主成分分析(资料分享)

统计学中的主成分分析主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一种多变量分析方法，用于降维和数据可视化。

它通过将原始数据转换为新的坐标系，使得转换后的数据能够保留原始数据的主要变化趋势，并且可以按照重要性进行排序。

在本文中，将介绍主成分分析的原理、应用场景和步骤。

一、主成分分析原理主成分分析的核心是寻找数据中的主要变化趋势，即找到数据中的主成分。

主成分是数据最大方差方向上的投影，也即是能够解释数据中最大不同的变量。

对于一个具有p个变量的数据集，主成分分析可以得到p个主成分，按照重要性递减排序。

通过选择适当数量的主成分，可以实现对数据的降维和可视化。

主成分分析的计算过程可以通过特征值分解或奇异值分解来实现。

特征值分解会得到数据的特征向量和特征值，而奇异值分解则可以直接得到主成分。

在实际应用中，奇异值分解是更常用的方法。

二、主成分分析的应用场景主成分分析广泛应用于各个领域，包括金融、生物学、社会科学等。

下面将介绍主成分分析在这些领域的具体应用。

1. 金融：主成分分析常用于资产组合管理和风险管理。

通过将各种金融数据进行主成分分析，可以获得具有代表性的主成分，从而有效降低资产组合的维度，减少投资组合中的相关风险。

2. 生物学：主成分分析可以应用于基因表达数据的分析。

通过主成分分析，可以从大量的基因表达数据中提取出基因表达的主要变化趋势，帮助研究人员理解基因与表型之间的关系。

3. 社会科学：主成分分析可以用于社会调查数据的分析。

通过对调查数据进行主成分分析，可以发现不同变量之间的相关性，进而揭示不同因素对于社会问题的影响程度。

三、主成分分析的步骤主成分分析的步骤通常包括以下几个步骤：1. 数据标准化：对原始数据进行标准化处理，将不同量级的变量转化为标准差为1的变量。

这一步骤是为了消除变量间的量纲差异。

2. 计算协方差矩阵：根据标准化后的数据计算协方差矩阵，用于度量变量之间的相关性。

概述主成分分析PCA（Principal Component Analysis）是一种常用的数据分析方法。

PCA通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示，可用于提取数据的主要特征分量，常用于高维数据的降维。

本文用直观和易懂的方式叙述PCA的基本数学原理，不会引入严格的数学推导。

希望读者在看完这篇文章后能更好地明白PCA的工作原理。

一、降维概述 1.1 数组和序列（Series）的维度对于数组和序列（Series）来说，维度就是shape()函数返回的结果，shape()函数中返回了几个数字，就是几维（也有人看array()开头或者结尾连续中括号的数量）。

不分行列的数组叫一维数组，此时shape返回单一的维度上的数据个数。

有行列之分的数组叫二维数组，也称为表。

一张表最多有二个维度，复数的表构成了更高维度的表。

当一个数组中存在2张3行4列的表时，shape返回的是更高维度的行和列。

当数组中存在2组2张3行4列的表时，数据就是4维，shape返回(2,2,3,4)。

数组中的每一张表，都可以是一个特征矩阵或一个DataFrame，这些结构永远只有一张表，所以一定有行列，其中行是样本，列是特征。

针对每一张表，维度指的是样本的数量或特征的数量，一般无特别说明，指的都是特征的数量。

除了索引之外，一个特征是一维，两个特征是二维，n个特征是n维。

1.2 图像中的维度对图像来说，维度就是图像中特征向量的数量。

特征向量可以理解为是坐标轴，一个特征向量定义一条直线，是一维；两个相互垂直的特征向量定义一个平面，即一个直角坐标系，就是二维；三个相互垂直的特征向量定义一个空间，即一个立体直角坐标系，就是三维；三个以上的特征向量相互垂直，定义人眼无法看见，也无法想象的高维空间。

1.3 降维解释降维算法中的“降维”，指的是降低特征矩阵中特征的数量。

降维的目的是为了让算法运算更快，效果更好，但其实还有另一种需求：数据可视化。

（一）主成分分析法的基本思想主成分分析（PrincipalComponentAnalysis ）是利用降维的思想，将多个变量转化为少数几个综合变量（即主成分），其中每个主成分都是原始变量的线性组合，各主成分之间互不相关，从而这些主成分能够反映始变量的绝大部分信息，且所含的信息互不重叠。

[2]采用这种方法可以克服单一的财务指标不能真实反映公司的财务情况的缺点，引进多方面的财务指标，但又将复杂因素归结为几个主成分，使得复杂问题得以简化，同时得到更为科学、准确的财务信息。

（二）主成分分析法代数模型 假设用p 个变量来描述研究对象，分别用X 1，X 2…X p 来表示，这p 个变量构成的p 维随机向量为X=(X 1，X 2…X p )t 。

