球

专题9.10：球一、知识点全解1、球的概念及性质(1)球的概念与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球 定点叫球心，定长叫球的半径与定点距离等于定长的点的集合叫做球面它的球心的字母表示，例如球O ．球的半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径。

球的直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。

(2)用一个平面去截一个球，截面是圆面。

球的截面有如下性质：①连结球心和截面圆心的直线垂直于截面.②球半径的平方=球心到截面圆的距离的平方+截面圆的半径的平方.③不过球心的截面截得的是球的小圆；经过球心的截面截得的是球的大圆，且大圆是最大的截面圆.若设球半径为R 截面圆的半径为r ,则有R 2=d 2+r 2,即：r =当d =0此圆叫球的大圆. 当0<d <R ,当d =R 时，平面与球相切。

(3)经度、纬度①当我们把地球看作一个球时，经线就是球面上从北极到南极的半个大圆，赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆。

②某点的经度是指经过这点的经线与地轴确定的半平面与0°经线和地轴确定的半平面所成的二面角度数。

③某点的纬度是指经过这点的球半径与赤道面所成角的度数。

如图（1）中P 点的经度是∠AOB 的度数或 AB 的度数和。

如图（2）中P 点的纬度是∠POA 的度数或PA 的度数。

(4)两点的球面距离球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离在日常生活中，常常见到的飞机总是尽可能以大圆弧为航线航行，这是为什么呢？在球面上，两点之间的最短距离是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度.这条弧长叫做两点间的球面距离.清楚了两点间的球面距离，那么我们就可以去求地球上任两点间的球面距离了.根据两点的球面距离概念可知：若设球面上两点之间的球心角为α弧度，球半径为R ，则球面上两点间的距离为|α|·R .球面上任意两点间的球面距离求法：这两地点可以是经度相同纬度不同，可以是纬度相同经度不同，还可以是经度不同纬度也不同三种情况.①对于求经度相同纬度不同的两地间的球面距离的方法是将纬度差的绝对值乘以地球半径。

②对于求纬度相同经度不同的两地间的球面距离的方法是先求纬度圈（小圆）中的弦长，再在大圆中求出这两点的球心角，化为弧度，再利用l =|α|·r 可求得。

③对于求经纬度都不同的两地间的球面距离的方法是用异面直线上两点间的距离公式求出弦长，再求出这两点的球心角，化为弧度，再利用l =|α|·r 可求得。

注：求两点球面距离的关键是先求出过此两点的大圆的劣弧所对的圆心角（球心角）。

思考：若A 、B 为球面上相异的两点，则通过A 、B 可作的大圆个数为几个？为什么？一个或无数个，当A 、B 及球心O 不共线时，可作一个大圆；当A 、B 恰是球直径的两个端点时，即当A 、B 及球心O 共线时，这样的大圆可作无数个.2、球的体积、表面积公式 体积公式343V R π=；表面积公式24S R π=，其中R 是球的半径。

3、关于正三角形的几个结论设正三角形ABC ∆的边长为a ，则①正三角形的高2h a =； ②正三角形的面积2;4S a = ③若点O 为正三角形的中心，则该中心为外接圆、内切圆的球心；三边高的交点；三边中线的交点；三边交平分线的交点；④连接AO 并延长交BC 于D ，则,AD BC ⊥且||:||2:1;AO OD =⑤外接圆半径22||;3323R OA h a ===⨯=⑥内切圆半径11||;3326r OD h ===⨯=4、关于正四面体的几个结论设正四面体A BCD -的边长为a ，则① 正四面体的高h =；② 正四面体的体积3;12V =③ 外接球半径4R a =；④ 内切球半径为r =；⑤ 若球与正四面体的六条棱均相切，则棱切球半径;4R a =⑥ 外接球、内切球、棱切球共球心，均在高的3:1处，即||3:1;||AO OE =⑦ 正四面体的表面积2;S =正四面体表面积 证明: ①过点A 作AE BCD ⊥面，则点E 为正三角形BCD 的中心。

连接DE ，则||.DE = 在t R ADE ∆中，||AD a =，由勾股定理知||.h AE ===②2311;334312V S h a ==⨯⨯=底面积 ③由于正四面体是规则图形，所以其外接球的球心O 应在其高AE 上，设外接球半径为,R 则有||||.AO OD R ==在t R ODE ∆中，||,||,OD R OE R ==||DE =由勾股定理知，222||||||,OD OE DE =+即222)R R =-+，由此得4R a =； ④ 内切球半径为||;12r OE a == ⑤ 证明看例6； ⑥ 外接球、内切球、棱切球共球心，均在高的3:1处。

5、长方体的外接球，内切球的几条结论若长方体的三条相邻边长分别为,,,a b c 则（1）设长方体的体对角线为,l 则2222;l a b c =++（2）长方体的外接球的直径是长方体的体对角线。

设外接球的半径是,R 则2.l R =且外接球的表面积222().S a b c π=++二、例题分析例1、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为3，求这个球的体积。

