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华附、省实、深中、广雅2020届高三年级四校联考理科综合（生物）班级：姓名：得分：题号123456答案一、选择题：本题共13小题，每小题6分,共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于细胞结构与成分的叙述，正确的是A．线粒体膜上有葡萄糖的载体，没有氧气的载体B．细胞中的色素不是分布在叶绿体中，就是分布在液泡中C．含有蛋白质的细胞器不一定含有核酸，含核酸的细胞器一定含有蛋白质D．微量元素可参与某些复杂化合物的组成，如Fe、Mg分别参与蛋白质和叶绿素的组成2．SGLT2是肾小管细胞膜上重吸收葡萄糖的一种载体蛋白，SGLT2可以与肾小管腔中葡萄糖和Na+结合，形成Na+-载体-葡萄糖复合物，将Na+顺浓度梯度运入细胞，同时将葡萄糖逆浓度梯度运入细胞，下列叙述错误的是A．氧气的含量变化会直接影响SGLT2参与的葡萄糖的运输速率B．SGLT2将肾小管腔中的葡萄糖运入细胞属于主动运输C．细胞通过SGLT2运输葡萄糖的动力来自Na+的浓度差D．肾小管细胞中SGLT2合成不足可能导致人尿液中含有葡萄糖3．蝗虫的决定为XO型，正常雄虫的体细胞中有23条染色体，仅有一条性染色体（X染色体）。
下图表示某雄虫精巢中某一细胞染色体的行为，染色体A和B为一对同源染色体。
以下叙述正确的是A．图示细胞处于减数第二次分裂后期B．若对该种蝗虫进行基因组测序，则应该测定12条染色体的DNA序列C．该细胞所处的时期染色体高度螺旋化难以解旋，细胞内不能合成新的蛋白质D．萨顿通过观察雄蝗虫体细胞和精子细胞的染色体数，提出了基因在染色体上的假说4．2017年诺贝尔生理学或医学奖颁给了美国的三位科学家，他们发现果蝇的昼夜节律与PER蛋白浓度的变化有关，右图表示PER蛋白作用部分过程，有关叙述错误的是A．PER蛋白可反馈抑制per基因的转录B．per mRNA的合成过程发生在细胞核内C．图中核糖体移动的方向是从a→bD．PER蛋白与TIM蛋白结合后穿过核膜进入细胞核5．下列关于生物变异、育种和进化的叙述，正确的是A．B基因可突变成b1、b2基因反映了基因突变的随机性B．单倍体育种中常用一定浓度的秋水仙素处理萌发的种子或幼苗C．生物产生的变异个体都属于可遗传的变异，都可以作为生物进化的原材料D．地理隔离可阻止种群间的基因交流，种群基因库的明显差异导致种群间产生生殖隔离6．右图为人体体液物质交换示意图，下列叙述正确的是A．体液①含有尿素、氨基酸、糖原、CO2等物质B．体液①和②之间进行物质交换，可以等量地相互转化C．④能回流血浆，是淋巴细胞和吞噬细胞的直接生活环境D．③若产生乳酸会引起①②④内pH剧烈变化29.（9分）如图为大蒜根尖分生组织中每个细胞核的DNA相对含量，每个点代表记录到的一个细胞。
广东省华附、省实、深中、广雅2020届高三数学下学期四校联考试题理（含解析）一、选择题 1.集合1|,24k M x x k Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A. MNB. MN C. N MD.M N ⋂=∅【答案】B 【解析】 【分析】首先求出集合M 、N 中的元素，由集合的包含关系即可求解. 【详解】121|,,244k k M x x k Z x x k Z ⎧⎫-⎧⎫==-∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 12|,,424k k N x x k Z x k Z ⎧⎫+⎧⎫==+∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，2k Z +∈可表示全体整数，21k -表示全体奇数，∴MN ，故选：B【点睛】本题考查了集合与集合之间的关系，解题的关键是确定集合中的元素，属于基础题. 2.原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12=z z ”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ） A. 真，假，真 B. 假，假，真 C. 真，真，假 D. 假，假，假【答案】B 【解析】试题分析：设复数1z a bi =+，则21z z a bi ==-，所以2212z z a b ==+，故原命题为真；逆命题：若12=z z ，则12,z z 互为共轭复数；如134z i =+，243z i =+，且125z z ==，但此时12,z z 不互为共轭复，故逆命题为假；否命题：若12,z z 不互为共轭复数，则12z z ≠；如134z i =+，243z i =+，此时12,z z 不互为共轭复，但125z z ==，故否命题为假；原命题和逆否命题的真假相同，所以逆否命题为真；故选B. 考点：命题以及命题的真假.3.已知平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ),则向量b 在向量a 方向上的投影为( ) A. 1 B. -1 C. 2 D. -2【答案】B 【解析】 【分析】先根据向量垂直得到a (a +2b ),=0，化简得到a b =﹣2，再根据投影的定义即可求出． 【详解】∵平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ), ∴a (a +2b ),=0， 即()2·20a a b += 即a b =﹣2∴向量b 在向量a 方向上的投影为·22a b a -==﹣1， 故选B ．【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．4.平面α∥β平面的一个充分条件是（ ） A. 存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B. 存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC. 存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD. 存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α 【答案】D【解析】试题分析：对于A ，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A 不对； 对于B ，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B 不对； 对于C ，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C 不对；对于D ，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D 正确考点：空间线面平行的判定与性质 5.函数2()log 3sin()2f x x x π=-零点的个数是 （ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C 【解析】【详解】令2()log 3sin()2f x x x π=-=0，可得2log 3sin()2x x π=，在同一平面直角坐标系内，画出y=2log ,3sin()2y x y x π==的图象，由图可得交点个数为3， 所以函数2()log 3sin()2f x x x π=-零点的个数是3，故选C ．6.已知函数()sin 2cos2f x a x b x =-（a ，b 为常数，0a ≠，x ∈R ）在12x π=处取得最大值，则函数3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭是（ ） A. 奇函数且它的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B. 偶函数且它的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 奇函数且它的图象关于x π=对称D. 偶函数且它的图象关于x π=对称【答案】A 【解析】 【分析】首先根据已知可得()()2f x x θ=-，然后根据正弦函数的图像与性质得到23k πθπ=--，再化简函数3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，从而求解问题.【详解】()()sin 2cos 22f x a x b x x θ=-=-，在12x π=处取得最大值，()22122k k Z ππθπ∴⨯-=+∈，则23k πθπ=--，()23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()232x x y f x ππ∴+=⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭奇函数且它的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称.故选：A【点睛】本题考查了辅助角公式以及三角函数的图像与性质，需熟记三角函数的性质，属于基础题.7.已知函数()f x 的图象连续且在()2,+∞上单调，又函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()42016f a f a =，则{}n a 的前2019项之和为（ ） A. 0 B. 2019C. 4038D. 4040【答案】C 【解析】 【分析】由函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，平移可得()y f x =的图像关于2x =对称，由题意可得420164a a +=，利用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求的和.【详解】函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，且函数()f x 的图象连续且在()2,+∞上单调，可得()y f x =的图像关于2x =对称，由数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()42016f a f a =， 可得420164a a +=，又{}n a 是等差数列， 可得42016120194a a a a +=+=， 所以{}n a 的前2019项之和为()120192019201940328a a S +==故选：C【点睛】本题考查了函数的平移变换、等差数列的性质以及等差数列的前n 项和，需熟记公式与性质，属于基础题.8.