正线性方程组正解的判别

第四章线性方程组考试要求l ．会用克拉默法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5．掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．一、克莱姆法则（方程的个数=未知数的个数）1. 线性方程组1111221121122222n n n n a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨""""""""AX b ⇔=1122n n nn n na x a x a xb ⎪⎪+++=⎩"1212(),(,,,),(,,,)T Tij n n n n A a b b b b X x x x ×===""其中((|)0)|R A A n =≠⇔()1方程组有唯一的解,1,2,,,ii A x i n A=="A i A i b 是｜｜中的第列换成所得。

2.0AX =||0A ≠⇔方程组只有唯一的零解；||0A =⇔方程组有无穷多解（当然有非零解）例1 设线性方程组12341234123412342313633153510121x x x x x x x x x x kx x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨−−+=⎪⎪−−+=⎩问k 取何值时该方程组有唯一解?解系数行列式112313612260311501k A k −==≠−−2k ⇔≠151012−−充分必要条件是方程组有唯一的解。

例2 已知123123222123000x x x ax bx cx a x b x c x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩(1),,a b c 满足何种条件时,方程组只有零解?(2),,a b c 满足何种条件时,方程组有无穷多解?111222()()()A ab c c a c b b a a b c ==−−−解(1),,a b c 互不相等时,方程组只有零解。

第三章 线性方程组本章说明与要求:本章主要介绍线性方程组的基本概念以及求解线性方程组的消元法，并由此引出矩阵及其初等变换的有关概念．讨论一般的n 元线性方程组的求解问题．一般的线性方程组的形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111(I)方程的个数m 与未知量的个数n 不一定相等，对于线性方程组(I )，需要研究以下两个问题：(1) 怎样判断线性方程组是否有解？即它有解的充分必要条件是什么？(2) 方程组有解时，它究竟有多少个解及如何去求解？。

