河南省驻马店市2020届高三线上模拟测试(二)+数学(理)+Word版含答案

2020年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |（x ﹣4）（x +1）≥0}，则∁U A ＝（ ） A ．（﹣1，4]B ．[﹣1，4）C ．（﹣1，4）D ．[﹣1，4]2．复数z 1在复平面内对应的点为（2，3）．z 2＝﹣2+i （i 为虚数单位），则复数z 1z 2的虚部为（ ） A ．85B ．−85C ．85iD ．−85i3．在△ABC 中AB →=c →，AC →=b →，若点D 满足BD →=12DC →，则AD →=（ ）A ．13b →+23c → B ．23b →+13c → C ．43b →−13c → D ．12b →+12c →4．《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说．河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化，阴阳术数之源．其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为1的概率为（ ）A ．15B ．725C ．825D ．9255．鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作．如图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：mm ），则此构件的体积为（ ）A．34000mm3B．33000mm3C．32000mm3D．30000mm3 6．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a8﹣a5＝﹣6，S9﹣S4＝75，则S n取得最大值时n ＝（）A．14B．15C．16D．177．设a=log49，b=2−1.2，c=(827)−13，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b8．已知A（﹣4，4），O是坐标原点，P（x，y）的坐标满足{2x−y≤0y≥0x−2y+3≥0，则z=OP→⋅AP→的最小值为（）A．3√55B．3√55−8C．﹣3D．−3159．抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线为l，M（﹣3，0），若抛物线C上存在一点N，使M，N关于直线l对称，则p＝（）A．2B．3C．4D．510．已知函数f（x）=2sinx1+2sinx，将此函数图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（）①绕着x轴上一点旋转180°；②以x轴为轴，作轴对称；③沿x轴正方向平移；④以x轴的某一条垂线为轴，作轴对称；A．①③B．③④C．②③D．②④11．已知函数f（x）=xe x，关于x的方程f（x）−1f(x)=m有三个不等实根，则实数m的取值范围是（）A．(e−1e，+∞)B．(1e−e，+∞)C．(−∞，e−1e)D．(−∞，1e−e)12．如图是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1木块的直观图，其中P，Q，F分别是D1C1，BC，AB的中点，平面α过点D且平行于平面PQF，则该木块在平面α内的正投影面积是（）A．4√3B．3√3C．2√3D．√3二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．在△AOB中，OA→=a→，OB→=b→满足a→•b→=|a→−b→|＝|a→|＝2，则△AOB的面积．14．在（x+1）（x21√x）n的展开式中，各项系数的和为512，则x2项的系数是．（用数字作答）15．已知F1，F2是双曲线Γ：x225−y29=1的左、右焦点，点P为Γ上异于顶点的点，直线l分别与以PF1，PF2为直径的圆相切于A，B两点，若向量AB→，F1F2→的夹角为θ，则cosθ＝．16．已知数列{b n}的前n项和为T n，2b n＝T n+2，a n={4−n(n为奇数)b n(n为偶数)，数列{a n}的前n项和为S n，若使得S2mS2m−1恰好为数列{a n}中的某个奇数项，则数列{b n}的通项公式b n＝，所有正整数m组成的集合为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，若△ABC同时满足以下四个条件中的三个：①b−a c=2√6a+3c 3(a+b)②cosC cosA+c a=2b a③a =√6④b ＝2√2．（Ⅰ）条件①②能否同时满足，请说明理由；（Ⅱ）以上四个条件，请在满足三角形有解的所有组合中任选一组，并求出对应△ABC 的面积．18．如图在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，∠BAD ＝60°，AD ∥BC ，AD ＝4BC ＝4，PA =√2PB =√6． （Ⅰ）证明：PC ⊥CD（Ⅱ）求平面PCD 与平面PAB 夹角（锐角）的余弦值．19．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （1，0），点P ，M ，N 为椭圆C上的点，直线MN 过坐标原点，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1•k 2=−12．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若PF ∥MN 且直线PF 与椭圆的另一个交点为Q ，问|MN|2|PQ|是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．20．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加．为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X 服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为年平均收入x ，σ2近似为样本方差s 2，经计算得；s 2＝6.92，利用该正态分布，求：（i）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？（ⅱ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式√6.92≈2.63，若X⁓N（μ，σ2），则①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973；21．已知函数f（x）＝a+2ln（x+1），且f（x）≤a（x+1）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）令g（x）=(x+1)f(x)x+1−a在x∈（a﹣1，+∞）上的最小值为m，求证：8＜m＜9．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1−√32ty=√3+12t（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=31+2sin2θ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设A，B为曲线C2上位于第一，二象限的两个动点，且∠AOB=π2，射线OA，OB交曲线C1分别于点D，C．求△AOB面积的最小值，并求此时四边形ABCD的面积．23．已知a，b，c均为正实数，函数f（x）=1a2+|x−1b2|+|x+14c2|的最小值为1．证明：（Ⅰ）a2+b2+4c2≥9；（Ⅱ）1ab +12bc+12ac≤1．参考答案一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |（x ﹣4）（x +1）≥0}，则∁U A ＝（ ） A ．（﹣1，4]B ．[﹣1，4）C ．（﹣1，4）D ．[﹣1，4]【分析】可以求出集合A ，然后进行补集的运算即可． 解：A ＝{x |x ≤﹣1或x ≥4}，U ＝R ， ∴∁U A ＝（﹣1，4）． 故选：C ．2．复数z 1在复平面内对应的点为（2，3）．z 2＝﹣2+i （i 为虚数单位），则复数z 1z 2的虚部为（ ） A ．85B ．−85C ．85iD ．−85i【分析】由已知求得z 1，代入z 1z 2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：由题意，z 1＝2+3i ，又z 2＝﹣2+i ， ∴z 1z 2=2+3i−2+i =(2+3i)(−2−i)(−2+i)(−2−i)=−15−85i ．∴复数z 1z 2的虚部为−85．故选：B ．3．在△ABC 中AB →=c →，AC →=b →，若点D 满足BD →=12DC →，则AD →=（ ）A ．13b →+23c → B ．23b →+13c →C ．43b →−13c → D ．12b →+12c →【分析】作出三角形，将AD →表示为23AB →+13AC →解：如图，因为BD →=12DC →，所以BD →=13BC →，又因为BC →=AC →−AB →，所以BD →=13（AC →−AB →）AD →=AB →+BD →=AB →+13（AC →−AB →）=23AB →+13AC →=23c →+13b →，故选：A ．