2018届高中数学苏教版 正弦定理和余弦定理 单元测试 Word版 含答案

高中数学必修5：正弦定理与余弦定理知识点及经典例题(含答案)
正弦定理、余弦定理和射影定理可以帮助我们计算三角形的边长和角度。

其中，正弦定理表达了三角形边长和角度之间的关系，余弦定理则是通过两条边和它们之间的夹角计算第三条边的长度。

射影定理则是利用三角形中某个角的正弦值或余弦值来计算三角形中某条边的长度。

二、面积公式可以用来计算三角形的面积，其中a、b、c 分别为三角形的三条边，而对应的角度则可以通过正弦定理或余弦定理来计算。

三、在解题时，需要根据题目给出的条件选择合适的定理进行计算。

同时，需要注意计算过程中的精度和单位。

学前诊断】
1.在△ABC中，若C=90，a=6，B=30，则c-b等于1.
2.在△ABC中，若b=2asinB，则A等于30或60.
3.在△ABC中，c-a=b-ba，且∠C=90.
经典例题】
例1.在△ABC中，若∠A=45°，a=2，c=6，则∠B=45°，b=4.
例2.已知△ABC满足条件acosA=bcosB，可以判断
△ABC是等腰三角形。

例3.在△ABC中，已知b+c=6，求a的值。

根据余弦定理可得a²=(b+c)²-4bc，代入数据得a=2.
本课总结】
本课介绍了三角形中的正弦定理、余弦定理、射影定理和面积公式，这些定理可以帮助我们计算三角形的边长、角度和面积。

在解题时，需要根据题目给出的条件选择合适的定理进行计算。

第04讲正弦定理和余弦定理(精练）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第04讲正弦定理和余弦定理(精练）一、单选题（2022·全国·高三专题练习）1．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222a b c +<，则ABC 是（）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形（2022·江苏·高一课时练习）2．已知正三角形的边长为2，则该三角形的面积（）A ．4BC D ．1（2022·江苏·高一课时练习）3．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，45,30,6A C c === ，则a 等于()A ．B ．C ．D ．（2022·河南·高二阶段练习（文））4．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=︒，2AB =，5CD =，6BC =，则CAD ∠=（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒（2022·江苏·南京市第九中学高一期中）5．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成一个大的正方形．某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若BD ＝1，且三个全等三角形的面积和与小正三角形的面积之比为94，则△ABC 的面积为（）A ．94B C ．134D ．4（2022·江苏·盐城市伍佑中学高一期中）6．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin cos c A C =，c =，18ab =，则a b +的值是（）A ．B ．C ．9D ．11（2022·重庆八中高一期中）7．如图，四边形ABCD 四点共圆，其中BD 为直径，4AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，则ACD 的面积为（）A ．6B ．2C ．6D ．6（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）8．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯ ．可知a b ⨯是一个向量，它的模为||||||sin a b a b θ⨯=⋅．已知在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,3a b c A π=，)22||896BA BC b a ⨯=- ，则cos B =（）A B ．C ．7-D 二、多选题（2022·山东淄博·高一期中）9．在ABC 中，如下判断正确的是（）A ．若sin 2sin 2AB =，则ABC 为等腰三角形B ．若A B >，则sin sin A B >C ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B >D ．若sin sin A B >，则A B>10．在ABC 中，内角、、A B C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（）A ．sin sin sin +=+a b cA B CB ．若A B >，则sin 2sin 2A B >C ．cos cos c a B b A =+D ．若0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 为等边三角形（2022·山东菏泽·高一期中）11．在ABC 中，D 在线段AB 上，且AD ＝5，BD ＝3，若CB ＝2CD，cos CDB ∠=则（）A．sin CDB ∠B ．△DBC 的面积为3C ．ABC的周长为8+D ．ABC 为钝角三角形三、填空题（2022·江西·上高二中高二阶段练习（文））12．已知ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为边BC 上一点，且AD 为BAC ∠的角平分线，若3BAC π∠=，AD =，则4b c +最小值为___________.（2022·全国·高三专题练习）13．一艘渔船航行到A 处看灯塔B 在A 的北偏东75°，距离为C 在A 的北偏西45°，距离为海里，该船由A 沿正北方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏东45°方向，则CD =______海里.四、解答题（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）14．如图，在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2cos 2b A c a =-.(1)求角B ；(2)若2sin sinC sin A B ⋅=，2AD CD ==，求四边形ABCD 面积的最大值.（2022·宁夏·平罗中学三模（文））15．已知函数()f x m n =⋅ ，向量()sin cos n x x x =+ ，()cos sin ,2sin m x x x =- ，在锐角ABC 中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(1)若()1f A =，求角A 的大小；(2)在（1）的条件下，a cb +的最大值.（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））16．在锐角ABC 中，角,,A B C所对的边分别为,,,4,sin 4a b c a b A ===.(1)求sin C 的值；(2)点,D E 分别在边,AB AC 上，ABC 的面积是ADE V 面积的2倍.求DE 的最小值.参考答案：1．D【分析】根据余弦定理，得到cos 0C <，求得(,)2C ππ∈，即可求解.【详解】因为222a b c +<，由余弦定理可得222cos 02a b c C ab+-=<，又由(0,)C π∈，所以(,)2C ππ∈，所以ABC 是钝角三角形.故选：D.2．B【分析】由三角形面积公式可求出.【详解】根据三角形面积公式可得该三角形的面积为122sin 602⨯⨯⨯︒=故选：B.3．B【分析】根据正弦定理即可求解﹒【详解】由正弦定理得sin sin a c A C ＝，∴66sin4521sin302a＝＝＝故选：B ﹒4．B【分析】先求出22,AC AD ,再利用余弦定理求解.【详解】因为2226240AC =+=，2226(52)45AD =+-=，在ACD 中，由余弦定理得222cos 22AD AC CD CAD AD AC +-∠==⋅，又因为0180CAD ︒<∠<︒，所以45CAD ∠=︒.故选：B.5．D【分析】设小正三角形边长为x ，由面积比求得x ，再计算出小正三角形面积可得大正三角形面积．【详解】设DE x =，则211sin 1(1)sin12013224ABD DEFBD AD ADB x S x S x ⋅∠⨯⨯+︒+==!!，解得2x =（23-舍去），所以224DEF S ==!，94ABCS ==!故选：D ．6．C【分析】由条件sin cos c A C =结合正弦定理可求C ，再结合余弦定理求a b +.【详解】∵sin cos c A C =，∴sin sin cos C A A C =，又(0,)A π∈，sin 0A ≠，∴tan C =(0,)C π∈，∴3C π=，又2222cos c a b ab C =+-，c =18ab =，∴222718a b =+-，∴222()281a b a b ab +=++=，∴9a b +=，故选：C.7．C【分析】先在ABC 利用余弦定理求出边AC ，再利用正弦定理求出直径BD ，进而利用直角三角形求出AD 、CD ，再利用三角形的面积公式进行求解.【详解】在ABC 中，因为4AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，所以由余弦定理，得AC =由正弦定理，得=sin sin 603AC BD ABC ==∠；在Rt △ABD 和Rt BCD中，3AD ===3CD ===，又180120ADC ABC ∠=-∠= ，所以ACD 的面积为123326S =⨯⨯⨯=.故选：C.8．B【分析】根据新定义及三角的面积公式可化为()22182129sin b a bc A -=，再由余弦定理转化为关于,b c 的方程，得出3b c =，再由余弦定理求出cos B 即可.【详解】因为()22||896BA BC b a ⨯=-，所以)221sin 289ac b a B -=,即)2289△ABC S b a -=,)221829sin b a A -=,由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，即222a b c bc =+-，代入上式得，22289()b b c bc ⎤-+-=⎦，化简得22690-+=b bc c ，即2(3)0-=b c ，3b c ∴=，此时.a ==22214cos 2a c b B ac +-∴-==.故选：B 9．BCD【分析】选项A.由题意可得22A B =或22A B π+=，从而可判断；选项B.若A B >,则a b >，由正弦定理可判断；选项C.若ABC 为锐角三角形，则2A B π+>，即所以022A B ππ>>->，由正弦函数的单调性可判断；选项D.在ABC 中,若sin sin A B >，由正弦定理可得22a bR R>，从而可判断.【详解】选项A.在ABC 中,若sin 2sin 2A B =,则22A B =或22A B π+=所以A B =或2A B π+=，所以ABC 为等腰或直角三角形.故A 不正确.选项B.在ABC 中,若A B >,则a b >，由正弦定理可得2sin 2sin R A R B >,即sin sin A B >，故B 正确.选项C.若ABC 为锐角三角形，则2A B π+>所以022A B ππ>>->，所以sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭,故C 正确.选项D.在ABC 中,若sin sin A B >，由正弦定理可得22a bR R>，即a b >，所以A B >，故D 正确.故选：BCD 10．ACD【解析】利用正弦定理以及边角互化可判断A 、B 、C ，利用向量数量积可判断D.【详解】对于A ，由sin sin sin sin sin a b c b cA B C B C+===+，故A 正确；对于B ，若A B >，当120A =o ，30B = 时，则sin 2sin 2A B <，故B 不正确；对于C ，()cos cos sin sin cos sin cos sin sin c a B b A C A B B A A B C =+⇒=+=+=，故C 正确；对于D ，由0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，可得BAC ∠的角平分线与BC 垂直，所以ABC 为等腰三角形又12AB AC AB AC ⋅=，可得3BAC π∠=，所以ABC 为等边三角形，故D 正确；故选：ACD 11．ABD【分析】由同角的三角函数关系即可判断A ，设CD a =，利用余弦定理及面积公式即可判断B ，利用余弦定理求得AC ，进而判断C ，利用余弦定理可判断D.【详解】因为cos CDB ∠=sin CDB ∠，故A 正确；设CD a =，则2BC a =，在BCD △中，2222cos BC CD BD BD CD CDB =+-⋅⋅∠，解得a =，所以112sin 33225DBC S BD CD CDB =⋅⋅∠=⨯⨯= ，故B 正确；因为ADC CDB π∠=-∠，所以()cos cos cos 5ADC CDB CDB π∠=-∠=-∠=,在ADC △中,2222cos AC AD CD AD DC ADC =+-⋅⋅∠，解得AC =所以ABC 的周长为()3584AB AC BC ++=+++，故C 错误；因为8AB =为最大边，所以2223cos 025BC AC AB C BC AC +-==-<⋅，即C 为钝角，所以ABC 为钝角三角形，故D 正确.故选：ABD.12．9【分析】第一步利用等面积法求出,b c 的关系式，再利用基本不等式求解即可.【详解】由题意画图如下：因为AD 为BAC ∠的角平分线，3BAC π∠=，ABC ABD ADC S S S =+ 所以111sin 60sin 30sin 30222AB AC AB AD AD AC ⋅︒=⋅︒+⋅︒化简得11111,,1222c c b bc b c b c⋅==++=利用基本不等式“1的代换”得()()1145+449154b c b c b c c b b c b c ⎛⎫++=+⨯=+=+≥+ ⎪⎝⎭故答案为：9.13．【分析】利用方位角求出B 的大小，利用正弦定理直接求解AD 的距离，直接利用余弦定理求出CD 的距离即可．【详解】如图，在△ABD 中，因为在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°的方向上，距离为海里，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在南偏东45°方向上，所以B ＝180°−75°−45°＝60°由正弦定理sin sin AD ABB ADB=∠，所以sin 6s in AB BAD ADB==∠海里；在△ACD 中，AD ＝6，AC＝CAD ＝45°，由余弦定理可得：(222222cos 4563263182CD AD AC AD AC ︒=+-⋅⋅=+-⨯⨯=，所以CD＝故答案为：14．(1)π3B =(2)【分析】（1）根据正弦定理化边为角，然后利用两角和的正弦公式即可求解.（2）由余弦定理得到ABC 为等边三角形，在ADC △中，利用余弦定理表达出2=88cos x θ-，然后根据三角形面积公式即可求解.（1）由正弦定理得：2sin cos 2sin sin B A=C A ⋅-,所以()2sin cos sin 2sin 2sin cos 2cos sin B A+A=A B A B A B⋅+=+即sin 2sin cos A=A B⋅()10,π,sin 0cos 2A AB ∈∴≠⇒= ,()π0,π3B B ∈∴=（2）由2sin sin sin A C =B ⋅2b =ac∴由余弦定理得222222222cos b a c ac B a c ac a c b =+-=+-=+-，222+2a c =b ∴()222222+2+20a c =a c ac =a cb =∴---a c∴=ABC ∴ 为等边三角形，设=AC =x ADC θ∠，，在ADC △中，24+4cos 222x =θ-⨯⨯，解得2=88cos x θ-2++2sin 88cos +2sin ABC ACD ABCD S =S S ==θθθ- 四边形）π4sin3=θ-（）当ππ=32θ-，即5π6=θ时，S 有最大值15．(1)3A π=(2)【分析】（1）利用平面向量数量积运算法则和恒等变换公式化简函数()f x 的解析式，然后求解即可，要注意角A 的取值范围；（2）利用余弦定理和基本不等式求解即可.（1）由题()22cos sin cos 2sin 26f x m n x x x x x π⎛⎫=⋅=-+=+ ⎪⎝⎭所以()2sin 216f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭又因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5266A ππ+=，3A π=.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入数据得：223b c bc =+-，整理得到()()()2222133324b c b c bc b c b c 骣+琪=+-³+-´=+琪桫解得b c +≤b c ==等号成立.故c b +的最大值为16．(1)4(2)【分析】（1）根据题意1cos 4A =，进而结合正弦定理得sin B =cos B =()sin sin C A B =+求解即可；（2）结合（1）得4c b ==，进而根据面积关系得8AD AE ⋅=，最后结合基本不等式与余弦定理得212DE ≥，进而得答案.(1)解：ABC是锐角三角形，1sin cos 44A A =∴=.在ABC中，4a b ==，由正弦定理得4sin sin b A B a ==，cos 4B ∴=.()C A B =π-+ ，()1sin sin sin cos cos sin 4C A B A B A B ∴=+=+=⨯(2)解：由（1）知，sin sin ,4B C c b =∴==.由题意得1sin 1622,81sin 2ABC ADE bc A S AD AE S AD AE AD AE A ==∴⋅=⋅⋅⋅ .由余弦定理得，222132cos 21222DE AD AE AD AE A AD AE AD AE AD AE =+-⋅≥⋅-⋅=⋅=，当且仅当AD AE ==“=”成立.所以DE的最小值为。