本章重点：解线性方程组；线性方程组解的判定.。

本章难点：用矩阵的初等变换解线性方程组；线性方程组解的判定.§1 线性方程组的消元法解二元、三元线性方程组时曾用过加减消元法，实际上是解一般n 元线性方程组的最有效的方法．下面通过例子介绍如何用消元法解一般的线性方程组．例1．求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-5212253321321321x x x x x x x x x(1)解：交换第一、三两个方程的位置： ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=--2531252321321321x x x x x x x x x第一个方程乘以(–1)加于第二个方程，第一个方程乘以(–3)加于第三个方程，得：⎪⎩⎪⎨-=+-=+1385433232321x x x x第二个方程乘以(–5)加于第三个方程，得⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=--774352332321x x x x x x(2) 第三个方程乘以(–71)，求得x 3=–1，再代入第二个方程，求出x 2=–1，最后求出x 1=2．这样就得到了方程组(1)的解：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==112321x x x方程组(2)称为阶梯形方程组．如果在本例中，把原方程组中的第一个方程改为2x 1–3x 2+ x 3=6，得到一个新的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-5212632321321321x x x x x x x x x(3)用类似的方法，可以把方程组化为 ⎩⎨⎧-=+=+-431232321x x x x x (4)即 ⎩⎨⎧--=--=32313453x x x x 显然，此方程组有无穷多个解．如果在本例中，把原方程组的第一个方程改为2x 1–3x 2+ x 3=5，作出新的方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-5212532321321321x x x x x x x x x(5)用类似的方法，可得到⎪⎩⎪⎨-=-=+104332321x x (6)显然方程组无解． 上面的方法具有一般性，即无论方程组只有一个解或有无穷个解还是没有解，都可用消元法将其化为一个阶梯形方程组，从而判断出它是否有解．分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所作的变换，也只是由以下三种基本的变换所构成：1. 交换方程组中某两个方程的位置；2. 用一个非零数乘某一个方程；3. 用一个数乘某一个方程后加到另一个方程上．这三种变换称为线性方程组的初等变换．用消元法解线性方程组的过程就是对线性方程组反复地实行初等变换的过程．方程组(I)的全部解称为(I)的解集合．如果两个方程组有相同的解集合，就称它们是同解的或等价的方程组．现在证明：初等变换把方程组变成与它同解的方程组．考虑线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (I)我们只对第三种变换来证明．为简便起见，不妨设把第二个方程乘以数k 后加到第一个方程上，这样，得到新方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=++++++mn mn m m n n n n n b x a x a x a b x a x a x a kb b x ka a x ka a x ka a 22112222212121212221212111)()()( (I ' ) 设x i =c i (i =1，2，…，n )是(I)的任意一个解．因(I)与(I ' )的后m –1个方程是一样的，所以，x i =c i (i =1，2，…，n )满足(I ' )的后m –1个方程 ．又x i =c i (i =1，2，…，n )满足(I)的前两个方程，所以有⎩⎨⎧=+++=+++22222211211122121111b x c a x c a x c a b x c a x c a x c a n n n n n n 把第二式的两边乘以k ，再与第一式相加，即为21212221212111)()()(kb b c ka a c ka a c ka a n n n +=++++++这说明x i =c i (i =1，2，…，n )又满足(I')的第一个方程，故x i =c i (i =1，2，…，n )是(I')的解．类似地可以证明(I ')的任意一个解也是(I)的解，这就证明了(I) 与(I ')是同解的．容易证明另外两种初等变换，也把方程组变成与它同解的方程组．下面来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组．对于方程组(I)，首先检查x 1的系数．如果x 1的系数a 11， a 21， … ， a m 1全为零，那么方程组(I)对x 1没有任何限制，x 1就可以任意取值，而方程组(I)可看作x 2， …， x n 的方程组来解．如果x 1的系数不全为零，不妨设a 11≠0不等于零，否则可利用初等变换1，交换第一个方程与另一个方程的位置，使得第一个方程中x 1的系数不为零．然后利用初等变换3，分别把第一个方程的)(111a a i -倍加到第i 个(i =2，3，…， m )方程，于是方程组(I)变成 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+++m n mn m n n n n b x a x a b x a x a b x a x a x a 222222*********(Ⅱ) 其中 n j m i a a a a a j i ij ij ,,2 ,,,2 ,'1111⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=-= 显然方程组(Ⅱ)与(Ⅰ)是同解的．对方程组(Ⅱ)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步一步做下去，必要时改变未知量的次序，最后就得到一个阶梯形方程组．为了讨论方便，不妨设所得到的阶梯形方程组为⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====++=++++=++++++000001222222111212111r r n rn r rr n n r r n n r r d d x c x c d x c x c x c d x c x c x c x c (Ⅲ)其中c ii ≠0， i =1，2，…，r ．方程组(Ⅲ)中“0 = 0”是一些恒等式，可以去掉，并不影响方程组的解．我们知道，(I)与(Ⅲ)是同解的，根据上面的分析，方程组(Ⅲ)是否有解就取决于第r +1个方程0 = d r +1是否矛盾，于是方程组(I)有解的充分必要条件为d r+1= 0．在方程组有解时，分两种情形：1) 当r =n 时，阶梯形方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++n n nn n n n n d x c d x c x c d x c x c x c 2222211212111 (Ⅳ)其中c ii ≠0， i =1，2，…， n ．由克莱姆法则(Ⅳ)有唯一解，从而(I)有唯一解．