华大新高考联盟2019届高三4月教学质量测评理科数学附详解

机密★启用前华大新高考联盟2019届高三4月教学质量测评理科综合能力测试命题:华中师范大学考试研究院本试题卷共12页,38题（含选考题）。

全卷满分300分。

考试用时150分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1・答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

.3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4•选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将答题卡上交。

可能用到的相对原子质量：H1C12N14O16Na23P31S32Cl35.5Cr52Br80I127一、选择题:本题共13小题,每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列关于细胞结构与功能的叙述，错误的是A.生物膜系统的组成和遗传信息的表达都离不开蛋白质B.在线粒体的内膜、基粒和基质中都含有ATP合成酶C.控制叶绿体能量转化的指令主要是通过核孔到达细胞质的D.人体衰老的红细胞被某类白细胞吞噬消化与溶酶体有关2.下列关于相关实验的叙述，正确的是A.鲜肝研磨液是检测生物组织中还原糖的理想实验材料B.观察蝗虫精母细胞减数分裂固定装片时,用卡诺氏液固定细胞C.在绿叶的光合色素中，胡萝卜素在层析液中的溶解度最高D.向含有酵母菌线粒体的葡萄糖溶液中通入02，会产生CO23.BrdU（5-^脱氧尿囉陡核昔）是一种人工合成的胸腺喀睫类似物，细胞内无内源性BrdU o当细胞核DNA复制时,BrdU可代替胸腺囉睫脱氧核昔酸掺入DNA分子的子链中，将细胞置于含有BrdU的培养液中培养，细胞能不断增殖。

2019届华大新高考联盟高三考前模拟密卷（五）数学试题（理科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合B，由此能求出．【详解】则.故选C.【点睛】本题考查集合交集的求法，属基础题.2.A. B. C. 2 D. -2【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘方运算法则运算即可.【详解】故选A.【点睛】本题考查复数的乘方运算，属基础题.3.下列命题中的假命题是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】对四个选项，逐一举例子进行真假性的判断，由此得到正确选项.【详解】对于选项A，当时，故A选项为真命题.对于B选项，当时，，故选项B为真命题.当时，，故C选项为真命题.根据指数函数的性质知D选项为真命题.故选C.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题真假性的判断，考查指数函数、对数函数和正切函数有关的性质.属于基础题.4.是第四象限角，，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由的值及α为第四象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出的值．【详解】由题是第四象限角，则故选B.【点睛】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．5.在的展开式中含有常数项，则正整数的最小值是A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】当存在与时，展开式有常数项，此时.【详解】由于和的最小公倍数为，故当存在与时，展开式有常数项，即为常数项，此时，故选B.【点睛】本小题主要考查二项式的展开式，考查两个数的最小公倍数.二项式展开式的通项公式为.属于基础题.6.点，是圆上的不同两点，且点，关于直线对称，则该圆的半径等于A. B. C. 1 D. 3【答案】D【解析】【分析】圆上的点关于直线对称，则直线经过圆心，求出圆的圆心，代入直线方程，即可求出k，然后求出半径．【详解】圆x2+y2+kx+2y-4=0的圆心坐标为（，因为点M，N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上，且点M，N关于直线l：x-y+1=0对称，所以直线l：x-y+1=0经过圆心，所以．所以圆的方程为：x2+y2+4x+2y-4=0，圆的半径为：故选：C．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的一般方程的应用，考查计算能力．7.已知函数，则函数的图像大致是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的定义域，排除BCD，即可得到答案.【详解】函数，函数，则函数的定义域为，故排除B，C，D，故选：A．【点睛】本题考查函数的图象，考查同对数函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．8.设离散型随机变量可能的取值为1，2，3，4，，又的数学期望为，则A. B. 0 C. D.【答案】A【解析】【分析】将代入的表达式，利用概率之和为列方程，利用期望值列出第二个方程，联立方程组，可求解得的值.【详解】依题意可的的分布列为1 2 3 4依题意得，解得，故.所以选A.【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列，考查概率之和为，考查离散型随机变量的数学期望，还考查了方程的思想.属于基础题.9.将边长为2的正沿高折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】三棱锥B-ACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积即可．【详解】根据题意可知三棱锥B-ACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，所以求出长方体的对角线的长为：，所以球的直径是，半径为，所以球的表面积为：故选D．【点睛】本题主要考查了外接球的表面积的度量，解题关键将三棱锥B-ACD的外接球扩展为长方体的外接球，属于中档题．10.在中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：成等差数列，．平方得．又的面积为，且，故由，得，．由余弦定理，解得．又∵为边长，∴．故B正确.考点：等差数列，三角形面积，余弦定理的应用.11.在实数的原有运算法则（“” “”仍为通常的乘法和减法）中，我们补充定义新运算“如下：当时，；当时，，则当时，函数的最大值等于A. -1B. 1C. 6D. 12【答案】C【解析】此题是信息类的题目，考查分段函数的最值问题的求法、学生的自学能力和逻辑推理能力；由已知得所以，可求出：当时，函数最大值是-1；当时，函数最大值是6；当时，函数不存在最大值是；所以函数的最大值等于6，选C12.已知双曲线与函数的图像交于点.若函数在点处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设，∴切线的斜率为，又∵在点处的切线过双曲线左焦点，∴，解得，∴，因此，，故双曲线的离心率是，故选A．考点：双曲线离心率的计算．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若变量，满足约束条件则的最大值是__________．【答案】11【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z表示直线在y轴上的截距的一半，只需求出可直线在y轴上的截距最大值即可．【详解】变量，满足约束条件在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），在△ABC中满足z=2y-x的最大值是点C，代入得最大值等于11．故填：11．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14.若，则__________．【答案】【解析】15.已知函数，，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】判断出函数为奇函数，并且导数为正数，为递增函数，利用奇偶性和单调性化简题目所给的不等式，由此求得的取值范围.【详解】由于，故函数为奇函数，由于故函数为上的增函数.由得，故.故的取值范围是.【点睛】本小题考查函数的奇偶性，考查利用导数求函数的单调性，考查抽象不等式的解法.对于有关函数的题目，首先想到的是函数的性质，如单调性、奇偶性和周期性等等.对于抽象函数的不等式，往往要结合函数的单调性来求解.利用导数可以判断出函数的单调性.属于中档题.16.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点，.若，则的面积的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】根据抛物线焦点的坐标求得的值.联立直线的方程和抛物线的方程，消去得到关于的一元二次方程，这个方程的判别式大于零，利用韦达定理求得弦长的表达式，利用点到直线距离公式求得到直线的距离，由此求得三角形面积的表达式，在利用导数求得面积的最大值.【详解】由于抛物线的焦点为，故，抛物线方程为，联立得，.由于直线和抛物线有两个交点，故判别式，解得.由弦长公式得.焦点到直线的距离为.故三角形的面积为，由于，故上式可化为.令，，故当时，函数递增，当时，函数递减，故当时取得最大值，此时=.【点睛】本小题主要考查抛物线的标准方程，考查直线和抛物线的位置关系，考查与抛物线有关的三角形的面积公式.由于抛物线的参数只有一个，故只要一个条件就可以求得的值.直线和抛物线形成的弦长公式可以利用韦达定理计算出来.求得面积的表达式后，由于表达式是高次的，故利用导数求得它的最大值.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.在数列中，，．（1）求的通项公式；（2）数列是等差数列，为前项和，若，，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由等比数列的定义可知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则的通项公式易求；（2）由（1）得：，由此求得公差，代入等差数列前公式计算即可.【详解】（1）因为所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以.（2）由（1）得：，则，，所以 .【点睛】本题考查等差数列，等比数列的基本量计算，属基础题.18.为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜好体育运动不喜好体育运动合计男生 5女生10合计50已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为10的样本，则抽到喜好体育运动的人数为6.（1）请将上面的列联表补充完整；（2）能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明理由.附：0.10 0.05 0.025 0.0102.7063.841 5.024 6.635【答案】（1）见解析；（2）在犯错误率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关. 【解析】【分析】（1）根据分层抽样比计算出全班喜欢体育运动的人数和不喜欢体育运动的人数，可将列联表补充完整；（2）根据公式计算K2，对照临界值表作结论．【详解】（1）设喜好体育运动人数为，则 .