4．《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说．河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化，阴阳术数之源．其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为1的概率为（）A．15B．725C．825D．925【分析】由题意阳数有：1，3，5，7，9，阴数有：2，4，6，8，10，从阴数和阳数中各取一数，基本事件总数n＝5×5＝25，利用列举法求出其差的绝对值为1包含的基本事件有9个，由此能求出其差的绝对值为1的概率．解：由题意阳数有：1，3，5，7，9，阴数有：2，4，6，8，10，从阴数和阳数中各取一数，基本事件总数n＝5×5＝25，其差的绝对值为1包含的基本事件有9个，分别为：（1，2），（3，4），（5，6），（7，8），（9，10），（3，2），（5，4），（7，6），（9，8），则其差的绝对值为1的概率为P=9 25．故选：D．5．鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作．如图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：mm），则此构件的体积为（）A．34000mm3B．33000mm3C．32000mm3D．30000mm3【分析】由三视图得鲁班锁的其中一个零件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，由此能求出该零件的体积．解：由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V＝100×20×20﹣40×20×10＝32000（mm3）．故选：C．6．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a8﹣a5＝﹣6，S9﹣S4＝75，则S n取得最大值时n＝（ ） A ．14B ．15C ．16D ．17【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 8﹣a 5＝﹣6，S 9﹣S 4＝75，可得3d ＝﹣6，5a 1+30d ＝75，解出可得a n ，令a n ≥0，解得n 即可得出．解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 8﹣a 5＝﹣6，S 9﹣S 4＝75， ∴3d ＝﹣6，5a 1+30d ＝75， 解得：a 1＝27，d ＝﹣2， ∴a n ＝27﹣2（n ﹣1）＝29﹣2n ． 令a n ≥0，解得n ≤292=14+12． 则S n 取得最大值时n ＝14． 故选：A ．7．设a =log 49，b =2−1.2，c =(827)−13，则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 解：∵a =log 49，b =2−1.2，c =(827)−13，a ＝log 49＞log 48=32， 0＜b ＝2﹣1.2＝（12）1.2＜12，c =(827)−13=32， ∴a ＞c ＞b ． 故选：C ．8．已知A （﹣4，4），O 是坐标原点，P （x ，y ）的坐标满足{2x −y ≤0y ≥0x −2y +3≥0，则z =OP →⋅AP→的最小值为（ ） A ．3√55B ．3√55−8 C ．﹣3 D ．−315【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用点到直线的距离的平方减8，求解即可．解：不等式组{2x −y ≤0y ≥0x −2y +3≥0，它的可行域如图：O 为坐标原点，点A 的坐标为A （﹣4，4），点P （x ，y ），z =OP →⋅AP →=x 2+4x +y 2﹣4y ＝（x +2）2+（y ﹣2）2﹣8，的几何意义是可行域内的点与（﹣2，2）距离的平方减8，如图：即A 到直线x ﹣2y +3＝0的距离最小，所以d =√1+(−2)=5，所以z 的最小值为：95−8=−315故选：D ．9．抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线为l ，M （﹣3，0），若抛物线C 上存在一点N ，使M ，N 关于直线l 对称，则p ＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】利用抛物线的性质，通过对称知识，转化求解即可． 解：由题意可得：l 的方程：y =√3（x −p2），点N 在第四象限， 设N （m ，−√2pm ），又∵MN 关于l 对称， 可得k =−√33，|−3√3−0−√32p|2=|√3m+√2pm−√3p2|2，l MN ：y =−√33(x +3)，N 在直线y =−√33(x +3)上，可得：−√2pm =−√33(m +3)，联立方程组可得m ＝3，p ＝2，可得 p ＝2． 故选：A ．10．已知函数f（x）=2sinx1+2sinx，将此函数图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（）①绕着x轴上一点旋转180°；②以x轴为轴，作轴对称；③沿x轴正方向平移；④以x轴的某一条垂线为轴，作轴对称；A．①③B．③④C．②③D．②④【分析】化简函数f（x），作出函数图象，由图象观察即可得解．解：f(x)=1+2sinx−11+2sinx=1−11+2sinx，作出函数f（x）的图象如下图所示：由图象可知，函数不具有对称中心，故①错误；以x轴为轴，作轴对称显然与原图不重合，故②错误；由图象可知，函数具有周期性，沿x轴正方向平移可以与原图象重合，故③正确；函数f（x）以x轴的某一条垂线为轴，作轴对称可以与原图象重合，故④正确．故选：B．11．已知函数f（x）=xe x，关于x的方程f（x）−1f(x)=m有三个不等实根，则实数m的取值范围是（ ） A ．(e −1e，+∞)B ．(1e−e ，+∞)C ．(−∞，e −1e)D ．(−∞，1e−e)【分析】作出函数f （x ）的图象，依题意，设t ＝f （x ），则t 2﹣mt ﹣1＝0有两个不同的实根t 1，t 2，且{t 1=1e 0＜t 2＜1e 或{t 1＜00＜t 2＜1e ，再分别讨论，结合函数图象及二次函数的性质即可得解． 解：f′(x)=1−xe x，故函数f （x ）在（﹣∞，1）上递增，在（1，+∞）上递减， 作出函数图象如下图所示，依题意，f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1＝0（f （x ）≠0）有三个不同的实根，则设t ＝f （x ），则t 2﹣mt ﹣1＝0有两个不同的实根t 1，t 2，且由图象可知，{t 1=1e0＜t 2＜1e 或{t 1＜00＜t 2＜1e， 当{t 1=1e 0＜t 2＜1e时，此时0＜t 1t 2＜1e 2，与t 1t 2＝﹣1矛盾，可知不符合题意； 当{t 1＜00＜t 2＜1e 时，由二次函数的性质可知，只需1e 2−m ⋅1e −1＞0，解得m ＜1e −e ，此时符合题意．综上，实数m 的取值范围为(−∞，1e −e)．故选：D ．12．如图是棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1木块的直观图，其中P ，Q ，F 分别是D 1C 1，BC ，AB 的中点，平面α过点D 且平行于平面PQF ，则该木块在平面α内的正投影面积是（ ）A．4√3B．3√3C．2√3D．√3【分析】根据题意可知平面α过点D且平行于平面PQF，则平面α可以平移至平面A1BC1，根据投影的性质可得投影为正六边形A1A′BC′C1D1′，推导出A1B=√22+22=2√2，投影面内正六边形的边长为：A1A′=√2cos30°=2√63根据正六边形面积公式能求出投影的面积．解：根据题意可知平面α过点D且平行于平面PQF，则平面α可以平移至平面A1BC1，木块在平面α内的正投影即可看成是在平面A1BC1的正投影，根据投影的性质可得投影为正六边形A1A′BC′C1D1′，如图所示，因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，所以A1B=√22+22=2√2，则投影面内正六边形的边长为：A1A′=√2cos30°=2√63根据正六边形面积公式可得投影的面积为：S A1A′BC′C1D1′=3√32×(2√63)2=4√3，故投影面积为：4√3．故选：A．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．在△AOB中，OA→=a→，OB→=b→满足a→•b→=|a→−b→|＝|a→|＝2，则△AOB的面积√3．【分析】根据a →⋅b →=|a →−b →|=|a →|=2，对|a →−b →|=|a →|两边平方即可求出|b →|=2，进而求出cos ＜a →，b →＞=12，sin ＜a →，b →＞=√32，从而可得出△AOB 的面积．