函数()2sin cos2f x x x =+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调减区间为（ ）A. ,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式将函数化()22sin 2sin 1f x x x =-++，进而可得()2132sin 22f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，根据,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】()22132sin cos 22sin 2sin 12sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭，令sin t x = ，由,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则[]0,1t ∈ 所以213222y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减又sin t x =在,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，此时1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用复合函数的单调性可得函数()f x 在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； sin t x =在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，此时10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 利用复合函数的单调性可得函数()f x 在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减； 故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数的性质以及复合函数的单调性，需熟记正弦三角函数的性质以及复合函数的单调性“同增异减”的特征，此题属于中档题.9.函数f (x )＝12x -的值域为( )A. [－43,43] B. [－43,0] C. [0,1] D. [0,43]【答案】C 【解析】令cos ,[0,π]x θθ=∈，则sin 1()()cos 2f xg θθθ-==-的几何意义是单位圆(在x 轴及其上方)上的动点(cos ,sin )M θθ与点(2,1)A 连线的斜率k ，由图象，得01k ≤≤，即函数()f x 的值域为[0,1]，故选C.点睛：本题考查利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，一是利用21x -的形式和平方关系联想到三角代换，二是由sin 1cos 2θθ--的形式联想到过两点的直线的斜率公式，充分体现了代数、三角函数、解析几何间的有机结合.10.已知圆221x y +=，点1,0A ，ABC ∆内接于圆，且60BAC ∠=︒，当B ，C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是（ ） A. 2212x y +=B. 2214x y += C. 221122x y x ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭D. 221144x y x ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】将圆周角为定值转化为圆心角为定值，结合圆心距构成的直角三角形得12OD =，从而得BC 中点的轨迹方程.【详解】设BC 中点为D ，圆心角等于圆周角的一半，60BAC ∠=︒，60BOD ∴∠=，在直角三角形BOD 中，由1122OD OB ==， 故中点D 的轨迹方程是：2214x y +=，如图，由BAC ∠的极限位置可得，14x <.故选：D【点睛】本题考查了动点的轨迹方程问题，考查了数形结合的思想，属于基础题.11.F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF FB =，则C 的离心率是（ ）A.3B.3D. 2【答案】A 【解析】试题分析：由题意得,2,3;,2AF b BF b AB b OA a OB a =====，因此222222224(2)(3)33()3a a b a b c a e e =+⇒==-⇒=⇒=，选A. 考点：双曲线离心率【名师点睛】求双曲线的离心率（取值范围）的策略求双曲线离心率是一个热点问题．若求离心率的值，需根据条件转化为关于a ，b ，c 的方程求解，若求离心率的取值范围，需转化为关于a ，b ，c 的不等式求解，正确把握c 2＝a 2＋b 2的应用及e ＞1是求解的关键．12. 若正四面体SABC 的面ABC 内有一动点P 到平面SAB 、平面SBC 、平面SCA 的距离依次成等差数列，则点P 在平面ABC 内的轨迹是 A. 一条线段 B. 一个点 C. 一段圆弧 D. 抛物线的一段 【答案】A【解析】 试题分析：设点到三个面的距离分别是. 因为正三棱锥的体积为定值，所以为定值，因为.成等差数列，所以.∴为定值，所以点的轨迹是平行的线段．考点：等差数列的性质；抛物线的定义．点评：本题以等差数列为载体，考查正三棱锥中的轨迹问题，关键是分析得出P 到侧面SBC 的距离为定值． 二、填空题13.在区间[]0,2上分别任取两个数m ，n ，若向量(),a m n =，()1,1b =，则满足1a b -≤的概率是______ . 【答案】4π 【解析】 【分析】由已知向量的坐标求出满足1a b -≤的,m n 所满足的条件，结合[],0,2m n ∈，数形结合得出答案.【详解】由(),a m n =，()1,1b =，得()1,1a b m n -=-- 由1a b -≤()()22111m n -+-≤，即()()22111m n -+-≤，,m n 满足0202m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩，作出图像如图：圆()()22111m n -+-=的面积为π，正方形OABC 的面积为4. 则1a b -≤的概率是4π . 故答案为：4π 【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，解题的关键是变量满足的条件，属于基础题. 14.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且311n n A n B n +=+，则25837a a ab b ++=+______.【答案】215【解析】 【分析】由等差数列的性质，258537532a a a a b b b ++=+，结合等差数列的前n 项和公式得到9595A aB b =，在311n n A n B n +=+中取9n =即可得出答案. 【详解】数列{}n a 、{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n A 和n B ，则258537532a a a a b b b ++=+，且()()1955919559922922a a a a Ab b b b B +===+，又311n n A n B n +=+，595939114915a Ab B ⨯+∴===+， 所以25853753314212255a a a ab b b ++==⨯=+.故答案为：215【点睛】本题考查了等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.15.已知随机变量~(2,)X B p ，2~(2,)Y N σ，若(1)0.64P X ≥=，(02)P Y p <<=，则(4)P Y >=__________．【答案】0.1 【解析】∵随机变量服从()~2,X B p ，∴()()22111p 0.64P X C ≥=--=，解得：0.4p =.又()2~2,Y N σ，∴()()()400.5020.1P Y P Y P Y >=<=-<<=故答案为0.116.在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22222b a c =+，当()tan B A -取最大值时，角A 的值为______. 【答案】6π【解析】 【分析】利用正弦定理以及二倍角公式将22222b a c =+化为()2cos2cos2sin0B A A B -++=，再由两角和与差的公式将式子化为sin cos 3cos sin B A B A =，由此可得tan 3tan B A =，代入()tan B A -的展开式，利用基本不等式即可求解.【详解】由22222b a c =+，2222sin 2sin sin B A C ∴=+，()21cos21cos2sin B A A B ∴-=-++， ()2cos2cos2sin 0B A A B ∴-++=，()()()()()2cos cos sin 0B A B A B A B A A B ∴++--+--++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， ()()()2sin 2sin sin A B A B B A ∴+=+-，()()sin 2sin A B B A ∴+=-，即sin cos 3cos sin B A B A =，tan 3tan B A ∴= ，由三角形ABC ∆为锐角三角形，所以()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 33tan tan B A AB A B A AA A--===≤+++，当且仅当13tan tan A A =，即tan 3A =，6A π=取等号 故答案为：6π【点睛】本题考查了正弦定理边化角、两角和与差的公式、二倍角公式以及基本不等式，需熟记公式，综合性比较强，属于中档题. 三、解答题17.已知数列{}n a 满足：12a =，()1422n n a a n n -+=-≥. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：()1233721nn n b b b b a +++⋅⋅⋅+-=，求数列{}n b 的通项公式.【答案】（Ⅰ）2n a n =；（Ⅱ）221n n b =- 【解析】 【分析】（Ⅰ）由()1422n n a a n n -+=-≥可化为()()12220n n a n a n --+-+=，令2n n c a n =-，推出1n n c c -=-，根据n c 的特征即可求出. （Ⅱ）根据题意可得()()11231137221n n n a n b b b b ---++++-=≥，与原式作差再由（Ⅰ）即可求解.【详解】（Ⅰ）由()1422n n a a n n -+=-≥可化为()()12220n n a n a n --+-+=. 令2n n c a n =-，则10n n c c -+=，即1n n c c -=-.因为12a =，所以1120c a =-=， 所以0n c =，即20n a n -=，故2n a n =.（Ⅱ）由()1233721nn n b b b b a +++⋅⋅⋅+-=， 可知()()11231137221n n n a n b b b b ---++++-=≥，两式作差得()()12122nn n n b a a n --=-=≥，即()2221n n b n =≥-. 