华大新高考联盟2019届高三11月联考理科数学试题

理科数学试题 第1页（共12页） 理科数学试题 第2页（共12页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________绝密★启用前全国名校2019年高三11月大联考考后强化卷理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合21{|1},{|1}A x x B x x=≥=<，则A B =I A ．(1,)+∞ B ．(1](1,)-∞-+∞U ，C ．{1}D ．[1,)+∞2．设,m n ∈R ，则“m n <”是“1()12m n ->”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知1(,),sin(2)22ααπ∈-0π-=-，则sin cos αα-=A ．5 B ．5- C ．6 D ．6-4．已知x ，y 满足约束条件1400y x y x y ≤⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值是A ．-8B ．-6C ．-3D ．35．若函数213()log (28)f x ax x =++的值域为[2,)-+∞，则()f x 的单调递增区间为A ．(,2)-∞-B ．(2,1]-C ．[1,4)D ．(4,)+∞6．函数()ln||f x x x =的大致图象是7．函数sin(26y x π=-的图象应如何变换得到函数cos y x =的图象A ．先把横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移3π个单位 B ．先把横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移23π个单位 C ．先把横坐标缩小为原来的一半（纵坐标不变），再向左平移3π个单位 D ．先把横坐标缩小为原来的一半（纵坐标不变），再向右平移23π个单位 8．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 4.1)a g =，0.2(2)b g =-，()c g =π，则a ，b ，c的大小关系为 A ．a b c << B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<9．若0,1x y >>-且满足21x y +=，则22211x y x y +++的最小值是 A ．3B ．322C ．22D ．12210．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3a ，9a ，6a 成等差数列，3mS ，6S ，9S 成等比数列，则m =A ．34B ．49C ．1D ．1311．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：如图1，将一线段AB分为两线段,AC CB ，使其中较长的一段AC 是全长AB 与另一段CB 的比例中项，即满足51AC BC AB AC -==.后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点.如图2，在ABC △中，若点,P Q 为线段BC 的两个黄金分割点，设11AP x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，22AQ x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则理科数学试题 第3页（共12页） 理科数学试题 第4页（共12页）……○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封……○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………1122x y x y +=图1 图2A ．512+B ．2C ．5D ．51+12．设函数()f x 在定义域R 上的导函数为()f 'x ，且满足()1,()3f x y f x >=-为奇函数，()()1f x f 'x +>，则不等式ln[()1]ln 2f x x ->-的解集为 A ．(1,)+∞B ．(,0)(1,)-∞+∞UC ．(,0)(0,)-∞+∞UD ．(0,)+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数2,4()(1),4x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则2(5log 6)f +的值为________．14．已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若253924,a a S S +==，则n S 的最大值为________． 15．已知锐角三角形ABC 中，3A π=，23a =，则ABC △的面积的取值范围为________． 16．武汉是一座美丽的城市，湖泊众多，一年四季风景如画.尤其夏季，到东湖景区赏景的游客络绎不绝.如图是东湖景区中一个半径为100米的圆形湖泊，为了方便游客观赏，决定在湖中搭建一个“工”字型观光长廊，其中AB CD =，M ，N 分别为AB 、CD 的中点，且AB MN ⊥，则观光长廊最长为________米.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知(2sin ,3cos )x x =a ，(cos ,2cos )x x =-b ，函数()3f x =⋅+a b ，（1）求函数()y f x =的单调增区间和对称轴方程； （2）若()1f x ≥，求x 的取值范围. 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,n S n n =+数列{}n b 满足122212121n n n b b ba =++++++L ． （1）求数列{}n a ，{}nb 的通项公式；（2）若,4n nn a b c n =-求数列{}n c 的前n 项和n T . 19．（本小题满分12分）如图，在ABC △中，,BAC ∠,B C ∠∠的对边分别是,,a b c ，60BAC ∠=︒,AD 为BAC ∠的平分线，3AD =.（1）若2DC BD =,求c ； （2）求ABC △面积的最小值.20．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21()n n S a n *=-∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意的n *∈N ，不等式(1)29n k S n +≥-恒成立，求实数k 的取值范围. 21．（本小题满分12分）已知函数21()ln 2(0).2f x x x mx m =+-> （1）判断函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有极大值点x t =，求证：2ln 1t t mt >-. 22．（本小题满分12分）已知函数()e 1e xxxf x a =--，其中0a >. （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 有唯一零点，求a 的值.理科数学试题 第5页（共12页） 理科数学试题 第6页（共12页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________全国名校2019年高三11月大联考考后强化卷理科数学·全解全析1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BCDBCCBCBDCD1．B 【解析】由21x ≥，得21x ≥，解得1x ≥或1x ≤-，即{|1A x x =≥或1}x ≤-，由11x<，得10x x ><或.即{|1B x x =>或0}x <，∴{|1A B x x =≤-I 或1}x >，故选B.2．C 【解析】1()()2x f x =Q 在R 上单调递减，∴若,0,m n m n <-<则011()()122m n ->=，充分性成立，若1()12m n ->，则011()()22m n ->，0,m n m n -<<，必要性成立，即“m n <”是“1()12m n ->”的充要条件，故选C ．3．D 【解析】∵1sin(2)2απ-=-，所以1sin 22α=-，12sin cos 2αα=-，∴2(sin cos )12sin cos αααα-=-32=，又(,0),2απ∈-∴sin cos αα<，∴sin cos αα-=6-.故选D ． 4．B 【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得(1,1),(2,2),(5,1)A B C ---,2z x y =+，则1122y x z =-+，当直线1122y x z =-+过点(2,2)B --时z 取到最小值，所以2z x y =+的最小值是22(2)6-+⨯-=-，故选B ．5．C 【解析】令228t ax x =++，易得t 的最大值是9，所以1a =-，所以213()log (28)f x x x =-++，函数228t x x =-++在(,1]-∞上单调递增，在[1,)+∞上单调递减，又当24x -<<时，0t >，所以根据复合函数的单调性得选项C 正确.故选C ．6．C 【解析】因为()ln||f x x x =，所以当01x <<时，()0f x <，故排除A 、D 选项，而()ln ||f x x x -=--=ln ||x x -，所以()()f x f x -=-，即()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B 选项，故选C.7．B 【解析】先把函数y ＝sin （2x 6π-）的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），可得y =sin （x 6π-）的图象，再向左平移23π个单位，可得y =sin （x 236ππ+-）即y ＝cos x 的图象，故选B ．8．C 【解析】因为奇函数()f x 在R 上是增函数，所以当0x >时，()0f x >.对任意的12(0+)x x ∈∞，，且12x x <，有120()()f x f x <<，故12()()g x g x <，所以()g x 在(0+)∞，上也是增函数，因为()()()g x xf x xf x -=--=，所以()g x 为偶函数.又2log 4.1(2,3)∈，0.22(1,2)∈，所以0.2212log 4.1<<<π，而0.20.2(2)(2)b g g =-=，所以b a c <<，故选C ．9．B 【解析】2221111121111x y x y x y x y x y ++=+++-=++++，因为212x y ++=，所以111x y +=+ 1111121(21)()(3)(32221212y x x y x y x y ++++=++≥+++），当且仅当12=1y xx y ++，21x y +=时取等号，即22,223x y ==时取得最小值322.故选B.10．D 【解析】设{}n a 的公比为q ，根据3a ，9a ，6a 成等差数列，得9362a a a =+，即8251112a q a q a q =+，由于10,0a q ≠≠，所以63210q q --=，33(1)(21)0q q -+=.由于1q ≠，所以3210q +=，312q =-，所以3113(1)3121a q a S q q -==⋅--，6116(1)3141a q a S q q -==⋅--，9119(1)9181a q a S q q -==⋅--.因为3mS ，6S ，9S 成等比数列，所以2639S mS S =⋅，即2111339(412181a a a m q q q ⋅=⋅⋅⋅⋅---，解得13m =.故选D ． 11．C 【解析】因为点,P Q 为线段BC 的两个黄金分割点，所以51BP CQ PC QB -==， 所以5151355151AP AB AC AB ---==++u u u ru u u r u u r u u r u u r ，5135515151AQ AB AC AC ---=++u u u r u u r u u u r u u r u ur ，所以115135x y --，223551x y --==所以1122513553551x y x y --+==-- 故选C.12．D 【解析】设()(e )e ()x x g x f x x =-∈R ，则()e ()[e ()e e ()()1]x x x x g'x f x f 'x f x f 'x =+-=+-， ∵()()1f x f 'x +>，∴()()10f x f 'x +->，∴()0g'x >，理科数学试题 第7页（共12页） 理科数学试题 第8页（共12页）……○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封……○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………∴()y g x =在R 上单调递增，不等式ln[()1]>ln2f x x --等价于不等式ln[()1]ln 2f x x -+>， 即ln[()1]ln e ln 2x f x -+>，即e [()1]2x f x ->，则e ()e 2x x f x ->，∵()3y f x =-为奇函数，∴当0x =时，0y =，即(0)30f -=，得(0)3f =， 又∵00(0)e (0)e 312g f =--==， ∴e ()e 2x x f x ->等价于()(0)g x g >， ∴0x >，∴不等式的解集为(0)+∞，，故选D ．13．12 【解析】因为22log 63<<，所以222(5log 6)(4log 6)(1log 6)f f f +=+==+L 21log 622612+==⨯=.故填12.14．72 【解析】法一：由39S S =，得4590,a a a +++=L 则670a a +=.又2524a a +=，设数列{}n a 的公差为d ,可得1111560424a d a d a d a d +++=⎧⎨+++=⎩，解得1224a d =⎧⎨=-⎩，所以2224,n S n n =-+故当6n =时，n S 有最大值，为72，故填72.法二：由39S S =，得4590,a a a +++=L 则670,a a +=又25240a a +=>，所以数列{}n a 的前6项为正，所以当6n =时，n S 有最大值，且616253()3()72S a a a a =+=+=.故填72. 15．(23,33]【解析】设△ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理，得24sin aR A==，故2sin =4sin b R B B =，2sin 4sin 4sin()3c R C C B π===+，△ABC 的面积1sin 43sin sin()23S bc A B B π==+=23sin(2B -)36π+，因为ABC △为锐角三角形，所以62B ππ<<，故S 的取值范围是(23,33]．故填(23,33]. 16．2005 【解析】如图，设圆心为O ，由题意可知O 为MN 的中点，设π(02BOM θθ∠=<<，则100cos OM θ=，100sin MB θ=，故观光长廊200cos 400sin 5)y θθθϕ=+=+，其中1tan 2ϕ=， ∴当sin()1θϕ+=时，max 2005y =2005.17．（本小题满分10分）【解析】（1）由题意，2()2sin cos 233f x x x x =-+sin 23x x ==2sin(2)3x π-，（2分）根据sin y x =的单调增区间，令222,232k x k k πππ-+π≤-≤+π∈Z ，解得5,1212k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z ， 则函数()f x 的单调增区间为5[,]()1212k k k ππ-+π+π∈Z .（4分） 根据sin y x =的对称轴方程，令2,32x k k ππ-=+π∈Z ， 解得5,122k x k ππ=+∈Z ，则函数()f x 的对称轴方程为5,122k x k ππ=+∈Z .（7分） （2）由（1）及()1f x ≥得1sin(2)32x π-≥，即5222,636k x k k πππ+π≤-≤+π∈Z ， 解得7,412k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ， 所以x 的取值范围为7[,]()412k k k ππ+π+π∈Z .（10分） 18．（本小题满分12分）【解析】（1）因为2n S n n =+，所以当1n =时，112a S ==， 当2n ≥时221,(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=，（2分） 又12a =也满足上式，所以2()n a n n *=∈N .（3分） 又1222212121n n n b b ba n +++==+++L ， 所以1122122(2,)212121n n b b b n n n *--+++=-≥∈+++N L ， 两式作差得，221nnb =+，所以122(2,)n n b n n +*=+≥∈N ，（5分） 当1n =时11,2,63b b ==，又16b =满足上式，所以122()n n b n +*=+∈N .（6分） （2）因为2,4n n nn a b c n n =-=⋅（8分） 所以231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅L ，23121222(1)22n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⋅L ，两式相减，得23122222n n n T n +-=++++-⋅L ， 即11222n n n T n ++-=--⋅，理科数学试题 第9页（共12页） 理科数学试题 第10页（共12页）所以1(1)22n n T n +=-⋅+.（12分）19．（本小题满分12分）【解析】（1）因为2DC BD =，BAD CAD ∠=∠，所以1sin 21sin 2ABDADC AB AD BADS BD AB S DC ACAC AD CAD ⋅⋅∠===⋅⋅∠△△, 所以2AC AB =.（2分） 在,ABD ACD △△中，由余弦定理，得2222cos30cos30︒==︒== 解得32c =.（6分） （2）设BD x =，则由（1）可知BD AB DC AC =，所以bDC x c =， 在,ABD ACD △△22223()bx b +-== 所以2233x c c =+-，222233b x b b c=+-，消去x ，得2222(33)(33)b c c c b b +-=+-， 化简，得()()0b c bc b c ---=.当b c =时，ABC △为等边三角形，此时2,ABC b c S ===△（10分） 当bc b c =+时，由基本不等式可得4bc b c bc =+≥≥， 当2b c ==时取等号，此时1sin 602ABC S bc =︒=△综上可得，ABC △（12分） 20．（本小题满分12分）【解析】（1）由题意，令1n =，得11121S a a =-=，解得11a =，由21n n S a =-，可得1121(2)n n S a n --=-≥，（2分）两式相减得122)2(n n n a a a n -≥=-，化简得12(2)n n a a n -=≥，即12(2)nn a n a -=≥， 所以数列{}n a 是以首项为1，公比为2的等比数列， 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=．（5分）（2）由（1）可得，数列{}n a 的前n 项和为1(12)2112n n n S ⨯-==--， 又由不等式(1)29n k S n +≥-恒成立，整理得292nn k -≥恒成立，令292n n n b -=，则1112729112222n nn n n n n nb b +++----=-=， （8分） 当15,n n *≤≤∈N 时，1111202n n n nb b ++--=>，所以123456b b b b b b <<<<<， 当6,n n *≥∈N 时，1111202n n n nb b ++--=<，所以678b b b >>>⋅⋅⋅， 所以n b 的最大值是6364b =，即364k ≥，所以实数k 的取值范围是3[)64+∞，．（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）由题意，知221()(0)x mx f 'x x x-+=>，对于方程221=0x mx -+，24(1)m ∆=-，（2分）①当01m <≤时，24(1)0m ∆=-≤，()0f 'x ≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增.（3分） ②当1m >时，令()0f 'x =，则1x m=，2x m =当0x m <<()0f 'x >，函数()f x 单调递增；当m x m <()0f 'x <，函数()f x 单调递减， 当x m >+时，()0f 'x >，函数()f x 单调递增.综上所述，当01m <≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1m >时，()f x 在(0,m ，()m ++∞上单调递增，在(m m 上单调递减.（6分）（2）由（1）可知当1m >时，在x m =()f x 取得极大值，所以函数()f x 的极大值点为x m =，则(0,1)t m =-=．（7分）由221()0,t mt f 't t -+==得212t m t+=，（8分） 要证2ln 1t t mt >-，只需证2ln 10t t mt -+>，只需证221ln 102t t t t t+-⋅+>， 即证32ln 20,(0,1)t t t t t --+>∈，（9分） 令3()2ln 2h x x x x x =--+，0x >，理科数学试题 第11页（共12页） 理科数学试题 第12页（共12页）则2()2ln 31h'x x x =-+， 令2()2ln 31x x x ϕ=-+，0x >，则2226()6x'x x x xϕ-=-=，当0x <时，()0'x ϕ>，()h'x 单调递增； 当x >时，()0'x ϕ<，()h'x 单调递减，（11分） 所以max ()0h'x h'==<，所以()0h'x <，()h x 在(0,)+∞上单调递减，又(1)0h =， 故(0,1)x ∈时，32ln 20x x x x --+>，又(0,1)t ∈，则32ln 20t t t t --+>，即2ln 1t t mt >-.（12分） 22．（本小题满分12分）【解析】（1）当2a =时，()2e 1e xxxf x =--， 所以1()2e e xxxf 'x -=-， 所以(0)211f '=-=.（2分） 又(0)211f =-=，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x -=， 即10x y -+=.（4分）（2）问题等价于关于x 的方程1(1)e exx xa =+有唯一的解时，求a 的值.（6分） 令1()(1)e e x x x g x =+，则212e ()e xxx g'x --=. 令()12e x h x x =--，则()2e 0x h'x =--<，∴()h x 在(,)-∞+∞上单调递减. 又(0)0h =，∴当(,0)x ∈-∞时，()0h x >，()0g x '>， ∴()g x 在(,0)-∞上单调递增.（8分） 当(0,)x ∈+∞时，()0h x <，()0g'x <， ∴()g x 在(0,)+∞上单调递减， ∴()g x 的极大值即最大值为(0)1g =.∴当(,0]x ∈-∞时，()(,1]g x ∈-∞；当(0,)x ∈+∞时，()(0,1)g x ∈. 又0a >，∴当方程1(1)e exx xa =+有唯一的解时，1a =. 综上，当函数()f x 有唯一零点时，a 的值为1.（12分）。

绝密★启用前全国名校2019年高三11月大联考理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合{|ln 1}A x x =<，{|}B x x a =≥，且{|0}A B x x =>，则实数a 的取值范围是 A ．{|0e}a a <≤B ．{|e}a a ≥C ．{|010}a a <≤D ．{|e}a a <2．在平行四边形ABCD 中，若AD =m AC +n AB ，则m +n = A ．1-B ．0C ．1D ．23．在等比数列{}n a 中，若2342,3,4a a a 成等差数列，则公比q 为 A ．1B ．2C ．1或12D ．124．设函数23()(1)f x ax a x =+-，若函数()f x 为偶函数，则曲线()()2g x f x x =+在点(0,(0))g 处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =5．已知实数0,0x y >>，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数()sin cos f x x x x =⋅+在[,]-ππ上的大致图象是7．已知(,0)2απ∈-，1cos()63απ-=-，则tan()3απ+=A ．3-B ．3 C ．2 D ．2-8．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩，则使得[()]1f f x =成立的x 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．49．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若610=10=9S S ，，则16=S A ．4B ．4-C ．2D ．2-10．将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的12（纵坐标不变），得到函数()sin()(0,0,||)2g x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式可以是A ．π()2sin()3f x x =-B ．()2sin f x x =C ．π()2sin()3f x x =+D ．π()2sin()6f x x =+11．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根分别为12,x x ，则方程可写成1()(a x x x --2)0x =，即21212()0ax a x x x ax x -++=，容易发现根与系数的关系：12b x x a+=-，12cx x a=．设一元三次方程320(0)ax bx cx d a +++=≠的三个非零实数根分别为123,,x x x ，以下命题中正确命题的序号是①123b x x x a ++=-；②122313c x x x x x x a ++=；③123111c x x x d ++=；④123dx x x a=-．A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④12．已知ABC △中，9AB =，点O 为其外接圆的圆心，且12AO CB ⋅=，则当B ∠取最大值时，ABC △的面积为A． BC． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知单位向量a 与向量(1,2)=b 方向相同，则向量a 的坐标是___________．14．已知ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若60B =︒，2b ，则sin A 的值为___________．15．2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不超过5000元（俗称“起征点”）的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额．新的税率表如下：2019年1月1日后个人所得税税率表个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除．其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元．某纳税人为独生子，且仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2019年10月份应缴纳个人所得税款为390元，那么他当月的工资、薪金税后所得是___________元． 16．函数(15sin 7)cos y x x =+的最大值是___________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知等差数列{an }的前n 项和为S n ，公差d 为整数，S 5=35，且a 2，a 3+1，a 6成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设数列{b n }满足b n =11n n a a +，求数列{b n }的前n 项和T n ． 18．（本小题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x =． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若03()5f x =，0[,]63x ππ∈，求0cos2x 的值． 19．（本小题满分12分）已知ABC △的三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，tan 3tan A B =-，4c =． （1）求BA BC ⋅的值；（2）若2sin sin A B C ⋅=，求角C 的大小． 20．（本小题满分12分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，43()n n a S n =+． （1）求证：数列{1}n a +是等比数列； （2）求证：123111149n a a a a ++++<． 21．（本小题满分12分）已知函数ln ()x f x x =，()()ag x x a x=+∈R ． （1）讨论方程()()f x g x =的实数根的个数；（2）令()()()h x f x g x =+，若函数()h x 在区间(1,)+∞上有极值，求实数a 的范围． 22．（本小题满分12分）已知函数()ln (1)f x x a x =--．（1）若函数()f x 的图象与x 轴相切，求实数a 的值； （2）讨论函数()f x 的零点个数．全国名校2019年高三11月大联考理科数学·答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13． 14 15．12610 16．645三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）【解析】（1）由S 5=5a 3=35，得a 3=7，由a 2，a 3+1，a 6成等比数列，得a 2a 6=(a 3+1)2=64， 即(3a d -)(33a d +)=64，整理得2314d d -+15=0， 又因为公差d 为整数，所以d =3，所以数列{a n }的通项公式为a n =32n -．（5分） （2）b n =11n n a a +=1(32)(31)n n -+=1311()3231n n --+， 所以T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =11111111[(1)()()()]34477103231n n ⨯-+-+-++--+ =11(1)331n ⨯-+ =31nn +．（10分） 18．（本小题满分12分）【解析】（1）2()sin cos f x x x x =+21sin 22sin )2x x =+- 1sin 22x x =sin(2)3x π=+，（4分）由正弦函数的性质，令222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，解得5,1212k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z ， 所以函数()f x 的单调递区间为5[,]()1212k k k ππ-+π+π∈Z．（6分） （2）因为003()sin(2)35f x x π=+=，0[,]63x ππ∈，所以022[,]33x ππ+∈π，04cos(2)35x π+=-，（8分） 所以0000cos2cos[(2)]cos(2)cos sin(2)sin 333333x x x x ππππππ=+-=+++（10分）413525=-⨯+=．（12分） 19．（本小题满分12分）【解析】（1）由tan 3tan A B =-，得sin sin 3cos cos A BA B=-⋅，则sin cos 3sin cos 0A BB A +=，3(sin cos sin cos )2sin cos A B B A A B +=，3sin()2sin cos A B A B +=，（3分）根据A B C ++=π，得sin()sin A B C +=，所以3sin 2sin cos C A B =，由正弦定理，得32cos c aB =，又4c =，所以cos 6a B =， 所以cos 4624BA BC ca B ⋅==⨯=．（6分）（2）根据正弦定理及2sin sin A B C ⋅=，4c =，得ab =8分）根据余弦定理及cos 6a B =，得221668a b a a+-⨯=，即2232a b -=，解得4a b ==（负值舍去）， 所以cos C ==，又0C <<π，所以6C π=．（12分） 20．（本小题满分12分）【解析】（1）当1n =时，1143(1)a a =+，所以13a =，当2n ≥时，1143(1)n n a S n --=+-，结合43()n n a S n =+，得11443(1)n n n n a a S S ---=-+， 又1n n n a S S -=-，所以1443(1)n n n a a a --=+，（4分） 143n n a a -=+，114(1)n n a a -+=+，1141n n a a -+=+，所以数列{1}n a +是以4为首项，4为公比的等比数列．（6分） （2）根据（1）得1144n n a -+=⨯，所以41n n a =-，（8分）由于141n -≥，即1144341n n --⨯-⨯≥，所以14134n n --≥⨯，即14134n n n a -=-≥⨯，11134n n a -≤⨯， 所以1231111na a a a ++++21111()1()11111141444(1)(1)13344433949144n nn n ---≤⨯++++=⨯=⨯=⨯-<-．（12分）21．（本小题满分12分）【解析】（1）由()()f x g x =，得ln x ax x x=+，2ln a x x =-，（1分） 令2()ln p x x x =-，则2112()2x p'x x x x-=-=，当2(0,)x ∈时，()0p'x >，当2(,)x ∈+∞时，()0p'x <， 所以函数()p x 在2(0,)上单调递增，在2(,)+∞上单调递减，（3分） 2211()ln (ln 21)22p =-=-+，函数()p x 的大致图象如下：所以当1(ln 21)2a >-+时，方程无实数根；当1(ln 21)2a =-+时，方程有唯一的实数根；当1(ln 21)2a <-+时，方程有两个不同的实数根．（6分）（2）ln ()(1)x a h x x x x x =++>，22221ln ln 1()1x a x x a h'x x x x ---+=+-=，（7分） 令2()ln 1F x x x a =--+，则2121()2x F'x x x x-=-=，当(1,)x ∈+∞时，()0F'x >，所以函数()F x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)2F a =-，故①当2a ≤时，()0F x >，()0h'x >，()h x 在(1,)+∞上单调递增，无极值；（8分） ②当2a >时，(1)0F <，2()ln 1F a a a a =--+，令2()ln 1G x x x x =--+，则2121()21x x G'x x x x--=--=，当2x >时，()0G'x >，函数()G x 在(2,)+∞上单调递增，(2)3ln 20G =->， 所以在(2,)+∞上，()0G x >恒成立，（10分） 所以2()ln 10F a a a a =--+>，所以函数()F x 在(1,)a 上存在唯一零点0x x =，所以()h x 在0(1,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，此时函数()h x 存在极小值． 综上，若函数()h x 在区间(1,)+∞上有极值，则2a >．（12分） 22．（本小题满分12分）【解析】（1）1()ax f 'x x -=，令()0f 'x =，则1x a =， 因为函数()f x 的图象与x 轴相切，所以1()0f a =，（2分）即111()ln (1)1ln 0f a a a a a a =--=--=，令()1ln h x x x =--，则1()1h'x x=-，当01x <<时，()0h'x <，函数()h x 单调递减；当1x >时，()0h'x >，函数()h x 单调递增，所以min ()(1)0h x h ==， 所以1ln 0a a --=有唯一解1a =，即实数a 的值为1．（4分） （2）1()axf 'x x-=， ①当0a ≤时，()0f 'x >，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0f =，函数有唯一零点；（6分）②当0a >时，函数()f x 在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a +∞上单调递减，max 1()()1ln f x f a a a==--，由（1）()1ln h x x x =--的单调性知：（Ⅰ）当1a =时，max ()0f x =，所以函数只有一个零点；（8分）（Ⅱ）当01a <<时，1()1ln 0f a a a =-->，(1)0f =，所以函数()f x 在1(0,)a上有一个零点， 211()2ln f a a a a=--， 令1()2ln p x x x x =--，则22212(1)()10x p'x x x x -=+-=≥， 所以函数()p x 在(0,)+∞上单调递增，又(1)0p =，故 当01x <<时，()0p x <，所以211()2ln 0f a a a a=--<， 所以函数()f x 在1(,)a+∞上有一个零点，所以函数()f x 在(0,)+∞上有两个零点；（10分）（Ⅲ）当1a >时，(1)0f =，1()1ln 0f a a a =-->，所以函数()f x 在1(,)a+∞上有一个零点， 当10e ax <<时，ln x a <-，()ln (1)(1)0f x x a x a a x ax =--<---=-<， 所以函数()f x 在1(0,)a上有一个零点，所以函数()f x 在(0,)+∞上有两个零点，综上，当0a ≤或1a =时，函数()f x 有唯一零点； 当01a <<或1a >时，函数()f x 有两个零点．（12分）。

华大新高考联盟2019届11月教学质量测评数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}{1A x x =<,}{3log 0B x x =<,则A B = （ ） A ．A B ．B C ．R D ．∅2. 在区间[]0,1上随机取两个数,x y ,则事件“221x y +≤”发生的概率为（ ） A ．4π B ．22π- C ．6π D ．44π- 3. 已知复数z 满足(12)43i z i +=+,则z 的虚部是（ ） A ．-1 B ．i - C ．1 D ．i 4. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,3123S a a =+，则42S S =（ ） A ．2 B ．3 C.4 D ．55. 已知函数()sin f x x x =+,(1,1)x ∈-，如果(1)(2)0f t f t -+-<,则实数t 的取值范围是（ ） A ．32t > B ．312t << C. 322t << D ．332t << 6. 5(3)(2)x y x y +-的展开式中, 24x y 的系数为（ ） A ．-110 B ．-30 C.50 D ．1307. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是由长方形及其一条对角线组成，长方形的宽为3,俯视图为等腰直三角形，直角边长为4,则该多面体的体积是（ ）A ．8B ．12 C.16 D ．248. 执行如图所示的程序框图,若输出a 的值为2,则图中的0x =（ ）A ．-1B ．12- C. 12D ．2 9. 将函数()cos(2)3f x x π=+图象上所有的点向右平移512π个单位长度后得到函数()g x 的图象,则函数()g x 具有的性质是（ ） A ．图象的对称轴为4x π= B ．在5(,)84ππ--上单调递减,且为偶函数 C.在97(,)88ππ--上单调递增,且为奇函数 D ．图象的中心对称点是(,0)2π10. 已知定点(2,0)P 及抛物线C ：22y x =,过点P 作直线l 与C 交于A ，B 两点,设抛物线C 的焦点为F ,则ABF ∆面积的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C.4 D ．511. 设x ，y ，z 为正实数,且235log log log 0x y z ==>,则,,235x y z的大小关系不可能是（ ） A ．235x y z << B ．235x y z == C. 532z y x << D ．325y x z << 12. 已知数列{}n a 满足11a =且2cos3n n n a b π=,则数列{}n b 的前59项和为（ ） A ．-1840 B ．-1760 C.1760 D ．1840第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知单位向量1e ，2e 的夹角为120°,且122a e e =- ,123b e e =+ ,则2a b +=． 14.已知圆C 被平面区域21,21,22,x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤-⎩所覆盖,则满足条件的最大圆C 的圆心坐标为 ．15.已知双曲线C :221916x y -=的左焦点为点1F ,右焦点为点2F ,点(,)(5)M x y x ≠±为双曲线C 上一动点,则直线1MF 与2MF 的斜率的积12MF MF k k ∙的取值范围是 ．16. 以棱长为2的正方体中心点O 为球心，以(1r r <为半径的球面与正方体的表面相交得到若干个圆（或圆弧）的总长度的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ,c 已知222a c b +=cos 0A B +=. （1）求cos C ；（2）若ABC ∆的面积52S =，求b .18.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，//AB CD ，且22CD AB AD ==，AB AD ⊥，PA PD =，点E 为PC 的中点，点F 为AD 的中点.（1）证明：//EF 平面PAB ；（2）若PE PF EF ==，求二面角B EF C --的余弦值.19.某种子公司对一种新品种的种子的发芽多少与昼夜温差之间的关系进行分析研究，以便选择最合适的种植条件.他们分别记录了10块试验地每天的昼夜温差和每块实验地里50颗种子的发芽数，得到如下资料：（1）从上述十组试验数据来看，是否可以判断昼夜温差与发芽数之间具有相关关系？是否具有线性相关关系？（2）若在一定温度范围内，昼夜温差与发芽数近似满足相关关系：ˆˆy bz a =+（其中2(12)z x =-）.取后五组数据，利用最小二乘法求出线性回归方程ˆˆy bz a =+（精确到0.01）；（3）利用(2)的结论，若发芽数试验值与预测值差的绝对值不超过3个就认为正常,否则认为不正常.从上述十组试验中任取三组，至少有两组正常的概率是多少？附:回归直线方程ˆˆy bza =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆni ii nii x ynx y b xnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-20. 已知锐角ABC ∆的一条边AB 的长为4，并且1tan tan 4A B =，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系. （1）试求顶点C 的轨迹方程； （2）设直线l ：33()510y kx k =-≠±与顶点C 的轨迹相交与两点M ，N ，以MN 为直径的圆恒过y 轴上一个定点P ，求点P 的轨迹方程.21. 已知函数2()z f x e mx x =--（e 为自然对数的底数）.（1）若0m =，求()f x 的单调区间； （2）若1m =，求()f x 的极大值； （3）若102m ≤≤，指出()f x 的零点个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点(1,0)P ,倾斜角为6π.以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=+.（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值.23.选修4-5：不等式选讲 设函数()f x x t =+.（1）若(1)21f t ≥-，求实数t 的取值范围；（2(0)(1)f f ≤+-.华大新高考联盟2019届11月教学质量测评数学（理）试题答案一、选择题1-5: BACBC 6-10:ACCCB 11、12：DB二、填空题33(,)44- 15.16(,0](,)9-∞+∞16. (0,12]π三、解答题17.解：（1）由222a c b++=，得222a c b+-，∴222cos2a c bBac+-===.∵0Bπ<<，∴34Bπ=.cos0A B+=，得sin(A B===∴cos A=∴cos cos()4C A A Aπ=-===.（2）由（1），得sin C=由1sin2S ac B=及题设条件，得135sin242acπ=，∴ac=由sin sin sina b cA B C====∴225b==，∴5b=.18.解：（1）证明：设BC中点为点G，连接,FG EG，易知//,//FG AB EG PB，所以//FG平面PAB，//EG平面PAB，则平面//EFG平面PAB，所以//EF平面PAB；（2）∵P A P D=，点F为AD中点，∴PF AD⊥.又在PFC∆中，点E为PC的中点，PE PF EF==，∴PF FC⊥，∴PF⊥平面ABC，且FC.不妨设2AB=，则4DC=，1FD=，∴FC =PF =， 以点F 为原点，,,FA FG FP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，(1,2,0)B，1(2E -， 易知平面EFC 的法向量为0(4,1,0)n =，设平面BEF 的法向量为(,,z)n x y =，则20,120,2x y x y +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩取1,z n ==. 041(01cos ,n n ⋅+⋅<>==二面角B EF C --. 19.解：（1）可以判断昼夜温差与发芽数之间具有相关关系， 不具有线性相关关系； （2）6,22.8z y ==，1221538684ˆ0.84354180ni ii n i i x ynx ybx nx==--==≈---∑∑，ˆˆ22.8(0.84)627.84ay bz =-=--⨯=，ˆ0.8427.84y z =-+. （3）十组数据中有两组不正常，128231014115P C C C=-=（或32188231056561412015P C C C C++===） 20.由题意，不妨设(2,0),(2,0)A B -，设(,)C x y ，1224x y x x ∙=-+-，化简得221(0)4x y y +=≠.（2）设11(,)M x y ，N 22(,)x y ，(0,)P t ，将直线l ：33()510y kx k =-≠±方程代入221(0)4x y y +=≠得222464(14)0525k x kx +--=，2576256(14)02525k ∆=++>，122245(14)x x k +=+，1226425(14)x x k =+， ∴1211158k x x +=-. 1212121233()()55kx t kx t y t y t x x x x ------+=2212121233()()()55k x x t kx kx t x x -++++= 222231525(14)3()()58645k k k t t +=++∙-+22253153[()()1]16585t t k =-++++2253()1645t =-+=-. ∴22253()1,645253153()()10,16585t t t ⎧+=⎪⎪⎨⎪-++++=⎪⎩解得1t =.21.解：（1）0m =时，则()x f x e x =-，∴()1x f x e '=-.0x >时，()0f x '>；0x <时，()0f x '<， ∴()f x 的单调增区间为(0,)+∞，()f x 的单调减区间为(,0)-∞. （2）1m =时，2()x f x e x x =--，()21x f x e x '=--，设g()21x x e x =--.()e 2x g x '=-，∴()g x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增，且g(ln 2)0<，又g(0)0=，∴()f x 的极大值为(0)1f =.（3）当0m =时，∵1x e x ≥+，∴()0x f x e x =->，此时()f x 的零点个数为0. 当102m <≤时，()21x f x e mx '=--.若0x ≥，()2110x x f x e mx e x '=--≥---≥，(0)10,()0f f x =>=无解； 若0x <，2()0x f x e mx x =--=，即2x e mx x =+，在1(,0)m上20x e mx x >>+，在1(,)m-∞-上x y e =单调递增，2y mx x =+单调递减，且x →-∞时，0x e →，2mx x +→+∞， ∴()f x 有且仅有一解.∴当102m <≤时，()f x 的零点个数为1.综上可得，0m =时，()f x 的零点个数为0；当102m <≤时，()f x 的零点个数为1.22.解：（1）l 的参数方程为1cos ,6sin ,6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），即1,1,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.由4cos()3πρθ=+，得2cos ρθθ=-，∴22cos sin ρρθθ=-，从而有2220x y x +-+=，∴C的直角坐标方程为22(1)(4x y -+=. （2）将l 的参数方程代入C的直角坐标方程，得221(42t ++=，整理，得210t -=.此时2241(1)70∆=-⨯⨯-=>.设,A B 两点对应的参数分别为12,t t，则12t t +=121t t =-，∴1212PA PB t t t t +=+=+=23.解：（1）由(1)21f t ≥-，得121t t +≥-， 当1t ≤时，∴(1)2t 1t -+≥-，解得0t ≤，此时1t ≤-； 当1t >-时，∴121t t +≥-，解得2t ≤，此时12t -<≤. 综上，t 的取值范围是(,2]-∞. （2）显然0a ≥，当0a =0=； 当0a >21=≤=，即1a =时，等号成立.∴01≤≤. 而(0)(1)1(1)1f f t t t t +-=+-+≥--+=.≤+-.(0)(1)f f。

机密★启用前（新教材卷）华大新高考联盟2024届高三11月教学质量测评数学本试题卷共4页，共22题.满分150，考试时间120分钟★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校､班级､姓名､准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置.2.选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.3.非选择题的作答；用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内.答在试题卷上或答题卷指定区域外无效.4.考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2i212i -+=+（ ）2.计算机在进行数的计算处理时，使用的是二进制.一个十进制数()*n n ∈N可以表示成二进制数()0122,k a a a a k ∈N ，即1001222k k k n a a a -=⋅+⋅++⋅ ，其中01a =，当1k …时，{}0,1k a ∈.若记012,,,,k a a a a 中1的个数为()f n ，则满足8k =且()4f n =的n 的个数为（ ）A.35B.28C.70D.563.已知双曲线22:14x y C m-=的焦距为6，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为（ ）A.2D.4.已知向量()(),2,3,1a b λ== ，若a 与b λ的值为（ ）A.83 B.43C.35.若函数()2e 4e 5xx f x =-+在(),m ∞+上单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A.()ln2,∞+B.[)ln2,∞+C.()2e ,∞+D.)2e ,∞⎡+⎣6.已知曲线32:3C y x x =-的图象是中心对称图形，其在点A 处的切线l 与直线90x y +=相互垂直，则点A 到曲线C 的对称中心的距离为（ ）A.B.C.D.7.已知()1tan 1tan tan 6,sin cos 3cos sin 22tan 2αβαβαβαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤-+-==⎪⎢⎥-⎣⎦ ⎪⎝⎭，则sin cos αβ=（ ）A.12 B.16 C.13- D.238.已知函数()22,4,1632113,4,xx f x x x x ⎧⎪=⎨⎪-+>⎩…则对于任意正数λ，下列说法一定正确的是（ ）A.()()ln 1f f λλ-…B.()()ln 1f fλλ-…C.()()22f f λλ…D.()()22f f λλ…二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合20,{15}3x M xN x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭∣∣，则下列说法正确的是（ ）A.{12}M N xx ⋂=-<<∣B.{3R M x x =<-∣ð或2}x >C.{35}M N xx ⋃=-<<∣D.(){}31R M N xx ⋂=-<<-∣ð10.已知在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段1A D 的中点，则下列说法错误的是（ ）A.直线EB 与直线1B C 所成的角为60B.直线EB 与直线11C D 异面C.点E ∉平面1ABCD.直线EB ∥平面11B D C11.已知圆C 过点()()()4,2,2,0,6,0，点M 在线段()04y x x =……上，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，以AB 为直径作圆C '，则下列说法正确的是（ ）A.圆C 的方程为22(4)2x y -+=，B.四边形ACBM 面积的最小值为4C.圆C '的面积的最小值为πD.圆C '的面积的最大值为3π12.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为()()1111,,,,F M x y N x y --在椭圆C 上但不在坐标轴上，若2,2FM FA FN FB ==，且OA OB ⊥，则椭圆C 的离心率的值可以是（ ）A.12D.910三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用，已知某批产品的质量指标X 服从正态分布()15,9N ，其中[]6,18X ∈的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为__________.参考数据：若()2,X Nμσ~，则()()()0.6827,220.9545,330.9973P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-+≈-+≈-+≈……………….14.已知某圆台的上､下底面积分别为4,36ππ，母线长为5，则该圆台的体积为__________.15.已知函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>的图象在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有3条对称轴，则实数ω的取值范围为__________.16.已知数列{}n a 满足：当n 为奇数时，n a =，其中()()57350λλ--<，且21243n i i i n n a ==+∑，则当n a 取得最小值时，n =__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且,22cos 1cC a B π==+.（1）求B 的值；（2）已知点M 在线段AB 上，且3ABAM=，求cos2BCM ∠的值.18.（12分）近年来，中学生的体质健康情况成了网络上的一个热门话题，各地教育部门也采取了相关的措施，旨在提升中学生的体质健康，其中一项便是增加中学生一天中的体育活动时间，某地区中学生的日均体育活动时间均落在区间[40,90]内，为了了解该地区中学生的日均体育活动时间，研究人员随机抽取了若干名中学生进行调查，所得数据统计如下图所示.（1）求a （2）现按比例进行分层抽样，从日均体育活动时间在[70,80)和[80,90]的中学生中抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，求至多有1人体育活动时间超过80min 的概率；（3）以频率估计概率，若在该地区所有中学生中随机抽取4人，记日均体育活动时间在[60,80]的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望.19.（12分）如图所示，在四棱锥S ABCD -中，90,ADC BCD SA SD SB ∠∠==== ，点E 为线段AD 的中点，且22AD SE BC CD ===.（1）求证：SE AC ⊥；（2）已知点F 为线段SE 的中点，点G 在线段BC 上（不含端点位置），若直线FG 与平面SAB 所成的角求BG BC 的值.20.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中32,14n n S a S λ=+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()310n n b n a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和为n T .21.（12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线1l 过点F 且与抛物线C 交于,M N 两点，直线2l 过点F 且与抛物线C 交于,P Q 两点.（1）若点()3,0A ，且AMN的面积为1l 的斜率；（2）若点,M Q 在第一象限，直线MP 过点(),0λ，比较14MPF NQF S S + 与λ的大小关系.并说明理由.22.（12分）已知函数()ln m f x x mx x=++.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）已知*k ∈N ，若(),0,a b ∞∀∈+，当a b >()()m mma f b f a mb a b+++<++恒成立，求k 的最大值.华大新高考联盟2024届高三11月教学质量测评数学参考答案和评分标准一､选择题1.【答案】B【命题意图】本题考查复数的四则运算､复数的概念，考查数学运算､逻辑推理的核心素养.【解析】依题意，()()()()2i 12i 2i 222i 12i 12i 12i ---+=+=-++-，故2i212i -+=+，故选B.2.【答案】D【命题意图】本题考查排列组合､数学情境问题，考查数学运算､逻辑推理､数学建模的核心素养.【解析】因为01a =，故在128,,,a a a 中只需有3个1即可，故所求个数为38C 56=，故选D.3.【答案】B【命题意图】本题考查双曲线的方程与性质，考查数学运算､直观想象的核心素养.【解析】依题意，49m +=，则5m =，故C20y ±=，故所求距离为d ，故选B.4.【答案】A【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算､平面向量的数量积，考查数学运算､逻辑推理的核心素养.【解析】依题意，cos ,||||a b a b a b ⋅===，解得83λ=，故选A.5.【答案】B【命题意图】本题考查复合函数､函数的单调性，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】令e 0x t =>，则原函数化为245y t t =-+，其在()2,∞+上单调递增，故()f x 在()ln2,∞+上单调递增，则ln2m …，故选B.6.【答案】D【命题意图】本题考查导数的几何意义､两直线的位置关系，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】易知直线l 的斜率为9，设切点()00,x y ，而236y x x =-'，故200369x x -=，解得01x =-或03x =，故切点A 坐标为()1,4--或()3,0，故点A 到曲线C的对称中心的距离为=，故选D.7.【答案】A【命题意图】本题考查三角恒等变换，考查数学运算､逻辑推理､数据分析的核心素养.【解析】依题意，()()()cos sin2cos 122tan,1tan tan 2sin 2tansin cos 222αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ------=-=+-----()()()()cos cossin sin122cos cos cos2αβαβαβαβαβαβαβ---+-==---，故()()()2cos 16sin cos αβαβαβ-⋅=--，则()sin αβ-=1sin cos cos sin 3αβαβ-=①，而sin cos 3cos sin αβαβ=②，联立①②，解得1sin cos 2αβ=，故选A .8.【答案】C【命题意图】本题考查分段函数的图象与性质，考查数学运算､逻辑推理､直观想象､数据分析的核心素养.【解析】依题意，()f x 在(],4∞-上单调递增，在()4,16上单调递减，在[)16,∞+上单调递增；易知ln 1λλ-…，取1λ=，可知()()ln 1f f λλ=-，取e λ=，可知()()ln 1f f λλ<-，取2e λ=，可知()()ln 1f f λλ>-，故A ､B 错误；当02λ<…时，242λλ……，故()()22f f λλ…，当24λ<<时，24216λλ<<<，故()()22f f λλ>，当4λ…时，2216λλ>…，故()()22f f λλ…；综上，()()22f f λλ…恒成立，故C 正确，D 错误，故选C.二､多选题9.【答案】AC【命题意图】本题考查不等式的解法､集合的表示､集合的运算，考查数学运算､逻辑推理的核心素养.【解析】依题意，()(){230}{32}M x x x xx =-+<=-<<∣∣，故{12},{3R M N x x M x x ⋂=-<<=-∣∣…ð或()2},{35},{31}R x M N x x M N x x ⋃=-<<⋂=-<-∣∣……ð，故选AC.10.【答案】ABC【命题意图】本题考查空间线面的位置关系，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】因为11,BA BD A E ED ==，故1EB A D ⊥，而1B C ∥1A D ，故1EB B C ⊥，故A 错误；直线EB 与直线11C D 均在平面11ABC D 上，故B 错误；平面1ABC 就是平面11ABC D ，故点E ∈平面1ABC ，故C 错误；因为平面11B D C ∥平面1A BD ，且直线EB ⊂平面1A BD ，故直线EB ∥平面11B D C ，故D 正确；故选ABC .11.【答案】BD【命题意图】本题考查圆的方程､直线与圆的位置关系，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】依题意，圆C 圆心在直线4x =上，设()4,C c ，则2222(42)(44)(2)c c -+=-+-，解得0c =，圆22:(4)4C x y -+=，故A 错误；四边形ACBM面积S MA AC =⋅=，而min ||MC =min 4S =，故B 正确；结合图象的对称性可知，当M 在线段()04y x x =……的中点时，圆C '的面积最小，为2π，故C 错误；当M 在线段()04y x x =……的两个端点时，圆C '的面积最大，为3π，故D 正确；故选BD.12.【答案】CD【命题意图】本题考查椭圆的方程､椭圆的性质，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析1】设直线:MN y kx =，其中0k ≠，联立2222,1,y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得x =,M N ⎛⎝，则2c A ⎛+ ⎝，2c B ⎛- ⎝，而OA OB ⊥ ，故222222222222110444c a b k a b b a k b a k -⋅-⋅=++，整理得()22221021e k e -=>-1e <<，观察可知，故选CD.【解析2】依题意，可得11,,22c x y A B -⎛⎫- ⎪⎝⎭，又有OA OB ⊥ ，故0OA OB ⋅= ，即22211044c x y --=，22211x y c +=；又有2211221x y a b +=，即圆222x y c +=与椭圆C 有公共点且公共点不在坐标轴上，故a c b >>，即222c a c >-，故21,2e e ⎫>∈⎪⎪⎭，故选CD.【解析3】依题意，2,2FM FA FN FB ==，故,A B 分别是线段,FM FN 的中点，故OA ∥,FN OB ∥FM ；又有OA OB ⊥，故,0FN FM OM ON ⊥+= ，则OM ON OF c ===；因为(),OM b a ∈，故b c <，即222a c c -<，得21,2e e ⎫>∈⎪⎪⎭，故选CD.三､填空题13.【答案】0.84【命题意图】本题考查正态分布及其应用，考查数学运算､直观想象､数学建模的核心素养.【解析】依题意，()215,3X N ~，故()()0.68270.997361830.842P X P X μσμσ+=-+==………….14.【答案】52π【命题意图】本题考查空间几何体的表面积与体积，考查数学运算､直观想象､数学建模的核心素养.【解析】易知该圆台的上､下底面的半径分别为2，6，故圆台的高为3，则圆台的体积()1436123523V ππππ=⨯++⨯=.15.【答案】2739,44⎛⎫⎪⎝⎭【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】依题意，()4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()42x k k ππωπ+=+∈Z ，解得()4k x k ππωω=+∈Z ，则23434πππππωωωω+<+…，解得273944ω<…，故实数ω的取值范围为2739,44⎛⎤⎥⎝⎦.16.【答案】5【命题意图】本题考查数列的性质，考查数学运算､逻辑推理､数据分析的核心素养.【解析】因为21243ni ii n n a ==+∑，故当1n =时，244a =，故21a =，当2n …时，121243(1)(1)n i i i n n a -==-+-∑，则11122244462nn i i i in i i n n a a a -==-==-∑∑，故222313n n a n =>-；而当n 为奇数时，n a =12121n n a n λ--=-，而()()57350λλ--<，故7553λ<<，则()()()()112121212121212121n n nn n n n n a a n n n n λλλλ--+---+-=-=+-+-.令()()()()()1121212210n n n f n n n n λλλλλ--⎡⎤=--+=--+>⎣⎦，得122n λλ+>-；而()752231511211,1,,2,3,5353212222221λλλλλλλλ+-+<<∴<-<∴<<∴==+∈∴----当2n …时，2121n n a a +-<，当3n …时，2121n n a a +->，即奇数项中5a 最小；而25252593n a a λ=<<<，所以数列{}n a 的最小项为255a λ=，故当n a 取得最小值时，5n =.四､解答题17.【命题意图】本题考查正弦定理､余弦定理､三角恒等变换，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】（1）依题意，222b c a =-，而2cos a B a c +=，由余弦定理，即2222,2a c b a a c ac+-⋅+=故()()20a c a c -+=，故2a c =，代入2cos 1c a B =+中，得1cos 2B =，而0B π<<，故3B π=；（2）不妨设3AB c ==，则31,2,cos 2AM BM BC AB B ====，在BCM 中，由余弦定理得，222132cos 4CM BC BM BC BM B =+-⋅⋅=，由正弦定理得，sin sin CM BM B BCM ∠=，故sin sin BM B BCM CM ∠⋅==，21211cos212sin 121313BCM BCM ∠∠=-=-⨯=-.18.【命题意图】本题考查频率分布直方图､样本的数字特征､离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查数学运算､逻辑推理､数学建模的核心素养.【解析】（1）依题意，100.350.30.10.051a ++++=，解得0.02a =；所求平均数为450.2550.35650.3750.1850.0559.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）从日均体育活动时间在[)70,80中抽取8人，日均体育活动时间在[]80,90中抽取4人，故所求概率321884312C C C 42C 55P +==；（3）依题意，24,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，故()()4314381232160,1C 562555625P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫======⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()22323442321623962C ,3C 5562555625P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫======⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()421645625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；X01234P 816252166252166259662516625故()28455E X =⨯=.19.【命题意图】本题考查空间线面的位置关系､向量法求空间角，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】（1）连接BE ，如图所示.因为90ADC BCD ∠∠== ，故BC ∥AD ，因为12BC AD DE==，故四边形BCDE 为矩形，不妨设2BE CD ==；SA SD =且点E 为线段AD 的中点，SE AD ∴⊥，所以SD ==，故SB SD ==；故222SE BE SB +=，即SE BE ⊥；又AD BE E ⋂=，故SE ⊥平面ABCD ；而AC ⊂平面ABCD ，故SE AC ⊥；（2）以E 为原点，EA 为x 轴，EB 为y 轴，ES 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则不妨设4AD =，则()()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0,0,0,4A B C S -，所以()()2,2,0,0,2,4AB SB =-=- ，设平面SAB 的法向量为()111,,n x y z =，则0,0,n AB n SB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1111220,240,x y y z -+=⎧⎨-=⎩取()2,2,1;n = 设()0,2BG t =∈，则(),2,0G t -，而()0,0,2F ，所以(),2,2GF t =- ，设直线FG 与平面SAB所成的角为,tan θθ=，则sin cos ,GF θ= 化简得2112440t t -+=，解得(2211t t ==舍去）；故111BG BC =.20.【命题意图】本题考查数列的基本运算､错位相减法，考查数学运算､逻辑推理的核心素养.【解析】（1）当2n …时，112,2n n n n S a S a λλ--=+=+，两式相减可得12n n a a -=；而当1n =时，112S a λ=+，得1a λ=-；3247S λλλλ=---=-，故714λ-=，解得2λ=-，则12a =，故2nn a =；（2）依题意，()3102n n b n =-⋅，故()1237242123102nn T n =-⋅-⋅-⋅++-⋅ ，()()2341272421231323102n n n T n n +=-⋅-⋅-⋅++-⋅+-⋅ ，两式相减可得()12313232232310220n n n T n +-=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅- ，即()()1212331022012n n n T n +--=⋅--⋅--，故()1313226n n T n +=-⋅+.21.【命题意图】本题考查抛物线的方程､直线与抛物线的综合性问题，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】设()()()()11223344,,,,,,,M x y N x y P x y Q x y ；（1）设直线1:1l x ny =+，联立21,4,x ny y x =+⎧⎨=⎩得2440y ny --=，2Δ16160n =+>；则12124,4y y n y y +==-；故12122AMN S y y =⋅⋅-== ，解得2n =±，故直线1l 的斜率为12±；（2）设直线MP 的方程为x my λ=+，联立直线MP 与抛物线的方程，2,4,x my y x λ=+⎧⎨=⎩消去x 得2440y my λ--=，故134y y λ=-；由（1）可知，214y y =-，同理可得434y y =-，故2213213241sin 2116sin 2MPF NQF MF PF MFP MF PF y y y y S S NF QFy y NF QF NFQ ∠λ∠===== ，显然1λ≠，故21144MPF NQF S S λλ+=+ …，当且仅当12λ=时等号成立.22.【命题立意】本题考查利用导数研究函数的性质，考查数学运算､逻辑推理的核心素养.【解析】（1）依题意，()()22210,,m mx x m x f x m x x x∞'+-∈+=+-=，若0m =，则()()10,f x f x x=>'在()0,∞+上单调递增；若0m ≠，则2Δ140m =+>，令()0f x '=，解得12x x ==，其中12121,1x x x x m +=-=-若0m >，则120x x <<，故当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<，当x ∞⎫∈+⎪⎪⎭时，()0f x '>，故()f x在⎛ ⎝上单调递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增；若0m <，则210x x <<，故当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '>，当x ∞⎫∈+⎪⎪⎭时，()0f x '<，故()f x在⎛ ⎝上单调递增，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递减；综上所述，当0m =时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m >时，故()f x在⎛ ⎝上单调递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增；当0m<时，()f x在⎛⎝上单调递增，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递减；（2ln lnm m m mma b mb a ma mbb b a a++-+<+-++，lnab<1lnakabb⎛⎫-<，即1112lnaabka bb-⎛⎫⋅<+⎪⎝⎭恒成立，令1)t t=>，有()221112ln2tk t tt-⋅<++恒成立，得()1112ln2tk tt-⋅<+恒成立，所以1ln01tk tt-⋅-<+恒成立令()1ln1tg t k tt-=⋅-+，有()()22222211212(1)(1)(1)(1)t k tkt tg t kt t t t t t'-+---+=⋅-==++⋅+⋅，（注：()10g=）（i）当()10g'>时，即2k>时，易知方程()22110t k t-+--=有一根1t大于1，一根2t小于1，所以()g t在[)11,t上单调递增，故有()()110g t g>=，不符；（ii）当02k<…时，有2222(1)4(1)(1)0kt t t t t-+-+=--……，所以()0g t'…，当且仅当1t=时等号成立，从而()g t在()1,∞+上单调递减，故当1t>时，恒有()()10g t g<=，符合.由i ii､可知，正实数k的取值范围为02k<…，因此，k的最大值为2.。

2019年高三11月期中联考（数学理）本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题目）两部分，共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准备考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2.每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂在其它答案标号。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合}3=n∈-<NnmZmBA，则<},2{|1=3∈-<|{≤A.{0，1}B.{-1，0，1}C.{0，1，2}D.{-1，0，1，2}2.下列命题中的假命题是A. B.C. D.3.已知条件，条件，则是成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件4.将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为A. B.C. D.5.已知，若，则=A.1B.-2C.-2或4D.46.设等比数列中，前n项和为,已知，则A. B. C. D.7.设3.0log ,9.0,5.054121===c b a ，则的大小关系是A. B. C. D.8.函数的图象大致是9.在中，角A ，B ，C 所对边分别为a,b,c ，且，面积，则等于A. B.5 C. D.2510.若函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=0),(log 0,log )(212x x x x x f ，若,则实数的取值范围是 A. B.C. D.11.已知是的一个零点，，则A. B.C. D.12.已知，把数列的各项排列成如下的三角形状，记表示第行的第个数，则=A. B. C. D.第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

13.不等式 的解集是 .14.若实数满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,0,0,01x y x y x ，则的值域是 .15.已知奇函数满足，且当时，，则的值为x -1 02 4 5 F(x) 1 2 1.5 21下列关于函数的命题；①函数的值域为［1，2］；②函数在［0，2］上是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当时，函数最多有4个零点.其中正确命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分。

2019年11月份高三联考数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】求解对数不等式可得：，求解一元二次不等式可得：，则：，，.本题选择D选项.2. 已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，结合向量平行的充要条件有：,求解关于实数的方程可得：.本题选择C选项.3. （）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：本题选择A选项.4. 已知，且，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由向量垂直的充要条件有：，则：，结合向量的夹角公式有：，据此可得：向量与的夹角为.本题选择B选项.5. 已知函数，给出下列两个命题：命题若，则；命题.则下列叙述错误的是（）A. 是假命题B. 的否命题是：若，则C.D. 是真命题【答案】D【解析】由函数的解析式可得函数的定义域为，且导函数：，则函数单调递增，据此可得命题是假命题，命题是真命题，是假命题.结合特称命题与全称命题的关系可得：的否命题是：若，则，：.本题选择D选项.6. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意结合诱导公式可得：，据此可得：，结合同角三角函数基本关系可得：，，利用二倍角公式可得：.本题选择B选项.点睛：三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)7. 设是定义在上的函数，它的图象关于点对称，当时，（为自然对数的底数），则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数图象关于点对称，则对于任意的实数，有：.据此可得：.本题选择D选项.8. 已知函数的零点为，设，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】指数函数和一次函数都是定义在上的单调递减函数，则函数是定义在上的单调递减函数，且：，结合函数零点存在定理可得：，据此可得：，则：.本题选择C选项.点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．9. 函数的部分图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】显然函数是偶函数，故A、D错误，当时，，所以，，又，所以，故选 C.10. 已知函数（且），则“在上是单调函数”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】很明显函数和函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.函数有意义，则：恒成立，即：.结合复合函数的单调性可得当时，函数在定义域内单调递减；当时，函数在定义域内单调递增，即若在上是单调函数，则或，“在上是单调函数”是“”的必要不充分条件.本题选择B选项.点睛：复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．11. 已知表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：的因数有，则的因数有，则，那么的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由的定义知，且若为奇数则则选D12. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，易得与互为反函数与关于直线对称原命题等价于在上恒成立.记，记，同理可得，综上的最大值为，故选 A. 【点睛】本题的关键步骤有：观察发现与互为反函数；将原命题等价转化为在上恒成立；利用导数工具求的最小值，从而求得；第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知各项均为正数的等比数列的公比为，则__________.【答案】【解析】很明显数列的公比为正数，由题意可得：，则：，整理可得：，结合可得：.14. 若向量与满足，且，则向量在方向上的投影为__________.【答案】【解析】设向量与向量的夹角为，利用向量垂直的充要条件有：,即：，据此可得：向量在方向上的投影为.15. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则__________.【答案】【解析】函数的解析式：据此可得：，则：，结合三角函数的性质可得：，令可得：，故：，.........................16. 在中，，边的中点为，则__________.【答案】【解析】如图所示，作于点，则：，则：.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等比数列的前项和为为等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1)即，.(2).【解析】试题分析：(1)分类讨论和两种情况可得数列的通项公式为，据此计算可得；(2)结合数列的通项公式错位相减可得数列的前项和.试题解析：（1）当时，，当时，，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，即，又，所以.（2）因为，※精品试卷※所以，①，②由①-②得，所以.18. 设函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合三角函数的周期可得，结合，则，函数的解析式为.(2)由函数的定义域可得，则函数的值域为.试题解析：（1）由图象知，即.又，所以，因此.又因为点，所以，即，又，所以，即.（2）当时，，所以，从而有.19. 在中，内角的对边分别为.已知.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】(1)；(2)3.【解析】试题分析：（1）利用正弦定理化简条件，统一为边，再结合余弦定理可求出（2）根据及余弦定理可求出c,根据同角三角函数关系求,利用面积公式求解.试题解析：（1）因为，所以，即.所以.（2）因为，由（1）知，所以.由余弦定理可得，整理得，解得，因为，所以，所以的面积.20. 已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；（2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由函数的解析式可得在上单调递增，则的取值范围是；(2)原问题等价于存在，使不等式成立.构造新函数，结合函数的性质可得实数的取值范围为.试题解析：（1）由得，在上单调递增，，的取值范围是.（2）存在，使不等式成立，存在，使不等式成立.令，从而，，，在上单调递增，.实数的取值范围为.21. 在中，是边的一个三等分点（靠近点），记.（1）求的大小；（2）当取最大值时，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析; （1）由，可得，整理得.又，所以，即.（2）设，，，则，.由正弦定理得，.又，由，得.因为，所以.因为，所以.所以当，即时，取得最大值，由此可得，.试题解析：（1）因为，所以，即，整理得.又，所以，即.（2）设，，，则，.由正弦定理得，.又，由，得.因为，所以.因为，所以.所以当，即时，取得最大值，此时，所以，.【点睛】本题考查正弦定理、勾股定理，求角转化为求角的某个三角函数值，以及基本不等式求最值问题等，其中着重考查化简、变形能力．22. 已知函数的图象在处的切线过点.（1）若，求函数的极值点；※精品试卷※（2）设是函数的两个极值点，若，证明：.（提示）【答案】(1)或；(2)证明见解析.【解析】试题分析：由题意结合导函数与原函数切线的关系可得.(1)由题意可得，利用导函数研究函数的极值可得的极值点为或.(2)由导函数的性质可得是函数的极大值，是函数的极小值，据此构造函数，据此可知，则函数在上单调递减，据此可得.试题解析：，又，曲线在处的切线过点，，得.（1），令，得，解得或的极值点为或.（2）是方程的两个根，，，是函数的极大值，是函数的极小值，要证，只需，，※精品试卷※令，则，设，则，函数在上单调递减，，.点睛：应用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)>0（或f′(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。