互为逆否的命题，B不正确，故选B.2.B解析：两个命题互为逆否命题，它们之间有相同的真假性；两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系.故B错误.3.B解析：原命题正确，所以其逆否命题正确.逆命题不正确，因为当c＝0时，a=b.从而原命题的否命题也不正确.4. B解析：由|x+1|≤4－4≤x+1≤4，得－5≤x≤3，即p对应的集合为[－5,3];由＜5x－6－5x+6＜0，解一元二次不等式可得2＜x＜3，即q对应的集合为(2,3).因为(2,3)[－5,3]，所以p是q成立的必要不充分条件.5.A解析：由已知得若成立，则,若成立，则.又﹁p是﹁q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，所以，＜，或＜，所以.6.C 解析：将函数y=的图像向右平移个单位长度得到函数y==的图像，所以命题P是假命题，“非P”是真命题，“P且Q”是假命题.函数,最小正周期为，命题Q为真命题，所以“P或Q”为真命题.故真命题有2个，选C.7.A解析：若p成立，对有.因为所以即若q成立，则方程的判别式解得或因为命题“”是真命题，所以p真q真，故的取值范围为或8.B解析：“p或q”是假命题，则它的否定是真命题，即“﹁p且﹁q”是真命题，①是真命题；若，则，若,则，所以②是真命题；数形结合可得，若一元二次不等式的解集是，则必有且，所以③是假命题；当时，必有但当，y=5时，满足但，所以④是假命题.共有2个真命题.9. A解析：对于命题①，若==成立，必须是整数，所以命题①是假命题；对于函数f，当时，函数为偶函数，所以命题③是假命题；同理可得，命题②④是真命题.所以选A.10.D解析：A错误，逆命题为“若x=1，则－3x+2=0”；B错误，否命题为“若－3x+2≠0，则x≠1”；C错误，否定为“x∈R,＞0”.11.C 解析：，集合和集合没有公共元素，①正确；，集合中的元素都是集合中的元素，②正确；③错误；，则集合中的元素与集合中元素完全相同，元素个数相等，但两个集合的元素个数相等，并不意味着它们的元素相同，④错误.所以选C.12.B解析：因为，所以命题p是假命题，﹁是真命题；由函数y=的图像可得，命题q是真命题，﹁是假命题.所以命题“”是假命题, 命题“﹁”是假命题，命题“﹁”是真命题，命题“﹁﹁”是真命题.所以②③正确.二、填空题13.充分不必要解析：存在D,使得 –则函数为非奇非偶函数；若函数为非奇非偶函数，可能定义域不关于原点对称，所以“存在D,使得”是“函数为非奇非偶函数”的充分不必要条件.14.充分不必要解析：，可分别用集合表示，集合表示奇数的 ,集合表示整数的，因为Ü，所以是的充分不必要条件.15.解析：两个命题可分别表示为或，或，要使命题是命题的充分不必要条件，则，，，或，，，解得.16.①②④解析：∵原命题与其逆否命题等价，∴若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件.x≠1≠1，反例：x＝－1＝1，∴“x≠1”是“≠1”的不充分条件.x≠0x＋|x|＞0，反例：x＝－2x＋|x|＝0.但x＋|x|＞0x＞0x≠0，∴“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.三、解答题17.解：否命题为“若，则关于的方程没有实数根”；逆命题为“若关于的方程有实数根，则”；逆否命题为“若关于的方程没有实数根，则”.由方程根的判别式，得，此时方程有实数根．因为使，所以方程有实数根，所以原命题为真，从而逆否命题为真.但方程有实数根，必须，不能推出，故逆命题为假,从而否命题为假.18.解：因为命题﹁是真命题，所以是假命题.又当是真命题，即恒成立时，应有，，解得，所以当是假命题时，.所以实数的取值范围是.19.解：（1）由－8x－20≤0可解得－2≤x≤10，∴P={x|－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的充要条件，∴P＝S，∴－－∴∴这样的m不存在.（2）由题意知，x∈P是x∈S的必要不充分条件，则S P.于是有－－＜或＞∴或∴m≤3.∴当m≤3时，x∈P是x∈S的必要不充分条件.20.解：解：由－4ax+3＜0，得(x－3a)(x－a)＜0.又a＞0，所以a＜x＜3a.（1）当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3.由－－－＞得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3.若p∧q为真，则p真q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3.（2）若p是q的充分不必要条件，即q，且p.设A={x|p},B={x|q},则A B.又A={x|p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|q}={x|x≤2或x＞3}，则有0＜a≤2且3a＞3，所以实数a的取值范围是1＜a≤2.21.解：由（3）知，得一等奖的只有P,Q,S之一（即R不可能是一等奖）.若P得一等奖，则S未得一等奖，与（4）矛盾；若Q得一等奖，由（6）知，R得二等奖，P只能得三等奖或四等奖，与（3）矛盾.所以只有S得一等奖.若P是二等奖，由（2）知，Q不得三等奖，只能是四等奖，所以R是三等奖；若P是三等奖，则R是四等奖，Q得二等奖，与（5）矛盾.所以S，P，R，Q分别获得一等奖，二等奖，三等奖，四等奖.22.解：由得.因为在上的值域为,所以.又因为“”为假命题，“”为真命题，所以,一真一假．若真假，则；若假真，则.综上可得，的取值范围是或.。

（数学选修（数学选修2-12-1）第一章）第一章）第一章 常用逻辑用语常用逻辑用语常用逻辑用语[基础训练A 组]一、选择题1．下列语句中是命题的是（ ）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c f ++<¹”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ）A ．0个B ．1个 C ．2个D ．3个 4．下列说法中正确的是（ ）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +¹” D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a Î<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p Ø是q Ø的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1．命题：“若a b ×不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是 。

2．12:,A x x 是方程20(0)ax bx c a ++=¹的两实数根；12:b B x x a +=-,则A 是B 的 条件。

第一章常用逻辑用语（北京师大版选修2-1）建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分一、选择题（本题共12小题，每小题5分,共60分）1. 下列说法中,不正确的是( )A.“若p则p”与“若p则p”是互逆命题B.“若﹁p则﹁p”与“若p则p”是互否命题C.“若﹁p则﹁p”与“若p则p”是互否命题D.“若﹁p则﹁p”与“若p则p”是互为逆否命题以下说法错误的是( )A.如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题B.如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题C.原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D.一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题命题“设a，b，c∈R,若a p2>b p2,则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有( )A．0个B．1个C．2个D．3个（2012·山东济宁一模）已知p:|x+1|≤4;q:p2＜5x－6,则p是q成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件设p：|4p−3|≤1,p：p2−(2p+1)p+p(p+1)≤0,若﹁p是﹁p的必要不充分条件，则实数p的取值范围是（）[0,12]B.(0,12)(−∞,0]∪[12,+∞)D.(−∞,0)∪(12,+∞)命题p：将函数p=sin2p的图像向右平移π3个单位长度得到函数p=sin(2p−π3)的图像；命题p：函数p=sin(p+π6)cos(π3−p)的最小正周期是π，则复合命题“p或p”“p且p”“非p”中真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.37.已知命题p：“∀p∈[1,2],p2−p≥0”,命题p：“∃p∈p，p2+2pp+2−p=0”若命题“p⋀p”是真命题，则实数p的取值范围是（）A. {p|p≤−2或p=1}B.{p|p≤−2或1≤p≤2}C. {p|p≥1}D. {p|−2≤p≤1}8.给出下列命题：①若“p或p”是假命题，则“﹁p且﹁p”是真命题；②|p|>|p|⇔p2>p2；③若关于p的实系数一元二次不等式pp2+pp+p≤0的解集为p，则必有p>0且p≤0；④{p>2,p>2⇔{p+p>4，pp>4.其中真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.49.关于p的函数p(p)=sin(pp+p)有以下命题：①∀ p∈p,p(p+2π)=p(p)；②∃ p∈p,p(p+1)=p(p)；③∀ p∈p，p(p)都不是偶函数；④∃ p∈p,使f(p)是奇函数．其中假命题的序号是（）A.①③B.①④C.②④D.②③10.下面有关命题的说法正确的是( )A.命题“若p2－3x+2=0，则x=1”的逆命题为“若x≠1，则p2－3x+2≠0”B.命题“若p2－3x+2=0，则x=1”的否命题为“若x≠1，则p2－3x+2≠0”C.命题“∃x∈R,log2p≤0”的否定为“∃x∈R,log2p＞0”D.命题“∃x∈R,log2p≤0”的否定为“∀x∈R,log2p＞0”11.有限集合p中元素的个数记作card(p)，设,B都是有限集合，给出下列命题：①p∩p=p的充要条件是card(p∪p)=card(p)+card(p)；②p⊆p的必要条件是card(p)≤card(p)；③p⊈p的充分条件是card(p)≤card(p)；④p=p的充要条件是card(p)=card(p).其中正确的命题个数是（）A.0B.1C.2D.312.已知命题p:∃ p∈p,使sin p=√52；命题p: ∀ p∈p,都有p2+p+1>0.给出下列结论：①命题“p∧p”是真命题；②命题“p∧(﹁p)”是假命题；③命题“(﹁p)∨p”是真命题；④命题“(﹁p)∨(﹁p)”是假命题，其中正确的是（）A.②④B.②③C.③④D.①②③二、填空题（本题共4小题，每小题4分,共16分）13.若p=p(p)为定义在D上的函数，则“存在p0∈D,使得[p(−p0)]2≠[p(p0)]2”是“函数p=p(p)为非奇非偶函数”的________条件.14.已知p:与整数的差为12的数；p:整数的12，则p是p的________条件.15.已知命题p:(p−3)(p+1)>0,命题q:p2−2p+1−p2>0(p>0),若命题p是命题q的充分不必要条件，则实数p的取值范围是____________.16.下列四个结论中，正确的有 (填序号).①若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件；②“{p＞0,p=p2－4pp≤0”是“一元二次不等式a p2＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；③“x≠1”是“p2≠1”的充分不必要条件；④“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.三、解答题（本题共6小题，共74分）17.（本小题满分12分）设命题为“若p>0，则关于p的方程p2+p−p=0有实数根”,试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．18.（本小题满分12分）已知命题p：任意p∈p，pp2+2p+3≥0，如果命题﹁p是真命题，求实数p的取值范围．19.（本小题满分12分）已知P＝{x|p2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1+m}.（1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的取值范围；（2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要不充分条件，若存在，求出m的取值范围.20.（本小题满分12分）设p：实数x满足p2－4ax+3p2＜0，其中a＞0；q：实数x满足{p2－p－6≤0,p2+2p－8＞0.（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.21.（本小题满分12分）设P,Q,R,S四人分别获得一到四等奖，已知：（1）若P得一等奖，则Q得四等奖；（2）若Q得三等奖，则P得四等奖；（3）P所得奖的等级高于R；（4）若S未得一等奖，则P得二等奖；（5）若Q得二等奖，则R不是四等奖；（6）若Q得一等奖，则R得二等奖.问P,Q,R,S分别获得几等奖？22.（本小题满分14分）设命题p:函数p(p)=(p−32)p是R上的减函数，命题q:函数p(p)= p2−4p+3在[0,p]上的值域为[−1,3]．若“p∧p”为假命题，“p∨p”为真命题，求p的取值范围．答题纸得分：________ 一、选择题二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.解：18.解：19.解：20.解：21.解：22.解：答案一、选择题1.B 解析：“若﹁p则﹁p”与“若p则p”是互为逆否的命题，B不正确，故选B.2.B解析：两个命题互为逆否命题，它们之间有相同的真假性；两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系.故B错误.3.B解析：原命题正确，所以其逆否命题正确.逆命题不正确，因为当c＝0时，a p2=b p2.从而原命题的否命题也不正确.4. B解析：由|x+1|≤4⟹－4≤x+1≤4，得－5≤x≤3，即p对应的集合为[－5,3];由p2＜5x－6⟹p2－5x+6＜0，解一元二次不等式可得2＜x＜3，即q对应的集合为(2,3).因为(2,3)[－5,3]，所以p是q成立的必要不充分条件.5.A解析：由已知得若p成立，则12≤p≤1,若p成立，则p≤p≤p+1.又﹁p是﹁q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，所以{p≤12，1＜p+1，或{p＜12，1≤p+1.所以0≤p≤12.6.C 解析：将函数y=sin2p的图像向右平移π3个单位长度得到函数y=sin2(p−π3)=sin(2p−2π3)的图像，所以命题P是假命题，“非P”是真命题，“P且Q”是假命题.函数p=sin(p+π6)cos(π3−p)=cos(π2−p−π6)cos(π3−p)=cos2(π3−p)=cos(2p−2π3)2+12,最小正周期为π，命题Q为真命题，所以“P或Q”为真命题.故真命题有2个，选C.7.A解析：若p成立，对∀p∈[1,2],有p≤p2.因为1≤p≤2,所以1≤p2≤4,即p≤(p2)min=1.若q成立，则方程p2+2pp+2−p=0的判别式p=4p2−4(2−p)≥0,解得p≤−2或p≥1.因为命题“p∧p”是真命题，所以p真q真，故p的取值范围为{p|p≤−2或p=1}.8.B解析：“p或q”是假命题，则它的否定是真命题，即“﹁p且﹁q”是真命题，①是真命题；若|p|>|p|，则p2>p2，若p2>p2,则|p|>|p|，所以②是真命题；数形结合可得，若一元二次不等式pp2+pp+c≤0的解集是p，则必有p>0且p<0，所以③是假命题；当p>2,p>2时，必有p+p>4,pp>4.但当p= 1，y=5时，满足p+p>4,pp>4.但p<2，所以④是假命题.共有2个真命题.9. A解析：对于命题①，若p(p+2π)=sin(pp+2πp+p)=sin(pp+p)成立，p必须是整数，所以命题①是假命题；对于函数f(p)=sin(pp+p)，当p=π2时，函数为偶函数，所以命题③是假命题；同理可得，命题②④是真命题.所以选A.10. D解析：A错误，逆命题为“若x=1，则p2－3x+2=0”；B错误，否命题为“若p2－3x+2≠0，则x≠1”；C错误，否定为“∀x∈R,log2p＞0”.11.C 解析：p∩p=p，集合p和集合p没有公共元素，①正确；p⊆p，集合p中的元素都是集合p中的元素，②正确；③错误；p=p，则集合p中的元素与集合p中元素完全相同，元素个数相等，但两个集合的元素个数相等，并不意味着它们的元素相同，④错误.所以选C.12.B解析：因为√52>1，所以命题p是假命题，﹁p是真命题；由函数y=p2+p+1的图像可得，命题q是真命题，﹁p是假命题.所以命题“p∧p”是假命题, 命题“p∧(﹁p)”是假命题，命题“(﹁p)∨p”是真命题，命题“(﹁p)∨(﹁p)”是真命题.所以②③正确.二、填空题13.充分不必要 解析：存在p 0∈D ,使得[p (–p 0)]2≠[p (p 0)]2,则函数p =p (p )为非奇非偶函数；若函数 p =p (p )为非奇非偶函数，可能定义域不关于原点对称，所以“存在p 0∈D ,使得[p (−p 0)]2≠[p (p 0)]2”是“函数p =p (p )为非奇非偶函数”的充分不必要条件.14.充分不必要 解析：p ，p 可分别用集合p ={p |p =p +12,p ∈p },p ={p |p =p2,p ∈p }表示，集合p 表示奇数的12,集合p 表示整数的12，因为p Üp ，所以p 是p 的充分不必要条件.15.(0,2)解析：两个命题可分别表示为p : p >3或p <−1，p : p >1+p 或p <1−p ，要使命题p 是命题p的充分不必要条件，则{1+p ≤3，1−p >−1，p >0，或{1+p <3，1−p ≥−1，p >0，解得0<p <2.16.①②④解析：∵原命题与其逆否命题等价，∴若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件.x ≠1⇏p 2≠1，反例：x ＝－1⟹p 2＝1，∴“x ≠1”是“p 2≠1”的不充分条件.x ≠0⇏x ＋|x |＞0，反例：x ＝－2⟹x ＋|x |＝0. 但x ＋|x |＞0⟹x ＞0⟹x ≠0，∴“x ≠0”是“x ＋|x |＞0”的必要不充分条件.三、解答题17.解：否命题为“若p ≤0，则关于p 的方程p 2+p −p =0没有实数根”；逆命题为“若关于p 的方程p 2+p −p =0有实数根，则p >0”； 逆否命题为“若关于p 的方程p 2+p −p =0没有实数根，则p ≤0”.由方程p 2+p −p =0根的判别式p =1+4p >0，得p >−14，此时方程有实数根．因为p >0使1+4p >0，所以方程p 2+p −p =0有实数根，所以原命题为真，从而逆否命题为真.但方程p 2+p −p =0有实数根，必须p >−14，不能推出p >0，故逆命题为假,从而否命题为假.18.解：因为命题﹁p 是真命题，所以p 是假命题.又当p 是真命题，即pp 2+2p +3≥0恒成立时，应有 {p >0，p =4−12p ≤0，解得p ≥13，所以当p 是假命题时，p <13. 所以实数p 的取值范围是{p |p <13}.19.解：（1）由p 2－8x －20≤0可解得－2≤x ≤10， ∴P ={x |－2≤x ≤10}. ∵x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴P ＝S ， ∴{1－p =－2,1+p =10,∴{p =3,p =9.∴这样的m 不存在.（2）由题意知，x ∈P 是x ∈S 的必要不充分条件，则SP .于是有{1－p≥－2,1+p＜10或{1−p＞−2,1+p≤10,∴p≤3或p<3,∴m≤3.∴当m≤3时，x∈P是x∈S的必要不充分条件.20.解：解：由p2－4ax+3p2＜0，得(x－3a)(x－a)＜0.又a＞0，所以a＜x＜3a.（1）当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3.由{p2－p－6≤0,p2+2p－8＞0,得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3.若p∧q为真，则p真q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3.（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，即¬p⟹¬q，且¬p⇏¬p.设A={x|¬p},B={x|¬q},则A B.又A={x|¬p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|¬q}={x|x≤2或x＞3}，则有0＜a≤2且3a＞3，所以实数a的取值范围是1＜a≤2.21.解：由（3）知，得一等奖的只有P,Q,S之一（即R不可能是一等奖）.若P得一等奖，则S未得一等奖，与（4）矛盾；若Q得一等奖，由（6）知，R得二等奖，P只能得三等奖或四等奖，与（3）矛盾.所以只有S得一等奖.若P是二等奖，由（2）知，Q不得三等奖，只能是四等奖，所以R是三等奖；若P是三等奖，则R是四等奖，Q得二等奖，与（5）矛盾.所以S，P，R，Q分别获得一等奖，二等奖，三等奖，四等奖.22.解：由0<p−32<1得32<p<52.因为p(p)=(p−2)2−1在[0,p]上的值域为[−1,3],所以2≤p≤4. 又因为“p∧p”为假命题，“p∨p”为真命题，所以p,p一真一假．若p真p假，则32<p<2；若p假p真，则52≤p≤4.综上可得，p的取值范围是{p|32<p<2或52≤p≤4}.。

