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《微积分Ⅱ》课外练习题一、选择：1. 函数在闭区间上连续是在上可积的． ( )A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．无关条件2. 二元函数定义域是． ( ) B．D．比较大小：． ( )B． C． D．不确定4.微分方程的阶数是． ( )A．5 B．3 C．2 D．15.下列广义积分发散的是． ( )A． B． C． D．6.是级数收敛的条件． ( )A．必要非充分 B．充分非必要 C．充分必要 D．无关7．如果点为的极值点，且在点处的两个一阶偏导数存在,则点必为的． ( )最大值点 B．驻点 C．最小值点 D．以上都不对微分方程是微分方程． ( )A．一阶线性非齐次 B. 一阶齐次 C. 可分离变量的 D. 一阶线性齐次9 .设是第一象限内的一个有界闭区域，而且。
记，，，则的大小顺序是． ( )C. D.10. 函数的连续区域是． ( )B.D.1. ． ( )B. C. D.12．下列广义收敛的是． ( ) A． B． C． D．．下列方程中，不是微分方程的是． ( ) A． B． C． D．．微分方程的阶数是． ( )A．5 B．3 C．2 D．1．二元函数的定义域是． ( )A． B．C． D．．设，则 ( )A． B． C． D．．= 其中积分区域D为区域：． ( )A． B． C． D．18．下列等式正确的是． ( ) A．B．C．D．19．二元函数的定义域是． ( )A． B．C． D．20．曲线在上连续，则曲线与以及轴围成的图形的面积是．( )A．B．C．D．||．． ( )A． B． C． D．22．= 其中积分区域D为区域：． ( )A． B． C． D．23.下列式子中正确的是． ( )A． B．C． D．以上都不对24. 二元函数的定义域是 ( )A． B．C． D．25.二元函数在点的某一邻域内有连续的偏导数是函数在点的．( )A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．无关条件26.设，则． ( )A． B． C． D．. ． ( )A． B． C． D．. = 其中积分区域D为区域：． ( )A． B． C． D．29． ． ( )A． B． C． D．30． 则=． ( )A． B． C． D．31．函数的连续区域是． ( )A． B．C． D．32． ． ( )A． B． C． D．33．差分方程的阶数为． ( )A. B. C. D.34．微分方程的阶数是 ( )A． B． C． D．35．函数的定义域是． ( )A． B．C． D．36．级数的部分数列有界是该级数收敛的． ( )A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．无关条件37． ，其中积分区域D为区域． ( )A. B. C. D.38．微分方程的阶是． ( )A．一阶 B． 二阶 C．三阶 D．以上均不对 39．． ( )A． B． C． D．40．二元函数的定义域是 ( )A． B．C． D．以上都不对41．设，则 ( )A． B． C． D．42．下列式子中正确的是． ( )A． B． C． D．以上都不对43．， ( )A. B. C. D.44.微分方程是． ( )A．一阶线性非齐次微分方程 B．一阶齐次微分方程C．可分离变量的微分方程 D．不可分离变量的微分方程45. 设是第二象限内的一个有界闭区域，而且。
《微积分（2）》练习题2答案一、求下列积分（4小题，每小题9分，共36分）3411(3)xx dx x+-⎰、 解：原式c xx x+++=34313ln 34122cos x xdx ⎰、 解：原式⎰+++=-=c x x x x x xdx x x x sin 2cos 2sin sin 2sin 22，13⎰、 解：令2t x =，原式)2ln 1(2)]1ln([2121010+=+-=+=⎰t t dt t t4134xx e dx ⎰、 解：原式)1(41|41411041044-===⎰e edx exx，二、求下列偏导数（3小题，每小题9分，共27分）45z 1sin(),z z x y x yδδδδ=+、 求， 解：)cos(4543y x x x z +=∂∂ )cos(5544y x y x z +=∂∂ 22z 2(,),z z f x y xy x yδδδδ=-、 求，解：y f x f xz 212'+'=∂∂x f y f xz 212'+'-=∂∂333z 3(,)x 31z z f x y y z xyz x yδδδδ=++-=、 由确定，求，解：两边对x 求偏导数： 0333322='--'+xx z xy yz z z x 得 xyzx yz xz 333322--=∂∂ 两边对y 求偏导数： 0333322='--'+y y z xy xz z z y 得 xyzy xz yz 333322--=∂∂三、解下列常微分方程（2小题，每小题9分，共18分） 21cos dx xdx =、 y 解：dx x dy y ⎰⎰=cos 2，c x y+=sin 313，224dy xy x dx+=、解：2)2(]4[22222+=+=⎰+⎰=--⎰x x x dx x dxx ce e c e dx e x c e y ， 四、求曲线22y x =-与直线y x =围成的面积（9分） 解：2/9)2/3/2()2(1223212=--=----⎰x x x dx x x五、(,)z z x y =由F(x-y,y-z,z-x)=0确定，求z z xyδδδδ+（10分）解：32F F F z '+'-='，31F F F x '-'='，21F F F y '+'-='，1-=''+''=∂∂+∂∂z y z x F F F F yz xz ，注：第三题第1小题 xdx dxy cos 2= 应改为 xdx dy y cos 2=；第二题、第五题中所有yz xz δδδδ 中的符号 δ 都要改成 ∂ ；。