所以列联表补充如下：喜好体育运动不喜好体育运动合计男生20 5 25女生10 15 25合计30 20 50（2）因为所以可以在犯错误率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关.【点睛】本题考查分层抽样的统计原理，独立性检验的运用，考查学生分析解决问题的能力，是基础题．19.如图，三棱柱中，平面，为正三角形，是边的中点，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，根据面面垂直的性质定理可以得到平面平面.（2）以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为三棱柱中平面，所以平面，又平面，所以平面平面因为为正三角形，为的中点，所以，又平面平面，所以平面，又平面所以平面平面.（2）解：以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，设平面的法向量则即令，则得同理可求得平面的法向量设二面角的大小为，所以.【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理，考查利用空间向量的方法计算二面角的余弦值，属于中档题.20.已知椭圆的焦点，，过点并垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，并且，椭圆上不同的两点，满足条件：，，成等差数列. （1）求椭圆的方程；（2）求弦中点的横坐标.【答案】（1）；（2）4【解析】【分析】（1）利用椭圆的焦点坐标得到，利用椭圆的定义得到，利用求得，由此求得椭圆的方程.（2）利用，，成等差数列列出方程，将的坐标代入，可求得的值，由此求得中点的横坐标.【详解】（1）由题意可知.所以，又，所以，所以椭圆方程为：.（2）由点在椭圆上，得.由，，成等差数列，得①点在椭圆上，得所以②同理可得③将②③代入①式，得：所以设中点坐标为，则横坐标：.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，还考查了等差中项的性质.属于中档题.21.已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）设函数，求证：. 【答案】（1）在单调递增；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）当时，利用的二阶导数，求得函数的单调区间.（2）先求得的表达式，化简得到.将要证明的不等式的左边利用倒序相乘的方法，证得不等式成立.【详解】（1）当时，（），令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增.所以所以在单调递增.（2）证明：，当时，所以由此得故（）【点睛】本小题考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，要有一定分析问题和运算的能力，属于难题.22.[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．【答案】（1）当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）【解析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．详解：（1）曲线的直角坐标方程为．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得，故，于是直线的斜率．点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.23.设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围．详解：（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

机密★启用前华大新高考联盟2020届高三4月教学质量测评理科数学本试题卷共4页.23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝#试顺利★注意事项：1 .答短前.先将fl己的姓名■准考iE弓域可在答距长上.并将准琴江号条形研财在答恩K上的指定位2.逸押IS的作答：侦小应燃目的答案愫勺涂黑・耳在试K上的区域均无效.3.填空*和解答题的作答：用签字笔宜接答在容愆卡上酉应的答题IK域内.写在试题尝,草SI纸和答W卡上的菲答题区域均无效.4.选考也的作答■先把所送趣口的醴号在答粗N上指定的位置用2B松宅涂SL答宝珂在答履卞上对应的谷（SH域内" 。

在武!»■・草棉舐和答的|?上的曹咨IS风域均无效.5 .考试培束后.崎将谷曜卡上交.-、选择题：本题共12小越，每小越5分，共60分，在每小题纶出的四个选项中，只有一项是符合题目萋求的。

1.已W?»r»l+4-.则r •iA.OB.1C.72D.22.设«^A-{xlx＞3}-B-Ullog＞（x-a»0|.Wa=3 是8UA 的A .充分不必要条件 B.2要不充分条件C充妾条件 D.既不充分又K必要条件3.i殳等是数列修」的前〃顼和为S..已知七5s,+., 30.岫S«A.85B.97C.100D.1754.槐晋时期的数学家弟薇首创常剧术.为计算圈周率建星『严密的戒论即完脊的算法.所时割倒术.就是以间内按正多边形的而枳.来无限逼近同血枳.对澈形容他的利同术说,•割之弥细.所失弥少.割之又割.以至丁木讨刮.则勺网合体.而尤所失矣...比；I企一1盘内■一内按正I二边形•将loottSTM机撤入间盘内.发现只右I粒豆子不在正十.边形内.据此实羚估计网周宇的近似值为A-T R 16r22C T n T5.已tU^=lg2.>»-ln3.c ~ log,3•则A.《rVz VyB.Vy<rC.x<y<t\lz<T<y6 .执行如图所示程序也图.设输出教据构成集合人•从集合人中任取一个兀素m,则事件“函敢fM）=/+”rr在［0・+c＞上是增雨数”的借率为理科教学忒题第1页（共4贞〉7 .设/(x).g(r)分别为定义在-5 I的奇函牧和偶函数.日/(”+g(«r) = 2e，cgr(e为自然对数的底j = /(x)-«(x)的图象大致为&某病。

2019年湖北省华大新高考联盟高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．1．设i 是虚数单位，则复数20191z i =+的共轭复数对应的点在复平面内位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设非空集合M ，N 满足M N N =U ，则( )A ．x N ∀∈，x M ∈B ．x N ∀∉，有x M ∉C ．0x M ∃∉，有0x N ∈D ．0x N ∃∈，有0x M ∉3．下列说法正确的是( )A ．22a b >是lna lnb >的充要条件B ．对于非零a r ，b r ，若0a b >r r g ，若a r与b r 的夹角为锐角C ．不等式2(2)(3)0x x --…的解集为{|3}x x …D ．相关指数2R 越接近1，表示残差平方和越小4．黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约为0.618，这一比值也可以表示为2cos72a =︒，则2(= )A ．12B ．1C ．2D ．145．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两条渐近线的夹角为60︒，则该双曲线的离心率为()A B ．43C 2D ．46．已知0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c b a >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a b c >>7．“孙子定理”是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要的定理，又称中国余数定理，最早可见中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，讲的就是关于整除的问题．若正整数N 除以正整数m 的余数为n ，则记为()N n bmodn =，例如72(5)bmod =．下面的问题也是关于整除的问题，执行如图所示的程序框图，则输出的x ，y 的值分别为( )A ．2，2B ．3，1C ．1，3D ．2，38．若332()nx x +的展开式中含有常数项，当n 取最小值时，常数项的值为( )A ．66B ．45C ．55D ．369．已知()sin cos (0f x m x x m ωω=->，0)ω>，()2tan g x x =，若对1x R ∀∈，2[0,]4x π∃∈，使得12()()f x g x „成立，若()f x 在区间[0，]π，上的值域为[1-，2]，则实数ω的取值不可能是( )A ．12B ．23C ．1D ．4310．已知抛物线C 的方程为24x y =，过焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点D ，若||6AB =，则||FD 的值为( ) A ．2B ．22C ．3D ．2311．如图，某几何体的三视图如图所示，其俯视图、侧视图均为直角三角形，其外接球的表面枳为8π，则图中的边长a 的值为( )A ．1B 2C ．2D ．2212．已知函数()2ef x lnx mx n x=--+，若不等式()0f x „对(0,)x ∈+∞恒成立，则n m 的最大值为( )A ．4eB ．2e C ．e D ．2e二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知函数()sin f x x x =-，若2()(23)0f t f t +-„，则实数t 的取值范围是 ． 14．已知点P 为不等式0,200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩…„…，所表示的可行域内任意一点，点M 的坐标为(3)-，O 为坐标原点，则||OM OPOPu u u u r u u u r g u u u r 的最大值为 ． 15．已知圆22:(6)9C x y -+=，点M 的坐标为(2,4)，过点(4,0)N 作直线l 交圆C 于A ，B两点，则||MA MB +u u u r u u u r的最小值为16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC ∆的面积为23S a =，且220b c kbc +-…恒成立，则k 的最小值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，已知对任意的正整数n ，m ，当n m >时，2m n m n m S S S --=恒成立．（1）求证：数列{}n a 是等比数列．（2）设(21)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，底面四边形ABCD 为直角梯形，AD BC λ=，//AD BC ，90BCD ∠=︒，M 为线段PB 上一点．（Ⅰ）若13λ=，则在线段PB 上是否存在点M ，使得//AM 平面PCD ？若存在，请确定M点的位置；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）已知2PA =，1AD =，若异面直线PA 与CD 成90︒角，二而角B PC D --的余弦值为10-，求CD 的长．19．（12分）第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项，共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民，武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100组别 [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100)频数5 30 40 50 45 20 10人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间的中点值作为代表），求μ，σ的值(μ，σ的值四舍五入取整数），并计算(5193)P X <<．（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于μ的可以获得1次抽奖机会，得分不低于μ的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值15元的纪念品A 的概率为23，抽中价值为30元的纪念品B 的概率为13．现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y 为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y 的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额．（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<<+≈；(22)0.9545P X μσμσ-<<+≈；(33)0.9973P X μσμσ-<<+≈．)20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>离心率为12，点1A ，2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点．过点2F 任作一条不与y 轴垂直的直线与椭圆C 交于N ，N 两点，1MNF ∆的周长为8． （1）求椭圆C 的方程．（2）若直线10t =，2A N 交于点D ，试判断点D 是否在某条定直线x t =上．若是，求出t 的值；若不是，请说明理由．21．（12分）函数11()(x f x e ax a e-=--为常数）的图象与x 轴有唯一公共点M ．（1）求函数()f x 的单调区间．（2）若2a =-，存在不相等的实数1x ，2x 满足12()()f x f x =-，证明：120x x +<． 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的直角坐标方程为2x y =，在以原点2t =为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的参数方程．（2）已知射线:(0,0)l y kx k x =>…与曲线1C ，2C 的交点分别为A ，B ，当||||OA OB g 为2时，求k 的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2|||f x x x a =-+-，()6f x …的解集为{|0x x „或6}x …． （1）求a 的值．（2）若()f x 的最小值为t ，且两正数m ，n 满足22m n t +=，求证：14924m n +…．参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．1．设i 是虚数单位，则复数20191z i =+的共轭复数对应的点在复平面内位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【思路分析】利用虚数单位i 的运算性质化简，再由共轭复数的概念求得z ，则答案可求． 【解析】：20194504331111z i i i i ⨯+=+=+=+=-Q ，∴1z i =+，则复数20191z i =+的共轭复数对应的点的坐标为(1,1)，在复平面内位于第一象限．故选：A ．【归纳与总结】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．设非空集合M ，N 满足M N N =U ，则( )A ．x N ∀∈，x M ∈B ．x N ∀∉，有x M ∉C ．0x M ∃∉，有0x N ∈D ．0x N ∃∈，有0x M ∉【思路分析】根据M N N =U 即可得出M N ⊆，然后即可判断每个选项的正误． 【解析】：M N N =Q U ，M N ∴⊆，x N ∴∀∉，有x M ∉．故选：B ．【归纳与总结】本题考查了并集的定义及运算，子集的定义，元素与集合的关系，考查了推理能力，属于基础题． 3．下列说法正确的是( )A ．22a b >是lna lnb >的充要条件B ．对于非零a r ，b r ，若0a b >r r g ，若a r与b r 的夹角为锐角C ．不等式2(2)(3)0x x --…的解集为{|3}x x …D ．相关指数2R 越接近1，表示残差平方和越小【思路分析】A ，结合指对函数的单调性、充要条件的含义可判断；B ，根据平面向量数量积运算，取特例，向量a r，b r 的夹角为0︒，即可判断； C ，不等式的解集为{|2x x =或3}x …； D ，根据相关指数与残差平方和的关系即可判断．【解析】：对于A ，22a b a b >⇒>，但若0a b >>，则lna 和lnb 无意义，即A 错误；对于B ，若向量a r，b r 的夹角为0︒，满足0a b >r r g ，但两者的夹角不是锐角，即B 错误；对于C ，不等式2(2)(3)0x x --…的解集为{|2x x =或3}x …，即C 错误；对于D ，相关指数2R 越接近1，拟合效果越好，对应的残差平方和越小，即D 正确． 故选：D ．【归纳与总结】本题考查命题的真假判断，涉及指对函数的单调性、充要条件、平面向量数量积、不等式解法及相关指数的性质等知识点，考查学生灵活运用知识的能力和逻辑推理能力，属于基础题．4．黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约为0.618，这一比值也可以表示为2cos72a =︒，则2(= )A ．12 B ．1 C ．2 D ．14【思路分析】根据已知利用同角三角函数基本关系式，诱导公式化简即可求值得解．【解析】：2cos72a =︒Q ，224cos 72a ∴=︒，可得：222444cos 724sin 72a -=-︒=︒，∴2sin 72︒，2cos722sin 722sin1442sin36︒︒=︒=︒g， ∴2cos54sin 3612sin 362sin 362︒︒===︒︒．故选：A ．【归纳与总结】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两条渐近线的夹角为60︒，则该双曲线的离心率为()A B ．43C 2D ．4【思路分析】先根据双曲线方程求得渐近线的斜率进而根据夹角是60︒，求得ba的值，进而根据c =求得c ，进而离心率可得．【解析】：双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，渐近线斜率是b±，而夹角是60︒，因为两直线关于x 轴对称，所以和x 轴夹角是30︒或60︒，即tan 30b a =︒tan 60︒=，若b a =2213a b =，222243c a b a =+=，22243c e a ==，e =（负的舍去）；若ba=223b a =，22224c a b a =+=，24e =，即2e =．所以e =，或2e =．故选：C ．【归纳与总结】本题主要考查了双曲线的性质，主要是离心率的求法，注意两直线的夹角问题时要注意考虑两个方面．6．已知0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c b a >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a b c >>【思路分析】由0.08log 0.04a =，0.30.09log 0.2log 0.04b ==，根据对数函数的图象，所以0.04log 0.041b a >>=，0.040.31c =<，得出结论．【解析】：0.08log 0.04a =，0.30.09log 0.2log 0.04b ==，根据对数函数的图象，所以0.04log 0.041b a >>=，0.040.31c =<，故选：B ． 【归纳与总结】考查对数函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，中档题．7．“孙子定理”是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要的定理，又称中国余数定理，最早可见中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，讲的就是关于整除的问题．若正整数N 除以正整数m 的余数为n ，则记为()N n bmodn =，例如72(5)bmod =．下面的问题也是关于整除的问题，执行如图所示的程序框图，则输出的x ，y 的值分别为( )A ．2，2B ．3，1C ．1，3D ．2，3【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x ，y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解析】：模拟程序的运行，可得18n =，0x =，0y =19n =不满足2(n mod =3)，1x =，20n =满足2(n mod =3)，不满足3(n mod =5)，1y =，21n =不满足2(n mod =3)，2x =，22n =不满足2(n mod =3)，3x =，23n =满足2(n mod =3)，满足3(n mod =5)，输出x ，y 的值为3，1．故选：B ．【归纳与总结】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．若332(nx x +的展开式中含有常数项，当n 取最小值时，常数项的值为( )A ．66B ．45C ．55D ．36【思路分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出常数项的值． 【解析】：若332(nx x +的展开式中含有常数项，则11331r n rr nT C x-+=g 中，11303rn -=有解，0r =，1，2，3，n ⋯，即911n r =，故当n 取最小值11时，此时，9r =，常数项的值为92111155C C ==，故选：C ． 【归纳与总结】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．9．已知()sin cos (0f x m x x m ωω=->，0)ω>，()2tan g x x =，若对1x R ∀∈，2[0,]4x π∃∈，使得12()()f x g x „成立，若()f x 在区间[0，]π，上的值域为[1-，2]，则实数ω的取值不可能是( )A ．12B ．23C ．1D ．43【思路分析】()2tan g x x=，[0,]4x π∈，可得()()24max g x g π==．()sin cos (0f x m x x m ωω=->，0)ω>，x R ∈．可得2()1max f x m =+，根据对1x R ∀∈，2[0,]4x π∃∈，使得12()()f x g x „成立，可得()()max max f x g x „．可得03m <„．若()f x 在区间[0，]π，上的值域为[1-，2]，可得3m ．于是()2sin()6f x x πω=-．(0)1f =-．由于()f x 可以取到最大值2，因此62x ππω-…，即可得出． 【解析】：()2tan g x x =，[0,]4x π∈，则()()24max g x g π==．()sin cos (0f x m x x m ωω=->，0)ω>，x R ∈．则()max f x =， Q 对1x R ∀∈，2[0,]4x π∃∈，使得12()()f x g x „成立，可得()()max max f x g x „．∴2，0m >，解得0m <„．若()f x 在区间[0，]π，上的值域为[1-，2]，则m =．()cos 2sin()6f x x x x πωωω∴-=-．(0)1f =-．由于()f x 可以取到最大值2，因此62x ππω-…，23xπω∴…，(0x ∈，]π．23ω∴…．因此实数ω的取值不可能是12．故选：A ．【归纳与总结】本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式、不等式解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知抛物线C 的方程为24x y =，过焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点D ，若||6AB =，则||FD 的值为( ) A ．2B ．C ．3D ．【思路分析】由抛物线的方程可得焦点坐标及准线的方程，设直线AB 的方程（由抛物线的对称性设直线BA 的斜率大于0)与抛物线联立求出两根之和，由抛物线的性质到焦点的距离转化为到准线的距离，进而求出弦长AB 的值，由题意可得直线AB 的斜率，进而求出AB 的中点坐标，求出中垂线的方程，令0x =，求出D 的纵坐标，求出FD 的值 【解析】：由抛物线的方程可得焦点(0,1)F ，准线方程为：1y =-，由抛物线的对称性，设斜率0k >，设直线AB 的方程：1y kx =+，且0k ≠，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与抛物线的方程：214y kx x y =+⎧⎨=⎩整理可得：2440x kx --=， 124x x k ∴+=，所以21212()242y y k x x k +=++=+，所以AB 的中点2(2,21)P k k +再由抛物线的性质可得弦长212||2446AB y y k =++=+=，解得k ， 所以AB 的中点P 2)，所以AB 的中垂线方程为：2y x =+，令0x =，可得4y =，即(0,4)D ，所以||413DF =-=，故选：C ． 【归纳与总结】考查抛物线的性质，属于中档题．11．如图，某几何体的三视图如图所示，其俯视图、侧视图均为直角三角形，其外接球的表面枳为8π，则图中的边长a 的值为( )A ．1B ．2C ．2D ．22【思路分析】画出图形，利用外接球的表面积求解取得半径，然后转化求解a 即可． 【解析】：某几何体的三视图如图所示，其俯视图、侧视图均为直角三角形，其外接球的表面枳为8π，直观图如图：由题意可知外接球的半径为：r ，248r ππ=，2r OP ==，三角形ABC 的外接圆的半径为：1，可得2122()72PC =⨯-=， 所以237a +=，解得2a =．故选：C ．【归纳与总结】本题考查三视图求解几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题． 12．已知函数()2ef x lnx mx n x =--+，若不等式()0f x „对(0,)x ∈+∞恒成立，则n m 的最大值为( )A ．4eB ．2eC ．eD ．2e【思路分析】由题意可得2()2e nlnx m x x m--„对0x >恒成立，设()e g x lnx x =-，()2()2nh x m x m=--，0x >，考虑它们的图象，结合导数的几何意义，以及射线的性质，即可得到所求最大值．【解析】：不等式()0f x „对(0,)x ∈+∞恒成立，即为20e lnx mx n x --+„，即2()2e nlnx m x x m--„对0x >恒成立，设()e g x lnx x =-，由21()0eg x x x'=+>，可得()g x 在(0,)+∞递增，且g （e ）0=，当0x →时，()g x →-∞；x →+∞，()g x →+∞，作出()y g x =的图象，再设()2()2n h x m x m =-，0x >，可得()h x 表示过(2nm，0)，斜率为2m 的一条射线（不含端点），要求n m 的最大值，且满足不等式恒成立，可求2n m 的最大值，由于点(2n m ，0)在x 轴上移动，只需找到合适的0m >，且与()e g x lnx x =-切于点(2nm，0)，如图所示：此时2ne m=，即有n m 的最大值为2e ，故选：D ．【归纳与总结】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和数形结合思想，考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查运算能力和推理能力，属于难题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知函数()sin f x x x =-，若2()(23)0f t f t +-„，则实数t 的取值范围是 {|12}t t 剟 ． 【思路分析】根据题意，分析可得()f x 为奇函数且在R 上为增函数，据此可得22()(23)0320f t f t t t +-⇒-+剟，解可得t 的取值范围，即可得答案．【解析】：根据题意，()sin f x x x =-，则有()()sin()(sin )()f x x x x x f x -=---=--=-，故函数()f x 为奇函数，又由()1cos 0f x x '=-…，则()f x 在R 上为增函数，则2222()(23)0()(23)()(32)320f t f t f t f t f t f t t t +-⇒--⇒-⇒-+剟剟， 解可得：12t 剟，即t 的取值范围为{|12}t t 剟；故答案为：{|12}t t 剟．【归纳与总结】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的单调性，属于基础题．14．已知点P 为不等式0,200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩…„…，所表示的可行域内任意一点，点M 的坐标为(3)-，O 为坐标原点，则||OM OP OP u u u u r u u u r g u u ur 的最大值为 62- ． 【思路分析】画出约束条件的可行域，化简目标函数，利用目标函数的几何意义转化求解即可．【解析】：不等式组所表示的可行域如图：||OM OPOP u u u u r u u u rg u u u r 的几何意义是，向量OM u u u u r 在OP u u u r 上的投影， 由题意可知，投影的最大值在直线0x y -=上，此时75MOA ∠=︒，所以||OMOP OP u u u u r u u u rg u u u r 的最大值为：62||cos752(cos30cos45sin30sin 45)2OM -︒=︒︒-︒︒=u u u u r ．故答案为：622-．【归纳与总结】本题考查线性规划的简单应用，向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．15．已知圆22:(6)9C x y -+=，点M 的坐标为(2,4)，过点(4,0)N 作直线l 交圆C 于A ，B两点，则||MA MB +u u u r u u u r的最小值为 8【思路分析】取AB 的中点H ，连接CH ，可得CH AB ⊥，H 的轨迹为以CN 为直径的圆，求得其圆心和半径，由向量的中点表示和圆外一点与圆上的点的距离的最值性质，计算可得所求最小值．【解析】：取AB 的中点H ，连接CH ，可得CH AB ⊥，H 的轨迹为以CN 为直径的圆，圆心为(5,0)，半径1r =，则||2||MA MB MH +=u u u r u u u r u u u u r ，可得||MH u u u u r 的最小值为22(52)(04)1514-+--=-=，即有||MA MB +u u u r u u u r 的最小值为8．故答案为：8．【归纳与总结】本题考查直线和圆的位置关系，考查圆的垂径定理和圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算能力和转化思想，属于中档题．16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC ∆的面积为23S =，且220b c kbc +-…恒成立，则k 的最小值为43．【思路分析】由ABC ∆的面积为2S =，利用三角形面积计算公式可得21sin2S bc A ==，可得：2a =．利用余弦定理代入上式可得：2cos )3k A A A π+=+…，即可得出．【解析】：ABC ∆的面积为2S =，∴21sin 2S bc A ==，可得：2a 2222cosbc A b c a kbc ∴=+-„．化为：2cos )3k A A A π+=+…，sin()13A π+Q „，k ∴，6A π=时取等号．【归纳与总结】本题考查了三角形面积计算公式、余弦定理、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，已知对任意的正整数n ，m ，当n m >时，2m n m n m S S S --=恒成立．（1）求证：数列{}n a 是等比数列．（2）设(21)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和．【思路分析】本题第（1）题根据正整数n ，m 的任意性，可令1m n =-，则有1112n n n S S S ---=，再根据公式1(2)n n n a S S n -=-…，可计算出数列{}n a 的通项公式，即可证明结论；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{}n b 的通项公式，然后运用错位相减法计算出前n 项和．【解答】（1）证明：由题意，根据正整数n ，m 的任意性，可令1m n =-，则当2n …时，恒有1112n n n S S S ---=成立．即11122(2)n n n a a n --==…， 又11a =Q 满足上式，∴1*2()n n a n N -=∈．故数列{}n a 是等比数列． （2）解：由（1）知，1(21)2n n b n -=+g ．设12n n T b b b =++⋯+，则0121325272(21)2n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋯++⨯，1232325272(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯++⨯，两式相减，可得：123132(2222)(21)2n n n T n --=++++⋯+-+g ，∴12(12)32(21)212n n n T n ---=+⨯-+-g ，∴*(21)21()n n T n n N =-+∈g ．【归纳与总结】本题主要考查等比数列的判别，数列求通项公式，以及运用错位相减法求和．考查了转化思想，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，底面四边形ABCD 为直角梯形，AD BC λ=，//AD BC ，90BCD ∠=︒，M 为线段PB 上一点．（Ⅰ）若13λ=，则在线段PB 上是否存在点M ，使得//AM 平面PCD ？若存在，请确定M点的位置；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）已知2PA =，1AD =，若异面直线PA 与CD 成90︒角，二而角B PC D --的余弦值为1010-，求CD 的长．【思路分析】（Ⅰ）13λ=时，则在线段PB 上是存在点M ，且13PM PB =，使得//AM 平面PCD ．（Ⅱ）如图，过A 作//AN DC 交BC 与N ，以A 为原点，AN 所在直线为x 轴建立空间直角坐标系，设CD a =．求得面PDC 的法向量为(,,)m x y z =r ．面PNC 的法向量为111(,,)n x y z =r．2|cos ,|21054m n a a<>==⇒=⨯+r r．【解析】：（Ⅰ）13λ=时，则在线段PB 上是存在点M ，且13PM PB =，使得//AM 平面PCD ． 理由如下：如图取13CN CB =，连接AN ，MN ．可得//AD CN ，AD CN =，∴四边形ADCN 为平行四边形，//AN CD ∴，M Q ，N 分别为PB ，CN 的三等分点，//MN PC ∴．∴面//AMN 面PCD ，//AM ∴平面PCD ．（Ⅱ）如图，过A 作//AN DC 交BC 与N ，设CD a =．则(0A ，0，0)，(N a ，0，0)，(0P ，0，2)，(0D ，1，0)．(C a ，1，0) (0,1,2)DP =-u u u r ，(,0,0)DC a =u u u r，设面PDC 的法向量为(,,)m x y z =r ．∴200m DP y z m DC ax ⎧=-+=⎪⎨==⎪⎩u u u r r g u u u rr g ⇒(0,2,1)m =r ． (,1,2)CP a =--u u u r ，(0,1,0)CN =-u u u r．设面PNC 的法向量为111(,,)n x y z =r ．1111200n CP ax y z n CN y ⎧=--+=⎪⎨=-=⎪⎩u u u r r gu u u rr g⇒(2,0,)n a =r ．|cos ,|2m n a <>==r r．CD ∴的长为2．【归纳与总结】本题主要考查空间二面角求解和线面平行判定，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．19．（12分）第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项，共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民，武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间的中点值作为代表），求μ，σ的值(μ，σ的值四舍五入取整数），并计算(5193)P X <<．（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于μ的可以获得1次抽奖机会，得分不低于μ的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值15元的纪念品A 的概率为23，抽中价值为30元的纪念品B 的概率为13．现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y 为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y 的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额． （参考数据：()0.6827P X μσμσ-<<+≈；(22)0.9545P X μσμσ-<<+≈；(33)0.9973P X μσμσ-<<+≈．)【思路分析】（1）根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而~(65X N ，214)，根据3σ原则，计算(5193)P X <<即可；（2）列出Y 所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而可得需要的总金额． 【解析】：（1）由已知频数表得：5304050452010()3545556575859565200200200200200200200E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，222222()(3565)0.025(4565)0.15(5565)0.2(7565)0.225(8565)0.1(9565)0.05210D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，由2196225σ<<，则1415σ<<， 而214.5210.5210=>，所以14σ≈， 则~(65X N ，214)，()(22)0.95450.6827(5193)(2)0.818622P X P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<++-<<++∴<<=-<<+===；（2）显然()()0.5P X P X μμ<=>=， 所以有Y 的取值为15，30，45，60，121(15)233P Y ==⨯=，111227(30)2323318P Y ==⨯+⨯⨯=，1211122(45)2332339P Y ==⨯⨯+⨯⨯=，1111(60)23318P Y ==⨯⨯=，Y 15 30 45 60 P1371829118所以()1530456030318918E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=，需要的总金额为200306000⨯=．【归纳与总结】本题考查了利用频率分布表计算平均数，方差，考查了正态分布，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望，主要考查数据分析能力和计算能力，属于中档题．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>离心率为12，点1A ，2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点．过点2F 任作一条不与y 轴垂直的直线与椭圆C 交于N ，N 两点，1MNF ∆的周长为8． （1）求椭圆C 的方程．（2）若直线10t =，2A N 交于点D ，试判断点D 是否在某条定直线x t =上．若是，求出t 的值；若不是，请说明理由．【思路分析】（1）根据题意，2a =，利用离心率公式即可求得c 的值，求得b 的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线MN 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理求得直线1A M 和直线2A N 的方程，联立求得x ，根据韦达定理，化简即可求得4x =，即可求得t 的值．【解析】：（1）由1MNF ∆的周长为8，得：48a =，即2a =．由离心率12c e a ==，可得2234b a =，故23b =．所以椭圆的方程为22143x y +=．（2）设MN 的方程：1()x y R λλ=+∈，与椭圆22:143x y C +=，联立得：22(34)690y y λλ++-=，由韦达定理得：122634y y λλ+=-+，122934y y λ=-+g ，直线111:(2)2y A M y x x =++与222:(2)2y A N y x x =--，联立得：1221212112122[2()]2()y x y x y y x y x y x y y ++-=-++，将111x y λ=+，221x y λ=+代入整理得：1221121222121246242()83()2y y y y y y y y y x y y y y y λλ+--++==+++， 即22224(9)2(6)8(34)4(6)2(34)y x y λλλλλ---++==-++， 即直线1A M 与2A N 的交点D 的横坐标为4， 故点D 在直线4x =上，所以4t =．【归纳与总结】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（12分）函数11()(x f x e ax a e-=--为常数）的图象与x 轴有唯一公共点M ．（1）求函数()f x 的单调区间．（2）若2a =-，存在不相等的实数1x ，2x 满足12()()f x f x =-，证明：120x x +<． 【思路分析】（1）因为(0)0f =，且()f x 与x 轴存在唯一公共点M ，所以M 为(0,0)，再求导得，1()x f x e a -'=-，当0a „时，()f x 单调递增，符合题意；当0a >时，()f x 在(,1)lna -∞+单调递减，在(1,)lna ++∞上单调递增，接下来需要分①10lna +=，②10lna +>，③10lna +<三类进行讨论，验证()f x 与x 轴有唯一公共点(0,0)M ，其中会运用到零点存在定理，而这也是本题的最大难点；（2）当2a =-时，11()2x f x e x e-=+-，因为12()()f x f x =-，所以121112112(2)x x e x e x e e--+-=-+-，结合基本不等式进行化简整理，可得到1212121()0x x e x x e +-++-<，即12()0(0)2x xf f +<=，再结合函数的单调性即可证明．【解析】：（1）函数的定义域为R ，且(0)0f =，由题意可知，函数()f x 与x 轴存在公共点(0,0)M ， 又1()x f x e a -'=-，若0a „，则()0f x '>，()f x 单调递增，符合题意； 若0a >，由()0f x '=，得1x lna =+，当(,1)x lna ∈-∞+时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(1,)x lna ∈++∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，①当10lna +=即1a e=时，()f x 的极小值为(0)0f =，曲线()f x 与x 轴只有一个公共点，符合题意；②当10lna +>即1a e>时，由基本结论“0x >时，2x e x >”，和21a a lna +>>+，知1221(2)(2)(1)210a f a e a a a a a e++=-+->+---=，又(1)(0)0f lna f +<=，由零点存在定理可知，此时函数()f x 在(1,2)lna a ++上有一个零点， 所以()f x 与x 轴有两个公共点，不符合题意；③当10lna +<即10a e <<时，设1()1m a lna ae =++，21()0ae m a a e-'=<，所以m （a ）在1(0,)a e∈上单调递减，所以m （a ）1()10m e >=>，即11lna ae +>-，而111111()()0ae aea f e e ae ae e-----=---=>又(1)(0)0f lna f +<=，由零点存在定理可知，此时函数()f x 在1(ae-，1)lna +上有一个零点，所以()f x 与x 轴有两个公共点，不符合题意； 综上所述，当0a …时，()f x 的单调递增区间为R ，无单调递减区间；当1a e=时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞．（2）当2a =-时，11()2x f x e x e-=+-，由12()()f x f x =-得，121112112(2)x x e x e x e e--+-=-+-，整理得121112222()0x x x x e e e--+++-=，由基本不等式知，1222()0x x e++<，所以1212121()0x x e x x e +-++-<，即12()0(0)2x xf f +<=，而()f x 在R 上单调递增，故1202x x+<，所以120x x +<．【归纳与总结】本题考查利用导数处理函数的单调性、零点问题以及不等式的证明，本题中最大的难点是零点存在定理的运用，考查学生的推理论证能力和运算能力，属于难题． 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的直角坐标方程为2x y =，在以原点2t =为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的参数方程．（2）已知射线:(0,0)l y kx k x =>…与曲线1C ，2C 的交点分别为A ，B ，当||||OA OB g 为2时，求k 的值．【思路分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用三角函数关系式的变换求出结果．【解答】（1）由2x y =得2(cos )sin ρθρθ=，即2cos sin ρθθ=， 所以曲线1C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=； 由2cos ρθ=得22cos ρρθ=， 即2220x y x +-=，即22(1)1x y -+=， 令1cos x θ-=，则sin y θ=，故曲线2C 的参数方程为：1cos ,(sin .x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数） （2）设射线l 的倾斜角为α，则射线l 的参数方程为cos ,(sin x t y t ααα=⎧⎨=⎩为锐角，t 为参数），将l 的参数方程代入曲线1C 的普通方程得：22(cos )sin t t αα=，解得10t =，22sin cos t αα=， 所以222sin sin ||||||cos cos OA t αααα===， 将l 的参数方程代入曲线2C 的普通方程得22cos 0t t α-=，解得10t =，22cos t α=，所以2|||||2cos |2cos OB t αα===，所以2sin ||||2cos 2tan 2cos OA OB k αααα===g g ，所以22k =，即1k =． 【归纳与总结】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2|||f x x x a =-+-，()6f x …的解集为{|0x x „或6}x …． （1）求a 的值．（2）若()f x 的最小值为t ，且两正数m ，n 满足22m n t +=，求证：14924m n +…． 【思路分析】（1）由题意可得0，6为方程|2|||6x x a -+-=的两个实根，解a 的方程组可得a 的值，检验可得所求值；（2）应用绝对值不等式的性质求得最小值t ，再由乘1法和基本不等式，化简即可得证． 【解析】：（1）由()6f x …得|2|||6x x a -+-…， 因其解集为{|0x x „或6}x …，则0，6为方程|2|||6x x a -+-=的两个实根， |02||0|6,:|62||6|6,a a -+-=⎧⎨-+-=⎩即2||6,4|6|6,a a +=⎧⎨+-=⎩解得4a =， 经检验，当4a =时，()|2||4|f x x x =-+-，。

2020届湖北省华大新高考联盟高三4月教学质量检测试卷理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为,所以；因为所以,选B.2. 设复数满足，则（）A. 2B.C.D. 1【答案】C【解析】因为，所以因此选C.3. ①只有甲参加，乙和丙才会在一起吃饭；②甲只到自己家附件的餐馆吃饭，那里距市中心有几公里远；③只有乙参加，丁才会去餐馆吃饭.若以上叙述都正确，则下列论断也一定正确的是（）A. 甲不会与丁一起在餐馆吃饭B. 丙不会与甲、丁一起在餐馆吃饭C. 乙不会在市中心吃饭D. 丙和丁不会一起在市中心吃饭【答案】D【解析】若甲与丁一起在餐馆吃饭，则甲乙丙丁都在餐馆吃饭.这种情况可以发生；若丙与甲、丁一起在餐馆吃饭，则甲乙丙丁都在餐馆吃饭.这种情况可以发生；若乙在市中心吃饭，则甲不在市中心吃饭，丙不在市中心吃饭，这种情况可以发生；4. 在某校高三年级的高考全真模拟考试中，所有学生考试成绩的取值(单位:分)是服从正态分布的随机变量，模拟“重点控制线”为490分（490分及490分以上都是重点），若随机抽取该校一名高三考生，则这位同学的成绩不低于“重点控制线”的概率为（）(附：若随机变量服从正态分布，则，，)A. 0.6826B. 0.6587C. 0.8413D. 0.3413【答案】C【解析】因为，所以，即,选C.5. 秦久韶算法是中国古代数学史上的—个“神机妙算”，它将一元次多项式转化为个一次式的算法，大大简化了计算过程，即使在现代用计算机解决多项式求值问题时，秦久韶算法依然是最优的算法.如图所示的程序框图展示了求值的秦久韶算法，那么判断框可以填入的条件的输出的结果表示的值分别是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以选A.6. 某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体，如图，体积为选B.7. 函数的大致图像有可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，,所以去掉B,C;因为,所以去掉D，选A.8. 锐角的外接圆半径为1，,，且满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为因为，所以即，因此或，或，因为，所以，即，选C.9. 展开式中除—次项外的各项系数的和为（）A. 121B.C. 61D.【答案】B【解析】因为展开式中—次项系数为所以展开式中除—次项外的各项系数的和为，选B.点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.10. 已知以双曲线的右焦点为圆心，以为半径的圆与直线交于两点，若，求双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.【答案】D【解析】因为右焦点到直线的距离为，所以,选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11. 将函数图象上的点向右平移个单位长度后得到点，若点在函数的图象上，则（）A. 的最小值为B. 的最小值为C. 的最小值为D. 的最小值为【答案】A【解析】因为，所以或因此或即的最小值为，选A.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.12. 若，函数有两个极值点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为为两根，因此，从而令，解得，故当时，；当时，；因此的取值范围为，选A.点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若是夹角为的单位向量，向量，且，则__________．（用弧度制表示）【答案】【解析】因为所以14. 设满足约束条件，则的取值范围为__________．（用区间表示）【答案】【解析】作可行域，则直线过点A(1,0)时取最大值3，过点B(0,1)时取最小值-2，因此的取值范围为.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15. 已知二面角的大小为，点，点在内的正投影为点，过点作，垂足为点，点，点，且四边形满足.若四面体的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为__________．【答案】【解析】因为，所以四点共圆，直径为AC.因为PA垂直平面，，所以由三垂线定理得，即为二面角的平面角，即设球的半径为R，则点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.16. 设抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，与抛物线准线交于点，若，则AF=__________．【答案】2【解析】设，则由得，由得，所以（舍去负值），因此.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列为单调递增数列，，其前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式；（2）若数列，其前项和为，若成立，求的最小值.【答案】（1）；（2）10【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等差数列定义及其通项公式得数列的通项公式；（2）先根据裂项相消法求，再解不等式得，即得的最小值.试题解析：（1）由知：，两式相减得: ，即，又数列为单调递增数列，，∴，∴，又当时，，即，解得或 (舍），符合，∴是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴.（2），∴，又∵，即，解得，又，所以的最小值为10.18. 如图，四棱锥中，为等边三角形，，平面平面，点为的中点，连接.（1）求证:平面PEC平面EBC；（2）若，且二面角的平面角为，求实数的值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）设为中点，先由等边三角形性质得根据面面垂直性质定理得平面，再根据面面垂直判定定理得结论，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，由向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补得方程，解得实数的值.试题解析：（1）证明：∵为等边三角形，为中点，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，而平面，∴平面平面.（2）如图，在平面中，作交于点.易知，以分别为轴建立空间直角坐标系.设，则，∴，，易知，平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，即不妨令，解得，由题知：，解得.19. 随着“北京八分钟”在韩国平昌冬奥会惊艳亮相，冬奥会正式进入了北京周期，全社会对冬奥会的热情空前高涨.（1）为迎接冬奥会，某社区积极推动冬奥会项目在社区青少年中的普及，并统计了近五年来本社区冬奥项目青少年爱好者的人数（单位：人）与时间（单位：年），列表如下：依据表格给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明(计算结果精确到0.01).(若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式，参考数据.（2）某冰雪运动用品专营店为吸引广大冰雪爱好者，特推出两种促销方案.方案一:每满600元可减100元；方案二:金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率同为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折. v两位顾客都购买了1050元的产品，并且都选择第二种优惠方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；②如果你打算购买1000元的冰雪运动用品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）先求均值，再代入公式得r，最后与参考数据比较即可作出判断，（2）①可以根据对立事件概率关系求解，即先求顾客没有中奖概率，再用1减即得结果，②先确定方案二中随机变量取法，再分别求对应概率，最后根据数学期望公式求期望，比较与方案一数值即可作出判断.试题解析：（1）由题知，，，，∴.∴与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合.（2）①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次，设顾客没有中奖为事件，则，故所求概率为.②若选择方案一，则需付款元，若选择方案二，设付款元，则可能取值为700,800,900，1000.；；；.∴元，∵，∴选择方案二更划算.20. 已知椭圆的离心率为，是椭圆上的两个不同点.（1）若，且点所在直线方程为，求的值；（2）若直线的斜率之积为，线段上有一点满足，连接并廷长交椭圆于点，求的值.【答案】(1) ；（2）【解析】试题分析：（1）设，由得，化简得，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得的值；（2）根据条件得，设，则得点,代入椭圆方程，利用，，以及由直线斜率之积为，得，代入化简可得的值.