运用三角函数解决与直角三角 形有关实际问题教案(石凯)

应用三角函数解决实际问题教案。

一.教学目标本节课的教学目标主要包括以下几个方面：1.掌握三角函数的基本概念、性质和定义，能够正确使用三角函数解决各种实际问题。

2.了解三角函数在各个领域中的应用，能够灵活运用三角函数解决与角度、长度、高度等相关的问题。

3.培养学生的思维能力和解决实际问题的能力，提升学生的数学素养和应用能力。

二.教学内容1.三角函数的定义和性质在本节课中，首先介绍三角函数的定义和性质。

三角函数主要包括正弦、余弦、正切和余切四个函数，分别用于描述角度、长度和高度之间的关系。

其中，正弦函数描述角度与对应的正弦值之间的关系，余弦函数描述角度与对应的余弦值之间的关系，正切函数描述角度与对应的正切值之间的关系，余切函数描述角度与对应的余切值之间的关系。

三角函数的定义和性质可以通过三角形的几何关系和许多重要的三角恒等式来描述。

2.应用三角函数解决角度问题接下来，对应用三角函数解决角度问题进行讲解。

在解决角度问题时，需要明确所求角度的类型（例如锐角、直角或钝角），并结合三角函数的定义和性质进行计算。

具体来说，可以利用反三角函数、余角公式、和差公式和倍角公式等数学方法进行求解。

3.应用三角函数解决长度/高度问题介绍应用三角函数解决长度/高度问题的方法。

在解决长度/高度问题时，需要确定所求长度/高度与角度之间的关系，并利用三角函数的定义和性质进行计算。

具体来说，可以利用正弦定理、余弦定理、正切定理和海伦公式等方法进行计算。

4.应用三角函数解决实际问题讲授如何应用三角函数解决实际问题。

所谓实际问题，通常指与人们的日常生活、工作和环境有关的问题。

例如，解决建筑物、桥梁、电线杆等高度和距离问题，以及计算太阳高度、水平角度等天文学问题等。

在解决实际问题时，需要将三角函数的相关概念和公式与实际情况相结合，确定所需的角度、长度或高度，并找到相应的三角函数公式进行计算。

三.教学方法为了使学生更好地理解和掌握三角函数的应用技巧，本课程主要采用如下教学方法：1.讲解与练习相结合。

《解直角三角形》教案一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。

（2）能够将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系，从而解决实际问题。

2、过程与方法目标（1）通过对解直角三角形的学习，培养学生分析问题和解决问题的能力。

（2）在探究解直角三角形的过程中，让学生经历观察、思考、交流等活动，提高学生的数学思维能力和创新能力。

3、情感态度与价值观目标（1）通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。

（2）培养学生的合作意识和团队精神，增强学生的自信心和成就感。

二、教学重难点1、教学重点（1）解直角三角形的概念和方法。

（2）运用解直角三角形的知识解决实际问题。

2、教学难点（1）将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系。

（2）选择合适的锐角三角函数来解决问题。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课通过展示一些与直角三角形相关的实际问题，如测量建筑物的高度、计算斜坡的长度等，引起学生的兴趣，从而引出本节课的主题——解直角三角形。

2、知识讲解（1）直角三角形的元素直角三角形有六个元素：三条边和三个角。

其中，斜边用 c 表示，两条直角边分别用 a 和 b 表示，两个锐角分别用∠A 和∠B 表示。

（2）直角三角形的边角关系①勾股定理：a²＋ b²＝ c²②锐角三角函数：sin A ＝ a/c，cos A ＝ b/c，tan A ＝ a/b（3）解直角三角形的概念由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

3、例题讲解例 1：在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，a ＝ 3，c ＝ 5，求∠A、∠B 和 b。

解：因为 sin A ＝ a/c ＝ 3/5，所以∠A ≈ 3687°因为∠A ＋∠B ＝ 90°，所以∠B ＝ 90°∠A ≈ 5313°根据勾股定理，b ＝√（c² a²) ＝√（5² 3²) ＝ 4例 2：如图，在△ABC 中，∠B ＝ 30°，∠C ＝ 45°，BC ＝ 10，求AB 和 AC 的长度。

