2012年高考考前训练题(6月3日理) (1)

高2012年补习班训练题数 学 (理)第Ⅰ卷本试卷共12小题,每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题：（1）设集合{|||1},{|(2)0}S x x T x x x =<=-<,则“a S ∈”是“a T ∈”的( )（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（2）已知函数()g x 与1()1x f x a -=+(0a >且1a ≠)的图象关于直线y x =对称，则()y g x =的图象一定过点( )（A ）（1，2） （B ）（2，1） （C ）（1，1） （D ）（1，0） （3）复数61()1ii-+的值是( )（A ）12i --（B ）12i +（C ）i （D ）—1（4）已知函数()sin 2()()2f x x x R π=-∈，下面结论错误的是( )（A ）函数)(x f 的最小正周期为π （B ）函数)(x f 在区间[0,]4π上是减函数（C ）函数)(x f 是奇函数 （D ）函数)(x f 的图象关于直线0=x 对称（5）如图，M,N 分别是正方体ABCD —1111A B C D 的棱1C C ,BC 的 中点，则下列结论正确的是( )（A ）1D B ⊥平面1AD M ； （B ）平面1AD M ⊥平面11BD D B ;（C ）直线M N //平面1A D C ; （D ）直线M N 与直线1A B 所成的角为45° （6）各项都不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,则735S a a +等于（ ）（A ）74(B)7 (C)72(D)14（7）已知双曲线22221(0,0)xya b a b-=>>的右焦点为F 2，过F 2倾角为60的直线与双曲线右支只有一个交点,则双曲线离心率e 的取值范围是( )（A ）2e ≥ （B ）2e > （C ）12e <≤ （D）1e <≤2e ≥（8）某家具厂有方木料83m ,五合板602m ,准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.13m ,五合板22m ,生产每个书橱需要方木料0.23m ,五合板12m ,出售一张书桌可获利润80元, 出售一个书橱可获利润120元.则可得最大利润是（ ）(A) 5040元 (B) 5060元 (C) 5000元 (D) 4960元（9）已知抛物线24y x =，过点P （1，0）的直线交抛物线于A ，B 两点，AB 的中点为M ，Q 为抛物线上的点，满足QM ∥x 轴，32P Q =， AB = ( )（A ）8 （B ）7（C ）6（D ）5AD BC 1BM1C1D 1AN（10）由1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数abcde ，则满足条件a b c d e ><><的五位数的个数是（ ）（A ）12 （B ）16 （C ）20 （D ）24（11）如图，A,B,C 是表面积为16π,球心为O 的球面上三点，90AOB AOC ∠=∠=60BOC ∠=,M 是OC 的中点，AM 交球面于D 点,则B ，D 两点的球面距离是( )（A ）23π（B ）22arccos 5（C ）43π（D ）92arccos25（12）已知,,x y z R +∈，满足()()2x y y z ++=，则()xyz x y z ++的最大值是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上. （13）61(2)x x-的展开式的常数项是 .（用数字作答）（14）若⊙222:O x y r +=与⊙2221:(3)4O x y r ++=相交于A 、B 则线段AB 的长度的最大值是 .（15）如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱A 1B 1的中点，则异面直线CA 1和BM 所成的角 的余弦值是 .（16）设定义在实数集R 上的函数()f x 满足：对所有,a b R ∈ 都有()()()[1()()]f a f b f a b f a f b +=+⋅+⋅，且(0)1f ≠±，则称()f x 为R 上的“类正切函数”，现有下列命题：①设()f x 是R 上的“类正切函数”，则()()f x f x -=-； ②设2()112xf x =-+，则()f x 是R 上的“类正切函数”； ③设()f x x =-则()f x 是R 上的“类正切函数”；④设()f x 是R 上的“类正切函数”，则存在正常数M ，对任意x R ∈，()f x M ≤； 其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）数学（理科）第Ⅱ卷选择题答案栏：13 14 15 16三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17） （本小题满分12分）在ABC ∆中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且3cos 25A =，cos 10B =1BC CA ⋅=.（Ⅰ）求角C 的值； （Ⅱ）求c 的值.（18）（本小题满分12分）某公司共有18名员工,其中有中级职称的员工6人, 有高级职称的员工3人,其余的员工都有初级职称.（Ⅰ）在该公司中随机选派3名员工到其他公司去交流学习，求恰有1名有中级职称的员工且至多有1名有高级职称的员工的概率；（Ⅱ）在该公司中具有中、高级职称的员工中选派3名员工到其他公司去交流学习，设其中有高级职称的员工人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ.（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥S —ABCD 的底面是边长为4的正方形，SA ⊥底面ABCD ，E ，P 分别是SA ，BD 的中点，F ，Q 分别是SD ，SC 上的点，EF ⊥SD,4SA =. （Ⅰ）求证:EF ⊥SC;（Ⅱ）求二面角P EF D --的值; (Ⅲ) 求Q 到平面EFP 的距离.（20）（本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a bya x的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率12e =，右准线方程为4x =. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）过点M (0,)m (m b >)的直线l 与该椭圆从上到下相交于A ，B 两点，BO(O 为坐标原点)交椭圆于C 点,AC 交y 轴于N 点,C M N ∆的面积为2,求直线l 斜率k 的取值范围.（21）（本小题满分12分） 已知函数2()lna x f x x a+-=-(Ⅰ)判断函数()f x 的奇偶性; (Ⅱ)当函数()f x 具备奇偶性时(1) 对n N *∈，比较2111()()()51131f f f n n +++++ 与11n n-+的大小，并说明理由.（2）探讨:经过点与曲线()y f x =相切的直线能否存在;（22）（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足24n n n S a n+=-⋅，其中n N *∈(Ⅰ)求数列{}n a 的通项n a ; (Ⅱ)求证:3121233n n a a a a S S S S ++++< ;(Ⅲ)设n T =32123n a a a a n++++,若不等式11(23)nk k kT n T λ+=<+∑对n N *∈恒成立，求整数λ的最小值.数学(理)参考答一、选择题：本题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分。

1—12 DBDDC CAAC B CA二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分。

13．—160 14．4 15．416．①②④三、解答题（17）解：（Ⅰ）由cos 10B =，1BC CA ⋅=知 A ，B 为锐角，C 为钝角，∴由cos 10B =sin 10B ==，又,53sin212cos 2=-=A A ∴sin cos 55A A ===cos cos[()]cos()C A B A B π=-+=-+cos cos sin sin A B A B =-+=5105102-+⋅=-0C π<< ，∴3.4C π=…………………………6分（Ⅱ）由1BC CA ⋅= 得cos()1ab C π-=，即cos 14ab π=，∴ab =，……8分sin 2C =由正弦定理Cc Bb Aa sin sin sin ==,.c ==………10分二方程相乘得25ab =，∴25c =，即c =.…………………………12分 （18）解：（Ⅰ）设事件A 为“选派的3名员工中，恰有1名有中级职称的员工且至多有1名高级职称员工”，则1211169639331818()C C C C C P A CC=+92734136=+63.136=所以符合选派条件的概率是63.136……6分（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3.336395(0),21C C P Cξ===12363915(1),28C C P Cξ===2136393(2),14C C P Cξ===33391(3),94C P Cξ===所以ξ的分布列为所以E ξ=0×521+1×1528+2×314+3×184=1.……………………12分（19）解: （Ⅰ）∵SA ⊥平面ABCD ，∴SA ⊥CD ，又CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面S AD ，CD ⊥EF ，又EF ⊥SD，∴EF ⊥平面SCD ，∴EF ⊥SD ；……………………4分（Ⅱ）过P 作PM ⊥AD,垂足为M,连ME,则有面面垂直性质得PM ⊥平面SAD ，且M 为AD 的中点，∴E M 是EP 在面SAD 上的射影，且EM ∥SD ，∴EM ⊥EF ，∴PEM ∠是二面角P EF D --的平面角, 2PM =,EM =,∴tan 2PEM ∠=即arctan2P E M ∠=;……………………8分(Ⅲ)连AC ，则P 为AC 中点，SC ∥EP ，SC ∥平面EFP , ∴Q ，A ，S ，C 到平面EFP 的距离相等，设为h ，1AEF S ∆=，2P M =，∴23A E F P P A E F V V --==，又1122P E F S E P E F ∆=⨯⨯=⨯=∴1233A E F P V h -=⨯=，∴3h =.……………………12分解法2：（Ⅰ）建立如图所示坐标系，则(0,0,4)S (0,0,0)A (4,0,0)B (4,4,0)C (0,4,0)D ，(0,0,2)E ，(2,2,0)P ，(0,1,3)F ，∴(0,1,1)EF = ，(4,4,4)SC =- ，∴(0,1,1)(4,4,4)0EF SC ∙=∙-=，∴EF ⊥SC; ……4分（Ⅱ）设平面EFP 的法向量为1(,,)n x y z = ，(2,2,2)EP =-，F P = 由11n E P n F P ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 得 1100n E P n F P ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，即(,,)(2,2,2)0(,,)(2,1,3)0x y z x y z ∙-=⎧⎨∙-=⎩ ，即2220230x y z x y z +-=⎧⎨+-=⎩，解得2x zy z =⎧⎨=-⎩，∴1(2,,)(2,1,1)n z z z z =-=-又平面SAD 的法向量为2(4,0,0)n =，设二面角P EF D --为α,则1212cos 3n n n n α∙===⋅，cos 3arc α=………8分(Ⅲ) 连AC ，则P 为AC 中点，SC ∥EP ，SC ∥平面EFP , ∴Q ，A ，S ，C 到平面EFP 的距离相等，设为h ，(2,2,0)PC =，113P C n h n ∙===.