下载文档原格式
估计水塔的水流量美国某州的各用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑计的用水率以及每天所用的总水量.许多社区没有测量流入或流出当地水塔的水量的装置,他们只能代之以每小时测量水塔中的水位,其精度不超过5%,更重要的是,当水塔中的水位下降最低水位L 时水泵就启动向水塔输水直到最高水位H,但也不能测量水泵的供水量.因此,当水泵正在输水时不容易建立水塔中水位和水泵工作时用水量之间的关系.水泵每两天输水一次或两次,每次约二小时.试估计任何时刻(包括水泵正在输水的017921 时间内)从水塔流出的流量f(t),并估计一天的总用水量.附表给出了某各小镇一天中真实的数据.附表给出了从第一次测量开始的以秒为单位的时刻.以及该时刻的高度单位为百分之一英尺的水位测量值.例如,3316 秒后,水塔中水位达到31.10 英尺.水塔是一个高为40 英尺,直径为57 英尺的正圆柱.通常当水塔水位降至约27.00 英尺的水泵开始工作,当水位升到35.50 英尺时水泵停止工作.问题分析与数据处理由问题的要求,关键在于确定用水率函数,即单位时间内用水体积,记为f(t),又称水流速度.如果能够通过测量数据,产生若干个时刻的用水率,也就是f(t)在若干个点的函数值,则f(t)的计算问题就可以转化为插值或拟合问题一,问题假设1)水塔中水流量是时间的连续光滑函数,与水泵工作与否无关,并忽略水位高度对水流速度的影响.2)水泵工作与否完全取决于水塔内水位的高度,且每次加水的工作时间为2小时.3)水塔为标准圆柱体.4)水泵第一次供水时间为[32284, 39435],第二次供水时间段为[75021,85948].5)为了方便计算我们把表格中的秒转化成小时.6）我们规定以下符号：h:水塔中水位的高度，是时间的函数，单位为英尺；v:水塔中水的体积，是时间的函数，单位为加仑； t:时间，单位为小时；f:模型估计的水塔水流量，是时间的函数，单位为加仑/小时p:水泵工作时的充水水流量，也是时间的函数，单位为加仑/小时。
水塔流量估计的数学建模1. 引言水塔是现代城市供水系统中至关重要的组成部分，其作用是通过储存水源来保障城市居民日常用水，并且在有紧急情况时提供应急用水。
为了更好地保障全社会的用水需求，并降低供水系统建设和运营成本，对水塔的流量进行准确的估计和预测具有重要意义。
本文将探讨如何利用数学建模的方法对水塔流量进行估计和预测。
2. 水塔流量的影响因素水塔流量的大小受到多种因素的影响，主要包括以下几个方面：2.1 水塔容积水塔的容积越大，其流量也就越大。
因此，在进行水塔流量估计时，首先需要考虑其容积。
2.2 外部水压水塔的流量受到外部水压的影响。
如果外部水压较大，则水塔的流量也将较大。
2.3 水泵功率水泵功率的大小直接影响到水塔的流量大小。
水泵功率越大，水塔的流量也就越大。
2.4 关阀状态水塔流量还受到管道关阀状态的影响。
如果关阀状态较大，则水塔流量也将减小。
3. 水塔流量的数学建模方法水塔流量的数学建模方法主要包括以下几个步骤：3.1 收集数据收集水塔流量的相关数据，并对其进行初步的整理和分析。
3.2 设计建模方程根据已收集到的数据，设计合适的建模方程。
建模方程需要考虑到水塔容积、外部水压、水泵功率、关阀状态等多种因素。
3.3 参数估计利用已有的数据对建模方程中的参数进行估计。
参数估计是非常重要的一步，其准确性直接影响到模型的准确性和可靠性。
3.4 模型检验和优化使用已有的数据来对所建立的模型进行检验和优化。
检验过程中需要对模型的精度、准确性、鲁棒性等进行评估，如果出现问题，需要进行适当的调整。
4. 案例分析为了说明水塔流量估计的数学建模方法，我们以某市几座水塔为例进行分析。
4.1 收集数据在该市的几座水塔中，我们选取了其中一座水塔进行了数据的收集，主要包括该水塔的容积、水泵功率、外部水压等基本信息。
4.2 设计建模方程根据收集到的数据，我们设计了一个基础的建模方程，其中各项参数分别为：Q为流量，V为水塔容积，P为外部水压，H为水泵的扬程，K为关阀系数。
水塔水流量的估计一．实验问题某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。
但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。
通常水泵每天供水一次，每次约2h。
水塔是一个高为12.2m，直径为17.4m的正圆柱。
按照设计，水塔水位降至约8.2m时，水泵自动启动，水位升到约10.8m时水泵停止工作。
表1是某一天的水位测量纪录（符号“//”表示水泵启动），试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。
表1 水位测量纪录二．问题分析根据以上数据的形式和以往经验，适合采用线性拟合的方式进行数据处理。
对第1、2、3未供水时段可直接进行用五次多项式进行拟合。
对第1、2供水时段分别在两端各取两个点用前后时刻的流速拟合得到。
