吉林省四平市公主岭市第一中学2020-2021学年高二下期期末考试数学(文)试题

吉林省高二下学期数学期末考试试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设是虚数单位，若复数是实数，则的值为（）A .B .C . 3D . 12. （2分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则=（）A . {5，7}B . {2，4}C . {1，3，5，6，7}D . {2，4，8}3. （2分）命题“x＞0，总有（x+1）ex＞1”的否定是（）A . “x＞0，使得（x+1）ex＞1”B . “x＞0，总有（x+1）ex≥1”C . “x＞0，使得（x+1）ex≤1”D . x＞0，总有（x+1）ex＜1”4. （2分） (2020·河南模拟) 已知两条直线和平面，若，则是的（）A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件5. （2分） (2020高二下·赣县月考) 设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分）(2019·中山模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .7. （2分）已知二次函数满足且c<0，则含有f(x)零点的一个区间是（）A . (-2,0)B . (-1,0)C . (0,1)D . (0,2)8. （2分） (2015高三上·和平期末) 记实数x1 ， x2 ，…，xn中最小数为min{x1 ， x2 ，…，xn}，则定义在区间[0，+∞）上的函数f（x）=min{x2+1，x+3，13﹣x}的最大值为（）A . 5B . 6C . 8D . 109. （2分）若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，]恒成立，则a的最小值是（）A . 0B . -2C . -D . -310. （2分） (2019高一上·普宁期中) 方程的解的个数为（）A . 4B . 3C . 2D . 111. （2分） (2016高一上·武邑期中) 下列函数中，值域是（0，+∞）的是（）A . y=（）1﹣xB . y=x2C . y=5D . y=12. （2分） (2016高一上·茂名期中) 已知函数f（x）= 满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为（）A . （﹣∞，2）B . （﹣∞， ]C . （﹣∞，2]D . [ ，2）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·包头期中) 对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数f（x）=x﹣[x]，下列命题中正确命题的序号________．①函数f（x）的最大值为1；②函数f（x）的最小值为0；③方程f（x）﹣ =0有无数个解；④函数f（x）是增函数；⑤对任意的x∈R，函数f（x）满足f（x+1）=f（x）；⑥函数f（x）的图象与函数g（x）=|lgx|的图象的交点个数为10个．14. （1分） (2019高一下·舒兰期中) 定义域在上的函数既是奇函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为________．15. （1分）(2017·新课标Ⅱ卷文) 长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O 的表面积为________．16. （1分） (2019高一上·仁寿月考) 已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为________.三、解答题 (共7题；共51分)17. （1分） (2016高二上·包头期中) 若命题p：曲线 =1为双曲线，命题q：函数f（x）=（4﹣a）x在R上是增函数，且p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是________．18. （15分） (2018高一上·慈溪期中) 已知函数，且定义域为 .（1）求关于的方程在上的解；（2）若在区间上单调减函数，求实数的取值范围；（3）若关于的方程在上有两个不同的实根，求实数的取值范围.19. （10分）(2019·宣城模拟) 如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．（1）求证：平面平面．（2）求二面角的余弦值．20. （5分） (2017高三上·廊坊期末) 近年来，手机已经成为人们日常生活中不可缺少的产品，手机的功能也日趋完善，已延伸到了各个领域，如拍照，聊天，阅读，缴费，购物，理财，娱乐，办公等等，手机的价格差距也很大，为分析人们购买手机的消费情况，现对某小区随机抽取了200人进行手机价格的调查，统计如下：年龄价格5000元及以上3000元﹣4999元1000元﹣2999元1000元以下45岁及以下122866445岁以上3174624（Ⅰ）完成关于人们使用手机的价格和年龄的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为人们使用手机的价格和年龄有关？（Ⅱ）从样本中手机价格在5000元及以上的人群中选择3人调查其收入状况，设3人中年龄在45岁及以下的人数为随机变量X，求随机变量X的分布列及数学期望．附K2=P（K2≥k）0.050.0250.0100.001k 3.841 5.024 6.63510.82821. （5分） (2017高二上·潮阳期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．22. （5分）已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？23. （10分）(2020·定远模拟) 已知函数 . （1）求不等式的解集；（2）若，证明： .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共51分) 17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、23-1、23-2、。

吉林省四平市数学高二下学期文数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知复数i为虚数单位），且，则z=（）A .B .C . 或D . 或2. （2分） (2017高三上·红桥期末) （设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A . [0，1]B . （0，1）C . （0，1]D . [0，1）3. （2分） (2019高二上·湖南期中) 已知变量、之间的线性回归方程为，且变量、之间的一-组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（）A . 可以预测，当时，B .C . 变量、之间呈负相关关系D . 该回归直线必过点4. （2分） (2019高一上·田阳月考) 把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是（）．A .B .C .D .5. （2分）已知平行六面体中，AB=4，AD=3，，，则AC等于（）A . 85B .C .D . 506. （2分）“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的（）A . 充要条件B . 必要而不充分条件C . 充分而不必要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分） (2015高三上·东莞期末) 已知一个几何的三视图如图所示，图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）B . 4C . 6D . 108. （2分）如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（）A . 2010B . -1C .D . 29. （2分）(2018·枣庄模拟) 已知斜率为3的直线与双曲线交于两点，若点是的中点，则双曲线的离心率等于（）A .B .C . 210. （2分）一个长方体底面为正方形且边长为4，高为h，若这个长方体能装下8个半径为1的小球和一个半径为2的大球，则h的最小值为（）A . 8B . 2+2C . 2+2D . 611. （2分）设偶函数f(x)的定义域为R，当x时f(x)是增函数，则的大小关系是（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高一上·鸡西期末) 已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的图象是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高三下·鸡西开学考) 若实数x，y满足则z=x+2y的最大值是________．14. （1分）(2017·大理模拟) 在直角坐标系xOy中，有一定点M（﹣1，2），若线段OM的垂直平分线过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，则该抛物线的准线方程是________．15. （1分）已知命题P：“对∀x∈R，∃m∈R，使4x﹣2x+1+m=0”，若命题￢P是假命题，则实数m的取值范围是________16. （1分）(2016·安徽模拟) 在△ABC中，，过B点作BD⊥AB交AC于点D．若AB=CD=1，则AD=________．三、解答题 (共5题；共47分)17. （10分）(2018·泉州模拟) 等差数列的前项和为，已知 .（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.18. （12分） (2016高一下·连江期中) 为了了解某地高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？（3）通过该统计图，可以估计该地学生跳绳次数的众数是________，中位数是________．19. （10分）(2018·益阳模拟) 在三棱锥中，底面，，，是的中点，是线段上的一点，且，连接，， .（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.20. （10分）(2018·河北模拟) 已知点为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点.（1）若直线的斜率为1，，求抛物线的方程；（2）若抛物线的准线与轴交于点，，求的值.21. （5分）(2019·延安模拟) 已知函数的图象在点处的切线与直线平行.（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）若对于，，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共47分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、。