解直角三角形及其应用教学设计概述：在数学课程中，直角三角形是一个重要而基础的概念。

学生在学习解直角三角形的过程中，需要掌握基本的三角函数概念以及运用它们解决实际问题的能力。

本教学设计将重点介绍解直角三角形的基本原理，并设计一系列活动和实践练习，以帮助学生更好地理解和应用这一概念。

一、知识导入与概念讲解1. 学生回顾勾股定理的概念和公式，并结合图形示例巩固直角三角形的定义。

2. 引入三角函数的定义和基本概念，例如正弦、余弦和正切等。

3. 讲解如何利用三角函数计算直角三角形中的边长和角度，以及如何应用这些概念解决实际问题。

二、教学活动1：三角函数表的练习1. 学生分组，每组一人做记录、一人抛掷骰子、一人查找三角函数表中对应角度的数值。

2. 抛掷骰子得到一个角度，记录在表格中，并从三角函数表中查找对应角度的正弦、余弦和正切值。

3. 学生相互核对答案，并进行讨论。

三、教学活动2：编写解三角形程序1. 学生使用计算机编程软件或手写程序，编写一个解直角三角形的程序。

2. 程序需要接受用户输入两个已知边长或一个已知边长和一个已知角度，然后计算出所有未知边长和角度。

3. 学生将程序运行并验证结果。

四、教学活动3：实际问题解决1. 学生小组讨论和解决一些实际问题，例如建筑物高度的测量、两个建筑物之间的距离计算等。

2. 学生使用三角函数和已知条件进行计算，并给出解决方案和结果。

五、教学活动4：解决三角形拼图问题1. 学生分组，每组分发一张三角形拼图，并按照给定条件解决问题，如求某一边长或角度的大小等。

2. 学生使用三角函数等知识分析拼图，并互相确认答案。

六、知识总结与延伸1. 教师与学生一起总结本节课学习的重要概念和技能。

2. 提供额外练习资料和习题，巩固学生对解直角三角形的理解。

3. 鼓励学生自主探索和研究其他类型的三角形，并运用三角函数解决相关问题。

七、教学反馈与评估1. 收集学生对本节课活动的反馈，并进行评估和总结。

课题28.2解直角三角形一、教学目标1、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．3、培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．二、教学重点、难点重点：解决有关坡度的实际问题．难点：理解坡度的有关术语．三、教学过程（一）复习引入1．讲评作业：将作业中学生普遍出现问题之处作一讲评．2．创设情境，导入新课．例同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．同学们因为你称他们为工程师而骄傲，满腔热情，但一见问题又手足失措，因为连题中的术语坡度、坡角等他们都不清楚．这时，教师应根据学生想学的心情，及时点拨．（二）教学互动通过前面例题的教学，学生已基本了解解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决．但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏，同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关键是使学生理解坡度与坡角的意义．1．坡度与坡角结合图6-34，教师讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。

即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？答：i＝hl＝tanα这一关系在实际问题中经常用到，教师不妨设置练习，加以巩固．练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；______，坡角α______度．为了加深对坡度与坡角的理解，培养学生空间想象力，教师还可以提问：(1)坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？举例说明．(2)坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，举例说明．答：(1)如图，铅直高度AB 一定，水平宽度BC 增加，α将变小，坡度减小，因为 tan α＝AB BC，AB 不变，tan α随BC 增大而减小 （2）与(1)相反，水平宽度BC 不变，α将随铅直高度增大而增大，tanα 也随之增大，因为tan α=BC AB不变时，tan α随AB 的增大而增大2．讲授新课引导学生回头分析引题，图中ABCD 是梯形，若BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，梯形就被分割成Rt △ABE ，矩形BEFC 和Rt △CFD ，AD=AE+EF+FD ，AE 、DF 可在△ABE 和△CDF 中通过坡度求出，EF=BC=6m ，从而求出AD ．以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯．坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生运算能力．解：作BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，∴AE=3BE=3×23=69(m)．FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．因为斜坡AB 的坡度i ＝tan α＝13≈0.3333， α≈18°26′答：斜坡AB 的坡角α约为18°26′，坝底宽AD 为132.5米，斜坡AB 的长约为72.7米．其实这是旧人教版的一个例题，由于新版里这样的内容和题目并不少，但是对于题目里用的术语新版少提，基于学生的接受情况应插讲这一内容。