结果可以用分段函数表示分为5段，分别是第一未供水时段，第一供水时段，第二未供水时段，第二供水时段，第三未供水时段。
得出流速之后再乘以水塔横截面积即得任何时刻与水塔流出水流量的关系，即流速与时间的关系。
对流速进行分段积分并求和，即得一天的总水流量。
三．程序的设计与求解方法1.数据的单位转换水塔的横截面积为A=（17.4）^2*pi/4=237.0661(平方米)。
2.拟合水位——时间函数（1）对第1未供水时段的数据进行拟合。
t=[0 0.92 1.84 2.90 3.87 4.98 5.90 7.00 7.93 8.97 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 23.88 24.99 25.91]h=[ 9.68 9.48 9.31 9.13 8.98 8.81 8.69 8.52 8.39 8.22 10.82 10.50 10.21 9.94 9.65 9.41 9.18 8.92 8.66 8.43 8.22 10.59 10.35 10.18] f1=polyfit(t(1:10),h(1:10),5); tm1=0:0.1:9.0; y1=polyval(f1,tm1); plot(tm1,y1)01234567898.28.48.68.899.29.49.69.8（2）对第2未供水时段的数据进行拟合。
水塔水流量的估计
美国某州的各用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑计的用水率以及每天所用的总水量.许多社区没有测量流入或流出水塔的水量装置,他们只能代之以每小时测量水塔中的水位,其误差不超过5％。
更重要的是,当水塔中的水位下降到最低水位L时水泵就启动向水塔输水直到最高水位H，期间不能测量水泵的供水量。
因此,当水泵正在输水时不容易建立水塔中水位和用水量之间的关系。
水泵每天输水一次或两次,每次约二小时.
试估计任何时刻（包括水泵正在输水时间)从水塔流出的水流量f(t）,并估计一天的总用水量。
已知该水塔是一个高为40英尺（ft）,直径为57英尺(ft)的正圆柱，表12。
1给出了某个小镇一天水塔水位的真实数据，水位降至约27.00ft水泵开始工作,水位升到35。
50ft停止工作。
（注：1英尺(ft）=0.3024米(m)）
表12-1某小镇某天水塔水位。
水塔流量估计的数学建模水塔是城市供水系统中的重要组成部分，它们储存着大量的水资源，为城市居民提供生活用水。
在城市供水系统中，水塔的流量是一个非常重要的参数，它直接影响着供水系统的运行效率和水资源的利用率。
因此，如何准确地估计水塔的流量是一个非常重要的问题。
水塔的流量估计可以通过数学建模来实现。
首先，我们需要了解水塔的基本结构和工作原理。
水塔通常由水箱、进水管、出水管、溢流管等组成。
当水箱内的水位下降时，进水管会自动打开，将外部的水源引入水箱中，同时出水管会自动关闭，防止水箱内的水流失。
当水箱内的水位上升到一定高度时，溢流管会自动打开，将多余的水流出水箱，以保持水箱内的水位稳定。
在水塔的运行过程中，我们可以通过测量进水管和出水管的水流速度来估计水塔的流量。
根据流量的定义，流量等于单位时间内通过某一截面的液体体积。
因此，我们可以通过测量进水管和出水管的截面积和水流速度来计算水塔的流量。
具体地，假设进水管的截面积为A1，出水管的截面积为A2，进水管的水流速度为v1，出水管的水流速度为v2，则水塔的流量Q可以表示为：Q = A1v1 - A2v2其中，A1v1表示进水管的流量，A2v2表示出水管的流量。
由于进水管和出水管的截面积和水流速度可能会随着时间的变化而发生变化，因此我们需要不断地对它们进行测量和调整，以保证水塔的流量估计的准确性。
除了测量进水管和出水管的水流速度外，我们还可以通过其他的方法来估计水塔的流量。
例如，我们可以通过测量水塔内部的水位变化来估计水塔的流量。
具体地，我们可以安装水位传感器在水塔内部，通过测量水位的变化来计算水塔的流量。
这种方法的优点是不需要对进水管和出水管进行测量，但是需要安装水位传感器，成本较高。
水塔流量估计的数学建模是一个非常重要的问题。
通过测量进水管和出水管的水流速度或者测量水塔内部的水位变化，我们可以准确地估计水塔的流量，从而保证城市供水系统的正常运行。
估计水塔的水流量自动化12K2 许杨旸摘要:在估计某地区的用水速度与日总用水量的时候,在已知某时间t下的水位h,以及水塔直径,求出t时刻的水体积,由于没有具体函数,故用差商方法近似求出水体积对时间t的导数即用水速度,再利用三样条插值方法求出不同时刻的用水速度。
最终,通过数值积分方法求出日用水总量I。
符号及含义:t:时刻;h:水位高度;D:水塔直径;V:水体积;dV:水流速度;I:日用水总量。
一、提出问题某地区用水管理机构需要对居民的用水速度(单位时间的用水量) 与日总用水量进行估计。
现有一居民区,其自来水就是由一个圆柱形水塔提供,水塔高12、2m,塔的直径为17、4m。