2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题 文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、若集合M={1,2},N={2,3,4,5},则M ∪N 的元素有（ ） A 、 1个 B 、 2个 C 、5个 D 、 6个2、复数i z23-=所对应的点位于复平面的（ ）A 、第四象限B 、第三象限C 、第二象限D 、第一象限 3、若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，92=a ，1110=a ，则11S 等于（ ）A 、180B 、110C 、100D 、99 4、已知向量a =（1,2）， b =(-2,t),a ∥b 则t=（ ） A 、-4 B 、-2 C 、0 D 、1 5、已知命题:p 1=x 是方程01=+x 的根；:q 对于任意R x ∈，总有0≥x ，则下列命题为真命题的是（ ） A 、q p ∧ B 、q p ⌝∧⌝ C 、q p ⌝∧ D 、q p ∧⌝6、 在空间中，a 、b 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列条件中可推出//a b 的是（ ）A 、,,//a b αβαβ⊂⊂B 、,a b αα⊥⊥C 、//,a b αα⊂D 、,a b αα⊥⊂7、双曲线1366422=-y x 的焦距（ ）A 、10B 、16C 、20D 、1008、若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤≤≤823040y x y x ，则y x z +=3的最大值等于（ ）A 、9B 、10C 、12D 、14 9、如图所示，某几何体的三视图相同，均为圆周的41，则该几何体的表面积为（ ）A 、π2B 、π45C 、πD 、π4310、若36.0=a ，2.0log 3=b ，6.03=c 则（ ）A 、b a c>> B 、b c a >>C 、a b c >>D 、 a c b >> 11、在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（ ）12、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的零点个数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13、函数x y 2cos =的最小正周期是 14、抛物线y 2=2x 的准线方程是 ．15、设双曲线C ：22221x y a b-= (a >0，b >0)的一条渐近线为yx ，则C 的离心率为_________．16、设函数e ()xf x x a=+．若(1)4e f '=，则a =_________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. （本小题满分12分）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知13a =，339S =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n c 满足nn nS c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.（本小题满分12分） 某组织在某市征集志愿者参加志愿活动，现随机抽出60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名市民中愿意参加志愿活动和不愿意参加志愿活动的男女生比例情况，具体数据如图所示.(1)完成下列22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为愿意参与志愿活动与性别有关？愿意 不愿意 总计 男生 女生 总计(2)现用分层抽样的方法从愿意参加志愿活动的市民中选取7名志愿者，再从中抽取2人作为队长，求抽取的2人至少有一名女生的概率. 参考数据及公式：()20P K k ≥0.1 0.05 0.025 0.010k2.7063.841 5.0246.635()()()()()()22n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.19、（本小题满分12分）如图在四面体ABCD 中,CB =CD ,AD ⊥BD ,点E ,F 分别是AB ,BD 的中点,求证: (1)直线EF ∥面ACD ; (2)面EFC ⊥面BCD .20、（本小题满分12分）设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线L 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|、|AB |、|BF 2|成等差数列.(1)求|AB |；(2)若直线L 的斜率为1，求b 的值．21、（本小题满分12分）已知函数()nx mx x x f --=233其中n m ,为实数.(1)若f (x )在x =1处取得的极值为2,求n m ,的值; (2)若f (x )在区间[-1,2]上为减函数,且m n 9=,求m 的取值范围。

吉林省四平市数学高二下学期文数期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2016 高一下·郑州期中) 已知函数 f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），且 f（2 009）=3， 则 f（2 011）的值是（ ）A . ﹣1B . ﹣2C.3D.12. （2 分） (2016 高二上·呼和浩特期中) 已知 a＜0，关于 x 的一元二次不等式 ax2﹣（2+a）x+2＞0 的解集 为（ ）A . {x|x＜ 或 x＞1}B . {x| ＜x＜1}C . {x|x＜1 或 x＞ }D . {x|1＜x＜ }3. （ 2 分 ） 已 知 方 程，．那么（ ）A . M 和 N 都是方程的解集B . M 是方程的解集，N 不是方程的解集C . M 不是方程的解集，N 是方程的解集D . M 和 N 都不是方程的解集第 1 页 共 10 页4. （2 分） 下列四个函数中，以 π 为最小正周期，且在区间（ ，π）上单调递减函数的是（ ） A . y=sin2x B . y=2|cosx|C. D . y=tan（﹣x）5. （2 分） 已知，，， 则 a,b,c 三者的大小关系是（ ）A . a>b>c B . b>a>c C . b>c>a D . c>b>a 6. （2 分） 已知 f（x）为 R 上的可导函数，且对 x∈R，均有 f（x）＞f′（x），则有（ ） A . e2016f（﹣2016）＜f（0），f（2016）＜e2016f（0） B . e2016f（﹣2016）＞f（0），f（2016）＞e2016f（0） C . e2016f（﹣2016）＜f（0），f（2016）＞e2016f（0） D . e2016f（﹣2016）＞f（0），f（2016）＜e2016f（0）7. （2 分） 已知 tanα，tanβ 是方程两根，且， 则 α+β 等于（ ）A.B.或C.- 或D.第 2 页 共 10 页8. （2 分） 定义运算 值范围是（ ）=ad﹣bc，若函数 f（x）=在（﹣∞，m）上单调递减，则实数 m 的取A . （﹣2，+∞）B . [﹣2，+∞）C . （﹣∞，﹣2）D . （﹣∞，﹣2]9. （2 分） 曲线 y=e﹣2x+1 在点（0，2）处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为（ ）A.B.C. D.110. （2 分） 函数 到的函数为奇函数，则函数的图象（ ）的最小正周期是 ， 若其图象向右平移 个单位后得A . 关于点对称B . 关于直线对称C . 关于点对称D . 关于直线对称11. （2 分） (2017·舒城模拟) 函数的图象不可能是（ ）第 3 页 共 10 页A. B.C.D.12. （2 分） (2019·靖远模拟) 已知函数则下列函数中与函数的单调性完全相同的是（，若函数 ），，A.B. C. D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2016 高一上·沈阳期中) 已知 log3[log4（log2x）]=0，则 x=________．14. （1 分） (2018·吕梁模拟) 将函数的图象向右平移第 4 页 共 10 页个单位后，再向下平移 1个单位得到函数，若，且，则的最小值为________．15. （1 分） (2017·临沂模拟) 若函数 f（x）=x+ln 范围是________．在区间[a，b]的值域为[ta，tb]，则实数 t 的取值16. （1 分） (2018 高三上·大连期末) 设三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)，则________．17. （10 分） (2017 高一上·江苏月考) 设全集,集合，．（1） 若，求，；（2） 若，求实数 的取值范围．18. （10 分） (2019 高一上·拉萨期中) 已知函数的图象过点（1） 求 与 的值;（2） 当时，求的值域.19. （10 分） (2020·晋城模拟) 在中，角的对边分别为，且.（1） 求 ；（2） 若，的面积为 ，求的周长.20. （5 分） (2016 高一上·呼和浩特期中) 求函数 y=（ 间，并求它的值域．） x﹣（） x+1，x∈[﹣3，2]的单调区21. （15 分） (2018 高一上·湖南月考) 已知函数，，其中且.（1） 求函数的定义域；（2） 若函数的最大值是 2，求 的值；（3） 求使成立的 的取值范围.第 5 页 共 10 页22. （5 分） 设函数 f（x）=loga（x+1）（a＞0，a≠1）（1）当 a＞1 时，证明：∀ x1 ， x2∈（﹣1，+∞），x1≠x2 ， 有 f（ ）；（2）若曲线 y=f（x）有经过点（0，1）的切线，求 a 的取值范围．第 6 页 共 10 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 10 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17-1、17-2、 18-1、18-2、 19-1、 19-2、第 8 页 共 10 页20-1、 21-1、21-2、 21-3、第 9 页 共 10 页22-1、第 10 页 共 10 页。

吉林省四平市2020年高二第二学期数学期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．如图，用6种不同的颜色把图中A B C D 、、、四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（ ）A ．496种B ．480种C ．460种D ．400种2．由2，3，5，0组成的没有重复数字的四位偶数的个数是（ ） A ．12B ．10C ．8D ．143．已知复数z 满足()()122z i i +-=，则复数z 在复平面内的对应点所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．一个几何体的三视图如图所示，其体积为（ ）A ．12B ．3122C ．116D ．11365．某几何体的三视图如图所示,其中圆的半径均为1,则该几何体的体积为( )A ．42083π+B ．42163π+C ．322083π+D ．322163π+6．用秦九韶算法求n 次多项式1110()+n n n n f x a x a x a x a --=+++，当0x x =时，求0()f x 需要算乘方、乘法、加法的次数分别为（ ）A ．(1),,2n n n n + B ．,2,n n n C ．0,2,n n D ．0,,n n7．10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽取两张.则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率是( ) A ．27B ．29C ．310D ．158．已知点()()3,0,3,0,4A B AC BC --=，则点C 轨迹方程是（ ）A ．()221045x y x -=<B ．22145x y -=C ．()221045x y x -=>D ．()220045x y x -=<9．某人射击一次命中目标的概率为12，则此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为（ ） A ．3661()2CB ．2641()2AC ．2641()2CD ．1641()2C10．已知函数()()22sin ,,123f x x x ππωϕ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦的图象如图所示，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则()12f x x +的值为 （ ）A 3B 2C ．1D ．011．设有下面四个命题1:p 若1x >，则0.30.3x >；2:p 若()~4,0.3X B ，则()0.84D X =； 3:p 若ln 1x x +>，则1x >；4:p 若()2~3,X N σ，则()()25P X P X <>>.