第七节 正弦定理和余弦定理1．正弦定理 2．余弦定理 3．三角形的面积公式第一课时 正弦定理和余弦定理(一) 考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形[典例] (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.考法(二) 余弦定理解三角形[典例] (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( ) A ．7.5 B ．7 C ．6 D ．5(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b 2c －a ＝sin Asin B ＋sin C，则角B ＝________. [题组训练]1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24 B ．－24 C.34 D ．－342.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π33.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C . (1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．考点二 判定三角形的形状[典例] (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形[变透练清]1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________．2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝ba＝2”，那么△ABC 的形状为________．[课时跟踪检测]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos Bb ，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定3．在△ABC 中，cos B ＝ac (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b＝( )A ．14B ．6 C.14 D. 65．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( )A. 5 B ．3 C.10 D ．47．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c＝________.9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B . (1)求证：a ＝2b cos B ； (2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小； (2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．第二课时 正弦定理和余弦定理(二)考点一 有关三角形面积的计算[典例] (1)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos B ＝34，则△ABC 的面积等于( ) A ．37 B.372 C ．9 D.92(2)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，则B ＝______. [变透练清]1.(变条件)本例(1)的条件变为：若c ＝4，sin C ＝2sin A ，sin B ＝154，则S △ABC ＝________. 2.(变结论)本例(2)的条件不变，则C 为钝角时，ca 的取值范围是________．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(2b －a )cos C ＝c cos A . (1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求△ABC 的周长．考点二 平面图形中的计算问题[典例] 如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1.(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD .[题组训练]1.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．2.如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列．(1)求sin ∠CED ；(2)求BE 的长．考点三 三角形中的最值、范围问题[典例] (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，A ≠π2，sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π4C.⎣⎡⎦⎤π6，π4D.⎣⎡⎦⎤π6，π3 (2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，则cos C 的最小值为( )A.32 B.22 C.12 D ．－12[题组训练]1．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( ) A. 2 B.98 C ．1 D.782．在△ABC 中，已知c ＝2，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋b 的取值范围为________． 3．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos B b ＋cos C c ＝sin A3sin C .(1)求b 的值；(2)若cos B ＋3sin B ＝2，求△ABC 面积的最大值．考点四 解三角形与三角函数的综合应用考法(一) 正、余弦定理与三角恒等变换[典例] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 b sin A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．考法(二) 正、余弦定理与三角函数的性质[典例] 已知函数f (x )＝c os 2x ＋3sin(π－x )c os(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积．[对点训练]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )cos B －b cos C ＝0. (1)求角B 的大小；(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －32cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值． [课时跟踪检测]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( ) A.12 B.14C ．1D ．22．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，则角B 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π63．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3， S △ABC ＝22，则b 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．2 D ．2或34．在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，t a n ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．25．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝3b cos A ，当b ＋c ＝4时，△ABC 面积的最大值为( )A.33 B.32C. 3 D ．2 3 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．2＋ 2C ．3D ．3＋ 27．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 12b cos A ＝sin B ，且a ＝23，b ＋c ＝6，则△ABC 的面积为________．9．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠BAC ＝π2，点D 在边BC 上，AD ＝1，且BD ＝2DC ，∠BAD ＝2∠DAC ，则sin Bsin C＝________.10．如图所示，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E为垂足，若DE ＝22，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c (1＋cos B )＝b (2－cos C )． (1)求证：2b ＝a ＋c ；(2)若B ＝π3，△ABC 的面积为43，求b .12．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长；(2)求c os ⎝⎛⎭⎫A －π6的值．。