例如 前面讨论过的方程组(1)⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-5212253321321321x x x x x x x x x经过一系列的初等变换后，变为阶梯形方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=--774352332321x x x x x x这时方程的个数等于未知量的个数，方程组的唯一解是⎪⎩⎪⎨⎧-=-==112321x x x2) 当 r <n 时，这时阶梯形方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++++=++++++++++++211221122222111111212111d x c x c x c d x c x c x c x c d x c x c x c x c x c n rn r rr r rr n n r r r r n n r r r r其中 c ii ≠0， i =1，2，…， r ， 写成如下形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=++---=+++++++++n rn r rr r rr n n r r r r n r r n r r x c x c d x c x c x c d x c x c x c x c d x c x c x c 112211222222111111212111(Ⅴ)当x r+1，…，x n 任意取定一组值，就唯一确定出x 1，…，x r 值，也就是定出方程组(Ⅴ)的一个解，一般地，由(Ⅴ)可以把x 1，x 2…，x r 的值由x r+1，…，x n 表示出来．这样表示出来的解称为方程组(I)的一般解，因x r+1，…，x n 可以任意取值，故称它们为自由未知量．显然，(Ⅴ)有无穷多个解，即(I)有无穷多个解．如上面讨论过的方程组(3)⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-5212632321321321x x x x x x x x x经过一系列的变换后，得到阶梯形方程组⎩⎨⎧-=+=+-431232321x x x x x 将x 1，x 2用x 3表示出来即有⎩⎨⎧--=--=32313453x x x x 这就是方程组(3)的一般解，而x 3是自由未知量．用消元法解线性方程组的过程，归纳起来就是，首先用初等变换把方程组化为阶梯形方程组，若最后出现一些等式“0 = 0”，则将其去掉．如果剩下的方程当中最后一个方程是零等于一个非零的数，那么方程组无解，否则有解．方程组有解时，如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数，则方程组有唯一解；如果阶梯形方程组中方程个数小于未知量的个数，则方程组有无穷多个解．当线性方程组(1)中的常数项b 1= b 2=…= b m = 0时，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a(Ⅵ)称为齐次线性方程组．显然，齐次线性方程组是一定有解的．因为x 1= x 2=…= x n =0就是它的一个解．这个解称为齐次方程组的零解．我们所关心的是它除了零解之外，还有没有非零解？把上述对非齐次线性方程组讨论的结果应用到齐次线性方程组，就有如下定理．定理 在齐次线性方程组(Ⅵ)中，如果m<n ，则它必有非零解．证明：因为(Ⅵ)一定有解，又r ≤m<n ，所以它有无穷多个解，因而有非零解．§2 线性方程组有解判别定理从消元法解线性方程组的过程中可看到，在对方程组作初等变换时，只是对方程组的系数和常数项进行运算，而未知量并没有参加运算，也就是说，线性方程组的解仅仅依赖于方程组中未知量的系数与常数项．因此，在用消元法解线性方程组时，为了书写简便起见，可以只写出方程组的系数和常数项．通常把方程组(I)的系数和常数项写成下列表格的形式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅m mn m m n n b a a a b a a a b a a a 21222221111211表中的第i 行代表方程组(I)的第i 个方程，第j 列表示x j 的系数，最后一列表示常数项．这个表称为线性方程组(I)的增广矩阵．去掉最后一列，得到另一个表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211它称为线性方程组的系数矩阵．已知用消元法解线性方程组就是对方程组反复地施行初等变换，反映在矩阵上，就是1) 交换矩阵的某两行的位置；2) 用一个非零的数去乘矩阵的某一行；3) 用一个数乘某一行后加到另一行上．这三种变换称为矩阵的初等行变换．类似地，有1’) 交换矩阵的某两列的位置；2’) 用一个非零的数去乘矩阵的某一列；3’) 用一个数乘某一列后加到另一列上．1’) ，2’) ，3’)称为矩阵的初等列变换．矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换．利用方程组的初等变换把线性方程组化为阶梯形方程组，相当于用矩阵的初等行变换至多利用第一种列变换，把方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵．这一节我们利用矩阵秩的概念来讨论线性方程组解的情况．设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111(1)的系数矩阵和增广矩阵分别为A 和A ， 即 A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211， A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅m mn m m n n b a a a b a a a b a a a 21222221111211． 定理1 线性方程组（1）有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，即r (A )=r (A )证：必要性如果方程组(1)有解，则β可由α1，α2，…，αn 线性表出，从而向量组α1，α2，…，αn ，β 可由α1，α2，…，αn 线性表出．又显然α1，α2，…，αn 可由α1，α2，…，αn ，β 线性表出，于是 {α1，α2，…，αn }≅{α1，α2，…，αn ，β}．所以 r {α1，α2，…，αn }=r {α1，α2，…，αn ，β}，因此 r (A )=r (A )充分性 若 r (A )=r (A )，则有 r {α1，α2，…，αn }=r {α1，α2，…，αn ，β}，又向量组 α1，α2，…，αn 可由α1，α2，…，αn ，β 线性表出，于是由§4的定理4知{}n ααα,,,21 ≅{}βααα,,,,21n ，因此β可由n ααα,,,21 线性表出，这就表明线性方程组(1)有解．此定理与前面§1介绍的消元法所得的结果是一致的．用消元法解线性方程组就是用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵，这个阶梯形矩阵在适当调动前几列的顺序之后可能有两种情形：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1222221111211r r rn rr n r n r d d c c d c c c d c c c c 或者⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 222221111211r rn rr n r n r d c c d c c c d c c c c其中c ii ≠0，i =1，2，…， r ，d r+1≠0．