第7讲 一元二次方程

第7讲因式分解法及配方法解一元二次方程知识框架利用因式分解法及配方法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一元二次方程因式分解和配方法两种解法进行讲解，重点是对一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点是因式分解法和配方法在解一元二次方程中的灵活应用. 通过这节课的学习一方面为我们后期学习求根公式法解一元二次方程提供依据，另一方面也为后面学习一元高次方程奠定基础.1. 因式分解法定义运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法.2. 因式分解法理论依据①如果两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零；反之，如果两个因式中至少有一个等于零，那么这两个因式的积也等于零(即：当 A B 0时，必有A 0或B 0 ;当A 0或B 0时，必有A B 0).②通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题.3. 因式分解法解一元二次方程一般步骤①将方程右边化为零；②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.例题分析【例1】解下列方程：2 2(1) x 3x 18 0 ；(2) 0.1x 1.2 0.4x .【例2】解下列方程:(1) 2x x 2【例3】解方程:x 2 ( .10 ..2)x 2... 5 0 .(1 '一 2)x 2 (3 . 2)x 2 0 .【例6】 已知一个一元二次方程的两个根分别为 2和-3,用刚学的因式分解法思想， 直接写出满足条件的一个一元二次方程 _____________ .【例7】 学生A 在解一元二次方程 x(x 1) x 时过程如下，请判断是否正确，若不正确，请 说明理由解：等式两边同时消去相同的数 x ,得到x 1 1解得x 2所以原方程的根为：x 2【例4】解方程: 【例5】解方程:【例8】 解关于x 的方程：3x 4 x 2 10 0.2 2 2(x 25x)2 10x 2 50x 24 0.例 10】 若 (a 2 b 2 2)(3 a 2 b 2)例 11 】 解关于 x 的方程： 2mx 2 (2m 1)x m 10.例 12】 解方程： y 2 2by a 22b 2 （ a 、b 为已知数）例 13】 解关于 x 的方程：(k 1)x 2 (3k 1)x2k 2 0 .例 14 】 解关于 x 的方程： 22 a2b 22x 4abx22a b ab 0例 9】 解关于 x 的方程：30 ，求 a 2 b 2的值.7.2配方法解一元二次方程知识精讲1. 配方法定义先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方式，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法.2. 配方法理论依据配方法的理论依据是完全平方公式：a2 2ab b2 (a b)2.3. 配方法解一元二次方程一般步骤先把二次项系数化为1:即方程左右两边同时除以二次项系数；①移项：把常数项移到方程右边；②配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x m)2 n的形式;③当n 0时，用直接开平方的方法解变形后的方程.例题分析【例15】用配方法解方程：y2 4 3y 2013 0 .【例16】用配方法解方程：2x2 5x 20 0 .【例17】用配方法解方程：0.3x2 0.2x — 0 .30【例18】用配方法解方程:(x 1)22(x 1) 1 0 (要求用整体法的思想求解)【例19】用配方法解关于x的方程：x2 2ax 4b2 a2 0.【例20】若把代数式x2 2x 3化为(x m)2 k的形式，其中m、k为常数，则m k _【例21】已知方程x2 6x q 0可以配方成(x p)2 7的形式，则x2 6x q 2可以配方成下列的( )(A)(x p) 5 ；( B)(x p)29 ；2 2(c) (x p 2) 9 ；( D) (x p 2) 5 .【例22】用配方法解关于x的方程：ax2 bx c 0 (a 0).【例23】已知△ ABC的一边长为4,另外两边长是关于x的方程x2 3kx 2k2 0的两根, 当k为何值时，△ ABC是等腰三角形?【例24】求证：无论x为何值，代数式2x2 4x 5的值总是小于2 .5x25y28xy 2y 2x 2 0 【例25】结合一元二次方程因式分解法的思想，求方程:的实数解.7.3课堂检测1.用适当的方法解下列方程：2(1) 4x x 21 ; (2) (x 2)( x 2)2(x 2)；2.2 2(3) x22x 3 0 ; (4) x 3x2 2(5) 2x2x 7 0 ；(6) 4(x 3)2解方程：2x2 4 5x 4、5 .. 5x2 8 .3.如果x2 2(m 1)x m2 5是一个完全平方式，求m的值.4.用配方法说明：不论x为何值，代数式2x2 6x 5的值总大于18 0 ；225(x 2)20 .0.5.解关于x 的方程：mx(m x) mn2 n(n2 x2) 0.6. 若实数x、y满足(x2 y2)2 (x2y2) 6 0 ,求x2 y2的值.7.4课后作业1. 用适当的方法解下列方程：(1)3x(x 1) 3x 3 ；( 2)7x223x 20 0 ；(3) 2x(x 2) x2 5 ；(4) (x 3)(x 4) 8 ;(5) (3x 2)(2x 1) x(3x 2) (6) (x21)25(x21) 4 0 ；(7) 2y2(•7 -5)y 号2. 若厶ABC的三边a、b、c的长度是x2 7x 6 0的解，求△ ABC的周长.3. 求证：无论x 为何值，代数式x2 4x 5 的值总是大于零．4. 若多项式x2 ax 2a 3是一个完全平方式，求a 的值.5. 解关于x 的方程：(m2 4n2)x2 (m2 12n2)x 2m2 6mn 0 (m2 4n2 0) .6. 已知x2 y2 z2 2x 4y 6z 14 0 ，请结合一元二次方程因式分解法的思想，求x y z 的值.。