水塔就是由水泵根据水塔中的水位自动加水,一般水泵每天工作两次,按照设计,当水塔中的水位降至最低水位,约8、2m时,水泵自动启动加水;当水位升高到最高水位,约10、8m时,水泵停止工作。
表2给出的就是某一天的测量数据,测量了28个时刻的数据,但由于水泵正向水塔供水,有三个时刻无法测到水位(表中用—表示),试建立数学模型,来估计居民的用水速度与日用水量。
时刻19、959 20、839 22、015 22、958 23、880 24、986 25、908(t)/h水位8、433 8、220 ——10、820 10、591 10、354 10、180(t)/m二、求解问题1、水塔中的水体积计算求解的问题的关键就是求解出用水的速度,即单位时间内的用水体积,由于水塔可以近似成圆柱体,所以水塔的体积V可近似成:式中D为水塔直径D=17、4m,h为水位高度。
其中,在三个无法得到水位的时刻,其水位高度用一个负数表示,即该时刻水位为负值,显然现实当中无法出现这样的情况,现在我们用-1表示其水位。
现在开始计算水塔的体积:输入t=[0 0、921 1、843 2、949 3、871 4、978 5、900 、、、7、006 7、928 8、967 9、981 10、925 10、954 12、032 、、、12、954 13、875 14、982 15、903 16、826 17、931 19、037 、、、19、959 20、839 22、015 22、958 23、880 24、986 25、908];h=[9、677 9、479 9、308 9、125 8、982 8、814 8、686 、、、8、525 8、388 8、220 -1 -1 10、820 10、500 、、、10、210 9、936 9、653 9、409 9、180 8、921 8、662 、、、8、433 8、220 -1 10、820 10、591 10、354 10、180];D=17、4;V=pi/4*D^2*h;最终求得V= [2、3011 2、2540 2、2133 2、1698 2、1358 2、0959 2、0654 2、0271 1、9946 1、9546 -0、2378 -0、2378 2、5729 2、4968 2、4278 2、3627 2、2954 2、2373 2、1829 2、1213 2、0597 2、0053 1、9546 -0、2378 2、5729 2、5184 2、4620 2、4207]。
估计水塔的水流量1、问题提出：某地区用水管理机构需要对居民的用水速度（单位时间的用水量）和日总用水量进行估计。
现有一居民区，其自来水是由一个圆柱形水塔提供，水塔高12.2m，塔的直径为17.4m。
水塔是由水泵根据水塔中的水位自动加水，一般水泵每天工作两次，按照设计，当水塔中的水位降至最低水位，约8.2m时，水泵自动启动加水；当水位升高到最高水位，约10.8m时，水泵停止工作。
表1给出的是某一天的测量数据，测量了28个时刻的数据，但由于水泵正向水塔供水，有三个时刻无法测到水位（表中用—表示），试建立数学模型，来估计居民的用水速度和日用水量。
表1 水塔中水位原始数据2、问题分析：日用水量用水速度每个时刻水塔中水的体积3、模型假设：影响水从水塔中流出的流量的唯一因素是公众对水的传统要求；水塔中的水位、气候条件、温度变化等不影响水流量的大小；水泵充水速度水塔的水流量与水泵状态独立；恒定，且远大于水塔的水流速度；水流量曲线是一条连续光滑的曲线；表1数据是准确的；4、模型的建立与求解：（1）、水塔中水的体积其中， ，（r 为底面半径,d 为水面高度）（2）在Matlab 命令窗口直接运行(不包括未知三点)>>t=[0,0.921,1.843,2.949,3.871,4.978,5.900,7.006,7.928,8.967,10.954,12.032,12.954,13.875,14.982,15.903,16.826,17.931,19.037,19.959,20.839,22.958,23.880,24.986,25.908];>>v=[2301.1,2254,2213.3,2169.8,2135.8,2095.9,2065.4,2027.1,1994.6,1954.6,2572.9,2496.8,2427.8,2362.7,2295.4,2237.3,2182.9,2121.3,2059.7,2005.3,1954.6,2572.9,2518.4,2462.0,2420.7]; >> scatter(t,v)得到水塔中水体积的散点图 0510********19002000210022002300240025002600（3）在Matlab 