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双曲线定义优质课件PPT

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双曲线的简单性质课件

双曲线的简单性质课件

焦点与准线的关系
焦点到准线的距离相等
双曲线的焦点到任意一条准线的距离相等，这是双曲线的基本性质之一。
焦点和准线共同确定双曲线的形状和大小
通过焦点和准线可以确定双曲线的形状和大小，因为它们决定了双曲线的离心率 和实轴、虚轴的长度。
03
双曲线的离心率
离心率的定义
• 离心率：双曲线的一个重要参数，定义为双曲线的焦点到其顶点的距离与双曲线的实轴长度的比值。
05
双曲线的对称性
双曲线的对称轴
总结词
双曲线的对称轴是垂直平分双曲线两 焦点的直线。
详细描述
双曲线的对称轴是垂直平分双曲线两 焦点的直线，也称为主轴。它与双曲 线的渐近线垂直，并且将双曲线划分 为两个对称的部分。
双曲线的对称中心
总结词
双曲线的对称中心是双曲线与对称轴的交点。
详细描述
双曲线的对称中心是双曲线与对称轴的交点，也称为顶点。它位于双曲线的渐近线上， 并且是双曲线与x轴的交点。
详细描述
双曲线的标准方程是 (x/a)^2 (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是双曲线 的实半轴和虚半轴长度。当a=b时， 双曲线为等轴双曲线；当a≠b时，双 曲线为非等轴双曲线。
双曲线的几何性质
总结词
双曲线具有离心率、渐近线、焦点等几何性质。
详细描述
离心率是双曲线的一个重要几何性质，它表示双曲线与坐标轴之间的相对位置关系。渐近线是双曲线上的直线， 它们与坐标轴平行。焦点是双曲线上的点，它们到原点的距离相等。这些性质在解决与双曲线相关的问题中具有 重要的作用。
感谢聆听
离心率决定双曲线的形状
离心率的变化会导致双曲线形状的变化，从而影响双曲线的形状和开口方向。
04

3-2-1双曲线及其标准方程 课件(共67张PPT)

3-2-1双曲线及其标准方程 课件(共67张PPT)
【解析】 距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若 F1，F2 表示双曲线的左、右焦点，且点 P 满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点 P 在右支上；若点 P 满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点 P 在左支上．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．

第2讲双曲线课件理课件.ppt

第2讲双曲线课件理课件.ppt

【互动探究】
1．设双曲线1x62－9y2＝1 上的点 P 到点(5,0)的距离为 15，则 P 点到(－5,0)的距离是( D )
A．7 B．23 C．5 或 23 D．7 或 23 解析：容易知道(5,0)与(－5,0)是给出双曲线的焦点，P 是双 曲线上的点，直接从定义入手．设所求的距离为 d，则由双曲线 的定义可得：|d－15|＝2a＝8⇒d＝7 或 23.
AB 的方程为 y＝x＋1，
因此 M 点的坐标为12，23， F→M＝－32，32. 同理可得F→N＝－32，－32. 因此F→M·F→N＝－322＋32×－32＝0 综上F→M·F→N＝0，即 FM⊥FN. 故以线段 MN 为直径的圆经过点 F.
的范围变化值需探究；
(3)运用不等式知识转化为 a、b、c 的齐次式是关键．
错源：没有考虑根的判别式 例 5：已知双曲线 x2－y22＝1，问过点 A(1,1)是否存在直线 l 与双曲线交于 P、Q 两点，并且 A 为线段 PQ 的中点？若存在求 出直线 l 的方程，若不存在请说明理由．
误解分析：没有考虑根的判别式，导致出错．
y2 9
Hale Waihona Puke －2x72 ＝1D．以上都不对
3．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 26，则双曲 线的渐近线方程为( C )
A．y＝±2x B．y＝± 2x
C．y＝±
2 2x
D．y＝±12x
4．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为 x
＋2y＝0，则双曲线的离心率 e 的值为( A )
正解：设符合题意的直线 l 存在，并设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

