二次函数与一元二次方程听课手册 (2)

二次函数与一元二次方程的关系课堂实录今天我们来讨论二次函数与一元二次方程之间的关系。

在课堂上，我们通过实际案例和图形的展示，深入了解了二次函数和一元二次方程之间的紧密联系。

本文将回顾课堂上的内容，并进一步探讨二次函数和一元二次方程的特点以及它们之间的转化关系。

一、二次函数与一元二次方程简介首先，让我们来回顾一下二次函数和一元二次方程的定义。

二次函数是形如f(x)=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

一元二次方程则是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c同样为常数且a≠0。

二、二次函数和一元二次方程的图像特点在课堂上，我们通过绘制二次函数和一元二次方程的图像，观察和比较它们的特点。

1. 二次函数的图像特点二次函数的图像是一个抛物线。

其中，抛物线的开口方向由二次函数的系数a决定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

抛物线的顶点是二次函数的最值点，它的横坐标为-x轴的对称轴。

2. 一元二次方程的图像特点一元二次方程的图像，即方程的解在坐标系中所对应的点的位置。

当一元二次方程有实数解时，对应的点位于抛物线与x轴相交的位置。

当一元二次方程没有实数解时，对应的点则在坐标系中不可见。

三、二次函数与一元二次方程的转化在课堂上，我们还学习了如何将二次函数转化为一元二次方程，以及如何根据一元二次方程绘制对应的二次函数图像。

1. 将二次函数转化为一元二次方程给定一个二次函数f(x)=ax^2+bx+c，我们可以将其转化为一元二次方程。

转化的思路是将f(x)置为0，即ax^2+bx+c=0，从而得到一元二次方程。

2. 根据一元二次方程绘制二次函数图像已知一个一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以根据方程的系数a、b、c来绘制对应的二次函数图像。

通过计算方程的零点，即方程的实数解，可以确定抛物线与x轴相交的位置。

进一步，可以绘制出完整的二次函数图像。

四、二次函数与一元二次方程之间的关系二次函数和一元二次方程之间存在着密切的关系。

二次函数与一元二次方程一、教学内容：二次函数与一元二次方程二、教学目标：知识与技能1．理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根；2．利用二次函数2的图形，观察对应一元二次方程20的根的情况。

情感态度与价值观1．通过经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2. 通过探索二次函数与一元二次方程的关系，使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性。

三、教学重点、难点：教学重点：1．体会方程与函数之间的联系。

2．能够利用二次函数的图象观察一元二次方程根的情况。

教学难点：1．探索方程与函数之间关系的过程。

2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。

四、教学方法：先学后教，合作探究。

五：教具、学具：课件六、教学过程：（一）回顾旧知1.如何用一次函数图象解相应的一元一次方程。

例如用21的图象解方程21=0,21=32、不解方程如何判断一元二次方程20的根的情况？（二）出示学习目标和自学指导学习目标：1.理解二次函数与一元二次方程根的关系；并能利用图像法求一元二次方程的解.2.利用二次函数2的图象观察对应一元二次方程20的根的情况.自学指导：认真阅读课本4345页的内容思考1.“问题”里两个云图的问题体会二次函数与一元二次方程的关系；2.看完“思考”想想如何由一元二次方程的根情况确定相应二次函数的图像与x轴的位置关系。

（三）自学检测1.观察下列图象，分别说出一元二次方程x2-69=0和x2-23=0的根的情况.2.根据一元二次方程x2-4=0 的根的情况，判断二次函数2-4 图象与x轴交点坐标是什么？3.归纳总结4.课堂练习1 、抛物线0.5x23与x轴的交点情况是（）A 两个交点B 一个交点C 没有交点D 画出图象后才能说明2.抛物线2-44与X轴有个交点，坐标是3、不画图象，求抛物线2-34与x轴的交点是与y轴交点坐标是。