又当1n =时，也112b a ==满足上式， 故221n nb =-. 【点睛】本题考查了由递推关系式求通项公式以及n S 与n a 的关系，属于中档题. 18.某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立．（1）求在未来的连续4天中，有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率； （2）用ξ表示在未来4天里日销售量不低于100枝的天数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）∴0.06;（2）见解析. 【解析】试题分析：根据频率分布直方图求频率要注意小条形的面积代表频率，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件的概率，可根据4天中有2天发生的概率公式计算，根据二项分布列出频率分布列，计算数学期望.试题解析：（1）设日销量为x ，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件A ．则()1000.002500.006500.4P x ≤=⨯+⨯=，()1500.005500.25P x ≥=⨯=，∴()22240.40.250.06P A C =⨯⨯=．（2）日销售量不低于100枝的概率0.6P =，则()~4,0.6B ξ，于是()()440.60.40,1,2,3,4k k k P k C k ξ-==⋅⋅=，则分布列为ξ0 1 2 3 4P16625 96625 216625 216625 81625∴16962162168101234 2.4625625625625625E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】频率分布直方图、茎叶图、线性回归、独立性检验是高考需要掌握的统计知识，概率分布问题注意一些常用的概率分布，如二项分布，超几何分布等，会计算概率，正确列出分布列，正确计算数学期望及方差.19.如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设2PC AB =，求二面角E l C --大小的取值范围. 【答案】（Ⅰ）//l 平面PAC ，证明见解析；（Ⅱ）,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（Ⅰ）证出//EF 平面ABC ，由线面平行的性质定理可证出//EF l ，再由线面平行的判定定理即可求解.（Ⅱ）法一：证出FBC ∠是二面角E l C --的平面角，1tan cos FC AB FBC BC BC ABC∠===∠，根据ABC ∠的范围即可求解. 法二：以CA 为x 轴，CB 为y 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面DBF 的法向量与平面BCD 的法向量，利用向量的数量积即可求解. 【详解】（Ⅰ）证明如下：∵//EF AC ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ， ∴//EF 平面ABC .又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ， ∴//EF l .而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ， ∴//l 平面PAC .（Ⅱ）解法一：设直线l 与圆O 的另一个交点为D ，连结DE ，FB . 由（Ⅰ）知，//BD AC ，而AC BC ⊥，∴BD BC ⊥. ∵PC ⊥平面ABC ，∴PC BD ⊥. 而PC BC C ⋂=，∴BD ⊥平面PBC ， 又∵FB ⊂平面PBC ，∴BD BF ⊥， ∴FBC ∠是二面角E l C --的平面角.1tan cos FC AB FBC BC BC ABC∠===∠. 注意到02ABC π<∠<，∴0cos 1ABC <∠<，∴tan 1FBC ∠>.∵02FBCπ<∠<，∴,42FBCππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，即二面角E l C--的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭.解法二：由题意，AC BC⊥，以CA 为x轴，CB为y轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，设2AB=，()02BC t t=<<，则()0,,0B t，()0,0,2F，()24,,0D t t-，()0,,2BF t=-，()24,0,0BD t=-.设平面DBF的法向量为(),,m x y z=，则由m BFm BD⎧⋅=⎨⋅=⎩得22040ty zt x-+=⎧-=，取2y=得()0,2,m t=.易知平面BCD的法向量()0,0,1n=，设二面角E l C--的大小为θ，易知θ为锐角，222cos0,2441m nm n ttθ⋅⎛⎫=== ⎪⎪⋅+⎝⎭+，∴42ππθ<<，即二面角E l C--的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、判定定理以及求面面角、空间向量法求面面角，考查了学生的空间想象能力以及推理能力，属于中档题.20.已知椭圆C：()222210x ya ba b+=>>2，过左焦点F的直线与椭圆交于A，B 两点，且线段AB 的中点为21,33⎛⎫-⎪⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 为C 上一个动点，过点M 与椭圆C 只有一个公共点的直线为1l ，过点F 与MF 垂直的直线为2l ，求证：1l 与2l 的交点在定直线上，并求出该定直线的方程.【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）证明见解析，2x =-，【解析】 【分析】（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，根据点A ，B 都在椭圆上，代入椭圆方程两式相减，根据“设而不求”的思想，结合离心率以及中点坐标公式、直线的斜率建立等式即可求解.（Ⅱ）设()00,M x y ，由对称性，设00y >，由2212x y +=，得椭圆上半部分的方程为y =1l 的方程，再由过点F 与MF 垂直的直线为2l ，求出2l ，两方程联立，消去y ，即可求解.【详解】（Ⅰ）由题可知(),0F c -，直线AB 的斜率存在. 设()11,A x y ，()22,B x y ，由于点A ，B 都在椭圆上， 所以2211221x y a b +=①，2222221x y a b +=②，①-②，化简得2221222212y y b a x x --=-③又因为离心率为2，所以2212b a =.又因为直线AB 过焦点F ，线段AB 的中点为21,33⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以1243x x +=-，1223y y +=，12121323y y x x c -=--+，代入③式，得1213324233c ⨯-=⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1c =.再结合222a c b -=，解得22a =，21b =，故所求椭圆的方程为2212x y +=.（Ⅱ）证明：设()00,M x y ，由对称性，设00y >，由2212x y +=，得椭圆上半部分的方程为y =()'x y =-=，又1l 过点M且与椭圆只有一个公共点，所以102l x k y ==-， 所以1l ：()00002x y y x x y -=--，④ 因为2l 过点F 且与MF 垂直，所以2l ：()11x y x y+=-+，⑤ 联立④⑤，消去y ，得220000122x x x y x x +=----，又220012x y +=，所以002202x x x +⋅++=，从而可得2x =-， 所以1l 与2l 的交点在定直线2x =-上.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查了圆锥曲线中“设而不求”的思想，考查了学生的计算能力，属于中档题. 21.已知函数()ln f x x a x =+，a R ∈. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）试问过点()1,3P 可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2,ln 2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）见解析，理由见解析【解析】 【分析】（Ⅰ）首先求出函数的定义域和导函数，根据导函数分类讨论a 的取值范围；当0a ≥时，当0a <时，分析()f x '的正负即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）中的导函数讨论a -是否在区间[]1,2内，利用函数的单调性求出函数的最值，使()min 0f x >即可解不等式即可.（Ⅲ）法一：设切点为()000,ln x x a x +，求出切线方程()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，从而可得001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，令()()1ln 120a x x x x g ⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭，讨论a 的取值范围，分析函数()g x 的的单调性以及()0g x =在()0,∞+上的零点即可求解；法二：设切点为()000,ln x x a x +，求出切线方程()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，从而可得001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，分离参数可得12ln 1x x a +-=-，令()1ln 1x g x x=+-，讨论()g x 的单调性求出函数()g x 的值域，根据值域确定2a-的范围即可求解. 【详解】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}|0x x >，()'1a x af x x x+=+=.（1）当0a ≥时，()'0f x >恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）当0a <时，令()'0f x =，得x a =-.