苏教版数学高一必修4素材 2.2平面向量的线性表示

高中数学第2章平面向量2.2 向量的线性运算目标导引苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第2章平面向量2.2 向量的线性运算目标导引苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2 向量的线性运算一览众山小诱学导入俄罗斯著名寓言作家克雷洛夫有一则题为《天鹅、梭子鱼和虾》的寓言：一天,梭子鱼、虾和天鹅,出去把一辆小车从大路上拖下来：三个家伙一齐负起沉重的担子。

它们用足狠劲,身上青筋根根暴露;无论它们怎样的拖呀,拉呀，推呀，小车还是在老地方，一码也没有移动。

倒不是小车重得动不了，而是另有缘故：天鹅使劲往上向天空直提，虾一步一步向后倒拖，梭子鱼又向池塘拉去。

对于这个结果我们可以用物理学知识解释，实质上,在这个寓言中还蕴含着丰富的数学知识——向量的加法运算和减法运算等知识.问题:利用物理知识怎样解释这一现象？这一现象抽象为数学问题又是什么？导入：可根据物理学中的牛顿第二定律解释这现象,即合外力为零时，加速度也为零，物体就处于静止或匀速直线运动状态.由于力是矢量，抽象为数学知识，它是向量，则这一现象抽象为数学知识就涉及到了向量的加、减法运算.温故知新1。

向量是怎样定义的，它的要素有哪些？答：我们把既有大小又有方向的量称为向量，向量有两个要素：大小和方向。

2.什么是单位向量？答：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。

3.什么是平行向量?答:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.4.相等向量是怎样定义的？答:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