在前一种情形，我们说原方程组无解，而后一种情形方程组有解．实际上，把阶梯形矩阵中最后一列去掉，就是系数矩阵经过初等变换所变成的阶梯形矩阵．所以，当d r+1≠0时，r (A )≠r (A )，方程无解；当d r+1=0时，r (A )＝r (A )，方程组有解．例1 判断方程组有解还是无解．⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-++=+--72512420563432143214321x x x x x x x x x x x x解：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→----→---=5000011216700563172432140112167005631712151241205631A 显然，r (A )=3，而r (A )=2，所以方程组无解．下面讨论线性组在有解的条件下解的情况．设线性方程组(1)有解，则r (A )=r (A )=r ，因而A 必有一个r 阶子式D ≠0(当然它也是A 的不为零的r 阶子式)．为方便叙述起见，不妨设D 位于A 的左上角．显然这时D 所在的行是A 的一个极大无关组，第r +1， r +2， …， m 行都可由它们线性表出．因此方程组(1)与⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++r n rn r r n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111(2)同解．当r =n 时，由克拉默法则，方程组(2)有唯一解，即线性方程组有唯一解． 当r<n 时，把方程组(2)改写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=+++---=+++---=+++++++++n rn r r r r r rr r r n n r r r r n n r r r r x a x a b x a x a x a x a x a b x a x a x a x a x a b x a x a x a 112211212222222121111111212111 (3)此方程组作为x 1，x 2，…，x r 的方程组时，其系数行列式正是D ，而D ≠0，由克拉默法则，对于x r+1，x r+2，…，x n 的任意一组值，方程组(3)都有唯一解，也就是方程组(1)都有唯一解．x r+1，x r+2，…，x n 就是方程组(1)的一组自由未知量．对于(3)用克拉默法则，可解出x 1，x 2，…，x r ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'++'+'='++'+'='++'+'=++++++n rn r rrr r n n r r n n r r x c x c d x x c x c d x x c x c d x 11211222111111 (4)这就是线性方程组(1)的一般解．从上面的讨论可得：定理2 当线性方程组有解时，(1) 若r (A )=r =n ，则方程组有唯一解．(2) 若r (A )=r<n ，则方程组有无穷多解．例2 求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=-+-1223223553132432143214321x x x x x x x x x x x x解：对增广矩阵A 作初等行变换化为阶梯形矩阵→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=104101041011321122322355311321A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000001041011501000001041011321由于r (A )=r (A )=2<4，所以方程组有解无穷多解，而且方程的全部解为⎩⎨⎧+-=++-=424314151x x x x x x 3、x 4为自由未知量．对于齐次线性方程组，由于它的系数矩阵A 与增广矩阵的秩总是相等的，所以齐次方程组总是有解的，至少有零解．那么，何时有非零解呢？将定理2用于齐次线性方程组立即可得到如下推论．推论1 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充分必要条件是：系数矩阵的秩r (A )=r<n ． 推论2 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充分必要条件是：系数行列式D =0 例3 λ取何值时方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++0)3()1(30)1(02)3(321321321x x x x x x x x x λλλλλλ 有非零解？并求其一般解．解：计算系数行列式λλλλλλλλλλλλλλλλλλ 0 0 1 1 0 21 1 1 0 1 1 02 1 31 1 02 13 )1(31 1 2 1 3-=+--=+-=++-+=D =λ2(λ–1)令D =０，知λ=0或 λ=1时，方程组有非零解．(1) 当λ=０时，易求得一般解为⎩⎨⎧=-=3231x x x x x 3为自由未知量．(2) 当λ=1时，易求得一般解为⎩⎨⎧=-=32312x x x x x 3为自由未知量．思考题：1. 当λ为何值时，下述齐次线性方程组有非零解？并且求出它的一般解．⎪⎩⎪⎨⎧=+++=--+-=---0)3(14202)8(023)2(321321321x x x x x x x x x λλλ 2. 当a 与b 取什么值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++bx x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325432154321334536223231 有解？在有解的情况下，求它的一般解．§3 线性方程组的应用线性方程组是线性代数的核心内容之一，它不仅可以广泛地应用于科学、工程计算和统计分析等领域，同时也应用于财经类的后继课程. 很多实际问题的处理最后也往往归结为比较容易处理的线性方程组的问题, 由于数学软件的优化普及, 使线性方程组能够更好地解决我们现实中的问题. 本节将简要介绍线性方程组在几何学、运筹学、经济学等方面的基本应用.一、在解析几何中的应用解析几何是数与形的有机结合, 它将几何体用代数形式巧妙的表示出来, 然后通过研究代数方程的相关性质, 从而揭示几何图形的内在本质. 例1 已知平面上三条不同直线的方程分别为1L ：230ax by c ++=,2L ：230bx cy a ++=, 3L ：230cx ay b ++=,试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为0a b c ++=.证 必要性 设三直线1L , 2L , 3L 交于一点, 则线性方程组232323ax by c bx cy a cx ay b +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩(1) 有唯一解, 故系数矩阵222a b A b c c a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与增广矩阵232323a b c A b c a c a b -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩均为2, 于是det()0A =, 即22223det()236()()23ab cA bc a a b c a b c ab ac bc cab-=-=++++----=0, 所以0a b c ++=.