双曲线的简单性质课件ppt课件

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04 双曲线的标准方程的推导
推导过程
设双曲线上任意一点为$P(x,y)$， 根据双曲线的定义，点$P$到两 个焦点的距离之差为常数，即 $2a$。
利用距离公式和双曲线的定义， 可以得到点$P$到两个焦点的距 离分别为$sqrt{(x+a)^2+y^2}$ 和$sqrt{(x-a)^2+y^2}$。
对称性
01
02
03
对称性
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
总结词
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
详细描述
双曲线上的任意一点关于 x轴和y轴的对称点都在双 曲线上。
顶点
顶点
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
总结词
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
详细描述
顶点是双曲线与对称轴的 交点，也是双曲线离准线 最远的点。
比例常数。
性质
双曲线的焦点到任意一点的距离之 差等于常数2a，即|PF1| - |PF2| = 2a。
应用
通过焦点可以计算出双曲线的离心 率和准线方程。
焦距
定义
双曲线的两个焦点之间的距离称 为焦距，记作2c。
性质
焦距与半主轴长a和半次轴长b有 关，关系为c^2 = a^2 + b^2。
应用
通过焦距可以计算出双曲线的离 心率和准线方程。
双曲线的简单性质课件ppt课件
目录
• 双曲线的定义与标准方程 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的焦点与焦距 • 双曲线的标准方程的推导 • 双曲线的应用
01 双曲线的定义与标准方程
定义
总结词
双曲线是由两个无限延伸的分支组成的，其形状类似于开口 的抛物线。

双曲线的基本知识点PPT

双曲线的基本知识点PPT

按方程形式分类
双曲线方程的对称性 双曲线的标准方程是(x-a)²/b² - (y-b)²/a² = 1，其具有中心对称性，即点 (a, b)为中心。 双曲线的焦距与实轴长度的关系 在双曲线中，焦距c与实轴长度2a有固定的数学关系：c² = a² + b²，此 式被称为双曲线的基本性质之一。
T 双曲线关于其轴和中心点均具有对称性，这是由其定义决定的。 双曲线的渐近线性质 双曲线的渐近线是一条直线，该直线与双曲线交于两个无穷远点，这是双 曲线的重要特性之一。
05 双曲线的实际应用
双曲线的实际应用:物理中的应 用
双曲线的几何特性 双曲线是二次曲线的一种，其 双曲线的几何特性 双曲线是二次曲线的一种，其几何特性包括焦点在两个固定点，且所有到两 焦点距离之和为定长的点的集合。 双曲线的方程式 双曲线的标准方程是(x^2)/a^2 - (y^2)/b^2 = 1，其中a, b > 0, a^2 + b^2 = c^2 双曲线在物理中的应用 双曲线广泛应用于物理学中，如电磁场理论、光学、量子力学等，例如，双 曲线的焦散线就是光学中的一条重要概念。 双曲线与实际问题的联系 双曲线的许多性质，如离心率、焦点等，可以用于解决实际问题，如测量物 体的距离、角度等。
双曲线的图形特征:焦点和准线
双曲线定义 双曲线是平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹。 焦点性质 双曲线的两个焦点位于实轴两端，距离实轴相等。 准线特征 双曲线有两条互相垂直的准线，分别交坐标轴于原点和渐近线点。
04 双曲线的性质解析
双曲线的性质解析:主要性质
双曲线的焦点特性 双曲线有两焦点位于其对称轴上，距离中心等距。 双曲线的对称性 双曲线具有旋转对称性和平移对称性。 双曲线的渐近线 双曲线有两个渐近线，分别代表双曲线在x轴和y轴上的极限状态。 实数双曲线的面积 实数双曲线的面积是πab/4。

双曲线的性质课件(PPT 15页)

双曲线的性质课件(PPT 15页)

y
B2
A1 F1 O
F2 A2
x
B1
y C3C2 C1
O
x
焦点在x轴上的双曲线图像
y 渐进线方程： b x a
Y x2 y2 1 a2 b2
B2
F1
A1
A2 F2 X B1
离心率对双曲线形状的影响
焦点在y轴上的双曲线图
像
Y
y2 a2
x2 b2
1
F2
A2
B1
O
B2
X
A1
F1
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
2、对称性：关于x轴，y轴，
原点对称。 3、顶点 A1(-a,0),A2(a,0)
F1 A1 O
A2 F2
x
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
B1
|A1A2|=2ca,|B1B2|=2b 5、离心率：e= a
根据以上几何性质能够
根据以上几何性质能否
较准确地画出椭圆的图形？ 较准确地画出双曲线的图形呢？
双曲线标准方程：y 2 x 2 1 双曲线性质： a 2 b2
Y
1、范围：y≥a或y≤-a
F2
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
A2
3、顶点 A1（0，-a），A2（0，a）
4、轴：实轴 A1A2 ; 虚轴 B1B2 B1
5、渐近线方程： y a x
o
b
6、离心率：e=c/a
A1
F2
B2 X
Y
F1
B2
F’1 A1 o
B1
X
A2 F’2
F2
证明:(1)设已知双曲线的方程是:
x2 a2
y2 b2
1