当0x a <<-时，()'0f x <，函数()f x 为减函数； 当x a >-时，()'0f x >，函数()f x 为增函数.综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+.当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为()0,a -，单调递增区间为(),a -+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当1a -≤时，即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数，所以在区间[]1,2上，()()min 11f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零； （2）当12a <-<时，即21a -<<-时，函数()f x 在[)1,a -上为减函数，在(],2a -上为增函数，所以()()()min ln f x f a a a a =-=-+-.依题意有()()min ln 0f x a a a =-+->，解得a e >-，所以21a -<<-. （3）当2-≥a 时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数， 所以()()min 22ln 2f x f a ==+.依题意有()min 2ln 20f x a =+>，解得2ln 2a >-，所以22ln 2a -<≤-. 综上所述，当2ln 2a >-时，函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零. 另解：当1x =时，显然ln 10x a x +=>恒成立.当(]1,2x ∈时，ln 0x a x +>恒成立ln x a x ⇔>-恒成立ln x a x⇔>-的最大值. 令()ln x m x x =-，则()21ln '0ln x m x x -=>，易知()ln xm x x=-在(]1,2上单调递增， 所以()m x 最大值为()22ln 2m =-，此时应有2ln 2a >-.综上，a 的取值范围是2,ln 2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. （Ⅲ）设切点为()000,ln x x a x +，则切线斜率01ak x =+， 切线方程为()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭. 因为切线过点()1,3P ，则()()00003ln 11a x a x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭. 即001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.① 令()()1ln 120a x x x x g ⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭，则()()22111'a x a x x x g x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.专业 文档 可修改 欢迎下载（1）当0a <时，在区间()0,1上，()'0g x >，()g x 单调递增；在区间()1,+∞上，()'0g x <，()g x 单调递减，所以函数()g x 的最大值为()120g =-<.故方程()0g x =无解，即不存在0x 满足①式.因此当0a <时，切线的条数为0.（2）当0a >时，在区间()0,1上，()'0g x <，()g x 单调递减，在区间()1,+∞上，()'0g x >，()g x 单调递增，所以函数()g x 的最小值为()120g =-<. 取211a x e e +=>，则()2211121120a a g x a e ae a ----⎛⎫=++--=> ⎪⎝⎭. 故()g x 在()1,+∞上存在唯一零点. 取2121a x e e--=<，则()22112211224a a g x a e ae a a ++⎛⎫=--+--=-- ⎪⎝⎭21221a a e a +⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦. 设()211t t a=+>，()2t u t e t =-，则()'2t u t e =-. 当1t >时，()'220t u t e e =->->恒成立.所以()u t 在()1,+∞单调递增，()()120u t u e >=->恒成立.所以()20g x >.故()g x 在()0,1上存在唯一零点.因此当0a >时，过点()1,3P 存在两条切线.（3）当0a =时，()f x x =，显然不存在过点()1,3P 的切线.综上所述，当0a >时，过点()1,3P 存在两条切线；当0a ≤时，不存在过点()1,3P 的切线.专业 文档 可修改 欢迎下载 另解：设切点为()000,ln x x a x +，则切线斜率01a k x =+， 切线方程为()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭. 因为切线过点()1,3P ，则()()00003ln 11a x a x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭， 即001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭. 当0a =时，020-=无解.当0a ≠时，12ln 1x x a +-=-， 令()1ln 1x g x x =+-，则()21'x g x x-=， 易知当01x <<时，()21'0x g x x -=<；当1x >时，()21'0x g x x-=>， 所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.又()10g =，且()()0lim lim x x g x g x →→+∞==+∞， 故当20a ->时有两条切线，当20a -<时无切线， 即当0a <时有两条切线，当0a >时无切线.综上所述，0a <时有两条切线，0a ≥时无切线.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性性的应用以及函数的零点，综合性较强，属于难题.22.已知直线l 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线,444πππθφφθφ⎛⎫=-<<=+ ⎪⎝⎭，4πθφ=-分别与曲线C 交于、、A B C 三点（不包括极点O ）. (Ⅰ)求证：OB OC OA +=；(Ⅱ)当12πφ=时，若B C 、两点在直线l 上，求m 与α的值. 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)22,3m πα==. 【解析】试题分析： (Ⅰ)由曲线C 的极坐标方程可得点A B C 、、的极径，即得到,,OA OB OC ，计算后即可证得结论正确．(Ⅱ)根据12πφ=可求得点B,C 的极坐标，转化为直角坐标后可得直线BC 的直角坐标方程，结合方程可得m 与α的值．试题解析： （Ⅰ）证明：依题意，，，， 则．（Ⅱ）当时，两点的极坐标分别为，，故两点的直角坐标为，. 所以经过点的直线方程为， 又直线经过点，倾斜角为， 故，．23.已知函数()222f x x a x a =+-+-.(Ⅰ)若()13f <，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)若不等式()2f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ)2433⎛⎫- ⎪⎝⎭，；(Ⅱ)26,,55⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由()13f <可得123a a +-<，根据分类讨论法解不等式组即可．（Ⅱ）根据绝对值的几何意义求得()f x 的最小值为(1)2a f -，由(1)22af -≥可得实数a 的取值范围．试题解析： （Ⅰ）由可得，，①当时，不等式化为，解得，∴；② 当时，不等式化为，解得，∴；③ 当时，不等式化为，解得，∴.综上实数的取值范围是．（Ⅱ）由及绝对值的几何意义可得，当时，取得最小值．∵不等式()2f x ≥恒成立，∴，即，解得或．∴ 实数的取值范围是.。
2020届华中师大附中高三第四次联考数学（理）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数满足，则在复平面内的对应点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若集合，则=A. B. C. D.3.设等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为20，则A. 127B. 64C. 63D. 324.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A. 若，，则B. 若，，且，则C. 若，，且，，则D. 若直线与平面所成角相等，则5.若展开式二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数为A. 40B. 30C. 20D. 156.已知随机变量服从正态分布且,则A. B. C. D.7.函数的零点一定位于区间A. B. C. D.8.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则A. 23B. 32C. 35D. 389.某人在微信群中发了一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为A. B. C. D.10.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为5，2，则输出v的值为A.64B. 68C. 72D. 13311.将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，所得图像关于直线对称，则的最小正值为A. B. C. D.12.在正方体中，点E是棱的中点，点F是线段上的一个动点．有以下三个命题：①异面直线与所成的角是定值；②三棱锥的体积是定值；③直线与平面所成的角是定值．其中真命题的个数是A. 3B. 2C. 1D. 0第II卷（非选择题90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 华附、省实、广雅、深中2024届高三四校联考数学试题铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。