剖析向量的共线定理 平面向量共线定理是向量线性运算中的重要内容,整个定理有两大方面的应用:一是利用定理证明向量共线(或三点共线、线线平行);二是逆用,即已知两个向量共线,那么其中一个向量必然可用另一个向量线性表示.本文试图从这两方面对向量共线定理予以剖析,供同学们参考. 例1 已知两个非零向量12,e e u r u u r 不共线,若13131223,623,48AB e e BC e e CD e e =+=+=-u u u r u r u r u u u r u r u r u u u r u r u u r ,求证:,,A B D 三点共线. 证明:因为121212186(23)AD AB BC CD e e e e =++=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u r u u r u r u u r 6AB =u u u r ,所以AD u u u r 与AB u u u r 共线.又因为AD u u u r 与AB u u u r 共点A ,所以,,A B D 三点共线.点评:注意三点共线与向量共线是有区别的.因此,在利用向量共线定理证明三点共线时除了证明向量共线之外,还要强调两向量共点.例2 已知,,,E F G H 分别是四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 的中点,证明:四边形EFGH 是平行四边形. 证明:在BCD ∆中,,G F 为,CD CB 的中点,则11,22CG CD CF CB ==u u u r u u u r u u u r u u u r ,∴111222GF CF CG CB CD DB =-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,同理12HE DB =u u u r u u u r , ∴GF HE =u u u r u u u r ,而,,,G F H E 不在同一条直线上,∴//GF HE 且GF HE =,故四边形EFGH 是平行四边形.点评:本题利用向量共线定理将几何中的两直线平行问题转化为向量共线来处理,应注意向量共线不一定得到直线平行,还要指出,,,G F H E 不在同一条直线上. 例 3 设12,e e u r u u r 是两个不共线的向量,已知1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-u u u r u r u u r u u u r u r u u r u u u r u r u u r ,若,,A B D 三点共线,求k 的值. 解:因为121212(2)(3)4BD CD CB e e e e e e =-=--+=-u u u r u u u r u u u r u r u u r u r u u r u r u u r ,又,,A B D 三点共线,则存在实数λ,使AB BD λ=u u u r u u u r ,即122e ke +u r u u r =1212(4)4e e e e λλλ-=-u r u u r u r u u r ,所以12(2)(4)0e k e λλ-++=u r u u r r .若20λ-≠,则1242k e e λλ+=-u r u u r ,则12,e e u r u u r 共线,与题设矛盾,所以20λ-=,同理40k λ+=,于是2040k λλ-=⎧⎨+=⎩,解得8k =-. 点评:本题利用三点共线这一条件,将其转化为向量共线问题,再利用已知条件得到关于,k λ的方程组,从而求出k 的值.一般地,若12,e e u r u u r 是两个不共线的向量,且11122122e u e e u e λλ+=+u r u u r u r u u r ,则12λλ=且12u u =.例4 如图,在ABC ∆中,点O 是BC 的中点.过点O 的直线分别交直线,AB AC 于不同的两点,M N ,若,AB mAM AC nAN ==u u u r u u u u r u u u r u u u r ,求m n +的值.解:在ABC ∆中,点O 是BC 的中点,则1122AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r . 又,AB mAM AC nAN ==u u u r u u u u r u u u r u u u r ,∴22m n AO AM AN =+u u u r u u u u r u u u r . 在AMN ∆中,,,M O N 三点共线,则MN MO λ=u u u u r u u u u r ,∴()AN AM AO AM λ-=-u u u r u u u u r u u u r u u u u r ,∴11(1)AO AM AN λλ=-+u u u r u u u u r u u u r ,∴11212m n λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即2m n +=. 点评:本题利用向量共线定理以及向量的加减法运算分别在ABC ∆和AMN ∆中将向量AO u u u r 用,AM AN u u u u r u u u r 表示,这两种表示是相同的,进而得到m n +的值.强化意识 灵活运算向量的加法与减法是学习平面向量的基础，要学好这部分，应强化以下四种意识．一、运用交换律、结合律的意识例1 化简下列各式：（1）AB CA BC ++u u u r u u u r u u u r ； （2）OE OF OD DO -+--u u u r u u u r u u u r u u u r ．分析：化简含有向量的关系式一般有两种方法：（1）是利用几何方法通过作图实现化简；（2）是利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，再通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．解：（1）原式()AB BC CA AC CA AC AC =++=+=-=0u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（2）原式()()EO OF OD DO EO OF EF =+-+=+-=0u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．二、运用三角形法则及平行四边形法则的意识例2 用向量的方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．分析：要证明四边形是平行四边形只需证明其中一组对边平行且相等．也就是证明其中一组对边对应的向量平行且模相等（需首先将命题改造为数学符号语言）．已知：如图1，ABCD 是四边形，对角线AC 与BD 交于O 点，且AO OC =，DO OB =．求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：由已知得AO OC =u u u r u u u r ，BO OD =u u u r u u u r ，∵AD AO OD OC BO BO OC BC =+=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴ AD BC ∥且AD BC =．又∵A D B C ，，，不在同一直线上，∴四边形ABCD 是平行四边形．点评：这种类型的题目由于要求用向量的方法来证明，故应把平面几何的语言准确无误的转换为平面向量的语言，如AD BC ∥且AD BC =AD BC ⇔±u u u r u u u r ，而不是AD BC ∥且AD BC =AD BC ⇔=u u u r u u u r ．三、特殊化的意识例3 判断下面命题的真假：若非零向量AB BC CA u u u r u u u r u u u r ，，满足AB BC CA ++=0u u u r u u u r u u u r ，则A B C ，，为一个三角形的三个顶点．分析：初看觉得此命题正确，其实只要举一反例，即可知此命题为假命题． 当A B C ，，共线时，也可以有AB BC CA ++=0u u u r u u u r u u u r ，但A B C ，，不可能为一个三角形的三个顶点．点评：遇到困难或模棱两可的问题时，我们可以将某些条件特殊化，得到一个突破口以解决问题，一般情况选取单位向量、零向量及共线的三点等.四、应用的意识例4 设a 表示“向东走10km ”，b 表示“向西走5km ”，c 表示“向北走10km ”，d 表示“向南走5km ”．说明下列向量的意义．（1）+a b ；（2）+b d ；（3）++b a d ．分析：根据实际意义来确定向量的方向，再根据三角形法则进行加法运算．解：（1）+a b 表示向东走5km ．（2）+b d 表示向西南走5km.（3）++b a d 表示向东南走5km ．点评：向量的加法实际就是向量的合成，而向量的合成在生活中有着广泛的应用，此题就是其应用的一个实例．例5 如图2，一物体受到两个大小均为60N 的力的作用，两力的夹角为60°且有 一力的方向为水平，求合力的大小及方向．分析：首先应根据题目已知条件作出向量图，从图中观察合力与分力的关系．解：设OAOB u u u r u u u r ，分别表示两力，以OA OB ，为邻边作平行四边形OACB ，则OC u u u r 即为合力． 由已知可得OAC △为等腰三角形，且30COA ∠=°．过A 作AD OC ⊥于D ，则在OAD Rt △中，cos30OD OA =u u u r u u u r °．故2603OC OD ==u u u r u u u r ，即合力的大小为603N ，方向向上与水平方向成30°角．点评：在这种向量的合成中，注意和向量的模并不是两向量的模的简单相加，只有在两向量方向相同时才可以．。

平面向量的线性表示我们在用平面向量基本定理解决向量用基底表示问题时，除了要正确利用向量的加法、减法、数乘向量外，还应注意封闭图形的利用、已知定理的利用和已知条件的利用。