试题解析：（1）由题知，∴，∴椭圆的方程为.设，将直线代入椭圆方程得:，∴由韦达定理知:.∵，∴，即，将代入得，即，解得，又∵，∴.（2）设，，由题知，∴，∴.又∵，∴，即.∵点在椭圆上，∴，即.∵在椭圆上，∴，① ，②又直线斜率之积为，∴，即，③将①②③代入得，解得.21. 已知函数.（1）若，证明:；（2）若只有一个极值点，求的取值范围，并证明:.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）构造函数利用导数易得，即证得结论，（2）研究导函数零点，先求导数，再根据导函数零点，根据a的正负分类讨论：当时，单调，再根据零点存在定理得有且仅有一个零点；当时，先增后减，再根据零点存在定理得有且仅有两个零点；最后研究极值点函数值范围：继续利用导数研究函数单调性，根据单调性确定取值范围.试题解析：（1）∵，∴要证，即证.设，令得，且，单调递増；，单调递减，∴，即成立，也即.（2）设，.①当时，令得;.，单调递増；，单调递减.若，恒成立，无极值；若，即，∴.∵，∴由根的存在性定理知，在上必有一根.∵，下证：当，.令，∴.当时，单调递増；当时，单调递减，∴当时，，∴当时，，即，由根的存在性定理知，在上必有一根.此时在上有两个极值点，故不符合题意.②当时，恒成立，单调递增，当时，；当时，，下证：当时，.令，∵在上单调递减，∴，∴当时，，∴由根的存在性定理知，在上必有一根.即有唯一的零点，只有一个极值点，且，满足题意.∴.由题知，又，∴，∴.设，，当，单调递减，∴，∴成立.22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中有射线和曲线. （1）判断射线和曲线公共点的个数；（2）若射线与曲线交于两点，且满足，求实数的值.【答案】（1）一个；（2）2【解析】试题分析：（1）根据三角函数平方关系得曲线直角坐标方程，根据将射线极坐标方程化为直角坐标方程，再根据直线与圆联立方程组解交点，即得个数，（2）将代入曲线的方程，并由韦达定理得，再由得，解得实数的值.试题解析：（1）直线的直角坐标方程为，曲线是以为圆心，以为半径的圆，其直角坐标方程为：，联立解得，直线与曲线有一个公共点.（2）将代入曲线的方程得:，即，由题知，解得.设方程两根分别为，则由韦达定理知: ，由知，即，∴.23. 已知，函数的最小值为3.（1）求的值；（2）若,且，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据绝对值三角不等式得最小值为，再解方程可得的值；（2）代入化简不等式右边得,再根据作差法可得，即可证得结果. 试题解析：（1）由知：，解得或（舍）. （2）由（1）知，又，∴，同理，，∴.。

普通高中2019年第二学期高三年级教学质量检测卷理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|316,}xA x x N =<∈，2{|540}B x x x =-+<，则()R AC B 的真子集个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．72．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若2()z z z i =+，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ．1i - 3．若61(2)x x+展开式的常数项为（ ）A ．120B ．160C ．200D ． 2404．若101()2a =，121()5b -=，15log 10c =，则,,a b c 大小关系为（ ）A ． a b c >>B ．a c b >>C ． c b a >>D ．b a c >>5．如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．93+．97+． 105+ D ．109+6．“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图（图中“aMODb ”表示a 除以b 的余数），若输入的,a b 分别为675,125，则输出的a =（ ）A ． 0B ． 25C ． 50D ．757．将函数2()2sin cos f x x x x =--(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ） A ．23π B ．3π C ． 2π D ．6π 8．某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高二抽取样本数分别为,a b ，且直线80ax by ++=与以(1,1)A -为圆心的圆交于,B C 两点，且120BAC ∠=，则圆C 的方程为（ ） A ．22(1)(1)1x y -++= B ．22(1)(1)2x y -++= C ． 2218(1)(1)17x y -++=D ．2212(1)(1)15x y -++= 9．已知,x y 满足约束条件204230x y ax y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，目标函数23z x y =-的最大值是2，则实数a =（ ）A ．12 B ．1 C ． 32D ．4 10．已知正三棱锥A BCD -的外接球半径2R =，,P Q 分别是,AB BC 上的点，且满足5AP CQPB QB==，DP PQ ⊥，则该正三棱锥的高为（ ） A ．C ．D．11．已知抛物线21:8(0)C y ax a =>，直线l 倾斜角是45且过抛物线1C 的焦点，直线l 被抛物线1C 截得的线段长是16，双曲线2C ：22221x y a b-=的一个焦点在抛物线1C 的准线上，则直线l 与y 轴的交点P到双曲线2C 的一条渐近线的距离是（ ） A ．2 BC ．D ．112．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为'()f x ，则命题:P “12,x x R ∀∈，且12x x ≠，1212()()||2017f x f x x x -<-”是命题Q ：“x R ∀∈，'|()|2017f x <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充要条件D ．既不充分也必要条件第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量(1,)a m =-，(0,1)b =，若向量a 与b 的夹角为3π，则实数m 的值为 ． 14．已知1sin()33πα-=(0)2πα<<，则sin()6πα+= ． 15．在区间[0,1]上随机地取两个数,x y ，则事件“5y x ≤”发生的概率为 ． 16．已知在平面四边形ABCD中，AB =2BC =，AC CD ⊥，AC CD =，则四边形ABCD面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 已知各项均不相等的等差数列{}n a 满足11a =，且125,,a a a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）若*11(1)()nn n n n n a a b n N a a +++=-∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18． 某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为100分）． （1）求图中a 的值；（2）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ．19． 如图1，四边形ABCD 中，AC BD ⊥，2222CE AE BE DE ====，将四边形ABCD 沿着BD 折叠，得到图2所示的三棱锥A BCD -，其中AB CD ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面BAD ；（2）若F 为CD 中点，求二面角C AB F --的余弦值．20． 设点M 到坐标原点的距离和它到直线:(0)l x m m =->的距离之比是一个常数2． （1）求点M 的轨迹；（2）若1m =时得到的曲线是C ，将曲线C 向左平移一个单位长度后得到曲线E ，过点(2,0)P -的直线1l 与曲线E 交于不同的两点1122(,),(,)A x y B x y ，过(1,0)F 的直线,AF BF 分别交曲线E 于点,D Q ，设AF FD α=，BF FQ β=，,R αβ∈，求αβ+的取值范围．21． 设函数()ln(1)(2)f x x x a x =---．（1）若2017a =，求曲线()f x 在2x =处的切线方程； （2）若当2x ≥时，()0f x ≥，求α的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程是22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为4cos()4πρθ=+． （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x a a =-+．（1）若不等式()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使()()f n m f n ≤--成立，求实数m 的取值范围．试卷答案1.B 【解析】因为316,xA x x =<∈N {}0,1,2=，2540B x x x =-+<={}14x x <<， 故{}14B x x x =≤≥R 或ð，故(){}0,1A B =R I ð，故()R A B I ð的真子集个数为3，故选B. 2.C 【解析】设z a bi =+，(,)a b R ∈，则z a b i =-，又()2z z z i⋅=+，()()22221a b a b i ∴+=+-+，1,1,a b ∴==故1z i =+.故选C.3.B 【解析】61(2)x x+，展开式中的第1r +项为6261661()(2)2r r r r r r r T C x C x x--+=⋅⋅=⋅⋅， 令260r -=可得3r =，故展开式中的常数项为160．4.D 【解析】100110()()122<<=，即01a <<，同理1b >，而0c <，因此b a c >>．5. C 【解析】该几何体由一个三棱柱和一个正方体拼接而成，故所求几何体的表面积为3344461052S =⨯+⨯+⨯⨯= C.6. B 【解析】开始a =675, b =125;第一次循环：c =50, a =125, b =75;第二次循环：c =50, a =75,b =50;第三次循环：c =25, a =50, b =25; 第四次循环：c =0, a =25, b =0.退出循环，输出a =25. 7. D 【解析】()2sin 22cos(2)6f x x x x π=-=+图象向左平移(0)t t >个单位得到()2cos(22)6f x x t π=++为奇函数，所以2t 最小值3π,6t π=.选D.8.C 【解析】由分层抽样方法知抽样比例为25:1，故从高一、高三抽取40,24，故a=40,b=24,∴直线80ax by ++=为402480x y ++=，化简为5310x y ++=，圆心(1,1)A -到直线l 的距离为d ==R 2218(1)(1)17x y -++=.9.A 【解析】不等式组20230x y x y --⎧⎨-+⎩≤≥表示的平面区域如图中直线230x y -+=与直线20x y --=所夹的点A的左边部分，由于目标函数23z x y =-的最大值是2，作出直线232x y -=见图中虚线，可知点C 是直线20x y --=与232x y -=的交点，从而知点C 是不等式组204230x y ax y x y --⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥表示的平面区域的最下方的一个点，直线4ax y +=过定点(0,4)B 又过点(4,2)C ，所以得12a =.10.A 【解析】易知正三棱锥A BCD -中对棱互相垂直，则有AC BD ⊥，因为5AP CQPB QB==，所以//PQ AC ，而DP PQ ⊥，所以DP AC ⊥，所以AC ⊥平面ABD ，又因为该三棱锥是正三棱锥，所以正三棱锥A BCD -的三条侧棱相等且互相垂直，将正三棱锥A BCD -补成一个正方体，则正方体的体对角线就是其外接球直径，故2R =. 