充分性 由0a b c ++=, 则从必要性的证明可知, det()0A =, 故()3r A <. 而22222132()2[()]2[()]0224a bac b a a b b a b b b c =-=-++=-++≠,因此()()2r A r A ==. 所以线性方程组(1)有唯一解, 即三直线1L ,2L ,3L 交于一点. 例2 要使得平面上三点()111,x y P , ()222,x y P , ()333,x y P 在同一条直线上, 则需满足什么条件？解 三点位于平面同一条直线上, 不妨令直线为0ax by c ++=, ,,a b c 不全为零. 三点坐标满足齐次线性方程组112233000ax by c ax by c ax by c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 从而有以,,Y X Z 为未知量的方程组112233000x Yy x Yy x Yy X ++Z =⎧⎪X ++Z =⎨⎪X ++Z =⎩ 存在非零解 ,,a Y b Z c X ===； 由线性方程组解的判别方法可知：齐次线性方程组有非零解等价于1122331131x y r x y n x y ⎛⎫⎪<= ⎪ ⎪⎝⎭(n 为未知量的个数)； 因此, 平面上三点,()i i i x y P (1,2,3i =)在1122331131x y r x y n x y ⎛⎫⎪<= ⎪ ⎪⎝⎭条件下共线. 二、在运筹学中的应用在运筹学中, 很多问题往往要用到线性方程组中的知识去运算求解．例3 有三个生产同一产品的工厂1A 、2A 和3A , 其年产量分别为40吨、20吨和10吨, 该产品每年有两个用户1B 和2B , 其用量分别为45吨和25吨, 由各产地i A 到各用户j B 的距离ij C (千米), 如下表所示(1,2,3,1,2i j ==). 各厂的产品如何调配才能使运费最少？(按每吨产品每千米的运费为1元计算)解 为了解决这个问题, 我们假设各厂i A 调运到各用户j B 的产品数量为ij x (1,2,3,1,2i j ==).容易看出, 三个厂的总产量与两个用户的总用量刚好相等, 所以对产地来说产品应全部调出, 因此有111240x x +=, (2)212220x x +=, (3) 313210x x +=, (4)同时对用户来说调来的产品刚好是所需要的, 因此又有11213145x x x ++=, (5) 12223225x x x ++=, (6)以上方程(2)-(6)就是ij x 应满足的一些条件． 要使运费最小, 即使得112131122232455892587236s x x x x x x =+++++达到最小.于是, 题目要解决的问题是：如何选择非负数ij x ,1,2,3,1,2i j ==, 使之满足(2)-(6), 而是总运费s 最小.三、在经济学中的应用例4 假设一个经济系统由三个行业：五金化工、能源（如燃料、电力等）、机械组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配见下表, 每一列中的元素表示占该行业总产出的比例. 以第二列为例, 能源行业的总产出的分配如下：80%分配到五金化工行业, 10%分配到机械行业, 余下的供本行业使用. 因为考虑了所有的产出, 所以每一列的小数加起来必须等于 1. 把五金化工、能源、机械行业每年总产出的价格(即货币价值)分别用123,,p p p 表示. 试求出使得每个行业的投入与产出都相等的平衡价格.产出分配购买者五金化工 能源 机械 0.2 0.8 0.4 五金化工 0.3 0.1 0.4 能源 0.50.10.2机械假设一个国家的经济分为很多行业, 例如制造业、通讯业、娱乐业和服务行业等. 我们知道每个部门一年的总产出, 并准确了解其产出如何在经济的其它部门之间分配或“交易”.把一个部门产出的总货币价值称为该产出的价格(price). 我们有如下结论： 存在赋给各部门总产出的平衡价格, 使得每个部门的投入与产出都相等.解 表可以看出, 沿列表示每个行业的产出分配到何处, 沿行表示每个行业所需的投入. 例如, 第1行说明五金化工行业购买了80%的能源产出、40%的机械产出以及20%的本行业产出, 由于三个行业的总产出价格分别是123,,p p p , 因此五金化工行业必须分别向三个行业支付1230.2,0.8,0.4p p p 元. 五金化工行业的总支出为1230.20.80.4p p p ++. 为了使五金化工行业的收入1p 等于它的支出, 因此希望11230.20.80.4p p p p =++.采用类似的方法处理上表中第2、3行, 同上式一起构成齐次线性方程组1123212331230.20.80.40.30.10.40.50.10.2p p p p p p p p p p p p=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 该方程组的通解为1233 1.4170.9171.000p p p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 此即经济系统的平衡价格向量, 每个3p 的非负取值都确定一个平衡价格的取值. 例如, 我们取3p 为 1.000亿元, 则1 1.417p =亿元，20.917p =亿元. 即如果五金化工行业产出价格为1.417亿元， 则能源行业产出价格为0.917亿元, 机械行业的产出价格为1.000亿元, 那么每个行业的收入和支出相等. 在研究一些数量在网络中的流动时自然推导出线性方程组. 例如, 城市规划和交通工程人员监控一个网络状的市区道路的交通流量模式；电气工程师计算流经电路的电流；以及经济学家分析通过分销商和零售商的网络从制造商到顾客的产品销售, 许多网络中的方程组涉及成百甚至上千的变量和方程．例5 下图给出了某城市部分单行道的交通流量（每小时过车数）．假设 (1) 流入网络的流量等于全部流出网络的流量；(2) 全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量. 请确定该交通网络未知部分的具体流量.100x x解 首先写出表示流量的线性方程组, 然后求出方程组的通解. 图中各节点的流入量和流出量见下表：网络节点 流入量流出量A 24x x + 1300x +B 100400+ 26x x +C 7200x +3400x +D 300500+ 45x x +E 56x x +200600+F 400600+ 78x x +G 300600+ 9500x +H 9200x + 10xJ 10500x +400700+整个系统20001381000x x x +++根据假设(1)和(2), 经过简单整理, 可得到该网络流系统满足的线性方程组为124263745567891013830050020080080010004006001000x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪+=⎪⎪-+=⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪=⎪⎪=⎪⎪++=⎩ 交通流量模式(即方程组的通解)为124385464789102005008008001000400600x x xx x x x x x x x x x =⎧⎪=-⎪⎪=-⎪=-⎪⎨=⎪⎪=-⎪=⎪⎪=⎩,48,x x 是自由变量.。