《正弦定理》教案（含答案）章节一：正弦定理的引入教学目标：1. 让学生理解正弦定理的概念和意义。

2. 让学生掌握正弦定理的数学表达式。

3. 让学生了解正弦定理的应用场景。

教学内容：1. 引入正弦定理的背景和意义。

2. 介绍正弦定理的数学表达式：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

3. 解释正弦定理的证明过程。

教学活动：1. 通过实际例子引入正弦定理的概念。

2. 引导学生推导正弦定理的数学表达式。

3. 让学生进行小组讨论，探索正弦定理的应用场景。

练习题：1. 解释正弦定理的概念。

2. 给出一个三角形，让学生计算其各边的比例。

章节二：正弦定理的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在三角形中的应用。

2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。

教学内容：1. 介绍正弦定理在三角形中的应用方法。

2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。

教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在三角形中的应用方法。

2. 让学生进行小组讨论，探讨正弦定理在实际问题中的应用。

练习题：1. 使用正弦定理计算一个三角形的面积。

2. 给出一个实际问题，让学生应用正弦定理解决问题。

章节三：正弦定理的证明教学目标：1. 让学生理解正弦定理的证明过程。

2. 让学生掌握正弦定理的证明方法。

教学内容：1. 介绍正弦定理的证明过程。

2. 解释正弦定理的证明方法。

教学活动：1. 通过几何图形的分析，引导学生推导正弦定理的证明过程。

2. 让学生进行小组讨论，理解正弦定理的证明方法。

练习题：1. 解释正弦定理的证明过程。

2. 给出一个三角形，让学生使用正弦定理进行证明。

章节四：正弦定理在实际问题中的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在实际问题中的应用。

2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。

教学内容：1. 介绍正弦定理在实际问题中的应用方法。

2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。

教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在实际问题中的应用方法。

⾼中数学必修⼀第五章三⾓函数单元测试（1）（含答案解析）⾼中数学必修⼀第五章三⾓函数单元测试 (1)⼀、选择题（本⼤题共9⼩题，共45.0分）1.以罗尔中值定理、拉格朗⽇中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗⽇中值定理是“中值定理”的核⼼内容，其定理陈述如下：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在区间(a,b)内⾄少存在⼀个点x0∈(a,b)，使得f(b)?f(a)=f?(x0)(b?a)，x=x0称为函数y= f(x)在闭区间[a,b]上的中值点，则函数f(x)=sinx+√3cosx在区间[0,π]上的“中值点”的个数为参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，π≈3.14．A. 1B. 2C. 3D. 42.若α∈(π2,π)，cos?2α=?13，则tan?α=()A. ?√33B. ?√3 C. ?√2 D. ?√223.cos20o cos40°?sin20°sin40°=()A. 1B. 12C. ?12D. √324.为了得到函数f(x)=sin(2x+3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x的图象()A. 向右平移π4个单位 B. 向左平移π4个单位5.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c?ba =cosBcosA，a=2√3，则△ABC⾯积的最⼤值为()A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√36.已知sinα?cosα=13,则cos2(π4α)=()A. 1718B. 19C. √29D. 1187.若将函数f(x)=sin(2x+φ)+√3cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点(π2,0)对称，则函数g(x)=cos(x+φ)在[?π2,π6]上的最⼩值()A. ?12B. ?√3228.若函数f(cos x)=cos2x+1，则f(cos30°)的值为()A. 12B. 32C. 72D. 49.3?sin110°8?4cos210°=()A. 2B. √22C. 12D. √32⼆、填空题（本⼤题共5⼩题，共25.0分）10.已知cos?(α+π4)=13,α∈(0,π4)，则cos2α=________．11.已知△ABC的内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c，B=π4，tan(π4A)=12，且△ABC的⾯积为25，则a+b=_________．12.函数y=√3sin2x?cos2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个长度单位后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为___________．13.在ΔABC中，cosB+√3sinB=2，且cosBb +cosCc=2√3sinA3sinC，则a+c的取值范围是________．14.已知函数f(x)=sinxcos(x+π3)+√34,x∈[?π3,π6]，则函数的单调减区间为___________，函数的值域为____________．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共72.0分）15.如图，在四边形ABCD中，已知∠DAB=π3，AD︰AB=2︰3，BD=√7，AB⊥BC．(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD=2π3，求CD的长．16.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的最⼩值为?3，若f(x)图象相邻的最⾼点与最低点的横坐标之差为2π，且f(x)的图象经过点(0,32)．(2)若⽅程f(x)?k=0在x∈[0,11π3]上有两个零点x1,x2，求k的取值范围，并求出x1+x2的值．17.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量m =(b,a?2c)，n?=(cosA?2cosC,cosB)，且n?⊥m ．(1)求sinCsinA的值；(2)若a=2，|m |=3√5，求△ABC的⾯积S．18.化简，求值：(1)已知tanα=34,求tan(α+π4)的值；(2)sin20°sin40°?cos20°cos40°．19.在△ABC中，内⾓A，B，C对边的边长分别是a、b、c，△ABC的⾯积为S⑴若c=2，C=π3，S=√3，求a+b;)=a，求⾓A;⑴若√3(bsinC?ccosBtanC20.如图，某住宅⼩区的平⾯图呈圆⼼⾓为120°的扇形AOB，⼩区的两个出⼊⼝设置在点A及点C处，且⼩区⾥有⼀条平⾏于BO的⼩路CD．(1)已知某⼈从C沿CD⾛到D⽤了10分钟，从D沿DA⾛到A⽤了6分钟，若此⼈步⾏的速度为每分钟50⽶，求该扇形的半径OA的长(精确到1⽶)；(2)若该扇形的半径为OA=a，已知某⽼⼈散步，从C沿CD⾛到D，再从D沿DO⾛到O，试确定C的位置，使⽼⼈散步路线最长．-------- 答案与解析 --------本题考查导数运算、余弦函数性质，属于中档题．求出f(x)的导数，利⽤f′(x0)=f(b)?f(a)b?a，可得结合余弦函数性质易知⽅程在区间(0,π)内有2解，【解答】解：由知由拉格朗⽇中值定理：令f′(x0)=f(b)?f(a)b?a，即，由?√3π∈(?1,?12)，结合余弦函数性质易知⽅程在区间(0,π)内有2解，故在区间[0,π]上的“中值点”有2个，故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的化简求值，考查同⾓三⾓函数基本关系式和⼆倍⾓公式，是基础题．由已知可得tanα<0，再由⼆倍⾓公式和同⾓三⾓函数基本关系可得tanα的⽅程，解之可得答案．【解答】解：∵α∈(π2,π)，且cos2α=?13，∴tanα<0，且cos2α=cos2α?sin2α=cos2α?sin2αcos2α+sin2α=1?tan2α1+tan2α=?13，解得tanα=?√2．故选C．3.答案：B本题考查两⾓和与差的三⾓函数公式，属于基础题．由题直接计算求解即可得到答案．【解答】解：cos20o cos40°?sin20°sin40°=cos(20°+40°) =cos60°=12．故选B ． 4.答案：D解析：【分析】本题考查三⾓函数的图象变换规律，是基础题．根据题意，进⾏求解即可．【解答】解：，，⼜，∴只需将函数g(x)=cos2x 的图象向左平移π8个单位即可得到函数f(x)=sin?(2x +3π4)的图象．故选D ． 5.答案：C解析：【分析】本题考查正余弦定理、三⾓形⾯积公式，两⾓和的正弦公式和基本不等式，属于中档题.先由正弦定理和两⾓和的正弦公式得出cosA =12，再由余弦定理和基本不等式解得bc ≤12，最后由三⾓形⾯积公式求得△ABC ⾯积的最⼤值．【解答】解：由已知可得(2c ?b)cosA =acosB ，由正弦定理可得(2sinC ?sinB)cosA =sinAcosB ，所以2sinCcosA =sinBcosA +sinAcosB =sin(A +B)=sinC ，由sinC ≠0可得cosA =12，则，由余弦定理可得12=b 2+c 2?2bc ×12=b 2+c 2?bc ，由基本不等式可得12=b 2+c 2?bc ≥2bc ?bc =bc ，解得bc ≤12，当且仅当b =c =2√3时，取等号，故△ABC ⾯积S =12bcsinA =√34bc ≤√34×12=3√3．故选C ．6.答案：A解析：【分析】本题主要考查⼆倍⾓公式、诱导公式以及同⾓三⾓函数基本关系的应⽤，属于基础题．由条件利⽤⼆倍⾓公式可得sin2α=81+cos(π22α)2=12+sin2α2，计算求得结果．【解答】解：∵sinα?cosα=13，∴1?2sinαcosα=1?sin2α=19，∴sin2α=89，则cos2(π4?α)=1+cos(π22α)2=12+sin2α2=1718，故选A．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律、诱导公式和三⾓函数的性质．3]=2cos(2x+φ+π3)，再根据图像关于点(π2,0)对称，得到φ=π6，得到g(x)=cos(x+π6)，进⽽求出g(x)的最⼩值．【解答】解：∵f(x)=sin?(2x+φ)+√3cos?(2x+φ)=2sin?(2x+φ+π3)，∴将函数f(x)的图像向左平移π4个单位长度后，得到图像的函数解析式为y=2sin?[2(x+π4)+φ+π3]=2cos?(2x+φ+π3)．∵函数y=2cos(2x+φ+π3)的图像关于点(π2,0)对称，∴2cos(2×π2+φ+π3)=0，所以π+φ+π3=kπ+π2解得φ=kπ?5π6,k∈Z．∵0<φ<π，∴φ=π6，∴g(x)=cos(x+π6)．∵x∈[?π2,π6]，∴x+π6∈[?π3,π3]，∴cos(x+π6)∈[12,1]，则函数g(x)=cos(x+φ)在[?π2,π6]上的最⼩值是12．故选D．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查⼆倍⾓公式的应⽤，属于基础题.利⽤⼆倍⾓公式，然后求出函数值即可．【解答】解：∵f(cos x)=cos 2x +1=2cos 2x ，∴f(cos?30°)=2cos 230°32)2=32．故选B ． 9.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的化简求值问题，属于基础题．根据诱导公式与⼆倍⾓的余弦公式即可求出结果．【解答】解：原式=3?sin110°8?4cos 210°=3?cos20°8?2(1+cos20°)=3?cos20°6?2cos20°=12．故选C ．10.答案：4√29解析：解：因为cos(α+π4)=13,α∈(0,π4)，所以sin(α+π4)=2√23，所以cos2α=cos[2(α+π4)?π2]=sin2(α+π4) =2sin(α+π4)cos(α+π4)=2×2√23×13=4√29．答案：4√29由诱导公式可知cos2α=cos[2(α+π4)?π2]=sin2(α+π4)，然后结合⼆倍⾓的正弦公式展开可求．本题主要考查函数值的计算，利⽤三⾓函数的倍⾓公式是解决本题的关键． 11.答案：5+5√5解析：【分析】本题考查两⾓和与差的三⾓公式的应⽤，考查正弦定理及三⾓形⾯积公式的应⽤，属中档题．依题意，根据两⾓和与差的三⾓公式求得tanA =13，进⽽得sin?A ，cos?A ．⼜B =π4，求得sinC ，再结合三⾓形⾯积及正弦定理求解即可．【解答】解：因为tan?(π4?A)=12，所以1?tan?A1+tan?A =12，则tan?A =13，因此sinA =√1010，cosA =3√1010．所以sinC =sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =√1010×√22+3√1010×√22=2√55，根据△ABC 的⾯积为25，得12absinC =12ab ×2√55=25，得ab =25√5，⼜由正弦定理得a sinA =bsinB ，得b =√5a ，联⽴{ab =25√5b =√5ab =5√5，所以a +b =5+5√5．故答案为5+5√5．12.答案：π6解析：【分析】先将y =√3sin2x ?cos2x 化为y =2sin(2x ?π6)，然后再利⽤图象平移知识，求出g(x)，根据g(x)是偶函数，则g(0)取得最值，求出φ．本题考查三⾓函数图象变换的⽅法以及性质，将奇偶性、对称性与函数的最值联系起来，是此类问题的常规思路，属于中档题．【解答】解：由已知得y =√3sin2x ?cos2x =2(sin2x ?√32cos2x 12)=2sin(2x π6)．所以g(x)=2sin[2(x ?φ)?π6]，由g(x)是偶函数得g(0)=2sin(?2φ?π6)=±2，∴?2φ?π6=π2+kπ,k ∈Z ，∴φ=?π3kπ2，k ∈Z ，当k =?1时，φ=π6即为所求．故答案为：π6．13.答案：(√32,√3]解析：【分析】本题考查正、余弦定理，三⾓函数恒等变换的应⽤，正弦函数的性质，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．由题意可得⾓B和边b，然后利⽤正弦定理，三⾓函数恒等变换的应⽤可求a+c=√3sin(A+π6)，66<5π6，利⽤正弦函数的性质可求其取值范围．【解答】解：∵在ΔABC中，cosB+√3sinB=2，∴2(12cos?B+√32sin?B)=2，即2sin(B+π6)=2，所以B+π6=π2，B=π3，⼜cosBb +cosCc=2√3sinA3sinC=2√3a3c，所以ccosB+bcosC=2√33ab，故c?a2+c2?b22ac +b?a2+b2?c22ab=2√3即a=2√33ab，解得b=√32，∴由正弦定理可得bsinB =√32√32=1=asinA=csinC，故a=sinA，c=sinC，所以a+c=sinA+sinC=sinA+sin(2π3A)=sinA+√32cosA+12sinA=32sinA+√32cosA=√3sin(A+π63，π66<5π6，所以sin(A+π6)∈(12,1]∴a+c=√3sin(A+π6)∈(√32,√3].故答案为(√32,√3].14.答案：；[?√34,12]解析：【分析】本题主要考查了两⾓和与差的三⾓函数公式、⼆倍⾓公式、函数的单调区间以及函数的值域，属于基础题.由题意化简可得，且，，由此即可得到函数的单调减区间以及值域．【解答】解：=sinx (12cosx ?√32sinx)+√34=14sin2x ?√32sin 2x +√34 =14sin2x +√34cos2x ，令，解得，，令k =0，可得，即函数的单调减区间为，此时，，即函数的值域为[?√34,12]，故答案为；[?√34,12]．15.答案：解：(1)由题意可设AD =2k ，AB =3k(k >0)．∵BD =√7，∠DAB =π3，∴由余弦定理，得(√7)2=(3k)2+(2k)2?2×3k ×2kcos π3，解得k =1，∴AD =2，AB =3．．(2)∵AB ⊥BC ，，，，∴CD =√7×2√77√32=4√33．解析：本题主要考查了余弦定理，⽐例的性质，正弦定理，同⾓三⾓函数之间的关系以及特殊⾓的三⾓函数值在解三⾓形中的综合应⽤，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．(1)在△ABC 中，由已知及余弦定理，⽐例的性质即可解得AD =2，AB =3，由正弦定理即可解得sin∠ABD 的值;(2)由(1)可求cos∠DBC ，利⽤同⾓三⾓函数关系式可求sin∠DBC 的值，利⽤正弦定理即可计算得解．16.答案：解：(1)由题意得：A =3,T2=2π，则T =4π，即ω=2πT=12，所以f(x)=3sin(12x +φ)，⼜f(x)的图象经过点(0,32)，则32=3sinφ，由|φ|<π2得φ=π6，所以f(x)=3sin(12x +π6)； (2)由题意得，f(x)?k =0在x ∈[0,11π3]有且仅有两个解x 1，x 2，即函数y =f(x)与y =k 在x ∈[0,11π3]且仅有两个交点，由x ∈[0,11π3]得，12x +π6∈[π6,2π]，则f(x)=3sin(12x +π6)∈[?3,3]，设t =12x +π6，则函数为y =3sint ，且t ∈[π6,2π]，画出函数y =3sint 在t ∈[π6,2π]上的图象，如图所⽰：由图可知，k 的取值范围为：k ∈(?3,0]∪[3 2,3)，当k ∈(?3,0]时，由图可知t 1，t 2关于t =3π2对称，即x =83π对称，所以x 1+x 2=16π3当k ∈[32,3)时，由图可知t 1，t 2关于t =π2对称，即x =23π对称，所以x 1+x 2=4π3，综上可得，x 1+x 2的值是16π3或4π3．解析：(1)由题意求出A 和周期T ，由周期公式求出ω的值，将点(0,32)代⼊化简后，由φ的范围和特殊⾓的三⾓函数值求出φ的值，可得函数f(x)的解析式；(2)将⽅程的根转化为函数图象交点问题，由x 的范围求出12x +π6的范围，由正弦函数的性质求出f(x)的值域，设设t =12x +π6，函数画出y =3sint ，由正弦函数的图象画出y =3sint 的图象，由图象和条件求出k 的范围，由图和正弦函数的对称性分别求出x 1+x 2的值．本题考查了形如f(x)=Asin(ωx +φ)的解析式的确定，正弦函数的性质与图象，以及⽅程根转化为函数图象的交点问题，考查分类讨论思想，数形结合思想，以及化简、变形能⼒．17.答案：解：(1)由m⊥n ? ，可得b(cosA ?2cosC)+(a ?2c)cosB =0，根据正弦定理可得，sinBcosA ?2sinBcosC +sinAcosB ?2sinCcosB =0∴(sinBcosA +sinAcosB)?2(sinBcosC +sinCcosB)=0∴sin(A +B)?2sin(B +C)=0，∵A +B +C =π，∴sinC ?2sinA =0，所以(2)由(1)得：c =2a ，因为a =2，|m |=3√5，所以c =4，b =3，所以cosA =32+42?222×3×4=78，因为A ∈(0,π)，所以sinA =√1?(78)2=√158，所以△ABC 的⾯积为=12bcsinA =12×3×4×√158=3√154解析：本题考查平⾯向量的数量积、垂直的应⽤、考查两⾓和与差的三⾓函数、正弦定理、余弦定理以及三⾓形⾯积公式的运⽤，考查计算能⼒和转化能⼒，属于中档题．(1)由⊥m n?，可得b(cosA?2cosC)+(a?2c)cosB=0，根据正弦定理可得，sinBcosA?2sinBcosC+sinAcosB?2sinCcosB=0，化简即可；(2)由(1)c=2a可求c，由|m |=3√5可求b，结合余弦定理可求cos A，利⽤同⾓平⽅关系可求sin A，代⼊三⾓形的⾯积公式S=12bcsinA可求．18.答案：解：(1)∵tan?α=34，∴tan?(α+π4)=tanα+tanπ41?tanα·tanπ4=34+11?34×1=7．(2)sin?20°sin?40°?cos?20°cos?40°=?(cos?20°cos?40°?sin20°sin40°)=?cos(?20°+?40°)=?cos60°=?12．解析：本题主要考查了两⾓和差公式，三⾓函数的化简与求值，属于较易题．(1)利⽤两⾓和的正切公式直接代值求解．(2)sin?20°sin?40°?cos?20°cos?40°=?(cos?20°cos?40°?sin20°sin40°)，利⽤两⾓和的余弦公式求解．19.答案：解：，∴ab=4 ①，⼜c2=a2+b2?2abcosC,c=2，∴a2+b2?2ab=4 ②，由①②得a+b=4;(2)∵√3(bsinC?ccosBtanC)=a，∴∵√3(sinBsinC?sinCcosBcosCsinC)=sinA，∴?√3cos(B+C)=sinA，∴tanA=√3，⼜，．解析：本题考查解三⾓形和三⾓恒等变换，考查推理能⼒和计算能⼒，属于⼀般题．(1)利⽤三⾓形的⾯积公式和余弦定理即可求解；(2)由正弦定理和三⾓恒等变换公式得tanA=√3，结合范围即可求出A．20.答案：解：(1)设该扇形的半径为r⽶，连接CO.由题意，得CD=500(⽶)，DA=300(⽶)，∠CDO=60°，在△CDO中，CD2?+OD2?2CD?OD?cos60°=OC2，即，5002+(r?300)2??2×500×(r?300)×1 2=r?2，解得r=490011≈445(⽶)．(2)连接OC，设∠DOC=θ，θ∈(0,2π3)，在△DOC中，由正弦定理得：CDsinθ=DOsin(2π3θ)=OCsinπ3=√3，于是CD=3，DO=3sin(2π3θ)，则DC+DO=√3+sin(2π3θ)]=2asin(θ+π6)，θ∈(0,2π3)，所以当θ=π3时，DC+DO最⼤为 2a，此时C在弧AB的中点处．解析：本题主要考查解三⾓形在实际问题中的运⽤，属于中档题．(1)连接OC，由CD//OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．(2)连接OC，设∠DOC=θ，θ∈(0,2π3)，由正弦定理，三⾓恒等变换可求DC+DO=2asin(θ+π6)，θ∈(0,2π3)，利⽤正弦函数的性质可求最⼤值，即可得解．。

专题4.6 正弦定理和余弦定理1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识点一 正弦定理和余弦定理1.在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：知识点二 三角函数关系和射影定理1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2.2.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A > sin B ⇔cos A <cos B .考点一 利用正、余弦定理解三角形【典例1】 【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【举一反三】(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2 B.30 C.29D ．2 5【举一反三】(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6. ①求角B 的大小；②设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． 【方法技巧】正、余弦定理的应用技巧1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。