赠送以下资料考试知识点技巧大全一、考试中途应饮葡萄糖水大脑是记忆的场所，脑中有数亿个神经细胞在不停地进行着繁重的活动,大脑细胞活动需要大量能量。

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我们中考、高考每一科考试时间都在2小时或2小时以上且用脑强度大，这样可引起低血糖并造成大脑疲劳，从而影响大脑的正常发挥，对考试成绩产生重大影响。

因此建议考生，在用脑60分钟时，开始补饮25%浓度的葡萄糖水100毫升左右，为一个高效果的考试加油。

二、考场记忆“短路”怎么办呢？对于考生来说，掌握有效的应试技巧比再做题突击更为有效。

1.草稿纸也要逐题顺序写草稿要整洁，草稿纸使用要便于检查。

不要在一大张纸上乱写乱画，东写一些，西写一些。

打草稿也要像解题一样，一题一题顺着序号往下写。

最好在草稿纸题号前注上符号，以确定检查侧重点。

为了便于做完试卷后的复查，草稿纸一般可以折成4-8块的小方格，标注题号以便核查，保留清晰的分析和计算过程。

2.答题要按先易后难顺序不要考虑考试难度与结果，可以先用5分钟熟悉试卷，合理安排考试进度，先易后难，先熟后生，排除干扰。

考试中很可能遇到一些没有见过或复习过的难题，不要蒙了。

一般中考试卷的题型难度分布基本上是从易到难排列的，或者交替排列。

3.遇到容易试题不能浮躁遇到容易题，审题要细致。

圈点关键字词，边审题边画草图，明确解题思路。

有些考生一旦遇到容易的题目，便觉得心应手、兴奋异常，往往情绪激动，甚至得意忘形。

要避免急于求成、粗枝大叶，防止受熟题答案与解题过程的定式思维影响，避免漏题，错题，丢掉不该丢的分。

(选修2-1)孙敏、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72 分）1、a3>8 是a>2 的（）A .充分非必要条件要非充分条件B .必C.充要条件D.既非充分也非必要条件2、全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是（）A. 所有被5整除的整数都不是奇数；B. 所有奇数都不能被5整除C. 存在一个被5整除的整数不是奇数；D. 存在一个奇数，不能被5整除1 23、抛物线y - x的准线方程是（）81 1A. xB. y 2C. yD. y 232 324、有下列命题：①ax2 bx c 0是一元二次方程（a 0）;②空集是任何集合的真子集；③若a R ,则a20 ;④若a,b R且ab 0 ,则a 0且b 0 .其中真命题的个数有（）A. 1B. 2C. 3D. 42 25、椭圆—y_ 1的离心率为（)25 163 r 34 r 9AA.-B. C D.5 4 5 256、以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2 y2 2x 6y 9 0的圆心的抛物线的方程是（)A . y 3x2或y 3x2B . y 3x2C . y 9x 或y 3x2 2 2D . y 3x 或y 9x7、已知a=（2，- 3，1）, b=（4，- 6, x），若a 丄b,则x 等于（定点M 与点A 、 B 、C 疋共面的疋（)uuuu UL UUU UUUrUU UUUUU UU U UU Ur A . OM OAOBOCB . OM 2O A OB OC UULU UL 1UU 1 UUUUUU U 1 UUU 1 UUU 1UUL C . OM OA —O—OC D .OM-OA -OB —233 3 310、设 a 3 ,b 6, 若a?）= 9,则 a, b等于 ( )A . 90°B .60°C .120°D.45°111、已知向量a =（ 1, 1,- 2）, b = 2,1,-，若a • b >0,则实数x 的取值 x范围为（）2 2A .（0,3）B . ©3]C .(,0) U [3,) D .(,0] U [3,)12、设 x 1 ,x 2 R ,常数 a 0 ,定义运算“* ”： X 1 2 2X 2 (X 1X 2) (X 1 X 2),若x 0,则动点P （x,. x a ）的轨迹是（ ）A .圆B .椭圆的一部分C .双曲线的一部分D .抛物线的一部分、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 13、命题“若x 2 4x 3 0 ,贝U x = 1或x = 3 ”的逆否命题 为.14、给出下列四个命题：① x R ，是方程3x -5= 0的根；②x R,| x| 0 ; ③x R,x 21 :④ x R,都不是方程x2 3x 30的根.其中假命题的序号有 _________________ .A . —26B . — 10、如图，：空间四边形 ABCD 中，M 、则AB1BC1 =BD 等于（22A . ADB . GAC . AGD . MG9、已知 A 、B 、C 三点不共线，；C . 2D . 10ABC 外的任一点O ,下列条件中能确8G 分别是BC 、CD 的中点,2 215、若方程卫y 1表示的图形是双曲线，则k的取值范围2 k k 1为____________ •16、抛物线y2 4x的准线方程是_____________ .17、由向量a (1,0, 2) , b ( 1, 2, 1)确定的平面的一个法向量是n (x, y, 2)，贝U x= __________ , y= _________ .三、解答题(本大题共5小题，共53分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程)18、(本小题满分8分)2 2双曲线的离心率等于2,且与椭圆0 二1有相同的焦点，求此双曲线方程.25 919、(本小题满分10分)已知命题P: “若ac 0,则二次方程ax2 bx c 0没有实根”(1) 写出命题P的否命题；(2) 判断命题P的否命题的真假，并证明你的结论.20、(本小题满分11分)已知ab 0,求证a b 1的充要条件是a 3 b 3 ab a 2 b 2 021、(本小题满分12分)如图，在正方体ABCD — A i B i C i D i 中，E 、F 分 别是BB i 、CD 的中点.(I)证明：AD 丄 D i F ; (U)求AE 与D i F 所成的角；(川)证明：面 AED 丄面A i FD i .22、(本小题满分i2分)2 2设椭圆务+占 i (a >b >0)的左焦点为F i ( — 2, 0),左准线L i : x 兰与 a bcx 轴交于点N ( — 3, 0),过点N 且倾斜角为300的直线L 交椭圆于A 、B 两点。