解：∵a →⋅b →=|a →−b →|=|a →|=2， ∴a →2+b →2−2a →⋅b →=a →2， ∴b →2=2a →⋅b →=4， ∴|b →|=2，∴a →⋅b →=|a →||b →|cos ＜a →，b →＞=4cos ＜a →，b →＞=2，∴cos ＜a →，b →＞=12，sin ＜a →，b →＞=√32，∴S △AOB =12|a →||b →|sin ＜a →，b →＞=12×2×2×√32=√3．故答案为：√3． 14．在（x +1）（x 21√x）n的展开式中，各项系数的和为512，则x 2项的系数是 28 ．（用数字作答）【分析】先利用赋值法求出n 的值，然后再利用通项法求出x 2的系数． 解：令x ＝1得，展开式的各项系数和为（1+1）（1+1）n ＝512， 即2n +1＝29，解得n ＝8． 故原式为：(x +1)(x 2√x)8．(x 2+1√x )8展开式的通项为T k+1=C 8k x 16−52k ，结合原式：当16−52k =1或2，即k ＝6或285（舍）时符合题意．此时x 2的系数为C 82=28． 故答案为：28．15．已知F 1，F 2是双曲线Γ：x 225−y 29=1的左、右焦点，点P 为Γ上异于顶点的点，直线l 分别与以PF 1，PF 2为直径的圆相切于A ，B 两点，若向量AB →，F 1F 2→的夹角为θ，则cos θ＝√3434． 【分析】求得双曲线的a ，b ，c ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，运用双曲线的定义和三角形的中位线定理可得|MN |，由相切的性质判断四边形ABNM 为直角梯形，过N 作NQ ⊥AM ，垂足为Q ，运用直角三角形的勾股定理和向量的夹角的定义和直角三角形的余弦函数的定义，计算可得所求值． 解：双曲线Γ：x 225−y 29=1的a ＝5，b ＝3，c =√34，如图，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由双曲线的定义可得m ﹣n ＝2a ， MN 为△PF 1F 2的中位线，可得|MN |=12|F 1F 2|＝c =√34，连接AM ，BN ，可得AM ⊥AB ，BN ⊥AB ，则四边形ABNM 为直角梯形， 过N 作NQ ⊥AM ，垂足为Q ，可得|NQ |＝|AB |， 而|AM |=12m ，|BN |=12n ，|MQ |=12（m ﹣n ）＝a ＝5， 在直角三角形QMN 中，可得|QN |=√34−25=3， 又向量AB →，F 1F 2→的夹角θ＝∠QNM ，则cos θ=|QN||MN|=34=3√3434． 故答案为：3√3434．16．已知数列{b n }的前n 项和为T n ，2b n ＝T n +2，a n ={4−n(n 为奇数)b n (n 为偶数)，数列{a n }的前n 项和为S n ，若使得S 2m S 2m−1恰好为数列{a n }中的某个奇数项，则数列{b n }的通项公式b n ＝ 2n ，所有正整数m 组成的集合为 {2} ．【分析】先由2b n ＝T n +2得到2b n ﹣1＝T n ﹣1+2，两式相减得b n ＝2b n ﹣1，求得b n ，再求得a n 及S 2m S 2m−1，然后找到适合题意的m 即可．解：由题意，当n ＝1时，2b 1＝T 1+2＝b 1+2，解得b 1＝2，当n ≥2时，由2b n ＝T n +2，可得2b n ﹣1＝T n ﹣1+2，两式相减，可得2b n ﹣2b n ﹣1＝b n ，整理，得b n ＝2b n ﹣1， ∴数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴b n ＝2•2n ﹣1＝2n ，n ∈N*．∴a n ={4−n(n 为奇数)b n (n 为偶数)，即a n ={4−n(n 为奇数)2n (n 为偶数)，∴S 2m ＝（a 1+a 3+…+a 2m ﹣1 ）+（a 2+a 4+…+a 2m ）＝3m +m(m−1)2×(−2)+4(1−4m)1−4=4m ﹣m 2+4m+1−43，S 2m ﹣1＝S 2m ﹣a 2m ＝4m ﹣m 2+4m −43，∴S 2m S 2m−1=1+3×4m 3m(4−m)+4m −4．假设S 2m S 2m−1=a k ＝4﹣k ，k 为正奇数，则3×4m3m(4−m)+4−4=3﹣k ，易知只有当m ＝2时，k ＝1适合题意．故所有正整数m 组成的集合为 {2}． 故答案为：2n ；{2}．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，若△ABC 同时满足以下四个条件中的三个：①b−a c=2√6a+3c 3(a+b)②cosC cosA+c a=2b a③a =√6④b ＝2√2．（Ⅰ）条件①②能否同时满足，请说明理由；（Ⅱ）以上四个条件，请在满足三角形有解的所有组合中任选一组，并求出对应△ABC 的面积．【分析】（I ）分别结合余弦定理及正弦定理对已知进行化简，然后结合和差角公式即可求解；（II ）结合所选选项进行化简，然后结合三角形的面积公式即可求解． 解：（I ）由①b−a c =2√6a+3c3(a+b)及余弦定理可得，3(a 2+c 2−b 2)=−2√6ac ，所以cos B =a 2+c 2−b 22ac=−√63，②由cosC cosA+c a=2b a及正弦定理可得，sinAcosC+sinCcosAsinAcosA=2sinB sinA，即sin(A+C)sinAcosA=2sinB sinA，因为sin （A +C ）＝sin B ≠0，A +C ，A ∈（0，π），所以cos A=12，且A为三角形的内角，A=13π，因为cos B=−√63＜−1 2，故B＞2π3，A+B＞π，矛盾，故不可能同时满足①②；（Ⅱ）由（I）可知，△ABC满足①③④或②③④，若满足①③④，因为b2＝a2﹣c2﹣2ac cos B，所以8＝6+c2+2√6c×√63即c2+4c﹣2＝0，解可得，c=√6−2，S=12acsinB=12×(√6−2)×√6×√33=√3−√2，若满足②③④即A=13π，a=√6，b＝2√2．由正弦定理可得，√6sin13π=2√2sinB，故sin B＝1，此时B=12π，c=√2，S△ABC=12ac=12×√2×√6=√318．如图在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，∠BAD ＝60°，AD∥BC，AD＝4BC＝4，PA=√2PB=√6．（Ⅰ）证明：PC⊥CD（Ⅱ）求平面PCD与平面PAB夹角（锐角）的余弦值．【分析】（Ⅰ）过P作PO⊥AB于O，连结OC，OD，推导出OC⊥CD，从而CD⊥平面POC，由此能证明PC⊥CD．（Ⅱ）由AB⊥OD，以O为坐标原点，OD，OB，OP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PCD与平面PAB夹角（锐角）的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：过P作PO⊥AB于O，连结OC，OD，由题知AB ＝CD ＝3，∴PA 2+PB 2＝AB 2，∴PO =√2，OB ＝1，OA ＝2，OD ＝2√3，OC =√3， ∴OC ⊥CD ，∵OC ∩PO ＝O ，∴CD ⊥平面POC ， ∵CD ⊂平面ABCD ，∴PC ⊥CD ． （Ⅱ）解：由（1）知AB ⊥OD ，以O 为坐标原点，OD ，OB ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则P （0，0，√2），D （2√3，0，−√2），C （32，32，0），PD →=（2√3，0，−√2），CD →=（3√32，−32，0），设平面PCD 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅PD →=2√3x −√2z =0m →⋅CD →=3√32x −32y =0，取x ＝1，得m →=（1，√3，√6）， 平面PAB 的法向量n →=（1，0，0），∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=110=√1010． ∴平面PCD 与平面PAB 夹角（锐角）的余弦值为√1010．19．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （1，0），点P ，M ，N 为椭圆C上的点，直线MN 过坐标原点，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1•k 2=−12． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若PF ∥MN 且直线PF 与椭圆的另一个交点为Q ，问|MN|2|PQ|是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设M （x 0，y 0），P （x 1，y 1），则N （﹣x 0，﹣y 0），将M ，P 的坐标代入椭圆方程，两式相减，结合平方差公式和斜率公式，以及条件可得a ，b 的关系式，再由a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b 的值，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线PQ 的方程为x ＝ty +1，则直线MN 的方程为x ＝ty ，分别联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算化简即可得到所求比值为常数． 