第05讲正弦定理和余弦定理的应用(精讲）-1第05讲正弦定理和余弦定理的应用（精讲）1、基线在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高.2、仰角与俯角在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂平面内）所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角3、方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0360θ≤≤ .4、方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）α，例：（1）北偏东α：（2）南偏西α：5、坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（θ为坡角）；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比（坡度），即tan h i lθ==（2022·河南安阳·高一阶段练习）1．公园内有一棵树，A ，B 是与树根处O 点在同一水平面内的两个观测点，树顶端为P .如图，观测得75OAB ∠=︒，60OBA ∠=︒，60OAP ∠=︒，10AB =米，则该树的高度OP 大约为（）A ．21米B ．18米C ．15米D ．10米（2022·新疆·乌市八中高一期中）2．现只有一把长为2m 的尺子，为了求得某小区草坪边缘,A B 两点的距离AB （AB 大于2m ），在草坪坛边缘找到点C 与D ，已知090ACD ∠=，且tan ADB ∠=-，测得1.2m AC =，0.9m CD =，1m BD =，则AB =（）A ．m3B C ．m 2D ．m 2（2022·全国·高一专题练习）3．如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案(ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )：①测量A ，B ，b ；②测量a ，b ，C ；③测量A ，B ，a ．则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0（2022·江苏·高一课时练习）4．如图，在救灾现场，搜救人员从A 处出发沿正北方向行进x 米达到B 处，探测到一个生命迹象，然后从B 处沿南偏东75︒行进30米到达C 处，探测到另一个生命迹象，如果C 处恰好在A 处的北偏东60︒方向上，那么x =（）A ．102米B ．103米C ．10米D ．106米（2022·重庆八中高一期中）5．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h .将地球看作是一个球心为O ，半径为r 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为α，观测该卫星的仰角为β，则下列关系一定成立的是（）A ．cos cos()r h r βαβ+=+B ．cos cos()h r βαβ=+C ．sin sin()r h r βαβ+=+D ．sin sin()h r βαβ=+高频考点一：解三角形应用举例角度1：测量距离问题例题1．（2022·广东·信宜市第二中学高一阶段练习）6．如图，一轮船从A 点沿北偏东70 的方向行驶10海里至海岛B ，又从B 沿北偏东10 的方向行驶10海里至海岛C ，若此轮船从A 点直接沿直线行驶至海岛C ，则此船沿__________方向行驶__________海里至海岛C （）A．北偏东60；B．北偏东30 ；C．北偏东40；D．北偏东20 ；例题2．（2022·全国·高三专题练习）7．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠BCA ＝45°．就可以计算出A，B两点的距离为（）．A．m B．m C．m D．m例题3．（2022·福建龙岩·高一期中）8．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为5km，8km，灯塔A在观察站C的北偏东70 方向上，灯塔B在观察站C的南偏东50 方向上，则灯塔A与B的距离为______km．例题4．（2022·广东·广州市第六十五中学高一期中）9．如图，为了测量,B C两点间的距离，选取同一平面上,A D两点，已知90∠= ，ADC∠= ，2A60AB=，BD=DC=BC的长为________．例题5．（2022·江苏·高一课时练习）10．《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________________km.角度2：测量高度问题例题1．（2022·江西师大附中三模（理））11．滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小明同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12m，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，滕王阁顶部C的仰角分别为15︒和60︒，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30︒，则小明估算滕王阁的高度为（）（精确到1m）A．42m B．45m C．51m D．57m例题2．（2022·山东菏泽·高一期中）12．2022年北京冬奥会，首钢滑雪大跳台（如图1）是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A（如图2）距离地面的高度AB（AB 与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物PQ，测得PQ的高度为25.4米，并从P点测得A 点的仰角为30°；在赛道与建筑物PQ 之间的地面上的点M 处测得A 点，P 点的仰角分别为75°和30°（其中B ，M ，Q 三点共线），该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A 距离地面的高度约为（）（ 1.41≈ 1.73≈ 2.45≈）A ．58B ．60C ．66D ．68例题3．（2022·四川成都·高一期中）13．如图，AE 是底部不可到达的一个烟囱，为测量烟囱的高度，在地面选取C ，D 两点，使C ，D ，E 三点在同一条直线上，在C ，D 两点测得顶点A 的仰角分别为37α=︒，67β=︒，且C ，D 两点之间的距离为20米，则烟囱AE 的高度为_________米．（用四舍五入法将结果精确到个位数，参考数据：sin 670.92cos 670.39,sin 370.60cos370.80︒≈︒≈︒≈︒≈，， 1.73≈）例题4．（2022·福建省厦门集美中学高一期中）14．厦门双子塔是厦门的新地标，两栋独立的塔楼由裙楼相连，外观形似风帆，并融入了厦门市花“三角梅”的视觉元素.小明计划测量双子塔A 塔的高度，他在家测得塔尖的仰角为26.3°，再到正上方距家42米的天台上，测得塔尖仰角为22.3°，塔底俯角为10.8°.则A 塔的高度约为______米.（精确到个位）参考数据：sin 40.07︒≈，sin 33.10.55︒≈，sin 63.70.90︒≈，sin 79.20.98︒≈.角度3：测量角度问题例题1．（2022·江苏·高一课时练习）15．两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40 ，灯塔B 在观察站南偏东60 ，则灯塔A 在灯塔B 的（）A ．北偏东10B ．北偏西10C ．南偏东10D ．南偏西10 例题2．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））16．位于灯塔A 处正西方向相距()5n mile 的B 处有一艘甲船需要海上救援，位于灯塔A 处北偏东45°相距mile 的C 处的一艘乙船前往营救，则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西（）A ．30°B ．60°C ．75°D ．45°例题3．（2022·江苏南通·高一期末）17．图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h ，日影长为l .图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A 处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬2326'︒）在某地利用一表高为2dm 的圭表按图1方式放置后，测得日影长为2.98dm ，则该地的纬度约为北纬（）（参考数据：tan 340.67︒≈，tan 56 1.49︒≈）A ．2326'︒B ．3234'︒C ．34︒D ．56︒题型归类练（2022·天津市求真高级中学高一阶段练习）18．如图，一艘船上午8：00在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距）A ．16海里/小时B ．15海里/小时C ．/小时D ．海里/小时（2022·河北保定·高一阶段练习）19．如图，在一场足球比赛中，甲同学从点A 处开始做匀速直线运动，到达点B 时，发现乙同学踢着足球在点C 处正以自己速度的12向A 做匀速直线运动，已知3cos 5BAC ∠=，3m AB =，7m AC =.若忽略甲同学转身所需的时间，则甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC 上离A 处____________m 的点.（2022·福建省宁化第一中学高一阶段练习）20．第四届数字中国建设峰会将于2021年4月25日至26日在福州举办，三明市以此为契机，加快推进“5G ＋光网”双千兆城市建设．如图，某县区域地面有四个5G 基站A ，B ，C ，D ．已知C ，D 两个基站建在江的南岸，距离为；基站A ，B 在江的北岸，测得75ACB ∠=︒，120ACD ∠=︒，30ADC ∠=︒，45ADB ∠=︒，则A ，B 两个基站的距离为______．（2022·江苏·高一课时练习）21．如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角∠MAN =60°，C 点的仰角∠CAB =45°以及∠MAC =75°，从C 点测得∠MCA =60°.已知山高BC =500m ，则山高MN =______m .（2022·全国·高三专题练习）22．如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台D ，已知射线AB ，AC 为湿地两边夹角为π3的公路（长度均超过4千米），在两条公路AB ，AC 上分别设立游客接送点E ，F ，且AE AF ==若要求观景台D 与两接送点所成角EDF ∠与BAC ∠互补且观景台D 在EF 的右侧，并在观景台D 与接送点E ，F 之间建造两条观光线路DE 与DF ，则观光线路之和最长是_________________（千米）.（2022·广东梅州·高一阶段练习）23．如图，测量河对岸的塔高AB ，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 和D ．现测得75BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，50CD =米，在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 为（）米．A ．B ．C ．D ．（2022·全国·高三专题练习（理））24．魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D ，G ，F 在水平线DH 上，CD 和EF 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG =1，表高CD =EF =2，后表却行FH =3，表距DF =61.则塔高AB =（）A ．60米B ．61米C ．62米D ．63米（2022·湖南·高一阶段练习）25．如图，无人机在离地面高300m 的A 处，观测到山顶M 处的仰角为15 、山脚C 处的俯角为45 ，已知60MCN ∠= ，则山的高度MN 为___m ．（2022·广西南宁·一模（理））26．2021年9月17日，搭载着3名英航天员的神舟十二号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十二号返回任务取得圆满成功.假设返回舱D 是垂直下落于点C ，某时刻地面上点A B 、观测点观测到点D 的仰角分别为4575︒︒、，若A B 、间距离为10千米（其中向量CA 与CB同向），试估算该时刻返回舱距离地面的距离||CD 约为___________ 1.732≈）.（2022·河南安阳·高一阶段练习）27．某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A 处测得15PAC ∠=︒，沿土坡向坡顶前进25m 后到达D 处，测得45PDC ∠=︒．已知旗杆10m,CP PB AB =⊥，土坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ=（）A1B 1C ．54-D （2022·江苏·高一课时练习）28．当太阳光线与水平面的倾斜角为60 时，一根长为2m 的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α=________．（2022·全国·高一专题练习）29．如图，两名搬家工人要将一个大衣柜搬出房间，已知衣柜长1.5m ，宽0.8m ，高2.5m ，房门的宽为1.2m ，高为2.2m ．试问此衣柜的倾斜度要在多少度以下，才能顺利通过房门？（tan30.960.6︒≈，sin48.590.75︒≈ 2.92≈）（2022·全国·高三专题练习）30．甲船在静水中的速度为40海里/小时，当甲船在点A 时，测得海面上乙船搁浅在其南偏东60︒方向的点P 处，甲船继续向北航行0.5小时后到达点B ，测得乙船P 在其南偏东30︒方向，（1）假设水流速度为0，画出两船的位置图，标出相应角度并求出点B与点P之间的距离．（2）若水流的速度为10海里/小时，方向向正东方向，甲船保持40海里/小时的静水速度不变，从点B走最短的路程去救援乙船，求甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值．参考答案：1．A【分析】在OAB 中利用正弦定理求出OA ，再在直角AOP 中即可求出.【详解】在OAB 中，180756045AOB ∠=︒-︒-︒=︒，则由正弦定理可得sin sin OA AB OBAAOB=∠∠3222=，解得OA =在直角AOP中，tan 6021OP OA =⋅︒=米.故选：A.2．C【分析】先由勾股定理求得AD ，再由余弦定理可求AB .【详解】因为090, 1.2m,0.9m ACD AC CD ∠===，所以 1.5m AD ==.因为tan ADB ∠=-1cos 3ADB ∠=-，所以2AB m ==.故选：C 3．A【分析】根据正余弦定理解三角形即可.【详解】对于①，利用内角和定理先求出C A B π=--，再利用正弦定理sin sin b cB C=解出c ；对于②，直接利用余弦定理2222cos c a b ab C =+-即可解出c ；对于③，先利用内角和定理求出C A B π=--，再利用正弦定理sin sin a cA C=解出c ．故选：A.4．D【分析】根据三角形正弦定理即可求解结果．【详解】依题意得18045C A B =︒--=︒，由正弦定理得sin 60sin 45BC AB=︒︒22=，x =故选：D5．A【分析】由题意，画出示意图，在三角形OAB 中利用正弦定理即求解.【详解】解：如图所示，2B παβ∠=--，由正弦定理可得sin sin OA OBB OAB=∠，即sin sin 22rr hππαββ+=⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得cos()cos r r hαββ+=+，故选：A.6．C【分析】先求出各角的角度，再使用余弦定理求解长度.【详解】由题意得：1807010120ABC ∠=︒-︒+︒=︒，10AB BC ==，故30BAC ∠=︒，所以从A 到C 的航向为北偏东703040︒-︒=︒，由余弦定理得：2222212cos 10102003002AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯-= ⎪⎝⎭，故AC =故选：C 7．D【分析】根据正弦定理，结合三角形内角和定理进行求解即可.【详解】由三角形内角和定理可知：18030BAC ACB ABC ︒︒∠=-∠-∠=，由正弦定理得:501sin sin 22AB BC AB ACB BAC =⇒⇒=∠∠故选：D 8．7【分析】首先画出方位图，得到60ACB ∠=︒，再利用余弦定理求解即可【详解】根据题意作出如图的方位图，则5,8AC BC ==180705060ACB ∠=︒-︒-︒=︒在△ABC 中，由余弦定理，有：22212cos 602564258492AB AC BC AC BC =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=所以7AB =故答案为：79．【分析】在ABD △中利用正弦定理可求得sin ADB ∠，即cos BDC ∠；在BDC 中，利用余弦定理可求得结果.【详解】在ABD △中，由正弦定理得：sin sin 4AB A ADB BD ⋅∠== ，90ADC ∠=o Q ，cos BDC ∴∠=，在BDC 中，由余弦定理得：2222cos 244848BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⨯=，BD ∴=故答案为：10．)1001+【分析】依题意画出图象，即可得到60,75,45A B C === ，200AB =，再利用正弦定理计算可得；【详解】解：如图，设震源在C 处，则200AB km =，则由题意可得60,75,45A B C === ，根据正弦定理可得200sin45sin75AC=，又()4s c in 232162cos o 752sin 4530sin 45304523s 0sin 22+=++=⨯+=⨯= 所以()200200sin75100314sin452622AC =+⨯==+，所以震源在A 地正东()10031km +处.故答案为：()10031+11．D【分析】在ACM △中求得30ACM ︒∠=，由正弦定理得sin 2sin sin15CAM ABCM AM ACM ︒∠=⋅=∠，再在Rt CDM 中6sin 60ABCD CM ︒=，计算即可.【详解】由题意得，在Rt ABM 中，sin15ABAM ︒=，在ACM △中，301545CAM ︒︒︒∠=+=，1801560105AMC ︒︒︒︒∠=--=，所以30ACM ︒∠=，由正弦定理sin sin AM CMACM CAM=∠∠，得sin 2sin sin15CAM ABCM AM ACM ︒∠=⋅=∠，又232162sin15sin(4530)22224︒︒︒=-=⨯-⨯=，在Rt CDM 中，6126sin 6036123572sin156224ABCD CM ︒===+≈-⨯.故选：D.12．B【分析】在PMQ 中，求得PM ，在PAM △中，利用正弦定理求得AM ，然后在ABM 中，由sin AB AM AMB =⋅∠求解.【详解】解：如图所示：由题意得：75,30,75,60,45AMB PMQ AMP APM PAM ∠=∠=∠=∠=∠= ，在PMQ 中，50.8sin PQPM PMQ==∠，在PAM △中，由正弦定理得sin sin AM PMAPM pAM=∠∠，所以25.4AM =⨯，在ABM 中，sin 25.460AB AM AMB =⋅∠=⨯，故选：B 13．22【分析】先在ACD 中，利用正弦定理求得AD ，再在DAE 中，由sin AE AD β=求解.【详解】在ACD 中，由正弦定理得()sin sin CD ADβαα=-，即20sin 30sin 37AD=，所以20sin 37sin 30AD =，在DAE 中，20sin 37sin sin 6740sin 37sin 67400.600.9222sin 30AE AD β==⨯=≈⨯⨯≈（米）.故答案为：22.14．303【分析】由题意画出图，可知112.3,63.7ABC BAC ∠=︒∠=︒，所以4ACB ∠=︒，再在ABC 中利用正弦定理可得BC 的值，在BCD △中利用正弦定理可求得CD 的值【详解】解：如图，设塔高CD ，42AB =，26.3,22.3,10.8CAE CBF FBD ∠=︒∠=︒∠=︒,所以112.3,63.7ABC BAC ∠=︒∠=︒，所以4ACB ∠=︒，在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB BCACB BAC=∠∠，即42sin 4sin 63.7BC =︒︒，因为sin 40.07︒≈，sin 63.70.90︒≈，所以解得540BC =，在BCD △中，9010.879.2BDC ︒︒︒∠=-=，22.310.833.1CBD ︒︒︒∠=+=，由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠，即540sin 79.2sin 33.1CD =︒︒，解得303CD ≈,故答案为：30315．B【分析】作出灯塔A ，B 的相对位置图，分别求出ACB ∠，CAB ∠，CBA ∠的值即可求解.【详解】灯塔A ，B 的相对位置如图所示，由已知得80ACB ∠= ，50CAB CBA Ð=Ð=o ，则605010a =-=o o o ，即北偏西10 ．故选：B.16．B【分析】根据已知条件作出图形，找出要求的角为BCD ∠，运用解三角形的知识进行求解.【详解】依题意，过点C 作CD BA ⊥的延长线交于点D ，如图，则5AB =，AC =45ACD ∠= ，在Rt ADC 中，5AD DC ==，在Rt BDC 中，BD =5DC =，tan BDBCD DC ∴∠==又π0,2BCD ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭π3BCD ∴∠=，则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西60°.故选：B.17．B【分析】由题意有2tan 0.672.98α=≈，可得MAN ∠，从而可得β【详解】由图1可得2tan 0.672.98α=≈，又tan 340.67︒≈，所以34α=︒，所以903456MAN ∠=︒-︒=︒，所以5623263234β''=︒-︒=︒，该地的纬度约为北纬3234'︒，故选：B ．18．A【分析】利用正弦定理即可求解.【详解】由图可知BS =，753045ASB ∠=︒-︒=︒，则sin 45sin 30AB =︒︒，得8AB =，所以该船的航行速度为1162AB ÷=（海里/小时）．故选：A 19．5【分析】甲同学最快拦截乙同学的地点是点D ，CD x =，则2BD x =，7AD x =-，进而在ABD △中结合余弦定理求解即可.【详解】解：如图，设甲同学最快拦截乙同学的地点是点D ，CD x =，则2BD x =，7AD x =-所以，在ABD △中，2223cos 25AB AD BD A AB AD +-==⋅，整理可得()()21552164158220x x x x +-=+-=，解得2x =或8215x =-（舍去）.、故甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC 上离A 处5m 的点.故答案为：5.20．【分析】结合余弦定理、正弦定理，先求得,AD BD ，然后求得AB .【详解】在三角形ACD中，30,ADC DAC AC CD ∠=∠=︒==由余弦定理得30km AD ==，在三角形BCD 中，45,30,1207545ADB ADC BCD ∠=︒∠=︒∠=︒-︒=︒，所以60CBD ∠=︒，由正弦定理得sin 60sin 45CD BD=︒︒，2BD ==在三角形ABD中，由余弦定理得10AB =.故答案为：21．750【分析】利用直角三角形求出AC ，再由正弦定理求出AM ，然后利用直角三角形求出MN【详解】在Rt ABC 中，45,500CAB BC m ∠=︒=，所以AC =，在AMC 中，75,60MAC MCA ∠=︒∠=︒，则45AMC ∠=︒，由正弦定理得，sin 45sin 60AC AM =︒︒，所以2AM =，在Rt MNA △中，,60AM MAN =∠=︒，所以sin 60750MN AM m =︒=，故答案为：75022．4【分析】求出EF AE AF ===，23EDF π∠=，在DEF 中，利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：在AEF △中，因为AE AF ==π3EAF ∠=，所以EF AE AF ===又EDF ∠与BAC ∠互补，所以23EDF π∠=，在DEF 中，由余弦定理得：2222cos EF AE AF AE AF EDF =+-⋅⋅∠，即2212AE AF AE AF ++⋅=，即()212AE AF AE AF +-⋅=，因为()214AE AF AE AF ⋅≤+，所以()()()2221124AE AF AE AF AE AF AE AF +-⋅=≥+-+，所以4AE AF +≤，当且仅当2AE AF ==时，取等号，所以观光线路之和最长是4.故答案为：423．A【分析】在BCD △中，由正弦定理求出BC ，进而在ABC 中求得答案即可.【详解】由题意，在BCD △中，180754560BDC ∠=︒-︒-︒=︒，由正弦定理可知50sin60sin453BC BC=⇒=︒︒.在ABC中，易知,60AB BC ACB⊥∠=︒，于是tan603AB BC=⨯︒==故选：A.24．D【分析】根据已知条件，利用CDG与ABG、EFH△与ABH相似即可求出AB的值．【详解】解：根据题意，CDG ABG∽△△，EFH ABH∽，所以22,1643AB ABBD BD==++，解得63AB=．故选：D.25．450【分析】由直角三角形求得AC，再在△AMC中，由正弦定理求得MC，然后在直角三角形中求得MN．【详解】∵//AD BC，∴45ACB DAC∠=∠=，∵AC==，又180465705MCA∠-=-=，154560MAC∠=+=，∴45AMC∠= ，在△AMC中，由正弦定理得MC==，∴sin60450mMN MC MCN=∠== ．故答案为：450．26．14【分析】利用正弦定理求得AC，由此求得CD.【详解】在三角形ABC中，45,18075105,30A ABC ACB∠=︒∠=︒-︒=︒∠=︒，由正弦定理得sin30sin105AB AC=︒︒，()20sin10520sin6045AC=⨯︒=⨯︒+︒()20sin60cos45cos60sin455=⨯︒︒+︒︒=，所以551422CD AC=⨯=⨯≈千米.故答案为：1427．D【分析】先在ADP △中由正弦定理可得AP ，然后表示出PB 、AB ，利用三角函数同角关系表示出tan θ，化简可得.【详解】在ADP △中，由正弦定理可得sin135sin 30AD AP ︒==︒在Rt ABP 中，易知15),15)AB PB θθ=+︒=+︒，则sin tancos θθθ==整理可得cos sin1522θ=︒=⨯故选：D28．30【分析】作出示意图，设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x ，依据正弦定理可得()2sin 60sin 120x a °=-o ，再根据正弦函数性质求解即可.【详解】作出示意图如下如，设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x ，依据正弦定理可得()2sin 60sin 120x a °=-o ，所以()sin 120x a =-o ，因为0120120a <-<o o o ，所以要使x 最大，只需()sin 1201a -=o ，即120=90a -o o ，所以30α= 时，影子最长．答案为：30 .29．17.63︒.【分析】根据题意，只需 2.2EF ≤，结合已知条件，求得CAB ∠，以及CAF ∠的最大值，即可求得θ的最大值.【详解】根据题意，要顺利通过房门，只需 2.2EF ≤，又sin sin sin EF AC CAF CAF CAF =⨯∠=∠=∠，故sin 0.75CAF ∠≤≈，则48.59CAF ∠≤︒又 1.5tan 0.62.5AD CAB AB ∠===，则30.96CAB ∠≈，又CAF CAB θ∠=+∠，故17.63CAF CAB θ=∠-∠≤︒.故衣柜的倾斜度要在17.63︒以下，才能顺利通过房门.故答案为：17.63︒.30．（1）点B 与点P 之间的距离为（2）8.【分析】（1）画出图形，利用余弦定理求解即可；（2）利用向量的加法的平行四边形法则画出图形，然后利用正弦定理求解即可.【详解】（1）两船的位置图如下：由图可得，120,30PAB APB ∠=︒∠=︒，所以400.520AB AP ==⨯=所以由余弦定理可得PB ===所以点B 与点P 之间的距离为（2）如图，BC 的方向为水流的方向，BD 的方向为船头的方向，BP 的方向为实际行进的方向，其中4,60BD BC CBP BPD =∠=∠=︒在BPD △中，由正弦定理可得sin sin PD BD PBD BPD =∠∠所以1sin sin 428PD PBD BPD BD ∠=∠=⋅=即甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值为8。