例1 如图，ABC ∆中，:1:3,:1:4,AM AB AN AC BN ==与CM 相交于点P ，若,AB a AC b ==，试用,a b 表示AP .解析一 充分利用三角形求解 由已知得11,34AM a AN b ==. 设MP tMC =，则()1111(1).3333AP AM MP a t AC AM t a tb t a tb ⎛⎫=+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭ 设NP sNB =， 则()1111(1).4444AP AN NP b s AB AN s b sa s b sa ⎛⎫=+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭ 由于,a b 不共线，据平面向量基本定理，AP 关于,a b 的线性表示是唯一的，所以11333112111144s t s t t s ⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩. 故32.1111AP a b =+ 点评： 这是个线段比例且相交问题。

解决这类问题尽可能把所求向量连同用基底,a b 表示出的向量向同一个三角形或平行四边形内转化，再利用三角形法则或平行四边形法则求解；本题即是将相关的向量向APM APN 和中转化.然后再据平面向量基本定理求解.解析二 充分利用共线定理求题由于,,M P C 三点共线，所以()()111.3AP AM AC a b λλλλ=+-=+- 同时,,N P B 三点共线，所以()()111.4AP AN AB b a μμμμ=+-=+- 由于,a b 不共线，据平面向量基本定理，AP 关于,a b 的线性表示是唯一的，所以191311811114λμλμλμ⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩， 故32.1111AP a b =+ 点评 解析二是利用两次利用三点共线定理，即点M P C 、、和点N P B 、、分别共线，而得出向量AP 的两种线性表示法，使所求向量与已知向量建立直接联系；然后再由平A B C M NP面向量基本定理求解.例2 已知向量()5,0,0,52a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭的起点均为原点，而终点依次对应点,A B ，线段AB边上的点P ，使得OP AB ⊥，则用向量,a b 表示OP =____________.解析 充分利用已知条件求解设OP =()55,00,5,522xa yb x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5,52AB b a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.由于OP AB ⊥，所以252504x y -+=，即4x y =. ① 5,552BP OP OB x y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，55,522AP OP OA x y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，//BP AP ，所以()()555211155522xy xy x y x y y x -=⇒=--⇒+=-. ②由①②解得41,55x y ==，所以4155OP a b =+.点评 利用向量的坐标运算，待定系数法，抓住向量垂直，数量积等于0，和向量共线的坐标关系，也可利用三点共线来得到方程.X。

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2 向量的线性运算课堂导学三点剖析1。

向量的加减法运算数乘的定义及其运算律【例1】 在四边形中，已知AB =a ，AD =b ，BC =c ，试用向量a ，b ，c 表示向量DC 。

思路分析：连结AC ，则将四边形ABCD 分成两个三角形.利用向量的三角形法则,将AC 用a ，b ,c 与DC 来表示，即可求出DC 。

解：在下图中作向量AC 。

由向量加法的三角形法则，得AC =a +c ，AC =b +DC 。

所以 a +c =b +DC 。

因此DC =a +c -b .温馨提示找到向量AC 并以AC 建立DC 与a ,b ,c 的关系是本题的关键.【例2】在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点,设AB =a ，AD =b ，求作向量a -b ,21a -b ,b +21a . 思路分析：利用向量数乘、减法的法则来作图.解:如图a —b =AB —AD =DB 。

21a -b =-=。

b +21a =AD +DF =AF . 2．对向量数乘运算律的理解和应用 【例3】设x 是未知量,解方程2（x —31a ）—21（b -3x+c ）+b =0。

思路分析：向量方程与实数方程类似,我们可以用和实数方程类似的方法来解决。

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2 向量的线性运算知识梳理一、向量加法1。

定义:如图2-2—1，在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b，则向量AC叫做向量a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC.图2—2-1求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

对于零向量与任意向量a，仍然有a+0=0+a=a。

2。

运算律(1)交换律：a+b=b+a。

（2）结合律：（a+b)+c=a+（b+c).二、向量减法与a长度相等且方向相反的向量，叫做a的相反向量,记作-a。

定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法:a—b=a+(-b)，即向量a减去向量b相当于加上向量b的相反向量-b.三、向量数乘1。

定义：一般地,实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下:（1）|λa｜=｜λ｜｜a｜;(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同，当λ〈0时，λa的方向与a的方向相反；(3）当λ=0时,λa=0。

2.运算律设λ、μ是实数,则有:(1)λ(μa）=(λμ)a;（结合律）(2）（λ+μ）a=λa+μa;(第一分配律)(3）λ(a+b)=λa+λb。

（第二分配律）知识导学数能进行运算，向量是否也能进行运算呢?要学好本节内容，从数的加法启发我们，借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法,从而顺理成章地接受向量的加法定义。