设随机向量X 的均值为μ，协方差矩阵为Σ。

假设X 是以n 个标量随机变量组成的列向量，并且μk 是其第k 个元素的期望值，即，μk=E(xk)，协方差矩阵然后被定义为： Σ=E{(X -E[X])(X-E[X])}=(如图对X 进行线性变化，考虑原始变量的线性组合： Z 1=μ11X 1+μ12X 2+…μ1p X p Z 2=μ21X 1+μ22X 2+…μ2p X p ………………Z p =μp1X 1+μp2X 2+…μpp X p主成分是不相关的线性组合Z 1，Z 2……Z p ，并且Z 1是X 1，X 2…X p 的线性组合中方差最大者，Z 2是与Z 1不相关的线性组合中方差最大者，…，Z p 是与Z 1，Z 2……Z p-1都不相关的线性组合中方差最大者。

（三）主成分分析法基本步骤 第一步：设估计样本数为n ，选取的财务指标数为p ，则由估计样本的原始数据可得矩阵X=(x ij )m×p ，其中x ij 表示第i 家上市公司的第j 项财务指标数据。

第二步：为了消除各项财务指标之间在量纲化和数量级上的差别，对指标数据进行标准化，得到标准化矩阵（系统自动生成）。

主成分分析完整版一、主成分分析的原理1.标准化数据：先对原始数据进行标准化处理，以确保不同变量的尺度一致。

2.计算协方差矩阵：对标准化后的数据计算协方差矩阵，矩阵中的元素表示不同变量之间的相关性。

3.计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。

4.选择主成分：按照特征值的大小选择最重要的k个特征值和它们对应的特征向量，称之为主成分。

5.数据转换：将原始数据投影到选取的主成分上，得到降维后的数据。

二、主成分分析的方法1.方差解释比：主成分分析通过特征值展示了每个主成分的重要性。

方差解释比是计算每个主成分的方差所占总方差的比例。

选择解释总方差的比例较高的主成分，可以保留更多的信息。

2.累计方差解释比：累计方差解释比是计算前n个主成分的方差解释比之和。

通过选择累计方差解释比较高的主成分，可以保留更多的原始数据信息。

3.维度选择：主成分分析可以通过选择合适的主成分数来实现数据降维。

通过观察特征值的大小和累计方差解释比，可以选择合适的主成分数。

三、主成分分析的应用1.数据可视化：主成分分析可以将高维度的数据转换为低维度的数据，从而方便可视化。

通过在二维或三维空间中绘制主成分，可以更好地理解数据的分布和关系。

2.特征提取：主成分分析可以提取数据中的最重要特征，从而减少数据维度并保留主要信息。

特征提取可以在分类、聚类等问题中提高算法的效果。

3.数据压缩：主成分分析可以将高维度的数据压缩为低维度的数据，从而节省存储空间和计算时间。

压缩后的数据可以用于后续分析和处理。

4.噪音过滤：主成分分析通过保留数据中最重要的特征，可以减少噪音的影响。

通过滤波后的数据可以提高实验测量的准确性和稳定性。

综上所述，主成分分析是一种强大的数据降维技术，可以在许多领域中应用。

熟悉主成分分析的原理、方法和应用，对于理解数据和提升数据分析的能力具有重要意义。

可编辑修改精选全文完整版主成分分析（principal component analysis, PCA）如果一组数据含有N个观测样本，每个样本需要检测的变量指标有K个, 如何综合比较各个观测样本的性质优劣或特点？这种情况下，任何选择其中单个变量指标对本进行分析的方法都会失之偏颇，无法反映样本综合特征和特点。

这就需要多变量数据统计分析。

多变量数据统计分析中一个重要方法是主成份分析。

主成分分析就是将上述含有N个观测样本、K个变量指标的数据矩阵转看成一个含有K维空间的数学模型，N个观测样本分布在这个模型中。

从数据分析的本质目的看，数据分析目标总是了解样本之间的差异性或者相似性，为最终的决策提供参考。

因此，对一个矩阵数据来说，在K维空间中，总存在某一个维度的方向，能够最大程度地描述样品的差异性或相似性(图1)。

基于偏最小二乘法原理，可以计算得到这个轴线。

在此基础上，在垂直于第一条轴线的位置找出第二个最重要的轴线方向，独立描述样品第二显著的差异性或相似性；依此类推到n个轴线。

如果有三条轴线，就是三维立体坐标轴。

形象地说，上述每个轴线方向代表的数据含义，就是一个主成份。

X、Y、Z轴就是第1、2、3主成份。

由于人类很难想像超过三维的空间，因此，为了便于直观观测，通常取2个或者3个主成份对应图进行观察。

图（1）PCA得到的是一个在最小二乘意义上拟合数据集的数学模型。

即，主成分上所有观测值的坐标投影方差最大。

从理论上看，主成分分析是一种通过正交变换，将一组包含可能互相相关变量的观测值组成的数据，转换为一组数值上线性不相关变量的数据处理过程。

这些转换后的变量，称为主成分（principal component, PC）。

主成分的数目因此低于或等于原有数据集中观测值的变量数目。

PCA最早的发明人为Karl Pearson，他于1901年发表的论文中以主轴定理（principal axis theorem）衍生结论的形式提出了PCA的雏形，但其独立发展与命名是由Harold Hotelling于1930年前后完成。