课时跟踪检测 （十三） 余弦定理、正弦定理应用举例层级(一) “四基”落实练1.如图，两座灯塔A 和B 与河岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的 ( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D 由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°.又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．设甲、乙两幢楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是( )A ．20 3 m ，4033m B ．10 3 m, 2 0 3 m C ．10(3－2)m, 20 3 mD.1532 m ，2033m 解析：选A 由题意，知h 甲＝20tan 60°＝203(m)， h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝4033(m)． 3．一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( ) A ．15 2 km B ．30 2 km C ．45 2 kmD ．60 2 km解析：选B 如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠DAC ＝60°，∠ CBM ＝15°，所以∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°.在△AMB 中，由正弦定理，得60sin 45°＝BMsin 30°，解得BM ＝30 2 (km)．4．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船的航行速度为( )A.1762n mile/h B ．34 6 n mile/h C.1722n mile/h D ．34 2 n mile/h解析：选A 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝68×32＝346，∴v ＝MN 4＝1762(n mile/h)．故选A. 5.如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：选B 依题意可得AD ＝2010(m)， AC ＝305(m)，又CD ＝50(m)，所以在△ACD 中， 由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22.又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°， 所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.6．某人朝正东方向走x m 后，向右转150°，然后朝新方向走3 m ，结果他离出发点恰好为3m ，那么x 的值为_______．解析：如图，在△ABC 中，AB ＝x ，B ＝30°，BC ＝3，AC ＝3，由余 弦定理得(3)2＝x 2＋32－2×3×x ×cos 30°， ∴x 2－33x ＋6＝0，∴x ＝3或2 3. 答案：23或 37.如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°， 45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从C 点到B 点历时14 s ，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：2≈1.414，5≈2.236) 解析：由题意可知，AB ＝200 m ，AC ＝100 2 m ， 由余弦定理可得BC ＝40 000＋20 000－2×200×1002×－22≈316.2(m)， 这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s)． 答案：22.68.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，求山高MN .解：根据图示，AC ＝100 2 m ．在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°解得AM ＝100 3 m ．在△AMN 中，MNAM ＝sin 60°，所以MN ＝1003×23＝150(m)． 层级(二) 能力提升练1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A ，B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )：①测量A ，B ，b ；②测量a ，b ，C ；③测量A ，B ，a .则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选A 对于①，利用内角和定理先求出C ＝π－A －B ，再利用正弦定理b sin B ＝c sin C解出c ；对于②，直接利用余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 即可解出c ；对于③，先利用内角和定理求出C ＝π－A －B ，再利用正弦定理a sin A ＝csin C解出c .故选A. 2．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m 的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________. 解析：如图，设竹竿的影子长为x . 依据正弦定理可得2sin 60°＝xsin (120°－α).所以x ＝43·sin(120°－α)． 因为0°<120°－α<120°，所以要使x 最大，只需120°－α＝90°， 即α＝30°时，影子最长． 答案：30°3．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为______小时．解析：如图，设A 地东北方向上存在点P 到B 的距离为30千米， AP ＝x .在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB ·cos A ，即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°，化简得x 2－402x ＋700＝0， |x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400， |x 1－x 2|＝20，即图中的CD ＝20(千米)，故t ＝CD v ＝2020＝1(小时)．答案：14.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直 弹射高度：A ，B ，C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比在B 地晚217s ．A 地测得该仪器弹至最高点H 时的仰角为30°. (1)求A ，C 两地的距离； (2)求该仪器的垂直弹射高度CH . (声音的传播速度为340 m/s)解：(1)由题意，设AC ＝x m ，则BC ＝x －217×340＝(x －40)m.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝BA 2＋AC 2－2BA ·AC cos ∠BAC ， 即(x －40)2＝10 000＋x 2－100x ，解得x ＝420. 所以A ，C 两地间的距离为420 m.(2)在Rt △ACH 中，AC ＝420 m ，∠CAH ＝30°， 所以CH ＝AC tan ∠CAH ＝140 3 m. 所以该仪器的垂直弹射高度CH 为140 3 m.5.如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为45°，往正前方走4 m 后，在点B 处发现桃树 顶端点C 的仰角大小为75°. (1)求BC 的长；(2)若小明身高为1.70 m ，求这棵桃树顶端点C 离地面的高度(精确到0.01 m ，其中3≈1.732)．解：(1)在△ABC 中，∠CAB ＝45°，∠DBC ＝75°， 则∠ACB ＝75°－45°＝30°，AB ＝4. 由正弦定理得BC sin 45°＝4sin 30°， 解得BC ＝42(m)．即BC 的长为4 2 m. (2)在△CBD 中，∠CDB ＝90°，BC ＝42，所以DC ＝42sin 75°.因为sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24，则DC ＝2＋2 3. 所以CE ＝ED ＋DC ＝1.70＋2＋23≈3.70＋3.464≈7.16(m)．即这棵桃树顶端点C 离地面的高度为7.16 m. 层级(三) 素养培优练1．北京冬奥会，首钢滑雪大跳台(如图1)是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．西青区某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A (如图2)距离地面的高度AB (AB 与地面垂直)，在赛道一侧找到一座建筑物PQ .测得PQ 的高度约为25米，并从P 点测得A 点的仰角为30°.在赛道与建筑物PQ 之间的地面上的点M 处测得A 点、P 点的仰角分别为75°和30°(其中B ，M ，Q 三点共线)．则该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A 距离地面的高度约为(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A ．59B ．60C ．65D ．68解析：选A 如图所示，由题意得∠AMB ＝75°，∠PMQ ＝30°，∠AMP ＝75°，∠APM ＝60°，∠PAM ＝45°，在△PMQ 中，PM ＝PQsin ∠PMQ＝50，在△PAM 中，由正弦定理得AM sin ∠APM ＝PMsin ∠PAM，AM sin 60°＝50sin 45°，所以AM ＝256， 在△ABM 中，AB ＝AM ·sin ∠AMB ＝256×sin 75° ＝256×6＋24， 所以AB ＝150＋5034≈150＋50×1.734＝236.54＝59.125，所以赛道造型最高点A 距离地面的高度约59.2．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 的北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值． (3)是否存在v ，使得小艇以v 海里/时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v 的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)设相遇时小艇的航行距离为S 海里，则由余弦定理，可得S ＝900t 2＋400－2×30t ×20cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝900t －132＋300， 故当t ＝13时，S min ＝103，此时v ＝303，即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)如图，设小艇与轮船在B 处相遇，由题意可知(v t )2＝202＋(30t )2－2·20·30t ·cos(90°－30°)， 化简得，v 2＝400t2－600t 900＝400 1t －342＋675. 由于0<t ≤12，所以1t ≥2，所以当1t ＝2时，v 取得最小值1013， 即小艇航行速度的最小值为10 13 海里/时． (3)存在．由(2)知，v 2＝400t2－600t ＋900，设1t ＝u (u >0)， 于是400u 2－600u ＋900－v 2＝0.小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程有两个不等正根，即6002－1 600(900－v 2)>0，900－v 2>0，解得153<v <30， 所以v 的取值范围是(153，30)．。

同步分层能力测试题（一）A 组一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．在△ABC 中， 若,则边c= 。

1.2或。

【解析】由余弦定理，得a 2=c 2+b 2-2cb ·cosA,代入整理得c 2∴2. 在△ABC 中，已知A=450，B=600，c =1，则a= .2.213-。

【解析】由A+B+C=180，得C=1800-450-600=750。

由正弦定理，得045sin a =75sin 1， ∴a=213-。

3. 在△ABC 中， 已知a=5,b=12,c=13.最大内角为 度。

3.90.【解析】cosC=bca cb 2222-+=222512132512+-⨯⨯=0,C=900.4. 在△ABC 中，已知b=4,c=8,B=300.则a= 。

4. 23。

【解析】（1）由正弦定理，得sinC=bB c sin =430sin 80=1。

所以 C=900，A=180-90-30=600。

又由正弦定理，得a=B A b sin sin =030sin 60sin 4=23。

5. a,b,c 是△ABC 的三边，且B=1200,则a 2+ac+c 2-b 2的值为 .5.0.【解析】由余弦定理，得b 2=a 2+c 2-2ac ·cosB= a 2+ac+c 2.6．在△ABC 中，若a=50，b=25 6 , A=45°则B= .6. 60°或120°。

【解析】由正弦定理得050s i n 45=，sinB=,故B=60°或120°。

7.在△ABC 中，有等式：①asinA=bsinB ；②asinB=bsinA；③acosB=bcosA；④sin sin sin a b cA B C+=+. 其中恒成立的等式序号为_______________.7.②④。

【解析】①不符合正弦定理；②两边同除以sinAsinB 即为正弦定理；③取A=900,便知等式不成立；④正弦定理结合等比定理可得。

正弦定理和余弦定理的应用【课前回顾】测量中的有关几个术语(2)南偏西α：【课前快练】1.为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B (如图)，要测量A ，B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC ＝50 m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°.可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD.2522m解析：选A 由题意知∠CAB ＝180°－∠ABC －∠BCA ＝30°， 由正弦定理得AB sin ∠BCA ＝BCsin ∠CAB，所以AB ＝BC ·sin ∠BCAsin ∠CAB＝50×2212＝502(m)．2.要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为( )A ．10 2 mB ．20 mC ．20 3 mD ．40 m解析：选D 设电视塔的高度为x m ，则BC ＝x ，BD ＝3x .在△BCD 中，由余弦定理得3x 2＝x 2＋402－2×40x ×cos 120°，即x 2－20x －800＝0，解得x ＝－20(舍去)或x ＝40.故电视塔的高度为40 m.3．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的________方向上．解析：如图所示，∠ACB ＝90°， 又AC ＝BC ，∴∠CBA ＝45°，而β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°. 答案：北偏西15°考点一 测量高度问题求解高度问题的3个注意点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．【典型例题】(2018·衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD 的高度，小王在点A 处测得塔顶D 的仰角为30°，塔底C 与A 的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m 到达M 处，测得塔底C 与M 的连线同河岸成60°角，则电视塔CD 的高度为________m.[思维路径](结论)求CD →放在△ACD 中求解→在Rt △ACD 中知∠DAC →(关键点)需再知AC →在△ACM 中，易知两角与一边，用正弦定理可解得．解析：在△ACM 中，∠MCA ＝60°－15°＝45°，∠AMC ＝180°－60°＝120°，由正弦定理得AM sin ∠MCA ＝AC sin ∠AMC ，即1 20022＝AC 32，解得AC ＝600 6.在△ACD 中，∵tan ∠DAC ＝DC AC ＝33，∴DC ＝6006×33＝600 2. 答案：600 2【针对训练】(2018·大连大联考)为了测量某新建的信号发射塔AB 的高度，先取与发射塔底部B 在同一水平面内的两个观测点C ，D ，测得∠BDC ＝60°，∠BCD ＝75°，CD ＝40 m ，并在点C 的正上方E 处观测发射塔顶部A 的仰角为30°，且CE ＝1 m ，则发射塔高AB ＝( )A ．(202＋1)mB ．(203＋1)mC ．20 2 mD ．(402＋1) m解析：选A 如图，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ， 则EF ＝BC ，BF ＝CE ＝1，∠AEF ＝30°. 在△BCD 中，由正弦定理得， BC ＝CD ·sin ∠BDC sin ∠CBD ＝40·sin 60°sin 45°＝20 6.所以EF ＝206，在Rt △AFE 中，AF ＝EF ·tan ∠AEF ＝206×33＝202， 所以AB ＝AF ＋BF ＝202＋1 (m)．考点二 测量距离问题1．测量距离问题，无论题型如何变化，即两点的情况如何，实质都是要求这两点间的距离，无非就是两点所在三角形及其构成元素所知情况不同而已，恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形是解题的基础，将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角是解题的关键．2．求距离问题的两个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 角度(一) 两点都不可到达1.如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，要测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB .若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________km.解析：∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°，∴AC ＝DC ＝32(km)． 在△BCD 中，∠DBC ＝45°， 由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC ·sin ∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64.在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45° ＝34＋38－2×32×64×22＝38. ∴AB ＝64(km)．∴A ，B 两点间的距离为64 km. 答案：64角度(二) 两点不相通的距离2.如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a ，则可求出A ，B 两点间的距离．即AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α.若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，则A ，B 两点的距离为________m.解析：在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000. ∴AB ＝200 7 (m)．即A ，B 两点间的距离为200 7 m. 答案：200 7角度(三) 两点间可视但有一点不可到达3.如图，为了测量两座山峰上P ，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m 且和P ，Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得∠PAB ＝90°，∠PAQ ＝∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，则P ，Q 两点间的距离为________ m.解析：由已知，得∠QAB ＝∠PAB －∠PAQ ＝30°.又∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，∴∠AQB ＝30°，∴AB ＝BQ . 又PB 为公共边，∴△PAB ≌△PQB ，∴PQ ＝PA . 在Rt △PAB 中，AP ＝AB ·tan 60°＝900，故PQ ＝900， ∴P ，Q 两点间的距离为900 m. 答案：900【针对训练】1．已知A ，B 两地间的距离为10 km ，B ，C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( )A ．10 kmB ．10 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km解析：选D 由余弦定理可得： AC 2＝AB 2＋CB 2－2AB ×CB ×cos 120° ＝102＋202－2×10×20×⎝⎛⎭⎫－12＝700. ∴AC ＝107(km)．2．一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( )A ．15 2 kmB ．30 2 kmC ．45 2 kmD ．60 2 km 解析：选B 作出示意图如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠DAC ＝60°，∠CBM ＝15°，∴∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°. 在△AMB 中，由正弦定理，得60sin 45°＝BM sin 30°， 解得BM ＝30 2.考点三 测量角度问题1．注意解决测量角度问题的3事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． (2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．2．掌握解三角形应用题的4步骤【典型例题】游客从某旅游景区的景点A 处至景点C 处有两条线路．线路1是从A 沿直线步行到C ，线路2是先从A 沿直线步行到景点B 处，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的119倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C 处．经测量，AB ＝1 040 m ，BC ＝500 m ，则sin ∠BAC 等于________．解析：依题意，设乙的速度为x m/s ， 则甲的速度为119x m/s ，因为AB ＝1 040 m ，BC ＝500 m ， 所以AC x ＝1 040＋500119x ，解得AC ＝1 260 m.在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝1 0402＋1 2602－50022×1 040×1 260＝1213，所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝ 1－⎝⎛⎭⎫12132＝513.答案：513【针对训练】在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．解：如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°， 解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20. 根据正弦定理得BC sin α＝ACsin 120°， 所以sin α＝20sin 120°28＝5314. 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314. 【课后演练】1.如图，两座灯塔A 和B 与河岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D 由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m解析：选C ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝2－3，∴BC ＝60tan60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)．3.如图，在塔底D 的正西方A 处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D 的南偏东60°的B 处测得塔顶的仰角为30°，A ，B 的距离是84 m ，则塔高CD 为( )A ．24 mB ．12 5 mC ．127 mD ．36 m解析：选C 设塔高CD ＝x m ， 则AD ＝x m ，DB ＝3x m.又由题意得∠ADB ＝90°＋60°＝150°， 在△ABD 中，利用余弦定理，得 842＝x 2＋(3x )2－23·x 2cos 150°， 解得x ＝127(负值舍去)，故塔高为127 m.4．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m解析：选A 作出示意图如图所示，设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，在Rt △BCD 中，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.5．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2 海里B ．10 3 海里C ．20 3 海里D ．20 2 海里解析：选A 画出示意图如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°， 解得BC ＝102(海里)．6.如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)：AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为( )A ．7 kmB ．8 kmC ．9 kmD ．6 km解析：选A 在△ACD 中，由余弦定理得： cos D ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝34－AC 230.在△ABC 中，由余弦定理得： cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝89－AC 280.因为∠B ＋∠D ＝180°，所以cos B ＋cos D ＝0， 即34－AC 230＋89－AC 280＝0，解得AC ＝7.7．海上有A ，B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，那么B 岛和C 岛间的距离是________ n mile.解析：如图，在△ABC 中，AB ＝10，A ＝60°，B ＝75°，C ＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理，得AB sin C ＝BCsin A， 所以BC ＝AB ·sin A sin C ＝10×sin 60°sin 45°＝56(n mile)． 答案：5 68.如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20 n mile 的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30 min 后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向上，则海轮的速度为________n mile/min.解析：由已知得∠ACB ＝45°，∠B ＝60°， 由正弦定理得AC sin B ＝ABsin ∠ACB ，所以AC ＝AB ·sin B sin ∠ACB＝20×sin 60°sin 45°＝106，所以海轮航行的速度为10630＝63(n mile/min)．答案：639.某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________km.解析：如题图，由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，∴∠ASB ＝45°，由正弦定理知BS sin 30°＝ABsin 45°，∴BS ＝AB ·sin 30°sin 45°＝32(km)．答案：3 210．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°， ∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°. 又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°， 解得BC ＝300 2 m. 在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝100 6(m)． 答案：100 611．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( )A ．5 kmB ．10 kmC ．5 3 kmD ．5 2 km解析：选C 作出示意图(如图)，点A 为该船开始的位置，点B 为灯塔的位置，点C 为该船后来的位置，所以在△ABC 中，有∠BAC ＝60°－30°＝30°，B ＝120°，AC ＝15，由正弦定理，得15sin 120°＝BC sin 30°，即BC ＝15×1232＝53，即这时船与灯塔的距离是5 3 km.12．地面上有两座相距120 m 的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为α2，且在两塔底连线的中点O 处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为( )A ．50 m,100 mB ．40 m,90 mC ．40 m,50 mD ．30 m,40 m解析：选B 设高塔高H m ，矮塔高h m ，在O 点望高塔塔顶的仰角为β.则tan α＝H 120，tan α2＝h 120， 根据三角函数的倍角公式有H 120＝2×h 1201－⎝⎛⎭⎫h 1202.① 因为在两塔底连线的中点O 望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在O 点望矮塔塔顶的仰角为π2－β， 由tan β＝H 60，tan ⎝⎛⎭⎫π2－β＝h 60， 得H 60＝60h .② 联立①②解得H ＝90，h ＝40.即两座塔的高度分别为40 m,90 m.13.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径的长度为( )A ．50 5 mB ．507 mC ．5011 mD ．5019 m解析：选B 设该扇形的半径为r ，连接CO .由题意，得CD ＝150(m)，OD ＝100(m)，∠CDO ＝60°，在△CDO 中，由余弦定理得，CD 2＋OD 2－2CD ·OD ·cos 60°＝OC 2，即1502＋1002－2×150×100×12＝r 2， 解得r ＝507.14.(2018·惠州调研)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，可得∠DBA＝135°，∠ADB＝30°.在△ABD中，根据正弦定理可得ABsin∠ADB＝BDsin∠BAD，即50sin 30°＝BDsin 15°，所以BD＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝25(6－2)．在△BCD中，由正弦定理得CD∠DBC＝BDsin∠BCD，即25sin 45°＝25(6－2)sin∠BCD，解得sin∠BCD＝3－1.所以cos θ＝cos(∠BCD－90°)＝sin∠BCD＝3－1.答案：3－115.(2018·福州质检)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为______m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD ＝60°，∠CAD＝45°.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC＝14v.在Rt△ADB中，AB＝ADcos∠BAD＝ADcos 60°＝200.在Rt△ADC中，AC＝ADcos∠CAD＝100cos 45°＝100 2.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以(14v)2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.答案：22.616.一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(23－2)n mile 到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile到达海岛C.(1)求AC的长；(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小．解：(1)由题意，在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝23－2，BC＝4，根据余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝(23－2)2＋42＋(23－2)×4＝24，所以AC＝2 6.故AC的长为2 6 n mile.(2)根据正弦定理得，sin∠BAC＝4×3226＝22，所以∠CAB＝45°.17.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一座发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100 m和BN＝200 m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100 3 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝100 3.连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，PQ＝1003，∴△PQM为等边三角形，∴QM＝100 3.在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200，∴BQ＝1005，cos θ＝5 5.在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQ cos θ＝(1005)2，∴BA＝100 5.即两发射塔顶A，B之间的距离是100 5 m.18.如图所示，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到点A的距离分别为20 km和50 km.某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线AC的距离．解：(1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.在△PAB 中，AB ＝20，cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB ＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x. 同理，在△PAC 中，AC ＝50，cos ∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x . 因为cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，所以3x ＋325x＝25x ，解得x ＝31. (2)作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠PAD ＝2531，得 sin ∠PAD ＝1－cos 2∠PAD ＝42131， 所以PD ＝PA sin ∠PAD ＝31×42131＝421(km)． 故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421 km.。

正弦定理、余弦定理综合训练题1．[2016·全国卷Ⅰ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．3[解析] D 由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D. 2．[2016·全国卷Ⅲ] 在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( ) A.310 B.1010 C.55 D.31010[解析] D 作AD ⊥BC 交BC 于点D ，设BC ＝3，则有AD ＝BD ＝1，AB ＝2，由余弦定理得AC ＝ 5.由正弦定理得5sin π4＝3sin A，解得sin A ＝3×225＝31010. 3．[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2 A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5[解析] D 由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得25cos 2A ＝1.因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＝15.在△ABC 中，根据余弦定理，得49＝b 2＋36－12b ·15，即b 2－125b 4．[2016·全国卷Ⅱ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．[解析] 因为cos A ＝45，cos C ＝513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365.又因为a sin A ＝b sin B ，所以b ＝a sin B sin A ＝2113. －13＝0，解得b ＝5或b ＝－135(舍去)． 5．[2015·全国卷Ⅰ] 已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C.(1)若a ＝b ，求cos B;(2)若B ＝90°，且a ＝2， 求△ABC 的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac .又a ＝b ，所以可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14. (2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，所以由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2.故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝2，所以△ABC 的面积为1.6．[2015·全国卷Ⅱ] △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2D C.(1)求sin ∠B sin ∠C； (2)若∠BAC ＝60°，求∠B.解：(1)由正弦定理得AD sin ∠B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin ∠C ＝DC sin ∠CAD. 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以sin ∠B sin ∠C ＝DC BD ＝12. (2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°，所以sin ∠C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos ∠B ＋12sin ∠B. 由(1)知2sin ∠B ＝sin ∠C ，所以tan ∠B ＝33，即∠B ＝30°. 7．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解：(1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C＝13－12cos C ，①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7. (2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3. 8.[2016·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4B.π3C.π4D.π6[解析] C ∵b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，∴2b 2sin A ＝b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝2b 2cos A ，∴tan A＝1，即A ＝π4. 9.[2015·广东卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( ) A ．3 B ．22 C ．2 D. 3 [解析] C 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋(23)2－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4.因为b <c, 所以b ＝2.10.[2016·上海卷] 已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________．[解析] 利用余弦定理可求得最大边7所对角的余弦值为32＋52－722×3×5＝－12，所以此角的正弦值为32.设三角形外接圆的半径为R ，由正弦定理得2R ＝732，所以R ＝733. 11.[2016·北京卷] 在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则b c＝________．[解析] 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得，3c 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，整理得b c 2＋b c－2＝0，解得b c ＝1或b c＝－2(舍去)．12.[2016·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若cos B ＝23，求cos C 的值． 解：(1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )． 又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B.(2)由cos B ＝23得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，故cos A ＝－19，sin A ＝459，cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2227.。

《正弦定理、余弦定理》单元测试一. 选择题：1. 在∆ABC 中，a b c bc 222=++，则A 等于（ ）A B C D ....604512030︒︒︒︒2. 在∆ABC 中，||||()()AB BC AB BC AB BC →=→=→+→⋅→+→=+12523，，，则边||AC →=（ ） A B C D ....5523523523--+3. 在∆ABC 中，a b B ===︒232245，，，则A 为（ ）A B C D ....60120603015030︒︒︒︒︒︒或或4. 在∆AB C A a B b B 中，若，则sin cos =∠=（ ） A B C D ....30456090︒︒︒︒ 5. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角或钝角三角形6. 为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，那么塔AB 的高度是 （ ） A.)331(20+ m B.)231(20+ m C.)31(20+ m D.30 m7. 在∆ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则∆ABC 是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 正三角形8. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程57602x x --=的根，则三角形的另一边长为（ ）A. 52B. 213C. 16D. 49、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4则△ABC 的面积为( )A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2 D.3－110、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12 B.12C ．－1D ．1二. 填空题：11、 在∆ABC 中，a b A B +==︒=︒126045，，，则a =_______，b =________12. 如图所示，在河岸AC 测量河的宽度BC ，图中所标的数据a ，b ，c ，α，β是可供测量的数据.下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是 （填序号）.①c 和α②c 和b ③c 和β④b 和α13. 已知∆A B C 的外接圆半径是2，且满足条件2222(sin sin )()sin A C a b B -=-，则求角C=14. 在∆ABC 中，A 、B 均为锐角，且cos sin A B >，则∆ABC 是_________15.如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°,与灯塔S 相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为 海里/小时.三、解答题16. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ·sin C ＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．17. 在ABC ∆中，已知BC a =，AC b =，,a b 是方程220x -+=的两个根，且2cos()1A B +=。

正弦定理、余弦定理及解三角形最新考纲 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.知识梳理1.正、余弦定理在△2.S△ABC＝2ab sin C＝2bc sin A＝2ac sin B＝4R＝2(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.3.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(×)(2)在△ABC中，A＞B必有sin A＞sin B.(√)(3)在△ABC中，若sin A sin B＜cos A cos B，则此三角形是钝角三角形.(√)(4)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(×)(5)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.(√)2.(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23，cos A＝32，且b＜c，则b＝( )A.3B.2 2C.2D. 3解析由余弦定理b2＋c2－2bc cos A＝a2，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4，∵b＜c＝23，∴b＝2.选C.答案 C3.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A.102海里 B.103海里 C.203海里 D.202海里解析 如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝102(海里).答案 A4.(2014·江西卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.3B.932 C.332D.3 3解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案 C 5.(2015·北京卷)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________.解析 由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，∴sin A ＝74，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，∴sin C ＝378，∴sin 2Asin C ＝2×34×74378＝1.答案 1考点一 利用正、余弦定理解三角形【例1】 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值. 解 (1)由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－42ac ＝79，即a 2＋c 2－4＝149ac .∴(a＋c )2－2ac －4＝149ac ，∴ac ＝9.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝6，ac ＝9，得a ＝c ＝3. (2)在△ABC 中，cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫792＝429. 由正弦定理得：asin A ＝bsin B，∴sin A ＝a sin B b ＝3×4292＝223.又A ＝C ，∴0＜A ＜π2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，∴sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝223×79－13×429＝10227.规律方法 (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. 【训练1】 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B . (1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值.解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac .因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26.考点二 利用正、余弦定理判定三角形的形状【例2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C . (1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状. 解 (1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°. 由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， ∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. ∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°.∴B ＋30°＝90°，B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，△ABC 为等边三角形.规律方法 (1)三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形. (2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理.【训练2】 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 (2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c b<cos A ，则△ABC 为( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形D.等边三角形解析 (1)由2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，得a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12ab 2ab ＝－14＜0，所以90°＜C ＜180°，即△ABC 为钝角三角形.(2)依题意得sin Csin B<cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形. 答案 (1)A (2)A考点三 和三角形面积有关的问题【例3】 (2015·全国Ⅱ卷)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍.(1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长. 解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC .由正弦定理可得 sin B sin C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6， 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.规律方法 三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 【训练3】 (2015·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6的值. 解 (1)在△ABC 中，由cos A ＝－14，可得sin A ＝154.由S △ABC ＝12bc sin A ＝315，得bc ＝24，又由b －c ＝2，解得b ＝6，c ＝4.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a ＝8.由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝158. (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝cos 2A ·cos π6－sin 2A ·sin π6 ＝32(2cos 2A －1)－12×2sin A ·cos A ＝15－7316. 考点四 正、余弦定理在实际问题中的应用【例4】 如图，在海岸A 处，发现北偏东45°方向距A 为(3－1)海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：6≈2.449). 解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则有CD ＝103t (海里)，BD ＝10t (海里).在△ABC 中，∵AB ＝(3－1)海里，AC ＝2海里，∠BAC ＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得 BC ＝（3－1）2＋22－2×2×（3－1）cos 120°＝6(海里).根据正弦定理，可得sin ∠ABC ＝AC sin 120°BC ＝2×326＝22.∴∠ABC ＝45°，易知CB 方向与正北方向垂直， 从而∠CBD ＝90°＋30°＝120°. 在△BCD 中，根据正弦定理，可得sin ∠BCD ＝BD sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12，∴∠BCD ＝30°，∠BDC ＝30°，∴BD ＝BC ＝6(海里)，则有10t ＝6，t ＝610≈0.245小时＝14.7分钟.故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船.规律方法 解三角形应用题的两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.【训练4】 (2015·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析 在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠ACB ，即BC sin 30°＝600sin 45°，所以BC ＝300 2.在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan ∠CBD ＝3002·tan 30°＝1006(m).答案 100 6[思想方法]正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形形状的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.一般地，利用公式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理A ＋B ＋C ＝π.利用公式cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，可将有关三角形中的角的余弦化为边的关系，然后充分利用代数知识求边. [易错防范]1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论(此种类型也可利用余弦定理求解).2.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.3.解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来.而容易出现的错误是把角的含义弄错，把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·哈尔滨模拟)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则C ＝( )A.30°B.45°C.60°D.75°解析 法一 ∵S △ABC ＝12|AB ||AC |sin A ＝32，即12×3×1×sin A ＝32，∴sin A ＝1，∴A ＝90°， ∴C ＝60°，故选C.法二 由正弦定理，得sin B AC ＝sin C AB ，即12＝sin C3，∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝34≠32(舍去).而当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝32，符合条件，故C ＝60°.故选C. 答案 C2.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定解析 由正弦定理，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2 A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A .∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1，即A ＝π2，故选B.答案 B3.(2016·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( ) A.12B.1C. 3D.2 解析 ∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bc sin A ＝3，故选C.答案 C4.(2016·东北三省三校联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a ＞b ”是“cos 2A ＜cos 2B ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析 因为在△ABC 中，a ＞b ⇔sin A ＞sin B ⇔sin 2A ＞sin 2B ⇔2sin 2A ＞2sin 2B ⇔1－2sin 2A ＜1－2sin 2B ⇔cos 2A ＜cos 2B .所以“a ＞b ”是“cos 2A ＜cos 2B ”的充分必要条件. 答案 C5.(2016·河南六市联考)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC ＝2，则b 的值为( )A. 3B.322C.2 2D.2 3解析 由S △ABC ＝12bc sin A ＝2，得bc ＝3，①又由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得b 2＋c 2＝6.② 由①②解得b ＝ 3. 答案 A 二、填空题6.(2015·广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.解析 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B，即3sin 2π3＝bsinπ6，解得b ＝1. 答案 17.(2015·福建卷)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________.解析 S ＝12AB ·AC ·sin A ，∴sin A ＝32，在锐角三角形中A ＝π3，由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝7.答案 78.(2014·新课标全国Ⅰ卷)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m. 解析 在Rt △ABC 中，∠CAB ＝45°，BC ＝100 m ，所以AC ＝100 2 m. 在△AMC 中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，从而∠AMC ＝45°，由正弦定理，得AC sin 45°＝AMsin 60°，因此AM ＝100 3 m.在Rt △MNA 中，AM ＝100 3 m ，∠MAN ＝60°，由MN AM＝sin 60°，得MN ＝1003×32＝150(m). 答案 150 三、解答题9.(2016·武汉质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a 2－b 2－c 2＋3bc ＝0，2b sin A ＝a ，BC 边上中线AM 的长为14. (1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积.解 (1)由a 2－b 2－c 2＋3bc ＝0，得b 2＋c 2－a 2＝3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，∴A ＝π6，由2b sin A ＝a ，得b ＝a ，∴B ＝A ＝π6.(2)设AC ＝BC ＝x ，由余弦定理，得AM 2＝x 2＋x 24－2x ·x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝(14)2，解得x ＝22，故S △ABC ＝12×22×22×32＝2 3.10.(2015·四川卷)已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋3px －p ＋1＝0(p ∈R )的两个实根. (1)求C 的大小；(2)若AB ＝3，AC ＝6，求p 的值.解 (1)由已知，方程x 2＋3px －p ＋1＝0的判别式Δ＝(3p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0，所以p ≤－2，或p ≥23，由根与系数的关系，有tan A ＋tan B ＝－3p ，tan A tan B ＝1－p ，于是1－tan A tan B ＝1－(1－p )＝p ≠0，从而tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3pp ＝－3，所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝3，所以C ＝60°.(2)由正弦定理，得sin B ＝AC sin C AB ＝6sin 60°3＝22，解得B ＝45°，或B ＝135°(舍去)，于是A ＝180°－B －C ＝75°， 则tan A ＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝2＋3， 所以p ＝－13(tan A ＋tan B )＝－13(2＋3＋1)＝－1－ 3.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2014·新课标全国Ⅱ卷)已知钝角△ABC 的面积为12，AB ＝1，BC ＝2，则AC 等于( )A.5B. 5C.2D.1解析 ∵S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4. 当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2＝1，∴AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意.故AC ＝ 5. 答案 B12.(2016·江西师大附中模拟)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，则c ＝( )A.27B.4C.2 3D.3 3解析 ∵a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，由正弦定理，得sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos C ，∴sin(A ＋B )＝sin C ＝2sin C cos C ，由于0＜C ＜π，sin C≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，∵S △ABC ＝23＝12ab sin C ＝34ab ，∴ab ＝8，又a ＋b ＝6，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋16－8＝12，∴c ＝23，故选C.答案 C13.(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________.解析 由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3. 答案 314.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值. (1)求f (x )的值域及周期； (2)求△ABC 的面积.解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3.因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以T ＝2π2＝π. 又因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈[－1，1]， 所以f (x )的值域为[－2，2].(2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π，故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值，所以A ＝512π，所以C ＝π4.由正弦定理，知3sin π3＝csinπ4⇒c ＝ 2.又因为sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝2＋64，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34.复习导读 正、余弦定理是解三角形的主要工具，高考中主要考查用其求三角形中的边和角及实现边、角之间的转化；解三角形是三角函数的知识在三角形中的应用，高考中可单独考查，也可以与三角函数、不等式综合考查.考点一 解三角形与三角恒等变换的综合【例1】 (满分12分)(2015·浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值.[满分解答] (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理，得sin 2B －12＝12sin 2C .(2分)所以－cos 2B ＝sin 2C .(4分)又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝sin 2C ， 解得tan C ＝2.(6分)(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得sin C ＝255，cos C ＝55，(8分)又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，(9分) 所以sin B ＝31010，(10分)由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.(12分)❶利用正弦定理进行边化角得2分； ❷由cos 2B 为桥梁解得tan C 得4分； ❸由tan C 求得sin C ，cos C 得2分；❹正弦定理得b 与c 的关系及△ABC 的面积可求b 得2分.第一步：利用正(余)弦定理进行边角转化； 第二步：利用三角恒等变换求边与角； 第三步：代入数据求值；第四步：查看关键点，易错点.探究提高 三角恒等变换和解三角形的结合，一般有两种类型：一是先利用三角函数的平方关系、和角公式等求符合正、余弦定理中的边与角，再利用正、余弦定理求值；一是先利用正、余弦定理确定三角形的边角，再代入到三角恒等变换中求值.【训练1】 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2. (1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2A的值； (2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积.解 (1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13.所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25. (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)， 得sin A ＝1010，cos A ＝31010. 又由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝b sin B，得b ＝3 5. 由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4，得sin C ＝255， 设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9. 考点二 解三角形与三角函数的综合【例2】 (2015·山东卷)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间； (2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值. 解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22 ＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z, 可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ； 由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ). (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立.因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 探究提高 三角函数和解三角形的结合，一般可以利用三角变换化简所给函数关系式，再结合正、余弦定理解三角形.【训练2】 (2016·成都诊断)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋2sin 2ωx 2(ω＞0)，已知函数f (x )的图象的相邻两对称轴间的距离为π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c (其中b ＜c )，且f (A )＝32，△ABC 的面积为S ＝63，a ＝27，求b ，c 的值.解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋1－cos ωx ＝32sin ωx －12cos ωx ＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1. ∵函数f (x )的图象的相邻两对称轴间的距离为π，∴函数f (x )的周期为2π.∴ω＝1.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋1. (2)由f (A )＝32，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3. ∵S ＝12bc sin A ＝63，∴12bc sin π3＝63，bc ＝24， 由余弦定理，得a 2＝(27)2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝b 2＋c 2－24. ∴b 2＋c 2＝52，又∵b ＜c ，解得b ＝4，c ＝6.考点三 解三角形中的最值问题【例3】 (2016·临川一中模拟)已知f (x )＝3cos 2x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋x sin(π－x )， x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期及单调增区间；(2)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f (A )＝－3，a ＝3，求BC 边上的高的最大值.解 (1)f (x )＝3cos 2x －sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， ∴f (x )的最小正周期为π，令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋32π(k ∈Z )，得 k π＋512π≤x ≤k π＋1112π(k ∈Z )， ∴单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋512π，k π＋1112π(k ∈Z ). (2)由f (A )＝－3得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3＝32，又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得9＝b 2＋c 2－bc ≥bc ，即bc ≤9(当且仅当b ＝c 时取等号)，设BC 边上的高为h ，由三角形等面积法知12ah ＝12bc sin A ， 得3h ＝32bc ≤932，∴h ≤332，即h 的最大值为332. 探究提高 解三角形的最值问题常需结合基本不等式求解，关键是由余弦定理得到两边关系，再结合不等式求解最值问题，或者将所求转化为某个角的三角函数，借助三角函数的值域求范围.【训练3】 (2015·湖南卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角.(1)证明：B －A ＝π2； (2)求sin A ＋sin C 的取值范围.(1)证明 由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin A sin B， 所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A .又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故B ＝π2＋A ， 即B －A ＝π2. (2)解 由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A ＞0， 所以A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4. 于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98. 因为0＜A ＜π4， 所以0＜sin A ＜22， 因此22＜－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98. 由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤22，98. (建议用时：45分钟)一、选择题1.(2016·长沙模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a ＝2b cos C ”是“△ABC 是等腰三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 依题意，由a ＝2b cos C 及正弦定理，得sin A ＝2sin B cos C ，sin(B ＋C )－2sin B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C －2sin B cos C ＝sin(C －B )＝0，C ＝B ，△ABC 是等腰三角形；反过来，由△ABC 是等腰三角形不能得知C ＝B ，a ＝2b cos C .因此，“a ＝2b cos C ”是“△ABC 是等腰三角形”的充分不必要条件，故选A.答案 A2.(2015·郑州质量预测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a － 3 c )sin A ，则角B 的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.120°解析 由正弦定理可知(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，∴b 2－c 2＝a 2－3ac ，即a 2＋c 2－b 2＝3ac .∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32， ∴B ＝30°.答案 A3.(2015·太原二模)在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝45，BC ＝4，则AB ＝( ) A.5 B.4 C.3 D.2解析 ∵cos A ＝35，cos B ＝45，∴sin A ＝45，sin B ＝35，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝0，∴A ＋B ＝C ＝π2，∴AB ＝BC sin A＝5.故选A. 答案 A4.(2016·乌鲁木齐诊断)在△ABC 中，AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，且cos C ＝55，则A ＝( ) A.30° B.45° C.60° D.120°解析 由题意及正弦定理，得sin B cos A ＝3sin A cos B ，∴tan B ＝3tan A ，∴0°＜A ，B ＜90°，又cos C ＝55，故sin C ＝255，∴tan C ＝2，而A ＋B ＋C ＝180°， ∴tan(A ＋B )＝－tan C ＝－2，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2，将tan B ＝3tan A 代入，得4tan A 1－3tan 2A＝－2，∴tan A ＝1或tan A ＝－13，而0°＜A ＜90°，则A ＝45°，故选B. 答案 B5.(2016·洛阳统考)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝( )A.12B.1C.22D.32解析 由A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝π，得到B ＝π3， ∴cos B ＝12，又a ＝1，b ＝3， 根据余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，即c 2－c －2＝0，解得c ＝2，c ＝－1(舍去)，又sin B ＝32，b ＝3，根据正弦定理b sin B ＝c sin C得 sin C ＝c sin B b ＝2×323＝1. 答案 B6.(2016·石家庄模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A.1B. 2C. 3D.3解析 由c sin A ＝3a cos C ，得sin C sin A ＝3sin A cos C ，又在△ABC 中sin A ≠0，所以sin C ＝3cos C ，tan C ＝3，C ∈(0，π)，所以C ＝π3. 所以sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以当A ＝π3时，sin A ＋sin B 取得最大值3，故选C.答案 C二、填空题7.(2015·重庆卷)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________. 解析 依题意知∠BDA ＝C ＋12∠BAC ， 由正弦定理得2sin ∠BDA ＝3sin B ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋12∠BAC ＝22， ∵C ＋∠BAC ＝180°－B ＝60°，∴C ＋12∠BAC ＝45°，∴∠BAC ＝30°，C ＝30°. 从而AC ＝2·AB cos 30°＝ 6.答案 68.(2016·陕西八校联考)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________.解析 ∵S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，∴12bc sin A ＝2bc －(b 2＋c 2－a 2)＝2bc －2bc cos A ， 即sin A ＋4cos A ＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＋4cos A ＝4，sin 2A ＋cos 2A ＝1，解得sin A ＝817， ∴S ＝12bc sin A ＝417bc ≤417×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝6417， 当且仅当b ＝c ＝4时取等号.答案 64179.(2015·云南检测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin A ＋2sin B ＝2sin C ，b ＝3，则cos C 的最小值等于________.解析 由sin A ＋2sin B ＝2sin C 可得a ＋2b ＝2c ，∵b ＝3，∴a ＋32＝2c .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9－c 26a. ∴由c ＝a ＋322，得cos C ＝a 2＋9－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32226a ＝a 2－22a ＋68a ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋6a －22≥6－24， ∵当且仅当a ＝6a，即a ＝6时，等号成立， ∴cos C ≥6－24.∴cos C 的最小值为6－24. 答案 6－24三、解答题10.(2016·烟台一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，b ＝5，c ＝7.(1)求角C 的大小；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3的值. 解 (1)由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋52－722×3×5＝－12. ∵0＜C ＜π，∴C ＝2π3. (2)由正弦定理b sin B ＝c sin C，得 sin B ＝b sin C c ＝5sin 2π37＝5314， ∵C ＝2π3，∴B 为锐角， ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫53142＝1114. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3 ＝5314×12＋1114×32＝437. 11.已知向量p ＝(2sin x ，3cos x )，q ＝(－sin x ，2sin x )，函数f (x )＝p ·q .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝1，c ＝1，ab ＝23，且a >b ，求a ，b 的值.解 (1)f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x cos x＝－1＋cos 2x ＋23sin x cos x ＝3sin 2x ＋cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ). (2)∵f (C )＝2sin(2C ＋π6)－1＝1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1， ∵C 是三角形的内角，∴2C ＋π6＝π2，即C ＝π6. ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，即a 2＋b 2＝7. 将ab ＝23代入可得a 2＋12a2＝7，解得a 2＝3或4. ∴a ＝3或2，∴b ＝2或 3.∵a >b ，∴a ＝2，b ＝ 3.12.已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋12. (1)求f (x )的最小正周期及对称轴方程；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝12，bc ＝6，求a 的最小值. 解 (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 故最小正周期T ＝2π2＝π. 令2x －π6＝k π＋π2，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z ). 故图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π3(k ∈Z ). (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12， 可知A －π6＝π6或A －π6＝5π6，即A ＝π3或A ＝π， 又0＜A ＜π，故A ＝π3. ∵bc ＝6，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥bc ＝6，当且仅当b ＝c 时等号成立，故a的最小值为 6.。

