资金的等值计算

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资金的等值计算

第一期期末投资A到n期期末的本利和为A（1＋i）n-1；第二期期末投资A到n期期末的本利和为A（1＋i）n-2；依次类推，第n-1期期末投资A到n期期末的本利和为A（1
＋i）；第n期期末的投资A到期末的本利和为A。所以，在 n期中，每期期末投资A，n期后的本利和为： F=A（1＋i）n-1（）＋A（1＋i）n-2＋…＋A（1＋i）＋A 即F=A[1+(1＋i)+＋…＋A（1＋i）n-2＋（1＋i）n-1] 两边同乘以（1+i） F（1＋i）=A[(1＋i)+＋…＋A（1＋i）n-1＋（1＋i）n] 两式相减得： F（1＋i）-F=A[（1+i）n-1]
利息率、利润率或收益率是一定时期
内的利息、利润或收益与投入资金的比率，反应资金时间变化的增值率或报酬率，这是衡量资金的时间价值的相对尺度。
4、资金时间价值意义
项目的经济评价中，必须增强资金的时间观念，考虑资金的时间价值，采用动态分析方法将不同的费用或效益折算成同一时点来进行比较。
5、资金时间价值计算方法
2、资金时间价值表现形式
一是资金投入生产或流通领域产生的增值称为利润（Profit）或收益（Income）
二是把资金存入银行或向银行借贷所得到或付出的增值额称为利息（Interest）
3、资金时间价值衡量尺度
利息、利润或收益是资金投入后在一定时期内产生的增值，或者视为使用资金的报酬，这是衡量资金的时间价值的绝对尺度。
一般地说，将t＋k个时点上发生的资金折现到第t个时点，所得的等值金额就是 t＋k个时点上的资金金额的现值。
常用P表示。
终值Future Value 与现值等价的将来某时点的资金值称为
“终值”

第二章第二节资金的等值计算13春

利率
（2）利率
• 概念
简称利率，是一定时期内（一年、半年、月、季度，即一个计息周期）利息总额与本金（借贷金额）的比率。利率＝期利息（I1） *100％本金（P）利率是单位本金经过一个计息周期后的增殖额。（年利率、半年利率、月利率，……）
利息的计算－单利/复利
引入：现在存入100元，存期3年，每年计息一次，年利率10%，计算第1年、第2年的利息。第一年的利息＝100×10%＝10 第二年的利息＝已产生的利息 10元是否计息
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 20 25 30 年数
单利复利
本利和
6.名义利率和实际利率
（1）名义利率(Nominal Interest Rate) 问题提出在技术经济分析中，复利计算通常以年为计息周期。但在实际经济活动中，计息周期有年、半年、季、月等多种，这样出现了不同计息周期的利率换算问题。如：按月计算利息，且其月利率为1%，通常称为“年利率12%，每月计息一次”。这个年利率 12%称为“名义利率”。
名义年利率：一年的利息额是按单利计算的；
实际年利率：一年的利息额是按复利计算的；
当一年中多次计息时（即m＞1时），两者产生差异；
二、资金等值
资金的时间价值引发的问题:
2000
0 1 2 3 4 5
3000
5000
－不能直接比较不同时间点的资金的价值大小。－需要利用等值换算，将不同时点的资金换算到同一时点进行比较。
r m i lim (1 ) 1 m m r e 1
若名义年利率为12％，以下各种情况下，实际年利率等于多少？
按年计息，m＝1 按半年计息，m＝2 按季度计息，m＝4

第2章资金等值计算

。
例 2-2 下面是 A、B 两方案的现金流量图。在其它条件都相

8
同，不考虑通货膨胀和风险因素的情况下，哪个方案较优？（单位：万元）
8
6 4 2 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 2 4 6
8
12
A 方案
12
B 方案
图 2—2
A、 B 两方案的现金流量图
请思考：（1）不同时点上(第 1 和第 4 年)相同数额的资金（8）在价值上是否相等？（2）一笔资金的价值，除了与其数额有关，是否还与其他因素有关？（3）发生在不同时点上的资金能否直接相加减？
1．资金等值计算——即利用资金等值的概念，把在一个时点上发生的资金换算成另一时点上的等值金额的过程。
2．资金等值的影响要素
在不考虑通货膨胀和风险影响的情况下，资金等值的影响要素是：
（1）资金金额
（2）资金发生的时间（3）利率（折现率，在这种情况下，利率可以被看作是资金的增殖率）
．
F
3．几个关键术语
F3=13310（元）；F4=14641(元)；F5=16105（元）
∴在复利利率为10%的情况下，我存入银行的10000元
与5 笔发生在不同时点上的资金等值。
请思考：在10%的复利利率下，为了获得16105元钱，（1）我在5年前应存入多少钱呢？（2）我在4年前应存入多少钱呢
该10000元还可以与：
胀货币贬值所造成损失的补偿。 (3)风险因素的影响，即资金的时间价值中，还包含着因冒一定风险而投资，所获得的高于平均利润的额外利润，即风险价值。
资金时间价值（或增殖率）的大小是较难恰当地估计的。
但是资金时间价值的计算方法与银行复利计算方法是相同的。

备用：资金等值计算六个公式

资金等值计算公式
2. 等额分付复利公式（1）等额分付终值公式 0 1 A 2 3 …
F =?
n
F A(1 i ) n 1 A(1 i ) n 2 A(1 i ) A A[1 (1 i ) (1 i ) n 2 (1 i ) n 1 ] 1[1 (1 i ) n ] A 1 (1 i ) (1 i ) n - 1 A i (1 i ) n - 1 其中称为等额分付终值系数，用( F / A, i, n)表示。 i
第2章资金等值计算/2.2资金等值计算 2.2.2 资金等值计算公式
2. 等额分付复利公式（2）等额分付偿债基金公式 0 1 2 A=? 3 … F n
(1 i ) n 1 F A i i AF (1 i ) n 1 i 称为偿债基金系数，用 ( A / F , i , n)表示。 n (1 i ) 1
70
解：X = -100(F/P, 0.10, 3)-70(F/P, 0.10, 2) +90(P/F, 0.10, 1)+150(P/F, 0.10, 4) = -100(1.331)-70(1.21)+90(0.9091)+150(0.6830) = -133.1-84.7+81.819+102.45 = -33.531 （万元）
1. 一次支付复利公式（2）一次支付现值公式例：某人打算在5年后买100000元的车，已知年利率为10％，那么他现在需在银行存多少钱？解： F =100000，i =10%， n =5年 P = F(1+i)-n = F(P/F, i, n) = 62092 （元） 0 P=? 1 2 3 4 5 F=100000

技术经济学_资金等值计算

相关基本概念一次支付的终值公式一次支付的现值公式等额分付的终值公式等额分付的偿债基金公式等额分付的现值公式等额分付的资本回收公式
相关基本概念
资金等值折现和折现率现值、终值、年金
资金等值
资金等值是考虑资金时间价值时的等值。也就是在考虑时间因素的情况下，不同时点发生的绝对值不等的资金可能具有相等的价值。
资金等值计算
资金等值有关的基本概念资金等值计算的基本公式资金等值计算的三个特例
资金等值有关的基本概念
资金时间价值利息和利率单利和复利名义利率和实际利率
资金时间价值
不同时间发生的等额资金在价值上的差别
投资收益率通货膨胀因素风险因素
利息和利率
利息是指占用资金所付出的代价(或放弃资金使用价值所得到的补偿) Fn=P+In
Fn=P(1+i) n
名义利率和实际利率
名义利率：通常按月来表示利息，如年利率为12%，每月计息一次，年利率12%，成为名义利率
名义利率和实际利率
实际利率：该期间的利息额与本期初的本金的比值
F=p(1+r/m)m r:名义利率 m：计息次数 r/m:一个计息周期的利率
资金等值计算的基本公式
先付年金的现值公式
先付年金的现值公式 P=A（1+i）（P/A，i，n）
先付年金的现值公式
年金：每期发生的连续不间断的固定数量的现金流入与流出。
先付年金(Annuity due)：于期初发生的年金012源自n-1nA
后付年金：于期末发生的年金
0
1
2
n-1
n
A
永续年金的现值公式
永续年金的现值公式 P=A/i

第三章资金的等值计算

当m＝1时，名义利率等于实际利率；当m＞1时，实际利率大于名义利率。当m → ∞时，即按连续复利计算时，i与r的关系为：
i l[ i 1 m ( r / m ) m 1 ] l[ i 1 m ( r / m ) m / r ] r 1 e r 1
m
m
注意：如果没有特别指出时，通常计算中所给定的利率都是名义利率，而且多数情况下都是年名义利率。
例：某年的住房按揭贷款年利率是6.39%，每月计息一次，则年初借款10万元，则1年末一次性需偿还本利和多少？
年名义利率：6.39%；月实际利率：6.39%/12=0.5325% 年实际利率：（1+6.39%/12）12 –1=6.58% 10*（1+6.39%/12）12=10.658万 10*（1+6.58%）=10.658万
但若计息周期为1年，则1年末一次性需偿还本利和： 10*（1+6.39%）=10.639万
（2006年时5年以上年贷款利率6.39%，年存款利率4.14%，其实存贷利率差不仅是6.39% 与4.14%的差距，而是6.58%与4.14%的差距，所以银行有误导倾向）
案例分析
方案一：借款100万，年利率为8%，一个季度计息一次。方案二：借款100万，年利率为8.5%，半年计息一次。问：若两年后还款，则选择哪种借款方式？
例：本金100元,三年后本利和为 (i=10%,单位：元）
年份
1 2 3
年初帐面余额
100 110
120
年利息
10 10 10
年末本利和
110 120 130
单利计算公式为： F＝P（l ＋ i n）总利息 :I＝F - P ＝P i n

22资金等值计算5

2.2资金的等值计算
相关概念计息制度资金等值计算
2.2资金的等值计算——相关概念
时值（Time value）：指资金在运动过程中，处在某一时刻的价值。
现值（Present value）：将来时点上的资金折算成计息期开始时的数值称为“现值”或“初值”。
终值（Future value）：资金运动结束时与现值等值的金额称为“终值”或“将来值”。
2.2资金的等值计算——等值计算
3.年金现值公式
在利率为i，复利计息的条件下，求n期内每期期末发生的等额分付值A
的现值P，即已知A、i、n，求P。
将等额分付终值公式两边都乘以
1 (1 i)n
式中：
P

A
(1 i)n 1

i(1 i)n

A(P
/
A,i, n)
(P
/
A, i,
2.不等额支付的现值公式
P K1
1 i

K2 (1 i)2

Kn (1 i)n

n t 1
Kt (1 i)t
2.2资金的等值计算——等值计算
3.等差数列的终值计算公式
如果每年现金流量的增加额或减少额都相等，则称之为等差（或定差）
数列现金流量。
等差终值系数
FG

G [ (1 i)n
n)
( A / P, i, n) i(1 i)n (1 i)n 1
---------资金回收系数
2.2资金的等值计算——等值计算
变额分付类型
1.不等额支付的终值公式
n
(nt )
F Kn Kn1(1 i) K1(1 i)n1 Kt (1 i)

资金等值计算的六个基本公式

资金等值计算的六个基本公式资金等值计算在我们的经济生活中可是有着大用处的，它能帮助我们更好地理解和比较不同时间点上的资金价值。

下面就来给您好好唠唠资金等值计算的六个基本公式。

咱先说说啥叫资金等值。

简单来讲，就是在不同时间点上绝对值不等的资金，如果从资金的时间价值角度来看，它们的价值可能是相等的。

比如说，今天的100 块和一年后的110 块，在一定的利率条件下，就可能是等值的。

这六个基本公式就像是六把神奇的钥匙，能帮我们打开资金等值计算的大门。

第一个公式是一次支付终值公式，F = P(1 + i)^n 。

这里的 P 代表现值，就是现在的资金数额；F 是终值，也就是未来某个时间点的资金数额；i 是利率；n 是计息期数。

举个例子，您现在有 1 万块存在银行，年利率是 5%，存 3 年，那 3 年后您能拿到多少钱呢？用这个公式一算就知道啦，F = 10000×(1 + 5%)^3 = 11576.25 元。

再来说说一次支付现值公式，P = F/(1 + i)^n 。

假如 3 年后您想有 2万块去旅游，还是按照 5%的年利率来算，那您现在得存多少钱呢？用这个公式就能算出来，P = 20000/(1 + 5%)^3 ≈ 17276.75 元。

等额支付终值公式，F = A×[(1 + i)^n - 1]/i 。

这个 A 就是等额支付的金额。

比如说您每个月存 1000 块，年利率还是 5%，存 3 年，那 3年后您一共能有多少钱？算出来 F = 1000×[(1 + 5%)^3 - 1]/5% ≈ 3152.5 元。

等额支付偿债基金公式，A = F×i/[(1 + i)^n - 1] 。

还是刚才那个例子，如果 3 年后您想有 3152.5 元，那每个月得存多少钱呢？A =3152.5×5%/[(1 + 5%)^3 - 1] ≈ 95.3 元。

等额支付现值公式，P = A×[(1 + i)^n - 1]/[i×(1 + i)^n] 。

第二章_资金等值计算本1总结

F=?
i=8%
0 1 2 3 9
10
8000
8000
8000
8000
8000
(1 i ) n 1 F A i
F=A×（F／A，i ，n）
= 8000×（F／A，8% ，10）
=8000 ×14.487 = 115892（元）
例2 某单位在大学设立奖学金，每年年末存入银行2万元，若存款利率为3%。第5年末可得款多少？
25 26 27 A=? 59
解：A ＝F×（A／F，i ，n） =100 × （A／F，10% ，59-25+1） = 100 × 0.00369=0.369（万元）
某厂欲积累一笔福利基金，用于3年后建造职工俱乐部。此项投资总额为200万元，设利率为5%，问每年末至少要等额存多少钱？
i A F n 1 i 1 F A / F ,5%,3 200 0.31721 63.442(万元)
200 1 4 400
200 2
200
300
3
时间
注意
第一年年末的时刻点同时也表示第二年年初
（三）一次支付（一次收付、整付、整收）
整付：分析期内，只有一次现金流量发生现值P与将来值（终值）F之间的换算现金流量模型: F

0 P
0 1 2
1
2
0 1
n
n－ 1 n
2
n－ 1 n
P（现值）
F（将来值）
F=500 i=12% 0 1 2 3 A=? 5
解：A ＝F×（A／F，i ，n） =500 × （A／F，12% ，5） = 500 × 0.15741=78.70（万元）

资金等值计算

为计算方便，将现金流入与现金流出所发生的具体时间假定在期初(年初)或期末(年末)。例如将项目投资假定在年初发生，而将逐年所发生的经营成本(费用)、销售收入(收益) 均假定在年末发生。
注意：现金流量图与选择的对象有关。
例：设有某项贷款为5000元，偿还期为5年，年利率为10%，偿还方式有两种：一是到期本利一次偿还；二是每年付息，到期一次还本。就两种方式画现金流量图。
称为等额分付资本回收系数，记为(A／P，i，n)，其值可查附表。
类别
已未知知
公式
系数与符号终值系数
现金流量图
一次支付等额分付
终值现终F=P(1+i)n 公式值值 P F 现值终现 n P=F/(1+i) 值值公式终值年终 F=A((1+i)n 公式值值 -1)/i A F 基金终年 A=F*i/(( 公式值值 1+i)n-1)
终值：终值是现值在未来时点上的等值资金，用符号F表示。等年值：等年值是指分期等额收支的资金值，用符号A表示。
2．现金流量图现金流量图就是把项目在寿命期内每年的净现金流量用图的形式直观地表示出来。
收入 i=? %
+ －
支出
0
1
2
3
4
5
6 …. n-1 n
(年 )
画法: 先作一水平线为时间坐标(横坐标)，按单位时间分段(等分)，自左向右为时间的递增，表示时间的历程。时间一般以年为单位，用 0，1，2， 3，…，n表示。在分段点所定的时间通常表示该时点末(一般表示为年末)，同时也表示为下一个时点初(下一年的年初)，如时点1表示第1年的年末或第2年的年初。垂直线表示时点上系统所发生的现金流量，其中箭头向下表示现金流出(费用)，向上则表示现金流入(收益)，线段的长度代表发生的金额大小，按比例画出。

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=10000×6.1051×1.6105-20000×1.3310
=71702(元)
第二章资金的等值计算
4,均匀梯度系列的现值系数和年费用系数均匀梯度系列的现金流量如下图所示:
0
1
2
3
4
5 ……
n
A1 A1+G A1+2G
A1+3G A1+4G
A1+(n-1)G
G为相邻计算周期末的现金收入或支出的等差变化值
第二章资金的等值计算
第一节利息公式一、利息的种类 1，利息：占用资金一定时间后必须支付的
补偿额或报酬，是资金时间价值的具体体现 2，利率：表示单位资金在单位时间内的利
息 3，计算方式：单利和复利
第二章资金的等值计算
4，等效值的概念：两个不等额的资金在不同的时间点上，其价值是相等的，这两个资金就互为等效值。引入等效值的概念就是为了对经济活动过程中发生在不同时间点的资金能进行比较。
第二章资金的等值计算
其中：
(1+i)n - 1 i(1+i)n
称为等额支付系列的现值系数
常用（P/A，i，n）表示，则： P=A（P/A，i，n），该系数也可以通过查复利
系数表求得。
若已知右图中的P，求左图中与之等效的A，则可由现值的计算公式变形得到：
第二章资金的等值计算
即： A =P
式中：（A/F，i，n）=
i
1 i n 1
称为等额支付系列的储存基金系数，也称积累
基金系数或偿债基金系数
而：
1i n 1
（F/A，i，n）=
i
称为等额支付系列的终值系数。
注意：A是从第一年年末直到第n年年末每年都等额发生的，F是发生在n年年末的。
第二章资金的等值计算
例：从现在开始。连续5年，每年内均存入银行一笔等额的钱，为了能在第十年年末的时候取出10万元，年利率为6%，问每年存入的等额的钱是多少？
其中：（F/P，i, n）=(1+i)n称为一次支付系列
的终值系数。一次支付系列的现值公式：
P F(1 i)n F(P / F,i, n)
第二章资金的等值计算
其中：（P/F，i, n）=(1+i)-n称为一次支付系列
的现值系数。计算时，一次支付系列的终值系数和现值系数
可以通过查复利系数表得到（见附录）例1：现投资10万元，年利率为10%，问10年
解：这个问题的现金流量图如下：
i=10%
P’=？ 10000
0
1
23
4
56
78
9
10
注意等额支付现值计算公式中现值
与等额支付系列的资金发生的时间
P=?
点间的关系
第二章资金的等值计算
例：现存入银行10万元，到第四年取出5万元，从第8年开始到第12年每年等额支取并正好将钱取完，年利率为10%，问等额支取额是多少？
第二章资金的等值计算
上述现金流量图可分解成下面两个现金流量的和:
0
1
2
3
4
5 ……
n
A1
+
0
1
2
3
4
5 ……
G 2G 3G 4G
n (n-1)G
第二章资金的等值计算
i(1+i)n
(1+i)n-1
i(1+i)n
式中： (1+i)n-1
称为等额支付系列的资金恢复系数，也称为资金回收系数
用（A/P，i，n)表示，则： A=P (A/P，i，n)
第二章资金的等值计算
例：已知银行利率为10%，为了从第5年开始直到第10年，每年都能从银行取出10000，问现在至少应存入银行多少钱？
元,第七年取出了2万元,年利率为10%,问到第 10年末还能一次性取出多少?
第二章资金的等值计算
解:画出该问题的现金流量图如下: F=?
i=10%
2000001Fra bibliotek234
56
78
9
10
A=10000
F’=?
F=F’(F/P,10%,5)-20000(F/P,10%,3)
=A(F/A,10%,5)(F/P,10%,5)-20000(F/P,10%,3)
第二章资金的等值计算
上图中，设左图的A，i,n为已知，求等效的P 值：
P=P1+P2+P3+。。。+Pn =A(1+i)-1+A(1+i)-2+A(1+i)-3+…+A(1+i)-n =A[(1+i)-1+(1+i)-2+(1+i)-3+…+(1+i)-n]
(1+i)n - 1
=A i(1+i)n
末可收回本利和为多少？解：10年末的本利和即为终值F： F=P（F/P，i，n)=10（F/P，10%，10） =10×2.5937=25.937(万元)
第二章资金的等值计算
例2:如果银行年利率为10%,若要在5年后从银行取出10万元,问现在至少需要存入银行多少?
解:求现在要存入多少就是求与5年后10万元等值的现值P:
解：此问题的现金流量图如下：
5万元 i=10%
0
1
23
4
56
78
A=？
9
10 11
12
P=10万元
P’=？
第二章资金的等值计算
3，等额支付系列的终值系数和储存基金系数
即：
A
F
1
i
in
1
及：
F A 1 in 1
i
也可以表示为：A=F（A/F，i，n）及
F=A （F/A，i，n）
第二章资金的等值计算
现值P、终值F、折算利率（贴现率）i、等额年金A、计息周期数n…
第二章资金的等值计算
二、基于复利计息的等效值计算公式 1，一次支付系列的现值系数和终值系数一次支付系列的现金流量图如下：
F（将来值）
i 0 1 2 n－1 n
P（现值）
第二章资金的等值计算
一次支付系列的终值公式：
F P(1 i)n P(F / P,i, n)
解：画出这个问题的现金流量图如下：
i=6% F′=？
F=10万元
0
1
23
4
56
78
9
10
A=？
第二章资金的等值计算
F’=10（P/F，6%，5）而A=F’（A/F，6%，5） =10（P/F，6%，5）（A/F，6%，5） =10×0.7473×0.1774 =1.3257(万元) 例:从现在开始,连续5年,每年内均存入银行1万
P=10(P/F,i,n)=10(P/F,10%,5) =10×0.6209=6.209(万元)
第二章资金的等值计算
2，等额支付系列的现值系数和资金恢复系数等额支付系列的现金流量图：
i
0 1 2 n－1 n
i
012
n－1 n
A A AA （等额年值）
P（现值）
等额年值与现值之间的等效换算现金流量图

资金的等值计算

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