一、选择题1．已知函数()y f x =的定义域为R ，有下面三个命题，命题p ：存在a ∈R 且0a ≠，对任意的x ∈R ，均有()()()+<+f x a f x f a 恒成立，命题1q ：()y f x =在R 上是严格减函数，且()0f x >恒成立；命题2q ：()y f x =在R 上是严格增函数，且存在00x <使得0()0f x =，则下列说法正确的是（ ）A ．1q 、2q 都是p 的充分条件B ．只有1q 是p 的充分条件C ．只有2q 是p 的充分条件D ．1q 、2q 都不是p 的充分条件 2．下列命题中，真命题是（ ）A ．命题“若a b >，则22ac bc >”B ．命题“若a b =，则a b =”的逆命题C ．命题“当2x =-时，2560x x ++=”的否命题D ．命题“终边相同的角的同名三角函数值（三角函数值存在）相等”的逆否命题 3．已知x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x ≥，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值不可能是（ ）A ．12B ．1C ．2D ．2-4．“a b >”是“b a a b e e ->-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．下列4个命题中正确命题的个数是（ ）①已知a ，b 表示直线，α表示平面，若//a α，//b α，则//a b ；②ABC 中，若A B >，则sin sin A B >；③若平面向量a ，b ，c ，满足//a b ，//b c ，则存在a ，c 不共线；④等差数列{}n a 中，n a m =，()m a n m n =≠，则0m n a +=．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 6．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝ 7．下列四个命题中，真命题的个数是（ ）①命题“若ln 1x x +>，则1x >”；②命题“p 且q 为真，则,p q 有且只有一个为真命题”；③命题“所有幂函数()af x x =的图象经过点()1,1”； ④命题“已知22,,4a b R a b ∈+≥是2a b +≥的充分不必要条件”.A ．1B ．2C ．3D ．48．9k >是方程22194x y k k +=--表示双曲线的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件9．下列说法中正确的是( )A ．命题“若x y =，则22x y =”的逆命题为真命题B ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题C ．若p q ∧为假命题，则p q ∨为真命题D ．命题“若两个平面向量,a b 满足||||||a b a b ⋅>⋅，则,a b 不共线”的否命题是真命题. 10．下列判断错误的是（ ）A ．()0f x '=是0x x =为可导函数()y f x =的极值点的必要不充分条件B ．命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是32,10x x x ∃∈-->RC ．命题“若11x -<<，则21x <”的逆否命题是“若21x >，则1x >或1x <-”D ．若0m >，则方程20x x m +-=有实数根的逆命题是假命题11．下列命题正确的是（ ）A ．“若x ＝3，则x 2﹣2x ﹣3＝0”的否命题是：“若x ＝3，则x 2﹣2x ﹣3≠0”B ．在△ABC 中，“A ＞B ”是“sinA ＞sinB ”的充要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p ∨q 一定为假命题D ．“存在x 0∈R ，使得e x 0≤0”的否定是：不存在x 0∈R ，使得e 0x ＞0” 12．条件甲：关于x 的不等式 sincos 1a x b x +>的解集为空集，条件乙：1a b +≤，则甲是乙的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．已知2:230p x x --<，:1q m x m <<+，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________.14．给出下列命题：①纯虚数z 的共轭复数是z -；②若120z z -=，则12z z =；③若12R z z +∈，则1z 与2z 互为共轭复数；④若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数.其中正确命题的序号是_________.15．有下列命题：①在ABC 中，若角A B >，则sin sin A B >；②函数2y ax bx c =++为偶函数的充要条件是0b =；③b =,,a b c 成等比的必要不充分条件；④若函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值，则c 的值为2或6； ⑤1sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的最小值是2. 其中正确命题的序号是____________（注：把你认为正确的命题的序号都填上）. 16．下列命题：①设A ，B 为两个集合，则“A B ⊆”是“AB A =”的充分不必要条件；②0x ∃>，10x x-<；③“|1|1x ->”是“22x x >”的充要条件；④n N ∀∈，代数式241n n ++的值都是质数.其中的真命题是________.（填写序号） 17．若命题“存在实数x ，使得()222(2)40a x a x -+--≥成立”是假命题，则实数a 的取值范围是________.18．已知命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤,若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________.19．有下列命题：①“若0x y +>，则00x y >>且”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m 1≥，则22(1)30mx m x m -+++>的解集是R ”的逆命题；④“若7a +是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．其中正确命题的序号是____________20．命题“0x R ∃∈，使()200110m x mx m +-+-≤”是假命题，则实数m 的取值范围为__________.三、解答题21．设命题p :实数x 满足()(3)0x a x a --<，其中0a >，命题:q 实数x 满足428x ≤≤．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．22．已知1:22x p x +>-，2:50q x ax -+>. （1）若p ⌝为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.23．已知集合{}{}222430(0),540A x x ax a a B x x x =-+≤>=-+≥，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.24．设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a <；:q 实数x 满足260x x --≤，且p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围.25．已知条件:p 对任意[3,4]x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；条件:q 当[0,1]x ∈时，函数221m x x a =-++.（1）若p 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.26．已知命题:p 方程22242220x y x my m m +-++-+=表示圆；命题:q 方程22115x y m a+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】先由命题1q 成立时，利用单调性和函数值为正，结合不等式性质即推出命题p 成立，再由命题2q 成立时，利用单调性和函数零点，推出命题p 成立，即得结果.【详解】命题1q 成立，即()y f x =在R 上是严格减函数，且()0f x >恒成立，故取0a >时，对任意的x ∈R ，x a x +>，则()()f x a f x +<，()0f a >即0()f a <，故()()()+<+f x a f x f a ，即命题1q 可推出命题p ，1q 是p 的充分条件；命题2q 成立，()y f x =在R 上是严格增函数，且存在00x <使得0()0f x =，故取00a x =<时，对任意的x ∈R ，x a x +<，则()()f x a f x +<，0()()0f a f x ==，()()()f x a f x f a +<+，即命题2q 可推出命题p ， 2q 是p 的充分条件；故1q 、2q 都是p 的充分条件.故选：A.【点睛】本题解题关键在于分别由命题1q 、2q ，利用函数的单调性和值的分布特征去证明命题p ，即突破难点.2．D解析：D【分析】根据不等式的性质和四种命题的关系判断各选项．【详解】A ．当0c 时，22ac bc >不成立，A 错；B ．命题“若a b =，则a b =”的逆命题是若a b =，则a b =，错误，也可能是=-a b ；C ．命题“当2x =-时，2560x x ++=”的否命题是若2x ≠-，则2560x x ++≠，错误，3x =-时，也有2560x x ++=；D ．命题“终边相同的角的同名三角函数值（三角函数值存在）相等”是真命题，逆否命题也是真命题．故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，四种命题之间互为逆否的命题同真假，因此原命题的为真只能判断逆否命题为真，而逆命题和否命题的真假不确定，需写出逆命题，否命题进行判断．这也告诉我们当一个命题难以判断真假时可考虑判断其逆否命题的真假． 3．C 解析：C【分析】先解出命题所对应的集合，再将条件之间的关系转化为集合间的关系，即可得解.【详解】因为x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x≥， 所以p 对应的集合()0,1A =，q 对应的集合1B xa x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭， 又p 是q 的充分不必要条件，所以AB ， 当0a =时，集合{}100B xx x x ⎧⎫=≥=>⎨⎬⎩⎭，满足题意； 当>0a 时，集合110B x a x x x a ⎧⎫⎧⎫=≥=<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，此时需满足11a ≥即01a <≤； 当0a <时，集合()11,0,B x a x a ⎧⎫⎛⎤=≥=-∞⋃+∞⎨⎬ ⎥⎩⎭⎝⎦，满足题意； 所以实数a 的取值范围为(],1-∞.所以实数a 的取值不可能是2.故选：C.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把命题间的关系转化为集合间的关系及分类求解命题q 对应的集合.4．C解析：C构造函数()x f x e x =+利用单调性判断.【详解】设()x f x e x =+，()e 10x f x '=+>，所以()f x 为增函数，由于a b >，所以()()f a f b >，所以b a a b e e ->-；反之b a a b e e ->-成立，则有()()f a f b >，所以a b >.所以是充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查充要条件的判定，明确两者之间的推出关系是判定的关键.5．B解析：B【分析】对于①由线面平行的性质知：a 与b 不一定平行，故①错误；对于②，运用三角形的边角关系和正弦定理可判断②正确；对于③，由于向量的平行不满足传递性，故③正确；对于④，由等差数列的性质和通项公式可知④正确．从而得到正确的答案．【详解】对于①，当//a α，//b α时，a 与b 也可能相交或异面，故①错误；对于②，在ABC 中，2sin 2sin sin sin (A B a b R A R B A B R >⇔>⇔>⇔>为ABC 的外接圆的半径），故②正确；对于③，若平面向量a ，b ，c ，满足//a b ，//b c ，当0b =时，a 与c 可以不共线，故③正确；对于④，由n a m =，()m a n m n =≠⇒公差1n m a a m n d n m n m--===---，0m n m a a nd n n +∴=+=-=，故④正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查线面平行的性质、正弦定理与三角形的边角关系、向量共线及等差数列的性质、通项公式等知识点，属于中档题．6．D解析：D【解析】试题分析：不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而¬p 为假命题，¬q 为真命题，所以根据复合命题的真值表得A 、B 、C 均为假命题，故选D ．考点：本题考查复合命题真假的判断．点评：本题直接考查复合命题的真值判断，属于基础题型．7．C解析：C①令()ln f x x x =+，研究其单调性判断.②根据“且”构成的复合命题定义判断.③根据幂函数()a f x x =的图象判断.④由()222222a b a b a b a b +=++≥+，判断充分性，取特殊值1a b ==判断必要性.【详解】①令()ln f x x x =+，()110f x x=+>'，所以()f x 在{}1,+∞上递增 所以()()1f x f >，所以1x >，故正确.②若p 且q 为真，则,p q 都为真命题，故错误.③因为所有幂函数()af x x =的图象经过点()1,1，故正确. ④因为()2222224a b a b a b a b +=++≥+≥，所以2a b +≥，故充分性成立，当1a b ==时，推不出224a b +≥，所以不必要，故正确.故选：C【点睛】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.8．B解析：B【分析】由9k >⇒方程22194x y k k +=--表示双曲线；方程221994x y k k k +=⇒>--或4k <． 【详解】解：已知9k >，90k ∴-<，40k ->，∴方程22194x y k k +=--表示双曲线， 反之，若已知方程22194x y k k +=--表示双曲线， (9)(4)0k k ∴--<，解得9k >或4k <，9k ∴>是方程22194x y k k +=--表示双曲线的充分不必要条件． 故选：B ．【点睛】本题考查充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用9．D解析：D【分析】A 中，利用四种命题的的真假判断即可；B 、C 中，命题“p q ∧”为假命题时，p 、q 至少有一个为假命题；D 中，写出该命题的否命题，再判断它的真假性．【详解】对于A ，命题“若x y =，则22x y =”的逆命题是：若22x y =，则x y =；因为y x =-也成立.所以A 不正确；对于B ，命题“p q ∧”为假命题时，p 、q 至少有一个为假命题，所以B 错误；C 错误； 对于D ，“平面向量,a b 满足||||||a b a b ⋅>⋅”，则,a b 不共线的否命题是，若“平面向量,a b 满足||||||a b a b ⋅≤⋅”，则,a b 共线； 由||||cos a b a b θ⋅=⋅⨯知：||||||a b a b ⋅≥⋅，一定有||||||a b a b ⋅=⋅，cos 1θ=±， 所以,a b 共线，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查了命题的真假性判断问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．10．C解析：C【分析】根据必要不充分条件的判断方法，即可得出A 正确；写出原命题的否定命题，即可判断B ；写出原命题的逆否命题，即可判断C ；写出原命题的逆命题，即可判断D.【详解】对于A ，()0f x '=是0x x =为可导函数()y f x =的极值点的必要不充分条件，故A 正确；对于B ，命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是32,10x x x ∃∈-->R ，故B 正确； 对于C ，命题“若11x -<<，则21x <”的逆否命题是“若21x ≥，则1≥x 或1x ≤-”，故C 错误；对于D ，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆命题是“若方程20x x m +-=有实数根，则0m >”当方程20x x m +-=有实数根时，140m =+≥，即14m ≥-， 所以命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆命题为假命题，故D 正确. 故选：C.【点睛】（1）从逻辑关系上看，若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件；若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 的充要条件；若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件. （2）含有一个量词的命题的否定：一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论；对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定.（3）由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论：将原命题的条件和结论交换，即得原命题的逆命题；将原命题的条件和结论进行否定，作为新命题的条件和结论，即得原命题的否命题．否定命题的条件或结论，关键是否定条件或结论的关键词；先写出原命题的逆命题，再写出逆命题的否命题，即得逆否命题，也可以先写出原命题的否命题，再写出否命题的逆命题，即得逆否命题.11．B解析：B【分析】写出命题的否命题判断A ；ABC ∆中，由正弦定理判断B 的正误；若“p q ∧”为假命题，则p 、q 至少一个是假命题，判断C ；利用命题的否定形式判断D .【详解】对于A ，命题“若3x =，则2230x x --=”的否命题是“若3x ≠，则2230x x --≠”，故A 不正确．对于B ，ABC ∆中，“A B >” ⇔ “a b >”；由正弦定理得“a b >” ⇔ “sin sin A B >”；“ A B >” ⇔ “sin sin A B >”所以B 正确；对于C ，若“p q ∧”为假命题，所以p 、q 至少一个是假命题，所以C 错误；对于D ，“存在0x R ∈，使得00x e ”的否定是：不存在0x R ∈，使得00x e >”，不满足命题的否定形式，所以D 不正确；故选：B ．【点睛】本题考查复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系：“p q ∧”有假则假，全真则真；“p ∨q ”有真则真，全假则假；“p ⌝”真假相反；考查命题的否定与否命题的区别以及考查三角形中正弦定理，是基本知识的考查．12．A解析：A【分析】分别求出条件甲、乙所对应的,a b 的关系式，比较两个关系式所表示的图形，可得出结论.【详解】由题意，当0a b 时，不等式 sincos 1a x b x +>的解集为空集，当,a b 不都为0时，()sin cos a x b x x ϕ+=+，sin ϕ=，cos ϕ=.()1x ϕ+>1，即221a b +≤.如下图，221a b +≤表示以原点为圆心，半径为1的圆及其内部，1a b +≤表示为圆内接正方形及其内部，所以甲是乙的必要不充分条件.故答案为：A.【点睛】本题考查充分性与必要性的判断，考查三角函数的恒等变换，考查不等式表示的平面区域，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】解一元二次不等式求得根据是的必要不充分条件求得的取值范围【详解】由解得所以由于是的必要不充分条件所以解得所以的取值范围是故答案为：【点睛】本小题主要考查根据必要不充分条件求参数考查一元二次不 解析：[]1,2-【分析】解一元二次不等式求得p ，根据p 是q 的必要不充分条件求得m 的取值范围.【详解】由()()223310x x x x --=-+<，解得13x .所以:p ()1,3-.由于p 是q 的必要不充分条件，所以113m m ≥-⎧⎨+≤⎩， 解得12m -≤≤.所以m 的取值范围是[]1,2-.故答案为：[]1,2-【点睛】本小题主要考查根据必要不充分条件求参数，考查一元二次不等式的解法，属于中档题. 14．①④【分析】对于①根据纯虚数和共轭复数的定义可知正确；对于②由得出再由复数相等和共轭复数的定义可知不一定有可知②不正确；对于③则可能均为实数但不一定相等或与的虚部互为相反数但实部不一定相等即可判断出解析：①④【分析】对于①，根据纯虚数和共轭复数的定义可知正确；对于②，由120z z -=得出12z z =，再由复数相等和共轭复数的定义，可知不一定有12z z =，可知②不正确；对于③，12R z z +∈，则12,z z 可能均为实数，但不一定相等，或1z 与2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，，即可判断出③；对于④，由120z z -=得出12z z =，则1z 与2z 互为共轭复数，则④正确；综合得出答案.【详解】解：根据纯虚数和共轭复数的定义，可知命题①显然正确；对于②，若120z z -=，只能得到12z z =，不一定有12z z =，所以命题②不正确； 对于③，若12R z z +∈，则12,z z 可能均为实数，但不一定相等，或1z 与2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，则1z 与2z 不一定互为共轭复数，所以命题③不正确；由120z z -=得出12z z =，则1z 与2z 互为共轭复数，可知命题④正确； 所以正确命题的序号是①④.故答案为：①④.【点睛】本题考查复数相关命题的真假，考查对复数的概念中实数、虚数、纯虚数以及相等复数和共轭复数的特征的理解，属于基础题. 15．①②【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可【详解】若角则由正弦定理得所以故①正确；若是偶函数则即所以反过来当时显然为偶函数故②正确；若时满足但不成等比；若成等比则不一定有所以是成等比的既不充分也不必解析：①②【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.【详解】若角A B >，则a b >，由正弦定理，得2sin 2sin R A R B >，所以sin sin A B >，故①正确；若2()f x ax bx c =++是偶函数，则()()f x f x =-，即22ax bx c ax bx c ++=-+， 所以0b =，反过来，当0b =时，2()f x ax c =+，显然为偶函数，故②正确；若0,0b a ==时，满足b =,,a b c 不成等比；若,,a b c 成等比，则b =不一定有b =b =,,a b c 成等比的既不充分也不必要条件，故③错； 若函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值，则'(2)0f =，即2(2)4(2)0c c -+-=， 解得2c =或6c =，当2c =时，'()(2)(32)f x x x =--，此时2x =是极小值点， 所以不满足题意，故④错；令sin (0,1)t x =∈，则1(2,)y t t=+∈+∞，无最小值，故⑤错.故答案为：①②【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及到奇偶性、充分条件、必要条件、极值、最值等，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题. 16．②③【分析】①根据子集概念是的充分必要条件；②取特殊值使不等式成立判断命题为真；③根据不等式性质可知可判断命题正确；④由于n2+n+41=n （n+1）+41根据乘法分配律和质数的定义得到n=40或n解析：②③【分析】①根据子集概念，“A B ⊆”是“A B A =”的充分必要条件；②取特殊值12x =，使不等式成立，判断命题为真；③根据不等式性质可知2|1|1(1)1x x ->⇔->，可判断命题正确；④由于n2+n+41=n （n+1）+41，根据乘法分配律和质数的定义得到n=40或n=41时，n2+n+41不是质数，可判断命题错误.【详解】对于①根据子集及交集的定义可知,A B AB A A B A A B ⊆⇒==⇒⊆，所以“A B ⊆”是“A B A =”的充分必要条件；②存在特殊值12x =，使不等式成立，判断命题为真；③根据不等式性质可知22|1|1(1)120x x x x ->⇔->⇔->，可判断“|1|1x ->”是“22x x >”的充要条件正确；④由于n 2+n+41=n （n+1）+41，根据乘法分配律和质数的定义得到n=40或n=41时，n 2+n+41分别能被40或41整除，所以不是质数，可判断命题错误.故答案为：②③【点睛】本题主要考查了命题，充分条件，必要条件，质数的概念，属于中档题.17．（﹣22【分析】由原命题的否定为真命题得到∀实数x 使得（a ﹣2）x2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0成立然后分二次项系数为0和不为0讨论当二次项系数不为0时需要二次项系数小于0且判别式小于0求解【详解】命题解析：（﹣2，2]．【分析】由原命题的否定为真命题得到∀实数x ，使得（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0成立，然后分二次项系数为0和不为0讨论，当二次项系数不为0时，需要二次项系数小于0，且判别式小于0求解．【详解】命题“存在实数x ，使得（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4≥0成立”是假命题，则其否定为“∀实数x ，使得（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0成立”是真命题，当a ＝2时，原不等式化为﹣4＜0恒成立；当a ≠2时，则()2204(2)1620a a a -⎧⎨=-+-⎩＜＜，解得﹣2＜a ＜2． 综上，实数a 的取值范围是（﹣2，2]．故答案为：（﹣2，2]．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了复合命题的真假判断，训练了不等式恒成立的解法，是中档题．18．【分析】根据命题否定为真结合二次函数图像列不等式解得结果【详解】因为命题是假命题所以为真所以【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立考查基本分析求解能力属基础题 解析：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】根据命题否定为真，结合二次函数图像列不等式，解得结果【详解】 因为命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤是假命题，所以21,02x R ax x ∀∈++>为真 所以011202a a a >⎧∴>⎨-<⎩ 【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．①③④【解析】对于①若则的逆命题为若则故逆命题为真命题则否命题也为真故①正确；对于②矩形的对角线相等的逆命题为对角线相等的四边形是矩形为假命题故其逆命题也为假故②错误；对于③其逆命题为：若的解集是则解析：①③④【解析】对于①“若0x y +>，则00x y >>且”的逆命题为“若00x y >>且，则0x y +>”故逆命题为真命题，则否命题也为真，故①正确；对于②“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”为假命题，故其逆命题也为假，故②错误；对于③其逆命题为：若()22130mx m x m -+++>的解集是R ，则1m ≥，当该不等式解集为R 时，1.0m =时，不合题意，2.()()2041430m m m m >⎧⎪⎨=+-+<⎪⎩解得1m ，故逆命题为真，即③正确；对于④，原命题为真，故逆否命题也为真，故④正确，即正确的序号为①③④，故答案为①③④.20．【分析】使是假命题则使是真命题对是否等于进行讨论当时不符合题意当时由二次函数的图像与性质解答即可【详解】使是假命题则使是真命题当即转化为不是对任意的恒成立；当使即恒成立即第二个式子化简得解得或所以【解析：m >【分析】 0x R ∃∈，使()200110m x mx m +-+-≤是假命题，则x R ∀∈，使()2110m x mx m +-+->是真命题，对1m +是否等于0进行讨论，当10m +=时不符合题意，当10m +≠时，由二次函数的图像与性质解答即可．【详解】0x R ∃∈，使()200110m x mx m +-+-≤是假命题，则x R ∀∈，使()2110m x mx m +-+->是真命题， 当10m +=，即1m =-，()2110m x mx m +-+->转化为20x ->，不是对任意的x ∈R 恒成立；当10m +≠，x R ∀∈，使()2110m x mx m +-+->即恒成立，即 ()()()2104110m m m m +>⎧⎪⎨--+-<⎪⎩ ，第二个式子化简得234m >，解得3m >或3m <-所以m >【点睛】 本题考查命题间的关系以及二次函数的图像与性质，解题的关键是得出x R ∀∈，使()2110m x mx m +-+->是真命题这一条件，属于一般题．三、解答题21．（1）[)2,3；（2）12a <<.【分析】（1）当1a =时，分别求出p ，q 成立的等价条件，利用p q ∧为真可得x 的取值范围； （2）由题可得q 是p 的充分不必要条件，得Q P ,从而可得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，由()()130x x --<，得p :13x <<，由428x ≤≤，得:q 23x ≤≤，由p ∧q 为真，即p ，q 均为真命题，因此x 的取值范围是[)2,3．（2）若￢p 是￢q 的充分不必要条件，可得q 是p 的充分不必要条件，由题可得命题p 对应的集合{}3P x a x a =<<，命题q 对应的集合{}23Q x x =≤≤， 所以Q P ，因此2a <且33a <，解得12a <<．即实数a 的取值范围是12a <<.【点睛】本题考查充分必要条件的定义和应用，考查复合命题的真假判断，考查分析解决问题的能力，属于基础题.22．（1）2x ≤或5x ≥（2）a <【分析】（1）先解分式不等式得出25x <<，再由p 与p ⌝的关系得出p ⌝为真时x 的取值范围； （2）由题意得出q 是p 的必要不充分条件，从而得到5a x x <+对于任意25x <<恒成立，由基本不等式求出5x x +的最小值，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）122x x +>-等价于()()12220x x x ⎧+->⎨-≠⎩，解得25x << :25p x ∴<<，由p ⌝为真知：2x ≤或5x ≥；（2）q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件.故2:50q x ax -+>对于任意25x <<恒成立故5a x x <+，由基本不等式可知5x x+≥x =故a <【点睛】本题主要考查了根据非命题的真假求参数，根据充分不必要条件求参数，属于中档题. 23．[)10,4,3⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦.【分析】先化简两个集合，再根据充分必要性得到A 是B 的真子集，再列式计算即可.【详解】 解：{}{}224303(0)A x x ax a x a x a a =-+≤=≤≤>， {}2540{1B x x x x x =-+≥=≤或4}x ≥，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，故310a a ≤⎧⎨>⎩或40a a ≥⎧⎨>⎩，103a ∴<≤或4a ≥， ∴实数a 的取值范围是[)10,4,3⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）若p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．24．203a -≤< 【分析】p 是q 的充分不必要条件，则集合A 是集合B 的子集，运用区间端点值之间的关系可求a 的取值范围．【详解】解：0a <，由22430x ax a -+<得3a x a <<，设{}3A x a x a =<<，由260x x --≤得23x -≤≤，设{}23B x x =-≤≤， p 是q 的充分不必要条件，A ∴ B ，323a a ≥-⎧∴⎨≤⎩0a <203a ∴-≤<. 【点睛】 本题是命题真假的判断与应用，考查了必要条件问题，属于中档题．判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．25．（1）[]1,4-；（2）[]1,3-.【分析】（1）把命题p 转化为当[3,4]x ∈时，2min (22)3x m m -≥-，即可求解；（2）根据二次函数的性质，求得[1,4],[,1]A B a a =-=+，根据p 是q 的必要不充分条件，得到B 是A 的真子集，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）由题意，对任意[3,4]x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，即当[3,4]x ∈时，2min (22)3x m m -≥-，又由3x =时，min (22)4x -=，即243m m ≥-，解得14m -≤≤，即实数m 的取值范围[]1,4-.（2）对于命题q ：当[0,1]x ∈时，函数221m x x a =-++，当[0,1]x ∈时，函数2221(1)[,1]m x x a x a a a =-++=-+∈+，记[1,4],[,1]A B a a =-=+，因为p 是q 的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集，可得114a a ≥-⎧⎨+≤⎩且“=”不能同时成立，解得13a -≤≤， 经验证，当1,3a =-时满足题意，所以实数a 的取值范围[]1,3-.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．26．45a ≤<【分析】分别求出命题p ，q 为真命题时参数m 的取值范围，因为p 是q 的必要不充分条件，转化为集合的包含关系，求参数的取值范围.【详解】解：由22242220x y x my m m +-++-+=，得：()()2222x y m m m -++=-++表示圆， 220m m ∴-++>，解得：12m -<<，q 表示焦点在y 上的椭圆，所以015m a <-<-，若p 是q 必要不充分条件，则6205a a-≤⎧⎨<-⎩， 45a ∴≤<.故答案为：45a ≤<.【点睛】关键点点睛：利用圆和椭圆的方程的等价条件是解决本题的关键.。