微积分A(2)第二次习题课题目（第四周）一、复合函数的微分,隐函数微分法 1.求解下列各题： （1）.设÷øöçèæ=x y xy f x z ,3，求yzx z ¶¶¶¶,。
（2）.已知 )1(1xy x -=，求dy dx .(3) 已知2)()(y x ydydx ay x +++为某个二元函数的全微分,则=a 2.求解下列各题（1）.已知函数y f x =()由方程(), , 22b a y x f by ax +=+是常数，求导函数。
（2）.已知函数()y x z z ,=由参数方程:ïîïíì===uvz v u y v u x sin cos ,给定，试求,z zx y ¶¶¶¶.（3）.设),(y x z z =二阶连续可微，并且满足方程2222220z z z A B C x x y y¶¶¶++=¶¶¶¶ 若令,îíì+=+=yx v y x u b a 试确定b a ,为何值时能变原方程为 02=¶¶¶v u z.3.求解下列各题（1）.),(y x z z =由2222a z y x =++决定，求yx z¶¶¶2．（2）设函数),(y x f z =是由方程2222=+++z y x xyz 确定的,则函数),(y x f z =在点)1,0,1(-的微分dz =（3）.设函数y(z)y z x x == ),(由方程组îíì=--+=-++01201222222z y x z y x 确定，求dz dy dz dx ,. (4)设方程ïîïíì==--0,(0),(y z xy G z y x y F 可以确定隐函数)(),(y z z y x x ==，求dy dz dy dx ,. （本题不用解出最终答案，会解题过程就可以.）4.求解下列二阶偏导数问题（1）.设z f xy x y=(,，f 二阶连续可微，求22zx ¶¶.（2）.设()()()22,,x x x f x g j =，其中函数f 于j 的二阶偏导数连续，求()22dxx g d （3）设),(y x f z =在点),(a a 可微, b yf b xf a a a f a a a a =¶¶=¶¶=),(),(,,),(.令))),(,(,()(x x f x f x f x =j ,求ax x dxd =)(2j（4）.设2),(C y x u Î, 又02222=¶¶-¶¶y u xu ,x x x u =)2,(, 2)2,(x x x u x =¢,求 )2,(x x u xx ¢¢, )2,(x x u xy ¢¢ )2,(x x u yy ¢¢ 5.设向量值函数:n n ®f ¡¡满足：存在:01L L <<，对任意的,n X Y Ρ有||()()||||||X Y L X Y -£-f f .证明：***,()n X X X $Î=f ¡. 6.设,n n X W ÌΡ¡，定义(,)inf ||||n Y X X Y r ÎWW =-.证明：（1）(,)X r W 为X 的连续函数；（2）W 为有界闭集时，存在0X ÎW ，使得0(,)||||n X X X r W =- （3）12,n W W Ì¡，定义1212,(,)inf||||n X Y X Y r ÎW ÎW W W =-，证明：当12,W W 为有界闭集时，存在0102,X Y ÎW ÎW ，使得1200(,)||||n X Y r W W =-.7.设(,,)f x y z 可微，123,,l l l 为3¡中互相垂直的三个单位向量，求证：222222123(()()(()(f f f f f fx y z¶¶¶¶¶¶++=++¶¶¶¶¶¶l l l . 8. 已知偏微分方程（输运方程）0(,,0)(,)zz z a btx y z x y z x y ¶¶¶ì=+ﶶ¶íï=î，证明它的解为0(,)z z x at y bt =++. 9.求解下列问题.（1）(,,)f x y z 为k 次齐次函数，即(,,)(,,)kf tx ty tz t f x y z =，若f 可微，证明：(,,)f x y z 满足(,,)f u uxy z kf x y z x y z¶¶¶++=¶¶¶.（2）设函数(,,)u x y z f =，若u 满足2222220u u ux y z¶¶¶++=¶¶¶，证明：u b =（,a b 为常数）.。
I 10.令 x = asect第四章 不定积分答案2 24. I = sin x sinxdx = - 1-cosxdcosx 、填空题 2.F x |亠 C 3.1 二-cosx — \ 3 1 31 3 cos x J ■ C cos x-cosx C3 3x C 5.4. -C In 2 」x 335.一丄Cxxe (e x ) +1dx 二一de _2 二 arctang XC ’1+(e x ) 6. 6e x C 7.-3sin x C I 二 t 2—1 t 2tdt =2 t 4 -t 2 dt8. 3x x arcta n x C 39.x r 2 C1-In 3x + 2x +C 2 1 2 10. In 2x C 2 -cos2x C 12. le 7x C7114. 丄 In 1+2x+C 2 13. 7. 令 t = 6x11.15.1—2x C 1 316. 「cosx cos x C 3 8. 17. e" 1 x C 18. 6"dt t 123t 2—6t +6ln t +1 +C1 13x^ -6x® +6 In x令 x= si nt3I =1 - sin 2t 2costdt - I i cost dt二、 单项选择题 1 . C 2 . A 3 . D 4 7 . D 8 . D 9 . 12.B 三、 计算题 1 .A10.A.B11.Bx二 sec 2 tdt 二 tant CCTT79 .令 x =ta ntseC tdt (1+tan 2t j2 .■sec 4-dt二 costdt sec t2 -.2 -x 2d 2 -x2 -x 2 C2. 1 x 2 = l n 1 x 2 C-exd ;1 111 cos2t dt t —sin2t C2 2 4 11 1x t sintcost C arctanx 2 C 2 2 21 x 23.1-e" C.a2 sect -1 asectantdt =a tarn tdtasec=a lise^t -1 dt =a tant -t Cf'-2—2 、x -a aarccos a x4C=Jx2 217. a-a -aarccos Cx2x 2 _xI = - x de = x e_ 2xe*dx-x2e» -2 xde^-x2e» -2xe" 2 e^dx_x2 _2x_2 e」C11. I =dx2、厂1_ 1 sect tant3 ta nt22令x^sect secttantdt 18.=1J322Jsec t -1dt^1sectdt31=Tn sect +tant 3 C = 】ln33x站4219.12.1 d 3x-1 _J(3X-12+6 3=]| n j9x2-6x+7+3x-1+C13. 2 2I =xln 1 X - xdln 1 x2 =xln 1 x2 =xln 1 x -x^dx；_2x 2arctanx C20.14.xde x = xe x - e x dx =xe x-e x C15.I = x arccosx - xd arccosxx arccosx dx1-x21「1 ,2 .= xarccosx-—J ；2d(1-x )21.16.x arccosx - 1 - x2 CI = lnxdl 」一hx ^dx — Sx」C x x x x x4 4二(ln x)2d£4(ln x)2-4 41 3x ln xdx = — (ln x)21 4| 1x ln x8 81 4 1 4--x ln x x C8 324x 2(ln x)44=—(ln x)24x4 (ln x)4=sin xde xx41(2ln x)—dx44 x4、4 1 .x dxx=e x sin x - e x cosxdx=e x sin x - cosxde xX ・x x .=e sin x -e cosx e dcosx= e x(sin x-cosx) - ' e x sin xdxe x sin xdx = - e x(sin x -cosx) C2I = sec x secxdx = secxd tan x=secxtanx- 'tanx tanx secxdx=secxtanx- '(sec x-1)secxdx=secxtan x- sef xdx亠i secxdx3=secxtanx- Jsec xdx + In secx +31[sec xdx = —(secxtanx + ln secx +2x-8 ln xdx4tanxtanx C令t=, xI二.eStdt = 2 tdd =2td -2 ddt= 2td -2& C =2 =e x-2e x C22. l=Jlnlnxdlnx =（lnlnx）nx —J Inxd（lnlnx） 21.=lnlnx lnx- lnx —-dxlnx x =lnlnx lnx-lnx C 23.24.F b —F a1e --e22.5ln623.d cos2x = 4 xcos2x sin2xC4 825.1 26. JI227. e-2 28.4 29. 2,3-2arctan f 3 - arctan f 124. l = ln xd3 1 3x lnx x ——■C3 9第五章定积分及其应用答案32.5633.e 34. _135.<36. 1 37. 38. 12 2 3兀 139. 一2 _2二单项选择题30.0 31.0、填空题[f （x pxb a4.2.03.5.负6.正7. l1>l28. 1. A 2 . D 3 . B 4 . C 5 . A 6 . C7. C 8 . B9 . A 10.C 11.C 12.D 13.C 14.C 15.B 16.C17.A 18.B 19.B 20.A 21.B22.C 23.B 24.A 25.C 26.A三、证明题1冃2 9. l1>l2 证：令u=a， b-a,则10.- 11. 12. baf x dx du 二b-a dx,所以13. 2xe x14. sin xb - a ] I f || a b - a x dx =1 1f u du = 0 f x dx-x sin3fi x 16.10,1 2x1 cos2 x215.2.证：令u)]17.1 18.fx3f （x2=x2,则du = 2xdx ,所以1 a2.d^=- 0 uf udu=? 0 1 a220xf x dx19. f 12f0=03 20. 3.证：令u -二-x,则du - -dx,则IT- -2：xf sinxdx 二：】灵-u f sin u du 二負「x f sinx dx 23x2sin 1 x3 31 u 2所以 o xf sinx dx 二 o 2xf sinx dx - xf sin0 0 5fnxdx 飞2x -3-2x x-1x-2 e ， x 二 = 二 02xf sinx ck 02 二-x f sinxck v 02得fin^dx 一1：： 0, f 2 二 e* 0, e JI 4.证：x 4令，有。