中编写脚本文件（不包括未知三点）采用数值微分的一阶微商的两点公式（末位处近似为sd(n)=sd(n-1))t=[0,0.921,1.843,2.949,3.871,4.978,5.900,7.006,7.928,8.967,10.954,12.032,12.954,13.875,14.982,15.903,16.826,17.931,19.037,19.959,20.839,22.958,23.880,24.986,25.908];v=[2301.1,2254,2213.3,2169.8,2135.8,2095.9,2065.4,2027.1,1994.6,1954.6,2572.9,2496.8,2427.8,2362.7,2295.4,2237.3,2182.9,2121.3,2059.7,2005d r V 2π=.3,1954.6,2572.9,2518.4,2462.0,2420.7];for i=1:9sd(i)=abs((v(i+1)-v(i))/(t(i+1)-t(i)));endsd(10)=sd(9);for i=11:20sd(i)=abs((v(i+1)-v(i))/(t(i+1)-t(i)));endsd(21)=sd(20);for i=22:24sd(i)=abs((v(i+1)-v(i))/(t(i+1)-t(i)));endsd(25)=sd(24);scatter(t,sd)hold onplot(t,sd)得到水塔中水流速度的散点图及光滑图0510********（4）预测水塔中的未知流速[1]在Matlab中运行脚本文件（不包括未知三点）：采用数值微分的一阶微商的两点公式（末位处近似为sd(n)=sd(n-1))t=[0,0.921,1.843,2.949,3.871,4.978,5.900,7.006,7.928,8.967,10.954,12. 032,12.954,13.875,14.982,15.903,16.826,17.931,19.037,19.959,20.839,22 .958,23.880,24.986,25.908];v=[2301.1,2254,2213.3,2169.8,2135.8,2095.9,2065.4,2027.1,1994.6,1954. 6,2572.9,2496.8,2427.8,2362.7,2295.4,2237.3,2182.9,2121.3,2059.7,2005 .3,1954.6,2572.9,2518.4,2462.0,2420.7];for i=1:9sd(i)=abs((v(i+1)-v(i))/(t(i+1)-t(i)));endsd(10)=sd(9);for i=11:20sd(i)=abs((v(i+1)-v(i))/(t(i+1)-t(i)));endsd(21)=sd(20);for i=22:24sd(i)=abs((v(i+1)-v(i))/(t(i+1)-t(i)));endsd(25)=sd(24);sd得到速度（不包括未知三点）sd =Columns 1 through 951.1401 44.1432 39.3309 36.8764 36.0434 33.0803 34.6293 35.2495 38.4986Columns 10 through 1838.4986 70.5937 74.8373 70.6840 60.7949 63.0836 58.9382 55.7466 55.6962Columns 19 through 2559.0022 57.6136 57.6136 59.1106 50.9946 44.7939 44.7939 [2]采用拉格朗日插值法估计未知三点的速度:在Matlab命令窗口直接运行>> x0=[7.928,8.967];>> y0=[38.4968,38.4968];>> lglr3(x0,y0,9.981)ans =38.4968>> x0=[8.967,9.981];>> y0=[38.4968,38.4968];>> lglr3(x0,y0,10.925)ans =38.4968>> x0=[19.959,20.839];>> y0=[57.6136,57.6136];>> lglr3(x0,y0,22.015)ans =57.6136[3]在Matalb中运行脚本文件t=[0,0.921,1.843,2.949,3.871,4.978,5.900,7.006,7.928,8.967,9.981,10.9 25,10.954,12.032,12.954,13.875,14.982,15.903,16.826,17.931,19.037,19.959,20.839,22.015,22.958,23.880,24.986,25.908];sd=[51.1401,44.1432,39.3309,36.8764,36.0434,33.0803,34.6293,35.2495,3 8.4986,38.4968,38.4968,38.4986,70.5937,74.8373,70.6840,60.7949,63.083 6,58.9382,55.7466,55.6962,59.0022,57.6136,57.6136,57.6136,59.1106,50. 9946,44.7939,44.7939];scatter(t,sd)hold onplot(t,sd)得到水塔中水流速度的散点图及光滑图（new）757065605550454035300510********(4)a、通过曲线拟合，拟合出上述函数（f1）b、通过数值积分（梯形，辛普森）求出用水量(f2)5、模型检验：应该另外测试一批数据检验模型(f1,f2)6、模型分析：（1） 4.（3）中末位处近似为sd(n)=sd(n-1)可以改进，比如先采用数值微分求1----(n-1)的速度，再采用拉格朗日插值法求末位n的速度；（2）拉格朗日插值可以改用其他更为精确的插值法（3）数值微分法可以采用其他的更为精确的方法（而不是一阶微商的两点公式）（4） 4.（4）中的两部暂时不会（5）模型假设处可能有一些瑕疵7、附录：。