科目数学课题二次函数与一元二次方程的关系授课教师班级听课时间2019年月日第节听课人向中伟教学内容一、情境导入，初步认识1.一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是二次函数y=ax2+bx+c,当 y=0 时，自变量x的值，它是二次函数的图象与x轴交点的横坐标 .学生回答,教师点评二、思考探究，获取新知探究1求抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点例1 求抛物线y=x2-2x-3与x轴交点的横坐标.探究2抛物线与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系思考：（1）你能说出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点个数的情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数有何关系？(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数由什么来判断？探究3 利用函数图象求一元二次方程的近似根提出问题：同学们可以估算下一元二次方程x2-2x-2=0的两根是什么？三、运用新知，深化理解1.（广东中山中考）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有两个同号的实数根D.没有实数根四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?1.教材P28第1~3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.评价及建议科目数学课题等腰三角形授课教师李琼芳班级132听课时间2019年11月12日第1 节听课人向中伟教学内容一、回顾.提问：轴对称图形的定义、垂直平分线的定义、性质、判定.二、新授课1、请同学们翻开课本P75，完成课本上的探究.1）检查同学们的完成情况；2）教师口头讲解探究过程；3）提问：折完后，可以得到哪些信息？（如图1）得到：△AB D≌△ACDAB=CD∠B=∠CBD=CD∠1=∠2∠ADB=∠ADC=90°最终引出等腰三角形“三线合一”的性质.板书：性质1：等边对等角性质2：三线合一强调“三线合一”的“三线”是顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高.举反例：折底角的角分线，说明等腰三角形其他边上的三线不重合.4）证明性质1.教师引导学生写出已知、求证后，学生分组分别添加三种辅助线来证明性质1.三位学生上台板书，教师简单点评，重点讲解添加高线的证明方法.5）证明性质2.教师口述证明过程.三、例题讲解已知：如图2,在△ABC中，AB=AC，A D⊥BC于点D求证：BE=CE利用性质2的证明步骤.四、作业布置评价及建议一、课本的探究简单易行，课堂上探究部分主要由学生完成，充分发挥了学生的主动性.利用轴对称、全等的知识顺理成章完成等腰三角形性质的探究，完成了知识的过渡，也让学生认识到轴对称是一个很有效的研究工具.二、由学生根据所折图形得到的信息，引出等腰三角形“三线合一”的性质，这一过程自然连贯，学生容易接受.同时，所举的反例十分直观，加深了学生对等腰三角形这一性质的理解.三、性质1的证明过程中，三种添加辅助线的方法均有涉及，重点讲解添加高线的方法，详略得当.四、性质2的证明可以认为是性质1证明的延续，不是本节课的重点.本堂课对这部分内容采取简单口头讲解的方式，既节省了时间，又避免了重复.图1。

完整版)初中数学听课记录(二) 听课记录科目：数学班级：课题：二次函数与一元二次方程的关系授课教师：向XXX听课人：日期：2019年。

月日第。

节一、情境导入，初步认识教师介绍一元二次方程ax+bx+c=0的实数根与二次函数y=ax+bx+c的关系，即二次函数的图像与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的实数根。

学生回答后，教师进行点评。

二、思考探究，获取新知1.求抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点例1：求抛物线y=x²-2x-3与x轴交点的横坐标。

2.抛物线与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系思考：1) 你能说出函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点个数的情况吗？猜想交点个数和方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的个数有何关系？2) 一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的个数由什么来判断？3.利用函数图象求一元二次方程的近似根提出问题：同学们可以估算一元二次方程x²-2x-2=0的两根是什么？三、运用新知，深化理解教师出一道广东中山中考题：已知抛物线y=ax²+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax²+bx+c=0的根的情况是（）A。