一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U =R ，集合A ，B 满足A ⊆(A⋂B)，则下列关系一定正确的是( )A. A =BB. B ⊆AC. (∁U A)∩B =⌀D. A⋂(∁U B)=⌀2.已知复数z 满足(1)1+=−i z i ，则z 2024=( )A. iB. −1C. 1D. −i3.直线x +2y +3=0关于直线y =−x 对称的直线方程是( )A. x +2y −3=0B. 2x +y −3=0C. x −2y −3=0D. 2x +3y +3=04.已知向量a 在b 方向上的投影向量的模为2，向量b 在a 方向上的投影向量的模为1，且（（+⊥−a b a b )23)，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π345.若椭圆Γ1：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，则双曲线Γ2：y 2b2−x 2a 2=1的离心率为( )A.213 B.72C. √ 3D. √ 56. 在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R ，且某个车轮上的点P 刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离S ，则此时P 到铁轨上表面的距离为（ ） A ．+R S R(1cos )B ．−R S R (1cos )C ．2sin R S RD ．sin R S R7.若（（ac e c b −=−=1)1)ln 1则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ． c ≤a ＜bB ． c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜a ≤c8.数列a n {}的前n 项和S n ，且a a a n a n n n n =++−−−1882111，n n N ≥∈+(2,)，若a =11，则 A ．S <<2024523 B ．S <<2024252C ．S <<2024322 D ． S <<2024132二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9.下列结论正确的是( )A. 若a >b,c >d ，则ac 2>bd 2B. 若ac 2>bc 2，则a >bC. “ab >1”是“a >1,b >1”成立的充分不必要条件D. 若a >b >1，则a a b b +<+1log log (1)10. 已知圆C 1：x y +=221，圆C 2：−++=x y r (3)(4)222r >0（），P 、Q 分别是圆C 1与圆C 2上的点，则（ ）A .若圆C 1与圆C 2无公共点，则0＜r ＜4B .当r ＝5时，两圆公共弦所在直线方程为x y −−=6810C .当r ＝2时，则PQ 斜率的最大值为−724D .当r ＝3时，过P 点作圆C 2两条切线，切点分别为A ，B ，则∠APB 不可能等于 π2 11.已知函数f(x)=x 3−3x 2，满足f (x )=kx +b 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则( ) A. 若k =0，则实数b 的取值范围是−4<b <0B. 过y 轴正半轴上任意一点仅有一条与函数 y =f (x )−1 相切的直线C. x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3=kD.若 x 1，x 2，x 3成等差数列，则k +b =−212.已知正四面体O −ABC 的棱长为3，下列说法正确的是( )A. 若点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且x +y +z =1，则|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为6B. 在正四面体O −ABC 的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体体积可能为√ 210C. 若正四面体O −ABC 的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相等，则此距离为3√ 1010D.点Q 在△ABC 所在平面内且|QO|=2|QA|,则Q 点轨迹的长度为2√ 303π三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知双曲线x y −=2241，则此双曲线的渐近线方程为 ．14.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，a 4=4，a 7=10，则S n 的最小值为 ． 15.已知函数f x x =−ωπ2()sin (3)(ω>0)的最小正周期为2π，且f (x )在[0,m]上单调递减，在[2m,5π3]上单调递增，则实数m 的取值范围是 ．16. 在同一平面直角坐标系中，M ，N 分别是函数f x x x =−−+−2()43和函数()ln()=−g x ax axe x 图象上的动点，若对任意a ＞0，有|MN |≥m 恒成立，则实数m 的最大值为______________． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。
广东省华附、省实、深中、广雅2019-2020学年高三下学期四校联考数学（理)试题第I 卷（选择题)一、单选题1．原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12=z z ”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 2．已知平面向量a v ,b v 是非零向量,|a v |=2,a v ⊥(a v +2b v ),则向量b v 在向量a v方向上的投影为( )A ．1B ．-1C ．2D ．-2 3．F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF FB =u u u r u u u r ，则C 的离心率是（ ）A B ．3 C D ．24．函数()2sin cos2f x x x =+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调减区间为（ ） A ．,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5．已知圆221x y +=，点()1,0A ，ABC ∆内接于圆，且60BAC ∠=︒，当B ，C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是（ ）A ．2212x y +=B ．2214x y +=C ．221122x y x ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭D ．221144x y x ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭ 6． 函数f (x )＝√1−x 2−1x−2的值域为( ) A ．[－43,43] B ．[－43,0]C ．[0,1]D ．[0,43] 7．集合1|,24k M x x k Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．M N = B ．M N C ．N M D ．M N ⋂=∅ 8．平面α∥β平面的一个充分条件是（ ）A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α9．已知函数()sin 2cos2f x a x b x =-（a ，b 为常数，0a ≠，x ∈R ）在12x π=处取得最大值，则函数3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是（ ） A ．奇函数且它的图象关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 B ．偶函数且它的图象关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 C ．奇函数且它的图象关于x π=对称 D ．偶函数且它的图象关于x π=对称 10．已知函数()f x 的图象连续且在()2,+∞上单调，又函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()42016f a f a =，则{}n a 的前2019项之和为（ ）A ．0B ．2019C ．4038D ．404011．函数2()log 3sin()2f x x x π=-零点的个数是 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．212．若正四面体SABC 的面ABC 内有一动点P 到平面SAB 、平面SBC 、平面SCA 的距离依次成等差数列，则点P 在平面ABC 内的轨迹是A ．一条线段B ．一个点C ．一段圆弧D ．抛物线的一段第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、解答题13．已知数列{}n a 满足：12a =，()1422n n a a n n -+=-≥.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：()1233721n n n b b b b a +++⋅⋅⋅+-=，求数列{}n b 的通项公式. 14．已知函数()ln f x x a x =+，a R ∈.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）试问过点()1,3P 可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由.15．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，过左焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为21,33⎛⎫-⎪⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 为C 上一个动点，过点M 与椭圆C 只有一个公共点的直线为1l ，过点F 与MF 垂直的直线为2l ，求证：1l 与2l 的交点在定直线上，并求出该定直线的方程. 16．某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立．（1）求在未来的连续4天中，有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率；（2）用ξ表示在未来4天里日销售量不低于100枝的天数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设2PC AB =，求二面角E l C --大小的取值范围.18．