北京西城区学习探究诊断高中数学选修2- 1第一章 常用逻辑用语 测试一 命题与量词Ⅰ 学习目标会判断命题的正误，理解全称量词与存在量词的意义．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．下列语句中不是命题的是( )(A)团结就是力量 (B)失败乃成功之母 (C)世上无难事(D)向雷锋同志学习2．下列语句能作为命题的是( ) (A)3＞5(B)星星和月亮(C)高一年级的学生 (D)x 2＋｜y ｜＝0 3．下列命题是真命题的是( )(A)y ＝sin ｜x ｜是周期函数 (B)2≤3(C)空集是集合A 的真子集 (D)y ＝tan x 在定义域上是增函数4．下列命题中真命题的个数是( )①∃x ∈R ，x ≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数； ③∃x ∈{x ｜x 是无理数}，x 2是有理数． (A)0(B)1(C)2(D)35．下列语句中表示真命题的是( )(A)x ＞12(B)函数21x y =在(0，＋∞)上是减函数(C)方程x 2－3x ＋3＝0没有实数根(D)函数222++=x xx y 是奇函数6．已知直线a ，b 和平面??，下列推导错误的是( )(A)b a ab a ⊥⇒⊂∀⊥⎪⎭⎪⎬⎫α(B)b a b a ////⇒⎭⎬⎫⊂∃αα(C)αα⊂⇒⎭⎬⎫⊥⊥∃a b b a 或α//a (D)b a b a ////⇒⎭⎬⎫⊂αα7．下列命题是假命题的是( )(A)对于非零向量a ，b ，若a ·b ＝0，则a ⊥b (B)若｜a ｜＝｜b ｜，则a ＝b (C)若ab ＞0，a ＞b ，则ba 11< (D)a 2＋b 2≥2ab8．若命题“ax 2－2ax ＋3＞0对x ∈R 恒成立”是真命题，则实数a 的取值范围是( )(A)0≤a＜3 (B)0≤a≤3 (C)0＜a＜3 (D)0≤a＜3二、填空题9．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对于∀x ∈R 均成立，则实数a 的取值范围是______．10．设A 、B 为两个集合，下列四个命题：①A ⊄B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ②A ⊆/B ⇔A ∩B ＝∅③A ⊆/B ⇔A ⊇B④A ⊆/B ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B其中真命题的序号是______．(把符合要求的命题序号都填上)三、解答题11．判断下列语句哪些是命题？如果是命题，是真命题还是假命题？(1)末位数字是0的整数能被5整除； (2)平行四边形的对角线相等且互相平分； (3)两直线平行则斜率相等；(4)△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ； (5)余弦函数是周期函数吗？ 12．用符号“∀”、“∃”表达下列命题：(1)实数的平方大于等于0； (2)存在一个实数x ，使x 3＞x 2；(3)存在一对实数对，使2x ＋3y ＋3＜0成立．13．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假：(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除又能被5整除； (3)∃x ∈{x ｜x ∈Z }，log 2x ＞0．参考答案第一章 常用逻辑用语测试一 命题与量词1．D 2．A 3．B 4．D 5．C 6．D 7．B 8．A 9．2321<<-a ； 10．④ 11．(1)是命题，是真命题 (2)是命题，是假命题 (3)是命题，是假命题(4)是命题，是真命题 (5)不是命题 12．(1)∀x ∈R ，x 2≥0．(2)∃x ∈R ，使x 3＞x 2．(3)∃(x ，y )，x 、y ∈R ，使2x ＋3y ＋3＜0成立．13．(1)全称命题，真命题． (2)存在性命题，真命题． (3)存在性命题，真命题．测试二 基本逻逻辑联结词Ⅰ 学习目标1．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义． 2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．命题“菱形的对角线互相垂直平分”是( )(A)简单命题(B)“非p ”形式的命题(C)“p 且q ”形式的命题 (D)“p 或q ”形式的命题 2．下列结论中正确的是( )(A)p 是真命题时，“p 且q ”一定是真命题 (B)p 是假命题时，“p 且q ”不一定是假命题 (C)“p 且q ”是假命题时，p 一定是假命题 (D)“p 且q ”是真命题时，p 一定是真命题 3．如果“p 或q ”与“非p ”都是真命题，那么( )(A)q 一定是真命题 (B)q 不一定是真命题 (C)p 不一定是假命题(D)p 与q 的真假相同4．“xy ≠0”是指( )(A)x ≠0且y ≠0(B)x ≠0或y ≠0(C)x ，y 至少一个不为零 (D)x ，y 不都为零 5．命题5:p 的值不超过2，命题2:q 是无理数，则( )(A)命题“p 或q ”是假命题 (B)命题“p 且q ”是假命题(C)命题“非p ”是假命题 (D)命题“非q ”是真命题6．下列命题的否定是真命题的是( )(A)∀x ∈R ，x 2－2x ＋2≥0(B)所有的菱形都是平行四边形(C)∃x ∈R ，｜x －1｜＜0 (D)∃x ∈R ，使得x 3＋64＝07．下列命题的否定是真命题的是( )(A)∃x ∈R ，x 2＝1(B)∃x ∈R ，使得2x ＋1≠0成立 (C)∀x ∈R ，x 2－2x ＋1＞0(D)∃x ∈R ，x 是x 3－2x ＋1＝0的根8．已知U ＝R ，A ⊆U ，B ⊆U ，若命题A p ∈2:∪B ，则命题∈“⌝p ”是( )(A)2∉A (B)2∈U B (C)2∉A ∩B(D)2∈(U A )∩(U B )9．由下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的复合命题中，“p 或q ”为真、“p 且q ”为假、“非p ”为真的是( )(A)p ：11不是质数，q ：6是18和15的公约数 (B)p ：0∈N ，q ：{0}{－1，0}(C)p ：方程x 2－3x ＋1＝0的两根相同，q ：方程2x 2－2＝0的两根互为相反数 (D)p ：矩形的对角线相等，q ：菱形的对角线互相垂直10．命题p ：∃a ∈R ，使方程x 2＋ax ＋1＝0有实数根，则“⌝p ”形式的命题是( )(A)存在实数a ，使方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根 (B)不存在实数a ，使方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根 (C)对任意实数a ，使方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根 (D)至多有一个实数a ，使方程x 2＋ax ＋1＝0有实数根 二、填空题11．命题“∀x ∈A ，x ∈A ∪B ”的命题的否定是________________．12．“l ⊥??”的定义是“若∀g ⊂??，l ⊥g ，则称l ⊥??”，那么“直线l 不垂直于平面??”的定义是_____________________________．13．已知命题：“非空集合A 的元素都是集合B 的元素”是假命题．那么给出下列命题：①“A 中的元素都不是集合B 的元素”；②“A中有不属于B的元素”；③“A中有B的元素”；④“A中的元素不都是B的元素”．其中真命题的序号是______．(将正确命题的序号都填上)14．“A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈A，都有x∈B，则称A⊆B”．那么“A 不是B的子集”可用数学语言表达为________________．三、解答题15．写出下列命题的否定，并判断真假：(1)质数都是奇数；(2)∀x∈R，3x－5＞2x；(3)∀A⊆U(U为全集)，∅是集合A的真子集．16．命题p：正方形是菱形；q：正方形是梯形．写出其构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断其真假．测试二基本逻辑联结词1．C 2．D 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C 8．D 9．C 10．C11．∃x∈A，但x∉A∪B12．∃g⊂?，l不垂直g，则称直线l不垂直于平面??13．②④14．若∃x∈A但x∉B，则称A不是B的子集15．解：(1)命题的否定：质数不都是奇数，真命题(2)命题的否定：∃x∈R，使3x－5≤2x，真命题(3)命题的否定：∃A⊆U，∅不是集合A的真子集，真命题16．答：p或q：正方形是菱形或梯形．(真命题)p且q：正方形是菱形且是梯形．(假命题)非p：正方形不是菱形．(假命题)测试三充分条件、必要条件与四种命题Ⅰ学习目标1．了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题．2．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系．Ⅱ基础性训练一、选择题1．“两个三角形相似”的一个充分不必要条件是( )(A)它们的面积相等(B)它们的三边对应成比例(C)这两个三角形全等(D)这两个三角形有两个对应角相等2．已知a为正数，则“a＞b”是“b为负数”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件3．条件p：ac2＞bc2是条件q：a＞b(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件4．若条件甲：“=”，条件乙：“ABCD是平行四边形”，则甲是乙的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件5．若命题p的逆命题是q，命题p的逆否命题是r，则q是r的( )(A)逆命题 (B)否命题(C)逆否命题 (D)非四种命题关系 6．原命题的否命题为假，可判断( )(A)原命题为真(B)原命题的逆命题为假 (C)原命题的逆否命题为假 (D)都无法判断 7．已知集合A ＝{x ｜x 2－5x －6≤0}，B ＝x ｜x 2－6x ＋8≤0，则x ∈A 是x ∈B 的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件8．在下列命题中，真命题是( )(A)命题“若ac ＞bc ，则a ＞b ”(B)命题“若a n 是n 的一次函数，则数列{a n }是等差数列”的逆命题 (C)命题“若x ＝3，则x 2－4x ＋3＝0”的否命题 (D)命题“若x 2＝4，则x ＝2”的逆命题9．设x ，y ∈R ，｜x －1｜＋(y －2)2≠0等价于( )(A)x ＝1且y ＝2 (B)x ＝1或y ＝2 (C)x ≠1或y ≠2(D)x ≠1且y ≠210．下列4组条件中，甲是乙的充分不必要条件的是( )(A)甲：a ＞b ，乙：ba 11< (B)甲：ab ＜0，乙：｜a ＋b ｜＜｜a －b ｜ (C)甲：a ＝b ，乙：ab b a 2=+(D)甲：⎩⎨⎧<<<<1010b a ，乙：⎩⎨⎧<-<-<+<1120b a b a二、填空题11．原命题“若x ＜3，则x ＜4”的逆否命题是_________________________. 12．“直线l ∥平面??”是“直线l 在平面??外”的__________________条件． 13．命题“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”的逆否命题是__________________.14．“函数y ＝x 2＋bx ＋c ，x ∈[1，＋∞)是单调函数”的充要条件是__________________． 15．举一个反例，说明命题“若a ，b 是无理数，则a ＋b 是无理数”是假命题：____________________________________. 16．给出下列命题：①“角平分线上的点到角的两边距离相等”的逆否命题 ②“圆内接四边形的对角互补”的否命题 ③“若ac ＞bc ，则a ＞b ”的逆命题 ④“若a ＋5∈Q ，则a ∈Q ”的逆命题其中正确的命题是______(请填入正确命题的序号)． 17．①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若a ≤－1，则方程x 2－2ax ＋a 2⊆＋a ＝0有实数根”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题．其中正确的命题是______．(填上你认为正确的命题序号) 18．设全集为S ，集合A ，B ⊆S ，有下列四个命题：①A ∩B ＝A ； ②s A ⊇s B ； ③(s B )∩A ＝∅； ④(s A )∩B ＝∅．其中是命题A ⊆B 的充要条件的命题序号是______．测试三 充分条件、必要条件与四种命题1．C 2．B 3．A 4．B 5．B 6．B 7．B 8．D 9．C 10．D 11．若x ≥4，则x ≥3 12．充分不必要13．若x ≠0且y ≠0，则xy ≠0 14．b ≥－2 15．2,2-==b a 都是无理数，但a ＋b ＝0是有理数；也可举例2,21-=+=b a 等．16．①②④ 17．①③ 18．①②③第二章 圆锥曲线与方程 测试四 曲线与方程Ⅰ 学习目标1．了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想． 2．初步掌握求曲线方程的基本方法．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．在点A (4，4)，B (3，4)，C (－3，3)，)62,2(D 中，有几个点在方程x 2－2x ＋y 2＝24的曲线上( )(A)1个(B)2个 (C)3个(D)4个2．方程x 2＋3(y －1)2＝9的曲线一定( )(A)关于x 轴对称 (B)关于y 轴对称 (C)关于原点对称(D)以上都不对 3．已知等腰△ABC 的底边两端点的坐标分别为B (4，0)，C (0，－4)，则顶点A 的轨迹方程是( ) (A)y ＝x(B)y ＝x (x ≠2)(C)y ＝－x(D)y ＝－x (x ≠2) 4．方程log (2x )y ＝1与下列方程表示同一曲线的是( )(A)y ＝2x (x ≥0) (B)y ＝2x (x ＞0且21=/x ) (C)y ＝2x (x ＞0) (D)y ＝2x (y ＞0)5．方程(2x －y －1)(3x ＋2y ＋1)＝0与方程(2x －y －1)2＋(3x ＋2y ＋1)2＝0的曲线是( )(A)均表示两条直线 (B)前者是两条直线，后者表示一个点 (C)均表示一个点(D)前者是一个点，后者表示两条直线二、填空题6．直线x ＋2y －9＝0与曲线xy ＝10的交点坐标为______．7．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)经过坐标原点的充要条件是______． 8．到两平行线l 1：3x ＋2y －4＝0，l 2：3x ＋2y －8＝0距离相等的点的轨迹方程是______． 9．若动点P 到点(1，1)的距离等于它到y 轴的距离，则动点P 的轨迹方程是______． 10．已知两定点A (－1，0)，B (3，0)，动点P 满足21||||=PB PA ，则动点P 的轨迹方程是 ________________________． 三、解答题11．已知动点P 到两定点M (1，3)，N (3，1)的距离平方之和为20，求动点P 的轨迹方程．12．试画出方程｜x ＋｜y ｜＝1的曲线，并研究其性质．13．如图，设D 为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0的圆心，若P 为圆C 外一动点，过P 向圆C 作切线PM ，M为切点，设2=PM ，求动点P 的轨迹方程．Ⅲ 拓展性训练14．如图，已知点P (-3，0)，点Q 在x 轴上，点A 在y 轴上，且0=⋅AQ PA ，AQ QM 2=．当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．第二章 圆锥曲线与方程测试四 曲线与方程1．C 2．B 3．D 4．B 5．B6．(5，2)，)25,4( 7．F ＝0 8．3x ＋2y －6＝0 9．)21(2)1(2-=-x y 10．3x 2＋3y 2＋14x －5＝011．x 2＋y 2－4x －4y ＝0． 12．方程的曲线如图．(1)曲线的组成：由四条线段首尾连接构成的正方形；(2)曲线与坐标轴的交点：四个交点分别是(1，0)、(0，1)、(－1，0)、(0，－1)； (3)曲线的对称性：关于两坐标轴对称，关于原点对称 13．圆C 化简为：(x －2)2＋(y ＋2)2＝2， ∴圆心D (2，－2)，半径2=r ，设点P (x ，y )，由题意，得DM ⊥PM ， ∴｜PD ｜2＝｜PM ｜2＋｜DM ｜2， ∵2=PM ,2||=DM ,6||=PD , ∴6)2()2(22=++-y x ，故动点P 的轨迹方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6． 14．设动点M (x ，y )，A (0，b )，Q (a ，0)，∵P (－3，0)，∴),(),,(),,3(y a x b a b -=-==，∵0=⋅AQ PA，∴(3，b )·(a ，－b )＝0，即3a －b 2＝0． ① ∵2=，∴(x －a ，y )＝2(a ，－b )，即x ＝3a ，y ＝－2b ． ② 由①②，得y 2＝4x ． ∴轨迹E 的方程为y 2＝4x ．测试五 椭圆AⅠ 学习目标1．理解椭圆的定义，掌握椭圆的两种标准方程．2．掌握椭圆的几何性质，椭圆方程中的a ，b ，c ，e 的几何意义、相互关系、取值范围等对图形的影响．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．长半轴长为4，短半轴长为1，目焦点在x 轴上的椭圆标准方程是( )(A)1422=+y x (B)1422=+y x(C)11622=+y x(D)11622=+y x2．椭圆1251622=+y x 的焦点坐标是( )(A)(0，3)，(0，－3) (B)(3，0)，(－3，0) (C)(0，5)，(0，－5)(D)(4，0)，(－4，0)3．若椭圆13610022=+y x 上一点P 到其焦点F 1的距离为6，则P 到另一焦点F 2的距离为( )(A)4(B)194(C)94(D)144．已知F 1，F 2是定点，821=F F ，动点M 满足｜MF 1｜＋｜MF 2｜＝8，则动点M 的轨迹是( )(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段5．如果方程x 2＋ky 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )(A)k ＜1 (B)k ＞1(C)0＜k ＜1(D)k ＞1，或k ＜0二、填空题6．经过点)2,3(-M ，)1,32(-N 的椭圆的标准方程是______． 7．设a ，b ，c 分别表示离心率为21的椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a 、b 、c 的大小关系是______．8．设P 是椭圆14522=+y x 上一点，若以点P 和焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则点P 的坐标为_______．9．过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的弦AB 与另一个焦点F 2围成的△ABF 2的周长是_______． 10．已知△ABC 的周长为20，B (－4，0)，C (4，0)，则点A 的轨迹方程是____________． 三、解答题11．设椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的两个焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥，F 1F 2，34||1=PF ，314||2=PF ，求椭圆C 的方程． 12．已知椭圆164100:221=+y x C ，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．13．设椭圆149:22=+y x C 的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为C 上的动点，若021<⋅PF 求点P 的横坐标的取值范围测试五 椭圆A1．C 2．A 3．D 4．D 5．B6．151522=+y x 7．a ＞b ＞c 8．)1,215(±± 9．22 10．)0(1203622=/=+y y x 11．因为点P 在椭圆C 上，所以2a ＝｜PF 1｜＋｜PF 2｜＝6，所以a ＝3．在Rt △PF 1F 2中，52||||||212221=-=PF PF F F ，故椭圆的半焦距5=c ，从而b 2＝a 2－c 2＝4，所以，椭圆C 的方程为14922=+y x ．12．(1)长半轴长10，短半轴长8，焦点坐标(6，0)、(－6，0)，离心率53=e； (2)椭圆164100:222=+x y C ，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴，y 轴，原点对称；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)； ④离心率：53=e． 13．由题意，)0,5(),0,5(21F F -，设P (x ，y )，则),5(),,5(21y x PF y x PF --=---=，所以052221<+-=⋅y x PF ，由14922=+y x ，得94422x y -=，代入上式，得094122<--x x ，解得553553<<-x ． 测试六 椭圆BⅠ 学习目标1．能初步应用椭圆的定义、几何性质解决与椭圆有关的简单问题．2．通过解决与椭圆的有关问题，进一步体会数形结合的思想、函数与方程的思想．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．椭圆)2(12522>=-++m m y m x 的焦点坐标是( )(A)(±7，0)(B)(0，±7)(C))0,7(±(D))7,0(±2．过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同焦点的椭圆方程是( )(A)1101522=+y x (B)110522=+y x (C)1151022=+y x(D)1202522=+y x3．曲线192522=+y x 与)9(192522<=-+-k ky k x 有相同的( ) (A)短轴(B)焦点(C)长轴(D)离心率4．已知F (c ，0)是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点，设b ＞c ，则椭圆C 的离心率e 满足( )(A)20<<e (B)220<<e (C)210<<e (D)122<<e 5．已知两定点M (－1，0)、N (1，0)，直线l ：y ＝－2x ＋3，在l 上满足｜PM ｜＋｜PN ｜＝4的点P 有( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个二、填空题6．若方程1162522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是______.7．若椭圆)8(19822->=++k y k x 的离心率21=e ，则k 的值为________.8．过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的中心的直线l 与椭圆相交于两点A 、B ，设F 2为该椭圆的右焦点，则△ABF 2面积的最大值是________.9．椭圆192522=+y x 上一点M 到左焦点F 1的距离为2，点N 是MF 1的中点，设O 为坐标原点，则ON ＝________.10．P 为椭圆16410022=+y x 上一点，左右焦点分别为F 1、F 2，若∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________. 三、解答题11．求出直线y ＝x ＋1与椭圆12422=+y x 的公共点A ，B 的坐标，并求线段AB 中点的坐标．12．已知点P 为椭圆x 2＋2y 2＝98上一个动点，A (0，5)，求｜PA ｜的最值． 13．求过点P (3，0)且与圆x 2＋6x ＋y 2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程．Ⅲ 拓展性训练14．我们把由半椭圆)0(12222≥=+x b y a x 与半椭圆)0(12222≤=+x cx b y 合成的曲线称作“果圆”，其中a 2＝b 2＋c 2，a ＞0，b ＞c ＞0．如图，设点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点，A 1，A 2和B 1，B 2是“果圆”与x ，y 轴的交点，M 是线段A 1A 2的中点．(1)若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；(2)设P 是“果圆”的半椭圆)0(12222≤=+x cx b y 上任意一点．求证：当｜PM ｜取得最小值时，P 在点B 1，B 2或A 1处；(3)若P 是“果圆”上任意一点，求｜PM ｜取得最小值时点P 的横坐标．测试六 椭圆B1．C 2．A 3．B 4．B 5．C 6．2529<<m 7．4或45- 8．22b a b - 9．4 10．3364 提示：9．设F 2为椭圆的右焦点，由椭圆的定义｜MF 2｜＋MF 1｜＝2a ，得｜MF 2｜＝10－2＝8，在△MF 1F 2中，∵｜MN ｜＝NF 1｜，｜OF 1｜＝｜OF 2｜， ∴4||21||2==MF ON． 10．设｜PF 1｜＝r 1，｜PF 2｜＝r 2，由椭圆定义，得r 1＋r 2＝20……①由余弦定理，得60cos 2)2(2122212r r r r c -+=，即② 144212221=-+r r r r ，由①2－②，得3r 1r 2＝256，∴33642332562160sin 212121=⨯⨯==∆ r r S F PF ．11．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把y ＝x ＋1代入椭圆方程12422=+y x ，得3x 2＋4x －2＝0，解得3102,310221--=+-=x x ， 所以)3101,3102(),3101,3102(---++-B A ，故AB 中点)2,2(2121y y x x ++的坐标为)31,32(-．(注：本题可以用韦达定理给出中点横坐标，简化计算) 12．