有两个不相等的实数根B。

有两个相等的实数根C。

有两个同号的实数根D。

没有实数根四、师生互动，课堂小结1.学生总结本节课学到的知识，提出疑惑。

2.完成同步练册中本课时的练。

评价及建议：无。

听课记录科目：数学班级：课题：分式的乘除授课教师：向XXX听课人：日期：2019年。

月日第。

节一、课堂引入教师出两道计算题，让学生进行计算。

1.y÷x·(-y)÷(2x)2.3x÷(-3x)·(-1)÷(xy)二、例题讲解例4：计算3ab/(28xy-4b)补充例：计算(3/2)·(-2)/(2xy·9ab·(-4b))三、随堂练计算：3b²bc²a/(5c²·20c³)÷62/(-2)·(-2)/(24)÷(-6abc)÷1 四、课后练计算：a²-6a+9/(3-a)·a/(2x²y)评价及建议：文章中存在格式错误，需要进行修正。

第 10 讲二次函数与一元二次方程概述适用学科 初中数学适用年级初中三年级适用区域 北师版区域课时时长（分钟） 120知识点1. 二次函数与一元二次方程 2. 二次函数与不等式 3. 二次函数与方程和不等式综合1.掌握二次函数与一元二次方程的联系教学目标 2.掌握二次函数与不等式的联系3.掌握利用函数图像解决实际问题教学重点 能熟练掌握二次函数与一元二次方程的联系教学难点 能熟练掌握二次函数与一元二次方程的联系【教学建议】 本节课的内容在二次函数中占有着重要的地位，也是中考中的必考内容。

函数是方程和不等式的高级形式，借助图象，可以用函数的观点去统领一元二次方程和一元二次不等式，在实际问题中有着重要的应 用。

在教学中要让学生充分体会到处理函数问题的方法：“胸中有图，见数想图”。

学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难：1. 二次函数与 x 轴的交点的横坐标就是对应一元二次方程的根； 2. 由图象判别函数值的情况。

x 3.对 a 2 bx c h 的不同理解方式。

【知识导图】二次 函数与 一元二 次方程二次函数与一元二次方程二次 函数与 不等式二次 函数与 方程和 不等式 综合教学过程一、导入【教学建议】 二次函数是中考数学中最重要的内容之一，对于学生来说也是最难的内容。

属于中考数学的必考内容，函 数是方程和不等式的高级形式，本节课主要是用函数的观点去统领对应的一元二次方程和一元二次不等 式，可以全面考察学生的读图识图能力，在中考数学试卷中，也是必考题，一般不单独设题，常与其它知 识融合在一起考。

二、知识讲解知识点 1 二次函数与一元二次方程二次函数 y=ax2+bx+c 与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的关系. （1）一般地，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点的横坐标就是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根；当二次 函数 y=ax2+bx+c 的函数值为 0 时，相应的自变量的值即是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根；（2）若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点坐标分别为( x1, 0 )，(x2,0) ，那么对应方程 ax2+bx+c=0 的两个根即为x1 ,x2，结合一元二次方程根与系数关系可知x1x2b a,x1x2c a（3）二次函数与 x 轴的交点情况和一元二次方程根的情况的关系具体见下表：a＞0二次函数 y=ax2+bx+c 与 x轴交点情况两个交点一个交点 a＜0没有交点两个交点一个交点没有交点b2 4ac 的值 一元二次方程ax2+ bx+c=0 根的情况b2 4ac 0有两个不相等的实根b2 4ac 0有两个相等的实根b2 4ac 0没有实根知识点 2 二次函数与不等式二次函数与一元二次不等式解集的关系 （1）从“形”的方面看二次函数 y=ax2+bx+c 在 x 轴上方的图象上的点的横坐标，即为 ax2+bx+c>0 的解集， 在 x 轴下方的图象上的点的横坐标，即为 ax2+bx+c>0 的解集；从“数”的方面看，当二次函数 y=ax2+bx+c 的 函数值大于 0 时，相应的自变量的值即为不等式 ax2+bx+c>0 的解集，当二次函数 y=ax2+bx+c 的函数值小于 0 时，相应的自变量的值即为不等式 ax2+bx+c<0 的解集。