第7讲 │ 归类示例
类型之四 (选讲)一元二次方程的根与系数的关系
命题角度： 1．利用根与系数的关系计算两根之和与两根之积 2．利用根与系数的关系求有关两根的代数式的值 3．利用根与系数的关系求方程中未知系数的值 [2011· 南充] 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋k＋1＝0 的实数解是 x1 和 x2. (1)求 k 的取值范围； (2)如果 x1＋x2－x1x2＜－1 且 k 为整数，求 k 的值．
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考点4 一元二次方程的应用
第7讲 │ 考点随堂练
14.某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳池，且游泳池的宽 比长短10 m，设游泳池的长为x m，则可得方程( A ) A．x(x－10)＝375 B．x(x＋10)＝375 C．2x(2x－10)＝375 D．2x(2x＋10)＝375
解： 因为(m－1)xm2＋1＋1＋mx＋2＝0是一元二次方 程，所以m－1≠0，m2＋1＝2，即m≠1，m＝± 1，故当 m＝－1时，方程(m－1)xm2＋1＋mx＋2＝0是一元二次方 程．
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考点2 一元二次方程的解法
直接开平方法 (x＋a)2＝b(b≥0)
± b- a x＝_________.
[解析] 将方程变形，x2＋4x＝－1，方程的两边同时加上 4，x2＋4x＋4＝－1＋4，所以(x＋2)2＝3.
第7讲 │ 考点随堂练
2 x1＝0，x2＝3 6．一元二次方程3x ＝2x的根是_____________．
2
2 [解析] 3x2－2x＝0，x(3x－2)＝0，x1＝0，x2＝3.
7．解下列方程： (1)4(3x－2)2－32＝0；
解： (1)(3x－2)2＝8,3x－2＝± 2， 2 2＋2 2 2－2 2 2± 2 2 x＝ 3 ，即x1＝ 3 ，x2＝ 3 .

一般形式防错提醒 第7讲┃ 考点聚焦考点2
直接 开平 方法 因式 分解 法
一元二次方程的四种解法
适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的 方程
基本思想
把方程化成ab＝0的形式，得a＝0或b＝0
方法规律
常用的方法主要运用提公因式法、平方差 公式、完全平方公式型因式分解
第7讲┃ 考点聚焦
第7讲┃ 归类示例
[解析] (1)由题意可得出3月份的用电量超过了a度，而4 月份的用电量在a度以内，那么可根据3月份的用电情况来 求a的值．可根据：不超过a度的缴费额＋3月份超过a度部 分的缴费额＝总的电费；列出方程，进而可求出a的值．然 后可根据4月份的用电量大致判断出a的取值范围，由此可 判定解出的a的值是否符合题意．(2)由(1)得a的值，把45代 入即可．
(1)毛利润＝售出价－进货价(2)纯利润＝售出价 －进货价－其他费用(3)利润率＝利润÷进货价
第7讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 一元二次方程的有关概念 命题角度： 1．一元二次方程的概念； 2．一元二次方程的一般式； 3．一元二次方程的解的概念． 例1 已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0) ，则a－b的值为( A ) A．－1 B．0 C．1 D．2 [解析] 把x＝－a代入x2＋bx＋a＝0，得(－a)2＋b×(－a) ＋a＝0，∴a2－ab＋a＝0， 所以a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，故选择A
第7讲┃ 归类示例
利用因式分解法解方程时，当等号两边有相 同的含未知数的因式(如例2)时，不能随便先约 去这个因式，因为如果约去则是默认这个因式 不为零，那么如果此因式可以为零，则方程会 失一个根，出现漏根错误．所以应通过移项， 提取公因式的方法求解．

第7讲因式分解法及配方法解一元二次方程知识框架利用因式分解法及配方法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一元二次方程因式分解和配方法两种解法进行讲解，重点是对一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点是因式分解法和配方法在解一元二次方程中的灵活应用．通过这节课的学习一方面为我们后期学习求根公式法解一元二次方程提供依据，另一方面也为后面学习一元高次方程奠定基础．7.1 因式分解法解一元二次方程1.因式分解法定义运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法．2.因式分解法理论依据①如果两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零；反之，如果两个因式中至少有一个等于零，那么这两个因式的积也等于零（即：当0A时，必有0A或=⋅B==B时，必有0⋅BA）．