3.向量组的线性相关性与线性方程组的解§3.1 线性方程组解的判定1.定理3.1:n 元线性方程组AX=b ，其中A=(a 12a 12a 1n a 21a 22a 2na m1a m2a mn),x=( x 1x 2??x n ) ,b=( b 1b 2??b m )(1)无解的充要条件是R(A)＜R(A,b)；(2)有惟一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n ，(3)有无穷多解的充要条件是R(A)=R(A,b)＜n.注：(1)R(A,b)先化为行阶梯形，判别。

有解时再化为行最简形求解。

(2)R(A)=m 时，AX=b 有解。

(3)R(A)=r 时，有n-r 个自由未知量，未必是后面n-r 个。

2.定理3.2:n 元线性方程组AX=0(1)有惟一解（只有零解）的充要条件是R(A)=n ； (2)有无穷多解(有非零解)充要条件是R(A)＜n .注：(1)m ＜n,AX=0必有非零解。

3.定理3.3:矩阵方程AX=B 有解的充要条件是R(A)=R(A,B) 求解线性方程组例1. {4x 1+2x 2?x 3=23x 1?x 2+2x 3 =1011x 1+3x 2 =8例2. {2x 1+x 2?x 3+x 4 =14x 1+2x 2?2x 3+x 4=22x 1+x 2 ?x 3?x 4 =1例3. 求解齐次线性方程组{3x 1+ 4x 2?5x 3+ 7x 4 =02x 1?3x 2+3x 3? 2x 4 =04x 1+11x 2?13x 3+16x 4=07x 1?2x 2+ x 3+ 3x 4 =0例4.写出一个以X=C 1(2?310)+C 2(?2401)为通解的齐次线性方程组。

例5（每年）.（1）λ取何值时，非齐次线性方程组{ λx 1+x 2+x 3=1x 1+λx 2+x 3=λx 1+x 2+λx 3=λ2（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并在有无穷多组解时求出通解.（2）非齐次线性方程组{x 1+x 2+2x 3=02x 1+x 2+ax 3=13x 1+2x 2+4x 3=b当a,b 取何值时，（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并求出通解.例5(12/13学年).设A=(λ110λ?1011λ), b=(a11),已知Ax=b 存在两个不同的解：(1)求λ,a;(2)求Ax=b 的通解。

非线性多阶分数阶微分方程组正解的存在性代群;李辉来;孙艳;高瑞梅【摘要】Using the fixed point theorems of increasing operator and the fixed point theorem of cone expansion and cone compression ,we studied the positive solutions of a class of multi-order fractional differential equations ,and obtained the existence of positive solutions of the equations .%应用增算子不动点定理和锥拉伸压缩不动点定理研究一类非线性多阶分数阶微分方程组的正解,得到了该方程组正解的存在性.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2018(056)001【总页数】5页(P1-5)【关键词】非线性方程组;Caputo分数阶导数;正解;不动点定理【作者】代群;李辉来;孙艳;高瑞梅【作者单位】长春理工大学理学院 ,长春130022;吉林大学数学学院 ,长春130012;长春理工大学理学院 ,长春130022;长春理工大学理学院 ,长春130022【正文语种】中文【中图分类】O175.1分数阶微分方程在物理学、化学、工程学等领域应用广泛[1-4]. 文献[5-8]应用不动点定理研究了非线性微分方程正解的存在性和唯一性; Alsaedi等[9]研究了如下非线性时间分数阶微分方程组解的存在性和爆破解问题：本文考虑如下非线性多阶分数阶微分方程组正解的存在性问题：(1)其中:c,c(i=1,2,…,n; j=1,2,…,m)是Caputo分数阶导数; u>0, v>0, p,q,r,s是正实数.1 预备知识定义1[3-4] 函数y: (0,+∞)→的α>0阶Riemann-Liouville分数阶积分定义为其中等式右端在(0,+∞)内有定义.定义2[3-4] 具有n阶连续导数的函数y: (0,+∞)→的α>0阶Caputo分数阶导数定义为.定义3[3-4] 设K为Banach空间E中的一个闭锥, 在E中偏序≤定义为：对于x,y∈E, 如果y-x∈K, 有x≤y, 则称(E,K)为一个偏序Banach空间.定义4[3-4] 对于x,y∈E, 偏序区间〈x,y〉定义为〈x,y〉={z∈E: x≤z≤y}.引理1[3-4] 设(E,K)是一个偏序Banach空间, x0,y0∈K, x0≤y0, F: 〈x0,y0〉→〈x0,y0〉是一个增算子, 且Fx0≥x0, Fy0≤y0. 如果F是一个连续紧算子, 并且K是一个正规锥, 则F在〈x0,y0〉中有一个不动点.引理2[3-4] 设(E,K)是一个偏序Banach空间, U1,U2为E中开集, 0∈U1⊂⊂U2, 且是全连续算子. 若下列条件之一成立：1) ‖Fu‖≤‖u‖, u∈K∩∂U1, 且‖Fu‖≥‖u‖, u∈K∩∂U2;2) ‖Fu‖≥‖u‖, u∈K∩∂U1, 且‖Fu‖≤‖u‖, u∈K∩∂U2.则F有一个不动点.设空间X={u(t): u(t)∈C1[0,1]}, 在X中定义范数‖u‖=max{|u(t)|>: t∈[0,1]}.令K={u(t)∈X: u(t)≥0, 0≤t≤1}.显然, K是一个正规锥.2 主要结果引理3 方程组(1)等价于如下积分方程组:(2)(3)证明：用算子同时作用于方程组(1)第一个方程的两边, 得从而同理可得方程(3).算子F,G: K→K定义为引理4 设M是锥K中的有界子集, 如果存在正常数L, 使得对任意的u∈M, 都有‖u‖≤L, 则是紧致子集.证明：只需证明F,G: K→K是全连续算子.首先, 证明F(M)是有界集. 令则有同理, 有因此, F(M),G(M)是有界集.其次, 证明算子F是等度连续的. 令u,v∈M, 对任意的0≤t1<t2≤1, 有|t1-t2|><δ, 则其中与t1,t2无关.同理, 可得|Gv(t1)-Gv(t2)|>≤W2|t1-t2|>Km-Km-1,其中W2与t1,t2无关. 因此, F,G是等度连续算子. 由Arzela-Ascoli定理可知是紧致集.引理5 u′<0, v′<0.证明：对方程(2)两边同时求t的导数, 有同理, 有v′<0.定理1 如果存在满足则方程组(1)有正解.证明：只需证明F,G有不动点即可. 由引理4, F,G是全连续算子. 对于0<u1<u2, 0<v1<v2, u1,u2,v1,v2∈K, p>0, q>0, 有从而Fu2(t)>Fu1(t). 同理可得Gv2(t)>Gv1(t). 因此, F,G是增算子. 由定理中的条件, 可得又由引理2, F,G有不动点定理2 如果存在两个正数使得∀t∈[0,1].令A=, λ=max{Sn,Km}, μ=min{Sn,Km}, φ=max{u0,v0},则方程组(1)有正解.证明：令对于u,v∈K∩∂U2, 有∀t∈[0,1].由于则因此,∀u∈K∩∂U2.同理, 有‖Gv‖≤‖v‖, ∀v∈K∩∂U2.另一方面, 对于u∈K∩∂U1, 有∀t∈[0,1].因此,∀u∈K∩∂U1.同理, ∀v∈K∩∂U1, 有‖Gv‖≥‖v‖. 又由引理2, 方程组(1)在中有不动点.3 数值实验例1 考虑分数阶微分方程组：由引理5, u′<0, v′<0, 有u(0)≥u(t)≥u(1), v(0)≥v(t)≥v(1),因此η1/2v1/5(1)≤u1/2(t)v1/5(t)≤u1/2(0)v1/5(0), η=min{1,u(1)}.又由定理2知, 该分数阶微分方程组存在正解.参考文献【相关文献】[1] Kilbas A A, Srivastava H M, Trujillo J J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations [M]. Amsterdam: Elsevier, 2006.[2] Lakshmikantham V, Leela S, Jonnalagedda V D. Theory of Fractional Dynamic Systems [M]. Cottenham: Cambridge Scientific Publishers, 2009.[3] Lakshmikantham V, Vatsala A S. Basic Theory of Fractional Differential Equations [J]. Nonlinear Anal, 2008, 69(8): 2677-2682.[4] Sabatier J, Agrawal O P, Tenreiro M J A. Advances in Fractional Calculus: Theoretical Developments and Applications in Physics and Engineering [M]. Dordrecht: Springer, 2007.[5] DAI Qun, LI Huilai, LIU Suli. Existence and Uniqueness of Positive Solutions for a System of Multi-order Fractional Differential Equations [J]. Commun Math Res, 2016, 32(3): 249-258.[6] DAI Qun, WANG Changjia, GAO Ruimei, et al. Blowing-Up Solutions of Multi-order Fractional Differential Equations with the Periodic Boundary Condition [J]. Adv Difference Equ, 2017, 2017: 130.[7] 代群, 刘素莉, 李辉来. 非线性分数阶微分方程特征值问题正解的存在性 [J]. 吉林大学学报(理学版), 2015, 53(1): 1-4. (DAI Qun, LIU Suli, LI Huilai. Existence of Positive Solutions for Nonlinear Fractional Eigenvalue Problem [J]. Journal of Jilin University (Science Edition), 2015, 53(1): 1-4.)[8] 李雪梅, 代群, 李辉来. 一类奇异非线性分数阶微分方程组正解的存在性与唯一性 [J]. 吉林大学学报(理学版), 2015, 53(2): 157-160. (LI Xuemei, DAI Qun, LI Huilai. Existence and Uniqueness of Positive Solutions for a Class of Singular Nonlinear Systems of Fractional Differential Equations [J]. Journal of Jilin University (Science Edition), 2015, 53(2): 157-160.)[9] Alsaedi A, Ahmad B, Kirane M B M, et al. Blowing-Up Solutions for a Nonlinear Time-Fractional System [J]. Bull Math Sci, 2017, 7(2): 201-210.。