二次函数与一元二次方程（二）教学目标：知识与技能1．巩固理解二次函数图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax 2+bx+c=0的根；2．巩固理解一元二次方程ax 2+bx+c=h 的根就是二次函数y=ax 2+bx+c 与直线y=h （h 是实数）图象交点的横坐标．过程与方法1．经历一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的近似值的探索得到的过程； 2．经历一元二次方程ax 2+bx+c=h 的根的近似值的探索得到的过程。

情感态度与价值观1．通过对一元二次方程根的近似值探索过程，进一步体会二次函数与方程之间的联系． 重点难点 用图像法探索一元二次方程的根 教学过程仔细观察、大胆联想问题：函数y = ax 2 +bx +c 的图象如下图所示， x=31 为该图象的对称轴，根据图象信息你能得到关于系数a ，b ，c 的一些什么结论？分析点拨：⑴ a ＞0⑵ -1＜c ＜0⑶ b 2-4ac ＞0;⑷ ∵x= 31, ∴2a=-3b; ⑸ 由⑴，(4)得b ＜0⑹ 由⑴,⑵,⑸得 abc ＞0;⑺ 考虑x = 1时y ＜0，所以有a+b+c ＜0⑻ 又x = -1 时 y ＞0，所以有a-b+c ＞0;⑼ 考虑顶点的纵坐标，有0＜c-ab42＜-1。

课前练习1. 抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过点（0，0）与（12，0），最高点纵坐标是3，求这条抛物线的表达式___________________ .2．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过象限．3. 在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y （m ）与飞行时间x （s ）的关系满足y=－x 2＋10x ．（1）经过_____时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是_____？（2）经过_____秒，炮弹落在地上爆炸？4.一元二次方程ax 2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象抛物线与直线________交点的________坐标。

22。

2 二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程教学目标1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.2.经历用图像法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验与方法.3.理解二次函数的图象和与横轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程何时有两个不等实根、两个相等实根和没有实根。

4.进一步发展学生的估算能力,体会数形结合思想。

教学重难点理解一元二次方程与函数的关系。

教学过程与方法1。

自主阅读课本（10分钟）2。

交流互动(10分钟)知识点一：二次函数与一元二次方程之间的关系知识点二：抛物线与x轴的交点个数同一元二次方程的根的情况之间的关系抛物线y=ax2+bx+c（a≠0)与x轴的位置关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况b2—4ac的值有两个公共点有两个不相等的实数根b2-4ac〉0只有一个公共点有两个相等的实数根b2—4ac=0无公共点无实数根b2—4ac<0知识点三:求方程的近似解3.课堂练习(11分钟）习题22.2第2题（1)、(2).4.拓展性练习（11分钟)（1）已知二次函数y=—x2+4x+k的部分图象如图所示，则关于x的方程-x2+4x+k=0的两根为x1=—1,x2=5 。

（2）抛物线y=—x2+2kx+2与x轴交点的个数为（ C )A.0B.1C。

2 D.以上都不对（3）下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据，x1是方程a x2+bx+c=0的一个解，则x 1.61。

8 2.0 2.22。

4 y-0。

80—0。

54-0.200。

220。

72A。

1.6<x1〈1。

8 B。

1。

8<x1〈2。

0C。

2。

0<x1<2.2 D.2.2〈x1<2.4(4）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c-3=0的根的情况是（ C )A.有两个不相等的正实数根B。

《二次函数与一元二次方程》评课稿
授课人
评课人
《二次函数与一元二次方程》评课稿
聆听了周老师的课。

下面就周老师执教的《二次函数与一元二次方程》这一课谈谈自己的看法。

周老师这堂课紧凑有序，首先设置实际问题投掷铅球为引入课题，随后引导学生读题、审题，代入数值算出各题结果，再次体会解决实际问题的基本步骤。

周老师引导学生思考这个问题，解一元二次方程能得到两个结果，但是一般情况下我们要舍去一个根。

周老师引导学生及时归纳总结，对新知识进行巩固记忆，本节课使用对比学习方法，对比一次函数与一元一次方程的关系学习二次函数与二元一次方程。

具体措施是：先研究二次函数与x轴的交点问题，为了进一步学习二次函数与二元一次方程，然后再探究学习二次函数与不等式的关系，再次学习二次函数，最后夯实知识点。

当然，数学是一门逻辑性较强的科目，任何好的理念和设计在实际的教学过程中总会留下一些遗憾：遗憾的是，学生对于二次函数与x轴有几个交点问题产生疑惑，不能理解交点个数与性质间的关系。

