主成分和聚类分析

主成分分析、聚类分析比较主成分分析、聚类分析的比较与应用主成分分析、聚类分析的比较与应用摘要：主成分分析、聚类分析是两种比较有价值的多元统计方法,但同时也是在使用过程中容易误用或混淆的几种方法。

本文从基本思想、数据的标准化、应用上的优缺点等方面,详细地探讨了两者的异同,并且举例说明了两者在实际问题中的应用。

关键词：spss、主成分分析、聚类分析一、基本概念主成分分析就是设法将原来众多具有一定相关性（比如P个指标），重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标。

综合指标即为主成分。

所得出的少数几个主成分，要尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此不相关。

因子分析是研究如何以最少的信息丢失，将众多原始变量浓缩成少数几个因子变量，以及如何使因子变量具有较强的可解释性的一种多元统计分析方法。

聚类分析是依据实验数据本身所具有的定性或定量的特征来对大量的数据进行分组归类以了解数据集的内在结构，并且对每一个数据集进行描述的过程。

其主要依据是聚到同一个数据集中的样本应该彼此相似，而属于不同组的样本应该足够不相似。

二、基本思想的异同（一）共同点主成分分析法和因子分析法都是用少数的几个变量(因子) 来综合反映原始变量(因子) 的主要信息，变量虽然较原始变量少，但所包含的信息量却占原始信息的85 %以上，所以即使用少数的几个新变量，可信度也很高，也可以有效地解释问题。

并且新的变量彼此间互不相关，消除了多重共线性。

这两种分析法得出的新变量，并不是原始变量筛选后剩余的变量。

在主成分分析中，最终确定的新变量是原始变量的线性组合，如原始变量为x1 ，x2 ，. . . ，x3 ，经过坐标变换，将原有的p个相关变量xi 作线性变换，每个主成分都是由原有p 个变量线性组合得到。

在诸多主成分Zi中，Z1 在方差中占的比重最大，说明它综合原有变量的能力最强，越往后主成分在方差中的比重也小，综合原信息的能力越弱。

因子分析是要利用少数几个公共因子去解释较多个要观测变量中存在的复杂关系，它不是对原始变量的重新组合，而是对原始变量进行分解，分解为公共因子与特殊因子两部分。

主成分分析和聚类分析的比较摘要：主成分分析和聚类分析方多元统计中两种重要的分析方法，但却容易在使用中混淆。

本文从基本思想，应用的优缺点、应用实例中讨论两者的异同，并简述两种方法在实际问题中的应用。

关键词：主成分分析；聚类分析一、引言主成分分析是利用降维的思想，在缺失很少信息的前提下，把多个指标转化为几个综合指标的多元统计方法。

通常把转化生成的综合指标称为主成分，其中每个主成分都是原始变量的线性组合，且各个主成分之间互不相关，使得主成分比原始变量具有某些更优越的性能。

聚类分析是依据实验数据本身所具有的定性或定量的特征来对大量的数据进行分组归类以了解数据集的内在结构，并且对每一个数据集进行描述的过程。

其主要依据是聚到同一个数据集的样本应该性质相似，而属于不同组的样本应该足够不相似。

两种方法既有区别又有联系，本文将两者的异同进行比较，并举例说明两者在实际应用中的联系，以便更好地理解这两种统计方法而为实际所应用。

二、基本思想的异同相同点：主成分分析方法是用少数的几个变量来综合反映原始变量的主要信息，变量虽然较原始变量少，但所包含的信息量却占原始信息的85%以上，因此其可信度很高。

通过主成分分析，可以将事物之间错综复杂的关系中找出一些主要成分，从而能有效利用大量统计数据进行定量分析，解释变量之间的内在关系。

因此主成分变量比原始变量少了很多，从而起到了降维的作用。

聚类分析的基本思想是采用多变量的统计值，定量的确定相互之间的亲疏关系，考虑对象多因素的联系和主导作用。

按它们亲疏差异程度，归类不同的分类中的一元。

使分类更具有客观实际并能反映事物的内在必然联系。

聚类分析是通过一种大的对称矩阵来探索相关关系的一种数学分析方法。

对变量分类后，我们对数据的处理难度也降低，所以从某种意义上说，聚类分析也起到了降维的作用。

不同点：主成分分析是研究如何通过原来变量的少数几个变量组合来解释原来变量绝大多数信息的一种多元统计方法。

主成分分析、聚类分析的比较与应用主成分分析、聚类分析的比较与应用摘要：主成分分析、聚类分析是两种比较有价值的多元统计方法,但同时也是在使用过程中容易误用或混淆的几种方法。

本文从基本思想、数据的标准化、应用上的优缺点等方面,详细地探讨了两者的异同,并且举例说明了两者在实际问题中的应用。

关键词：spss、主成分分析、聚类分析一、基本概念主成分分析就是设法将原来众多具有一定相关性（比如P个指标），重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标。