估计水塔水流量的求解模型摘要由所给的题目可知，本问题是一个关于如何计算居民用水的问题，由题目给出的表格，可知不同时刻的水位，根据所要求的不同时刻水位的不同入手，此计算问题就可以转化为插值或拟合问题。
这里主要考虑采用插值的方法，可以利用MATLAB软件进行插值和曲线拟合计算并解决一些具体的实际问题。
根据题目建立模型并采用插值的方法进行求解，推算出任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。
关键词：用水规律与水泵的工作功率原始数据用水规律与水泵的工作功率一、问题重述1.1基本情况某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。
面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位的时候停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。
通常水泵每天供水一两次，每次约3h. 已知水塔是一个高为12.2m，直径为17.4m的正圆柱。
1.2 所要解决的问题现在需要了解该居民区用水规律与水泵的工作功率。
按照设计，当水塔的水位降至最低水位，约8.2米时，水泵自动启动加水；当水位升高到一个最高水位，约10.8米时，水泵停止工作。
可以考虑采用用水率(单位时间的用水量)来反映用水规律，并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估算用水率。
表1是某一天的测量记录数据，测量了28个时刻，但是由于其中有4个时刻遇到水泵正在向水塔供水，而无水位记录(表中用符号//表示)。
所要解决的问题就是，要估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。
表1水位测量记录（符号//表示水泵启动）二、问题背景1991年的美国大学生数学建模竞赛A题(AMCM1991A),由于它是水库调度、自来水管理、公共场所的人流量估计等问题的代表,因此有许多文献对其进行了研究,但一般都是采用差分与拟合的方法。
而由于居民何时用水是无法准确的预报的,可能引起的水位的变化是随机事件,因此,可以以水容量作为随机变量,建立一个随机数学模型,不仅可以给出了水塔流量函数,同时还可以讨论水容量函数的数学期望。
现在越来越多的人开始研究居民区的用水问题，已知居民的用水是由一个圆柱形的水塔提供，要算出任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量，根据题目所给的信息和表格，需要建立合适的数学模型，推算任何时刻的用水率和水泵工作功率，从而计算出一天的总用水量。
三、 问题分析问题要求任意时刻的用水率，即求单位时间流出的水的体积，一般称为水流速度或流量。
由于水塔是一个圆柱体，体积 h D V 24π=可以很容易地通过水位高度h 计算出来，这样在水泵不工作的时间段，水流速度就可以从体积对时间的导数计算出来，由于没有水的体积关于时间的函数表达式，而只能利用问题中给定的原始数据表公式h D V 24π=，计算出离散的在测量时刻的体积V ，因此可以考虑用差商代替微商，也就是用离散代替连续的思想。
为提高计算精度，采用二阶差商，即i i v t f 2)(-∇=由于所有数据被水泵两次供水分割成三组数据对每组数据的中间数据采用中心差商，前后两个数据不能采用中心差商，改用向前差商、向后差商或用中点公式进行差商。
1.中心差商公式：)(1288121122i i i i i i i t t v v v v v -+-+-=∇+--++2.向前差商公式：)(2341122i i ii i i t t v v v v --+-=∇+++3.向后差商公式：)(23431212----+-=∇i i i i i i t t v v v v4.中心公式：)1()1()1()1(--+--+=∇i t i t i v i v v i以上分析了水泵不工作的时段，用水率的计算。
对于水泵供水时段的用水率，计算难度较大，我们只好用供水时间段前后的用水率进行插值或拟合而得到。
有了任何时刻的用水率，可以采用数值积分计算一天的总用水量。