2.函数y＝x2＋2x与一元二次方程x2＋2x＝0有怎样的关系？（1）．从关系式看二次函数y＝x2＋2x成为一元二次方程x2＋2x＝0的条件是什么？（2）．反应在图像上：观察二次函数y＝x2＋2x的图像，你能确定一元二次方程x2＋2x＝0的根吗？方法探索二次函数y＝x2－2x＋2与一元二次方程x2－2x＋1＝0有怎样的关系？二次函数y＝x2－2x＋2与一元二次方程x2－2x＋1＝0有怎样的关系？一般地，如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有两个公共点（x1，0）、(x2，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x＝x1、x＝x2，反过来也成立．（1）观察二次函数图像与x轴的公共点的个数；（2）判断函数值为0时一元二次方程根的情况；（3）你能找到它们之间的联系吗？1．不画图像，你能判断函数的图像y＝x2＋6x－6与x轴是否有公共点吗？请说明理由．2．已知二次函数y＝x2－4x＋k＋2与x轴有公共点，求k的取值范围．3．打高尔夫球时，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度y（单位：米）与飞行距离x（单位：百米）之间具有关系：y＝－5x2＋20x，想一想：球的飞行高度能否达到40m？四．课堂小结1．一元二次方程的两个根即二次函数图像与x轴两个交点的横坐标，因此方程的根的情况决定着有无交点及交点的个数．2．“给定函数值求自变量问题”转化为“解方程的课外作业：布置作业板书设计教后札记课时NO: 主备人： 审核人 用案时间： 年 月 日 星期 教学课题5.4 二次函数与一元二次方程（2）教学目标1．能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根，进一步发展估算能力；2．经历用图像法求一元二次方程的近似根的过程，进一步体会数形结合思想； 3．通过利用二次函数的图像估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图像与x 轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力．教学重点 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系过程，体会方程与函数之间的联系； 2．能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根． 教学难点 利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根．教学方法教具准备教 学 过 程个案补充一．情景创设回忆：函数322--=x x y 的图 像如图1所示，你能看出方程0322=--x x 的解吗？创设：函数122--=x x y 的图 像如图2所示，你能看出方程0122=--x x 的解吗？二．探究交流从图像上来看，二次函数122--=x x y 的图像与x 轴交点的横坐标一个在－1与0之间，另一个在2与3之间，所以方程0122=--x x 的两个根一个在－1与0之间，另一个在2与3之间．这只是大概范围，究竟接近于哪一个数呢？请大家讨论解决．如右边表格所示，当我们算到－0.5时，还需要算吗？为什图2图1么？因为从图像的走势来看，继续往左取自变量的值，所得的函数值将越来越大，所以我们可以判定这个根一定在－0.4与－0.5之间，那会是多少呢？我们在取值时能不能较快地找到接近它的近似值呢？我们可以取它们中间的值，再看它们的正负情况，它们的根一定在函数值的正负交替之间，这样我们就能较快缩小它的范围了．比如：再进一步取值：则x≈－0.4以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值范围．你能用同样的方法求方程的另一个根吗？试试看！再进一步取值：以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值范围．。