=B；当0==A或0②通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题．3.因式分解法解一元二次方程一般步骤①将方程右边化为零；②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．【例1】解下列方程：（1）23180-++=；（2）2x x-=．x x0.1 1.20.4【例2】 解下列方程：（1）()2225x x x -=+；（2）()()315x x +-=．【例3】 解方程：()()25258x x +-+=．【例4】 解方程：052)210(2=++-x x ．【例5】 解方程：02)23()21(2=++-+x x ．【例6】 已知一个一元二次方程的两个根分别为2和-3，用刚学的因式分解法思想，直接写出满足条件的一个一元二次方程 ．【例7】 学生A 在解一元二次方程x x x =-)1(时过程如下，请判断是否正确，若不正确，请说明理由解：等式两边同时消去相同的数x ，得到11=-x 解得2=x所以原方程的根为：2=x【例8】 解关于x 的方程：010324=--x x ．【例9】 解关于x 的方程：0245010)5(222=+-+-x x x x ．【例10】 若30)3)(2(2222-=---+b a b a ，求22b a +的值．【例11】 解关于x 的方程：01)12(2=++++m x m mx ．【例12】 解方程：2222y by a b -=-（a b 、为已知数）．【例13】 解关于x 的方程：022)13()1(2=++-+-k x k x k ．【例14】 解关于x 的方程：()()2222240a b x abx a b ab --=-≠．7.2 配方法解一元二次方程1. 配方法定义先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方式，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法． 2. 配方法理论依据配方法的理论依据是完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±． 3. 配方法解一元二次方程一般步骤先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数；①移项：把常数项移到方程右边；②配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成n m x =+2)(的形式； ③当0≥n 时，用直接开平方的方法解变形后的方程．【例15】 用配方法解方程：220130y --=．【例16】 用配方法解方程：020522=+--x x ．【例17】 用配方法解方程：210.30.2030x x -+=．【例18】 用配方法解方程：01)1(2)1(2=--+-x x （要求用整体法的思想求解）．【例19】 用配方法解关于x 的方程：042222=+--a b ax x ．【例20】 若把代数式322--x x 化为k m x --2)(的形式，其中m 、k 为常数，则=+k m．【例21】 已知方程062=+-q x x 可以配方成7)(2=-p x 的形式，则262=+-q x x 可以配方成下列的（）（A ）2()5x p -=； （B ）9)(2=-p x ；（C ）9)2(2=+-p x ；（D ）5)2(2=+-p x ．【例22】 用配方法解关于x 的方程：)0( 02≠=++a c bx ax ．【例23】 已知△ABC 的一边长为4，另外两边长是关于x 的方程02322=+-k kx x 的两根，当k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？【例24】 求证：无论x 为何值，代数式5422-+-x x 的值总是小于2-．【例25】 结合一元二次方程因式分解法的思想，求方程：022285522=+-+++x y xy y x 的实数解．7.3 课堂检测1. 用适当的方法解下列方程： （1）2142-=-x x ；（2）)2(2)2)(2(-=+-x x x ；（3）0322=++x x ；（4）01832=--x x ；（5）0722=-+x x ；（6）0)2(25)3(422=--+x x ．2. 解方程：855454222+=--x x x ．3. 如果5)1(222+++-m x m x 是一个完全平方式，求m 的值．4. 用配方法说明：不论x 为何值，代数式2265x x -+的值总大于0．5. 解关于x 的方程：0)()(222=----x n n mn x m mx ．6. 若实数x 、y 满足06)()(22222=-+++y x y x ，求22y x +的值．7.4 课后作业1. 用适当的方法解下列方程：（1）33)1(3+=+x x x ；（2）0202372=--x x ；（3）5)2(22+=-x x x ；（4）8)4)(3(=+-x x ；（5）0)23()12)(23(=--+-x x x x ；（6）04)1(5)1(222=+---x x ；（7）0235)57(22=++-y y ．2. 若△ABC 的三边a 、b 、c 的长度是0672=+-x x 的解，求△ABC 的周长．3. 求证：无论x 为何值，代数式542+-x x 的值总是大于零．4. 若多项式322-+-a ax x 是一个完全平方式，求a 的值．5. 解关于x 的方程：)04( 062)12()4(22222222≠-=+--+-n m mn m x n m x n m ．6. 已知014642222=+-+-++z y x z y x ，请结合一元二次方程因式分解法的思想，求z y x ++的值．。