四、 模型假设与约定为建模的需要，给出如下假设：(1)影响水从水塔中流出的流量的唯一因素是公众对水的传统要求．因为表１给出的数据没有提及任何其他的影响因素，我们假定所给数据反映了有代表性的一天，而不包括任何特殊情况，如自然灾害、火灾、水塔溢水、水塔漏水等对水的特殊要求．(2)水塔中的水位不影响水流量的大小，气候条件、温度变化等也不影响水流量．因为物理学的Torricelli 定律指出：水塔的最大水流量与水位高度的平方根成正比，题目中给出水塔的最高和最低水位分别为10.82米和8.22米，所以对于这两种高度，最大水流速的比约为 ， 说明最高水位和最低水位的两个流量几乎相等.(3)水泵工作起止时间由它的水位决定，每次充水时间大约为,3个小时．水泵工作性能效率总是一定的，没有工作时需维修、使用次数多影响使用效率问题，水泵充水量远大于水塔水流量.(4)水泵工作时单位时间的供水量大致为常数，这个常数大于单位时间内从水塔中流出的水流的最大流速，这是因为居民区内一直需要用水，不允许水塔中的水用光。
(5)水塔中水流量是时间的连续光滑函数，与水泵工作与否无关。
这是因为虽然就个别用户而言可能用水量有较大的变化，但由于个人的用水量与整个居民区用水量相比是非常小的，从统计意义上来讲，不太可能同时整个社区的用水量增长或减少。
(6)水塔的水流量曲线可以用一条光滑的曲线来逼近．这时，水流量曲线的两阶导数是连续的．(7)水泵工作与否完全取决于水塔内水位的高度，且每次加水的工作时间为3小时，根据表1中的数据可知，水泵第一次供水时间段为[8.97,10.95]，第二次供水时间段为 [20.84, 23.88].122 .8 82. 10五、 符号说明及名词定义符号说明t ：测量的时刻, 单位为小时;h ：水塔中水位的高度，是时间的函数，单位为米; v ：水塔中水的体积, 是时间的函数，单位为立方米;f （t ）：水塔中水流速度，即水流量，是时间的函数，单位为米/小时； yi （i =1~3）：第i 时段用水量，即没有供水时间段用水量； y 12：第1和第2供水时间段用水量之和； y ：一天中总用水量；p ：水泵工作时充水的水流量，是时间的函数，单位为米/小时。
六、 模型建立与分析通过以上对问题的分析，现在的问题已转化为根据某一天已测量的时刻水塔中水的流速，产生在整个区间（24小时）上的函数或函数值，一般来说插值和拟合是两种最常用的方法。
(1)由体积公式：h D V 24π=可以计算各时刻所对应的水塔中水的体积如下：时刻0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 体积2302 2254 2214 2171 2135 2095 2066 2026 1995 1955 时刻9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 体积// // 2573 2497 2428 2364 2295 2238 2183 2121 时刻19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91 体积2059 2005 1955 // // 2518 2461 2421 整理成表格：表2 水塔中水的体积：时刻(小时)，体积 (立方米)（2）计算水流速度并画出散点图MATLAB程序如下：% 估计水塔流量% 计算流速，并画流速散点图% 文件名：ch1.mt=[0,0.92,1.84,2.95,3.87,4.98,5.90,7.01,7.93,8.97,...10.95,12.03,12.95,13.88,14.98,15.90,16.83,17.93,...19.04,19.96,20.84,23.88,24.99,25.91]h=[9.68,9.48,9.31,9.13,8.98,8.81,8.69,8.52,8.39,...8.22,10.82,10.50,10.21,9.94,9.654,9.41,9.18,...8.92,8.66,8.43,8.22,10.59,10.35,10.18]%计算水塔中水的体积v=(pi*17.4^2/4)*h%对每组数据的中间数据计算中心差商%对每组数据不能计算中心差商的计算向前或向后差商for i=1:2f(i)=-(-v(i+2)+4*v(i+1)-3*v(i))/(2*(t(i+1)-t(i))) % 计算向前差商endfor i=3:8f(i)=-(-v(i+2)+8*v(i+1)-8*v(i-1)+v(i-2))/ (12*(t(i+1)-t(i))) % 计算中心差商endfor i=9:10f(i)=-(3*v(i)-4*v(i-1)+v(i-2))/(2*(t(i)-t(i-1))) % 计算向后差商endfor i=11:12 f(i)=-(-v(i+2)+4*v(i+1)-3*v(i))/(2*(t(i+1)-t(i))) % 计算向前差商endfor i=13:19f(i)=-(-v(i+2)+8*v(i+1)-8*v(i-1)+v(i-2))/(12*(t(i+1)-t(i))) %计算中心差商endfor