其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ=+>>≤⎛⎫⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()y f x =的表达式是（ ）A ．()2sin 12f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()22sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况,现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本.其中大一年级抽取200人,大二年级抽取100人.若其他年级共有学生2000人,则该校学生总人数是_______..14．()()611x x +-的展开式中5x 项的系数为_____．15．在正四面体O －ABC 中，,,OA a OB b OC c ===，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝______________(用,,a b c 表示)．16．各棱长均相等的正三棱锥，其任意两个相邻的面所成的二面角的大小为________. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，E 为棱PB 的中点，2PB =，1PD =，45BPC ∠=︒.（1）证明：PC ⊥平面ADE . （2）求二面角P AE D --的余弦值.19．（6分）在《九章算术》中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．如图所示的五面体是一个羡除，其中棱AB ，CD ，EF 相互平行，四边形ABEF 是梯形．已知CD ＝EF ，AD ⊥平面ABEF ，BE ⊥AF ．（1）求证：DF ∥平面BCE ； （2）求证：平面ADF ⊥平面BCE ．20．（6分）函数f(x)对任意的m ，n R ∈，都有()()()1f m n f m f n +=+-，并且0x >时，恒有()1f x > (1)求证：f(x)在R 上是增函数(2)若(6)4f =，解不等式2(4)2f a a +-<21．（6分）在直角坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为()20，2，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为：1x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）点P 的极坐标为12π⎛⎫⎪⎝⎭，，直线l 与圆C 相交于A ，B ，求PA PB +的值．22．（8分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin 2sin 0b A a A C -+=． （1）求角A ；（2）若3a =，ABC △33，求11b c +的值．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】分析：本题是一个分类计数问题，只用三种颜色涂色时，有C 63C 31C 21，用四种颜色涂色时，有C 64C 41C 31A 22种结果，根据分类计数原理得到结果． 详解：由题意知本题是一个分类计数问题， 只用三种颜色涂色时，有C 63C 31C 21=120（种）． 用四种颜色涂色时，有C 64C 41C 31A 22=360（种）． 综上得不同的涂法共有480种． 故选：C ．点睛：本题考查分类计数问题，本题解题的关键是看出给图形涂色只有两种不同的情况，颜色的选择和颜色的排列比较简单． 2．B 【解析】 【分析】根据个位是0和2分成两种情况进行分类讨论，由此计算出所有可能的没有重复数字的四位偶数的个数. 【详解】当0在个位数上时，有336A =个；当2在个位数上时，首位从5，3中选1，有两种选择，剩余两个数在中间排列有2种方式，所以有224⨯=个所以共有10个． 故选：B 【点睛】本小题主要考查简单排列组合的计算，属于基础题. 3．D 【解析】22(12i)2i i=i=12i 555z +=---- ,对应的点为21(,)55- ,在第四象限,选D. 4．C 【解析】 【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体是直三棱柱剪去一个角，其中ACB △为等腰直角三角形，90,2,2,1ACB AB BE AG EF ︒∠=====，再由棱锥体积剪去棱锥体积求解.【详解】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是直三棱柱剪去一个角，其中ACB △为等腰直角三角形，90,2,2,1ACB AB BE AG EF ︒∠=====， ∴该几何体的体积111112*********V =-⨯⨯⨯⨯=， 故选：C. 【点睛】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原几何体，是中档题. 5．A 【解析】该几何体为一棱长为6的正方体掏掉一个棱长为2的小正方体，再放置进去一个半径为1的球，所以体积为3334462120833ππ-+⨯=+. 故选A. 6．D 【解析】()()112110110+n n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a -----=+++=++⋯++()()231210n n n n a x a x a x a x a ---=++⋯+++=⋯()()()1210n n n a x a x a x a x a --=⋯++⋯++求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值， 即11n n v a x a -=+然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即212n v v x a -=+. 323n v v x a -=+.…11n n v v x a -=+.这样,求n 次多项式f(x )的值就转化为求n 个一次多项式的值．∴对于一个n 次多项式，至多做n 次乘法和n 次加法 故选D. 7．B 【解析】 【分析】根据第一次抽完的情况下重新计算总共样本数和满足条件样本数，再由古典概型求得概率。

吉林省2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文科）试题含解析姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、选择题（共24题）1、设集合，，则集合（）A ．B ．C ．D ．2、已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A ．B ．C ．D ．3、“ ，” 的否定是（）A ．，B ．，C ．，D ．，4、已知函数，则的最大值为（）A ． 1B ． 2C ．0D ．5、设是非零实数，若，则一定有A ．B ．C ．D ．6、余弦函数是偶函数，是余弦函数，因此是偶函数，以上推理A ．结论不正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确7、设圆与，则圆与的位置关系是（）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内含8、若样本的平均数是，方差是，则对样本，下列结论正确的是A ．平均数为 14 ，方差为 5B ．平均数为 13 ，方差为25C ．平均数为 13 ，方差为 5D ．平均数为 14 ，方差为29、下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“ 更相减损术”. 执行该程序框图，若输入，的值分别为，，则输出的的值为A ．B ．C ．D ．10、已知，则“ ” 是“ 在内单调递增” 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11、圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母表示，早在公元 480 年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7 位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000 年，在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值；从区间内随机抽取 200 个数，构成100 个数对，其中满足不等式的数对共有 11 个，则用随机模拟的方法得到的的近似值为A ．B ．C ．D ．12、已知定义在上的偶函数的导函数为，函数满足：当时，，且．则不等式的解集是（）A ．B ．C ．D ．13、设集合，，则= （）A ．B ．C ．D ．14、不等式“ ” 是不等式“ ” 的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15、下列 4 个函数中，定义域为的是（）A ．B ．C ．D ．16、函数的图象大致为A ．B ．C ．D ．17、下列函数是同一个函数的是（）A ．与B ．与C ．与D ．与18、已知函数，则等于（）A ．B ．C ．D ．19、若函数的两个零点一个大于，一个小于，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．20、下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的函数是（）A ．B ．C ．D ．21、某种杂志原来以每本 2.5 元的价格销售，可以售出8 万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1 元，销售量就可能减少2000 本. 若使提价后的销售总收入不低于20 万元，应该确定的价格元的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．或22、方程的非零实数解为（）A ．B ．C ．D ．23、已知是定义域为的偶函数，且满足，则下面给出的等式中不恒成立的是（）A ．B ．C ．D ．24、若关于的方程有且只有 2 个零点，则a 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共8题）1、设函数. ① 若，则的最大值为 _______ ；②若有且只有 1 个零点，则实数的取值范围是 ________.2、已知数列 { } 的前n 项和，则=________ ．3、已知向量，向量，若，则______ ；4、已知函数，则___________.5、设有下列四个命题：：，；：，；：方程有两个不相等实根；：函数的最小值是 2 ．则下述命题中所有真命题的序号是 __________ ．① ；② ；③ ；④ ．6、曲线在点处的切线的斜率为 ______ ．7、若函数是定义域为的奇函数，则实数________ ．8、若函数存在极值点，则实数的取值范围是 _________ ．三、解答题（共12题）1、在中，、、分别是角、、的对边，．（ 1 ）求角的大小；（ 2 ）若，的周长为，求的面积．2、在等比数列中，，且、、成等差数列．（ 1 ）求数列的通项公式；（ 2 ）若、、为等差数列的连续三项，其中，设数列的前项和为，若，求的值．3、如图，在三棱柱中，平面，，是的中点 .（ 1 ）求证：平面；（ 2 ）求证：平面平面.4、已知圆C 的圆心在直线上，且圆C 与x 轴相切，点在圆C 上，点在圆C 外．（ 1 ）求圆C 的方程；（ 2 ）若过点的直线l 交圆C 于A ，B 两点，且，求直线l 的方程．5、天津市某中学高三年级有 1000 名学生参加学情调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50 的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示：（ 1 ）求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120 分的人数和这1000 名学生的数学平均分．（ 2 ）已知样本中成绩在[140 ，150] 内的学生中有两名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机抽取 2 人做学习交流，① 写出这个试验的样本空间；( 用恰当的符号表达)② 设事件A ：” 选取的两人中至少有一名女生” ，写出事件A 的样本点，并求事件A 发生的概率．