已知函数()222f x x a x a =+-+-.(Ⅰ)若()13f <，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)若不等式()2f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.19．已知直线l 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线,444πππθφφθφ⎛⎫=-<<=+ ⎪⎝⎭，4πθφ=-分别与曲线C 交于、、A B C 三点（不包括极点O ）.(Ⅰ)求证：OB OC OA +；(Ⅱ)当12πφ=时，若B C 、两点在直线l 上，求m 与α的值.三、填空题20．在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22222b a c =+，当()tan B A -取最大值时，角A 的值为______.21．在区间[]0,2上分别任取两个数m ，n ，若向量(),a m n =v ，()1,1b =v ，则满足1a b -≤v v 的概率是______ .22．已知随机变量~(2,)X B p ，2~(2,)Y N σ，若(1)0.64P X ≥=，(02)P Y p <<=，则(4)P Y >=__________．23．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且311n n A n B n +=+，则25837a a ab b ++=+______.参考答案1．B【解析】试题分析：设复数1z a bi =+，则21z z a bi ==-，所以12z z ==，故原命题为真；逆命题：若12z z =，则12,z z 互为共轭复数；如134z i =+，243z i =+，且125z z ==，但此时12,z z 不互为共轭复，故逆命题为假；否命题：若12,z z 不互为共轭复数，则12z z ≠；如134z i =+，243z i =+，此时12,z z 不互为共轭复，但125z z ==，故否命题为假；原命题和逆否命题的真假相同，所以逆否命题为真；故选B.考点：命题以及命题的真假.2．B【解析】【分析】先根据向量垂直得到a r g (a r +2b r ),=0，化简得到a r g b r =﹣2，再根据投影的定义即可求出．【详解】∵平面向量a r ,b r 是非零向量,|a r |=2,a r ⊥(a r +2b r), ∴a r g (a r +2b r ),=0，即()2·20a a b +=v v v 即a r g b r=﹣2 ∴向量b r 在向量a r 方向上的投影为·22a b a -=v v v =﹣1， 故选B ．【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．3．A【解析】试题分析：由题意得,2,3;,2AF b BF b AB b OA a OB a =====，因此222222224(2)(3)33()3a a b a b c a e e =+⇒==-⇒=⇒=，选A. 考点：双曲线离心率 【名师点睛】求双曲线的离心率（取值范围）的策略求双曲线离心率是一个热点问题．若求离心率的值，需根据条件转化为关于a ，b ，c 的方程求解，若求离心率的取值范围，需转化为关于a ，b ，c 的不等式求解，正确把握c 2＝a 2＋b 2的应用及e ＞1是求解的关键．4．B【解析】【分析】利用二倍角公式将函数化为()22sin 2sin 1f x x x =-++，进而可得 ()2132sin 22f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，根据,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】()22132sin cos 22sin 2sin 12sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭， 令sin t x = ，由,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则[]0,1t ∈ 所以213222y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减 又sin t x =在,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，此时1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 利用复合函数的单调性可得函数()f x 在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； sin t x =在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，此时10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 利用复合函数的单调性可得函数()f x 在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减；【点睛】本题主要考查了三角函数的性质以及复合函数的单调性，需熟记正弦三角函数的性质以及复合函数的单调性“同增异减”的特征，此题属于中档题.5．D【解析】【分析】 将圆周角为定值转化为圆心角为定值，结合圆心距构成的直角三角形得12OD =，从而得BC 中点的轨迹方程.【详解】设BC 中点为D ，Q 圆心角等于圆周角的一半，60BAC ∠=︒，60BOD ∴∠=o ，在直角三角形BOD 中，由1122OD OB ==， 故中点D 的轨迹方程是：2214x y +=， 如图，由BAC ∠的极限位置可得，14x <. 故选：D【点睛】本题考查了动点的轨迹方程问题，考查了数形结合的思想，属于基础题.6．C令x =cosθ,θ∈[0,π]，则f(x)=g(θ)=sinθ−1cosθ−2的几何意义是单位圆(在x 轴及其上方)上的动点M(cosθ,sinθ)与点A(2,1)连线的斜率k ，由图象，得0≤k ≤1，即函数f(x)的值域为[0,1]，故选C.点睛：本题考查利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，一是利用√1−x 2的形式和平方关系联想到三角代换，二是由sinθ−1cosθ−2的形式联想到过两点的直线的斜率公式，充分体现了代数、三角函数、解析几何间的有机结合.7．B【解析】【分析】首先求出集合M 、N 中的元素，由集合的包含关系即可求解.【详解】 121|,,244k k M x x k Z x x k Z ⎧⎫-⎧⎫==-∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 12|,,424k k N x x k Z x k Z ⎧⎫+⎧⎫==+∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 2k Z +∈Q 可表示全体整数，21k -表示全体奇数，∴M N ，故选：B【点睛】本题考查了集合与集合之间的关系，解题的关键是确定集合中的元素，属于基础题. 8．D【解析】试题分析：对于A ，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A 不对； 对于B ，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B 不对； 对于C ，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C 不对；对于D ，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D 正确考点：空间线面平行的判定与性质 9．A 【解析】 【分析】首先根据已知可得()()2f x x θ=-，然后根据正弦函数的图像与性质得到23k πθπ=--，再化简函数3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，从而求解问题. 【详解】Q ()()sin 2cos 22f x a x b x x θ=-=-，在12x π=处取得最大值，()22122k k Z ππθπ∴⨯-=+∈，则23k πθπ=--，()23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()232x x y f x ππ∴+=⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭奇函数且它的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称.故选：A 【点睛】本题考查了辅助角公式以及三角函数的图像与性质，需熟记三角函数的性质，属于基础题. 10．C 【解析】 【分析】由函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，平移可得()y f x =的图像关于2x =对称，由题意可得420164a a +=，利用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求的和. 【详解】函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，且函数()f x 的图象连续且在()2,+∞上单调， 可得()y f x =的图像关于2x =对称，由数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()42016f a f a =， 可得420164a a +=，又{}n a 是等差数列， 可得42016120194a a a a +=+=， 所以{}n a 的前2019项之和为()120192019201940328a a S +==故选：C 【点睛】本题考查了函数的平移变换、等差数列的性质以及等差数列的前n 项和，需熟记公式与性质，属于基础题. 11．C 【解析】 【分析】 【详解】令2()log 3sin()2f x x x π=-=0，可得2log 3sin()2x x π=，在同一平面直角坐标系内，画出y=2log ,3sin()2y x y x π==的图象，由图可得交点个数为3，所以函数2()log 3sin()2f x x x π=-零点的个数是3，故选C ． 12．A 【解析】 试题分析：设点到三个面的距离分别是. 因为正三棱锥的体积为定值，所以为定值，因为.成等差数列，所以.∴为定值，所以点的轨迹是平行的线段．考点：等差数列的性质；抛物线的定义．点评：本题以等差数列为载体，考查正三棱锥中的轨迹问题，关键是分析得出P 到侧面SBC 的距离为定值．13．