i=20:21f(i)=-(3*v(i)-4*v(i-1)+v(i-2))/(2*(t(i)-t(i-1))); % 计算向后差商endi=22; f(i)=-(-v(i+2)+4*v(i+1)-3*v(i))/(2*(t(i+1)-t(i))) % 计算向前差商i=23; f(i)=-(v(i+1)-v(i-1))/((t(i+1)-t(i-1))) % 用中点方法计算差商i=24; f(i)=-(3*v(i)-4*v(i-1)+v(i-2))/(2*(t(i)-t(i-1))) % 计算向后差商d isp(‘水塔流速’)fplot(t,f,‘b*’)title(‘流速散点图’);xlabel(‘时间（小时）’);ylabel(‘流速（立方米/小时）’)执行文件ch1.m后的结果如下：t =Columns 1 through 100 0.9200 1.8400 2.9500 3.8700 4.9800 5.9000 7.01007.9300 8.9700Columns 11 through 2010.9500 12.0300 12.9500 13.8800 14.9800 15.9000 16.8300 17.930019.0400 19.9600Columns 21 through 2420.8400 23.8800 24.9900 25.9100h =Columns 1 through 109.6800 9.4800 9.3100 9.1300 8.9800 8.8100 8.6900 8.5300 8.3900 8.9200Columns 11 through 168.6600 8.4300 8.2200 10.5900 10.3500 10.1800v =1.0e+003 *Columns 1 through 102.3018 2.2542 2.2138 2.1710 2.1353 2.0949 2.0664 2.0283 1.9950 2.1211Columns 11 through 162.0592 2.0045 1.9546 2.5182 2.4611 2.4207f =55.5698f =55.5698 42.6466f =55.5698 42.6466 37.4890f =55.5698 42.6466 37.4890 42.4312f =55.5698 42.6466 37.4890 42.4312 34.6327f =55.5698 42.6466 37.4890 42.4312 34.6327 37.0465f =55.5698 42.6466 37.4890 42.4312 34.6327 37.0465 29.4556f =55.5698 42.6466 37.4890 42.4312 34.6327 37.0465 29.4556 54.0621f =55.5698 42.6466 37.4890 42.4312 34.6327 37.0465 29.4556 54.0621 33.6004f =Columns 1 through 955.5698 42.6466 37.4890 42.4312 34.6327 37.0465 29.4556 54.0621 33.6004Column 10-197.7749f =Columns 1 through 955.5698 42.6466 37.4890 42.4312 34.6327 37.0465 29.4556 54.0621 33.6004Columns 10 through 11-197.7749 52.8416f =Columns 1 through 955.5698 42.6466 37.4890 42.4312 34.6327 37.0465 29.4556 54.0621 33.6004Columns 10 through 12-197.7749 52.8416 387.6964f =Columns 1 through 955.5698 42.6466 37.4890 42.4312 34.6327 37.0465 29.4556 54.0621 33.6004Columns 10 through 13-197.7749 52.8416 387.6964 -332.1776f =Columns 1 through 955.5698 42.6466 37.4890 42.4312 34.6327 37.0465 29.4556 54.0621 33.6004Columns 10 through 14-197.7749 52.8416 387.6964 -332.1776 -275.4368a)由上述实验结果可得水塔中水的流速，经整理成表格如下：表3水塔中水的流速（水流量）：时刻(小时)，流速 (立方米/小时)b)散点图如下所示：七、模型的进一步讨论水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合得到。