6、已知函数．（ 1 ）若函数的图像与直线相切，求的值；（ 2 ）若恒成立，求整数的最大值．7、在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（ 1 ）求的普通方程和的直角坐标方程；（ 2 ）判断与公共点的个数，并说明理由．8、某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本 2 万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，（万元）；当年产量不小于万件时，（万元） . 已知每件产品售价为元，假若该同学生产的商品当年能全部售完 .（ 1 ）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润 = 年销售收入- 固定成本- 流动成本）（ 2 ）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取） .9、已知斜率为的直线过点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线和曲线的交点为．（ 1 ）求直线的参数方程；（ 2 ）求.10、已知函数的定义域为.（ 1 ）求的取值范围；（ 2 ）若，函数在 [-2 ，1] 上的最大值与最小值互为相反数，求实数的值．11、定义在上的函数满足且．当时，．（ 1 ）求在上的解析式；（ 2 ）若关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围．12、已知函数.（ 1 ）求函数的单调区间；（ 2 ）若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围 .============参考答案============一、选择题1、 B【分析】利用并集的概念及运算即可得到结果 .【详解】∵ ，，∴ ，故选： B.2、 A【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再得复数，进而可得答案 . 【详解】∵ ，∴ ，故的虚部为.故选： A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．3、 A【分析】直接利用特称命题的否定求解 .【详解】“ ，” 是特称命题，特称命题的否定是全称命题，所以“ ，” 的否定是“ ，”. 故选： A4、 D【分析】将函数化为三角函数的标准形式，即可得到函数的最大值【详解】由辅助角公式可得：，，所以的最大值为，当，时取到故选： D5、 C【分析】根据不等式的基本性质依次判断即可得到答案．【详解】对于：当，不成立．对于：当时，不成立．对于，是非零实数，，当，恒成立，当时，，则，，，当时，，，，．则对．对于：当，时不成立，故选：．6、 C【详解】大前提：余弦函数是偶函数，正确；小前提：是余弦函数，因为该函数为复合函数，故错误；结论：是偶函数，正确．故选： C 7、 A 【分析】根据两圆心距离与两半径关系确定两圆位置关系 . 【详解】 因为 , 所以圆与外离，选 A.【点睛】利用两圆心距离与两半径关系判断圆与圆的位置关系：两圆外离；两圆外切； 两圆相交；两圆内切；两圆内含 .8、 C 【分析】根据平均数和方差的定义和性质进行求解即可． 【详解】∵ 样本 1+x 1 ， 1+x 2 ， 1+x 3 ， … ， 1+x n 的平均数是 12 ，方差为 5 ， ∴1+x 1 +1+x 2 +1+x 3 +…+1+x n =12n ， 即 x 1 +x 2 +x 3 +…+x n =12n ﹣ n=11n ，方差 S 2= [ （ 1+x 1 ﹣ 12 ） 2 + （ 1+x 2 ﹣ 12 ） 2 +…+ （ 1+x n ﹣ 12 ） 2 ]= [ （ x1 ﹣ 11 ）2 + （ x 2 ﹣ 11 ） 2 +…+ （ x n ﹣ 11 ） 2]=5 ，则 （ 2+x 1 +2+x 2 +…+2+x n ） = =13 ，样本 2+x 1 ， 2+x 2 ， … ， 2+x n 的方差 S 2 = [ （ 2+x 1 ﹣ 13 ） 2 + （ 2+x 2 ﹣ 13 ） 2+…+ （ 2+x n ﹣ 13 ） 2 ]= [ （x1 ﹣ 11 ）2 + （x2﹣ 11 ） 2 +…+ （xn﹣ 11 ） 2 ]=5 ，故选 C ．【点睛】本题主要考查样本数据的方差和平均数的计算，根据相应的公式进行计算是解决本题的关键．9、 B【详解】由算法流程图中提供的算法程序可以看出：第一步，则，第二步则令；第三步再令，再令，这时运算程序结束，输出，应选答案 B ．10、 A【分析】根据函数在内单调递增求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论 .【详解】因为在内单调递增，则对任意的恒成立，即，当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，.因为Ü ，因此，“ ” 是“ 在内单调递增” 的充分不必要条件.故选： A.11、 A【分析】由可得出数对在平面直角坐标系内的位置，结合几何概型中的面积型进行求解即可 .【详解】，在平面坐标系中作出边长为 1 的正方形和单位圆，则符合条件的数对表示的点在轴上方、正方形内且在圆外的区域，区域面积为，由几何概型概率公式可得，解得.故选： A.【点睛】本题考查了通过随机模拟求圆周率的近似值，考查了几何概型的计算公式，考查了数学运算能力 .12、 C【分析】由已知条件构造函数，则，在R 上为奇函数，且单调递增，而由，可得，然后分和对化简，再利用的单调性可解得不等式【详解】当时，，∴ ，令，为上的偶函数，则，在R 上为奇函数，且单调递增，且，则① 当时，，即，，即，∴；② 当时，，，，即，∴ ．综上，不等式的解集为．故选： C ．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数判断函数的单调性，再利用函数的单调性解不等式，解题的关键是由构造函数，可得，从而可得在R 上为奇函数，且单调递增，然后利用其单调性解不等式，属于中档题13、 A【分析】根据补集的定义计算可得；【详解】解：因为，，所以故选： A14、 B【分析】运用充要条件知识判断命题之间的逻辑关系得出答案 .【详解】由不等式得：，由不等式得，所以不等式是不等式必要不充分条件，选项 B 正确，选项ACD 错误故选： B.15、 D【分析】指出每个选项中函数的定义域，即可得出合适的选项 .【详解】对于 A 选项，函数的定义域为；对于 B 选项，函数的定义域为；对于 C 选项，函数的定义域为；对于 D 选项，函数的定义域为.故选： D.16、 C【分析】由可排除 A 、 D ；再利用导函数判断在上的单调性，即可得出结论 . 【详解】因为，故排除 A 、 D ；，令，在是减函数，，在是增函数，，存在，使得，单调递减，单调递增，所以选项 B 错误，选项 C 正确.故选： C【点睛】本题考查由解析式选择函数图象的问题，利用导数研究函数单调性是解题的关键，考查学生逻辑推理能力，是一道中档题 .17、 C【分析】根据定义域和对应关系相同的函数是同一个函数依次讨论各选项即可 .【详解】对于 A 选项，的定义域为，定义域为，故不满足；对于 B 选项，与对应关系不同，故不满足；对于 C 选项，与定义域均为，且，故是同一函数，满足；对于 D 选项，的定义域为，的定义域为，故不满足 . 故选： C18、 B【分析】求得，进而可得.【详解】因为，所以.故选： B.19、 A【分析】根据函数有两个零点，得，再由两个零点的分布，列条件求解 .【详解】因为函数有两个零点，所以，由两个零点一个大于，一个小于，得或，解得.故选： A.20、 A【分析】对于 A 选项，结合函数奇偶性的定义与复合函数单调性法则判断，对于 B 选项，函数不是奇函数；对于 C 选项，，在上单调递减不满足；对于 D 选项，函数为非奇非偶函数，不满足 .【详解】解：对于 A 选项，定义域为，，所以函数为奇函数，设，，由于，故，，即，所以函数在上单调递减，故函数在上单调递减，进而由奇函数性质得函数在上单调递减，故 A 选项正确；对于 B 选项，，故函数不是奇函数，错误；对于 C 选项，，显然当时，函数在上单调递增，在上单调递减，故不满足；对于 D 选项，函数为非奇非偶函数，故不满足 .故选： A21、 C【分析】提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本，解不等式即得解 .【详解】提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：（万本），销售的总收入仍不低于 20 万元，列不等式为：．解之得故选： C22、 D【分析】由题知，进而令得，再计算即可 .【详解】解：因为，令，则，解得：或，所以或，解得或.所以方程的非零实数解为.故选： D23、 B【分析】根据函数的奇偶性和对称性证明函数是周期函数，进而判断出结果 .【详解】是R 上的偶函数，又，即，，所以 2 是的一个周期，同时 4 ， 6 也是的周期所以选项 ACD 正确，选项 B 错误.故选： B.24、 D【分析】由，得（），令，所以关于的方程有且只有 2 个零点，等价于函数的图像与直线有两个交点，然后利用导数求出的单调区间的最值，结合图像可得答案【详解】由，得（），令，所以关于的方程有且只有 2 个零点，等价于函数的图像与直线有两个交点，由，得，当时，，当，，所以在上递增，在上递减，所以，当时，，所以当时，函数的图像与直线有两个交点，所以a 的取值范围是，故选： D二、填空题1、【分析】① 根据确定的表达式，再求出各段函数表达式的最大值，作比较可得结果；② 作出函数和的图象，根据两函数图象与轴的交点情况，可得结果 . 【详解】① 当时，，当时，；当时，，，由得，；由得，，所以在上单调递增，在上单调递减，当时，有极大值 2 ，又，故当时，的最大值为 2.② 作出和的图象，由图象，可知函数与轴三个交点，从左到右依次为，，；函数与轴只有一个交点，为.若有且只有 1 个零点，则实数的取值范围是.故答案为：①2 ；②.2、 100【详解】试题分析：．考点：数列求和．3、【分析】由题意利用两个向量平行的性质，求得的值，即可求得．【详解】解：向量，向量，若，则，，，则，故答案为：．4、 1【分析】利用求值【详解】由题故答案为： 15、①②④【分析】命题：构造函数，利用导数、结合任意的定义进行判断本命题的真假，命题：利用特殊值法，结合存在的定义进行判断本命题的真假，命题：利用一元二次方程根的判别式进行判断本命题的真假，命题：利用特殊值法进行判断本命题的真假 .然后利用或、且、非命题的真假命题的判断方法进行判断即可 .【详解】，，，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以为真．当时成立，所以为真．，方程有两个不相等实根，所以为真．当时，，所以为假．所以，，为真，故答案为：①②④ ．【点睛】关键点睛：本题的关键一是构造函数利用导数判断命题的真假；二是正确掌握且、或、非命题的真假判断方法 .6、【分析】先求导，再利用导数的几何意义求值 .【详解】因为，所以.当时，.所以曲线在点处的切线的斜率为 1.故答案为： 1.7、【分析】先根据定义域关于原点对称所以在定义域内任取，利用奇函数性质，列出等式即可求解【详解】定义域关于原点对称，任取, 则，由奇函数知，，因为，所以，化简得对恒成立，即，故答案为 :8、【分析】函数存在极值点，则可知在上有零点，且零点左右两侧的函数值异号，从而可由判别式求解即可【详解】解：由，得，因为函数存在极值点，所以在上有变号零点，当时，无零点，当时，只需，即，解得或，所以实数的取值范围是，故答案为：三、解答题1、（ 1 ）；（ 2 ）．【分析】（ 1 ）利用正弦定理边化角，结合诱导公式以及两角和的正弦公式化简即可得出．（ 2 ）利用余弦定理可得，再利用三角形面积公式即可得出．【详解】（ 1 ），由正弦定理可得，，即．又角为内角，不等于 0 ，，又，．（ 2 ），，．由余弦定理，得，．．的面积为．2、（ 1 ）；（ 2 ）．【分析】（ 1 ）设等比数列的公比为，则，根据已知条件可得出关于的方程，解出的值，利用等比数列的通项公式可求得；（ 2 ）设等差数列的公差为，求出的值，可求得，然后解方程，即可求得正整数的值 .【详解】（ 1 ）设等比数列的公比为．依题意，、、成等差数列，，即．，．，等比数列的通项公式为；（ 2 ）设等差数列的公差为，，，，，由，得，即，解得，或（舍去）．故．