综合指标即为主成分。

所得出的少数几个主成分，要尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此不相关。

因子分析是研究如何以最少的信息丢失，将众多原始变量浓缩成少数几个因子变量，以及如何使因子变量具有较强的可解释性的一种多元统计分析方法。

聚类分析是依据实验数据本身所具有的定性或定量的特征来对大量的数据进行分组归类以了解数据集的内在结构，并且对每一个数据集进行描述的过程。

其主要依据是聚到同一个数据集中的样本应该彼此相似，而属于不同组的样本应该足够不相似。

二、基本思想的异同（一）共同点主成分分析法和因子分析法都是用少数的几个变量(因子) 来综合反映原始变量(因子) 的主要信息，变量虽然较原始变量少，但所包含的信息量却占原始信息的85 %以上，所以即使用少数的几个新变量，可信度也很高，也可以有效地解释问题。

并且新的变量彼此间互不相关，消除了多重共线性。

这两种分析法得出的新变量，并不是原始变量筛选后剩余的变量。

在主成分分析中，最终确定的新变量是原始变量的线性组合，如原始变量为x1 ，x2 ，. . . ，x3 ，经过坐标变换，将原有的p个相关变量xi 作线性变换，每个主成分都是由原有p 个变量线性组合得到。

在诸多主成分Zi中，Z1 在方差中占的比重最大，说明它综合原有变量的能力最强，越往后主成分在方差中的比重也小，综合原信息的能力越弱。

因子分析是要利用少数几个公共因子去解释较多个要观测变量中存在的复杂关系，它不是对原始变量的重新组合，而是对原始变量进行分解，分解为公共因子与特殊因子两部分。

4实证过程与结果4、1主成分与聚类分析首先通过SPSS软件对环境污染的相应指标进行主成分分析,得到:提取Y1、Y2、Y3与Y4四个主成分,其累积贡献率已经达到,超过80%,代表所有环境污染指标的绝大部分信息。

Y1偏向于解释工业氢氧化物排放量,Y2偏向于解释生活烟尘排放量,Y3偏向于解释生活废水排放量,Y4偏向于解释工业二氧化硫排放量。

然后,根据主成分分析结果,用Z=0、43226*Y1+0、21911*Y2+0、10380*Y3+ 0、06519*Y4计算综合得分,见下表1。

表1 环境污染地区的主成分综合得分表序号地区Z 排名序号地区Z 排名1 北京0、863 5 17 武汉-0、116 132 天津1、088 4 18 长沙-0、841 283 石家庄0、455 6 19 广州-0、373 194 太原0、209 8 20 南宁-0、519 245 呼与浩特-0、052 12 21 海口-1、29 316 沈阳-0、273 17 22 重庆2、767 17 长春-0、257 16 23 成都-0、451 208 哈尔滨2、489 2 24 贵阳-0、331 189 上海1、979 3 25 昆明-0、552 2610 南京-0、232 15 26 拉萨-1、275 3011 杭州0、175 9 27 西安0、357 712 合肥-0、5 21 28 兰州-0、514 2313 福州-0、525 25 29 西宁0、004 1114 南昌-0、949 29 30 银川-0、702 2715 济南0、022 10 31 乌鲁木齐-0、502 2216 郑州-0、152 14最后将环境污染的综合得分作为个案进行层次聚类分析,将31个地区分为5类,如表2。

表2 各地区污染分类分类污染情况地区1 轻度污染海口、拉萨2 比较轻度污染合肥、乌鲁木齐、福州、南宁、兰州、,昆明、成都、银川、南昌、长沙、沈阳、长春、南京、广州、贵阳、郑州、武汉、济南、西宁、呼与浩特3 污染情况一般太原、杭州、石家庄、西安4 污染比较严重北京、天津5 污染十分严重上海、哈尔滨、重庆4、2主成分分析与聚类分析在SPSS中的操作过程打开S PSS,“文件-打开-数据”,选中excel,如下图结果。

主成分分析和聚类分析的比较一、定义：1.主成分分析：PCA是一种数学方法，通过线性变换将原始数据投影到新的坐标系上，使得投影的数据在新的坐标系下具有最大的方差，从而达到降维和提取数据特征的目的。