设P (x ，y )，则2510)5(||2222+-+=-+=y y x y x PA ，因为点P 为椭圆x 2＋2y 2＝98上一点，所以x 2＝98－2y 2，－7≤y ≤7， 则148)5(2510298||222++-=+-+-=y y y y PA ，因为－7≤y ≤7，所以，当y ＝－5时，372148|max ==PA ；当y ＝7时，｜PA ｜min ＝2．13．圆的方程整理为(x ＋3)2＋y 2＝102，圆心为C 1(－3，0)，半径R ＝10．设所求动圆圆心为C (x ，y )，半径为r ， 则有⎩⎨⎧-==.||,||1r R CC r CP 消去r ，得CC 1｜＋CP ｜＝10，又C 1(－3，0)，P (3，0)，｜C 1P ｜＝6＜10，所以，由椭圆的定义知圆心C 的轨迹是以C 1，P 为焦点的椭圆， 且半焦距c ＝3，2a ＝10，a ＝5，从而b ＝4，所以，所求的动圆的圆心C 的轨迹方程为1162522=+y x ．14．(1)∵),0(),,0(),0,(2222210c b F c b F c F ---，∴1)(||32220==+-=b c c b F F ,12||2221=-=c b F F ，于是47,432222=+==c b a c， 所求“果圆”方程为)0(134),0(1742222≤=+≥=+x x y x y x ．(2)∵M 是线段A 1A 2的中点，又A 1(－c ，0)，A 2(a ，0)，∴)0,2(ca M -，设P (x ，y )，则12222=+c x b y ，即22222x c b b y -=，又222)2(||y c a x PM +=--=0,4)().()1(22222≤≤-+-+---=x c b c a x c a x cb ，∵0122<-cb ∴|PM |2的最小值只能在x ＝0或x ＝－c 处取到．即当｜PM ｜取得最小值时，P 在点B 1，B 2或A 1处．(3)∵｜A 1M ｜＝｜MA 2｜，且B 1和B 2同时位于“果圆”的半椭圆)0(12222≥=+x by a x和半椭圆)0(12222≤=+x c x b y 上，所以，由(2)知，只需研究P 位于“果圆”的半椭圆2222by a x +＝1(x≥0)上的情形即可．22222222224)(4)(]2)([c c a a c a b cc a a x a c ---++--=． 当a c c a a x ≤-=222)(即a ≤2c 时，｜PM ｜2的最小值在222)(c c a a x -=时取到，此时P 的横坐标是222)(cc a a - 当a cc a a x >-=222)(，即a ＞2c 时，由于｜PM ｜2在x ＜a 时是递减的， ｜PM ｜2的最小值在x ＝a 时取到，此时P 的横坐标是a ．综上所述，若a ≤2c ，当｜PM ｜取得最小值时，点P 的横坐标是222)(cc a a -；若a ＞2c ，当｜PM ｜取得最小值时，点P 的横坐标是a 或－c ．测试七 双曲线Ⅰ 学习目标1．理解双曲线的定义，掌握椭圆的两种标准方程．2．掌握双曲线的几何性质，双曲线方程中的a ，b ，c ，e 的几何意义、相互关系、取值范围等对图形的影响．3．能初步应用双曲线的定义、几何性质解决与双曲线有关的简单问题，并初步体会数形结合的思想．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．双曲线117822=-x y 的焦点坐标为( )(A)(±5，0)(B)(±3，0)(C)(0，±3)(D)(0，±5)2．顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8，离心率45=e的双曲线为( ) (A)191622=-y x (B)1251622=-y x(C)116922=-y x (D)1162522=-y x3．若方程11222=+-+m y m x 表示双曲线，则m 的取值范围为( )(A)m ＞－1(B)A ＞－2 (C)m ＞－1，或m ＜－2(D)－2＜m ＜14．设动点M (x ，y )到A (－5，0)的距离与它到B (5，0)距离的差等于6，则M 点的轨迹方程是( )(A)116922=-y x(B)116922=-x y(C))3(116922-≤=-x y x(D))3(116922≥=-x y x5．若双曲线经过点)3,6(，且渐近线方程是x y 31±=，则双曲线的方程是( )(A)193622=-y x (B)198122=-y x(C)1922=-y x (D)131822=-y x二、填空题6．双曲线4x 2－9y 2＝36的焦点坐标____________，离心率____________，渐近线方程是__________.7．与双曲线191622=-y x 共渐近线，且过点)3,32(-A 的双曲线的方程为________．8．椭圆14222=+a y x 与双曲线12222=-y a x 有相同的焦点，则a ＝____________. 9．双曲线191622=-y x 上的一点P ，到点(5，0)的距离为15，则点P 到点(－5，0)的距离为_____________________.10．已知双曲线)2(12222>=-a y a x 两条渐近线的夹角为3π，则此双曲线的离心率为_________________. 三、解答题11．已知三点P (5，2)，F 1(－6，0)，F 2(6，0)．(1)求以F 1，F 2为焦点，且过点P 的椭圆的标准方程；(2)设点P ，F 1，F 2关于直线y ＝x 的对称点分别为P ′，F 1′，F 2′，求以F 1′，F 2′为焦点且过点P ′的双曲线的标准方程．12．已知定圆O 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆O 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆O 1，O 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．13．以双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做C 的共轭双曲线．(1)写出双曲线15422=-y x 的共轭双曲线的方程；(2)设双曲线C 与其共轭双曲线的离心率分别为e 1，e 2，求证1112221=+e e . 测试七 双曲线1．D 2．A 3．C 4．D 5．C6．x y 32,313),0,13()0,13(±=-、7．144922=-x y 8．－1或1 9．7或23 10．332 11．(1)521||,55211||222221=+==+=PF PF ，由椭圆定义，得6,56||||221==+=c PF PF a ， 所以b 2＝a 2－c 2＝9，所以，椭圆的方程为194522=+y x ；(2)点P ，F 1，F 2关于直线y ＝x 的对称点分别为P '(2，5)，F 1'(0，－6)，F 2 '(0，6)，由双曲线定义，得2a ＝｜''1F P ｜－｜''2F P ｜＝54，c ＝6，所以，b 2＝c 2－a 2＝16，所以，双曲线的方程为1162022=-x y ．12．圆O 1方程化为：(x ＋5)2＋y 2＝1，所以圆心O 1(－5，0)，r 1＝1，圆O 2方程化为：(x －5)2＋y 2＝16，所以圆心O 2(5，0)，r 2＝4， 设动圆半径为r ，因为动圆M 与定圆O 1，O 2都外切，所以｜MO 1｜＝r ＋1，｜MO 2｜＝r ＋4， 则｜MO 2｜－MO 1＝3，由双曲线定义，得动点M 轨迹是以O 1，O 2为焦点的双曲线的一支(左支)，所以491,5,2322=--===a c b c a， 故双曲线的方程为)23(19149422>-≤=-x y x ． 13．(1)双曲线15422=-y x 的共轭双曲线的方程为14522=-x y ；(2)在双曲线C 中，半焦距22b ac +=，所以离心率ab a ace 221+==； 双曲线C 共轭双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a x by α，其半焦距为22b a +，所以离心率bb a e 222+=． 所以，1112222222221=+++=+ba b b a a e e．测试八 抛物线AⅠ 学习目标1．初步掌握抛物线的定义、简单性质和抛物线的四种形式的标准方程．2．初步了解用抛物线的定义及性质去求抛物线的方程，了解抛物线的简单应用．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．顶点在原点，焦点是(0，5)的抛物线的方程是( )(A)y 2＝20x(B)x 2＝20y(C)x y 2012=(D)y x2012=2．抛物线x 2＝－8y 的焦点坐标是( )(A)(－4，0) (B)(0，－4) (C)(－2，0) (D)(0，－2)3．若抛物线y 2＝8x 上有一点P 到它的焦点距离为20，则P 点的坐标为( )(A)(18，12)(B)(18，－12)(C)(18，12)，或(18，－12)(D)(12，18)，或(－12，18) 4．方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为( )(A)一椭圆和一双曲线的离心率 (B)两抛物线的离心率 (C)一椭圆和一抛物线的离心率(D)两椭圆的离心率5．点P 到点F (4，0)的距离比它到直线l ：x ＝－6的距离小2，则点P 的轨迹方程为( )(A)x y 612=(B)y 2＝4x (C)y 2＝16x (D)y 2＝24x二、填空题6．准线为x ＝2的抛物线的标准方程是____________． 7．过点A (3，2)的抛物线的标准方程是___________． 8．抛物线y ＝4x 2的准线方程为____________．9．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，若点A (－2，3)到其焦点的距离是5，则p ＝________. 10．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．能使这抛物线方程为y 2＝10x 的条件是_______．(要求填写合适条件的序号) 三、解答题11．抛物线的顶点在原点，焦点在直线x －2y －4＝0上，求抛物线的标准方程．12．求以抛物线2y ＝8x 的顶点为中心，焦点为右焦点且渐近线为x y 3±=的双曲线方程． 13．设P 是抛物线221x y =上任意一点，A (0，4)，求｜PA ｜的最小值． 测试八 抛物线A1．B 2．D 3．C 4．A 5．C 6．x y 82-= 7．x y342=或y x 292= 8．161-=y 9．4 10．②，④ 11．由题意，焦点既在坐标轴上，又在直线x －2y －4＝0上，令x ＝0，得焦点为(0，－2)；令y ＝0，得焦点为(4，0) 当焦点为(0，－2)时，抛物线方程为x 2＝－8y ； 当焦点为(4，0)时，抛物线方程为y 2＝16x ． 12．抛物线y 2＝8x 的顶点为(0，0)，焦点为(2，0)，所以，双曲线的中心为(0，0)，右焦点为(2，0)，由双曲线的渐近线为x y 3±=知，可设所求双曲线方程为)0(322>=-λλy x ，即1322=-λλy x ，由222b a c +=，得λ＋3λ＝4，解得λ＝1， 所以，所求双曲线方程为1322=-y x ．13．由题意，设P (x ，y )，则168)4()0(||2222+-+=-+-=y y x y x PA ，因为P (x ，y )是抛物线221x y =上任意一点，所以x 2＝2y ，y ≥0， 代入上式，得7)3(166|22+-=+-=y y y PA ，因为y ≥0，所以当y ＝3时，｜PA ｜min ＝7， 即当点)3,6(±P 时，｜PA ｜有最小值7．测试九 抛物线BⅠ 学习目标1．进一步掌握抛物线定义、性质、图形及其应用．2．通过解决与抛物线有关的问题，进一步体会数形结合的思想，函数与方程的思想．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．抛物线x 2＝y 的准线方程是( )(A)4x ＋1＝0(B)4y ＋1＝0(C)2x ＋1＝0(D)2y ＋1＝02．抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离是( )(A)32(B)3(C)321 (D)341 3．连接抛物线x 2＝4y 的焦点F 与点M (1，0)所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为( )(A)21+-(B)223- (C)21+(D)223+ 4．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( )(A)34 (B)57 (C)58 (D)35．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上的一点，若4-=⋅，则点A 的坐标为( ) (A))22,2(± (B)(1，2)(C)(1，±2)(D))22,2(二、填空题6．过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，作垂直于抛物线对称轴的直线l ，设l 交抛物线于A ，B 两点，则｜AB ｜＝_________．7．抛物线y ＝－ax 2(a ＞0)的焦点坐标为_________．8．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝_________． 9．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点横坐标为3，则｜AB ｜＝_________．10．设F 是抛物线y 2＝6x 的焦点，A (4，－2)，点M 为抛物线上的一个动点，则｜MA ｜＋｜MF ｜的最小值是_________． 三、解答题11．设抛物线C 的焦点在y 轴正半轴上，且抛物线上一点Q (－3，m )到焦点的距离为5，求其抛物线的标准方程．12．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线C 上，且2x 2＝x 1＋x 3，求证：2|FP 2｜＝｜FP 1|＋｜FP 3｜．13．已知点A (0，－3)，B (2，3)，设点P 为抛物线x 2＝y 上一点，求△PAB 面积的最小值及取到最小值时P点的坐标．Ⅲ 拓展性训练14．设F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点P 为抛物线C 上一点，若点P 到点F 的距离等于点P 到直线l ：x ＝－1的距离． (1)求抛物线C 的方程；(2)设B (m ，0)，对于C 上的动点M ，求｜BM |的最小值f (m )．测试九 抛物线B1．B 2．B 3．B 4．A 5．C 6．6 7．)41,0(a -8．2 9．8 10．211 11．由题意，设抛物线为x 2＝2py (p ＞0)，因为点Q (－3，m )在抛物线上， 所以(－3)2＝2pm ，即Pm29=① 因为点Q (－3，m )到焦点的距离为5，所以52||=+P m②由①②得，5229=+pp ，解得p ＝1或9， 所以抛物线的标准方程为x 2＝2y ，或x 2＝18y ．12．由抛物线定义，知2||11p x PF +=,2||22p x F P +=,2||33px F P +=, 所以｜FP 1｜＋｜FP 3｜＝x 1＋x 2＋p ，2｜FP 2｜＝2x 2＋p ， 又x 1＋x 3＝2x 2，所以2｜FP 2｜＝｜FP 1｜＋｜FP 3｜． 13．直线AB 的方程为30233--+=x y ，即3x －y －3＝0， 102)33()20(||22=--+-=AB ，因为点P 在x 2＝y 上，所以设P (x ，x 2)，所以点P 到直线AB 的距离10|43)23(|91|33|22+-=+--=x x x d ， 因为x ∈R ，所以当23=x 时，1043min =d , 故当)49,23(P 时，△PAB 面积有最小值43104310221=⨯⨯=S ． 14．(1)由抛物线定义，知抛物线的方程为x y 42=；(2)设C 上的动点M 的坐标为(x 0，y 0)，∴2020*******)0()(||y m mx x y m x BM ++-=-+-=， ∵20y ＝4x 0， ∴44)]2([42||2002020-+--=++-=m m x x m mx x BM ．∵x 0≥0，∴当m －2＜0时，｜BM ｜min ＝｜m ｜； 当m －2≥0时，44||min -=m BM ;综上，对于C 上的动点M ，｜BM ｜的最小值⎩⎨⎧≥-<=)2(,12)2(|,|)(m m m m m f ． 测试十 圆锥曲线综合练习(选学)Ⅰ 学习目标1．能熟练地解决直线和圆锥曲线的位置关系问题．2．能应用数形结合思想、方程思想等数学思想解决圆锥曲线综合问题．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．过点P (2，4)作直线l ，使l 与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线l 有( )(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条2．一个正三角形的顶点都在抛物线y 2＝4x 上，其中一个顶点在坐标原点，则这个三角形的面积是( )(A)348(B)324(C)3916(D)3463．过双曲线1222=-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若｜AB ｜＝4，则这样的直线有( )(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条4．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上总存在点P ，使021=⋅PF PF ，其中F 1，F 2是椭圆的焦点，那么该椭圆的离心率的取值范围是( ) (A)]21,12[-(B))12,0(- (C)]22,21[ (D))1,22[5．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 1，左、右顶点分别为A 1、A 2，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆的位置关系为( ) (A)相切 (B)相交(C)相离(D)以上情况都有可能二、填空题6．直线y ＝x ＋1与抛物线y 2＝4x 的公共点坐标为____________．7．若直线y ＝kx ＋1与椭圆1522=+my x 恒有公共点，则m 的取值范围是___________． 8．设P 是等轴双曲线x 2－y 2＝a 2(a ＞0)右支上一点，F 1、F 2是左右焦点，若=⋅212F F PF 0，｜PF 1｜＝6，则该双曲线的方程是_____________________．9．过椭圆192522=+y x 的焦点，倾斜角为45°的弦AB 的长是_______________．10．若过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点F ，作渐近线x ab y =的垂线与双曲线左、右两支都相交，则此双曲线的离心率e 的取值范围是_______________． 三、解答题11．中心在原点，一个焦点为)50,0(F 的椭圆C ，被直线y ＝3x －2截得的弦的中点的横坐标为0.5，求椭圆C 的方程．12．已知双曲线C ：3x 2－y 2＝1，过点M (0，－1)的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点．(1)若10||=AB ，求直线l 的方程；(2)若点A 、B 在y 轴的同一侧，求直线l 的斜率的取值范围．13．正方形ABCD 在坐标平面内，已知其一边AB 在直线y ＝x ＋4上，另外两点C 、D 在抛物线y 2＝x 上，求正方形ABCD 的面积．Ⅲ 拓展性训练14．设点M 在x 轴上，若对过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 左焦点F 的任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，都有MF 为△AMB 的一条内角平分线，则称点M 为该椭圆的“左特征点”． (1)判断椭圆的“左特征点”是否存在，若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由；(2)参考椭圆的“左特征点”定义，给出双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的“左特征点”定义，并指出该点坐标．测试十 圆锥曲线综合练习(选学)1．B 2．A 3．C 4．D 5．A6．(1，2) 7．m ≥1且m ≠5 8．x 2－y 2＝4 9．179010．2>e 11．由题意，设椭圆150:2222=-+a x ay C , 把直线y ＝3x －2代入椭圆方程150222=-+a x ay , 得(a 2－50)(3x －2)2＋a 2x 2＝a 2(a 2－50)，整理得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x －a 4＋54a 2－200＝0， 设直线与椭圆的两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有45010)50(122221--=-a a x x ,?＝144(a 2－50)2－4(10a 2－450)(－a 4＋54a 2－200)＞0， 由题意，得2145010)50(622221=--=+a a x x ，解得a 2＝75， 所以椭圆方程为1257522=+x y ． 12．(1)设直线l ：y ＝kx －1或x ＝0(舍去)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧-==-.1,1322kx y y x消去y ，得(3－k 2)x 2＋2kx －2＝0．由题意，得3－k 2≠0，?＝(2k )2－4·(3－k 2)·(－2)＝24－4k 2＞0， 且32,32221221-=-=+⋅k x x k kx x ， ∴||1)()(||212221221x x k y y x x AB -+=-+-=⋅2122124)(1x x x x k -++=⋅．∴10324)32(12222=-⨯--+⋅k k k k， 解得k ＝±1，或733±=k ．验证知3－k 2≠0且?＞0，∴直线l 的方程为：y ＝±x －1，或1733-±=x y ；(2)由A 、B 在y 轴的同一侧，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=∆>-==/-0424032.0322212k k x x k ，解得：)3,6(--∈k ∪)6,3(．13．因为AB //CD ，所以设直线CD 方程为y ＝x ＋t ，把y ＝x ＋t 代入y 2＝x ，消去y ，得x 2＋(2t －1)x ＋t 2＝0， 设C (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝1－2t ， x 1·x 2＝t 2，?＝(2t －1)2－4t 2＞0， 所以)41(2]4)21[(2)()(||22221221t t t y y x x CD -=--=-+-=，又AB 与CD 间的距离为2|4|||-=t AD ， 由正方形ABCD ，得｜AD ｜＝｜CD ｜，即2|4|)41(2-=-t t ， 解得t ＝－2，或t ＝－6， 从而，边长|AD|＝23或25，所以正方形面积为18)23(21==S 或50)25(22==S ． 14．(1)判断：椭圆的“左特征点”存在，具体证明如下．方法1：设x 轴上点M (x 0，0)是椭圆的“左特征点”，F (－c ，0)， 其中c 2＝a 2－b 2(c ＞0)．设过F 与两坐标轴都不垂直的直线AB ： y ＝k (x ＋c )(k ≠0)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．联立方程⎪⎩⎪⎨⎧+==+)(12222c x k y b y a x ，消去y ，得：(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2k 2cx ＋a 2k 2c 2－a 2b 2＝0，∴22222212ka b c k a x x +-=+， 2222222221.k a b b a c k a x x +-=， ?))((4)2(22222222222b ac k a k a b c k a -+-=＞0． 又∵直线AM 的斜率为：011011)(0x x c x k x x y k AM -+=--=，直线BM 的斜率为：022022)(0x x c x k x x y k BM -+=--=．∴))(())(())(()()(0201012021022011x x x x x x c x k x x c x k x x c x k x x c x k k k BM AM ---++-+=-++-+=+，上式中的分子：k (x 1＋c )(x 2－x 0)＋k (x 2＋c )(x 1－x 0) ＝k [2x 1·x 2＋c (x 1＋x 2)－x 0(x 1＋x 2)－2cx 0]∵M (x 0，0)是椭圆的“左特征点”，∴∠AMF ＝∠BMF ． ∴k AM ＝－k BM ，即k AM ＋k BM ＝0， ∴分子0222220222222222222222222[cx ka b ck a x k a b c k a c ab b ac k a k k-+-⨯-+-⨯++-⨯＝0，∵上式要对任意非零实数k 都成立， ∴02222202222202222222222222=-+-⨯-+-⨯++-⨯cx ka b c k a x k a b c k a c ab b ac k a k∴2a 2k 2c 2－2a 2b 2－2a 2k 2c 2＋2a 2k 2cx 0－2b 2cx 0－2a 2k 2cx 0＝0，∴0220222=--cx b b a ∴ca x 20-=．故对过F 与两坐标轴都不垂直的任意弦AB ，点)0,(2c a M -都能使MF 为△AMB 的一条内角平分线，所以，椭圆的“左特征点”存在，即为点)0,(2c a M -．方法2：先用特殊值法(可用一条特殊直线AB ，如斜率为1的直线)找出符合“左特征点”性质的一个点M (具体找的过程略，可找到点)0,(2c a M -，即为椭圆的左准线与x 轴的交点)，再验证对任意一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，∠AMF＝∠BMF 都成立．(证明过程可类似方法1，或用下面方法证明)如图，椭圆的左准线与x 轴的交点为M ，过A 作AP 垂直左准线于P ，过B 作BQ 垂直左准线于Q ， 由椭圆第二定义，得e AP AF BQ BF ==|||||||| (其中e 为椭圆离心率) ∴||||||||BF AF BQ AP =．又∵AP //BQ //x 轴, ∴||||||||BF AF MQ MP =,∴||||||||BQ AP MQ MP =．∵∠APM ＝∠BQM ＝90°， ∴△APM ∽△BQM ． ∴∠PAM ＝∠QBM ，∵∠PAM ＝∠AMF ，∠QBM ＝∠BMF ， ∴∠AMF ＝∠BMF ．。