11．D 【解析】由题意得直线l 的方程是2y x a =-，由228y x a y ax=-⎧⎪⎨=⎪⎩得221240x ax a -+=，又由直线l 被抛物线1C 截得的线段长是16，得812162aa +=，得1a =，从而知抛物线1C 的准线方程是2x =-，由题意可以得双曲线的一个焦点是(2,0)-，即有2c =，222413b c a =-=-=，∴双曲线2C的渐近线方程是y =.又知点(0,2)P -，从而有1d ==，故选D.12.B 【解析】因为12,x x R ∀∈，且12x x ≠，所以不妨设12x x <，则由1212()()||2017f x f x x x -<-可得1221|()()|20172017f x f x x x -<-，于是12211212()()20172017()()20172017f x f x x x f x f x x x -<-⎧⎨->-⎩，即11221122()2017()2017()2017()2017f x x f x x f x x f x x +<+⎧⎨->-⎩.构造函数()()2017g x f x x =+，则由单调性的定义可知()g x 在R 上单调递增，所以()()20170g x f x ''=+≥在R 上恒成立，即()2017f x '≥-在R 上恒成立，同理可证()2017f x '≤在R 上恒成立，所以P 等价于“x R ∀∈|()|2017f x '≤”，显然Q 是P 的真子集，所以P 推不出Q ，而Q 可以推出P ，所以P 是Q 的必要不充分条件.【解析】由cos ,||||⋅<>=a b a b a b，得1cos 32π，从而解得m或m =.14.3【解析】因为1c o s ()c o s [()]s i n ()62333ππππααα+=--=-=，且α为锐角，所以sin()63πα+==. 15.16【解析】在区间[]0,1上随机地取两个数x 、y 构成的区域的面积为1，事件“5y x ≤”发生构成的区域的面积为15610011|66x dx x ==⎰，所以所求概率为16．16.3+【解析】设,(0,)ABC θθπ∠=∈，则在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos 6AC AB BC AB BC θθ=+-⋅=-，从而四边形ABCD 的面积1(sin )2ABC ACD S S S AB BC AC CD θ∆∆=+=⋅⋅+⋅，化简得16)2S θθ=+-32cos )θθ=-3)θϕ=+-，其中tan 2ϕ=，当sin()1θϕ-=时，S取得最大值317.【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得2215a a a =，即2(1)14d d +=+，解得2d =或0d =（舍），所以21n a n =-. （Ⅱ）由21n a n =-，可得11411(1)(1)(1)()(21)(21)2121nn n n n n n n a a n b a a n n n n +++=-=-=-+-+-+，当n 为偶数时，111111112(1)()()()13355721212121n nS n n n n =--+++--+++=-+=--+++. 当n 为奇数时，1n +为偶数，于是1111111122(1)()()()13355721212121n n S n n n n +=--+++--+-+=--=--+++. 18.【解析】 (Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知(20.0200.0300.040)101a +++⨯=，故0.005a =.(Ⅱ)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.200.050.25+=， 故晋级成功的人数为1000.2525⨯=（人）， 故填表如下根据上表数据代入公式可得22100(1641349) 2.613 2.0722*******K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关．（III ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为10.250.75-=，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75， 故X 可视为服从二项分布，即3(4,)4X B :，4431()()()(0,1,2,3)44kk k P X k C k -===，故0044311(0)()()44256P X C ===，1134313(1)()()4464P X C === ， 22243154(2)()()44256P X C === ，331431108(3)()()44256P X C ===， 44043181(4)()()44256P X C ===，()434E X =⨯= 或（()01234325664256256256E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19.【解析】（Ⅰ）因为AE BD ⊥且BE DE =，可得ABD ∆为等腰直角三角形， 则AB AD ⊥，又AB CD ⊥，且AD CD ⊂、平面ACD ，AD CD D =，故AB ⊥平面ACD ，又AB ⊂平面BAD ， 所以平面ACD ⊥平面BAD .（Ⅱ）以E 为原点，以EC 的方向为x 轴正方向，ED 的方向为y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.过A 点作平面BCD 的垂线，垂足为G ，根据对称性，显然G 点在x 轴上，设AG h =.由题设条件可得下列坐标：(0,0,0)E ，(2,0,0)C ，(0,1,0)B -，(0,1,0)D，)A h ，1(1,,0)2F .(1)BA h =，(2,1,0)DC =-，由于AB CD ⊥，所以2110BA DC ⋅==，解得h =A 点坐标为1(2A . 由于1(2BA =，3(1,,0)2BF =，设平面ABF 的法向量(,,)u a b c =，由0u BA ⋅=及0u BF ⋅=得10,230,2a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令9a =，由此可得(9,u =-.由于AD AB ⊥，AD AC ⊥，则2(1,DA =-为平面ABC 的一个法向量，则·(2)cos ,251202u DA u DA u DA===，因为二面角C AB F --为锐角， 则二面角C AB F --的余弦值为5. 20.【解析】（Ⅰ）过点M 作MH l ⊥，H 为垂足， 设点M 的坐标为(,)x y，则|||||OM MHx m ==+，又||||OM MH =|x m +， 故点M 的轨迹方程为22211022x y mx m +--=. 可化为2222()12x m y m m-+=，显然点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆. （Ⅱ）1m =时，得到的曲线C 的方程是22(1)12x y -+=， 故曲线E 的方程是2212x y +=.设1122(,),(,)A x y B x y ,33(,)D x y ，则1133(1,),(1,)AF x y FD x y =--=-， 由AF FD α=，得13y y α-=，即13y y α=-.当AD 与x 轴不垂直时，直线AD 的方程为11(1)1y y x x =--，即111(1)x y y x y -+=，代入曲线E 的方程并注意到221112x y +=，整理可得221111(32)2(1)0x y y x y y -+--=，则2113132y y y x =--，即11332y x y -=-，于是132x α=-.当AD 与x 轴垂直时，A 点的横坐标为11x =，1α=，显然132x α=-也成立. 同理可得232x β=-.设直线1l 的方程为(2)y k x =+，联立22(2)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 整理得2222(21)8820k x k x k +++-=，由0k ≠及2222(8)4(21)(82)0k k k ∆=-+->，解得2102k <<. 又2122821k x x k +=-+，则121228323262()14(6,10)21x x x x k αβ+=-+-=-+=-∈+.故求αβ+的取值范围是(6,10).21.【解析】（Ⅰ）当2017a =时，()ln(1)2017(2)f x x x x =---， 则()ln(1)20171xf x x x '=-+--，所以(2)220172015f '=-=-， 又(2)000f =-=，所以曲线()f x 在2x =处的切线方程为02015(2)y x -=--.，即20154030x y +-=.（Ⅱ）由()0f x ≥得ln(1)(2)0x x a x ---≥，而2x ≥， 所以(2)ln(1)0a x x x ---≥，设函数(2)()ln(1)(2)a x g x x x x-=--≥， 于是问题 转化为()0g x ≥，对任意的2x ≥恒成立. 注意到(2)0g =，所以若()0g x '≥，则()g x 单调递增，从而()(2)0g x g ≥=.而2221(2)2(1)()1(1)ax a x x a x g x x x x x ----'=-=--，所以()0g x '≥等价于22(1)0x a x --≥， 分离参数得211[(1)2]2(1)21x a x x x ≤=-++--， 由均值不等式可得11[(1)2]221x x -++≥-， 当且仅当2x =时等号成立，于是2a ≤. 当2a >时，设2()2(1)h x x a x =--，因为(2)422(2)0h a a =-=->，又抛物线2()2(1)h x x a x =--开口向上， 所以函数2()2(1)h x x a x =--有两个零点，设两个零点为12,x x ，则122x x <<，于是当2(2,)x x ∈时，()0h x <，故()0g x '<，所以()g x 单调递减，故()(2)0g x g <=，这与题设矛盾，不合题意.综上，a 的取值范围是(,2]-∞.22.【解析】（Ⅰ）∵4cos()4πρθθθ=+=-，∴2cos sin ρθθ=-，∴圆C的直角坐标方程为220x y +-+=，即22((4x y -++=∴圆心的直角坐标为.（Ⅱ）直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为== ∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值为.23.【解析】（Ⅰ）由|2|6x a a -+≤得，|2|6x a a -≤-,∴626a x a a -≤-≤-,即33a x -≤≤,∴32a -=-,∴1a =.（Ⅱ）由（1）知()|21|1f x x =-+,令()()()n f n f n ϕ=+-,则()124,211212124,22124,2n n n n n n n n ϕ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩，∴()n ϕ的最小值为4， ∴实数m 的取值范围是[4,)+∞.。