…………12分（20）解: （Ⅰ）由条件有21,42caa c ==解得2, 1.a c ==∴b ==,所以，所求椭圆的方程为22143xy+=;……………4分（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）直线l 的方程为y k x m =+,联立22143x yy kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得222(34)84(3)0k x km x m +++-=.由0∆>得 22430k m -+>,由根于系数的关系知122834km x x k-+=+，21224(3)34m x x k-=+,……………6分又C （-x 2，-y 2），从而12121212()2AC y y k x x mk x x x x +++==++122m k x x =++238(2)()344km k m kk-=+=-+,AC: 113()4y y x x k-=--,令0x =得1134x y y k=+,所以, 113(0,)4x N y k+………8分，M N 113()4x m y k=-+13()4k x k=+,∴212213134(3)()()242434MNCm S k x x k k k k∆-=+⋅=++232m k -= ,由已知得2322m k-=,即243k m =-,………10分，∴244k k >,解得1k >,或1k <-.………12分（21）解: (Ⅰ)由20a x x a +->-得 2a x a <<+，当1a =-时，1()ln 1x f x x-=+11()()ln ln ln 1011xxf x f x x x-++-=+==+-，所以， ()f x 为奇函数……3分当1a ≠-时， ()f x 为非奇偶函数……………4分(Ⅱ) (1)当函数()f x 具备奇偶性时 1()ln 1x f x x-=+,22213()ln 3132n nf n n n n +==++++ (3)ln(1)(2)n n n n +++,即213()ln()3112nn f n n n n +=⋅++++,∴2112()ln(1)ln 3311nk f k k n ==+-+++∑,又22ln(1)11n n +<++，ln 31-<-，∴21122()ln(1)ln 313111nk f k k n n ==+-<-++++∑,即2111()311nk n f k k n=-<+++∑.……………8分(2) 1()ln1x f x x-=+，'22()1f x x=--，设切点为(,)Q x y ，则1ln1x y x -=+，切线为22()1y y x x x-=---，由切线经过点得22(1)1y x x =---，即12ln11x x x -=-++22ln(1)11x x -=-++，22ln(1)011x x --+++，令()g x =22ln(1)11x x --+++11x -<< ），'222422()1(1)(1)(1)x g x xx x x --=--=-+-+由'()0g x ≥ 得 10x -<≤ ，∴()g x 的增区间为（—1，0），减区间为（0，1），m ax ()(0)230g x g ==-+，∴方程()0g x = 在(1,1)-上无实解，即符合条件的切线不存在.…………12分（22）解: (Ⅰ)当1n =时, 1143S a =-,即1143a a =-,解得11a =.当2n ≥时, 11141n n n S a n --+=-⋅-,∴1n n n a S S -=-2n n a n+=-⋅111n n a n -++⋅-,121(1)1n n n n a a n n -+++⋅=⋅- , 即12(1)11n n n n a a nn -++⋅=⋅-∴1211n n a a n n -⋅=⋅-,即1121n n a a n n -=⋅-,∴111()12n n a a n-=⋅,即11()()2n n a n n N -*=⋅∈……………5分(Ⅱ)由 11()2n n a n -=⋅得 114(2)()2n n S n -=-+⋅,nna S =111()214(2)()2n n n n --⋅-+⋅12(2)n nn +=-+11(2)122n n nn n n a +++++≤==,∴312123n n a a a a S S S S ++++ 231n n a a a a +<++++ 11n S a +=-14(3)()12n n =-+⋅-13(3)()32nn =-+⋅<;………9分(Ⅲ) 11(23)nk k kT n T λ+=<+∑1123nk i kT T n λ+=⇔<+∑,n T =32123n a a a a n++++121111111()()()2()2222n n --++++=- ,1k kT T +=1111112()21132111222222()2kk k k k k ++++---==+<+---,∴11113(1)2nnk k k i kT T ++==<+∑∑231333()222n n +=++++1333222n n n +=+-<+1(23)2n =+,∴111232nk i kT T n +=<+∑,所以,12λ≥,即λ的最小值是1. ……………14分。