微积分第二版习题二答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是变化的规律和量的计算方法。
而微积分的学习过程中，习题是非常重要的一环。
本文将为大家提供《微积分第二版》习题二的详细答案，希望能帮助大家更好地掌握微积分的知识。
第一题：计算函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1 在 x = 2 处的导数。
解答：首先，我们需要求函数 f(x) 的导数。
对于多项式函数，我们可以使用求导法则来计算导数。
根据求导法则，我们有：f'(x) = d/dx (3x^2) - d/dx (2x) + d/dx (1)= 6x - 2将 x = 2 代入上式，我们得到：f'(2) = 6(2) - 2= 12 - 2= 10所以，函数 f(x) 在 x = 2 处的导数为 10。
第二题：计算函数 g(x) = e^x - x 在 x = 1 处的导数。
解答：函数 g(x) 包含了指数函数和多项式函数的运算。
对于指数函数 e^x，它的导数仍然是 e^x。
而对于多项式函数 -x，它的导数是 -1。
因此，我们可以得到函数 g(x) 的导数为：g'(x) = d/dx (e^x) - d/dx (x)= e^x - 1将 x = 1 代入上式，我们得到：g'(1) = e^1 - 1= e - 1所以，函数 g(x) 在 x = 1 处的导数为 e - 1。
第三题：计算函数 h(x) = ln(x^2 + 1) 在 x = 0 处的导数。
解答：函数 h(x) 是一个复合函数，它包含了对数函数和多项式函数的运算。
对于对数函数 ln(x)，它的导数是 1/x。
而对于多项式函数 x^2 + 1，它的导数是 2x。
因此，我们可以得到函数 h(x) 的导数为：h'(x) = d/dx (ln(x^2 + 1))= 1/(x^2 + 1) * d/dx (x^2 + 1)= 2x/(x^2 + 1)将 x = 0 代入上式，我们得到：h'(0) = 2(0)/(0^2 + 1)= 0所以，函数 h(x) 在 x = 0 处的导数为 0。
微积分二试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数 \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处可导，则下列说法正确的是（）。
A. \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处连续B. \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处不可导C. \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处可微D. \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处不可微答案：A2. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0 \)，则下列说法正确的是（）。
A. \( f(0) = 0 \)B. \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处可导C. \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处连续D. \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处不可导答案：C3. 函数 \( f(x) = x^2 \) 的原函数是（）。
A. \( \frac{x^3}{3} \)B. \( x^3 \)C. \( \frac{x^2}{2} \)D. \( \frac{x^3}{3} + C \)答案：D4. 设 \( y = \ln(x) \)，求 \( y' \) 的值是（）。
A. \( \frac{1}{x} \)B. \( \frac{1}{x^2} \)C. \( x \)D. \( \frac{1}{\ln(x)} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 \( \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 \)，则 \( \int_{0}^{1} 2f(x) \, dx = \)。
答案：42. 设 \( f(x) \) 在 \( [a, b] \) 上连续，则 \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \) 的值等于 \( f(x) \) 在 \( [a, b] \) 上的。
答案：定积分3. 函数 \( y = e^x \) 的导数是。