解直角三角形的应用教案教案标题：解直角三角形的应用教学目标：1. 理解直角三角形的定义和性质。

2. 掌握解决直角三角形相关问题的方法和技巧。

3. 能够应用直角三角形的知识解决实际问题。

教学重点：1. 直角三角形的定义和性质。

2. 直角三角形的解题方法。

3. 直角三角形在实际问题中的应用。

教学难点：1. 将直角三角形的知识应用于实际问题的解决。

2. 理解并运用三角函数的概念和性质。

教学准备：1. 教材：包含直角三角形相关知识的教材。

2. 教具：直尺、量角器、计算器等。

3. 多媒体设备：投影仪、电脑等。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用多媒体设备展示一张直角三角形的图像，引发学生对直角三角形的认知和兴趣。

2. 提出问题：你知道直角三角形的定义和性质吗？请简单介绍一下。

3. 学生回答问题，教师适时给予引导和补充。

二、知识讲解（15分钟）1. 通过多媒体设备展示直角三角形的定义和性质，并解释其含义。

2. 介绍三角函数的概念和性质，如正弦、余弦和正切等。

3. 通过示例演示如何利用三角函数求解直角三角形的边长和角度。

三、例题演练（20分钟）1. 提供一些直角三角形的例题，要求学生利用所学知识求解。

2. 学生独立完成例题，教师巡回指导和解答疑惑。

3. 学生互相交流解题思路和方法，加深对知识的理解。

四、应用拓展（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生运用直角三角形的知识解决。

2. 学生独立或小组合作完成应用题，教师提供必要的指导和帮助。

3. 学生展示解题过程和结果，进行讨论和总结。

五、归纳总结（10分钟）1. 教师引导学生总结直角三角形的相关知识和解题方法。

2. 学生回答问题并进行讨论，教师进行点评和补充。

3. 教师给出解题技巧和注意事项，并提供相关练习题进行巩固。

六、作业布置（5分钟）1. 布置一些练习题，要求学生独立完成。

2. 强调作业的重要性，并提供解题思路和方法。

3. 确定下节课的教学内容和要求。

数学教案应用三角函数解决实际问题引言：数学教育一直被认为是培养学生逻辑思维和解决实际问题的重要途径之一。

在数学教学中，三角函数是一项重要的内容，也是数学在解决实际问题中应用最广泛的部分之一。

本文将探讨数学教案如何运用三角函数解决实际问题，并分析该方法对学生综合思维的培养和实际问题解决能力的提升。

一、三角函数的基本概念在介绍数学教案应用三角函数解决实际问题之前，我们首先需要了解三角函数的基本概念。

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们是角度的函数关系。

其中正弦函数表示对边与斜边的比值，余弦函数表示邻边与斜边的比值，正切函数表示对边与邻边的比值。

这些函数在几何图形中的应用非常广泛，可以帮助我们解决很多实际问题。

二、数学教案的设计为了将三角函数应用于实际问题中，教师可以设计一份详细的数学教案。

这份教案应该包括以下几个部分：问题引入、知识讲解、例题讲解、实际问题解决和讨论等。

1. 问题引入：教师可以选取一些与学生生活相关的实际问题，例如计算高楼上飞机的高度、测量山体的斜率等，引导学生思考这些问题如何用三角函数解决。

通过引入问题，可以激发学生对实际问题的兴趣，增强他们对数学教学的主动参与性。

2. 知识讲解：在教案的这一环节，教师应该对三角函数的基本概念和公式进行详细的讲解。

同时，教师还应该介绍一些相关的实际问题，并说明如何运用三角函数解决这些问题。

这样做可以帮助学生更好地理解三角函数的概念和应用方法。

3. 例题讲解：为了帮助学生更好地掌握三角函数的应用，教师可以选取一些具体的例题进行讲解。

这些例题应该涵盖不同难度级别的问题，从简单到复杂，从基本的正弦函数计算到较复杂的航空导航问题等。

通过讲解例题，学生可以更好地理解三角函数在实际问题中的应用。

4. 实际问题解决和讨论：在教案的最后一部分，教师可以提出一些实际问题，要求学生利用所学的三角函数知识，分析和解决这些问题。

教师可以引导学生从不同的角度思考问题，并鼓励他们运用数学知识解决问题的能力。

运用三角函数解决与直角三角形有关实际问题 导学案教学目标1、运用锐角三角函数，解决与直角三角形有关的实际问题。

2、通过运用直角三角形相关知识解决问题, 培养学生的综合运用知识解决问题的能力，体验运用数学知识解决一些简单的实际问题，培养学生用数学的意识。

教学重难点重点：从实际问题中提炼图形，将实际问题数学化，将抽象问题具体化。

难点：将实际问题转化为数学问题，选择合适关系式运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题。