3、（ 1 ）证明见解析；（ 2 ）证明见解析；【分析】（ 1 ）连接交于，连接，证明利用线面平行判定定理证明；（ 2 ）证明平面，再利用面面垂直判定定理证明【详解】解：（ 1 ）如图，连接交于，连接，∴ 是的中点，又是的中点，∴ 是的中位线，∴∵ 平面，平面∴ 平面（ 2 ）∵，是的中点，∴ ，∵ 三棱柱中，平面，∴ 平面∵ 平面，∴ ，又､是平面内的两条相交直线∴ 平面，∵ 平面，∴ 平面平面.4、（ 1 ）；（ 2 ）或．【分析】（ 1 ）由题意设圆的方程为，再将点的坐标代入方程中可求出的值，众而可求出圆的方程；（ 2 ）利用圆心距、弦和半径的关系求出圆心距的长，然后分直线的斜率存在和不存在两种情况，利用点到直线的距离公式列方程求解即可【详解】（ 1 ）设圆心，半径，则圆C 的方程可设为，因为点在圆C 上，所以，解得或．因为点在圆C 外，经检验不符，舍去．所以圆C 的方程为．（ 2 ）由（1 ）可知圆C 的半径，，所以圆心到直线的距离．当k 不存在时，直线方程，符合题意；当k 存在时，设直线方程为，整理得所以圆心C 到直线l 的距离，即，解得，所以，所以直线l 的方程为．∴ 综上，直线方程为或．5、（ 1 ）；人；；（ 2 ）①见解析；②见解析；．【分析】（ 1 ）由频率分布直方图，能求出第四个矩形的高；求出成绩不低于120 分的频率，由此可估计高三年级不低于120 分的人数；利用同一组中的数据用该区间的中点值，即可求出1000 名学生的数学平均分；（ 2 ）①由直方图知，成绩在[140 ，150] 的人数是 6 人，其中女生为 A ， B ，男生为 c ，d ，e ， f ，利用列举法能求出这 6 人中抽取 2 人；② 根据①即可求出事件A 的样本点和事件A 发生的概率 .【详解】（ 1 ）由频率分布直方图可知，第四个矩形的高为：，成绩不低于 120 分的频率为：；所以高三年级不低于 120 分的人数为：人．（ 2 ）由频率分布直方图知，成绩在[140 ，150] 的人数是 6 ，记女生为，B ，男生为，从这 6 人中抽取2 人的情况有，，共 15 种．其中至少有一名女生的情况有 9 种，故至少有一名女生的概率为．6、（ 1 ） 1 （ 2 ） 2【分析】（ 1 ）由导数几何意义得，即得，再由，解得. （ 2 ）先分离：，再利用结论，，可得，所以，即得整数的最大值为 2.【详解】（ 1 ）由题意可知，和相切，，则，即，解得.（ 2 ）现证明，设，令，即，因此，即恒成立，即，同理可证.由题意，当时，，即时，成立 .当时，存在使，即不恒成立 .因此整数的最大值为 2.7、（ 1 ），；（ 2 ）有且只有 1 个公共点，理由见解析.【分析】（ 1 ）把曲线的参数方程平方相加化简即得的普通方程，利用极坐标的公式求出的直角坐标方程；（ 2 ）联立与，求出即得解 .【详解】解：（ 1 ）曲线的参数方程为（是参数），，的普通方程是.曲线的极坐标方程为，，由，得的直角坐标方程为.（ 2 ）与有且只有 1 个公共点，由（ 1 ）联立与，得，，整理得，，与有且只有 1 个公共点.8、（ 1 ）；（ 2 ）当年产量万件时，年利润最大，最大年利润为万元 .【分析】（ 1 ）根据题中条件，分和两种情况，分别求出对应的解析式，即可得出结果；（ 2 ）根据（1 ）中解析式，分别求出和两种情况下，的最大值，即可得出结果 .【详解】（ 1 ）因为每件产品售价为元，则万件商品销售收入为万元，由题意可得，当时，；当时，；所以；（ 2 ）由（1 ）可得，当，，当且仅当时，等号成立；当时，，则，所以，当时，，即函数单调递增；当时，，即函数单调递减；所以当时，取得最大值；综上，当时，取得最大值万元；即当年产量为时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大年利润是万元 .【点睛】思路点睛：导数的方法求函数最值的一般步骤：（ 1 ）先对函数求导，根据导数的方法判定函数在给定区间的单调性；（ 2 ）根据函数单调性，即可求出函数的最值.9、（ 1 ）（是参数）；（ 2 ）.【分析】（ 1 ）由题知直线的倾斜角，故直接根据直线的参数方程公式求解即可；（ 2 ）曲线的直角坐标方程为，在根据直线参数方程几何意义求解即可 . 【详解】解：（ 1 ）因为直线的斜率为，所以倾斜角，所以. 又因为直线过点所以直线的参数方程为（是参数）（ 2 ）由可得，，即所以，曲线的直角坐标方程为，由此，得，即.设为此方程的两个根，因为和的交点为，所以分别是点所对应的参数，由韦达定理得，所以，10、（ 1 ）；（ 2 ）.【分析】（ 1 ）等价于对任意的上恒成立，对分两种情况讨论得解；（ 2 ）利用函数的单调性求出函数在 [-2 ，1] 上的最大值与最小值，解方程即得解 .【详解】解：（ 1 ）因为的定义域为对任意的上恒成立① 当时，符合题意② 当时，解得，，综上所述：，即（ 2 ）令开口向上的二次函数的对称轴为，当时，递减，也递减；当时，递增，也递增 .而，解得（舍）或，.11、（ 1 ）；（ 2 ）.【分析】（ 1 ）根据函数为奇函数可得，再由得到，两式结合得到周期为 2 ，再结合奇偶性求出，当时，则，将 - x 代入到中化简即可求出时的解析式 .（ 2 ）先判断函数再 [0,1] 上的单调性，并求出值域，通过直观想象即可求得m 的范围 .【详解】（ 1 ）由，得，所以，又，所以，所以，所以，又因为，所以．设，则，．综上，（ 2 ）由（1 ）知当时，，当时，为增函数，所以，所以，若关于方程在上有实数解，则，所以．12、（ 1 ）的增区间是，减区间是和；（ 2 ）. 【分析】（ 1 ）求导函数，结合定义域由得递增区间，由得递减区间；（ 2 ）问题转化为对恒成立，对分类讨论进而可得结果 . 【详解】（ 1 ）显然的定义域为，，当时，，当时，，或，所以，函数的增区间是，减区间是和.（ 2 ）关于的不等式恒成立等价于不等式对恒成立，当时，不恒成立，所以不满足条件；当时，只需即，解得，所以，实数的取值范围是.。

吉林省四平市2020年高二(下)数学期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理数根，那么、、中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ） A ．假设、、都是偶数 B ．假设、、都不是偶数 C ．假设、、至多有一个偶数 D ．假设、、至多有两个偶数2．下列命题为真命题的个数是（ ） ①{|x x x ∀∈是无理数｝，2x 是无理数；②命题“∃0x ∈R，20013x x +>”的否定是“∀x∈R，2x ＋1≤3x”；③命题“若220x y +=,x R y R ∈∈,则0x y ==”的逆否命题为真命题；④ (2xx e e --'）=2。

A ．1B ．2C ．3D ．43．若()()()6620126111112x a a x a x a x ⎛⎫= ++-+⎭-+⎪⎝+-，i a ∈R ，i =0，1，2，3，…，6，则()0166a a a a +++的值为( )A ．2-B ．1-C ．1D ．24．若一个直三棱柱的所有棱长都为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）． A ．πB ．7π3C ．11π3D ．5π5．在四边形ABCD 中，如果0AB AD ⋅=，AB DC =，那么四边形ABCD 的形状是（ ） A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．直角梯形6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，756S =，则7a =（ ） A ．10B ．12C ．16D ．207．函数32()3f x x x m =-+在区间[]1,1-上的最大值是2，则常数m =（ ） A ．-2B ．0C ．2D ．48．已知直线:0l x y m --=经过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，与C 交于,A B 两点，若6AB =，则p 的值为（ ） A ．12B ．32C ．1D ．29．如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、颜色，要求红色不在两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有（ ）A ．120种B ．240种C ．144种D ．288种10．已知函数()2321f x x x =--+, ()()517g x x x =-+-，若对(),t ∀∈-∞+∞,[]1,7s ∃∈，使()()(0)f t a g s a +≤>成立，则实数的a 取值范围是( ) A ．(]0,2B ．(]2,3 C ．[]3,6D ．[)4,+∞ 11．如图，在△ABC 中, 13AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为( )A ．B ．C ．19D ．12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin cos sin C C B A +=，0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，6a =1cos 3B =，则b =（） A ．2B ．53C ．125D ．4二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．在四棱锥P ABCD -中，设向量()4,2,3AB =-，()4,1,0AD =-，()6,2,8AP =--，则顶点P 到底面ABCD 的距离为_________14．若实数x ，y 满足条件10262x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为__________．15．观察下列等式：请你归纳出一般性结论______. 16．曲线25+=-xey 在点()0,3处的切线方程为_______.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知()y f x =在()0,+∞上有意义，单调递增且满足()()()()21,f f xy f x f y ==+. (1)求证：()()22f xf x =；(2)求()1f 的值；(3)求不等式的()()()34f x x f +≤的解集18．设复数12i z a =+（其中a R ∈），234z i =-．（Ⅰ）若12z z +是实数，求12z z ⋅的值；（Ⅱ）若12z z 是纯虚数，求1z ． 19．（6分）已知函数()3ln f x x ax =+.（1）若函数()f x 有两个不同的零点，求实数a 的取值范围；（2）若2()22xf x ax ax e e a >+-+-在(1,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.20．（6分）被嘉定著名学者钱大昕赞誉为“国朝算学第一”的清朝数学家梅文鼎曾创造出一类“方灯体”，“灯者立方去其八角也”，如图所示，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点()1,2,,24i P i =为棱上的四等分点.（1）求该方灯体的体积；（2）求直线12PP 和611P P 的所成角； （3）求直线913P P 和平面129P P P 的所成角． 21．（6分）设k ∈R ，函数()ln f x x kx =-. （1）若2k =，()y f x =极大值；（2）若()f x 无零点，求实数k 的取值范围；（3）若()f x 有两个相异零点1x ，2x ，求证：12ln ln 2x x +>. 22．（8分）已知{}n a 为等差数列，且138a a +=，2412a a +=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设2nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和. 参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】分析：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b 、c 中至少有一个偶数”写出否定即可． 解答：解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定 “至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a 、b 、c 都不是偶数 故选B ．