解：过球O 作内接正方体的轴截面，设球的半径为R ，因为2222(2)333R =++,所以2R =,所以34.32V R π==球 例2、设地球的半径为R ，在北纬45°圈上有两个点A 、,B A 在西经40°，B 在东经50°，求,A B 两点间纬线圈的弧长及,A B 两点间的球面距离.解：如图所示：设45°纬度圈中心为O 1，地球中心为O ，则∠AO 1B =45°+45°=90°∵OO 1⊥面O 1所在平面，∴OO 1⊥O 1A ，OO 1⊥O 1B∵A 、B 在北纬45°圈上∴∠AOO 1与∠BOO 1都等于纬度45°的余角45°.∴AO 1=BO 1=22R 在Rt △AO 1B 中，AB =2AO 1=R ，∴△AOB 为等边三角形，∴∠AOB =3π ∴ AB =|α|·R =3πR ， ∴,A B 两点的球面距离为3πR . 例3、半径为R 的球的内接正四面体内有一内切球，求这两球的体积比？ 分析：（1）先用R 表示正四面体的棱长，再求内切球的半径.（2）内切球的半径怎样求呢？根据几何体相切的定义知内切球球O 到正四面体各面距离为内切球的半径，故可以通过等体积法求之.解：如图所示，大球O 的半径为R ；设正四面体A —BCD 的棱长为a ,它的内切球半径为r ,依题意112,3BO AO ====. 又∵BO 2=BO 12+OO 12，∴R 2=（22)36()33R a a -+，∴a =362R连结OA ，OB ，OC ，OD ，内切球球心到正四面体各面距离为r ,V O —BCD =V O —ABC +V O —ACD +V O —AOB +V O —BCD ∴r S AO S BCD BCD ⋅⋅⋅=⋅⋅∆∆314311，∴r =41AO ∴r =R R a 31362126126=⋅= ∴V 小球∶V 大球=34π·（31R ）3∶34π·R 3=1∶27 ∴内切球与外接球的体积比为1∶27.点评：整个解题过程中，最关键在于求正四面体的高.例4、有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各顶点，求这三个球的表面积之比.分析：欲求这三个球的表面积之比，只需求出这三个球的半径即可，可通过正方体的棱长去寻求这三个球的半径，关键是要弄清正方体棱长与球半径之间的关系。

解：设正方体的棱长为a ,则第一个球的半径为2a ,第二个球的半径是2,. ∴r 1∶r 2∶r 3=1∶2∶3，∴S 1∶S 2∶S 3=1∶2∶3 例5、若球与棱长为a 的正四面体的六条棱都相切，求球的半径？解：设球的半径为R ，取ABE CDF AF BF EF 中点，中点，连结、、，则2A FB F ==，,EF AB EF CD ∴⊥⊥同理可得，EF AB CD ∴是、的公垂线，.2EF AB CD EF a ∴===是、的距离。

又因为球与正四面体的六条棱都相切，所以EF 是该球的直径。

.4R ∴= 例6、已知球O 的半径为1，,,A B C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为,2π则球心O 到平面ABC 的距离为（ ）12..3333A B C D 解：球心O 及,,A B C 三点可组成一个侧棱相等且两两垂直的一个正三棱锥，连接球心O 与ABC 所在的小圆圆心'O ，连'AO ,则侧棱为1，底面ABC 边长即为，又'2323AO =⨯=由勾股定理知'OO =. 三、练习题1、64个直径都为4a 的球，记它们的体积之和为甲V ，表面积之和为甲S ；一个直径为a 的球，记其体积为乙V ，表面积为乙S ，则（ ）（A ）乙甲乙甲且S S V V >> （B ）乙甲乙甲且S S V V <<（C ）乙甲乙甲且S S V V >= （D ）乙甲乙甲且S S V V ==2、球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这三个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（ B ）（A ）34 （B ） 32 （C ）2 （D ）33、，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（A ）.3.4.6A B C D πππ 4、长方体的过一个顶点的三条棱长分别为3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（ C ）（A ）π22 （B ）π225 （C ）π50 （D ）π2005、在北纬045圈上有甲、已两地，甲地位于东径0120，乙地位于西径0150，则地球（半径为R ）表面上甲、乙两地的最短距离为（ ）（A ）R π （B ）R 2π （C ）R 23π （D ）R 3π 6、A 、B 为球面上相异的两点，则通过A 、B 可作的大圆（ ）（A ）只有一个 （B ）一个或无数个 （C ）一定是无数个 （D ）不存在7、在地球北纬300圈上有A 、B 两点，它们的经度差为1800，则A 、B 两点沿纬度圈的弧与A 、B 两点的球面距离分别为（R 是地球的半径）（ ）（A ）R R ππ3223和 （B ）R R ππ3123和 （C ）R R ππ322和 （D ）R R ππ312和 8、球的面积膨胀为原来的两倍，膨胀后的球的体积变为原来的（ ）倍。