解：（Ⅰ）设M （x 0，y 0），P （x 1，y 1），则N （﹣x 0，﹣y 0）， 由{ x 02a 2+y 02b 2=1x 12a 2+y 12b 2=1，可得(x 0−x 1)(x 0+x 1)a 2+(y 0−y 1)(y 0+y 1)b 2=0， 即(y 0+y 1)(y 0−y 1)(x 0+x 1)(x 0−x 1)=−b 2a 2，所以a 2＝2b 2，又a 2﹣b 2＝c 2＝1， 所以a =√2，b ＝1， 故椭圆的方程为x 22+y 2＝1；（Ⅱ）设直线PQ 的方程为x ＝ty +1，则直线MN 的方程为x ＝ty ， 由{x =ty +1x 2+2y 2=1可得（2+t 2）y 2+2ty ﹣1＝0，设Q （x 2，y 2）， 则△＝4t 2+4（2+t 2）＝8（1+t 2）＞0， y 1+y 2=−2t 2+t 2，y 1y 2=−12+t 2， 所以|PQ |=√1+t 2•|y 1﹣y 2|=√1+t 2•√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+t 2•√(−2t 2+t 2)2+42+t 2=2√2(1+t 2)2+t2， 由{x =ty x 2+2y 2=2可得y 02=22+t 2，所以|MN |＝2√x 02+y 02=2√(1+t 2)y 02=2√2(t 2+1)2+t2， 故|MN|2|PQ|=2√2为常数．20．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加．为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X 服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为年平均收入x ，σ2近似为样本方差s 2，经计算得；s 2＝6.92，利用该正态分布，求：（i ）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？（ⅱ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式√6.92≈2.63，若X⁓N（μ，σ2），则①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973；【分析】（1）由每一个小矩形中点的横坐标乘以频率作和得答案；（2）由题意，X～N（17.40，6.92），．（i）由已知数据求得P（x＞μ﹣σ），进一步求得μ﹣σ得答案；（ⅱ）求出P（X≥12.14），得每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，设1000个农民年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B（103，p），求出恰好有k个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率，由P(ξ=k)P(ξ=k−1)=(1001−k)×pk(1−p)＞1，得k＜1001p，结合1001p＝978.233，对k分类分析得答案．解：（1）x=12×0.04+14×0.12+16×0.28+18×0.36×20×0.10+ 22×0.06+24×0.04=17.40；（2）由题意，X～N（17.40，6.92）．（i）P（x＞μ﹣σ）=12+0.68262≈0.8413，∴μ﹣σ＝17.40﹣2.63＝14.77时，满足题意，即最低年收入大约为14.77千元；（ⅱ）由P（X≥12.14）＝P（X≥μ﹣2σ）＝0.5+0.95452≈0.9773，得每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，记1000个农民年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B（103，p），其中p＝0.9773．于是恰好有k个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率是P（ξ＝k）=C103k p k(1−p)103−k，从而由P(ξ=k)P(ξ=k−1)=(1001−k)×pk(1−p)＞1，得k＜1001p，而1001p＝978.233，∴当0≤k≤978时，P（ξ＝k﹣1）＜P（ξ＝k），当979≤k≤1000时，P（ξ＝k﹣1）＞P（ξ＝k）．由此可知，在走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978．21．已知函数f（x）＝a+2ln（x+1），且f（x）≤a（x+1）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）令g（x）=(x+1)f(x)x+1−a在x∈（a﹣1，+∞）上的最小值为m，求证：8＜m＜9．【分析】（Ⅰ）令x+1＝t，等价于a﹣at+2lnt≤0在t＞0时恒成立，令h（t）＝a﹣at+2lnt，求出函数的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出h（t）的最大值，从而确定a的值；（Ⅱ）令x+1＝t，问题变形为θ（t）=2t+2tlntt−2（t＞2），求出函数的导数，令s（t）＝t﹣2lnt﹣4，求出θ（t）的最小值，从而得到m的范围，证明结论成立．解：（Ⅰ）令x+1＝t，由题意知：f（x）≤a（x+1））等价于a﹣at+2lnt≤0在t＞0时恒成立，令h（t）＝a﹣at+2lnt，则h′（t）=2−at t，当a≤0时，h′（t）＞0，故h（t）在（0，+∞）递增，由于h（1）＝0，不合题意，当a＞0时，h′（t）=−a(t−2 a )t，故当t∈（0，2a），h′（t）＞0，h（t）递增，当t∈（2a，+∞），h′（t）＜0，h（t）递减，故h（t）max＝h（2a）＝a﹣2+2ln2﹣2lna，故要使h（t）≤0在t＞0时恒成立，则只需h（t）max≤0，即a﹣2+2ln2﹣2lna≤0，令φ（a）＝a﹣2+2ln2﹣2lna，则φ′（a）=a−2 a，故a∈（0，2）时，φ′（a）＜0，φ（a）递减，a∈（2，+∞）时，φ′（a）＞0，φ（a）递增，又∵φ（2）＝0，故满足条件a的值是2，即a＝2；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，令x+1＝t，则g（x）=(x+1)f(x)x+1−a变形为θ（t）=2t+2tlntt−2（t＞2），∴θ′（t）=2(t−2lnt−4)(t−2)2，令s（t）＝t﹣2lnt﹣4，则s′（t）=t−2t＞0，故s（t）在（2，+∞）递增，又s（8）＜0，s（9）＞0，故存在t0∈（8，9），使得s（t0）＝0，且当2＜t＜t0时，s（t）＜0，当t＞t0时，s（t）＞0，故θ（x）在（2，t0）递减，在（t0，+∞）递增，故θ（t）min＝θ（t0）=2t0+2t0lnt0t0−2=t02−2tt0−2=t0，（2lnt0＝t0﹣4），即m＝t0，故8＜m＜9．一、选择题22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1−√32ty=√3+12t（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=31+2sin2θ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设A，B为曲线C2上位于第一，二象限的两个动点，且∠AOB=π2，射线OA，OB交曲线C1分别于点D，C．求△AOB面积的最小值，并求此时四边形ABCD的面积．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角形的面积公式的应用和基本不等式的应用和分割法的应用求出结果． 解：（Ⅰ）曲线C 1的参数方程为{x =1−√32ty =√3+12t （t 为参数），转换为直角坐标方程为x +√3y −4=0． 根据{x =ρcosθy =ρsinθ，整理得ρcosθ+√3ρsinθ=4，转换为ρ=2sin(θ+π6)．（Ⅱ）设A ，B 为曲线C 2上位于第一，二象限的两个动点，且∠AOB =π2，射线OA ，OB 交曲线C 1分别于点D ，C ．设A （ρ1，θ），B （ρ2，θ+π2），D （ρ3，θ），C （ρ4，θ+π2）．所以S △AOB 2=14ρ12⋅ρ22=14×31+2sin 2θ×31+2cos 2θ≥94×1(1+2sin 2θ+1+2cos 2θ2)=916，所以S △AOB ≥34．S △COD =12ρ3ρ4=12×2sin(π4+π6)×2cos(π4+π6)=8． 所以此时四边形ABCD 的面积为8−34=294．23．已知a ，b ，c 均为正实数，函数f （x ）=12+|x −1b2|+|x +14c 2|的最小值为1．证明： （Ⅰ）a 2+b 2+4c 2≥9； （Ⅱ）1ab+12bc+12ac≤1．【分析】（Ⅰ）运用绝对值不等式的性质可得f （x ）的最小值，再运用柯西不等式，即可得证；（Ⅱ）运用重要不等式m 2+n 2≥2mn ，m ，n ＞0，由累加法和1a 2+1b 2+14c 2=1，即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）a ，b ，c 均为正实数，函数f （x ）=1a 2+|x −1b 2|+|x +14c 2|≥1a 2+|x −1b 2−x −14c 2|=12+1b2+12， 当−14c 2≤x ≤1b 2时，f （x ）取得最小值1，即1a 2+1b 2+14c 2=1， 由柯西不等式可得（a 2+b 2+4c 2）（1a +1b +14c）≥（a •1a+b •1b+2c •12c）2＝9，当且仅当a ＝b ＝2c =√3时，取得等号，所以a2+b2+4c2≥9；（Ⅱ）由a＞0，b＞0，c＞0，可得1a2+1b2≥2ab，1b2+14c2≥1bc，1a2+14c2≥1ac，三式相加可得2ab +1bc+1ac≤2（1a2+1b2+14c2）＝2，即1ab +12bc+12ac≤1．。