2.5二次函数与一元二次方程第2课时教学目标1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系2、经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验3、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根4、理解一元二次方程的根就是二次函数与交点的横坐标，能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根，进一步发展估算能力教学重难点【教学重点】理解一元二次方程的根就是二次函数与交点的横坐标【教学难点】利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根课前准备课件教学过程教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题我们知道，二次函数与一元二次方程有一定的相似之处，它们的表达式基本相同.其实，二次函数中的y值为零时，那么就会变成一元二次方程.这节课，我们来研究它们之间的关系.二、师生共同研究形成概念1、书本引例利用竖直上抛小球问题，引出二次函数与一元二次方程的关系.可由学生用自己的语言表达它们之间有什么关系.2、二次函数与一元二次方程的关系☆议一议书本P 53 议一议理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点坐标有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y 时自变量x 的值，即一元二次方程02=++c bx ax 的根.3、 用逐渐迫近的方法求一元二次方程的近似根☆ 想一想 书本 估算方程的根要让学生理解一元二次方程的根就是二次函数与交点的横坐标，能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根，进一步发展估算能力.三、 随堂练习1、 书本 随堂练习2、 《练习册》四、 小结二次函数与一元二次方程的关系.五、 作业书本习题2.11 1。

22.2 二次函数与一元二次方程教学目标知识与技能1．总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.过程与方法经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．情感态度价值观通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想．教学重点和难点重点:方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.难点:二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.教学过程设计（一）问题的提出与解决问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t—5t2考虑以下问题（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2.所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.解：（1）解方程 15＝20t—5t2. t2—4t＋3=0. t1＝1,t2＝3.当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.（2）解方程 20＝20t－5t2. t2－4t＋4＝0. t1＝t2＝2.当球飞行2s时，它的高度为20m.（3）解方程 20.5＝20t－5t2. t2－4t＋4.1＝0因为（－4）2－4×4.1<0.所以方程无解.球的飞行高度达不到20.5m.（4）解方程 0＝20t－5t2. t2－4t＝0. t1＝0,t2＝4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出.4s时球落回地面播放课件：函数的图像，画出二次函数h=20t－5t2的图象，观察图象，体会以上问题的答案.从上面可以看出.二次函数与一元二次方程关系密切.由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？例如：已知二次函数y＝－x2＋4x的值为3.求自变量x的值.可以解一元二次方程－x2＋4x＝3（即x2－4x＋3＝0） .反过来，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函数y＝x2－4＋3的值为0，求自变量x的值.一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.（二）问题的讨论二次函数（1）y＝x2＋x－2；（2） y＝x2－6x＋9；（3） y＝x2－x＋0.的图象如图26.2－2所示.（1）以上二次函数的图象与x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当x 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？先画出以上二次函数的图象，由图像学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题. 可播放课件：函数的图像，输入a,b,c 的值，划出对应的函数的图像，观察图像，说出函数对应方程的解.可以看出：（1）抛物线y ＝x 2＋x －2与x 轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1.当x 取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x 2＋x －2=0的根是－2,1.（2）抛物线y ＝x 2－6x ＋9与x 轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x ＝3时，函数的值是0.由此得出方程x 2－6x ＋9=0有两个相等的实数根3.（3）抛物线y ＝x 2－x ＋1与x 轴没有公共点， 由此可知，方程x 2－x ＋1=0没有实数根.总结：一般地，如果二次函数y=2ax bx c ++的图像与x 轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程2ax bx c ++=0的根.（三）归纳一般地，从二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，（1）如果抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x 0，那么当x ＝x 0时，函数的值是0，因此x ＝x 0就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根.（2）二次函数的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.（四）例题例利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）.解：作y＝x2－2x－2的图象（图26.2－3），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7,2.7.所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7,x2≈2.7.播放课件：函数的图象与求解一元二次方程的解，前一个课件用来画图，可根据图像估计出方程x2－2x－2＝0实数根的近似解，后一个课件可以准确的求出方程的解，体会其中的差异.（五）小结总结本节的知识点.（六）作业:（七）板书设计二次函数与一元二次方程抛物线y＝ax2＋bx＋c与方程a x2＋bx＋c=0的解之间的关系例题。