2.聚类分析：聚类分析是一种无监督学习方法，通过对样本集合中的数据进行分类，使得同一类别的数据尽量相似，不同类别的数据尽量不相似。

二、目的：1.主成分分析：PCA的主要目的是降低数据的维度，同时保留尽可能多的数据信息。

通过确定主成分，可以选择保留最重要的几个主成分，达到降维的目的，同时避免信息损失。

2.聚类分析：聚类分析的主要目的是发现数据的内在结构和相似性，将数据分成若干个互不交叠的群组，使得同一群组的数据相似度较高，不同群组的数据相似度较低。

三、步骤：1.主成分分析：-对数据进行标准化处理。

-计算数据样本的协方差矩阵。

-对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。

-选择主成分并确定保留的主成分数目。

-根据主成分和原始数据计算得到新的数据集，即降维后的数据集。

2.聚类分析：- 选择合适的聚类算法（如K-means、层次聚类等）。

-初始化聚类中心。

-计算每个样本与聚类中心的距离。

-将样本分配到最近的聚类中心。

-更新聚类中心，重复上述步骤直到满足终止条件。

四、应用领域：1.主成分分析：-数据降维与特征提取：对于高维数据，可以通过PCA将数据降低到较低的维度，并保留主要特征信息。

-数据可视化：通过PCA将高维数据投影到二维或三维空间中，方便数据的可视化展示。

-噪声滤除：PCA可以去除数据中的噪声信息，保留主要特征。

2.聚类分析：-客户细分：在市场营销中，可以通过聚类分析将客户分为不同的群组，根据每个群组的特征制定相应的营销策略。

-图像分割：在图像处理中，可以利用聚类分析对图像进行分割，将图像中的不同物体分别提取出来。

-社交网络分析：通过对社交网络用户之间的关系进行聚类分析，可以发现群组内的用户行为模式和用户兴趣。

主成分分析聚类分析比较
聚类分析（Cluster Analysis）是一种将数据划分为不同组（即簇）
的方法。

它通过根据数据之间的相似性度量来识别相似的数据点，并将它
们分配到同一个簇中。

聚类分析可以帮助我们在没有预先定义类别的情况下，发现数据中的特定模式和群集。

它在无监督学习中常用于探索性数据
分析和市场细分等领域。

然而，主成分分析和聚类分析也有一些明显的区别。

首先，在目标上，主成分分析旨在将原始数据映射到一个低维空间，以便更好地理解数据的
结构。

而聚类分析旨在将数据分成不同的组或簇，以便更好地识别数据中
的模式。

其次，在技术上，主成分分析使用线性变换和协方差矩阵来找到
数据中的主成分，而聚类分析使用不同的相似性度量方法（如欧氏距离、
余弦相似度等）来识别簇。

由于主成分分析和聚类分析的应用领域和基本原理不同，因此在具体
问题中选择使用哪种方法取决于数据的性质和分析的目的。

例如，如果我
们想要降低数据的维度以便更好的可视化，或者减少计算复杂性以便更容
易进行后续分析，那么主成分分析是一个不错的选择。

另一方面，如果我
们对数据中的模式和群集感兴趣，并希望找出数据中的隐藏结构，那么聚
类分析是更合适的选择。

综上所述，虽然主成分分析和聚类分析在目标和技术上存在一些差异，但它们都是有助于揭示数据的潜在结构和模式的无监督学习方法。

在数据
分析中，我们可以根据具体的需求选择适当的方法，以便更好地理解和利
用数据。

主成分分析聚类分析主成分分析：利用降维（线性变换）的思想,在损失很少信息的前提下把多个指标转化为几个综合指标（主成分）,用综合指标来解释多变量的方差-协方差结构，即每个主成分都是原始变量的线性组合,且各个主成分之间互不相关,使得主成分比原始变量具有某些更优越的性能（主成分必须保留原始变量90％以上的信息），从而达到简化系统结构，抓住问题实质的目的综合指标即为主成分.优点：首先它利用降维技术用少数几个综合变量来代替原始多个变量，这些综合变量集中了原始变量的大部分信息.其次它通过计算综合主成分函数得分,对客观经济现象进行科学评价。

再次它在应用上侧重于信息贡献影响力综合评价。

缺点:当主成分的因子负荷的符号有正有负时，综合评价函数意义就不明确.命名清晰性低.聚类分析：将个体（样品）或者对象（变量）按相似程度（距离远近）划分类别，使得同一类中的元素之间的相似性比其他类的元素的相似性更强.目的在于使类间元素的同质性最大化和类与类间元素的异质性最大化.。

其主要依据是聚到同一个数据集中的样本应该彼此相似，而属于不同组的样本应该足够不相似。

常用聚类方法：系统聚类法，K—均值法，模糊聚类法，有序样品的聚类，分解法，加入法.注意事项：1。

系统聚类法可对变量或者记录进行分类，K—均值法只能对记录进行分类;2.K—均值法要求分析人员事先知道样品分为多少类;3。

对变量的多元正态性,方差齐性等要求较高。

应用领域：细分市场，消费行为划分，设计抽样方案等。

因子分析:利用降维的思想,由研究原始变量相关矩阵内部的依赖关系出发,把一些具有错综复杂关系的变量归结为少数几个综合因子。

（因子分析是主成分的推广，相对于主成分分析，更倾向于描述原始变量之间的相关关系），就是研究如何以最少的信息丢失，将众多原始变量浓缩成少数几个因子变量,以及如何使因子变量具有较强的可解释性的一种多元统计分析方法.求解因子载荷的方法：主成分法，主轴因子法,极大似然法，最小二乘法，a因子提取法.注意事项：5。