（Ⅰ）2n a n =；（Ⅱ）221n nb =- 【解析】 【分析】（Ⅰ）由()1422n n a a n n -+=-≥可化为()()12220n n a n a n --+-+=，令2n n c a n =-，推出1n n c c -=-，根据n c 的特征即可求出. （Ⅱ）根据题意可得()()11231137221n n n a n b b b b ---++++-=≥L ，与原式作差再由（Ⅰ）即可求解. 【详解】（Ⅰ）由()1422n n a a n n -+=-≥可化为()()12220n n a n a n --+-+=. 令2n n c a n =-，则10n n c c -+=，即1n n c c -=-. 因为12a =，所以1120c a =-=， 所以0n c =，即20n a n -=，故2n a n =.（Ⅱ）由()1233721nn n b b b b a +++⋅⋅⋅+-=， 可知()()11231137221n n n a n b b b b ---++++-=≥L ，两式作差得()()12122nn n n b a a n --=-=≥，即()2221n nb n =≥-. 又当1n =时，也112b a ==满足上式， 故221n n b =-. 【点睛】本题考查了由递推关系式求通项公式以及n S 与n a 的关系，属于中档题. 14．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2,ln 2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）见解析，理由见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）首先求出函数的定义域和导函数，根据导函数分类讨论a 的取值范围；当0a ≥时，当0a <时，分析()f x '的正负即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）中的导函数讨论a -是否在区间[]1,2内，利用函数的单调性求出函数的最值，使()min 0f x >即可解不等式即可.（Ⅲ）法一：设切点为()000,ln x x a x +，求出切线方程()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，从而可得001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，令()()1ln 120a x x x x g ⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭，讨论a 的取值范围，分析函数()g x 的的单调性以及()0g x =在()0,∞+上的零点即可求解；法二：设切点为()000,ln x x a x +，求出切线方程()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，从而可得001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，分离参数可得12ln 1x x a +-=-，令()1ln 1x g x x=+-，讨论()g x 的单调性求出函数()g x 的值域，根据值域确定2a-的范围即可求解. 【详解】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}|0x x >，()'1a x af x x x+=+=. （1）当0a ≥时，()'0f x >恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）当0a <时，令()'0f x =，得x a =-.当0x a <<-时，()'0f x <，函数()f x 为减函数； 当x a >-时，()'0f x >，函数()f x 为增函数.综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+.当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为()0,a -，单调递增区间为(),a -+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当1a -≤时，即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数，所以在区间[]1,2上，()()min 11f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零； （2）当12a <-<时，即21a -<<-时，函数()f x 在[)1,a -上为减函数，在(],2a -上为增函数，所以()()()min ln f x f a a a a =-=-+-.依题意有()()min ln 0f x a a a =-+->，解得a e >-，所以21a -<<-. （3）当2-≥a 时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数， 所以()()min 22ln 2f x f a ==+.依题意有()min 2ln 20f x a =+>，解得2ln 2a >-，所以22ln 2a -<≤-. 综上所述，当2ln 2a >-时，函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零. 另解：当1x =时，显然ln 10x a x +=>恒成立.当(]1,2x ∈时，ln 0x a x +>恒成立ln x a x ⇔>-恒成立ln x a x⇔>-的最大值. 令()ln x m x x =-，则()21ln '0ln x m x x -=>，易知()ln xm x x=-在(]1,2上单调递增，所以()m x 最大值为()22ln 2m =-，此时应有2ln 2a >-. 综上，a 的取值范围是2,ln 2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.（Ⅲ）设切点为()000,ln x x a x +，则切线斜率01ak x =+， 切线方程为()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭. 因为切线过点()1,3P ，则()()00003ln 11a x a x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭. 即001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.① 令()()1ln 120a x x x x g ⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭，则()()22111'a x a x x x g x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. （1）当0a <时，在区间()0,1上，()'0g x >，()g x 单调递增； 在区间()1,+∞上，()'0g x <，()g x 单调递减， 所以函数()g x 的最大值为()120g =-<. 故方程()0g x =无解，即不存在0x 满足①式. 因此当0a <时，切线的条数为0.（2）当0a >时，在区间()0,1上，()'0g x <，()g x 单调递减，在区间()1,+∞上，()'0g x >，()g x 单调递增，所以函数()g x 的最小值为()120g =-<.取211ax e e +=>，则()2211121120a a g x a eae a ----⎛⎫=++--=> ⎪⎝⎭. 故()g x 在()1,+∞上存在唯一零点.取2121ax ee --=<，则()22112211224a a g x a e ae a a ++⎛⎫=--+--=-- ⎪⎝⎭21221a a e a +⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦.设()211t t a=+>，()2t u t e t =-，则()'2t u t e =-. 当1t >时，()'220tu t e e =->->恒成立.所以()u t 在()1,+∞单调递增，()()120u t u e >=->恒成立. 所以()20g x >.故()g x 在()0,1上存在唯一零点.因此当0a >时，过点()1,3P 存在两条切线.（3）当0a =时，()f x x =，显然不存在过点()1,3P 的切线. 综上所述，当0a >时，过点()1,3P 存在两条切线； 当0a ≤时，不存在过点()1,3P 的切线.另解：设切点为()000,ln x x a x +，则切线斜率01a k x =+， 切线方程为()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭. 因为切线过点()1,3P ，则()()00003ln 11a x a x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭， 即001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭. 当0a =时，020-=无解. 当0a ≠时，12ln 1x x a+-=-， 令()1ln 1x g x x =+-，则()21'x g x x-=， 易知当01x <<时，()21'0x g x x -=<；当1x >时，()21'0x g x x-=>，所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.又()10g =，且()()0lim lim x x g x g x →→+∞==+∞，故当20a ->时有两条切线，当20a-<时无切线， 即当0a <时有两条切线，当0a >时无切线. 综上所述，0a <时有两条切线，0a ≥时无切线. 【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性性的应用以及函数的零点，综合性较强，属于难题.15．（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）证明见解析，2x =-，【解析】 【分析】（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，根据点A ，B 都在椭圆上，代入椭圆方程两式相减，根据“设而不求”的思想，结合离心率以及中点坐标公式、直线的斜率建立等式即可求解.（Ⅱ）设()00,M x y ，由对称性，设00y >，由2212x y +=，得椭圆上半部分的方程为y =1l 的方程，再由过点F 与MF 垂直的直线为2l ，求出2l ，两方程联立，消去y ，即可求解. 【详解】（Ⅰ）由题可知(),0F c -，直线AB 的斜率存在. 设()11,A x y ，()22,B x y ，由于点A ，B 都在椭圆上， 所以2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②， ①-②，化简得2221222212y y b a x x --=-③又因为离心率为2，所以2212b a =.