点评：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n 个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”． 2．B 【解析】由①中，比如当x 时，就不成立；②中，根据存在性命题与全称命题的关系，即可判定；③中，根据四种命题的关系，即可判定；④中，根据导数的运算，即可判定，得到答案. 【详解】对于①中，比如当x =时，就不成立，所以不正确；对于②中，命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”，所以正确；③中，命题“若220,,x y x R y R +=∈∈，则0x y ==”为真命题，其逆否命题为真命题，所以正确；对于④中，根据导数的计算，可得(2x xe e --'）=-2，所以错误；故选B. 【点睛】本题主要考查了命题真假的判定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，以及四种命题的关系，导数的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】根据题意，采用赋值法，令2x =得0123664a a a a a +++++=，再将原式化为()613122x ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦根据二项式定理的相关运算，求得6164a =，从而求解出正确答案． 【详解】在()()()6620126111112x a a x a x a x ⎛⎫= ++-+⎭-+⎪⎝+-中，令2x =得0123664a a a a a +++++=，由()6611311222x x ⎛⎫⎡⎤+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，可得6164a =，故()01661a a a a +++=．故答案选C ． 【点睛】本题考查二项式定理的知识及其相关运算，考查考生的灵活转化能力、分析问题和解决问题的能力． 4．B 【解析】 【分析】根据题意画出其立体图形.设此直三棱柱两底面的中心分别为,O O ,则球心为线段O O 的中点,利用勾【详解】 画出其立体图形:直三棱柱的所有棱长都为1,且每个顶点都在球O 的球面上， 设此直三棱柱两底面的中心分别为12,O O ,则球心O 为线段12O O 的中点， 设球O 的半径为R ，在111A B C △中11A O 是其外接圆半径r ,由正弦定理可得:12sin 60r = ,3332r == ,即113A O = 在11t R AO O 中22222111131117323412A O A O O O ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭== ∴球O 的表面积27π7S 44123R ππ==⨯= . 故选:B. 【点睛】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质.解决本题的关键在于能想象出空间图形,并能准确的判断其外接球的球心就是上下底面中心连线的中点． 5．A 【解析】 【分析】由AB DC =可判断出四边形ABCD 为平行四边形，由0AB AD ⋅=可得出AB AD ⊥，由此判断出四边形ABCD 的形状.【详解】AB DC =，所以，四边形ABCD 为平行四边形，由0AB AD ⋅=可得出AB AD ⊥，因此，平行四边形ABCD 为矩形，故选A. 【点睛】同时也考查了推理能力，属于中等题. 6．D 【解析】 【分析】利用等差数列的前n 项和公式以及通项公式即可求出. 【详解】()177477562a a S a +===， 48a ∴=，34a =，434d a a ∴=-=， 73420a a d ∴=+=故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式以及通项公式，考查了学生的计算，属于较易题. 7．C 【解析】分析：求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值是0f m =（），则m 值可求． 详解：32f x x x '=-（）（），令0f x '（）＞，解得：2x ＞或0x ＜， 令0f x '（）＜，解得：02x ＜＜， ∴()f x 在[10-，）递增，在[]01，递减，02max f x f m ∴===（）（） ， 故答案为：2点睛：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了导数的综合应用，属于基础题． 8．B 【解析】试题分析：因为抛物线的焦点为(,0)2p，则由题意，得2p m =①．又由20{2x y m y px --==，得222()0x p m x m -++=，所以6AB ==②，由①②得32p =，故选B ． 考点：1、直线与抛物线的位置关系；2、弦长公式．【解析】 【分析】首先计算出“黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案”数，然后计算出“红色在左右两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案”数，用前者减去后者，求得题目所求不同的涂色方案总数. 【详解】不考虑红色的位置，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案有()22323234432C A A A ⋅⋅=种. 这种情况下，红色在左右两端的涂色方案有()2212232223144C A C A A ⋅⋅⋅=种；从而所求的结果为432144288-=种.故选D.【点睛】本小题主要考查涂色问题，考查相邻问题、不在两端的排列组合问题的求解策略，考查对立事件的方法，属于中档题. 10．A 【解析】由题意得“对(),t ∀∈-∞+∞,[]1,7s ∃∈，使()()(0)f t a g s a +≤>成立”等价于“max max ()()f x a g x +≤”．∵()2321(23)(21)4f x x x x x =--+=≤--+=，当且仅当(23)(21)0x x -⋅+≥时等号成立． ∴max ()4f x =．在()g x =1070x x -≥⎧⎨-≤⎩，解得17x ≤≤．令43cos ,[0,]x θθπ=+∈，则()g x ==(sin)sin()6222θθθϕ==+≤，（其中tan ϕ=． ∴max ()6g x =．由46a +≤，解得2a ≤， 又0a >，故02a <≤，∴实数的a 取值范围是(0,2]．选A ．（1）对于求y x a x b ＝－＋－或y x a x b ＝＋－－型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y x a x b ＝－＋－的函数只有最小值，形如y x a x b ＝＋－－的函数既有最大值又有最小值．（2）求函数的最值时要根据函数解析式的特点选择相应的方法，对于含有绝对值符号的函数求最值时，一般采用换元的方法进行，将问题转化为二次函数或三角函数的问题求解． 11．C 【解析】 【分析】先根据共线关系用基底AB AC→→，表示AP→，再根据平面向量基本定理得方程组解得实数m 的值.【详解】如下图，∵,,B P N 三点共线，∴，∴，即,∴①,又∵13AN NC =，∴，∴28=99AP m AB AC m AB AC →→→→→=++②， 对比①，②，由平面向量基本定理可得：．【点睛】本题考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力. 12．C 【解析】 【分析】先利用正弦定理解出c ，再利用cos B 的余弦定理解出b 【详解】sin 2sin cos sin +2cos =C C B A c c B a +=⇔365c ⇒=541144所以125b =【点睛】本题考查正余弦定理的简单应用，属于基础题．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．2； 【解析】 【分析】根据法向量的求法求得平面ABCD 的法向量()3,12,4n =，利用点到面的距离的向量求解公式直接求得结果. 【详解】设平面ABCD 的法向量(),,n x y z =则423040AB n x y z AD n x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，令3x =，则12y =，4z = ()3,12,4n ∴= ∴点P 到底面ABCD 的距离：1829AP n d n⋅-+===+本题正确结果：2 【点睛】本题考查点到面的距离的向量求法，关键是能够准确求解出平面的法向量，考查学生对于点到面距离公式掌握的熟练程度. 14．6 【解析】分析：现根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，求出最优解，然后求解z 的最大值即可.详解：现根据实数,x y 满足条件10262x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≥⎩，画出可行域，如图所示，由目标函数2z x y =-，则2y x z =-，结合图象可知，当直线2y x z =-过点(3,0)A 时， 目标函数取得最大值，此时最大值为2306z =⨯-=.点睛：本题主要考查了简单的线性规划求最大值，其中画出约束条件所表示的平面区域，根据直线的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15．222222(7)(74)(75)(71)(72)(76)k k k k k k ++++=+++++k z ∈ 【解析】分析：根据题意，观察各式可得其规律，用k 将规律表示出来即可．（2k ≥，且k 为正整数） 详解：根据题意，观察各式可得： 第①式中，1k =-； ②式中，0k = 第③式中，1k =；…规律可表示为：()()()()()()22222277475717276k k k k k k ++++=+++++ k z ∈ 即答案为()()()()()()22222277475717276k k k k k k ++++=+++++ k z ∈.点睛：本题要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 16．530x y +-= 【解析】 试题分析：5'525,0xx y ey e x --=+∴=-=时'55y k =-∴=-∴直线方程为53y x =-+，变形得530x y +-=考点：导数的几何意义及直线方程三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17． (1)证明见解析； (2)0； (3) 01x <≤. 【解析】分析：(1)令y=x ，得()()22f x f x =，（2）令y=x=1，得()1f 的值；（3）先探求()42f =，再根据函数单调性转化不等式组，解得结果. 详解：(1)∵(大前提)∴2)＝＝．(结论)(2)∵＝12)＝2，(小前提)∴.(结论)(3)∵，(小前提)且函数在(0，＋∞)上单调递增，(大前提)∴解得(结论)点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内. 18．（Ⅰ）22＋4i （Ⅱ）152z = 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用复数z 1＋z 2是实数，求得a ＝4，之后应用复数乘法运算法则即可得出结果； （Ⅱ）利用复数的除法运算法则，求得12z z ，利用复数是纯虚数的条件求得a 的值，之后应用复数模的公式求得结果 【详解】（Ⅰ）∵z 1＋z 2＝5＋（a －4）i 是实数， ∴a ＝4，z 1＝2＋4i ，∴z 1z 2＝（2＋4i ）（3－4i ）＝22＋4i ；（Ⅱ）∵()()12643823425a a i z ai z i -+++==-是纯虚数， ∴133,222a z i ==+， 故195442z =+=． 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数是实数的条件，复数的乘法运算法则，复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.19．（1）1(,0)2e -；（2）1(,]2e +-∞. 【解析】 【分析】(1)先对()3ln f x x ax =+求导，然后分别讨论0a ≥和0a <时的情况，从而得到a 的取值范围；（2）可令2()()(22)ln 22(1)x xg x f x ax ax e e e x e ax a e x =-+-+-=+-+->，再求导，就0a ≥和0a <两种情况再分别讨论恒成立问题即可得到答案.