主成分分析聚类分析因子分析的基本思想及优缺点1.降维：主成分分析可以将高维数据降维到较低维，便于数据的可视化和理解。

2.信息损失小：主成分保留了原始数据中大部分的方差，意味着经过主成分分析后的数据仍然能够保持原始数据的重要信息。

3.无假设性：主成分分析不需要对数据做出任何假设，适用于不同类型的数据。

1.可能丢失一些重要信息：虽然主成分保留了原始数据中大部分的方差，但也有可能丢失一些重要的信息。

2.对异常值敏感：主成分分析对异常值敏感，当数据中存在异常值时，可能对主成分的计算产生较大的影响。

3.需要进行数据标准化：主成分分析基于协方差矩阵或相关系数矩阵，因此需要对数据进行标准化处理，使得不同变量具有相同的尺度。

聚类分析（Cluster Analysis）是一种无监督学习方法，主要用于将数据样本划分为不同的群组或簇。

其基本思想是通过计算样本之间的相似度或距离，将相似的样本归为一类。

聚类分析的步骤包括：选择聚类算法（如k-means、层次聚类等），计算样本之间的相似度或距离，将相似的样本归为一类。

最后根据聚类结果进行验证和解释。

聚类分析的优点包括：1.无监督学习：聚类分析是一种无监督学习方法，不需要事先对数据进行标记或分类，适用于没有先验知识的数据。

2.发现隐藏模式：聚类分析能够发现数据中的潜在模式和相似性，有助于研究人员对数据进行探索和发现新的知识。

3.可解释性：聚类分析结果易于解释和理解，能够提供数据的直观结构。

聚类分析的缺点包括：1.对初始点敏感：聚类分析的结果可能受到初始点的选择影响，不同的初始点可能得到不同的聚类结果。

2.高维数据困难：当数据维度较高时，聚类分析面临“维度灾难”问题，会导致聚类结果不稳定或低效。

3.人为定制参数：聚类分析中需要选择合适的聚类数目、距离度量等参数，这些参数的选择可能会影响聚类结果。

因子分析（Factor Analysis）是一种统计方法，用于研究观测变量背后的潜在因子结构。

主成分分析聚类分析比较主成分分析是一种数据降维技术，它能够将高维数据降低到低维，同时保留主要的信息。

它的原理是通过线性变换，将原始的维度高的数据线性变换到维度较低的新坐标系下，并且在新坐标系下保持数据的原有结构特征和方差。

1.数据标准化：为了消除量纲影响，需要对数据进行标准化处理。

2.计算协方差矩阵：将标准化后的数据计算协方差矩阵。

3.计算特征值和特征向量：通过解特征值问题，计算得到特征值和对应的特征向量。

4.选择主成分：将特征值从大到小排序，选择前k个特征值所对应的特征向量作为主成分。

5.构建新坐标系：将原始数据乘以特征向量，得到新的降维后的数据。

1.数据压缩：主成分分析可以将高维数据压缩到低维空间中，同时保留主要信息。

2.数据可视化：降维后的数据可以更方便地进行可视化展示和分析。

3.特征提取：主成分分析可以从原始数据中提取出最具有代表性的主成分。

4.数据预处理：主成分分析可以用于数据预处理，减少噪声和不必要的冗余信息。

二、聚类分析（Cluster Analysis）聚类分析是一种将相似对象组成簇的方法，以确定数据中的内在结构，它的目标是将相似的对象放在一个簇中，不相似的对象放在不同的簇中。

聚类分析的步骤如下：1.确定距离度量：选择适当的距离度量方法来度量不同对象之间的相似性。

2.计算距离矩阵：通过计算对象之间的距离，得到距离矩阵。

3. 构建聚类模型：根据距离矩阵，使用聚类算法（如K-means、层次聚类等）构建聚类模型。

4.确定聚类数目：根据业务需求和算法要求，确定合适的聚类数目。

5.分配对象到簇：将对象分配给合适的簇，并且根据一定的标准评估聚类模型的性能。

聚类分析的应用：1.模式识别：聚类分析可以用于模式识别，从数据中发现数据的内在结构和规律。

2.市场细分：聚类分析可以通过分析客户的购买行为和偏好，对市场进行细分，从而进行有针对性的营销策略。

3.图像分割：聚类分析可以用于图像分割和目标提取，将图像分成若干个簇，提取出目标区域。