双基达标 (限时15分钟)1．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)当实数k ＝________，k a ＋2b 与2a －4b 平行． 解析 ∵a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，∴k a ＋2b ＝(k －6,2k ＋4)，2a －4b ＝(14，－4)，∵k a ＋2b 与2a －4b 平行，∴－4(k －6)＝14(2k ＋4)，∴k ＝－1. 答案 －12．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，22，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α，13，且a ∥b ，则锐角α＝________.解析 ∵a ∥b ，∴32×13－22sin α＝0，得到sin α＝22，而α为锐角，∴α＝45°.答案 45°3．若三点A (2,2)、B (a,0)、C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b ＝________. 解析 由已知得，AB →＝(a －2，－2)与AC →＝(－2，b －2)共线，所以(a －2)(b －2)－2×2＝0，整理为ab －2a －2b ＝0，各项同除以2ab 得，12－1b －1a ＝0，故1a ＋1b ＝12.答案 124．已知点A (－1,5)，a ＝(－1,2)，若AB →＝3a ，则B 点的坐标是________． 解析 设B (x ，y )，则由AB →＝3a 得，(x ＋1，y －5)＝(－3,6)，解得x ＝－4，y ＝11，故B 点的坐标是(－4,11)．答案 (－4,11)5．已知a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α＝________. 解析 由已知得，3cos α－4sin α＝0，所以tan α＝34. 答案 346．设点C (2a －1，a ＋2)在过点A (1，－3)、B (8，－1)的直线上，求a 的值．解 若A 、B 、C 三点共线，则向量AB →、AC →共线， 故必存在实数λ，使AC →＝λAB →成立． 则AB →＝(8－1，－1－(－3))＝(7,2)，AC →＝(2a －1－1，a ＋2－(－3))＝(2a －2，a ＋5)， 于是得：⎩⎨⎧ 2a －2＝7λ，a ＋5＝2λ.解之得，⎩⎨⎧a ＝－13，λ＝－4.即a ＝－13.综合提高 (限时30分钟)7．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________. 解析 a －c ＝(3－k ，－6)，b ＝(1,3)． ∵(a －c )∥b ，∴3(3－k )－(－6)×1＝0⇒k ＝5. 答案 58．已知向量m ＝(2,3)，n ＝(－1,2)，若a m ＋b n 与m －2n 共线，则ab 等于________．解析 ∵a m ＋b n ＝(2a,3a )＋(－b,2b ) ＝(2a －b,3a ＋2b )，m －2n ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)． ∵a m ＋b n 与m －2n 共线． ∴b －2a －12a －8b ＝0， ∴a b ＝－12. 答案 －129．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，若A 、B 、C 三点共线，实数k ________.解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)， ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与BC →共线．∴(4－k )(k －5)－6×(－7)＝0， 解得k ＝－2或11. 答案 －2或1110．已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与向量AB →同向的单位向量是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 11．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )． (1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式； (2)若AC →＝－2AB →，求点C 的坐标．解 (1)因为AB →＝(2，－2)、AC →＝(a －1，b －1)，于是由A 、B 、C 三点共线可得，2(b －1)－(－2)·(a －1)＝0，整理得a ＋b －2＝0；(2)因为AC →＝－2AB →，所以(a －1，b －1)＝－2(2，－2)，解得a ＝－3，b ＝5，所以C (－3,5)．12．已知两点A (3，－4)，B (－9,2)，在直线AB 上求一点P ，使|AP →|＝13|AB →|. 解 设P (x ，y )，∴AP →＝(x －3，y ＋4)，AB →＝(－12,6)∴(x －3，y ＋4)＝13(－12,6)＝(－4,2)或(x －3，y ＋4)＝－13(－12,6)＝(4，－2)．即⎩⎨⎧ x －3＝－4y ＋4＝2或⎩⎨⎧x －3＝4y ＋4＝－2. ∴⎩⎨⎧x ＝－1y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝7y ＝－6. ∴ P (－1,2)或P (7，－6)．13．(创新拓展)已知在△AOB 中，O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于M 点，求点M 的坐标．解 ∵点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，∴OA →＝(0,5)，OB →＝(4,3)． 令OC →＝(x C ，y C )＝14OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54.∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54.同理可得点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32. 设点M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)， 而AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－0，32－5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－72.∵A 、M 、D 共线，∴AM →与AD →共线． ∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.① 而CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－0，3－54＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74.∵C 、M 、B 共线，∴CM →与CB →平行． ∴74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20.②联立式①②解得x ＝127，y ＝2. 故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫127，2.。