【详解】（1）()21212(0)ax f x ax x x x+'=+=>①当0a ≥时，()0f x '>恒成立，故()f x 在(0,)+∞上递增，()f x 最多一个零点，不合题意；②当0a <时，()00f x x '>⇒<<()0f x x '<⇒>，()f x ∴在上递增，在)+∞上递减， 且0x +→时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →-∞故要()f x 有两个零点，只需0f >， 解得：102a e-<<， 综合①、②可知，a 的范围是：1(,0)2e-. （2）令2()()(22)ln 22(1)xxg x f x ax ax e e e x e ax a e x =-+-+-=+-+->()12xg x e a x'=+-， ①当0a ≤，()0g x '>恒成立，()g x ∴在(1,)+∞上递增，()g(1)0g x ∴>=，符合题意；②当0a >时，()21xg x e x''=-在(1,)+∞上递增， ()()110g x g e ''''∴>=->()g x '∴在(1,)+∞上递增，又()112g e a '=+-，若()1120g e a '=+-≥，即102e a +<≤时， ()0g x '>恒成立，同①，符合题意，若()1120g e a '=+-<，即12e a +>时， 存在0(1,)x ∈+∞，使()0g x '=，01x x ∴<<时，()0g x '<，0x x >时，()0g x '>， ∴()g x 在0(1,)x 递减，在0()x +∞，上递增，而(1)0g =，故不满足()0>g x 恒成立， 综上所述，a 的范围是：1(,]2e +-∞. 【点睛】本题主要考查利用导函数求解零点中含参问题，恒成立中含参问题，意在考查学生的转化能力，对学生的分类讨论的思想要求较高，难度较大. 20．（1）1883；（2）60；（3）arcsin3. 【解析】 【分析】（1）计算出八个角（即八个三棱锥）的体积之和，然后利用正方体的体积减去这八个角的体积之和即可得出方灯体的体积；（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出直线12PP 和611PP 的所成角； （3）求出平面129P P P 的法向量，利用空间向量法求出直线913P P 和平面129P P P 的所成角的正弦值，由此可得出913P P 和平面129P P P 的所成角的大小. 【详解】 （1）在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D ﹣中，点()1,2,,24i P i =为棱上的四等分点，∴该方灯体的体积：111884448111323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=；（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，()13,0,4P 、()24,1,4P 、()60,3,4P 、()110,4,3P ，()121,1,0PP =，()6110,1,1P P =-，设直线12PP 和611PP 的所成角为θ，则11161126111cos 2PP P P PP P P θ⋅==⋅， ∴直线12PP 和611PP 的所成角为60；（3）()94,0,3P ，()134,0,1P ，()1930,0,2P P =-，()911,0,1PP =-， 设平面129P P P 的法向量(),,n x y z =，则191200n PP x z n PP x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，得y x z x =-⎧⎨=⎩，取1x =，得()1,1,1n =-，设直线913P P 和平面129P P P 的所成角为α，则9913313sin 23P P n P P nα⋅===⋅， ∴直线913P P 和平面129P P P 的所成角为3． 【点睛】本题考查多面体的体积、异面直线所成角、直线与平面所成角的计算，解题的关键就是建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行计算，考查运算求解能力，属于中等题. 21．（1）1ln 12-；（2）1(,)e +∞；（3）证明见解析.【解析】分析：（1）()12'xf x x -=，根据导数的符号可知()f x 的极大值为12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）()1'kxf x x-=，就0,0,0k k k =分类讨论即可； （3）根据1122ln ,ln x kx x kx ==可以得到121121221ln ln ln 1x x xx x x x x ++=-，因此原不等式的证明可化为1ln 21t t t +>-，可用导数证明该不等式. 详解:（1）当2k =时，()12'xf x x-=，当102x <<时，()'0f x >，当12x >时，()'0f x <，故()f x 的极大值为11ln 122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）()1'kx f x x-=， ①若k 0<时，则'()0f x >，()f x 是区间(0,)+∞上的增函数，∵(1)0f k =->，()(1)0k a kf e k ke k e =-=-<， ∴(1)()0kf f e ⋅<，函数()f x 在区间(0,)+∞有唯一零点；②若0k =，()ln f x x =有唯一零点1x =； ③若0k >，令'()0f x =，得1xk， 在区间1(0,)k上，'()0f x >，函数()f x 是增函数； 在区间1(,)k+∞上，'()0f x <，函数()f x 是减函数；故在区间(0,)+∞上，()f x 的极大值为11()ln 1ln 1f k kk=-=--， 由于()f x 无零点，须使1()ln 10f k k =--<，解得1k e>，故所求实数k 的取值范围是1(,)e+∞． （3）由已知得1122ln 0,ln 0x kx x kx -=-=，所以12121212ln ln ln ln x x x x k x x x x +-==+-，故12ln ln 2x x +>等价于121122ln 2x x x x x x +>-即1211221ln 21x x xx x x +>-． 不妨设12x x >，令121x t x =>，()()21ln 1t g t t t -=-+， 则()()2'22114()011t g t t t t t -=-=>++（），()g t 在()1,+∞上为单调增函数，所以()()10g t g >=即()21ln 1t t t ->+，也就是1ln 21t t t +>-，故原不等式成立． 点睛： 导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明．而要证明零点满足的不等式，则需要根据零点满足的等式构建新的目标等式，从而把要求证的不等式转化为易证的不等式． 22． (1)2n a n =.(2)1242n n n T -+=-. 【解析】分析：（1）由138a a +=，2412a a +=可得112282412a d a d +=⎧⎨+=⎩，解之得1,a d ，从而可得{}n a 的通项公式；（2）由2n a n =可得，122n n n n a n b -==，利用错位相减法即可得结果. 详解：（Ⅰ）由已知条件可得112282412a d a d +=⎧⎨+=⎩，解之得12a =，2d =， 所以，2n a n =.（Ⅱ）由2n a n =可得，122n n n n a n b -==，设数列{}n b 的前n 项和为n T . 则21231222n n nT -=++++， ∴23112322222n n n T =++++， 以上二式相减得211111122222n n n nT -=++++- 12212222nnn nn +⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭， 所以，1242n n n T -+=-. 点睛：本题主要考查等差数列的通项公式基本量运算以及错位相减法求数列的前n 项和，属于中档题.一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解, 在写出“n S ”与“n qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式.。

2020-2021学年吉林省四平市公主岭第一中学高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 与向量共线的单位向量是（）A. B.和C. D.和参考答案：D2. 若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数的图象上总存在一条切线，使得，则实数a的取值范围为( )A. B.C. D.参考答案：A【分析】求得f（x）的导数，可得切线l1的斜率k1，求得g（x）的导数，可得切线l2的斜率k2，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合正弦函数的值域和条件可得，?x1，?x2使得等式成立，即（，0）?[﹣1|a|，﹣1|a|]，解得a的范围即可．【详解】解：函数f（x）＝1n（x+1）+x2，∴f′（x）2x，（其中x＞﹣1），函数g（x）a sin cos x a sin x﹣x，∴g′（x）a cos x﹣1；要使过曲线f（x）上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）＝上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则[2x1）（a cos x2﹣1）＝﹣1，a cos x2﹣1，∵2x12（x1+1）﹣2≥2 2∵?x1，?x2使得等式成立，∴（，0）?[﹣1|a|，﹣1|a|]，解得|a|，即a的取值范围为a或a．故选：A．【点睛】本题考查导数的应用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及转化思想的运用，区间的包含关系，考查运算能力，属于中档题．3. 已知复数,则的值为( )A. B.1 C. D.参考答案：B4. 把一个周长为12的长方形卷成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为（）A 12B 1 ：C 2 :1D 2 :参考答案：C5. .已知复数=（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】本题首先可以对复数分子分母同时乘以，然后根据以及运算法则进行化简，即可得出结果。

【详解】由复数运算法则可知：，故选A。