选修2-1数学课后习题答案（全）新课程标准数学选修2— 1 第一章课后习题解答第一章常用逻辑用语1．1 命题及其关系练习（ P4）1、略.2、（1）真；（ 2）假；（ 3）真；（4）真 .3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题 .（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称.这是真命题.（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题 .练习（ P6）1、逆命题：若一个整数能被 5 整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题 .否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5 整除 . 这是假命题 .逆否命题：若一个整数不能被5 整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题 .2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题 .否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题 .逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题 .3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题 .否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题 .逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题 .练习（ P8）证明：若 a b 1，则 a2b22a 4b3(a b)(a b) 2( a b) 2b3a b 2 2b3a b 10所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.习题 1.1 A 组（P8）1、（1）是；（ 2）是；（ 3）不是；（ 4）不是 .21）逆命题：若两个整数a与 b 的和 a b 是偶数，则a, b都是偶数.这是假命题.、（否命题：若两个整数 a, b 不都是偶数，则 a b 不是偶数.这是假命题.逆否命题：若两个整数a 与b的和a b不是偶数，则a,b不都是偶数.这是真命题.（ 2）逆命题：若方程x2x m 0有实数根，则 m0 .这是假命题 .否命题：若 m 0，则方程 x2x m0没有实数根.这是假命题 .逆否命题：若方程x2x m0 没有实数根，则 m0 .这是真命题 .3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等.逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题 .否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不相等 .这是真命题 .逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上.这是真命题 .（2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题 .否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题 .逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题 .4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题 . 所以，原命题也是真命题 .习题 1.1 B 组（P8）p ，则q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平证明：要证的命题可以改写成“若分.此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设AB, CD 是O 的两条互相平分的相交弦，交点是 E ，若 E 和圆心 O 重合，则 AB,CD 是经过圆心 O 的弦，AB,CD 是两条直径.若 E 和圆心 O 不重合，连结AO, BO ,CO 和DO ，则 OE 是等腰AOB ，COD 的底边上中线，所以，OE AB ， OE CD . AB 和 CD 都经过点 E ，且与 OE 垂直，这是不可能的. 所以，E和O 必然重合 . 即AB和CD是圆的两条直径.原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1．2 充分条件与必要条件练习（ P10）1、（1）；（2）；（3）；（4）.2、（1）.3（1）.4、（ 1）真；（2）真；（3）假；（4）真.练习（ P12）1、（ 1）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（ 2）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（ 3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p 是 q 的必要条件.2、（ 1）（ 3）习题 1.2p 是q 的必要条件；（2）p是q的充分条件；p 是q 的充要条件；（4）p是q的充要条件.A 组（P12）1、略 .2、（ 1）假；（2）真；（3）真.3、（ 1）充分条件，或充分不必要条件；（2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件；（4）充分条件，或充分不必要条件.4、充要条件是a2b2r 2.习题 1.2 B 组（P13）1、（ 1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件.2、证明：（1）充分性：如果a2b2c2ab ac bc ，那么 a2b2c2ab ac bc0 .所以 (a b) 2(a c) 2(b c) 20所以， a b0 ， a c0， b c0 .即 a b c ，所以，ABC 是等边三角形.（ 2）必要性：如果ABC 是等边三角形，那么 a b c所以 (a b) 2(a c) 2(b c) 20所以 a2b2c2ab ac bc 0所以 a2b2c2ab ac bc1．3 简单的逻辑联结词练习（ P18）1、（1）真；（2）假.2、（ 1）真；（2）假 .3、（1）2 2 5 ，真命题；（ 2） 3 不是方程x29 0的根，假命题；（ 3）(1)21，真命题.习题 1.3A组（ P18）1、（1）4{2,3}或 2 {2,3} ，真命题；（ 2）4 {2,3}且 2 {2,3}，假命题；（3） 2 是偶数或 3 不是素数，真命题；（ 4） 2 是偶数且 3 不是素数，假命题 . 2、（1）真命题；（ 2）真命题；（ 3）假命题 .3、（1）2 不是有理数，真命题；（2）5 是15 的约数，真命题；（3）2 3 ，假命题；（4）87 15 ，真命题；（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.习题 1.3 B 组（P18）（1）真命题 . 因为p为真命题，（2）真命题 . 因为p为真命题，（3）假命题 . 因为p为假命题，（4）假命题 . 因为p为假命题，q 为真命题，所以p q 为真命题；q 为真命题，所以p q 为真命题；q 为假命题，所以p q 为假命题；q 为假命题，所以p q 为假命题.1．4 全称量词与存在量词练习（ P23）1、（1）真命题；（ 2）假命题；（ 3）假命题 .2、（1）真命题；（ 2）真命题；（ 3）真命题 .练习（ P26）1、（1）n0Z ,n0Q ；（ 2）存在一个素数，它不是奇数；（ 3）存在一个指数函数，它不是单调函数.2、（1）所有三角形都不是直角三角形；（2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）所有实数的绝对值都是正数 .习题 1.4 A 组（P26）1、（1）真命题；（ 2）真命题；（ 3）真命题；（ 4）假命题 .2、（1）真命题；（ 2）真命题；（ 3）真命题 .3、（1）x0N , x03x02；（2）存在一个可以被5 整除的整数，末位数字不是0；（3）x R, x2x 10 ；（ 4）所有四边形的对角线不互相垂直.习题 1.4 B 组（P27）（1）假命题 . 存在一条直线，它在y轴上没有截距；（2）假命题 . 存在一个二次函数，它的图象与x 轴不相交；（3）假命题 . 每个三角形的内角和不小于180；（ 4）真命题 . 每个四边形都有外接圆 .第一章复习参考题 A 组（ P30）1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形.是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题；逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形.是真命题 .2、略 .3、（ 1）假；（ 2）假；（ 3）假；（ 4）假 .4、（ 1）真；（ 2）真；（ 3）假；（4）真；（ 5）真 .5、（ 1）n N , n20 ；（2）P{ P P 在圆 x2y2r 2上}， OP r (O 为圆心)；（ 3）(x, y) {( x, y)x, y 是整数}，2x4y 3 ；（ 4）x0{ x x 是无理数}， x03{ q q 是有理数}.6 1） 3 2 ，真命题；24 ，假命题；3x0R, x00，真命题；、（（） 5（）（ 4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章复习参考题 B 组（ P31）1 1）p q ；2 ( p) (q)，或( p q) .、（（）2、（1）Rt ABC ，C90 ，A,B, C 的对边分别是a, b, c，则c2a2b2；（ 2）ABC ，A, B,a b cC 的对边分别是 a,b, c ，则.sin A sin B sin C 新课程标准数学选修2— 1 第二章课后习题解答第二章圆锥曲线与方程2．1 曲线与方程练习（ P37）1、是 . 容易求出等腰三角形ABC 的边 BC 上的中线 AO 所在直线的方程是x 0 .2、 a32 ,b18.25253、解：设点 A,M的坐标分别为 (t ,0) ， (x, y) .（ 1）当t202 2 时，直线 CA 斜率 k CAt2t2所以， k CB1t 2 kCA2由直线的点斜式方程，得直线CB 的方程为y 2t 2 ( x2) .2令 x0 ，得 y4t ，即点 B 的坐标为 (0,4t) .t 4 t由于点 M 是线段 AB 的中点，由中点坐标公式得 x, y.22t得 t4 t由 x2x ，代入 y，224 2x，即x y 2 0 ,, ①得 y2（ 2）当 t 2 时，可得点 A, B 的坐标分别为 (2,0) ， (0,2)此时点 M 的坐标为 (1,1) ，它仍然适合方程①由（ 1）（ 2）可知，方程①是点 M 的轨迹方程，它表示一条直线.A 组（ P37）1、解：点 A(1, 2) 、 C (3,10) 在方程 x 2xy 2 y 1 0 表示的曲线上；点 B(2, 3) 不在此曲线上2、解：当 c 0 时，轨迹方程为 xc 1；当 c0 时，轨迹为整个坐标平面 .23、以两定点所在直线为x 轴，线段 AB 垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，得点M 的轨迹方程为x 2 y 2 4.4、解法一：设圆 x 2y 2 6x 50 的圆心为 C ，则点 C 的坐标是 (3,0) .由题意，得 CM AB ，则有 k CM k AB 1.所以，y y 1 (x3, x0)x 3x化简得 x 2y 2 3x 0 (x 3, x0)当 x 3 时， y0 ，点 (3,0) 适合题意；当 x0 时， y 0，点 (0,0) 不合题意 .x 2 y 2 3x 0，得 x5, y2 5x 2y 2 6x 533所以，点 M 的轨迹方程是x 2y 2 3x 0 ， 5 x 3 .3解法二：注意到OCM 是直角三角形，利用勾股定理，得 x 2 y 2(x3)2 y 2 9 ，即 x 2y 2 3x 0 .其他同解法一 .习题 2.1 B 组（P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线 l 的方程为x y1 .a b3 4因为直线 l 经过点 P(3,4) ，所以1a b因此， ab 4a 3b0由已知点 M 的坐标为 (a,b) ，所以点 M 的轨迹方程为xy 4x 3y0 .2、解：如图，设动圆圆心M 的坐标为 ( x, y) .y 由于动圆截直线3x y0和3x y0所得弦分别为B AB ， CD ，所以，AB8， CD4.过点M 分别C MFE 作直线 3x y0 和 3x y0 的垂线，垂足分别为 E ，DF，则AE4， CF 2 .AME 3x y， MF3x y10.10O x连接 MA ， MC ，因为MA MC ，（第 2题）则有， AE 222MF2 ME CF所以，16(3 x y)24(3x y) 210 .1010，化简得，xy因此，动圆圆心的轨迹方程是xy10 .2．2 椭圆练习（ P42）1、 14. 提示：根据椭圆的定义，PF1PF220，因为 PF1 6 ，所以PF214 .2、（ 1）x2y21；（2） y2x21；（3） x2y21，或 y2x2 1 . 1616361636163、解：由已知，a 5 ， b 4 ，所以c a 2b2 3 .（ 1）AF1B 的周长AF1AF2BF1BF2.由椭圆的定义，得AF1AF22a ， BF1BF22a .所以，AF1B 的周长4a20.（ 2）如果AB不垂直于x轴，AF1B的周长不变化 .这是因为①②两式仍然成立，AF1 B 的周长20 ，这是定值.4、解：设点M的坐标为( x, y)，由已知，得直线 AM 的斜率y(x1) ；kAMx1直线 BM 的斜率y( x1) kBM；x 1由题意，得kAM2，所以y2y(x1, y0) k BM x 1x1化简，得 x3( y0)因此，点 M 的轨迹是直线 x 3 ，并去掉点 (3,0) .练习（ P48）y1、以点B2（或B1）为圆心，以线段OA2（或 OA1）B2为半径画圆，圆与x 轴的两个交点分别为F1,F2. A 1F1F2 A2O x 点 F1, F2就是椭圆的两个焦点.这是因为，在Rt B2OF2中， OB2 b ， B2F2OA2 a ， B 1（第 1题）所以， OF2 c .同样有 OF1 c .2、（ 1）焦点坐标为(8,0) ， (8,0) ；（2）焦点坐标为(0,2)，(0, 2) .x2y21；（ 2）y2x21 .3、（ 1）322516 36x2y21（ 2）x2y2y2x21.4、（ 1）41001，或100649645、（ 1）椭圆9x2y236 的离心率是22 ，椭圆 x2y21的离心率是1 ，316122因为221，所以，椭圆x2y2 1 更圆，椭圆9x2y236 更扁；321612（ 2）椭圆x29 y236 的离心率是22 ，椭圆 x2y2 1 的离心率是10 ，36105因为2210x2y229y236更扁. 35，所以，椭圆61 更圆，椭圆x10、（）8；（ 2）(0,2)；（3）48 708 26(3, )() .7、753737习题 2.2 A 组（P49）1、解：由点M ( x, y)满足的关系式x2( y3)2x2( y3)210以及椭圆的定义得，点 M 的轨迹是以F (0, 3)，F2(0,3) 为焦点，长轴长为10 的椭圆 .1它的方程是y2x2 1 . 25162、（ 1）x2y21；（2）y2x21；（ 3）x2y2y2x2 3632259491 ，或491 .40403、（ 1）不等式2x 2 ， 4y 4 表示的区域的公共部分；（ 2）不等式25x 2 5 ，1010图略 . 3表示的区域的公共部分 .3412a8，短轴长2b4，离心率e 3，、（）长轴长2焦点坐标分别是( 2 3,0) ， (23,0) ，顶点坐标分别为(4,0) ，(4,0)，(0, 2)， (0,2)；（ 2）长轴长2a18 ，短轴长 2b 6 ，离心率 e 22，3焦点坐标分别是(0, 62) ， (0,62) ，顶点坐标分别为(0, 9)，(0,9)，( 3,0)， (3,0).5、（ 1）x2y2 1 ；（2） x2y21，或 y2x2 1 ；859819（ 3）x2y21 ，或y2x2 259251.96、解：由已知，椭圆的焦距F1F22.因为PFF12的面积等于1，所以，1F1F2y P1，解得y P1. 2x211 ，解得 x 15代入椭圆的方程，得P52l所以，点 P 的坐标是 (15,1)，共有 4个.2QA 7、解：如图，连接QA .由已知，得 QA QP .O所以， QO QA QO QP OP r .又因为点 A 在圆内，所以OA OP根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以 O, A 为焦点，r为长轴长的椭圆 .8、解：设这组平行线的方程为y 3x m . 2把 y 3x m 代入椭圆方程x2y2 1 ，得 9 x26mx2m2180 . 249这个方程根的判别式36m236(2m218)（ 1）由0 ，得 3 2 m 3 2.当这组直线在y 轴上的截距的取值范围是(32,32) 时，直线与椭圆相交.（2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段AB 的中点为M (x, y) .则 x x1 x2m23.因为点 M 在直线 y 3 x m 上，与 x m联立，消去 m ，得3x 2 y 0 .23这说明点 M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上 .x2y21.9、2.87523.525210、地球到太阳的最大距离为1.5288 108km，最下距离为1.4712108km.习题 2.2 B 组（P50）1、解：设点M的坐标为( x, y)，点P的坐标为( x0, y0)，则x x0，y 3y0 .所以 x0x ，y02y ,,①.23因为点 P( x0, y0 ) 在圆上，所以x02y02 4 ,,② .将①代入②，得点M 的轨迹方程为x2 4 y24，即 x2y21949所以，点 M 的轨迹是一个椭圆与例2 相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到. 2、解法一：设动圆圆心为P(x, y) ，半径为 R ，两已知圆的圆心分别为O , O.12分别将两已知圆的方程x2y26x50 ， x2y26x91 0配方，得(x3)2y24， ( x3)2y2100当P 与O1： (x3)2y2 4 外切时，有O1P R 2,,①当P 与O2： (x3)2y2100 内切时，有O2P10 R,,②①②两式的两边分别相加，得O1P O2 P12即，( x 3)2y2( x 3)2y212,, ③化简方程③ .先移项，再两边分别平方，并整理，得2( x 3) 2y 212x,, ④将④两边分别平方，并整理，得3x2 4 y21080 ,,⑤将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得x2y21,,⑥3627由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，6 3.解法二：同解法一，得方程(x 3)2y2( x3)2y212,,①由方程①可知，动圆圆心P( x, y) 到点O1(3,0) 和点 O2 (3,0) 距离的和是常数12，所以点 P 的轨迹方程是焦点为 (3,0) 、 (3,0)，长轴长等于12 的椭圆 .并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x 轴上，于是可求出它的标准方程.因为 2c6， 2a 12，所以 c 3 ， a6所以 b236927 .于是，动圆圆心的轨迹方程为x2y21 . 36273、解：设d是点M到直线x8 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合PMF1 M2d(x2)2y 21由此得x28将上式两边平方，并化简，得3x2 4 y248 ，即x2y21 1612所以，点 M 的轨迹是长轴、短轴长分别为8 4 3的椭圆.，4、解：如图，由已知，得E(0,3) ， F (4,0) ， G (0,3)， H (4,0) .y因为 R, S,T 是线段 OF 的四等分点，D G L CR'MR , S ,T 是线段 CF 的四等分点，所以， R(1,0), S(2,0), T (3,0) ；R (4, 9), S (4, 3), T (4, 3) .424直线 ER 的方程是 y 3x 3 ；直线 GR 的方程是 y3 x 3 .16 3245联立这两个方程，解得x , y17 .17所以，点 L 的坐标是 (32 , 45) .17 17同样，点 M 的坐标是 (16 , 9) ，点 N 的坐标是 ( 96 ,21) .5 525 25由作图可见，可以设椭圆的方程为 x 2 y 2 1 (m 0, n 0),,①m2n2把点 L, M 的坐标代入方程①，并解方程组，得11 11m242，n 232 .所以经过点 L, M 的椭圆方程为x 2y 2 1 .169把点 N 的坐标代入x 2 y 2 ，得 1 (96)21 (21)21 ，169 16 25925x 2 y 2 1 上 .所以，点 N 在916因此，点 L, M , N 都在椭圆x 2y 21 上 .1692．3 双曲线练习（ P55）x 2 y 2（ 2） x2 y 2 1.1、（ 1）1 .3169（ 3）解法一：因为双曲线的焦点在y 轴上所以，可设它的标准方程为y 2 x 2 1 ( a0, b 0)a2b2将点 (2, 5) 代入方程，得25 4 1 ，即 a 2b 2 4a 2 25b 2a 2b 2又 a 2b 2 36a 2b 2 4a 2 25b 2 0解方程组2 b 236a令 ma 2 ,nb 2 ，代入方程组，得mn4m 25n 0m n 36m 20m45 解得n 16 ，或9n第二组不合题意，舍去，得a 2 20,b 2 16所求双曲线的标准方程为 y 2 x 2120 16解法二：根据双曲线的定义，有2a4 (5 6)24( 5 6)24 5 .所以， a 2 5又 c6 ，所以 b 236 20 16由已知，双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为 y 2 x 220 1 .162、提示：根据椭圆中 a 2 b 2c 2 和双曲线中 a 2 b 2 c 2 的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标 .3、由 (2 m)( m 1) 0 ，解得 m2 ，或 m1练习（ P61）1 12a 8 2，虚轴长2b 4 ；顶点坐标为(42,0),( 4 2,0)；、（）实轴长焦点坐标为 (6,0),(3 2.6,0) ；离心率 e4（ 2）实轴长 2a 6 ，虚轴长 2b 18 ；顶点坐标为(3,0),( 3,0) ；焦点坐标为(3 10,0),( 3 10,0) ；离心率 e 10 .（ 3）实轴长 2a4，虚轴长 2b 4 ；顶点坐标为 (0,2),(0, 2) ；焦点坐标为 (0,2 2),(0,2 2) ；离心率 e2 .（ 4）实轴长 2a 10 ，虚轴长 2b 14 ；顶点坐标为(0,5),(0, 5) ；焦点坐标为 (0,74),(0,74) ；离心率 e74 .52、（ 1）x2y2（ 2）y2x2x2y21 161 ；361.3、5 9283x2y21 ，渐近线方程为 y x . 4、18185、（ 1）(6,2),(14,) ；（ 2）(25,3) 334习题 2.3 A 组（P61）1、把方程化为标准方程，得y2x21 .因为 a8 ，由双曲线定义可知，点P 到两焦点距离的差6416 的绝对值等于16.因此点 P 到另一焦点的距离是17.2、（ 1）x2y2x2y21 201 .（ 2）7516253、（ 1）焦点坐标为F1( 5,0), F2(5,0)5，离心率 e；3（ 2）焦点坐标为F1(0,5 5), F2 (0,5) ，离心率e；44、（ 1）x2y2y2x21 251.（ 2）16169（ 3）解：因为e c 2 ，所以 c22a2，因此 b2c2a22a2a2a2. a设双曲线的标准方程为x2y2y2x21. a2a21 ，或a2将 ( 5,3) 代入上面的两个方程，得2591，或9251.a2a2a2a2解得 a216（后一个方程无解） .所以，所求的双曲线方程为x2y2161 .165、解：连接QA，由已知，得QA QP .所以， QA QO QP QO OP r .又因为点 A 在圆外，所以OA OP .根据双曲线的定义，点 Q 的轨迹是以 O, A为焦点，r为实轴长的双曲线.x2y21 .6、88习题 2.3 B 组（P62）x2y21、11692、解：由声速及A, B两处听到爆炸声的时间差，可知A, B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以 A, B 为焦点的双曲线上.使 A, B 两点在x轴上，并且原点O 与线段 AB 的中点重合，建立直角坐标系 xOy .设爆炸点 P 的坐标为 ( x, y) ，则PA PB340 3 1020 .即2a 1020 ， a 510 .又 AB1400，所以 2c1400 ， c700 ， b2c2a2229900 .因此，所求双曲线的方程为x2y21 . 260100229900x2y213、b2a24、解：设点A(x1, y1)，B( x2, y2)在双曲线上，且线段AB的中点为M ( x, y) .设经过点 P 的直线 l 的方程为 y 1 k (x1)，即 y kx 1k把 y kx1k 代入双曲线的方程x2y21得2(2 k 2 )x22k (1 k )x (1 k 2 ) 2 0 （2k20）,,①所以， x x1x2k (1k) 22k 2由题意，得k (1 k)1 ，解得k2. 2k2当 k 2 时，方程①成为 2x24x30 .根的判别式162480 ，方程①没有实数解.所以，不能作一条直线l 与双曲线交于A, B 两点，且点 P 是线段AB 的中点.2．4 抛物线练习（ P67）1、（ 1）y212x ；（ 2）y2x ；（ 3）y24x, y24x, x24y, x24y .21 F (5,0)，准线方程 x 2）焦点坐标F (0,)，准线方程y；、（）焦点坐标 5 ；（1188（ 3）焦点坐标 F (5x52) ，准线方程 y2；,0) ，准线方程；（ 4）焦点坐标 F (0, p 88（ 2） (6,6 2) ，(6, 6 2)3、（ 1） a ， a .2M 到准线的距离等于提示：由抛物线的标准方程求出准线方程. 由抛物线的定义，点 9，所以 x 39 ， x6 ， y6 2 .yy 2= 4x练习（ P72）y 2= 2x1、（ 1） y216 x ；（ 2） x220y ；5y 2=x（ 3）y 216x ；（ 4）x2 32y .1y 2= x2、图形见右， x 的系数越大，抛物线的开口越大 . 23、解：过点 M (2,0) 且斜率为 1 的直线 l 的方程Ox为 y x 2与抛物线的方程y 24x 联立 y x2y24x解得x 14 2 3，x 24 2 3（第 2题）y 1 2 2 3y 2 2 2 3设 A( x , y ) ， B( x , y2 )，则 AB( x 2 x 1 )2 ( y 2 y 1 )2(43)2(43)2 4 6 .1124、解：设直线 AB 的方程为 xa (a 0) .将 x a 代入抛物线方程 y 2 4x ，得 y 2 4a ，即 y 2 a .因为AB2 y22 a 4 a 43 ，所以， a3因此，直线 AB 的方程为 x3 .习题 2.4 A 组（ P73）1、（ 1）焦点坐标 F (0, 1) ，准线方程 y1 ；232 3（ 2）焦点坐标 F (0,) ，准线方程 y ；16 16（ 3）焦点坐标 F (1,0) ，准线方程 x1 ；88 （ 4）焦点坐标 F ( 3,0) ，准线方程 x3 .222、（ 1） y 28x ；（ 2） (4,4 2) ，或 (4, 4 2)3、解：由抛物线的方程y 2 2 px ( p 0) ，得它的准线方程为xp .2根据抛物线的定义，由MF 2 p ，可知，点 M 的准线的距离为 2 p . p2 p ，解得 x3 p设点 M 的坐标为 ( x, y) ，则 x.22将 x 3 p 代入y2 2 px 中，得 y 3 p .2因此，点 M的坐标为 ( 3 p, 3 p) ， (3 p, 3 p) . 224、（ 1）y224x ， y224x ；（ 2）x212y （图略）5、解：因为xFM60，所以线段FM 所在直线的斜率k tan603. 因此，直线 FM 的方程为y3( x1)与抛物线 y24x 联立，得y3( x1)1 y24x2将1代入 2得， 3x210 x30 ，解得， x11， x23 3把 x113分别代入①得y12323， x23， y23由第 51,23M 的坐标为(3,23) .题图知 () 不合题意，所以点33因此， FM(31)2(230) 246、证明：将y x2代入y22x 中，得 (x2)22x ，化简得x2 6 x40 ，解得x35则 y35215因为kOB15，k OA15 3535所以kOBkOA1515151353595所以 OA OB7、这条抛物线的方程是x217.5yy8、解：建立如图所示的直角坐标系，O x 设拱桥抛物线的方程为x2 2 py ，2 l因为拱桥离水面 2 m，水面宽 4 m所以 22 2 p(2) ，p14（第 8题）因此，抛物线方程为 x 22 y ,, ①水面下降 1 m ，则 y 3 ，代入①式，得 x 2 2( 3) ， x6 .这时水面宽为 26 m.习题 2.2 B 组（ P74）1、解：设垂线段的中点坐标为( x, y) ，抛物线上相应点的坐标为( x 1, y 1 ) .根据题意， xx ， y2 y ，代入 y22 px ，得轨迹方程为 y 21px .111 12由方程可知，轨迹为顶点在原点、焦点坐标为( p,0) 的抛物线 .82、解：设这个等边三角形OAB 的顶点 A, B 在抛物线上，且坐标分别为( x 1, y 1) ， ( x 2 , y 2 ) ，则 y 12 2 px 1 ， y 22 2 px 2 .又 OAOB ，所以 x 12y 12 x 22 y 22即 x 2 x 22 px 2 px0 ， ( x 2 x 2 ) 2 p( x x ) 01211212因此， (xx )( xx2 p) 01212因为 x 10, x 2 0,2 p 0 ，所以 xx21由此可得 y 1 y 2 ，即线段 AB 关于 x 轴对称 . 因为 x 轴垂直于 AB ，且AOx 30 ，所以y 1tan303 .x 13因为 x 1y 12 ，所以 y 1 2 3p ，因此 AB2 y 1 43 p .3、解：设点 M 的坐标为 ( x, y)由已知，得直线 AM 的斜率kAMx y 1 (x1) .直线 BM 的斜率k BMx y 1 (x 1) .由题意，得 k AMkBM2 ，所以，y1 y 2( x1) ，化简，得 x 2( y 1)(x 1)x x 1第二章复习参考题 A 组（ P80）1、解：如图，建立直角坐标系，使点A, B,F 2 在 x 轴上， F 2 为椭圆的右焦点（记 F 1 为左焦点） . 因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2 y 21(ab0) .ab 2y则 a c OA OF2F2 A63714396810，a c OB OF2F2 B637123848755，解得 a7782.5 ， c8755所以b a2c2(a c)( a c)87556810用计算器算得b7722因此，卫星的轨道方程是x2y21 . 7783277222a c R r1a2R r1r222、解：由题意，得，解此方程组，得a c R r2r2r1c2因此卫星轨道的离心率e c r2r1.a2R r1r23、（1）D；（2）B.4、（ 1）当0 时，方程表示圆.（2）当090时，方程化成x2y 21.方程表示焦点在y 轴上的椭圆. 1cos（ 3）当90时， x21，即 x1，方程表示平行于y 轴的两条直线. 4180时，因为 cos0 ，所以x y cos1表示双曲线，其焦点在x轴上.（）当9022而当180时，方程表示等轴双曲线 .5、解：将y kx 1 代入方程x2y24得 x2k2 x22kx140即(1k 2 ) x22kx50,,①4k 22 0 (1 k2) 2 02k1 6令055，解得 k，或 k22因为0 ，方程①无解，即直线与双曲线没有公共点，所以， k 的取值范围为55 k，或 k226、提示：设抛物线方程为y22 px ，则点 B 的坐标为 (p, p) ，点 C 的坐标为 ( p, p)2 2设点 P 的坐标为 ( x, y) ，则点 Q 的坐标为 ( x,0) . 因为， PQy2 px ， BC 2 p ， OQx .2所以， PQ BC OQ ，即 PQ 是 BC 和 OQ 的比例中项 .7、解：设等边三角形的另外两个顶点分别是A, B ，其中点 A 在 x 轴上方 .直线 FA 的方程为y3 p3( x)2与 y 22 px 联立，消去 x ，得 y 2 23 py p 2 0解方程，得y 1 ( 3 2) p ， y 2( 32) p把 y 1( 3 2) p 代入 y3( xp ) ，得 x 1 (72 3) p .322把y 2( 3 2) p 代入 y3(x p) ，得 x 2(72 3) p .322所以，满足条件的点A 有两个 A 1((72 3) p,( 32) p) ， A 2 ((72 3) p,(3 2) p) .227 2 3) p, ( 32) p) ，根据图形的对称性，可得满足条件的点 B 也有两个 B 1(( 2B 2((72 3) p,( 3 2) p)2所以，等边三角形的边长是A 1B 1 2( 3 2) p ，或者 A 2 B 2 2(23) p .8、解：设直线 l 的方程为 y 2x m .把 y2x m 代入双曲线的方程2x 2 3y 26 0 ，得 10x 2 12 mx3m 2 6 0 .x 1x 2 6m ， x 1x 2 3m 26,, ①510由已知，得(1 4)[( x 1 x 2 ) 2 4x 1 x 2 ] 16 ,, ②把①代入②，解得m2103所以，直线 l 的方程为 y2x2103。