教学过程 一、知识回顾（一）、在解直角三角形的过程中，一般要用到的一些关系： 1、三边之间的关系: 。

2、两锐角之间的关系:∠A+∠B= ° 3、边与锐角之间的关系： 正弦函数：=∠=斜边的对边A A sin余弦函数：=∠=斜边的邻边A A sin正切函数：=∠∠=的邻边的对边A A A tan（二）特殊三角函数值α 30° 45° 60° sin α cos α tan αACBcba1.(2011年铜仁21题10分)如图，在A岛周围25海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°方向，轮船继续前行20海里到达B处发现A岛在北偏东45°方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？（参考数据：）。

2.(2015年铜仁22题12分)如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（≈1.732）3.如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船32.713从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处.（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离(结果用根号表示)；（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间(结果精确到0.1小时).(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)4.(2018年铜仁20题10分)如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．求：改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（参考数据：=1.414，=1.732，=2.449）236三、扩展练习1、如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高 BC 是10米，距坡面底部 10 米处有一建筑物 HQ ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC 的倾斜角∠ BDC=30°，若新坡面下D 处与建筑物之间需留下至少 3 米宽的人行道， 问该建筑物是否需要拆除 （计算最后结果保留一位小数）。

《解直角三角形的应用》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解直角三角形中边、角之间的关系，并能运用勾股定理、锐角三角函数解直角三角形。

（2）学生能够将实际问题中的数量关系转化为解直角三角形的数学问题，并能进行求解。

2、过程与方法目标（1）通过实际问题的解决，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模的思想。

（2）经历观察、思考、交流等活动，提高学生的逻辑思维能力和数学应用能力。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

（2）培养学生的合作精神和创新意识，提高学生的数学素养。

二、教学重难点1、教学重点（1）解直角三角形的方法和步骤。

（2）将实际问题转化为解直角三角形的数学问题，并能正确选择合适的锐角三角函数求解。

2、教学难点（1）如何从实际问题中抽象出数学模型，准确找出直角三角形中的已知量和未知量。

（2）灵活运用解直角三角形的知识解决实际问题中的方向角、仰角、俯角等问题。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法、小组合作探究法四、教学过程1、导入新课通过展示一些与直角三角形相关的实际生活图片，如测量旗杆高度、计算山坡坡度等，引导学生思考如何利用数学知识解决这些实际问题，从而引出本节课的主题——解直角三角形的应用。

2、知识回顾（1）复习直角三角形的边角关系：勾股定理 a²＋ b²＝ c²（其中 a、b 为直角边，c 为斜边）；锐角三角函数：正弦 sinA ＝ a/c，余弦 cosA ＝ b/c，正切 tanA ＝ a/b（其中 A 为锐角）。

（2）复习解直角三角形的概念：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形。

3、新课讲授（1）例 1：如图，在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A ＝ 30°，AB ＝ 12，求 AC 和 BC 的长度。