吉林省四平市2020年数学高二下学期文数期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合则A∩B为（）A . （—1，1）B . （—0，a）C . （0，1）D .2. （2分） i是虚数单位，复数=（）A . 1﹣iB . ﹣1+iC . 1+iD . ﹣1﹣i3. （2分） (2016高二下·信宜期末) 设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A . 充分必要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2016高一上·崇礼期中) 设a= ，b= ，c= ，则（）A . c＞b＞aB . a＞b＞cC . b＞a＞cD . b＞c＞a5. （2分） (2019高二上·集宁月考) 设椭圆C: 的两个焦点分别为F1,F2，，P是C上一点，若，且，则椭圆C的方程为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 已知实数x，y满足，其中a= （x2﹣1）dx，则z=2|x ﹣1|+|y|的最小值是（）A . 5B . 3C . 6D . 27. （2分） (2019高二上·温州期中) 已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（）.A .B .C .D .8. （2分） (2019高三上·平遥月考) 函数，（其中，，）的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为（）A .B .C .D .9. （2分）已知椭圆方程，椭圆上点M到该椭圆一个焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O 是椭圆的中心，那么线段ON的长度为（）A . 2B . 4C . 8D .10. （2分） (2019高一上·兴庆期中) 已知函数的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：123456113-35-4811．5-5．67．8则函数在区间上的零点至少有（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个11. （2分）(2017·渝中模拟) 已知双曲线M的实轴长为2，且它的一条渐近线方程为y=2x，则双曲线M的标准方程可能是（）A . x2﹣4y2=1B . =1C . ﹣x2=1D . y2﹣4x2=112. （2分）定义域为R的连续函数，对任意x都有，且其导函数满足，则当时，有（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）小明一家想从北京、济南、上海、广州四个城市中任选三个城市作为2014年暑假期间的旅游目的地,则济南被选入的概率是________.14. （1分）已知直线l1过点P(2，1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为________．15. （1分）如图，四面体P－ABC中，PA＝PB＝，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.16. （2分）请将以下用“更相减损术”求两个正整数a,b的最大公约数的程序补充完整:INPUT “a,b=”;a,bWHILE a<>bIF a>b THENa=a-bELSE________END IFWENDPRINT aEND三、解答题 (共6题；共47分)17. （10分） (2017高二上·张掖期末) 已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26．{an}的前n项和为Sn ．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn= （n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn ．18. （10分） (2016高二下·海南期中) 对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计，做出甲的得分频率分布直方图如图所示，列出乙的得分统计表如表所示：分值[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）场数10204030（1）估计甲在一场比赛中得分大于等于20分的概率．（2）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定．（结论不要求证明）（3）试利用甲的频率分布直方图估计甲每场比赛的平均得分．19. （2分） (2020·海安模拟) 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，EF AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，G为BC的中点，求证：（1）OG∥平面ABFE；（2）AC⊥平面BDE．20. （10分）(2016·杭州模拟) 如图，焦点在x轴的椭圆，离心率e= ，且过点A（﹣2，1），由椭圆上异于点A的P点发出的光线射到A点处被直线y=1反射后交椭圆于Q点（Q点与P点不重合）．（1）求椭圆标准方程；（2）求证：直线PQ的斜率为定值；（3）求△OPQ的面积的最大值．21. （5分） (2017高一下·黄石期末) 已知△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3）．（1）求过点A与BC平行的直线方程．（2）求过点B，并且在两个坐标轴上截距相等的直线方程．22. （10分） (2018高二下·辽宁期中) 在极坐标系中，点坐标是，曲线的方程为；以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是的直线经过点．（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（2）求证直线和曲线相交于两点、，并求的值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共47分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。

吉林省四平市2020年数学高二下学期文数期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共18题；共36分)1. （2分）复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）“”是“直线与直线平行”的（）条件.A . 充要B . 充分不必要C . 必要不充分D . 既不充分也不必要3. （2分）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则=（）A . 2B . 4C . 6D . 84. （2分） (2017高二上·阳高月考) 已知一组数据的平均数是2,标准差是1,则另一组数据的平均数和标准差分别为（）A . 5,B . 2,2C . 5,2D . 2,5. （2分）(2018·临川模拟) 已知函数的图象关于原点对称，且周期为4，当时，，则（）[参考数据：．]A .B .C .D .6. （2分）(2016·大连模拟) 为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据（x1 ， y1），（x2 ， y2），（x3 ， y3），（x4 ， y4），（x5 ， y5）．根据收集到的数据可知 =20，由最小二乘法求得回归直线方程为 =0.6x+48，则y1+y2+y3+y4+y5=（）A . 60B . 120C . 150D . 3007. （2分）设点对应的复数为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标可能为（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二下·太原月考) 直线（为参数）的倾斜角是（）A .B .C .D .9. （2分）曲线的极坐标方程化成直角坐标方程为（）A .B .C .D .10. （2分）在同一平面直角坐标系中，将曲线y=cos2x按伸缩变换变换为（）A . y′=cosx′B . y′=3cos′C . y′=2cos x′D . y′=cos3x′11. （2分）直线（t为参数）被曲线x2﹣y2=1截得的弦长为（）A . 2B .C .D .12. （2分）参数方程（θ为参数）表示的平面曲线是（）A . 双曲线B . 椭圆C . 圆D . 抛物线13. （2分）设a＞0，不等式|ax+b|＜c的解集是{x|﹣2＜x＜1}，则a：b：c等于（）A . 1：2：3B . 2：1：3C . 3：1：2D . 3：2：114. （2分） (2019高一下·鹤岗月考) 下列结论正确的是（）A . 若则B . 若则C . 若则D . 若则15. （2分） (2018高二上·攸县期中) 若，则下列结论一定成立的是A .B .C .D .16. （2分） (2018高二上·镇原期中) 已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y= 的最小值是（）A .B . 4C .D . 517. （2分）已知命题p：∀x∈R，|x+1|+|x﹣1|≥m命题q：∃x0∈R，x02﹣2mx0+m2+m﹣3=0，那么，“命题p为真命题”是“命题q为真命题”的（）A . 充要条件B . 必要不充分条件C . 充分不必要条件D . 既不充分也不必要条件18. （2分）若不等式|x﹣4|﹣|x﹣3|≤a对一切实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A . a＞1B . a＜1C . a≤1D . a≥1二、填空题 (共4题；共4分)19. （1分）(2018·丰台模拟) 如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是，则 ________.20. （1分） (2018高二下·聊城期中) 某校举行数学、物理、化学、生物四科竞赛，甲、乙、丙、丁分别参加其中的一科竞赛，且没有两人参加同一科竞赛.①甲没有参加数学生物竞赛；②乙没有参加化学、生物竞赛；③若甲参加化学竞赛，则丙不参加生物竞赛；④丁没有参加数学、化学竞赛；⑤丙没有参加数学、化学竞赛.若以上命题都是真命题,那么丁参加的竞赛科目是________．21. （1分）坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，圆以C的参数方程是（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆心C的极坐标是________22. （1分）在极坐标系中，已知两点 A,B 的极坐标分别为 ,，则（其中 O 为极点）的面积为________三、解答题 (共6题；共60分)23. （10分） (2018高二下·西宁期末) 某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：微信控非微信控合计男性262450女性302050合计5644100参考公式:，其中 .参考数据：0.500.400.250.150.100.050.0250.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024（1）根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽取的5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人位“微信控”的概率.24. （10分） (2019高二下·上饶月考) 已知函数．（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）求函数的最小值.25. （10分） (2018高二下·中山月考) 大学生赵某参加社会实践，对机械销售公司1月份至6月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如下表所示：月份123456销售单价（元）99.51010.5118销售量（件）111086514参考数据：．（1）根据1至5月份的数据，求出关于的回归直线方程；（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）．参考公式：回归直线方程，其中，26. （10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣2=0，直线l与圆C相交于点A、B．（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求线段AB的长度．27. （10分） (2019高三上·玉林月考) 以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为（1）求直线l和圆C的直角坐标方程；（2）若点在圆C上，求的取值范围.28. （10分）(2018·肇庆模拟) 在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于，两点（异于极点），定点，求的面积．参考答案一、单选题 (共18题；共36分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、二、填空题 (共4题；共4分)19-1、20-1、21-1、22-1、三、解答题 (共6题；共60分)23-1、23-2、23-3、24-1、24-2、25-1、25-2、25-3、26-1、26-2、27-1、27-2、28-1、。