数学选修2-1 综合测评时间：90分钟 满分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，1 B ．(－1，－3,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1 D ．(2，－3，－22)解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b ≠0，a ∥b ⇔a ＝λb ，a ＝(1，－3,2)＝－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1，故选C. 答案：C2．若命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan x >sin x ，则命题綈p ：( ) A ．∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan x 0≥sin x 0 B ．∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan x 0>sin x 0 C ．∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan x 0≤sin x 0 D ．∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞，tan x 0>sin x 0 解析：∀x 的否定为∃x 0，>的否定为≤，所以命题綈p 为∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan x 0≤sin x 0.答案：C3．设α，β是两个不重合的平面，l ，m 是两条不重合的直线，则α∥β的充分条件是( )A ．l ⊂α，m ⊂β且l ∥β，m ∥αB ．l ⊂α，m ⊂β且l ∥mC ．l ⊥α，m ⊥β且l ∥mD ．l ∥α，m ∥β且l ∥m解析：由l ⊥α，l ∥m 得m ⊥α，因为m ⊥β，所以α∥β，故C 选项正确． 答案：C4．以双曲线x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 24＋y 216＝1解析：由x 24－y 212＝1，得y 212－x 24＝1.∴双曲线的焦点为(0,4)，(0，－4)，顶点坐标为(0,23)，(0，－23)．∴椭圆方程为x 24＋y 216＝1.答案：D5．已知菱形ABCD 边长为1，∠DAB ＝60°，将这个菱形沿AC 折成60°的二面角，则B ，D 两点间的距离为( )A.32B.12C.32D.34解析：菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，则AC ′⊥BD ，沿AC 折叠后，有BO ⊥AC ′，DO ⊥AC ，所以∠BOD 为二面角B －AC －D 的平面角，即∠BOD ＝60°.因为OB ＝OD ＝12，所以BD ＝12.答案：B6．若双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．6解析：双曲线x 26－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，因为双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，故圆心(3,0)到直线y ＝±22x 的距离等于圆的半径r ，则r ＝|2×3±2×0|2＋4＝ 3. 答案：A7．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( ) A.83 B.38 C.43 D.34解析：取DA →，DC →，DD 1→分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，可求得平面AB 1D 1的法向量为n ＝(2，－2,1)．故A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝|AA 1→·n ||n |＝43. 答案：C8．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4,23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.答案：C9．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，CC 1的中点，P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与D 1N 所成的角，则α的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪π6≤α≤π2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ π4≤α≤π2D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ π3≤α≤π2 解析：取C 1D 1的中点E ，PM 必在平面ADEM 内，易证D 1N ⊥平面ADEM .本题也可建立空间直角坐标系用向量求解．答案：A10．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )A.12B.23C.13D.53解析：由PF 1→·PF 2→＝0，得△PF 1F 2为直角三角形，由tan ∠PF 1F 2＝12，设|PF 2|＝s ，则|PF 1|＝2s ，又|PF 2|2＋|PF 1|2＝4c 2(c ＝a 2－b 2)，即4c 2＝5s 2，c ＝52s ，而|PF 2|＋|PF 1|＝2a ＝3s ，∴a ＝3s 2，∴e ＝c a ＝53，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．若命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：原命题的否定形式为∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0，为真命题．即2x 2－3ax ＋9≥0恒成立，∴只需Δ＝(－3a )2－4×2×9≤0，解得－22≤a ≤2 2.答案：[－22，22]12．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则动点P 的轨迹方程是__________．解析：由OP →·OA →＝4得x ·1＋y ·2＝4，因此所求动点P 的轨迹方程为x ＋2y －4＝0.答案：x ＋2y －4＝013．在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为边长是1的正方形，P A ＝2，则AB 与PC 的夹角的余弦值为__________．解析：因为AB →·PC →＝AB →·(P A →＋AC →)＝AB →·P A →＋AB →·AC →＝1×2×cos45°＝1，又|AB →|＝1，|PC →|＝6，∴cos 〈AB →，PC →〉＝AB →·PC →|AB →||PC →|＝11×6＝66. 答案：6614．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为__________．解析：由题意，如图，在Rt △AOF 中，∠AFO ＝30°，AO ＝a ，OF ＝c ，∴sin 30°＝OA OF ＝a c ＝12.∴e ＝c a ＝2.答案：2三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．解：由于不等式|x －1|>m －1的解集为R ，所以m －1<0，m <1；因为f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，所以5－2m >1，m <2.即命题p ：m <1，命题q ：m <2.因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 和q 中一真一假．当p 真q 假时应有⎩⎨⎧ m <1，m ≥2，m 无解． 当p 假q 真时应有⎩⎨⎧ m ≥1，m <2，1≤m <2.故实数m 的取值范围是1≤m <2.16．(12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A ，B 两点，是否存在实数m ，使线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝22，a 2＝2b ，解得⎩⎨⎧ a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆的方程为x 2＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，Δ＝(2m )2－4×3×(m 2－2)>0，m 2<3，所以x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m 3，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3，2m 3.又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 32＝5，解得m ＝±3与m 2<3矛盾．∴实数m 不存在．17．(13分)已知点P (1,3)，圆C ：(x －m )2＋y 2＝92过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－322，点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，直线PF 与圆相切．(1)求m 的值与抛物线的方程；(2)设点B (2,5)，点Q 为抛物线上的一个动点，求BP →·BQ →的取值范围．解：(1)把点A 代入圆C 的方程，得(1－m )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3222＝92，∴m ＝1. 圆C ：(x －1)2＋y 2＝92. 当直线PF 的斜率不存在时，不合题意．当直线PF 的斜率存在时，设为k ，则PF ：y ＝k (x －1)＋3，即kx －y －k ＋3＝0.∵直线PF 与圆C 相切， ∴|k －0－k ＋3|k 2＋1＝322. 解得k ＝1或k ＝－1.当k ＝1时，直线PF 与x 轴的交点横坐标为－2，不合题意，舍去． 当k ＝－1时，直线PF 与x 轴的交点横坐标为4，∴p 2＝4.∴抛物线方程为y 2＝16x .(2)BP →＝(－1，－2)，设Q (x ，y )，BQ →＝(x －2，y －5)，则BP →·BQ →＝－(x －2)＋(－2)(y －5)＝－x －2y ＋12＝－y 216－2y ＋12＝－116(y ＋16)2＋28≤28.∴BP →·BQ →的取值范围为(－∞，28]．18．(13分)如图，在四棱锥A －BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，BC ＝2，CD ＝2，AB ＝AC .(1)证明：AD ⊥CE ；(2)设CE 与平面ABE 所成的角为45°，求二面角C －AD －E 的余弦值．解：①(1)证明：作AO ⊥BC ，垂足为O ，则AO ⊥底面BCDE ，且O 为BC 的中点．以O 为坐标原点，射线OC 为x 轴正方向，建立如图①所示的直角坐标系O －xyz .设A (0,0，t )．由已知条件知C (1,0,0)，D (1，2，0)，E (－1，2，0)，CE →＝(－2，2，0)，AD →＝(1，2，－t )，所以CE →·AD →＝0，得AD ⊥CE .(2)作CF ⊥AB ，垂足为F ，连接FE ，如图②所示．②设F (x,0，z )，则CF →＝(x －1,0，z )，BE →＝(0，2，0)，CF →·BE →＝0，故CF ⊥BE .又AB ∩BE ＝B ，所以CF ⊥平面ABE ，故∠CEF 是CE 与平面ABE 所成的角，∠CEF ＝45°. 由CE ＝6，得CF ＝ 3.又CB ＝2，所以∠FBC ＝60°，所以△ABC 为等边三角形，因此A (0,0，3)．作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接GE .在Rt △ACD 中，求得|AG |＝23|AD |.故G ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，223，33，GC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－223，－33， GE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，23，－33. 又AD →＝(1，2，－3)，GC →·AD →＝0，GE →·AD →＝0，所以GC →与GE →的夹角等于二面角C －AD －E 的平面角．故二面角C －AD －E 的余弦值cos 〈GC →，GE →〉＝GC →·GE →|GC →||GE →|＝－1010.。