2020年河南省驻马店市赊湾乡第二中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….即，，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，又记数列满足，，，则的值为（）A. 4B. -728C. -729D. 3参考答案：D【分析】先列出数列、的前面的有限项，再观察数列的周期性，运算即可得解.【详解】解：由题意有数列为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,1,1,…,即数列为周期为6的数列，则数列为1,1,1,1，-2，-1,1,0,1,1，-2，-1,1,0,1,1，-2，-1,…,观察数列可知数列从第三项开始后面所有数列构成一周期为6的数列，且每一个周期的和为0，所以=，故选D.【点睛】本题考查了阅读能力及数列的周期性，属中档题.2. 函数的值域为A. B. C. D.参考答案：B3. 某人进行驾驶理论测试,每做完一道题,计算机会自动显示已做题的正确率，记已题的正确率为,则下列关系中不可能成立的是（）A．B．C．D．参考答案：D4. 下列选项叙述错误的是( )A．命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件C．若命题p：?x∈R，x2+x十1≠0，则?p：?x∈R，x2+x+1=0D．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题参考答案：D考点：命题的真假判断与应用．专题：阅读型；简易逻辑．分析：由逆否命题的形式，即可判断A；运用充分必要条件的定义，即可判断B；由命题的否定的形式，即可判断C；运用复合命题的真假和真值表，即可判断D．解答：解：对于A．命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”，则A对；对于B．“x＞2”可推出“x2﹣3x+2＞0”，反之，不一定推出，则B对；对于C．若命题p：?x∈R，x2+x十1≠0，则?p：?x∈R，x2+x+1=0，则C对；对于D．若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真，则D错．故选D．点评：本题考查简易逻辑的基础知识，考查四种命题的形式和充分必要条件的判断，及命题的否定和复合命题的真假，属于基础题．5. 若集合，则集合不可能是（）A． B． C．D．参考答案：C6. 已知数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，a2＝2，且(－1)n(a n－a n＋2)＝2－2·(－1)n，则S2019的值为A.2018×1011－1B.2019×1010C.2019×1011－1D.2018×1010参考答案：C7. 已知:命题：“是的充分必要条件”；命题：“”．则下列命题正确的是（）A．命题“∧”是真命题B．命题“（┐）∧”是真命题C．命题“∧（┐）”是真命题D．命题“（┐）∧（┐）”是真命题参考答案：B略8. 设函数f（x）=，则满足不等式f（a）＜的实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，）∪（，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（，）参考答案：D【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；分类讨论；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】直接分成两类讨论，①当a≤0时，解得a∈（﹣∞，﹣1）；②当a＞0时，解得a∈（，），再综合即可．【解答】解：分段函数解不等式，直接分段讨论求解，①当a≤0时，f（a）=2a＜=2﹣1，根据指数函数y=2x的单调性，解得a＜﹣1，即a∈（﹣∞，﹣1）；②当a＞0时，f（a）=|log2a|＜，即﹣＜log2a＜，解得a∈（，），综合以上讨论得，a∈（﹣∞，﹣1）∪（，），故答案为：D．【点评】本题主要考查了分段函数的应用，涉及对数不等式和指数不等式的解法，体现了数形结合的解题思想，属于中档题．9. 在各项都为正数的等比数列中，首项为3，前3项和为21，则等于（）A．15 B．12 C．9D．6参考答案：B略10. 如右图，一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在的频率为。

2020年河南省驻马店市正阳县第二中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若实数x，y满足不等式组，若目标函数的最大值为1，则实数a 的值是（）A．B．1 C. D．3参考答案：B作可行域如图，则直线过点B时，z取得最大值，，选B.2. 同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线对称”的一个函数是( )A. B. C. D．参考答案：D3. 双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则其渐近线的方程为( )A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x参考答案：C考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用双曲线的离心率的公式e==2，再由双曲线的a，b，c的关系，可得b==a，再由焦点在x轴上的渐近线方程，即可得到所求方程．解答：解：由e==2，即有c=2a，b==a，由双曲线的渐近线方程y=±x，可得渐近线方程为y=±x．故选C．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率公式的运用和渐近线方程的求法，属于基础题．4. 若，则“成立”是“成立”的（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件参考答案：5. 若复数在复平面内对应的点在直线上，则（）A．2 B．C．1D．参考答案：B因为复数，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，由复数在复平面内对应的点在直线上，可得，,,故选B.6. 设，则（）A．B．C．D．参考答案：D：因为，，而所以，所以，即a＞b＞c，则选D. 7. 设命题p：函数f（x）=x3在R上为增函数；命题q：函数f（x）=cosx为奇函数．则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨q参考答案：【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】先判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：命题p：函数f（x）=x3在R上为增函数，是真命题，命题q：函数f（x）=cosx为奇函数，是假命题，故p∧（￢q）是真命题，故选：B．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查考查函数的奇偶性和单调性，是一道基础题．8. 已知，，定义：，．给出下列命题：(1)对任意，都有；(2)若是复数的共轭复数，则恒成立；(3)若，则；(4)(理科)对任意，结论恒成立，则其中真命题是[答]( )．(文科)对任意，结论恒成立，则其中真命题是[答]( )．A．(1)(2)(3)(4) B．(2)(3)(4) C．(2)(4) D．(2)(3)参考答案：C9. 在△ABC中，AB=4，AC=3，,则BC=（）.A. B. C.2D.3参考答案：略10. 已知，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】根据指数函数与对数函数单调性比较大小，确定选项.【详解】因为，所以故选D【点睛】本题考查指数函数与对数函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，则函数的零点个数为___________.参考答案：.函数与的图象，如图：由图可以看出，函数的零点有个.12. 已知定义在R上的函数是奇函数且满足，，数列满足,且 (其中为的前项和),则__▲.参考答案：3略13. 下列说法：①“”的否定是“”；②函数的最小正周期是③命题“函数处有极值，则”的否命题是真命题；④上的奇函数，时的解析式是，则时的解析式为其中正确的说法是（填正确答案的序号）。

2020年河南省驻马店市高考数学模拟试卷(理科)(二)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设z·i=2i+1，则z=()A. 2+iB. 2−iC. −2+iD. −2−i2.集合A={x∈Z||x|≤2}，B={−1,0，2}，C={−1,0，1，3}，则(∁A B)∪C=()A. {−1,0，1，3}B. {−1,0，1，2，3}C. {−2,−1,0，1，3}D. {−2,−1,0，1，2，3}3.已知向量a⃗⊥b⃗ ，|b⃗ |=1，则|a⃗|a⃗ |+b⃗ |=()A. √2B. √3C. √5D. √74.若双曲线x2m−y2=1的一条渐近线为x−2y=0，则实数m=()A. 2B. 4C. 6D. 85.已知某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，如图所示，则该几何体的体积为()A. 1B. 13C. 16D. 1126.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，且P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826，若μ=4，σ=1，则P(5<X<6)=()A. 0.1358B. 0.1359C. 0.2716D. 0.27187.设函数f(x)=√2sin(ωx+φ+π4)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，且f(−x)=f(x)，则()A. f(x)在(0,π2)单调递减 B. f(x)在(π4,3π4)单调递减C. f(x)在(0,π2)单调递增 D. f(x)在(π4,3π4)单调递增8.函数f(x)=2+ln|x|x2的图象大致为()A.B.C.D.9. 已知平面区域Ω：{(x +2y −1)(x −2y +3)≥0|x −1|≤3，则Ω的面积为( )A. 11B. 13C. 15D. 1710. 函数f(x)=x +3x 的零点所在的区间为( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)11. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，直线l ：y =k(x −1)与抛物线C 交于A 、B 两点，若AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AB|=( )A. 163B. 4C. 3D. 16912. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：已知x ∈[150,300]且x 是整数，则满足能被3除余1且被5除余3的所有x 的取值的和为( )．A. 2020B. 2305C. 4610D. 4675二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 二项式(2x 2√x )5的展开式中的第______项为常数项． 14. 函数f(x)=√x −1+2x 的值域为______ ．15. 已知等比数列{a n }中，a 1=8，a 4=1，记b n =a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n ，当b n 达到最大值时，n 的值为________．16. 在平行四边形ABCD 中，∠ABD =90°，且AB =1，BD =√2，若将其沿BD 折起使平面ABD ⊥平面BCD ，则三棱锥A −BDC 的外接球的表面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且bsin2A =asinB ．(1)求A ；(2)求cos(B+π6)+sin(C+π3)的最大值．18.如图，四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB//CD，∠BAD=π3，AB=2，CD=3，M为PC上一点，PM=2MC．(Ⅰ)证明：BM//平面PAD；(Ⅱ)若AD=2，PD=3，求二面角D−MB−C的正弦值．19.根据空气质量指数AQI(为整数)的不同，可将空气质量分级如下表：AQI(数值)0～5051～100101～150151～200201～300>300空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量类别颜色绿色黄色橙色红色紫色褐红色某市2014年11月1日−11月30日，对空气质量指数AQI进行监测，获得数据后得到如下条形图：(1)市教育局规定在空气质量类别达到中度污染及以上时学生不宜进行户外跑步活动，估计该城市本月(按30天计)学生可以进行户外跑步活动的概率；(2)在上述30个监测数据中任取2个，设ξ为空气质量类别颜色为绿色的天数，求ξ的分布列与数学期望．20.已知椭圆C：x2a2+y23=1(a>√3)的离心率为12，点P(4,0)，过右焦点F作与y轴不垂直的直线l交椭圆C于A，B两点．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)求证：以坐标原点O为圆心与PA相切的圆，必与直线PB相切．21.已知函数f(x)=(ax−1)e x，(a∈R)．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)当m>n>0时，证明：me n+n<ne m+m．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin (θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知函数f(x)=|x|+|x+1|．(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≥2；(Ⅱ)若a，b，c∈R+，函数f(x)的最小值为m，若a+b+c=m，求证：ab+bc+ac≤1．3【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查复数的四则运算，属于基础题.根据复数运算法则解答即可，解：因为z·i=2i+1，所以z=2i+1i=2−i故选B．2.答案：C解析：本题考查集合的综合运算，属于基础题．先化简A，再求∁A B，最后求并集即可．解：因为A={x∈Z||x|≤2}={−2,−1,0，1，2}，B={−1,0，2}，所以∁A B={−2,1}，又C={−1,0，1，3}，所以(∁A B)∪C={−2,−1,0,1,3}．故选C．3.答案：A解析：利用向量的模的运算法则，通过向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，是基本知识的考查．解：向量a⃗⊥b⃗ ，|b⃗ |=1，则|a⃗|a⃗ |+b⃗ |=√(a⃗|a⃗ |)2+2a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |+b⃗ 2=√1+1=√2．故选：A．4.答案：B解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．利用双曲线的渐近线方程，转化求解m即可．解：若双曲线x2m−y2=1的一条渐近线为x−2y=0，可得1√m =12，解得m=4，故选：B．5.答案：C解析：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，利用三视图的数据求解几何体的体积，可得答案．本题考查的知识点是由三视图，求体积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．解：由题意可知几何体的直观图如图：是正方体的一部分，D−ABC，几何体的体积为：13×12×1×1×1=16．故选C．6.答案：B解析：解：∵随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826，μ=4，σ=1，∴P(2<X≤6)=0.9544，P(3<X≤5)=0.6826，∴P(2<X≤6)−P(3<X≤5)=0.9544−0.6826=0.2718，∴P(5<X<6)=12×0.2718=0.1359．故选：B．根据变量符合正态分布，和所给的μ和σ的值，根据3σ原则，得到P(2<X≤6)=0.9544，P(3<X≤5)=0.6826，两个式子相减，根据对称性得到结果．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，本题是一个基础题．7.答案：A解析：本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．由条件利用正弦函数的周期性求得ω的值，再根据正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得φ的值，可得函数的解析式，从而得到它的单调性．解：函数f(x)=√2sin(ωx+φ+π4)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，则2πω=π，求得ω=2，函数f(x)=√2sin(2x+φ+π4).再根据f(−x)=f(x)，可得f(x)为偶函数，故φ+π4=kπ+π2，k∈Z，即φ=kπ+π4，k∈Z，|φ|<π2，故取φ=π4，函数f(x)=√2sin(2x+π4+π4)=√2cos2x．故f(x)在(0,π2)单调递减，故选：A．8.答案：B解析：分析函数的奇偶性和零点，利用排除法可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，函数的奇偶性和函数的零点，难度中档．解：函数f(x)=2+ln|x|x2满足f(−x)=f(x)，即函数为偶函数，图象关于y轴对称，故排除D；又f(1)=2≠0，故排除A、C，故选：B ．9.答案：B解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由{x +2y −1=0x −2y +3=0，解得{x =−1y =1，即C(−1,1)， 当{x =−2x +2y −1=0，解得{x =−2y =32，即A(−2,32)， 由{x =−2x −2y +3=0，解得{x =−2y =12，即B(−2,12)， 由{x =4x +2y −1=0，解得{x =4y =−32，即E(4,−32)， 由{x =4x −2y +3=0，解得{x =4y =72，即D(4,72)， 则△ABC 的面积为12×(32−12)×[−1−(−2)]=12， 则△CDE 的面积为12×[72−(−32)]×[4−(−1)]=252，则阴影部分的面积之和为12+252=13，故选B ．作出不等式组对应的平面区域，根据对应的图象即可求出对应的面积．本题主要考查阴影部分的面积的计算，根据条件作出对应的平面区域是解决本题的关键．10.答案：B解析：解：由函数的解析式可得f(−1)=−1+13=−23<0，f(0)=0+1=1>0， ∴f(−1)f(0)<0，根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=x +3x 的零点所在的区间为(−1,0)， 故选：B ．由函数的解析式可得f(−1)f(0)<0，根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=x +3x 的零点所在的区间．本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题．11.答案：A解析：本题考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题． 根据题意，可得抛物线焦点为F(1,0)，由直线l 方程为y =k(x −1)，与抛物线方程联解消去y ，得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0.再设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由根与系数的关系和|AF|=3|BF|，建立关于x 1、x 2和k 的方程组，解之可得k 2值，再根据|AB|=x 1+x 2+p 即可求出． 解：∵抛物线C 方程为y 2=4x ，可得它的焦点为F(1,0)，由{y =k(x −1)y 2=4x 消去y 可得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得x 1+x 2=2+4k 2，x 1x 2=1，(∗) ∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(1−x 1,−y 1)=3(x 2−1,y 2)∴1−x 1=3(x 2−1)， ∴x 1=−3x 2+4，代入(∗)得−2x 2+4=2+4k 2，且(−3x 2+4)x 2=1， 消去x 2得k 2=3，∴|AB|=x 1+x 2+p =2+43+2=163，故选：A ．12.答案：B解析：【试题解析】本题考查等差数列的通项公式与前n项和，属于中档题．满足能被3除余1且被5除余3正整数构成首项为13，公差3×5=15的等差数列，求其通项公式，由x∈[150,300]且x是整数求得n值，再由等差数列的前n项和求解．解：满足能被3除余1且被5除余3正整数构成首项为13，公差3×5=15的等差数列，记数列{a n}.则a n=13+15(n−1)=15n−2，∵x∈[150,300]，∴150≤15n−2≤300，解得15215≤n≤30215．故n从11开始，到20结束，∴a11=163，a20=298′∴该数列各项之和为10(a11+a20)2=10(163+298)2=2305，故选：B．13.答案：5解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．解：二项式(2x2x )5的展开式的通项公式为Tr+1=C5r⋅(−1)r⋅25−r⋅x10−5r2，令10−5r2=0，求得r=4，故展开式中的第5项为常数项，故答案为5．14.答案：[2,+∞)解析：解：由x −1≥0，得x ≥1，又y =√x −1为[1,+∞)上的增函数，y =2x 在[1,+∞)上也是增函数， ∴f(x)=√x −1+2x 是[1,+∞)上的增函数，则f(x)min =2，∴函数f(x)=√x −1+2x 的值域为[2,+∞)． 故答案为：[2,+∞)．由根式内部的代数式大于等于0求出函数的定义域，再由函数的单调性求得答案． 本题考查函数的值域，训练了利用函数的单调性求函数的值域，是基础题．15.答案：3或4解析：本题考查满足的等比数列的项数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．首先根据已知条件求出a n ，然后根据b n =a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n 求出b n ，再根据复合函数的单调性分析最值． 解：∵等比数列{a n }的首项a 1=8，a 4=1，设公比为q ，则q 3=a 4a 1=18，q =12，∴ a n =8×(12)n−1=24−n ．∵ b n =a 1a 2a 3…a n =(12)(n−7)n 2，∴当(n−7)n 2取最小时，b n 取最大，此时n 的值为3或4，∴ b n 达到最大值时，n 的值为3或4． 故答案为3或4．16.答案：4π解析：解：由已知：平面ABD ⊥平面BCD ， CD//AB ，∠ABD =90°得：CD ⊥BD ， 故CD ⊥平面ABD ，由AB =1，BD =√2，得：三棱锥A −BDC 是一个以CD =1为高，以平面ABD 为底面的棱锥，故球心到底面的距离d =12CD =12，底面外接圆半径r =12AD =√32，故三棱锥A−BDC的外接球的表面积S=4π(d2+r2)=4π，故答案为：4π由已知可得三棱锥A−BDC是一个以CD=1为高，以平面ABD为底面的棱锥，求出球心到底面的距离及底面外接圆半径，代入外接球的表面积公式S=4π(d2+r2)，可得答案．本题考查的知识点是球的体积与表面积，根据已知求出球心到底面的距离及底面外接圆半径，是解答的关键．17.答案：解：(1)∵bsin2A=asinB，∴2bsinAcosA=asinB，∴由正弦定理，得，∵，∴，又∵三角形内角A，∴A=；(2)由(1)A=，又A+B+C=，得C=，B，cos(B+)+sin(C+)∵B，∴，∴当，即时，取最大值1，∴cos(B+)+sin(C+)的最大值为1．解析：本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，属中档题． (1)∵bsin2A =asinB ，∴2bsinAcosA =asinB ，利用正弦定理，得，求得A ．(2)化简cos(B +)+sin(C +)求得最值．18.答案：证明：(Ⅰ)在DC 上取点E ，使DE =2，则DE//AB ，DE =AB ， 则四边形ABED 是平行四边形， 则EB//AD ，∵PMMC =DEEC =2，∴PD//ME ， 则平面PAD//平面MBE ，∵BM ⊂平面MBE ，BM ⊄平面PAD ， ∴BM//平面PAD(Ⅱ)△ABD 是正三角形，建立以D 为坐标原点的空间直角坐标系如图：则B(√3,1，0)，P(0,0，3)，C(0,3，0)，M(0,2，1)， DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1，0)，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，1)， 设平面DBM 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则由m ⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y =0，m ⃗⃗⃗ ⋅DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +z =0，得{y =−√3x z =−2y ， 令x =1，则y =−√3，z =2√3则m ⃗⃗⃗ =(1,−√3,2√3)，设平面MBC 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,2，0)，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−1)， 则n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +2y =0，n ⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y −z =0，令x =2，则y =√3，z =√3， 即n ⃗ =(2,√3,√3)， 则cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=4×√10=4√10=√108， 则二面角D −MB −C 的正弦值sinα=√1−(√108)2=3√68．解析：(Ⅰ)根据线面平行的判定定理即可证明BM//平面PAD ；(Ⅱ)若AD =2，PD =3，建立空间直角坐标系求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角D −MB −C 的正弦值本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解二面角的常用方法．19.答案：解：(1)由条形统计图知：空气质量类别达到中度污染及以上的天数为： 6+4+2=12天，∴该城市本月学生可以进行户外跑步活动的概率P =1−1230=35． (2)由已知得ξ的可能值为0，1，2， P(ξ=0)=C 262C 302=6587，P(ξ=1)=C 41C 261C 302=104435，P(ξ=2)=C 42C 202=2145，∴ξ的分布列为：∴Eξ=0×6587+1×104435+2×2145=116435．解析：(1)由条形统计图知空气质量类别达到中度污染及以上的天数为12天，由此利用对立事件概率计算公式能求出该城市本月学生可以进行户外跑步活动的概率．(2)由已知得ξ的可能值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列与数学期望． 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．20.答案：解：(Ⅰ)由椭圆离心率为12得：√a 2−3a =12，解得a 2=4， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1;证明：(Ⅱ)由c =1，则焦点F(1,0)，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程x =1， A ，B 两点关于x 轴对称，点P(4,0)在x 轴上， ∴直线PA 与直线PB 关于x 轴对称，∴点O 到直线PA 的距离与到PB 的距离相等，∴以坐标原点O 为圆心与PA 相切的圆，必与直线PB 相切，当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y =k(x −1)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由{y =k(x −1)3x 2+4y 2−12=0，整理得：(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0， Δ>0，由韦达定理可知：x 1+x 2=8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，由k PA =y 1x1−4=k(x 1−1)x 1−4，k PB =y 2x2−4=k(x 2−1)x 2−4，则k PA +k PB =k(x 1−1)x 1−4+k(x 2−1)x 2−4=k[2x 1x 2−5(x 1+x 2)+8](x 1−4)(x 2−4)=k(8k 2−243+4k 2−40k 23+4k 2+8)(x 1−4)(x 2−4)=0，∴∠APO =∠BPO ，则点O 到直线PA 和直线PB 的距离相等， ∴以坐标原点O 为圆心与PA 相切的圆，必与直线PB 相切．解析：本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，属于中档题．(Ⅰ)由椭圆的离心率和椭圆方程，求得a 的值，即可求得；(Ⅱ)对直线斜率是否存在分类讨论，当直线斜率存在时，设直线方程，利用韦达定理及直线的斜率公式可知k PA +k PB =0，即可证明以坐标原点O 为圆心与PA 相切的圆，必与直线PB 相切．21.答案：解：(Ⅰ)f(x)的定义域为R ，且f′(x)=(ax +a −1)e x ．当a =0时，f′(x)=−e x <0，此时f(x)的单调递减区间为(−∞,+∞)； 当a >0时，由f′(x)>0，得x >−a−1a，由f′(x)<0，得x <−a−1a．此时f(x)的单调减区间为(−∞,−a−1a)，单调增区间为(−a−1a,+∞)；当a <0时，由f′(x)>0，得x <−a−1a，由f′(x)<0，得x >−a−1a．此时f(x)的单调减区间为(−a−1a,+∞)，单调增区间为(−∞,−a−1a).(Ⅱ)证明：要证me n +n <ne m +m ，即证me n −m <ne m −n ， 也就是证m(e n −1)<n(e m −1)． 也就是证e n −1n<e m −1m，令g(x)=e x −1x，x >0，g′(x)=xe x −e x +1x 2，再令ℎ(x)=xe x −e x +1，ℎ′(x)=e x +xe x −e x =xe x >0， 可得ℎ(x)在x >0递增，即有ℎ(x)>ℎ(0)=0， 则g′(x)>0，g(x)在(0,+∞)递增， 由m >n >0，可得e n −1n<e m −1m，故原不等式成立．解析：本题考查函数的单调性、导数及其应用、不等式的证明等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力及抽象概括能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想，属难题．(Ⅰ)求出f(x)的定义域，以及导数，讨论a =0，a >0，a <0，判断导数符号，解不等式即可得到所求单调区间；(Ⅱ)运用分析法证明．要证me n +n <ne m +m ，即证me n −m <ne m −n ，也就是证e n −1n<e m −1m，令g(x)=e x −1x，x >0，求出导数，再令ℎ(x)=xe x −e x +1，求出导数，判断单调性，即可得证．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程{x =−1+2cosφy =2sinφ，消去参数φ，得曲线C 的普通方程为(x +1)2+y 2=4．由曲线l 1的极坐标方程ρ=√2sin (θ+π4)，得ρsin θ+ρcos θ=1，将x =ρcos θ，y =ρsin θ代入，得l 1的直角坐标方程为x +y −1=0；(2)由l 1⊥l 2，得直线l 2的斜率k l 2=−1k l 1=1，所以l 2的倾斜角为π4，又l 2过圆心(−1,0)，所以l 2的方程为y =x +1，与x +y −1=0联立，得AB 的中点M(0,1)， 故l 2的参数方程为{x =tcos π4y =1+tsin π4,(t 为参数)，即{x =√22t y =1+√22t ,(t 为参数)，代入(x +1)2+y 2=4中，化简、整理得t 2+2√2t −2=0， 设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，则由韦达定理得t 1·t 2=−2， 又线段PQ 为圆的直径，所以|PQ|=4， 所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． (1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)f(x)≥2即|x|+|x +1|≥2，可得{x ≥0x +x +1≥2或{−1<x <0−x +x +1≥2或{x <−1−x −x −1≥2，解得x ≥12或x ∈⌀或x ≤−32，则原不等式的解集为{x|x ≥12或x ≤−32}；(Ⅱ)证明：f(x)=|x|+|x +1|≥|x −x −1|=1， 当且仅当x(x +1)≤0，即−1≤x ≤0时，上式取得等号， 可得函数f(x)的最小值为1， 则a +b +c =1，且a ，b ，c ∈R +，由(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ≥ab +bc +ca +2ab +2bc +2ca =3(ab +bc +ca)，可得3(ab +bc +ca)≤1，当且仅当a =b =c =13取得等号， 即ab +bc +ac ≤13．解析：(Ⅰ)由绝对值的意义去绝对值，解不等式，求并集可得所求解集；(Ⅱ)运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值m ，再由三个数的完全平方公式和基本不等式，结合不等式的性质即可得证．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，考查不等式的证明，注意运用均值不等式和不等式的性质，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．。