《高中数学双曲线》课件

《高中数学双曲线》PPT 课件
欢迎来到《高中数学双曲线》PPT课件！今天我们将深入探讨双曲线的概念、 性质、应用以及解析常见问题。让我们一起展开这个引人入胜的数学世界吧！
双曲线概述
定义
双曲线是平面上一个特殊的曲线，具有独特的几何特征和数学性质。
图形特征
双曲线的形状呈现出两个分离的曲线臂，与其他曲线有明显的区别。
不等式
通过不等式关系描述双曲线所 在的区域，帮助理解其几何特 点。
常见问题解析
1
求双曲线方程
掌握不同双曲线类型的方程求解方法，解答常见问题。
2
判断图形类型
通过方程所表达的数学关系，辨别双曲线的种类和形状。
3
求焦距和离心率
计算焦距和离心率，把握双曲线的特性和重要参数。
双曲线应用
物理中的应用
双曲线在物理学中的多个 领域具有广泛应用，帮助 解释和描述自然现象。
定义
双曲线的焦点是离曲线两个 分离臂的距离相等的点。
焦距公式
通过数学公式计算出双曲线 焦点位置与曲线参数的关系。
证明
探索焦点与双曲线的数学证 明，了解焦点性质及其重要 性。
双曲线方程的分类
标式
标准式是表达双曲线的基本形 式，方便研究其特性。
一般式
一般式可表达更广泛的双曲线 方程，适用于各种变形。
了解双曲线背后的数学思想， 探索更广阔的应用领域。
方程
通过方程表达双曲线的数学关系，可以进一步研究它的特性。
双曲线的性质
1 对称性
双曲线具有关于两个相 互独立的对称轴的对称 性，这是其独特之处。
2 渐进行为
3 渐近线
在双曲线的两个分离臂 无限延伸时，它们逐渐 趋近于一组特定的直线。

双曲线定义PPT课件

第5页，共19页。
椭圆：平面内与两定点 F 1、F2的距离之和等 于常数( 大于 | F 1F2 | ) 的点的轨迹叫做椭圆。
这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭 圆的焦距。
双曲线：平面内与两定点 F 1、F2的距离的差 的绝对值等于常数( 小于 | F 1F2 | ) 的点的轨迹
叫做双曲线。这两定点叫做双曲线的焦点，两
常数=2a
2,双曲线就是集合：
F1
y
M
o F2 x
P= {M|||MF1|-|MF2||=2a }
即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a
第9页，共19页。
cx-a2=± a √(x-c)2+y2
(c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2)
• ∵c＞a，∴c2 ＞a2
第13页，共19页。
例2.已知双曲线的焦点为F1(-5,0),
F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距 离差的绝对值等于6，求双曲线的标 准方程。
第14页，共19页。
求标准方程的关键是什么？
1、中心、焦点位置定性；
2、a、b 定量。
位置、大小定标准方程
X型:
Y型:
第15页，共19页。
练习
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
3、与双曲线 x2 y2 1 的相同焦点，且经过
16 4
点 ( 3 2, 2 )
(1) x2 y2 1 16 9
(2) x2 y2 1 5
第19页，共19页。
x2 y2 (3) 1
12 8
定义 |MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
y

双曲线的简单性质课件


双曲线的焦点和准线
焦点：双曲线上的一点使得双曲线 上任意一点到该点的距离等于该点 到双曲线中心的距离
焦点和准线的定义
焦点和准线的关系：焦点和准线是 双曲线的两个基本性质它们决定了 双曲线的形状和位置
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
准线：双曲线上的一条直线使得双 曲线上任意一点到该直线的距离等 于该点到双曲线中心的距离
焦点和准线的应用：在解决双曲线 问题中经常需要利用焦点和准线的 性质来简化计算或证明结论
焦点和准线的几何意义
焦点：双曲线上的一点到两个定点的距离相等 准线：双曲线上的一点到两个定点的距离之差等于常数 几何意义：焦点和准线是双曲线的基本性质决定了双曲线的形状和位置 应用：在几何学、物理学、工程学等领域有广泛应用
双曲线的对称性使得其具 有旋转对称性
双曲线的对称性使得其具 有反射对称性
双曲线的对称性在几何学中具有重 要意义可以用来证明许多几何定理。
对称性的应用
在艺术和设计中双曲线的对称性可 以用来创造优美的图案和形状。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
在物理中双曲线的对称性可以用来 描述某些物理现象如电磁场、引力 场等。
添加副标题
双曲线的简单性质
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 双曲线的定义和标 准方程
03 双曲线的焦点和准 线
04 双曲线的渐近线
05 双曲线的离心率
06 双曲线的对称性
添加章节标题
双曲线的定义和标准方 程
双曲线的定义
双曲线是平面上到 两个定点的距离之 差的绝对值等于一 个常数（常数大于 0）的点的轨迹。
渐近线的定义

《2.2.1双曲线的定义与标准方程》课件-优质公开

2. 2双曲线2. 2.1 玖曲线的走义与标准方程1. 了解双曲线的定义、儿何图形和标准方程的推导过稈.2 •学握双曲线的标准方程.g»U5训» L谭»揀覲学习I «蠢讲»互动I，话白学导弓II. 双曲线的有关概念(1) 双曲线的定义平面上到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为定值 (小丁•丄也!_11人于零)的点的轨迹叫做双曲线・平面内与两个定点F］、尸2的距离的差的绝对值等riFiFJ时的点的轨迹为以鬥、尸2为端点的两条射线•平面内与两个定点C、尸2的距离的差的绝对值人于旧Fj时的点的轨迹不存在・，活g»U5训» L»»揀覲学习］«蠢讲»互动I(2) 双曲线的焦点和焦距双曲线泄义中的两个定点尺、尸2叫做双曲线的M,两焦点之间的距离叫做双曲线的钟「・学习I谭重讲»互动!■话g以范训》!■2. 双曲线的标准方程P 2(1) 焦点在X轴上的双曲线的标准方程是京-p=l(心人“?)焦点尺(一「' 0)，F^y(G 0) . \2 茁2(2) 焦点在y轴上的双曲线的标准方程是是二正二士史上9)焦点川(0，"C), F/0, cj ・(3) 双曲线中G、b、C的关系是＜= d2 + /;2(4) 已知两点求双曲线的标准方程，当焦点位置不确定时可设为A J T+By，= I ・(5) 双曲线的标准方程中，若J项的系数为止，则焦点在兰轴上，若r项的系数为正，则焦点在上轴上.学习I谭重讲»互动!■话g以范训》!■自主探究I.双曲线的定义中，为什么常数要小于IFiFJ?提示（1）如果定义中常数改为等于IF,Fol,此时动点的轨迹是以F],尸2为端点的两条射线（包括端点）.（2）如果定义中常数为0,此时动点轨迹为线段戸尸2的垂直平分线・（3）如果定义中常数改为大于IF.F.h此时动点轨迹不存在.»»揀覲学习I谭晝讲»互动!■话罠倉框训統!■2. 平面内与两个定点厲、耳的距离的差等于常数（小于IF /J）的点的轨迹是不是双曲线？提示不是，是双曲线的菜一支.预习测评1.已知平面上定点巧、巧及动点M,命题甲：I\MF,\-\ MF,\\=2ii（a为常数），命题乙：M点的轨迹是以巴、佗为焦点的双曲线，则甲是乙的（）•A.充分条件B.必要条件C,充要条件 D.既不充分也不必要条件解析根据双曲线的定义：乙=>甲，但甲=>/乙，只有当2 "<|巴尸21且〃却时，其轨迹才是双曲线.»»揀覲学习I谭晝讲»互动!■话罠倉框训統!■答案BiftArwn学习«宣讲练互动话2.若心2+勿2=b （ab<G）,则这曲线是（）・A・双曲线，焦点在X轴上B.双曲线，焦点在y轴上C.椭圆，焦点在X轴上 D.椭圆，焦点在y轴上y* ly解析原方程可化为万+ ■/■ 1, •••"vO, •••方vO,a知曲线是焦点在y轴上的双曲线，故选B.答案B3. 与双曲线千一召=1具有相同焦点的双曲线方程是___ （只写出一个即MJ ）.解析与m ■ *具有相同焦点的双曲线方程为矿£y市二j・1（-8如0）・iftArwn学习«宣讲练互动话，话glK范L»»揮克学习I «壷讲締互动I4.双曲线2x2—y2 = 8上一点P到其一个焦点的距离为10, 则P点到另一个焦点的距离为_______________ •答案6或14，话glK范《» L»»揮克学习I «壷讲締互动I。

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P(x,y)
点为P(x,y)
-5
F2(-c,0)
F1(c,0)
5
注：设两焦点之间的距离
为2c(c>0),
即焦点F1(c,0),F2(-c,0)
-5
2021/02/01
8
5
P(x,y)
二、根据双曲线的定 义找出P点满足的几 何条件。
-5
F2(-c,0)
|P 2|F |P 1| F 2 a
F1(c,0)
双曲线的定义及标准方程
2021/02/01
1
[复习] 1、求曲线方程的步骤
一、建立坐标系，设动点的坐标； 二、找出动点满足的几何条件；
三、将几何条件化为代数条件；
四、化简，得所求方程。
2021/02/01
2
2、椭圆的定义
到平面上两定点F1，F2的距离之和（大于 |F1F2|）为常数的点的轨迹
P1F P2F 2a
5
-5
2021/02/01
注：P点到两焦点的距
离之差的绝对值用 2a(a>0)表示。
9
5
P(x,y)
三、将几何条件化为
代数条件。
-5
F2(-c,0)
F1(c,0)
5
根据两点的间的距离公式得：
-5
(x c ) 2 y 2 (x c ) 2 y 2 2 a
2021/02/01
10
四、化简
代数式化简得： ( c 2 a 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 ( c 2 a 2 )
差的绝对值是常数(小于|F1F2|)
2021/02/01
6
定义的应用
1 方程 x 5 2y2x 5 2y2 6
表示的曲线是
2 方程 x 5 2y2x 5 2y2 10
表示的曲线是
A双曲线的右B两 支条射线 C双曲线D不表示任何曲线
2021/02/01
7
双曲线标准方25 16
x y (3)4
29
2
36
(4)4x29y236
x2 y2 1
94
2021/02/01
(4) y2 x2 1 49 14
例：方x程 2 y2 1表示 m1 2m
焦点y轴 在上的双,m曲 的线 范围
(A)m＞2 (C)1＜m＜2
(B)m＜1或m＞2 (D)m＜1
2021/02/01
3
3、椭圆的标准方程有几类？
[两类] a x2 2by221(焦点x轴 在上 )
bx22ay221(焦点y轴 在上 )
2021/02/01
4
[思考]
到平面上两定点F1，F2的距离之差（小于 |F1F2|）为常量的点的轨迹是什么样的图 形?
2021/02/01
5
双曲线的定义
双曲线的第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离
5
P(x,y)
因2a<2c, a<c, a2<c2, c2a2>0
-5
F2(-c,0)
于是令：c2-a2=b2
F1(c,0)
5
代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2
-5
2021/02/01
即:
x2 a2
y2 b2
1
C2=a2+b2
11
思考 如果双曲线的焦点在y轴上，焦点的
方程是怎样？
5
P(x,y)
2021/02/01
15
应 用
例、求适合下列条件的双曲线的标准方 两程个．焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，双曲线上
举 一点到两焦点距离的差的绝对值等于6；
例
及 变式1：两个焦点的坐标分别是(0,-4)、(0,4),双曲
演
线 上一点到两焦点距离的差的绝对值等于6；
练
反 变式2：两焦点距离是8，双曲线上一点P到两焦
馈
点距离之差的绝对值为6.
2021/02/01
16
应 用
变式3：与双曲线 且经过点
x2 y2 1 相同焦点，并 5
举
例
及
演 练 变式4：双曲线经过两点
与(2,1) .
反
馈
2021/02/01
17
总结提炼
1、理解双曲线的概念及其方程的推导过程 2、掌握双曲线标准方程的两种形式 3、灵活运用定义及待定系数法求双曲线 标准方程
2021/02/01
18
Thank you
感谢聆听 批评指导
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年XX月XX日
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F1(0,c)
y2 a2
x2 b2
1
-5
5
F2(0,-c)
C2=a2+b2
-5
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双曲线的标准方程
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
C2=a2+b2
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[练习一] 判断下列各双曲线方程焦点所 在的坐标轴；求a、b、c各为多少？
(1) x2 y2 1 25 16