选修 2－1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷 1 至 2 页。

第Ⅱ卷 3 至 6 页。

考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 6 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 命题“若 A = B ，则cos A = cos B ”的否命题是A. 若 A = B ，则 cos A ≠ cos B C. 若cos A ≠ cos B ，则 A ≠ BB. 若cos A = cos B ，则 A = B D. 若 A ≠ B ，则cos A ≠ cos B 2. “直线 l 与平面 平行”是“直线 l 与平面 内无数条直线都平行”的A. 充要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．既非充分又非必要条件 3. 已知命题 p ： 2 3 ，q ： 2 3 ，对由 p 、q 构成的“p 或 q ”、 “p 且 q ”、“ p ”形式的命题，给出以下判断：①“p 或 q ”为真命题； ②“p 或 q ”为假命题； ③“p 且 q ”为真命题； ④“p 且 q ”为假命题； ⑤“ p ”为真命题； ⑥“ p ”为假命题. 其中正确的判断是 A ．①④⑥ B. ①③⑥ C. ②④⑥ D ．②③⑤ 4.“=5”是“ cos 2 - sin 2 = 1”的62A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 若方程x 2 y 2k 3 1 表示双曲线，则实数 k 的取值范围是k 1 A. k 1 C. k36. 抛物线 y 2 x 2 的焦点坐标是B. 1 k 3 D. k1 或 k 3A. 01 8B. 01 4C. 1 , 08D. 1 , 0457. 以下给出了三个判断，其中正确 判断的个数为.(1) 向量 (2) 向量 a = (3, -2,1) 与向量 b= (-3, 2, -1) 平行 = (3, -6, 4) 与向量 = (0, -2, 3) 垂直a b1 （3）向量 a = (1,-2, 0) 与向量 b = (2 , -1, 0) 平行A. 0B. 1C. 2D. 38. 以下有四种说法，其中正确说法的个数为：（）“ b 2 ac ”是“ b 为a 、c 的等比中项”的充分不必要条件；（） “ a > b ”是“ a 2 > b 2 ”的充要条件；（）“ A = B ”是“ tan A = tan B ”的充分不必要条件； （） “ a + b 是偶数”是“ a 、b 都是偶数”的必要不充分条件. A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个9. 抛物线 y1x 2 , (a 0) 的准线方程是 aA. y a 4B. y 4aC. y a 4D. y4a10. 抛物线 y 2 = 12x 上与焦点的距离等于 7 的点的横坐标是A. 6B. 5C. 4D.3二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。

高中数学选修2－1课后限时练习34 全册综合检测卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．“∀x ≥0,2x >x 2”的否定﹁p 为( ) A ．∃x 0≥0,2x 0<2x 0 B ．∀x ≥0,2x <x 2C ．∃x 0≥0,2x 0≤x 20D ．∀x ≥0,2x ≤x 2 答案：C2．设曲线C 是双曲线，则“C 的方程为x 2－y 24＝1”是“C 的渐近线方程为y ＝±2x ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：双曲线x 2－y 24＝1的渐近线是y ＝±2x ，但渐近线方程为y ＝±2x 的双曲线有无数条，如x 22－y 28＝1，所以不一定是x 2－y 24＝1.故选A ． 答案：A3．下列说法错误的是( )A ．已知两个命题p ，q ，若p ∧q 为假命题，则p ∨q 也为假命题B ．实数a ＝0是直线ax －2y ＝1与2ax －2y ＝3平行的充要条件C ．“∃x 0∈R ，使得x 20＋2x 0＋5＝0”的否定是“∀x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0”D ．命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1；命题q ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0，则命题p ∧(﹁q )是真命题解析：对于A ，若p 为真命题，q 为假命题，则满足p ∧q 为假命题，但是p ∨q 为真命题，A 错误；对于B ，直线ax －2y ＝1与2ax －2y ＝3平行的充要条件为－2a －(－2)×2a ＝0，解得a ＝0，B 正确；对于C ，由特称命题的否定为全称命题可知C 正确；对于D ，易知p 为真命题，q 为假命题，所以p ∧(﹁q )为真命题，D 正确，综上所述，说法错误的为A 选项，故选A ．答案：A4．设双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线的倾斜角为π6，则a ＝( )A ．33B ．233C ． 3D ．23解析：双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的渐近线方程为y ＝±1a x .a >0，∴1a ＝tan π6＝33，∴a ＝ 3.答案：C5．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1,0)，b ＝(1，y,0)，c ＝(2，－4,0)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A ． 5 B ．10 C ．2 5D ．10解析：由a ⊥c ，得a ·c ＝(x,1,0)·(2，－4,0)＝2x －4＝0，∴x ＝2. ∴a ＝(2,1,0)，由b ∥c ，得12＝y－4，∴y ＝－2，∴b ＝(1，－2,0)．∴a ＋b ＝(3，－1,0)． ∴|a ＋b |＝10. 答案：B6．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )A ． 2B ．3C ． 5D ．6解析：依题意，知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，∵MF 2⊥x 轴，∴M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .点M 在直线y ＝33(x ＋c )上，∴b 2a ＝233c .又b 2＝c 2－a 2，∴3(c 2－a 2)＝23ac ，∴3e 2－23e －3＝0.即(3e －3)(3e ＋1)＝0.∵e ＞1，∴e ＝ 3.答案：B7．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B 为该抛物线上两点，若x A ＋x B ＝7，则|AF |＋|BF |的值等于( ) A ．3 B ．4 C ．6D ．9解析：如图，由抛物线y 2＝4x 知，准线方程是x ＝－1，由抛物线的定义知，|AF |＋|BF |＝x A ＋1＋x B ＋1＝7＋2＝9.答案：D8．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D ．1925或21解析：当焦点在x 轴上时，a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c 2＝a 2－b 2＝5－k ，∵e ＝c a ＝45，∴5－k 3＝45，∴k ＝－1925；当焦点在y 轴上时，a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5， ∵e ＝c a ＝45，∴k －54＋k ＝45，∴k ＝21.答案：C9．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于( )A ．64B ．104C ．155D ．105解析：如图所示建立空间直角坐标系O －xyz ，设正三棱柱的棱长为2，A (0，－1,0)，B 1(3，0,2)，O (0,0,0)，B (3，0,0)，则AB 1→＝(3，1,2)，BO →＝(－3，0,0)为侧面ACC 1A 1的一个法向量，∴|cos 〈AB 1→，BO →〉|＝|AB 1→·BO →||AB 1→||BO →|＝|－3|22×3＝64.答案：A10．直线y ＝2b 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左支、右支分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )A ．52B ．32C ．305D ．355解析：由△AOB 为等腰直角三角形，得∠ABO ＝45°， ∴k OB ＝1，联立y ＝2b 与x 2a 2－y 2b 2＝1，得x ＝±5a ，∴点B 的坐标为(5a,2b )，则5a ＝2b ， ∴e ＝ 1＋b 2a2＝ 1＋⎝⎛⎭⎫522＝32. 答案：B11．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A ．55B ．53C ．255D ．35解析：不妨设CB ＝1，则B ＝(0,0,1)，A (2,0,0)，C 1(0,2,0)，B 1(0,2,1)． ∴BC 1→＝(0,2，－1)，AB 1→＝(－2,2,1)． cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→||AB 1→|＝0＋4－15×3＝55.答案：A12．已知斜四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的各棱长均为2，∠A 1AD ＝60°，∠BAD ＝90°，平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，则直线BD 1与平面ABCD 所成的角的正切值为( )A ．34B ．134 C ．3913D ．393解析：依题意，取AD 中点O 建立如图所示空间直角坐标系O －xyz ，则B (1,2,0)，D 1(－2,0，3)， ∴BD 1→＝(－3，－2，3)．又平面ABCD 的法向量可取n ＝(0,0,1)． ∴cos 〈BD 1→，n 〉＝34.设直线BD 1与平面ABCD 所成的角为θ， 则sin θ＝34， ∴cos θ＝134，tan θ＝3913. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．有下列命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题． 其中正确命题的序号为________．解析：①“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”是真命题；②“面积不相等的两个三角形一定不全等”是真命题；③若m ≤1，则Δ＝4－4m ≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④若A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题．答案：①②③14．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则1e 1e 2的最大值是________．解析：如图，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的半实轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2， ∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2， 设|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝π3，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos π3，∴化简a 21＋3a 22＝4c 2，该式变成1e 21＋3e 22＝4， ∴1e 21＋3e 22＝4≥23e 1e 2，∴1e 1e 2≤233， ∴1e 1e 2的最大值是233. 答案：23315．已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，则|P A |＋|PQ |的最小值为________．解析：抛物线的焦点为F (0,1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义知，|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1.∴|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PM |－1＝|P A |＋|PF |－1≥|AF |－1＝82＋(7－1)2－1＝10－1＝9. 当且仅当A ，P ，F 三点共线时，等号成立，则|P A |＋|PQ |的最小值为9. 答案：916．方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示曲线C ，给出以下命题：①曲线C 不可能为圆； ②若1<t <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4； ④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52.其中真命题的序号是______________(写出所有正确命题的序号)．解析：若方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示圆，则有4－t ＝t －1>0⇒t ＝52；若该方程表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧4－t >0，t －1>0，4－t ≠t －1，解得1<t <52或52<t <4；若该方程表示双曲线，则有(4－t )(t －1)<0，即t >4或t <1；当1<t <52时，32<4－t <3，而0<t －1<12，∴4－t >t －1>0，此时该方程表示焦点在x 轴上的椭圆．综上分析知，正确命题有③④.答案：③④三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知k 为实数，命题p ：方程(k －1)x 2＋(2k －1)y 2＝(k －1)(2k －1)表示椭圆；命题q ：方程(k －3)x 2＋4y 2＝4(k －3)表示双曲线．(1)若命题p 为真命题，求k 的取值范围；(2)若命题p 、q 中恰有一个为真命题，求k 的取值范围． 解：(1)若命题p 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧k －1＞0，2k －1＞0，k －1≠2k －1.解得k ＞1.即k 的取值范围是(1，＋∞)．(2)由(1)知，当p 为真时，k ＞1，当q 为真时，k ＜3.∴当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧k ＞1，k ≥3，∴k ≥3；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧k ≤1，k ＜3.∴k ≤1.故k 的取值范围是(－∞，1]∪[3，＋∞)．18．(12分)已知p ：f (x )＝1－x3，且|f (a )|<2；q ：集合A ＝{x |x 2＋(a ＋2)x ＋1＝0，x ∈R }，且A ≠∅.若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．解：若|f (a )|<2成立，则⎪⎪⎪⎪1－a 3<2，即－6<1－a <6，即－5<a <7时，p 是真命题；若A ≠∅，则方程x 2＋(a ＋2)x ＋1＝0有实数解，∴Δ＝(a ＋2)2－4≥0，解得a ≤－4或a ≥0，即当a ≤－4或a ≥0时，q 是真命题．∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p 与q 一真一假． 当p 真q 假时，有－4<a <0；当p 假q 真时，有a ≤－5或a ≥7. 故实数a 的取值范围是(－∞，－5]∪(－4,0)∪[7，＋∞)．19．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线y ＝k (x －1)(k >0)与椭圆C 交于A ，B 两点，且与x 轴，y 轴交于M ，N 两点． ①若MB →＝AN →，求k 的值；②若点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫74，0，求证：QA →·QB →为定值． 解：(1)由离心率为22，得c a ＝22， ∴a 2＝2c 2，代入a 2＝b 2＋c 2，得b 2＝c 2.又椭圆C 的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为2，即12×b ×2c ＝2，得bc ＝2，b 2c 2＝4，以上各式联立解得a 2＝4，b 2＝2，∴椭圆C 方程为x 24＋y 22＝1.(2)①直线y ＝k (x －1)与x 轴交点为M (1,0)，与y 轴交点为N (0，－k )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 2＋2y 2＝4消去y ，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0， Δ＝16k 4－4(1＋2k 2)(2k 2－4)＝24k 2＋16>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2.又MB →＝(x 2－1，y 2)，AN →＝(－x 1，－k －y 1)， 由MB →＝AN →，得x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2＝1，解得k ＝±22，由k >0，得k ＝22. ②证明：由①知，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，∴QA →·QB →＝⎝⎛⎭⎫x 1－74，y 1·⎝⎛⎭⎫x 2－74，y 2＝⎝⎛⎭⎫x 1－74·⎝⎛⎭⎫x 2－74＋y 1y 2 ＝⎝⎛⎭⎫x 1－74⎝⎛⎭⎫x 2－74＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫－74－k 24k 21＋2k 2＋k 2＋4916＝2k 2－4＋2k 4－4k 2－7k 2－4k 4＋k 2＋2k 41＋2k 2＋4916＝－8k 2－41＋2k 2＋4916＝－4＋4916＝－1516， ∴QA →·QB →为定值．20．(12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y ＝14x 2的焦点，它的离心率是双曲线x 24－y 2＝1的离心率的倒数．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，求证：λ1＋λ2为定值．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，抛物线方程为x 2＝4y ，其焦点为(0,1)，则椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即b ＝1，由e ＝ca ＝a 2－b 2a 2＝255， ∴a 2＝5，所以椭圆C 的标准方程为x 25＋y 2＝1.(2)证明：易求出椭圆C 的右焦点为F (2,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (0，y 0)，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，代入方程x 25＋y 2＝1，整理得(1＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0，∴x 1＋x 2＝20k 21＋5k 2，x 1x 2＝20k 2－51＋5k 2， 又MA →＝(x 1，y 1－y 0)，MB →＝(x 2，y 2－y 0)，AF →＝(2－x 1，－y 1)，BF →＝(2－x 2，－y 2)， 而MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，即(x 1－0，y 1－y 0)＝λ1(2－x 1，－y 1)，(x 2－0，y 2－y 0)＝λ2(2－x 2，－y 2)，∴λ1＝x 12－x 1，λ2＝x 22－x 2，所以λ1＋λ2＝x 12－x 1＋x 22－x 2＝2(x 1＋x 2)－2x 1x 24－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝－10，为定值．21．(12分)图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图2.(1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； (2)求图2中的二面角B －CG －A 的大小．图1图2解：(1)证明：由已知得AD ∥BE ，CG ∥BE ， 所以AD ∥CG ，所以AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面． 由已知，得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ， 所以AB ⊥平面BCGE .又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE . (2)作EH ⊥BC ，垂足为H .因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ， 所以EH ⊥平面ABC .由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC ＝60°，可求得BH ＝1，EH ＝ 3.以H 为坐标原点，HC →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H －xyz ，则A (－1,1,0)，C (1,0,0)，G (2,0，3)，CG →＝(1,0，3)，AC →＝(2，－1,0)．设平面ACGD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧CG →·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，2x －y ＝0.所以可取n ＝(3,6，－3)．又平面BCGE 的法向量可取为m ＝(0,1,0)， 所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝32.因此二面角B －CG －A 的大小为30°.22．(12分)如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，AB ∥CD ∥EF ，AB ⊥AD ，CD ＝DA ＝AF ＝FE ＝2，AB ＝4.(1)求证：DF ∥平面BCE ； (2)求二面角C －BF －A 的余弦值；(3)线段CE 上是否存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ？请说明理由． 解：(1)证明：∵CD ∥EF ，且CD ＝EF ， ∴四边形CDFE 为平行四边形， ∴DF ∥CE .∵DF ⊄平面BCE ，CE ⊂平面BCE ， ∴DF ∥平面BCE .(2)在平面ABEF 内，过A 作Az ⊥AB .∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， 又Az ⊂平面ABEF ，Az ⊥AB ， ∴Az ⊥平面ABCD ，∴AD ⊥AB ，AD ⊥Az ，Az ⊥AB . 如图建立空间直角坐标系A －xyz .由题意得，A (0,0,0)，B (0,4,0)，C (2,2,0)，E (0,3，3)，F (0,1，3)． 则BC →＝(2，－2,0)，BF →＝(0，－3，3)． 设平面BCF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BF →＝0，即⎩⎨⎧2x －2y ＝0，－3y ＋3z ＝0.令y ＝1，则x ＝1，z ＝3，得n ＝(1,1，3)． 又平面ABF 的一个法向量为v ＝(1,0,0)， 则cos 〈n ，v 〉＝n ·v |n ||v |＝55.又二面角C －BF －A 的平面角为锐角， ∴二面角C －BF －A 的余弦值为55.(3)线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下： 解法一：设平面ACE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AC →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎨⎧2x 1＋2y 1＝0，3y 1＋3z 1＝0. 令y 1＝1，则x 1＝－1，z 1＝－3，所以m ＝(－1,1，－3)．∵m ·n ≠0，∴平面ACE 与平面BCF 不可能垂直，从而线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF .解法二：线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下： 假设线段CE 上存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，设CG →＝λCE →，其中λ∈[0,1]．设G (x 2，y 2，z 2)，则有(x 2－2，y 2－2，z 2)＝(－2λ，λ，3λ)， ∴x 2＝2－2λ，y 2＝2＋λ，z 2＝3λ，从而G (2－2λ，2＋λ，3λ)， ∴AG →＝(2－2λ，2＋λ，3λ)．∵AG ⊥平面BCF ，∴AG →∥n .∴有2－2λ1＝2＋λ1＝3λ3， ∵上述方程组无解，所以假设不成立．∴线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF .。