江苏省南通市2017届高三高考全真模拟(一)数学试题 Word版含答案

2021年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．1．函数的最小正周期为．2．设集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，那么A∪B=．复数z=〔1+2i〕2，其中i为虚数单位，那么z的实部为．34．口袋中有假设干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为，那么摸出蓝球的概率为．5．如图是一个算法的流程图，那么输出的n的值为．6．假设实数x，y满足那么z=3x2y的最大值为．+7．抽样统计甲、乙两名学生的 5次训练成绩〔单位：分〕，结果如下：学生第1次第2次第3次第4次第5次甲658070857 5乙807075807 0那么成绩较为稳定〔方差较小〕的那位学生成绩的方差为．8．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，那么三棱锥D1﹣A1BD的体积为cm3．9．在平面直角坐标系xOy中，直线2x+y=0为双曲线=1〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线，那么该双曲线的离心率为．10．?九章算术?中的“竹九节〞问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，那么该竹子最上面一节的容积为升．11．在△ABC中，假设?+2?=?，那么的值为．12．两曲线f〔x〕=2sinx，g〔x〕=acosx，相交于点P．假设两曲线在点P处的切线互相垂直，那么实数a的值为．1 3．函数2+2〕＞f〔x〕的解集用区间表示为．f〔x〕=|x|+|x﹣4|，那么不等式f〔x1 4．在平面直角坐标系xOy 中，B，C为圆x2+y2=4上两点，点〔，〕，且⊥，那么线段A11ABACBC的长的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB= ．1〕求cosβ的值；2〕假设点A的横坐标为，求点B的坐标．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．求证：1〕直线PA∥平面BDE；2〕平面BDE⊥平面PCD．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆〔a＞b＞0〕的离心率为，焦点到相应准线的距离为1．〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕假设P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值．18．如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到N处，FN交边BC于点P〕，再沿直线PE裁剪．ABCD进行裁剪．点F为AD的中点，点EMNFE 处〔点C，D分别落在直线BC下方点M，1〕当∠EFP=时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；2〕假设使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．19．函数f〔x〕=ax2﹣x﹣lnx，a∈R．1〕当时，求函数f〔x〕的最小值；2〕假设﹣1≤a≤0，证明：函数f〔x〕有且只有一个零点；3〕假设函数f〔x〕有两个零点，求实数a的取值范围．20．等差数列{an}的公差d不0，且，，⋯，，⋯〔k1＜k2＜⋯＜kn＜⋯〕成等比数列，公比q．1〕假设k1=1，k2=3，k3=8，求的；〔2〕当何，数列{kn}等比数列；〔3〕假设数列{k}等比数列，且于任意n∈N*，不等式恒成立，求a的取范．1南通市2021届高三第一次研数学Ⅱ〔附加〕[做本包括四小，多做，按作答的前两分．解答写出文字明、明程或演算步．[修明]2作答．假设4-1：几何21．O的直径AB=4，C AO的中点，弦DE点C且足CE=2CD，求△OCE的面．[修4-2：矩与]22．向量是矩A的属于特征1的一个特征向量．在平面直角坐系xOy中，点P〔1，1〕在矩A的作用下P'〔3，3〕，求矩A．[修4-4：坐系与参数方程]23．在极坐系中，求直被曲ρ=4sin所θ截得的弦．[修4-5：不等式]24．求函数的最大．[必做]共2小，分20分〕25．如，在棱2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P棱C1D1的中点，Q棱BB1上的点，且BQ=λBB1〔λ≠0〕．〔1〕假设，求AP与AQ所成角的余弦值；〔2〕假设直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2=2py〔p＞0〕上的点M〔m，1〕到焦点F的距离为2，1〕求抛物线的方程；2〕如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．2021年江苏省南通市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．1．函数的最小正周期为．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据函数y=Asin〔ωx+φ〕的周期等于，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为，故答案为：．2．设集合A=1，3，B=a2，5，A∩B=3，那么A∪B=，3，5}{}{+}{【考点】并集及其运算．【分析】由交集的定义，可得a+2=3，解得a，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求．【解答】解：集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，可得a+2=3，解得a=1，即B={3，5}，那么A∪B={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．3．复数z=〔12i2，其中i为虚数单位，那么z的实部为﹣3〕+【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：∵z=〔1+2i〕2=1+4i+〔2i〕2=﹣3+4i，z的实部为﹣3．故答案为：﹣3．4．口袋中有假设干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为，那么摸出蓝球的概率为．【考点】概率的根本性质．【分析】利用对立事件的概率公式，可得结论．【解答】解：∵摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为，∴摸出蓝球的概率为1﹣﹣．故答案为．5．如图是一个算法的流程图，那么输出的n的值为5 ．【考点】程序框图．【分析】由的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案．【解答】解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5．6．假设实数x，y满足那么z=3x+2y的最大值为7 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：〔阴影局部〕．由z=3x+2y得y=﹣x+z平移直线y=﹣x+ z，由图象可知当直线y=﹣x+ z经过点A时，直线y=﹣x+ z的截距最大，此时z最大．由，解得A〔1，2〕，代入目标函数z=3x+2y得z=3×1+2×2=7．即目标函数z=3x+2y的最大值为7．故答案为：7．7．抽样统计甲、乙两名学生的 5次训练成绩〔单位：分〕，结果如下：学生第1次第2次第3次第4次第5次甲658070857 5乙807075807 0那么成绩较为稳定〔方差较小〕的那位学生成绩的方差为20 ．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据题意，分别求出甲、乙的平均数与方差，比拟可得S甲2＞S乙2，那么乙的成绩较为稳定；即可得答案．【解答】解：根据题意，对于甲，其平均数=，其方差2[〔65﹣75〕2+=75=80﹣75〕2+〔70﹣75〕2+〔85﹣75〕2+〔75﹣75〕2]=50；对于乙，其平==75，其方=2+70﹣75〕2〔75﹣均数差S〔75〕[〔80﹣75〕+ 2+〔80﹣75〕2+〔70﹣75〕2]=20；比拟可得：S甲2＞S乙2，那么乙的成绩较为稳定；故答案为：20．8．如图，在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，那么三棱锥D1﹣A1BD的体积为cm3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥D1﹣A1BD的体积= = ，由此能求出结果．【解答】解：∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，∴三棱锥D1﹣A1BD的体积：= === = 〔cm3〕．故答案为：．9．在平面直角坐标系xOy中，直线2x+y=0为双曲线=1〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线，那么该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程得到a，b关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：直线2x+y=0为双曲线 =1〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线，可得b=2a，即c2﹣a2=4a2，可得= ．故答案为：．10．?九章算术?中的“竹九节〞问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共3升，下面3节的容积共4升，那么该竹子最上面一节的容积为升．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设最上面一节的容积为a1，利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出结果．【解答】解：设最上面一节的容积为a1，由题设知，解得．故答案为：．11．在△ABC中，假设?2?=?，那么的值为+【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出的值．【解答】解：在△ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为A、B、C，由?+2?=?，得ac?cosB+2bc?cosA=ba?cosC，由余弦定理得：a2+c2﹣b2〕+〔b2+c2﹣a2〕=〔b2+a2﹣c2〕，化简得=2，=，由正弦定理得= = ．故答案为：．12．两曲线f〔x〕=2sinx，g〔x〕=acosx，相交于点P．假设两曲线在点P处的切线互相垂直，那么实数a的值为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】联立两曲线方程，可得tanx= = ，a＞0，设交点P〔m，n〕，分别求出f〔x〕，g 〔x〕的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，再由同角根本关系式，化弦为切，解方程即可得到a的值．【解答】解：由f〔x〕=g〔x〕，即2sinx=acosx，即有tanx= = ，a＞0，设交点P〔m，n〕，f〔x〕=2sinx的导数为f′〔x〕=2cosx，g〔x〕=acosx的导数为g′〔x〕=﹣asinx，由两曲线在点P处的切线互相垂直，可得2cosm?〔﹣asinm〕=﹣1，且tanm=，那么=1，分子分母同除以cos2m，即有=1，即为a2=1+ ，解得a= ．故答案为：．13．函数f〔x〕=|x|+|x﹣4|，那么不等式f〔x2+2〕＞f〔x〕的解集用区间表示为．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】令g〔x〕=f〔x2+2〕﹣f〔x〕=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．【解答】解：令g〔x〕=f〔x2+2〕﹣f〔x〕=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，x≥4时，g〔x〕=2x2﹣2x+4＞0，解得：x≥4；≤x＜4时，g〔x〕=2x2﹣4＞0，解得：x＞或x＜﹣，故＜x＜4；0≤x＜时，g〔x〕=0＞0，不合题意；﹣≤x＜0时，g〔x〕=2x＞0，不合题意；x＜﹣时，g〔x〕=2x2+2x﹣4＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，故x＜﹣2，故答案为：．14．在平面直角坐标系2y2=4上两点，点A〔1，1〕，且AB⊥AC，那么线段xOy中，B，C为圆x+BC的长的取值范围为[，]．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】画出图形，当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值，求出BC坐标，即可求出|BC|的长的取值范围．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，B，C为圆x2+y2=4上两点，点〔，〕，且⊥，11ABAC如下图当BC⊥OA时，BC取得最小值或最大值．由，可得B〔，1〕或〔，1〕，||由，可得C〔1，〕或〔1，﹣〕解得BCmin= = ，BCmax= = ．故答案为：[ ，]．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点 A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB= ．1〕求cosβ的值；2〕假设点A的横坐标为，求点B的坐标．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】〔1〕由条件利用余弦定理，求得cosβ的值．2〕利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的根本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标．【解答】解：〔1〕在△AOB中，由余弦定理得，AB2=OA2+OB2﹣2OA?OBcos∠AOB，所以，= ，即．〔2〕因为，，∴．因为点A的横坐标为，由三角函数定义可得，，因为α为锐角，所以．所以，，即点．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．求证：1〕直PA∥平面BDE；2〕平面BDE⊥平面PCD．【考点】平面与平面垂直的判定；直与平面平行的判定．【分析】〔1〕OE，明OE∥PA．然后明PA∥平面BDE．2〕明OE⊥PD．OE⊥PC．推出OE⊥平面PCD．然后明平面BDE⊥平面PCD．【解答】明：〔1〕OE，因O平行四形ABCD角的交点，所以OAC中点．又因EPC的中点，所以OE∥PA．⋯4分又因OE?平面BDE，PA?平面BDE，所以直PA∥平面BDE．⋯6分2〕因OE∥PA，PA⊥PD，所以O E⊥PD．⋯8分因OP=OC，EPC的中点，所以OE⊥PC．⋯10分又因PD?平面PCD，PC?平面PCD，PC∩PD=P，所以OE⊥平面PCD．⋯12分又因OE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD．⋯14分．17．如，在平面直角坐系xOy中，〔a＞b＞0〕的离心率，焦点到相准的距离1．〔1〕求的准方程；〔2〕假设P上的一点，点O作OP的垂交直于点Q，求的．【考点】直与的位置关系；的准方程．【分析】〔1〕由条件可得，，然后求解的方程．〔2〕由意知OP的斜率存在．当OP的斜率0，求解果；当OP的斜率不0，直OP方程y=kx．立方程，推出．OQ222．然后求解即可．=2k+【解答】解：〔1〕由意得，，，⋯2分解得，c=1，b=1．所以的方程．⋯4分〔2〕由意知OP的斜率存在．当OP的斜率0，，，所以．⋯6分当OP的斜率不0，直OP方程y=kx．由得〔2k2+1〕x2，解得，所以，=2所以．⋯9分因OP⊥OQ，所以直OQ的方程．由得，所以OQ2=2k2+2．⋯12分所以．上，可知．⋯14分．18．如，某机械厂要将6m，2m的方形皮ABCD行裁剪．点 F AD的中点，点E在BC上，裁剪先将四形CDFE沿直EF翻折到MNFE〔点C，D分落在直BC下方点M，N，FN交BC于点P〕，再沿直PE裁剪．1〕当∠EFP=，判断四形MNPE的形状，并求其面；2〕假设使裁剪得到的四形MNPE面最大，出裁剪方案，并明理由．【考点】函数模型的与用．【分析】〔1〕当∠EFP=，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．可得FN⊥BC，四形MNPE矩形．即可得出．〔2〕解法一：，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．可得，，．四形MNPE 面= = ，化利用根本不等式的性即可得出．解法二：BE=tm，3＜t＜6，ME=6 t．可得PE=PF，即．，NP=3T+ ，四形MNPE面= = ，利用根本不等式的性即可得出．【解答】解：〔1〕当∠EFP=，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．所以∠FPE=．所以FN⊥BC，四形MNPE矩形．⋯3分所以四形MNPE的面S=PN?MN=2m．⋯5分〔2〕解法一：，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．所以，，．⋯8分由得所以四形MNPE面====⋯12分．当且当，即取“=．〞⋯14分此，〔*〕成立．答：当，沿直PE裁剪，四形MNPE面最大，最大m2．⋯16分解法二：BE=tm，3＜t＜6，ME=6t．因∠EFP=∠EFD=∠FEP，所以PE=PF，即．所以，⋯8．分由得所以四形MNPE面==⋯1 2分=．当且当，即取“=．〞⋯14分此，〔*〕成立．答：当点E距B点m，沿直PE裁剪，四形MNPE面最大，最大m2．⋯16分．19．函数f〔x〕=ax2x lnx，a∈R．1〕当，求函数f〔x〕的最小；2〕假设1≤a≤0，明：函数f〔x〕有且只有一个零点；3〕假设函数f〔x〕有两个零点，求数a的取范．【考点】数在最大、最小中的用；根的存在性及根的个数判断；利用数研究函数的极．【分析】〔1〕当，．求出函数的数，得到极点，然后判断性求解函数的最．〔2〕由f〔x〕=ax2 x lnx，得．当a≤0，函数f〔x〕在〔0，+∞〕上最多有一个零点，当1≤a≤0，f〔1〕=a1＜0，，推出果．〔3〕由〔2〕知，当a≤0，函数f〔x〕在〔0，+∞〕上最多有一个零点．明a＞0，由f〔x〕=ax2xlnx，得，明函数f〔x〕在〔0，x0〕上减；在〔0，∞〕+上增．要使得函数f〔x〕在〔0，+∞〕上有两个零点，只需要．通函数h〔x〕=2lnx+x1在〔0，+∞〕上是增函数，推出0＜a＜1．当0＜a＜1，函数f〔x〕有两个零点．明：lnx≤x1．t〔x〕=x 1 lnx，利用数求解函数的最即可．【解答】解：〔1〕当，．所以，〔x＞0〕．⋯2分令f'〔x〕=0，得x=2，当x∈〔0，2〕，f'〔x〕＜0；当x∈〔2，+∞〕，f'〔x〕＞0，所以函数f〔x〕在〔0，2〕上减，在〔2，+∞〕上增．所以当x=2，f〔x〕有最小．⋯4分〔2〕由f〔x〕=ax2 x lnx，得所以当a≤0，，函数f〔x〕在〔0，+∞〕上减，所以当a≤0，函数f〔x〕在〔0，+∞〕上最多有一个零点．⋯6分因当1≤a≤0，f〔1〕=a 1＜0，，所以当1≤a≤0，函数f〔x〕在〔0，+∞〕上有零点．1a0，函数〕有且只有一个零点．⋯8上，当≤≤〔分3〕由〔2〕知，当a≤0，函数f〔x〕在〔0，+∞〕上最多有一个零点．因函数f〔x〕有两个零点，所以a＞0．⋯9分由f〔x〕=ax2x lnx，得，令g〔x〕=2ax2 x 1．因g〔0〕= 1＜0，2a＞0，所以函数g〔x〕在〔0，+∞〕上只有一个零点，x0．当x∈〔0，x0〕，g〔x〕＜0，f'〔x〕＜0；当x∈〔x0，+∞〕，g〔x〕＞0，f'〔x〕＞0．所以函数f 〔x〕在〔0，x0〕上减；在〔x0，+∞〕上增．要使得函数f〔x〕在〔0，+∞〕上有两个零点，只需要函数f〔x〕的极小f〔x0〕＜，即．又因，所以2lnx0x01＞0，+又因函数h〔x〕=2lnxx1在〔0，∞〕上是增函数，且h〔1〕=0，++所以x0＞1，得．又由，得，所以0＜a＜1．⋯13分以下当0＜a＜1，函数f〔x〕有两个零点．当0＜a＜1，，所以．因，且f〔x0〕＜0．所以函数f〔x〕在上有一个零点．又因〔因lnx≤x1〕，且f〔x0〕＜0．所以函数f〔x〕在上有一个零点．所以当0＜a＜1，函数f〔x〕在内有两个零点．上，数a的取范〔0，1〕．⋯16分下面明：lnx≤x1．t〔x〕=x 1 lnx，所以，〔x＞0〕．令t'〔x〕=0，得x=1．当x∈〔0，1〕，t'〔x〕＜0；当x∈〔1，+∞〕，t'〔x〕＞0．所以函数t〔x〕在〔0，1〕上减，在〔1，+∞〕上增．所以当x=1，t〔x〕有最小t〔1〕=0．所以t〔x〕=x1lnx≥0，得lnx≤x1成立．20．等差数列{an}的公差d不0，且，，⋯，，⋯〔k1＜k2＜⋯＜kn＜⋯〕成等比数列，公比q．〔1〕假设k1，2，3，求的；=1k=3k=8〔2〕当何，数列{kn}等比数列；〔3〕假设数列{kn}等比数列，且于任意n∈N*，不等式恒成立，求a1的取范．【考点】数列与不等式的合；等比数列的性．【分析】〔1〕由得：a13821的．，a，a成等比数列，从而4d=3ad，由此能求出〔2〕数列{kn}等比数列，，推出，从而，而．由此得到当，数列{kn}等比数列．〔3〕由数列{kn等比数列，1，．得到，a=d恒成立，再明于任意的正数ε〔0＜ε＜1〕，存在正整数n1，使得．要，即lnn11ε1的取范．＜+【解答】解：〔1〕由可得：a1，a3，a8成等比数列，所以，⋯2分整理可得：4d2=3a1d．因d≠0，所以．⋯4分〔2〕数列{kn等比数列，．}又因，，成等比数列，所以．整理，得．因，所以1〔2kk〕=d〔2k kk〕．23213因2kk1k3，所以a1=d，即．⋯6≠+当，an=a1+〔n1〕d=nd，所以．又因，所以．所以，数列{kn等比数列．}上，当，数列{kn}等比数列．⋯8分〔3〕因数列{kn等比数列，由〔〕知1，．2a =d，an1〔〕1．= a+n1d=na因于任意n∈N*，不等式恒成立．所以不等式，即，恒成立．⋯10分下面明：于任意的正数ε〔0＜ε＜1〕，存在正整数n1，使得．要，即lnn1＜1ε．nlnq+ln因，，解不等式，即，可得，所以．不妨取，当n1＞n0，原式得．所以，所以a1≥2，即得a1的取范是[2，+∞〕．⋯16分南通市2021届高三第一次研数学Ⅱ〔附加〕[做本包括四小，2作答．假设多做，按作答的前两分．解答写出文字明、明程或演算步．[修4-1：几何明]21的直径AB=4AO的中点，弦DE点且足CE=2CDOCE．，，求△的面．【考点】与有关的比例段．【分析】由相交弦定理，得CD，DE中点H，OH⊥DE，利用勾股定理求出OH，即可求出△OCE的面．【解答】解：CD=x，CE=2x．因CA=1，CB=3，由相交弦定理，得CA?CB=CD?CE，所以1×3=x?2x=2x2，所以．⋯2分取DE中点H，OH⊥DE．因，所以⋯6．分又因，所以△OCE的面．⋯10分．[修4-2：矩与]22．向量是矩A的属于特征1的一个特征向量．在平面直角坐系xOy中，点P 〔1，1〕在矩A的作用下P'〔3，3〕，求矩A．【考点】特征与特征向量的算．【分析】，根据矩，列方程，即可求得a、b、c和d的，求得A．【解答】解：，因向量是矩A的属于特征1的一个特征向量，所以．所以⋯4分因点P〔1，1〕在矩A的作用下P'〔3，3〕，所以．所以⋯8分解得a=1，b=2，c=2，d=1，所以．⋯10分．[修4-4：坐系与参数方程]23．在极坐系中，求直被曲ρ=4sin所θ截得的弦．【考点】曲的极坐方程．【分析】极坐方程化直角坐方程，立，求出A，B的坐，即可求直ρ=4sinθ截得的弦．所【解答】解：以极点O坐原点，极x的正半建立平面直角坐系．直的直角坐方程y=x①，⋯3分被曲曲ρ=4sinθ直角坐方程的x2+y2 4y=0②．⋯6分由①②得或⋯8分所以A〔0，0〕，B〔2，2〕，所以直被曲ρ=4sinθ截得的弦所AB=．⋯10分．[修4-5：不等式]24．求函数的最大．【考点】柯西不等式在函数极中的用；三角函数的最．【分析】利用二倍角公式化函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最即可．【解答】解：⋯2分由柯西不等式得，⋯8分所以ymax=5，此．所以函数的最大5．⋯10分．[必做]共2小，分20分〕25．如，在棱2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P棱C1D1的中点，Q棱BB1上的点，且BQ=λBB1 〔λ≠0〕．〔1〕假设，求AP与AQ所成角的余弦；〔2〕假设直AA1与平面APQ所成的角45°，求数λ的．【考点】直与平面所成的角．【分析】〔1〕以正交基底，建立如所示空直角坐系 A xyz．求出，，利用数量求解AP与AQ所成角的余弦．〔2〕，．求出平面APQ的法向量，利用空向量的数量求解即可．【解答】解：以正交基底，建立如所示空直角坐系A xyz．〔1〕因，，所以= ．所以AP与AQ所成角的余弦．⋯4分〔2〕由意可知，，．平面APQ的法向量=〔x，y，z〕，即令z=2，x=2λ，y=2λ．所以=〔2λ，2λ，2〕．⋯6分又因直AA1与平面APQ所成角45°，所以|cos＜，＞|= = ，2．⋯10可得5λ4λ=0，又因λ≠0，所以分．26．在平面直角坐系xOy中，抛物x2=2py〔p＞0〕上的点M〔m，1〕到焦点F的距离2，1〕求抛物的方程；2〕如，点E是抛物上异于原点的点，抛物在点E的切与x相交于点P，直PF与抛物相交于A，B两点，求△EAB面的最小．【考点】数在最大、最小中的用；抛物的准方程；直与抛物的位置关系．【分析】〔1〕求出抛物x2〔＞〕的准方程，由抛物定，得到，即可求解=2pyp0p=2抛物的方程．〔2〕求出函数的．点，得到抛物在点E的切方程．求出．推出直PF的方程，点到直PF的距离，立求出AB，表示出△EAB的面，构造函数，通函数的数利用性求解最即可．【解答】解：〔1〕抛物x2〔＞〕的准方程，=2pyp0因M〔m，1〕，由抛物定，知，所以，即p=2，所以抛物的方程x2=4y．⋯3分〔2〕因，所以．点，抛物在点E的切方程．令y=0，，即点．因，F〔0，1〕，所以直PF的方程，即2x+ty t=0．点到直PF的距离．⋯5分立方程消元，得22〔2t216〕yt2=0．++因△=〔2t2+16〕24t4=64〔t2+4〕＞0，所以，，所以．⋯7分所以△EAB的面．不妨〔x＞0〕，．因＞0，所以，g'〔x〕＜0，所以g〔x〕在g〔x〕在上增．上减；上，g'〔x〕所以当，．所以△EAB的面的最小．⋯10分．南通市、泰州市2017届数学一模(含参考答案) 2021年3月4日41 / 4141。

15．解：（1）设BAD ∠=，CAD ∠=， 由三角函数的定义得4cos 5α=，3sin 5α=，故1cos cos(60)cos 2βααα︒=-=+即cos CAD ∠． （2）设点(,)C x y ．由（1）知13sin sin(60)sin 2210βααα︒=-=-=， 因为5AC AB ==，所以5cos x β==5sin y β=-=，故点C ．16．证明：（1）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，11BC B C ∥． 因为BC ⊄平面11AB C ，11B C ⊂平面11AB C ， 所以BC ∥平面11AB C ．（2）因为平面11A ABB ⊥底面ABCD ，平面11A ABB 底面ABCD AB =，BC ⊂底面ABCD ，且由π2ABC ∠=知AB BC ⊥， 所以BC ⊥平面11A ABB ． 又11BC B C ∥，故11B C ⊥平面11A ABB ． 而11B C ⊂平面11AB C ， 所以平面11A ABB 平面11AB C ．17．（1）由题意知AC BC ⊥，AC x =，20AB =， 则22400BC x =-， 所以224(020)400ky x x x =+<<-．因为当x =0.065y =， 代入表达式解得9k =，所以224(020)400k y x x x =+<<-． （2）因为224(020)400ky x x x =+<<-，所以42232232289(2)188(400)(400)(400)x x x y x x x x ⨯---'=--=--． 令y '，得422188(400)x x =-，所以2160x =，即x =当0x <<0y '<，所以函数2249400y x x =+-为减函数；当20x <<时，0y '>，所以函数2249400y x x =+-为增函数．所以当x =C 到城A 的距离为km 时，函数224(020)400ky x x x =+<<-有最小值．18．（1）由题意知椭圆22:1113x y C m m+=， 所以2211,3a b m m==，故2a == 解得16m =， 所以椭圆C 的方程为22162x y +=．因为2c ，所以离心率c e a ==（2）设线段AP 的中点为D ．因为BA BP =，所以BD AP ⊥． 由题意知直线BD 的斜率存在， 设点P 的坐标为000(,)(0)x y y ≠， 则点的坐标为003(,)22x y +，直线AP 的斜率003AP yk x =-，所以直线BD 的斜率0031BD AP x k k y -=-=， 故直线BD 的方程为000033()22y x x y x y -+-=-． 令0x =，得2200092x y y y +-=，故220009(0,)2x y B y +-．由2200162x y +=，得220063x y =-，化简得20023(0,)2y B y --．因此，OAP OAB OPAB S S S =+△△四边形2000233(||||)22y y y --=+32≥⨯．当且仅当0032||2||y y =时，即0[y =时等号成立． 故四边形OPAB面积的最小值为19．解：（1）当0c =时，32()f x ax bx cx b a =-++-． ①若a b =，则32()f x ax ax =-， 从而2()32f x ax ax '=-，故曲线()y f x =在0x x =处的切线方程为32200000()(32)()y ax ax ax ax x x --=--．将点(1,0)代入上式并整理得200000(1)(1)(32)x x x x x -=--，解得00x =或01x =．②若a b >，则令2()320f x ax bx '=-=，解得0x =或213bx a=<． （ⅰ）若0b ≤，则当[0,1]x ∈时，()0f x '≥， 所以()f x 为区间[0,1]上的增函数， 从而()f x 的最大值为(1)0f =． （ii ）若0b >，列表：所以()f x 的最大值为(1)0f =． 综上，()f x 的最大值为0．（2）假设存在实数,,a b c ，使得11()f x x =与22()f x x =同时成立． 不妨设12x x <，则12()()f x f x <． 因为1x x =，1x x =为()f x 的两个极值点， 所以212()323()()f x ax bx c a x x x x '=-+=--．因为0a >，所以当12[,]x x x ∈时，()0f x '≤， 故()f x 为区间12[,]x x 上的减函数，从而12()()f x f x >，这与12()()f x f x <矛盾， 故假设不成立．既不存在实数,,a b c ，使得11()f x x =，22()f x x =同时成立． 20．（1）由题得数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为7． （2）设1a p =，其中0p ≠且1p ≠±． 由111nn na a a ++=-， 得211p a p +=-，31a p=-，411p a p -=+，5a p =，…． 所以15a a =，25a a =，…．因此集合A 中的所有数列都具有周期性，且周期为4． 所以数列{}n b 中，32a b -=，23a b -=-，112a b -=-，1()3a b k =∈*N ， 数列{}n c 中，33a c -=，22a c -=-，113a c -=-，1()2a c k =∈*N ，因为1111||||k ki i i i i b c b c +==-≥-∑∑，所以项数m 越大，数列{}n b 和{}n c 的距离越大． 因为17||3ki i i b c =-=∑， 所以34564845117||||86420163iiiii i b c b c ⨯⨯==-=-=⨯=∑∑，因此，当3456m <时，1||2016mi i i b c =-<∑．故m 的最大值为3 455．（3）假设T 中的元素个数大于或等于17． 因为数列{}n a 中，0n a =或1，所以仅由数列前三项组成的数组（1a ，2a ，3a ）有且只有8个：(0,0,0)，(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1,1)．那么这17个元素之中必有3个具有相同的1a ，2a ，3a ．设这3个元素分别为{}n c ：1c ，2c ，3c ，4c ，5c ，6c ，7c ；{}n d ：1d ，2d ，3d ，4d ，5d ，6d ，7d ；{}n f ：1f ，2f ，3f ，4f ，5f ，6f ，7f ，其中111c d f ==，222c d f ==，333c d f ==．因为这3个元素中每两个元素的距离大于或等于3， 所以在{}n c 与{}n d 中，(4,5,6,7)i i c d i ≠=至少有3个成立． 不妨设44c d ≠，55c d ≠，66c d ≠．由题意得4c ，4d 中一个等于0，另一个等于1．又因为40f =或1，所以44f c =和44f d =中必有一个成立．同理得：55f c =和55f d =中必有一个成立，66f c =和66f d =中必有一个成立，所以“(4,5,6)i i f c i ==中至少有两个成立”和“(4,5,6)i i f d i ==中至少有两个成立”中必有一个成立． 故71||2i i i f c =-≤∑和71||2i i i f d =-≤∑中必有一个成立，这与题意矛盾．所以T 中的元素个数小于或等于16．试题2（附加题）21．【选做题】A ．解：易得90ADO ACB ︒∠=∠=， 又A A ∠=∠，故Rt ADO Rt ACB △∽△， 所以BC ACOD AD=． 又2AC AD =， 故2BC OD =．B ．解：设将正方形ABCD 绕原点A 逆时针旋转90︒所对应的矩阵为A ，则01cos90sin9010sin90cos90A ︒︒︒︒-⎡⎤-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．设将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变所对应的矩阵为， 则，所以连续两次变换所对应的矩阵00101111010022M BA ⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． C ．解：依题意知cos 1sin x y αα=-⎧⎨=⎩（α为参数），因为22sin cos 1αα+=，所以22(1)1x y -+=，即2220x y x +-=，化为极坐标方程得22cos 0ρρθ-=，即2cos ρθ=， 所以曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=． D ．证明：因为0a >，0b > ， 所以要证3334()()a b a b +>+， 只要证2234()()()a b a ab b a b +-+>+， 即要证2224()()a ab b a b -+>+， 只需证23()0a b ->，而a b ≠，故23()0a b ->成立．【必做题】22．解：（1）由题意知基本事件数为39C ，而满足条件||2i j a a -≥，即取出的元素不相邻，则用插空法，有37C 种可能，故所求事件的概率3739512C P C ==．（2）分析123,,a a a 成等差数列的情况；1ξ=的情况有7种：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，{7,8,9}；2ξ=的情况有5种：{1,3,5}，{2,4,6}，{3,5,7}，{4,6,8}，{5,7,9}； 3ξ=的情况有3种：{1,4,7}，{2,5,8}，{3,6,9}； 4ξ=的情况有1种：{1,5,9}．故随机变量ξ的分布列如下：因此，()1234161616168E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=23．解：（1）213(1)122f S ==+=，4111113(2)S 23412f S =-=++=， 62111119(3)345620f S S =-=+++=． （2）由（1）知(1)1f >，(2)1f >． 下面用数学归纳法证明：当3n =时，()1f n <． （i ）由（1）知当3n =时，()1f n <．（ii ）假设当(3)n k k =≥时，()1f n <，即111()112f k k k k=+++<-…， 那么11111(1)1222122f k k k k k k +=+++++++++… 11111111111()1()()122212221222k k k k k k k k k k k=++++++-<+-+-++++++… 2(21)2(22)12(21)2(22)k k k k k k k k -+-+=++++ 11112(21)(22)k k k k =--<++．所以当1n k =+时，()1f n <也成立． 因此，当3n ≥时，()1f n <．综上，当1n =和2n =时，()1f n >；当时，()1f n <．江苏省南通市2017届高三高考全真模拟数学试卷（一）解析1．略．2．略．3．略．4．略．5．略．6．略．7．略．8．9．10．11．12．13．14．15．16．略．17．18．19．20．21．A．B．C．D．22．23．21 / 21。

2017年江苏省南通市高考一模数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1.函数y=2sin(3x-3π)的最小正周期为 . 解析：根据函数y=Asin(ωx+φ)的周期等于2πω，得出结论.函数y=2sin(3x-3π)的最小正周期为23π.答案：23π.2.设集合A={1，3}，B={a+2，5}，A ∩B={3}，则A ∪B= .解析：由交集的定义，可得a+2=3，解得a ，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求.集合A={1，3}，B={a+2，5}，A ∩B={3}， 可得a+2=3，解得a=1， 即B={3，5}，则A ∪B={1，3，5}. 答案：{1，3，5}.3.复数z=(1+2i)2，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 . 解析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案.∵z=(1+2i)2=1+4i+(2i)2=-3+4i ， ∴z 的实部为-3. 答案：-3.4.口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球.摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为 . 解析：利用对立事件的概率公式，可得结论.∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35， ∴摸出蓝球的概率为1-0.48-0.35=0.17. 答案：0.17.5.如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为 .解析：由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a 值，并输出满足a ＜16的最大n 值，模拟程序的运行过程可得答案.当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3. 满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5. 满足进行循环的条件，退出循环. 故输出n 值为5. 答案：5.6.若实数x ，y 满足243700x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则z=3x+2y 的最大值为 .解析：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分).由z=3x+2y 得3122y x z +-=， 平移直线3122y x z +-=，31312222y x z A y x z =+=+--由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时z 最大. 由2437x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得A(1，2)，代入目标函数z=3x+2y 得z=3×1+2×2=7. 即目标函数z=3x+2y 的最大值为7. 答案：7.7.抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩(单位：分)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位学生成绩的方差为 . 解析：根据题意，对于甲，其平均数6580708575755x ++++==甲，其方差S甲2=15[(65-75)2+(80-75)2+(70-75)2+(85-75)2+(75-75)2]=50. 对于乙，其平均数8070758070755x ++++==乙，其方差S乙2=15[(80-75)2+(70-75)2+(75-75)2+(80-75)2+(70-75)2]=20.比较可得：S 甲2＞S 乙2，则乙的成绩较为稳定. 答案：20.8.如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=3cm ，AA 1=1cm ，则三棱锥D 1-A 1BD 的体积为 cm 3.解析：∵在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=3cm ，AA 1=1cm ， ∴三棱锥D 1-A 1BD 的体积：1111111111311133326213D A BD B A D D A D D V V SAB A D DD AB --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=(cm 3). 答案：32.9.在平面直角坐标系xOy 中，直线2x+y=0为双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 .解析：利用双曲线的渐近线方程得到a ，b 关系，然后求解双曲线的离心率即可.直线2x+y=0为双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，可得b=2a ，即c 2-a 2=4a 2，可得ca=10.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 升. 解析：设最上面一节的容积为a 1，利用等差数列的通项公式、前n 项和公式列出方程组：111()43432986596()422a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⨯⎪+-+=⎪⎩， 解得11322a =. 答案：1322.11.在△ABC 中，若2BC BA AC AB CA CB +=，则sin sin AC的值为 . 解析：根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出sin sin AC的值. 在△ABC 中，设三条边分别为a 、b ，c ，三角分别为A 、B 、C ， 由2BC BA AC AB CA CB +=， 得ac ·cosB+2bc ·cosA=ba ·cosC ， 由余弦定理得：()()()2222222221122a cb bc a b a c +-++-=+-，化简得222a ac c==，则，由正弦定理得sin sin A aC c==12.已知两曲线f(x)=2sinx ，g(x)=acosx ，x ∈(0，2π)相交于点P.若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为 . 解析：联立两曲线方程，可得sin tan cos 2x ax x ==，a ＞0，设交点P(m ，n)，分别求出f(x)，g(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到a 的值. 由f(x)=g(x)，即2sinx=acosx ， 即有sin tan cos 2x ax x ==，a ＞0， 设交点P(m ，n)，f(x)=2sinx 的导数为f ′(x)=2cosx ， g(x)=acosx 的导数为g ′(x)=-asinx ， 由两曲线在点P 处的切线互相垂直， 可得2cosm ·(-asinm)=-1，且tan 2a m =， 则222sin cos 1sin cos a m mm m=+， 分子分母同除以cos2m ， 即有22tan 11tan a mm=+，22143a a a =+=即为，解得答案：3.13.已知函数f(x)=|x|+|x-4|，则不等式f(x 2+2)＞f(x)的解集用区间表示为 .解析：令g(x)=f(x 2+2)-f(x)=x 2+2+|x 2-2|-|x|-|x-4|，通过讨论x 的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可.令g(x)=f(x 2+2)-f(x)=x 2+2+|x 2-2|-|x|-|x-4|，x ≥4时，g(x)=2x 2-2x+4＞0，解得：x ≥4.x ＜4时，g(x)=2x 2-4＞0，解得： 4x x x ＜＜.0≤x g(x)=0＞0，不合题意.x ＜0时，g(x)=2x ＞0，不合题意.x ＜时，g(x)=2x 2+2x-4＞0，解得：x ＞1或x ＜-2，故x ＜-2，即不等式的解集用区间表示为(-∞，-2)∪+∞).答案：(-∞，-2)∪+∞).14.在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2+y 2=4上两点，点A(1，1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为 .解析：在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2+y 2=4上两点，点A(1，1)，且AB ⊥AC ，如图所示：当BC ⊥OA 时，|BC|取得最小值或最大值.由2214y x y =⎧⎨+=⎩，可得B ())，由2211x x y =⎧⎨+=⎩，可得C ((1或， 解得：min max BC BC ==-==故线段BC 的长的取值范围为.答案：.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A.以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，(1)求cosβ的值.解析：(1)由条件利用余弦定理，求得cosβ的值.答案：(1)在△AOB中，由余弦定理得，AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB，∴222222113 cos22115OA OB ABAOBOA OB+-+-∠===⨯⨯⎝⎭，即cosβ=35.(2)若点A的横坐标为513，求点B的坐标.解析：(2)利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标.答案：(2)∵30 52cosπββ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，，∴4sin5β===.55cos1313Aα=点的横坐标为，由三角函数定义可得，，∵α为锐角，∴12sin13α===.∴5312433 cos cos cos sin si()n13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-，1235456sin sin cos cos sin135165 ()35αβαβαβ+=+=⨯+⨯=，即点B33566565⎛⎫⎪⎝-⎭，.16.如图，在四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP=OC ，PA ⊥PD.求证：(1)直线PA ∥平面BDE.解析：(1)连结OE ，说明OE ∥PA.然后证明PA ∥平面BDE. 答案：(1)证明：连结OE ，∵O 为平行四边形ABCD 对角线的交点， ∴O 为AC 中点. ∵E 为PC 的中点， ∴OE ∥PA.∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， ∴直线PA ∥平面BDE.(2)平面BDE ⊥平面PCD.解析：(2)证明OE ⊥PD.OE ⊥PC.推出OE ⊥平面PCD.然后证明平面BDE ⊥平面PCD. 答案：(2)证明：∵OE ∥PA ，PA ⊥PD ， ∴OE ⊥PD.∵OP=OC ，E 为PC 的中点， ∴OE ⊥PC.∵PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PC ∩PD=P ， ∴OE ⊥平面PCD. ∵OE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面PCD.17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)点到相应准线的距离为1.(1)求椭圆的标准方程.解析：(1)由已知条件可得221c a c a c=-=，，然后求解椭圆的方程.答案：(1)由题意得，221c a c a c=-=，，解得a=2，c=1，b=1.所以椭圆的方程为2212x y +=.(2)若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线Q ，求2211OP OQ+的值. 解析：(2)由题意知OP 的斜率存在.当OP 的斜率为0时，求解结果.当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y=kx.联立方程组，推出OP 2=222221k k ++.OQ 2=2k 2+2.然后求解即可. 答案：(2)由题意知OP 的斜率存在.当OP 的斜率为0时，22111OP OQ OP OQ =+=. 当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y=kx.()22222222222121222121x k y k x x y k k y kx⎧+=⎪+===⎨++⎪=⎩由得，解得，所以，所以OP 2=222221k k ++. 因为OP ⊥OQ ，所以直线OQ 的方程为1y kx =-.由1k y y x-⎧=⎪⎨=⎪⎩得x =，所以OQ 2=2k 2+2. 所以222221121112222k OP OQ k k ++=+=++. 综上，可知22111OP OQ+=.18.如图，某机械厂要将长6m ，宽2m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪.已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处(点C ，D 分别落在直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P)，再沿直线PE 裁剪.(1)当∠EFP=4π时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积. 解析：(1)当∠EFP=4π时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=4π.可得FN ⊥BC ，四边形MNPE 为矩形.即可得出. 答案：(1)当∠EFP=4π时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=4π. 所以∠FPE=2π.所以FN ⊥BC ， 四边形MNPE 为矩形.所以四边形MNPE 的面积S=PN ·MN=2m 2.(2)若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由. 解析：(2)解法一：设∠EFD=θ(0＜θ＜2π)，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ.可得()222233sin 2sin 2sin 2tan PF NP NF PF ME πθθθθ===-=-=--，，.四边形MNPE 面积为：()22223326sin 2tan tan si 112n 22S NP ME MN θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-+- ⎪⨯=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，化简利用基本不等式的性质即可得出.解法二：设BE=tm ，3＜t ＜6，则ME=6-t ，可得PE=PF ，即t BP =-，()()22131332323t t BP NP t t t --==-+--，，四边形MNPE面积为()()()()213231132226263233t S NP ME MN t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝-⎭⎣=+=-++-⨯=--+--⎦，利用基本不等式的性质即可得出.答案：(2)解法一： 设∠EFD=θ(0＜θ＜2π)，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ. 所以()222233sin 2sin 2sin 2tan PF NP NF PF ME πθθθθ===-=-=--，，.2230sin 232ta 2sin 32ta n 000232n θθθθππθθ⎧-⎪⎪-⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩＞＞由＞得＞＜＜＜＜ (*)所以四边形MNPE 面积为()221122sin tan tan si 22223326222n (sin cos )tan tan sin cos tan 2366662S NP ME MN θθθθθθθθθθθ⎛⎫=+=-+-⨯=--⎪⎝⎭+⎛⎫=-⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢-=-+≤-=- ⎪⎝⎭⎣⎭⎥⎝⎦当且仅当tan tan tan 33πθθθθ===，即时取“=”. 此时，(*)成立. 答：当∠EFD=3π时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为2.解法二：设BE=tm ，3＜t ＜6，则ME=6-t. 因为∠EFP=∠EFD=∠FEP ，所以PE=PFt BP =-.所以()()()22131333332323t t BP NP PF PE t BP t t t --==-=-=--=-+--，. ()()22236361302312310133023t t tt t t t t t t ⎧⎪⎪⎧⎪⎪-⎪⎨⎨-⎪⎪-+⎩⎪-⎪-+-⎪⎩＜＜＜＜由＞得＜＞(*).所以四边形MNPE 面积为()()()()2133612232636312232t S NP ME MN t t t t t ⎡⎤⎛-=+=-++-⨯-=--⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡+≤⎢⎥⎣⎦--⎤()3232333t t t -==+=-当且仅当，即“=”. 此时，(*)成立.答：当点E 距B 点3+233m 时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大， 最大值为2.19.已知函数f(x)=ax 2-x-lnx ，a ∈R.(1)当a=38时，求函数f(x)的最小值. 解析：(1)当a=38时，f(x)=38x 2-x-lnx.求出函数的导数，得到极值点，然后判断单调性求解函数的最值. 答案：(1)当a=38时，f(x)=38x 2-x-lnx. 所以()()()32113424x x f x x x x+-'=--=(x ＞0). 令f'(x)=0，得x=2，当x ∈(0，2)时，f'(x)＜0.当x ∈(2，+∞)时，f'(x)＞0， 所以函数f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增. 所以当x=2时，f(x)有最小值()122ln 2f =--.(2)若-1≤a ≤0，证明：函数f(x)有且只有一个零点.解析：(2)由f(x)=ax 2-x-lnx ，得()212121ax x f x ax x x--'=--=，x ＞0.当a ≤0时，函数f(x)在(0，+∞)上最多有一个零点，当-1≤a ≤0时，f(1)=a-1＜0，2210e e af e e -⎛⎫ ⎪⎝⎭+=＞，推出结果.答案：(2)由f(x)=ax 2-x-lnx ，得()212121ax x f x ax x x--'=--=(x ＞0).所以当a ≤0时，()2210ax x f x x--'=＜， 函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，所以当a ≤0时，函数f(x)在(0，+∞)上最多有一个零点.因为当-1≤a ≤0时，f(1)=a-1＜0，2210e e af e e -⎛⎫ ⎪⎝⎭+=＞， 所以当-1≤a ≤0时，函数f(x)在(0，+∞)上有零点.综上，当-1≤a ≤0时，函数f(x)有且只有一个零点.(3)若函数f(x)有两个零点，求实数a 的取值范围.解析：(3)由(2)知，当a ≤0时，函数f(x)在(0，+∞)上最多有一个零点.说明a ＞0，由f(x)=ax 2-x-lnx ，得()221ax x f x x--'=(x ＞0)，说明函数f(x)在(0，x 0)上单调递减.在(x 0，+∞)上单调递增.要使得函数f(x)在(0，+∞)上有两个零点，只需要ax 02-x 0-lnx 0＜0.通过函数h(x)=2lnx+x-1在(0，+∞)上是增函数，推出0＜a ＜1.验证当0＜a ＜1时，函数f(x)有两个零点.证明：lnx ≤x-1.设t(x)=x-1-lnx ，利用导数求解函数的最值即可.答案：(3)由(2)知，当a ≤0时，函数f(x)在(0，+∞)上最多有一个零点. 因为函数f(x)有两个零点，所以a ＞0.由f(x)=ax2-x-lnx ，得()221ax x f x x--'=(x ＞0)，令g(x)=2ax 2-x-1.因为g(0)=-1＜0，2a ＞0，所以函数g(x)在(0，+∞)上只有一个零点，设为x 0.当x ∈(0，x 0)时，g(x)＜0，f'(x)＜0.当x ∈(x 0，+∞)时，g(x)＞0，f'(x)＞0. 所以函数f(x)在(0，x 0)上单调递减.在(x 0，+∞)上单调递增. 要使得函数f(x)在(0，+∞)上有两个零点，只需要函数f(x)的极小值f(x 0)＜0，即ax 02-x 0-lnx 0＜0＜0.又因为g(x 0)=2ax 02-x 0-1=0，所以2lnx 0+x 0-1＞0，又因为函数h(x)=2lnx+x-1在(0，+∞)上是增函数，且h(1)=0， 所以x 0＞1，得0＜1x ＜1. 又由2ax 02-x 0-1=0，得2200011241112a x x x =+=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎭⎝⎭-⎝+， 所以0＜a ＜1.以下验证当0＜a ＜1时，函数f(x)有两个零点. 当0＜a ＜1时，2121110a a g a aa a ⎛⎫ -==⎝--⎪⎭＞， 所以1＜x 0＜1a. 因为2221110a e e a f e e e e ⎛⎫ ⎪⎝-+=-+=⎭＞，且f(x 0)＜0. 所以函数f(x)在(1e，x 0)上有一个零点. 又因为224222ln 2110a f a a a a a a =-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝≥⎭---=＞(因为lnx ≤x-1)，且f(x 0)＜0. 所以函数f(x)在(x 0，2a)上有一个零点. 所以当0＜a ＜1时，函数f(x)在12ea ⎛⎫⎪⎝⎭，内有两个零点. 综上，实数a 的取值范围为(0，1).下面证明：lnx ≤x-1.设t(x)=x-1-lnx ，所以()111x t x x x-'=-=(x ＞0). 令t'(x)=0，得x=1.当x ∈(0，1)时，t'(x)＜0.当x ∈(1，+∞)时，t'(x)＞0. 所以函数t(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增. 所以当x=1时，t(x)有最小值t(1)=0. 所以t(x)=x-1-lnx ≥0，得lnx ≤x-1成立.20.已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，kn a ，…(k 1＜k 2＜…＜k n ＜…)成等比数列，公比为q.(1)若k 1=1，k 2=3，k 3=8，求1a d的值.解析：(1)由已知得：a 1，a 3，a 8成等比数列，从而4d 2=3a 1d ，由此能求出1a d的值. 答案：(1)由已知可得：a 1，a 3，a 8成等比数列，所以(a 1+2d)2=a 1(a 1+7d)，整理可得：4d 2=3a 1d. 因为d ≠0，所以143a d =. (2)当1a d为何值时，数列{k n }为等比数列. 解析：(2)设数列{k n }为等比数列，则k 22=k 1k 3，推导出11a d=，从而n k n a k d =，进而k n =k 1q n-1.由此得到当11a d=时，数列{k n }为等比数列. 答案：(2)设数列{k n }为等比数列，则k 22=k 1k 3. 又因为ak 1，ak 2，ak 3成等比数列，所以[a 1+(k 1-1)d][a 1+(k 3-1)d]=[a 1+(k 2-1)d]2.整理，得a 1(2k 2-k 1-k 3)=d(k 1k 3-k 22-k 1-k 3+2k 2).因为k 22=k 1k 3，所以a 1(2k 2-k 1-k 3)=d(2k 2-k 1-k 3). 因为2k 2≠k 1+k 3，所以a 1=d ，即11a d=. 当11a d=时，a n =a 1+(n-1)d=nd ，所以n k n a k d =. 又因为1111n n n k k a a qk dq --==，所以k n =k 1q n-1.所以1111nn n n k k q q k k q +-==，数列{k n }为等比数列.综上，当11a d=时，数列{k n }为等比数列.(3)若数列{k n }为等比数列，且对于任意n ∈N*，不等式2n n k n a a k +＞恒成立，求a 1的取值范围.解析：(3)由数列{k n }为等比数列，a 1=d ，k n =k 1q n-1(q ＞1).得到111112n n k q a n k q--+＞，111111121022n n nn k q q na k q k q --+=+＜＜恒成立，再证明对于任意的正实数ε(0＜ε＜1)，总存在正整数n 1，使得11n n q＜ε.要证11n n q＜ε，即证lnn 1＜n 1lnq+ln ε.由此能求出a1的取值范围. 答案：(3)因为数列{k n }为等比数列，由(2)知a 1=d ，k n =k 1q n-1(q ＞1).1111111n n n n k k a a q k dq k a q ---===，a n =a 1+(n-1)d=na 1.因为对于任意n ∈N*，不等式2n n k n a a k +＞恒成立. 所以不等式1111112n n na k a q k q --+＞，即111111111112101222n n n n nk q n k q q na n k q a k q k q----+=++＞，＜＜恒成立. 下面证明：对于任意的正实数ε(0＜ε＜1)，总存在正整数n 1，使得11n n qε＜. 要证11n n q ε＜，即证lnn1＜n 1lnq+lnε. 因为1ln 21x x x e ≤＜，则1ln n=，1ln ln n q ε+，即2ln 0q ln ε＞，21n⎝⎭＞. 不妨取201n ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则当n 1＞n 0时，原式得证. 所以10211a ≤＜，所以a 1≥2，即得a1的取值范围是[2，+∞).附加题：选做题本题包括四小题，请选2题作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1：几何证明选讲]21.已知圆O 的直径AB=4，C 为AO 的中点，弦DE 过点C 且满足CE=2CD ，求△OCE 的面积.解析：由相交弦定理，得CD ，DE 中点H ，则OH ⊥DE ，利用勾股定理求出OH ，即可求出△OCE 的面积.答案：设CD=x ，则CE=2x. 因为CA=1，CB=3，由相交弦定理，得CA ·CB=CD ·CE ，所以1×3=x ·2x=2x 2，所以取DE 中点H ，则OH ⊥DE.因为222235284OH OE EH x =-=-⎫ ⎪⎭=⎛⎝，所以OH=4.又因为所以△OCE 的面积112244S OH CE ==⨯=.[选修4-2：矩阵与变换]22.已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值-1的一个特征向量.在平面直角坐标系xOy 中，点P(1，1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P'(3，3)，求矩阵A. 解析：设A=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，根据矩阵变换，列方程组，即可求得a 、b 、c 和d 的值，求得A. 答案：设A=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∵向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值-1的一个特征向量，∴()1111111a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎢⎥--⎣⎥⎣⎦⎦⎣⎦⎣⎦. ∴11a b c d -=-⎧⎨-=⎩∵点P(1，1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P'(3，3)， ∴1313a b c d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎢⎥⎣⎦⎦⎡. ∴33a b c d +=⎧⎨+=⎩解得a=1，b=2，c=2，d=1，所以A=1221⎡⎤⎢⎥⎣⎦.[选修4-4：坐标系与参数方程]23.在极坐标系中，求直线θ=4π(ρ∈R)被曲线ρ=4sin θ所截得的弦长. 解析：极坐标方程化为直角坐标方程，联立，求出A ，B 的坐标，即可求直线θ=4π(ρ∈R)被曲线ρ=4sin θ所截得的弦长.答案：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. 直线θ=4πρ∈R)的直角坐标方程为y=x ①， 曲线ρ=4sin θ的直角坐标方程为x 2+y 2-4y=0②. 由①②得0202x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 所以A(0，0)，B(2，2)， 所以直线θ=4π(ρ∈R)被曲线ρ=4sin θ所截得的弦长[选修4-5：不等式选讲]24.求函数3sin y x =+.解析：利用二倍角公式化简函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最值即可.答案：3sin 3sin y x x =+=+，由柯西不等式得(()()222222334sin sin cos 25y x x x =+≤++=，所以y max =5，此时sinx=35.所以函数3sin y x =+ 5.[必做题]共2小题，满分20分25.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为棱C 1D 1的中点，Q 为棱BB 1上的点，且BQ=λBB 1(λ≠0).(1)若λ=12，求AP 与AQ 所成角的余弦值. 解析：(1)以{}1AB AD AA ，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz.求出()20)2(121AP AQ ==，，，，，，利用数量积求解AP 与AQ 所成角的余弦值.答案：(1)以{}1AB AD AA ，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz.∵()20)2(121AP AQ ==，，，，，，∴12cosAP AQAP AQAP AQ⨯===＜，＞.∴AP与AQ(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值.解析：(2)1()00)2(022AA AQλ==，，，，，.求出平面APQ的法向量，利用空间向量的数量积求解即可.答案：(2)由题意可知，1()00)2(022AA AQλ==，，，，，.设平面APQ的法向量为n=(x，y，z)，0220220n AP x y zx zn AQ λ⎧=++=⎧⎪⎨⎨+=⎩=⎪⎩则，即令z=-2，则x=2λ，y=2-λ.∴n=(2λ，2-λ，-2).∵直线AA1与平面APQ所成角为45°，∴111cos22(n AAn AAn AA===＜，＞可得5λ2-4λ=0，又因为λ≠0，所以λ=45.26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2=2py(p＞0)上的点M(m，1)到焦点F的距离为2.(1)求抛物线的方程.解析：(1)求出抛物线x2=2py(p＞0)的准线方程为2py=-，由抛物线定义，得到p=2，即可求解抛物线的方程.答案：(1)抛物线x 2=2py(p ＞0)的准线方程为2p y =-， 因为M(m ，1)，由抛物线定义，知MF=1+2p ， 所以1+2p=2，即p=2， 所以抛物线的方程为x 2=4y.(2)如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求△EAB 面积的最小值.解析：(2)求出函数的y ′=12x.设点E(t ，24t )，t ≠0，得到抛物线在点E 处的切线方程为()2124t y t x t -=-.求出P(2t，0).推出直线PF 的方程，点E(t ，24t )到直线PF 的距离，联立2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩求出AB ，表示出△EAB 的面积，构造函数，通过函数的导数利用单调性求解最值即可. 答案：(2)21142y x y x ='=因为，所以. 设点E(t ，24t )，t ≠0，则抛物线在点E 处的切线方程为()2124t y t x t -=-.令y=0，则x=2t ，即点P(2t， 0). 因为P(2t ，0)，F(0，1)，所以直线PF 的方程为22t y x t ⎛=--⎫⎪⎝⎭，即2x+ty-t=0. 则点E(t ，24t )到直线PF的距离为d ==. 联立方程2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩消元，得t 2y 2-(2t 2+16)y+t 2=0. 因为△=(2t 2+16)2-4t 4=64(t 2+4)＞0， 所以12y y ==，所以()22121222442161122t t AB y y y y t t ++=+++=++=+=. 所以△EAB 的面积为()()322221122444t t S tt++=⨯=⨯.不妨设()()()()()22122223()44024x x g x x g x xxx++='=-＞，则.因为x ∈(0，2)时，g ′(x)＜0，所以g(x)在(0，2)上单调递减.x ∈(2，+∞)上，g'(x)＞0，所以g(x)在(2， +∞)上单调递增.())3224min x g x +===所以当所以△EAB 的面积的最小值为。

南通市2017届高三第一次调研测试数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 函数2sin(3)3y x π=-的最小正周期为 ▲ ．2． 设集合{}13A =，，{}25B a =+，，{}3A B =，则AB = ▲ ．3． 复数2(1+2i)z =，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． 4． 口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．已知摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概 率为 ▲ ．5． 如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为 ▲ ． 6． 若实数x ，y 满足243700x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤，≤，≥，≥，则z ＝3x ＋2y 的最大值为 ▲ ．7． 抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为 ▲ ． 8． 如图，在正四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，3cm AB =，11cm AA =，则三棱锥D 1–A 1BD 的体积为 ▲ 3cm ．9． 在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +=为双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线，则该双曲线 的离心率为 ▲ ．10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 ▲ 升．11．在△ABC 中，若2BC BA AC AB CA CB ⋅+⋅=⋅，则sin sin AC的值为 ▲ ． 12．已知两曲线()2sin f x x =，()cos g x a x =，π(0)2x ∈，相交于点P ．若两曲线在点P 处的切线（第5题）ABCDA 1B 1C 1D 1 （第8题）互相垂直，则实数a 的值为 ▲ ．13．已知函数()4f x x x =+-，则不等式2(2)()f x f x +>的解集用区间表示为 ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(11)A ，，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ． 以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，AB． （1）求cos β的值； （2）若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP =OC ，PA ⊥PD ．求证：（1）直线PA ∥平面BDE ； （2）平面BDE ⊥平面PCD ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到（第16题）ABCODPE（第15题）相应准线的距离为1． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线2y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．18．（本小题满分16分）如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点， 点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在 直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P ），再沿直线PE 裁剪． （1）当∠EFP =4π时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积； （2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x ax x x =--，a ∈R ． （1）当38a =时，求函数()f x 的最小值；ABCDFEPMN（第18题）xyQOP（第17题）2（2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点； （3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，n k a ，…(12k k <<…n k <<…)成等比数列，公比为q ．（1）若11k =，23k =，38k =，求1a d的值； （2）当1a d为何值时，数列{}n k 为等比数列； （3）若数列{}n k 为等比数列，且对于任意n *∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立，求1a 的取值 范围．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）已知圆O 的直径4AB =，C 为AO 的中点，弦DE 过OA BEDC（第21-A 题）点C 且满足CE =2CD ，求△OCE 的面积．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点11P （，）在矩阵A 对应的变换作用下变为33P '（，），求矩阵A ．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）求函数3sin y x =+【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在棱长为2的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，P 为棱C 1D 1的中点，Q 为棱BB 1上的点，BADC 1（第22题）A 1D 1B 1CQP且1(0)BQ BB λλ=≠． （1）若12λ=，求AP 与AQ 所成角的余弦值； （2）若直线AA 1与平面APQ 所成的角为45°， 求实数λ的值．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(1)M m ，到焦点F 的距离为2． （1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直 线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求△EAB 面积的最小值．南通市2017届高三第一次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 函数2sin(3)3y x π=-的最小正周期为 ▲ ．【答案】23π y = f (x )（第23题）yOxF AB PE2． 设集合{}13A =，，{}25B a =+，，{}3A B =，则A B = ▲ ．【答案】{}135，，3． 复数2(1+2i)z =，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 ▲ ．【答案】3-4． 口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为▲ ． 【答案】0.175． 如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为 ▲ ．【答案】56． 若实数x ，y 满足243700x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤，≤，≥，≥，则z ＝3x ＋2y 的最大值为 ▲ ．【答案】77． 抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为 ▲ ． 【答案】208． 如图，在正四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，3cm AB =，11cm AA =，则三棱锥D 1–A 1BD 的体积为 ▲ 3cm ．【答案】329． 在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +=为双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 ▲ ．10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 ▲ 升． 【答案】1322（第5题）ABCDA 1B 1C 1D 1 （第8题）11．在△ABC 中，若2BC BA AC AB CA CB ⋅+⋅=⋅，则sin sin AC的值为 ▲ ．12．已知两曲线()2sin f x x =，()cos g x a x =，π(0)2x ∈，相交于点P ．若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为 ▲ ．13．已知函数()4f x x x =+-，则不等式2(2)()f x f x +>的解集用区间表示为 ▲ ．【答案】(2)(2)-∞-+∞，，14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(11)A ，，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为 ▲．【答案】二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ． 以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB ． （1）求cos β的值；（2）若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．【解】（1）在△AOB 中，由余弦定理得，2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅∠，所以222cos 2OA OB AB AOB OA OB +-∠=⋅ ……………2分22211352115+-==⨯⨯，即3cos 5β=． ………………………………………………………………………6分 （2）因为3cos 5β=，π(0)2β∈，，所以4sin 5β===． …………………………………………8分因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得，5cos 13α=，（第15题）因为α为锐角，所以12sin 13α===． ……………………10分所以()5312433cos cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-，………………12分 ()1235456sin sin cos cos sin 13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯=． 所以点3356()6565B -，． …………………………………………………………14分 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP =OC ，PA ⊥PD ．求证：（1）直线PA ∥平面BDE ； （2）平面BDE ⊥平面PCD ．【证明】（1）连结OE ，因为O 为平行四边形对角线的交点，所以O 为AC 中点． 又因为E 为PC 的中点，所以OE ∥PA ． ……………………4分 又因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以直线PA ∥平面BDE ． ……………………………………………………6分 （2）因为OE ∥PA ，PA PD ⊥，所以OE PD ⊥． ………………………………8分因为OP OC =，E 为PC 的中点，所以OE PC ⊥． …………………………10分 又因为PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PCPD P =，所以OE ⊥平面PCD ． …………………………………………………………12分 又因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD ． ……………………14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值． 【解】（1）由题意得，c a =，21a c c-=， …………2分解得a =1c =，1b =．ABCD （第16题）ABCODPE（第17题）所以椭圆的方程为2212x y +=． …………………………………………………4分（2）由题意知OP 的斜率存在．当OP 的斜率为0时，2OP =，2OQ =，所以22111OP OQ+=． …………6分 当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y kx =．由2212x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得()22212k x +=，解得22221x k =+，所以222221k y k =+，所以2222221k OP k +=+． ………………………………………………………………9分因为OP OQ ⊥，所以直线OQ 的方程为1y x k=-．由21y y xk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得2x k =-，所以2222OQ k =+． ………………………………12分 所以222221*********k OP OQ k k ++=+=++． 综上，可知22111OP OQ +=． ……………………………………………………14分 18．（本小题满分16分）如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点， 点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在 直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P ），再沿直线PE 裁剪． （1）当∠EFP =4π时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积； （2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由． 【解】（1）当∠EFP =4π时，由条件得 ∠EFP =∠EFD =∠FEP =4π． 所以∠FPE =2π．所以FN ⊥BC ， 四边形MNPE 为矩形．…… 3分 所以四边形MNPE 的面积 S=PN MN ⋅=2 m 2．………… 5分（2）解法一：设<<2EFD θθπ∠=（0），由条件，知∠EFP =∠EFD =∠FEP =θ．ABCDFEPMN（第18题）所以22sin sin PF=θθ=π-22（）， 23sin NP=NF PF θ-=-2， 23tan ME θ=-． ………………………………………………………………8分 由230sin 230tan <<2θθθ⎧->⎪2⎪⎪->⎨⎪⎪π⎪⎩，，0，得2sin 32tan 3<<.2θθθ⎧2>⎪⎪⎪>⎨⎪⎪π⎪⎩*，，（）0 所以四边形MNPE 面积为1()2S=NP ME MN +122(3)(3)22sin tan +θθ⎡⎤=--⨯⎢⎥2⎣⎦226tan sin 2=θθ--2222(sin cos )6tan 2sin cos =θθθθθ+--36(tan )tan θθ=-+ ………………………………………………………12分66-=-≤． 当且仅当3tan tan =θθ，即tan 3=θθπ时取“=”．………………14分 此时，*（）成立． 答：当3EFD π∠=时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为6- m 2． …………………………………………………………16分 解法二：设BE t = m ，3<<6t ，则6ME t =-．因为∠EFP =∠EFD =∠FEP ，所以PE =PFt BP =-． 所以21323t BP=t --（），213333323t NP=PF=PE=t BP =t t ------+-（）（）． ………8分 由223<<613023133023t tt tt t ⎧⎪⎪-⎪>⎨-⎪⎪--+>⎪-⎩，，（），（）得23<<612310.t t t t ⎧⎪>⎨⎪-+<⎩*，（）所以四边形MNPE 面积为 1()2S=NP ME MN +2113362223t t +t t ⎡⎤-=-+-⨯⎢⎥-⎣⎦（）（）（） 23306723t t t -+=-（）…………………………………………………………12分 326323t +t ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦（）6-≤当且仅当32323t =t --（），即=3+3t +时取“=”． ………14分 此时，*（）成立．答：当点E 距B 点3m 时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为6- m 2． …………………………………………………………16分19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x ax x x =--，a ∈R ． （1）当38a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点； （3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围． 【解】（1）当38a =时，23()ln 8f x x x x =--．所以(32)(2)31()144x x f x x x x+-'=--=，（x>0）． ……………………………2分令()0f x '=，得2x =，当(02)x ∈，时，()0f x '<；当(2)x ∈+∞，时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(02)，上单调递减，在(2)+∞，上单调递增．所以当2x =时，()f x 有最小值1(2)ln 22f =--．………………………………4分（2）由2()ln f x ax x x =--，得2121()210ax x f x ax x x x--'=--=>，． 所以当0a ≤时，221()<0ax x f x x--'=， 函数()f x 在(0+)∞，上单调递减，所以当0a ≤时，函数()f x 在(0+)∞，上最多有一个零点．……………………6分因为当0a -1≤≤时，(1)1<0f a =-，221e e ()>0e ea f -+=，所以当0a -1≤≤时，函数()f x 在(0+)∞，上有零点．综上，当0a -1≤≤时，函数()f x 有且只有一个零点． ………………………8分 （3）解法一：由（2）知，当0a ≤时，函数()f x 在(0+)∞，上最多有一个零点．因为函数()f x 有两个零点，所以>0a ． ………………………………………9分由2()ln f x ax x x =--，得221()(0)ax x f x x x--'=>，，令2()21g x ax x =--．因为(0)10g =-<，2>0a ，所以函数()g x 在(0)+∞，上只有一个零点，设为0x ．当0(0)x x ∈，时，()0()0g x f x '<<，；当0()x x ∈+∞，时，()0()0g x f x '>>，． 所以函数()f x 在0(0)x ，上单调递减；在0()x +∞，上单调递增． 要使得函数()f x 在(0+)∞，上有两个零点，只需要函数()f x 的极小值0()0f x <，即200ln 0ax x x --<． 又因为2000()210g x ax x =--=，所以002ln 10x x +->， 又因为函数()2ln 1h x =x x +-在(0+)∞，上是增函数，且(1)0h =， 所以01x >，得0101x <<． 又由20210ax x --=，得22000111112()()24a x x x =+=+-， 所以01a <<． ……………………………………………………………………13分 以下验证当01a <<时，函数()f x 有两个零点． 当01a <<时，21211()10a ag a a a a-=--=>，所以011x a<<． 因为22211e e ()10e e e e a af -+=-+=>，且0()0f x <．所以函数()f x 在01()ex ，上有一个零点．又因为2242222()ln (1)10a f a a a a a a =----=>≥（因为ln 1x x -≤），且0()0f x <．所以函数()f x 在02()x a，上有一个零点．所以当01a <<时，函数()f x 在12()e a，内有两个零点．综上，实数a 的取值范围为(1)0，． ……………………………………………16分 下面证明：ln 1x x -≤．设()1ln t x x x =--，所以11()1x t x x x-'=-=，（x>0）． 令()0t x '=，得1x =．当(01)x ∈，时，()0t x '<；当(1)x ∈+∞，时，()>0t x '． 所以函数()t x 在(01)，上单调递减，在(1)+∞，上单调递增． 所以当1x =时，()t x 有最小值(1)0t =． 所以()1ln 0t x x x =--≥，得ln 1x x -≤成立． 解法二：由（2）知，当0a ≤时，函数()f x 在(0+)∞，上最多有一个零点．因为函数()f x 有两个零点，所以>0a ． ………………………………………9分 由2()ln 0f x ax x x =--=，得关于x 的方程2ln x x a x+=，（x>0）有两个不等 的实数解． 又因为ln 1x x -≤，所以222ln 211(1)1x x x a x x x +-==--+≤，（x>0）． 因为x>0时，21(1)11x--+≤，所以1a ≤．又当=1a 时，=1x ，即关于x 的方程2ln x x a x+=有且只有一个实数解． 所以<<1a 0． ……………………………………………………………………13分 （以下解法同解法1）20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，n k a ，…(12k k <<…n k <<…)成等比数列，公比为q ．（1）若11k =，23k =，38k =，求1a d的值； （2）当1a d为何值时，数列{}n k 为等比数列； （3）若数列{}n k 为等比数列，且对于任意n *∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立，求1a 的取值 范围．【解】（1）由已知可得：1a ，3a ，8a 成等比数列，所以2111(2)(7)a d a a d +=+， ………2分整理可得：2143d a d =．因为0d ≠，所以143a d =． ……………………………4分 （2）设数列{}n k 为等比数列，则2213k k k =．又因为1k a ，2k a ，3k a 成等比数列，所以[][][]2111312(1)(1)(1)a k d a k d a k d +-+-=+-． 整理，得21213132132(2)(2)a k k k d k k k k k k --=---+． 因为2213k k k =，所以1213213(2)(2)a k k k d k k k --=--． 因为2132k k k ≠+，所以1a d =，即11a d=．………………………………………6分 当11a d=时，1(1)n a a n d nd =+-=，所以n k n a k d =． 又因为1111n n n k k a a q k dq --==，所以11n n k k q -=． 所以1111nn n n k k q q k k q +-==，数列{}n k 为等比数列． 综上，当11a d=时，数列{}n k 为等比数列．………………………………………8分 （3）因为数列{}n k 为等比数列，由（2）知1a d =，11(1)n n k k q q -=>．1111111n n n n k k a a q k dq k a q ---===，11(1)n a a n d na =+-=． 因为对于任意n *∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立． 所以不等式1111112n n na k a q k q --+>，即111112n n k q a n k q -->+，111111110222n n nn k q q na k q k q --+<<=+恒成立．……………………10分下面证明：对于任意的正实数(01)εε<<，总存在正整数1n ，使得11n n εq <． 要证11n n εq <，即证11ln ln ln n n q ε<+． 因为11ln e 2x x x <≤，则1122111ln 2ln n n n =<，解不等式1211ln ln n n q ε<+，即1122211()ln ln 0n q n ε-+>，可得121n >，所以21n >．不妨取201n ⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则当10n n >时，原式得证． 所以11102a <≤，所以12a ≥，即得1a 的取值范围是[)2+∞，． ……………16分 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）已知圆O 的直径4AB =，C 为AO 的中点，弦DE 过点C 且满足CE =2CD ，求△OCE 的面积． 【解】设CD x =，则2CE x =．因为1CA =，3CB =，由相交弦定理，得CA CB CD CE ⋅=⋅， 所以21322x x x ⨯=⋅=，所以x =．…………2分 取DE 中点H ，则OH DE ⊥． 因为2222354()28OH OE EH x =-=-=，所以OH ．…………………………………………………………………………6分又因为2CE x =，所以△OCE的面积1122S OH CE =⋅==…………………………10分 B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点11P （，）在矩阵A 对应的变换作用下变为33P '（，），求矩阵A ． 【解】设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 因为向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量，所以111(1)111a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以11a b c d -=-⎧⎨-=⎩，． ………………………………4分 因为点11P （，）在矩阵A 对应的变换作用下变为33P '（，），所以1313a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以+3+3a b c d =⎧⎨=⎩，． …………………………………………………8分（第21-A 题）解得1a =，2b =，2c =，1d =，所以1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ．………………………………10分 C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长． 【解】解法一：在4sin ρθ=中，令π4θ=，得π4sin 4ρ=AB= …………………10分 解法二：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． 直线π()4θρ=∈R 的直角坐标方程为y x =①， ………………………………………3分 曲线4sin ρθ=的直角坐标方程为2240x y y +-=②． ……………………………6分 由①②得00x y =⎧⎨=⎩，，或22x y =⎧⎨=⎩，，……………………………………………………………8分所以(00)(22)A B ，，，， 所以直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长AB= ………………10分 D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）求函数3sin y x =+【解】3sin y x x =++…………………………………………2分由柯西不等式得222222(3sin (34)(sin cos )25y x x x =+++=≤，……………………………8分所以max 5y =，此时3sin =5x ．所以函数3sin y x =+5． …………………………………10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在棱长为2的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，P 为棱C 1D 1的中点，Q 为棱BB 1上的点，且1(0)BQ BB λλ=≠．（第22题）（1）若12λ=，求AP 与AQ 所成角的余弦值； （2）若直线AA 1与平面APQ 所成的角为45°， 求实数λ的值．【解】以{}1AB AD AA ，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -．（1）因为=(122)AP ，，，=(201)AQ ，，， 所以cos =||||AP AQ AP AQ AP AQ ⋅<>，=．所以AP 与AQ ．………………………………………4分 （2）由题意可知，1=(002)AA ，，，=(202)AQ λ，，． 设平面APQ 的法向量为n ()x y z =，，， 则00AP AQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即220220x y z x z λ++=⎧⎨+=⎩，．令2z =-，则2x λ=，2y λ=-．所以n (222)λλ=--，，．…………………………………………………………6分 又因为直线1AA 与平面APQ 所成角为45°， 所以|cos<n ，1AA >|11=||||AA AA⋅n n =2=， 可得2540λλ-=，又因为0λ≠，所以45λ=． ……………………………10分 23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(1)M m ，到焦点F 的距离为2． （1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直 线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求△EAB 面积的最小值． 【解】（1）抛物线22(0)x py p =>的准线方程为2py =-， 因为(1)M m ，，由抛物线定义，知y = f (x )（第23题）yOxF AB PE12p MF =+， 所以122p+=，即2p =， 所以抛物线的方程为24x y =．……………………………………………………3分 （2）因为214y x =，所以12y x '=． 设点2()04t E t t ≠，，，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-．令0y =，则2t x =，即点(0)2tP ，．因为(0)2t P ，，(01)F ，，所以直线PF 的方程为2()2ty x t =--，即20x ty t +-=． 则点2()4t E t ，到直线PF的距离为d ==5分联立方程2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，，消元，得2222(216)0t y t y t -++=． 因为2242(216)464(4)0t t t ∆=+-=+>，所以1y =2y =， 所以221212222164(4)1122t t AB y y y y t t ++=+++=++=+=． ………………7分 所以△EAB的面积为3222214(4)1(4)22t t S t t++=⨯=⨯． 不妨设322(4)()x g x x +=(0)x >，则12222(4)()(24)x g x x x+'=-．因为(0x ∈时，()0g x '<，所以()g x在(0上单调递减；)x ∈+∞上，()0g x '>，所以()g x在)+∞上单调递增．所以当x32min 4)()g x ==所以△EAB的面积的最小值为10分。