又因为直线AB 过焦点F ，线段AB 的中点为21,33⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以1243x x +=-，1223y y +=，12121323y y x x c -=--+，代入③式，得1213324233c ⨯-=⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1c =.再结合222a c b -=，解得22a =，21b =，故所求椭圆的方程为2212x y +=.（Ⅱ）证明：设()00,M x y ，由对称性，设00y >，由2212x y +=，得椭圆上半部分的方程为y =()'x y =-=，又1l 过点M且与椭圆只有一个公共点，所以102l x k y ==-， 所以1l ：()00002x y y x x y -=--，④ 因为2l 过点F 且与MF 垂直，所以2l ：()11x y x y +=-+o o，⑤ 联立④⑤，消去y ，得220000122x x x y x x +=----，又220012x y +=，所以002202x x x +⋅++=，从而可得2x =-， 所以1l 与2l 的交点在定直线2x =-上. 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查了圆锥曲线中“设而不求”的思想，考查了学生的计算能力，属于中档题. 16．（1）∴0.06;（2）见解析. 【解析】试题分析：根据频率分布直方图求频率要注意小条形的面积代表频率，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件的概率，可根据4天中有2天发生的概率公式计算，根据二项分布列出频率分布列，计算数学期望.试题解析：（1）设日销量为x ，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件A ．则()1000.002500.006500.4P x ≤=⨯+⨯=，()1500.005500.25P x ≥=⨯=，∴()22240.40.250.06P A C =⨯⨯=．（2）日销售量不低于100枝的概率0.6P =，则()~4,0.6B ξ，于是()()440.60.40,1,2,3,4k k k P k C k ξ-==⋅⋅=，则分布列为∴16962162168101234 2.4625625625625625E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】频率分布直方图、茎叶图、线性回归、独立性检验是高考需要掌握的统计知识，概率分布问题注意一些常用的概率分布，如二项分布，超几何分布等，会计算概率，正确列出分布列，正确计算数学期望及方差.17．（Ⅰ）//l 平面PAC ，证明见解析；（Ⅱ）,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】（Ⅰ）证出//EF 平面ABC ，由线面平行的性质定理可证出//EF l ，再由线面平行的判定定理即可求解.（Ⅱ）法一：证出FBC ∠是二面角E l C --的平面角，1tan cos FC AB FBC BC BC ABC∠===∠，根据ABC ∠的范围即可求解. 法二：以CA 为x 轴，CB 为y 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面DBF 的法向量与平面BCD 的法向量，利用向量的数量积即可求解. 【详解】 （Ⅰ）证明如下：∵//EF AC ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ， ∴//EF 平面ABC .又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ， ∴//EF l .而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ， ∴//l 平面PAC .（Ⅱ）解法一：设直线l 与圆O 的另一个交点为D ，连结DE ，FB . 由（Ⅰ）知，//BD AC ，而AC BC ⊥，∴BD BC ⊥. ∵PC ⊥平面ABC ，∴PC BD ⊥. 而PC BC C ⋂=，∴BD ⊥平面PBC ， 又∵FB ⊂平面PBC ，∴BD BF ⊥， ∴FBC ∠是二面角E l C --的平面角.1tan cos FC AB FBC BC BC ABC∠===∠. 注意到02ABC π<∠<，∴0cos 1ABC <∠<，∴tan 1FBC ∠>.∵02FBC π<∠<，∴,42FBC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭， 即二面角E l C --的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 解法二：由题意，AC BC ⊥，以CA 为x 轴，CB 为y 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，()02BC t t =<<，则()0,,0B t ，()0,0,2F，),0Dt ，()0,,2BF t =-u u u r，)BD =u u u r .设平面DBF 的法向量为(),,m x y z =u r，则由00m BF m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v得20ty z -+=⎧=，取2y =得()0,2,m t =u r . 易知平面BCD 的法向量()0,0,1n =r，设二面角E l C --的大小为θ，易知θ为锐角，cos m n m n θ⋅⎛=== ⋅⎝⎭u r r u r r ， ∴42ππθ<<，即二面角E l C --的取值范围是,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、判定定理以及求面面角、空间向量法求面面角，考查了学生的空间想象能力以及推理能力，属于中档题.18．(Ⅰ)2433⎛⎫- ⎪⎝⎭，；(Ⅱ)26,,55⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由()13f <可得123a a +-<，根据分类讨论法解不等式组即可．（Ⅱ）根据绝对值的几何意义求得()f x 的最小值为(1)2af -，由(1)22a f -≥可得实数a 的取值范围．（Ⅰ）由可得，， ①当时，不等式化为，解得，∴；② 当时，不等式化为，解得，∴； ③ 当时，不等式化为，解得， ∴.综上实数的取值范围是．（Ⅱ）由及绝对值的几何意义可得，当时，取得最小值．∵不等式()2f x ≥恒成立，∴，即，解得或．∴ 实数的取值范围是.19．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)22,3m πα==. 【解析】 试题分析：(Ⅰ)由曲线C 的极坐标方程可得点A B C 、、的极径，即得到,,OA OB OC ，计算后即可证得结论正确．(Ⅱ)根据12πφ=可求得点B,C 的极坐标，转化为直角坐标后可得直线BC 的直角坐标方程，结合方程可得m 与α的值．（Ⅰ）证明：依题意，，，，则．（Ⅱ）当时，两点的极坐标分别为，，故两点的直角坐标为，.所以经过点的直线方程为，又直线经过点，倾斜角为，故，．20．6π 【解析】 【分析】利用正弦定理以及二倍角公式将22222b a c =+化为()2cos2cos2sin0B A A B -++=，再由两角和与差的公式将式子化为sin cos 3cos sin B A B A =，由此可得tan 3tan B A =，代入()tan B A -的展开式，利用基本不等式即可求解. 【详解】由22222b a c =+，2222sin 2sin sin B A C ∴=+，()21cos21cos2sin B A A B ∴-=-++， ()2cos2cos2sin 0B A A B ∴-++=，()()()()()2cos cos sin 0B A B A B A B A A B ∴++--+--++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()2sin 2sin sin A B A B B A ∴+=+-，()()sin 2sin A B B A ∴+=-，即sin cos 3cos sin B A B A =，tan 3tan B A ∴= ，由三角形ABC ∆为锐角三角形，所以()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan B A AB A B A AA A--===≤+++，当且仅当13tan tan A A =，即tan A =，6A π=取等号 故答案为：6π【点睛】本题考查了正弦定理边化角、两角和与差的公式、二倍角公式以及基本不等式，需熟记公式，综合性比较强，属于中档题. 21．4π【解析】 【分析】由已知向量的坐标求出满足1a b -≤r r的,m n 所满足的条件，结合[],0,2m n ∈，数形结合得出答案. 【详解】由(),a m n =r ，()1,1b =r，得()1,1a b m n -=--r r由1a b -≤r r1≤，即()()22111m n -+-≤，,m n 满足0202m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩，作出图像如图：圆()()22111m n -+-=的面积为π，正方形OABC 的面积为4.则1a b -≤r r 的概率是4π .故答案为：4π【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，解题的关键是变量满足的条件，属于基础题. 22．0.1 【解析】∵随机变量服从()~2,X B p ，∴()()22111p 0.64P X C ≥=--=，解得：0.4p =.又()2~2,Y N σ，∴()()()400.5020.1P Y P Y P Y >=<=-<<=故答案为：0.1 23．215【解析】 【分析】由等差数列的性质，258537532a a a a b b b ++=+，结合等差数列的前n 项和公式得到9595A a B b =，在311n n A n B n +=+中取9n =即可得出答案. 【详解】Q 数列{}n a 、{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n A 和n B ，则258537532a a a a b b b ++=+，且()()1955919559922922a a a a A b b b b B +===+， 又311n n A n B n +=+，595939114915a A b B ⨯+∴===+， 所以25853753314212255a a a ab b b ++==⨯=+. 故答案为：215【点睛】本题考查了等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.。