完整版)正弦定理与余弦定理练习题1.已知三角形ABC中，a=4，b=43，A=30°，求角B的大小。

解：根据正弦定理，有XXX，即sinB=43/4×sin30°=21.5/4.由此可知B的大小为30°或150°，故选B。

2.已知锐角三角形ABC的面积为33，BC=4，CA=3，求角C的大小。

解：根据面积公式，有33=1/2×4×3×sinC，即sinC=22/3.由此可知C的大小为arcsin(22/3)≈75°，故选A。

3.已知三角形ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且(2a+c)cosB+bcosC=0，求角B的大小。

解：根据余弦定理，有c^2=a^2+b^2-2abcosC，即cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)。

代入已知式中，得(2a+c)cosB-b(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=0，化简得(4a^2+2ac-b^2)cosB=2abc。

由此可知cosB=(2abc)/(4a^2+2ac-b^2)。

代入cosine double angle formula，得cos2B=(4a^2b^2c^2)/(4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4)。

由于cos2B≤1，可列出不等式4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4≥4a^2b^2c^2，即b^4-2ab^3+(2ac-2c^2-4a^2)b+6a^2c^2-5a^2b^2≤0.考虑b的取值，当b=0时，不等式显然成立；当b>0时，由于a,b,c均为正数，不等式两边同除以b^4后，得到一个关于x=ac/b^2的一元二次不等式6x^2-5x-2≤0.解得x∈[2/3,1]，即ac/b^2∈[2/3,1]。

由此可知cosB的取值范围为[1/2,√3/2]，故角B的大小为arccos(1/2)≈60°或arccos(√3/2)≈30°，故选B。

《正弦定理》教案（含答案）第一章：正弦定理的引入1.1 实物的直观引入利用直角三角形和平行四边形模型，引导学生直观感受正弦定理的概念。

让学生通过观察和实验，发现正弦定理在几何图形中的普遍性。

1.2 数学定义与公式给出正弦定理的数学表达式：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a, b, c分别为三角形的边长，A, B, C分别为对应的角度。

解释正弦定理的内涵，让学生理解各个参数之间的关系。

1.3 例题讲解选择具有代表性的例题，讲解正弦定理的应用方法。

引导学生通过正弦定理解决问题，培养学生的解题能力。

第二章：正弦定理的应用2.1 三角形内角和定理的推导利用正弦定理推导三角形内角和定理：A + B + C = 180°。

解释推导过程，让学生理解正弦定理与三角形内角和定理之间的关系。

2.2 三角形形状的判断利用正弦定理判断三角形的形状（直角三角形、锐角三角形、钝角三角形）。

引导学生通过正弦定理判断给定三角形的形状。

2.3 实际问题应用选择与生活实际相关的问题，引导学生利用正弦定理解决问题。

培养学生的实际问题解决能力，提高学生对正弦定理的应用意识。

第三章：正弦定理在测量中的运用3.1 角度测量讲解利用正弦定理进行角度测量的方法。

引导学生通过正弦定理进行角度测量，提高学生的实际操作能力。

3.2 距离测量讲解利用正弦定理进行距离测量的方法。

引导学生通过正弦定理进行距离测量，提高学生的实际操作能力。

3.3 实际测量案例提供实际测量案例，让学生利用正弦定理进行测量。

培养学生的实际测量能力，提高学生对正弦定理在测量中应用的理解。

第四章：正弦定理在三角函数中的应用4.1 三角函数的定义与关系讲解正弦定理与三角函数之间的关系。

引导学生理解正弦定理在三角函数中的应用。

4.2 三角函数图像的绘制利用正弦定理绘制三角函数图像。

培养学生的图像绘制能力，提高学生对正弦定理在三角函数中应用的理解。

4.3 三角函数问题的解决利用正弦定理解决三角函数问题。

正余弦定理的应用-同步分层能力测试题A 组一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．某人朝正东方向走了x km 后，向左转1500后，再向前走了3 km ，，那么x= 。

1．或2. 提示：由余弦定理知3=x 2+32-6xcos300,解得2.在△ABC 中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC 的形状是 三角形。

2．等腰。

提示:由2sinAcosB=sinC,知2sinAcosB=sin(A+B),∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.即cosAsinB-sinAcosB=0. ∴sin(B-A)=0， ∴B=A. 3．一飞机沿水平方向飞行，在位置A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行了10000米，到达位置B 时测得正前下方地面目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为 米． 3．。

提示：由正弦定理得0010000xsin 45sin 30=，得x=4．在平行四边形ABCD 中，已知AB=1，AD=2，1AB AD ⋅= ，则||AC= ．4.。

提示：||||cos 1AB AD AB AD A ⋅=⋅=，得cosA=12,A=600.故B=1200。

由余弦定理知：AC 2=12+22-4cos1200=7, ||AC5．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水 中漂行，此时，风向是北偏东300，风速是20 km/h ；水的流向是正东，流速是20km/h ，若 不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东___________，大小为___________km/h. 5.60 ， 203。

提示：解法一：如图1，∠AOB=600, 由余弦定理知OC 2=202+202-800cos1200=1200,故OC=203。

解法二：实质求||OA OB + ,平方即可。

图16.把一30厘米的木条锯成两段，分别做钝角三角行ABC 的两边AB 和BC ，且∠ABC=1200， AB= 时，才能使第三条边AC 最短。