第九章习题

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简谐振动一.选择题1.一质点作简谐振动,振动方程为x=A cos(ωt+ϕ) ,当时间t=T/2(T为周期) 时,质点的速度为a)-Aωsinϕ .b)Aωsinϕ .c)-Aωcosϕ .d)Aωcosϕ.2.把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开, 使摆线与竖直方向成一微小角度θ, 然后由静止放手任其振动, 从放手时开始计时, 若用余弦函数表示其运动方程,则该单摆振动的初位相为(A) θ .(B) π.(C) 0 .(D) π/2.3.两个质点各自作简谐振动,它们的振幅相同、周期相同, 第一个质点的振动方程为x1=A cos(ωt+α). 当第一个质点从相对平衡位置的正位移处回到平衡位置时, 第二个质点正在最大位移处, 则第二个质点的振动方程为(A) x 2=A cos(ω t +α +π/2) .(B) x 2=A cos(ω t +α -π/2) .(C) x 2=A cos(ω t +α -3 π/2) .(D) x 2=A cos(ω t +α + π) .4.轻弹簧上端固定,下系一质量为m 1的物体,稳定后在m 1的下边又系一质量为m 2的物体,于是弹簧又伸长了Δx ,若将m 2移去,并令其振动,则振动周期为(A) T=2 πg m xm 12∆.(B) T=2 πg m xm 21∆.(C) T=π21g m xm 21∆.(D) T=2 π()g m m x m 212+∆.5.一个质点作简谐振动,振辐为A ,在(A)起始时刻质点的位移为A/2,且向x轴的正方向运动,代表此简谐振动的旋转矢量图为图中哪一图?二.填空题1.用40N的力拉一轻弹簧,可使其伸长20cm,此弹簧下应挂kg的物体,才能使弹簧振子作简谐振动的周期T=0.2πs .2.一质点沿x轴作简谐振动,振动范围的中心点为x轴的原点. 已知周期为T,振幅为A.(1)若t=0时质点过x=0处且朝x轴正方向运动,则振动方程为x= .(2)若t=0时质点处于x=A/2处且朝x轴负方向运动,则振动方程为x= .3.一质点作简谐振动的圆频率为ω、振幅为A,当t=0时质点位于x=A/2处且朝x 轴正方向运动,试画出此振动的旋转矢量图.三.计算题1.在一轻弹簧下端悬挂m0=100g的砝码时,弹簧伸长8cm,现在这根弹簧下端悬挂m=250g的物体,构成弹簧振子. 将物体从平衡位置向下拉动4cm,并给以向上的21cm/s 的初速度(这时t=0) ,选x轴向下,求振动方程的数值式.2.边长l=0.10m、密度ρ=900kg·m-3的正方形木块浮在水面上,今把木块恰好完全压入水中,然后从静止状态放手. 假如不计水对木块的阻力,并设木块运动时不转动.(1)木块将作什么运动?(2)求木块质心(重心)运动规律的数值表达式(水的密度ρ'=1000 kg·m-3并取竖直向上为x轴的正方向)简谐振动能量振动合成一.选择题1.一倔强系数为k的轻弹簧截成三等份,取出其中的两根,将它们并联在一起,下面挂一质量为m的物体,如图所示,则振动系统的频率为<<<<<k(A) m k π21. (B) m k 621π. (C) m k 321π. (D) m k 321π.2.用余弦函数描述一简谐振动,已知振幅为A ,周期为T ,初位相ϕ=-π/3,则振动曲线为图中哪一图?3.弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时,弹性力在半个周期内所作的功为(A) ka 2 .(B) k A 2 / 2 .(C) kA 2 / 4 .(D) 0 .-(A)-(C) (B)(D)4.一质点作简谐振动,振动方程为x=A cos(ωt+ϕ),在求质点振动动能时,得出下面5个表达式:(1) (1/2) mω2A2sin2 (ωt+ϕ);(2) (1/2) mω2A2cos2 (ωt+ϕ);(3) (1/2) kA2 sin (ωt+ϕ);(4) (1/2) kA2 cos 2 (ωt+ϕ);(5) (2π2/T2) mA2 sin2 (ωt+ϕ).其中m是质点的质量, k是弹簧的倔强系数,T是振动的周期,下面结论中正确的是(A) (1) ,(4) 是对的;(B) (2) ,(4) 是对的.(C) (1) ,(5) 是对的.(D) (3) ,(5) 是对的.(E) (2) ,(5) 是对的.5.倔强系数分别为k1和k2的两个轻弹簧,各与质量为m1和m2的重物连成弹簧振子,然后将两个振子串联悬挂并使之振动起来,如图所示,若k1/m1与k2/m2接近,实验上会观察到“拍”的现象,则“拍”的周期应为(A) 2π∕()2211mkmk-.<1k2m12(B) 2π2211m k m k -.(C) 2π∕2211m k m k -.(D) [1/(2π)]2211m k m k +.二.填空题1.一作简谐振动的振动系统,其质量为2kg,频率为1000Hz,振幅为0.5cm,则其振动能量为 . 2.两个同方向的简谐振动曲线如图所示,合振动的振幅为 ,合振动的振动方程为 .3.一质点同时参与了两个同方向的简谐振动,它们的振动方程分别为x 1=0.05cos(ω t+π/4) (SI)x 2=0.05cos(ω t +19π/12) (SI)A 2A 1O其合成运动的运动方程为x= .三.计算题1.一质量为M、长为L的均匀细杆, 上端挂在无摩擦的水平轴上, 杆下端用一弹簧连在墙上, 如图所示. 弹簧的弹性系数为k. 当杆竖直静止时弹簧处于水平原长状态, 求杆作微小振动的周期( 杆绕过一端点且垂直杆的轴的转动惯量为ML2 /3).2.一质点同时参与两个同方向的简谐振动,其振动方程分别为x1=5×10-2cos(4t+π/3) (SI)x2=3×10-2sin(4t-π/6) (SI)画出两振动的旋转矢量图,并求合成振动的振动方程.一.选择题 B C B B B二.填空题1. 2.0.2.A cos(2πt/T-π/2);A cos(2πt/T+π/3).3. 见图.三.计算题1.物体受向下的重力和向上的弹性力.k=m0g/∆l, x0=4×10-2m,v0=-21×10-2m/sω=7s-1A=22020ω/v x+=5×10-2m因A cosϕ=4×10-2m,A sinϕ=-v0/ω=3×10-2m,有ϕ=0.64rad所以x=5×10-2cos(7t+0.64) (SI)2.取水面为坐标原点,向上为x正向,木块质心坐标为x .木块与水的密度分别为ρ与ρ',木块受向下的重力l3ρg与向上的浮力l2( l/2-x)ρ'g.平衡时木块质心坐标为a有l2(l/2-a)ρ'g-l3ρg=0a= l/2-lρ/ρ'=-0.4l=-0.04m(1)木块质心坐标为x时l2(l/2-x)ρ'g-l3ρg=ma= l3ρd2x/d t2(l/2-x)ρ'g-(l/2-a)ρ'g = lρd2x/d t2d2x/d t2+(x-a) gρ'/(ρ l) =0令X=x-a有d2X/d t2+[ gρ'/(ρ l)]X=0即木块作简谐振动X=A cos (ωt+ϕ0)其中ω=[ gρ'/(ρ l)]1/2=10.4rad/s (2)取放手时刻为t=0,有x0=-0.05m, X0=-0.01m; v0=0;得A=0.01m,ϕ0=π.X=A cos (ωt+ϕ0)= 0.01cos (10.4t+π) (SI) 所以, 木块质心相对水面的振动方程为x=X+a=-0.04+ 0.01cos (10.4t+π) (SI)一.选择题 B A D C C二.填空题1. 9.9×102J.2. ⎜A2-A1⎜;x=⎜A2-A1⎜cos(2πt/T+π/2).3. 0.05cos(ωt-π/12) (SI).三.计算题1.设杆向右摆动为角坐标θ正向.摆动过程中杆受重力矩和弹性力矩.当杆向右摆动θ角时, 重力矩和弹性力矩均与θ相反,有-(1/2)MgL sin θ-kL 2sin θ=I d 2θ/d t 2当作微小振动时,sin θ ≈θ, 且I=ML 2/3,有d 2θ/d t 2+( Mg /2+kL ) L θ /I =0d 2θ/d t 2+[3( Mg +2kL )/(2ML )]θ =0杆作微小振动的周期T=2π/[3( Mg +2kL )/(2ML )]1/2 =2π{(2ML ) /[3( Mg +2kL )]}1/22.因 x 2=3×10-2sin(4t -π/6)=3×10-2cos(4t -π/6-π/2) =3×10-2cos(4t -2π/3)=-3×10-2cos(4t +π/3)所以合振动方程为x =x 1+x 2=5×10-2cos(4t +π/3)-3×10-2cos(4t +π/3)=2×10-2cos(4t +π/3)(SI)。