线性代数知识点归纳,超详细线性代数复习要点第⼀部分⾏列式1. 排列的逆序数2. ⾏列式按⾏（列）展开法则3. ⾏列式的性质及⾏列式的计算⾏列式的定义1.⾏列式的计算：①(定义法)②（降阶法）⾏列式按⾏（列）展开定理：⾏列式等于它的任⼀⾏（列）的各元素与其对应的代数余⼦式的乘积之和.推论：⾏列式某⼀⾏（列）的元素与另⼀⾏（列）的对应元素的代数余⼦式乘积之和等于零.③(化为三⾓型⾏列式)上三⾓、下三⾓、主对⾓⾏列式等于主对⾓线上元素的乘积.④若都是⽅阵（不必同阶）,则⑤关于副对⾓线：⑥范德蒙德⾏列式：证明⽤从第n⾏开始，⾃下⽽上依次的由下⼀⾏减去它上⼀⾏的倍，按第⼀列展开，重复上述操作即可。

⑦型公式：⑧(升阶法)在原⾏列式中增加⼀⾏⼀列，保持原⾏列式不变的⽅法.⑨(递推公式法) 对阶⾏列式找出与或,之间的⼀种关系——称为递推公式，其中,,等结构相同，再由递推公式求出的⽅法称为递推公式法.(拆分法) 把某⼀⾏（或列）的元素写成两数和的形式，再利⽤⾏列式的性质将原⾏列式写成两⾏列式之和，使问题简化以例计算.⑩(数学归纳法)2. 对于阶⾏列式，恒有：，其中为阶主⼦式；3. 证明的⽅法：①、；②、反证法；③、构造齐次⽅程组，证明其有⾮零解；④、利⽤秩，证明；⑤、证明0是其特征值.4. 代数余⼦式和余⼦式的关系：第⼆部分矩阵1.矩阵的运算性质2.矩阵求逆3.矩阵的秩的性质4.矩阵⽅程的求解1.矩阵的定义由个数排成的⾏列的表称为矩阵.记作：或①同型矩阵：两个矩阵的⾏数相等、列数也相等.②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等.③矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为.c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则，其中注：矩阵乘法不满⾜：交换律、消去律, 即公式不成⽴.a. 分块对⾓阵相乘：,b. ⽤对⾓矩阵○左乘⼀个矩阵,相当于⽤的对⾓线上的各元素依次乘此矩阵的○⾏向量；c. ⽤对⾓矩阵○右乘⼀个矩阵,相当于⽤的对⾓线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.d. 两个同阶对⾓矩阵相乘只⽤把对⾓线上的对应元素相乘.④⽅阵的幂的性质：，⑤矩阵的转置：把矩阵的⾏换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.a. 对称矩阵和反对称矩阵:是对称矩阵.是反对称矩阵.b. 分块矩阵的转置矩阵：⑥伴随矩阵：，为中各个元素的代数余⼦式.,, .分块对⾓阵的伴随矩阵：，矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：r(A)与r(A*)的关系若r（A）=n，则不等于0，A*=可逆，推出r（A*）=n。

关于两个线性方程组同解条件的再思考陈耀光【摘要】首先给出了两个线性方程组Ax=c及Bx=d的解与解之间的关系,通过对两个方程组有公共解的条件的研究,从而给出了两个方程组有同解的充分必要条件.根据所得结论,最后给出了两个线性方程组是否有同解的判别方法以及同解的求解方法.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2014(030)004【总页数】5页(P71-75)【关键词】线性方程组;公共解;同解;条件;方法【作者】陈耀光【作者单位】新疆大学数学与系统科学学院,新疆乌鲁木齐830046【正文语种】中文【中图分类】O151.1线性方程组是大学本科中工科线性代数的最重要也是最主要的部分，它贯穿于线性代数的始终，也可以说线性代数就是线性方程组的代数，因此在线性代数中对线性方程组的讨论已经比较充分，但在教学过程中，学生经常会问到两个线性方程组的解与解有什么关系？如何判断？如何求解？关于这一点工科线性代数中几乎没有讨论，在其它教材中也讨论甚少，即使有也不全面.而在文献[1]中，虽然对此进行了讨论，但所给结论的条件出现了漏洞.为此笔者通过查阅大量相关资料，并进行深入分析与研究，得到了本文相关结论及方法.1 预备知识设非齐次线性方程组Ax=b，(1)其中,,,, j=1,2,…，n.非齐次线性方程组的向量形式x1t1+x2t2+…+xntn=b.(2)引理1 非齐次线性方程组(1)有解的充分必要条件是R(A)=R(Ab).引理2 非齐次线性方程组(1)有解的充分必要条件是向量b可由向量组t1，t2，…，tn 线性表示.2 两个方程组的解与解的关系设有两个非齐次线性方程组Ax=c(3)及Bx=d,(4)其中,,,,,其所对应的齐次方程组Ax=0(5)及Bx=0(6)定义如果有n维向量x同时满足非齐次线性方程组(3)和(4)，则称向量x为非齐次方程组(3)和(4)的公共解.如果方程组(3)的任意解都是方程组(4)的解，而方程组(4)的任意解都是方程组(3)的解，则称方程组(3)和方程组(4)是同解的.对于齐次方程组(5)和(6)也同样有非零公共解和非零同解的概念，这里就不再赘述了.3 两个非齐次方程组有公共解的充分必要条件引理3 齐次线性方程组(5)和(6)有非零的公共解的充分必要条件是引理4 非齐次线性方程组(3)和(4)有公共解的充分必要条件是引理5 非齐次线性方程组(3)和(4)有公共解的充分必要条件是向量可由的列向量组线性表示.由引理4(引理5)知，若非齐次线性方程组(3)和(4)有公共解，则非齐次线性方程组(3)和(4)都有解.即如果，则一定有RA=RAc和RB=RBd.反之，非齐次线性方程组(3)和(4)都有解，非齐次线性方程组(3)和(4)不一定有公共解.例如：方程组x+y=1有解，方程组x+y=2也有解，但方程组无解，即方程组x+y=1和方程组x+y=2无公共解.4 两个线性方程组同解的充分必要条件1.两个齐次线性方程组同解的充分必要条件.引理6 齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充分必要条件是. (参见文献[1]的定理3).引理7 齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充分必要条件是A的行向量组与B的行向量组等价.定理1 齐次线性方程组Ax=0与Bx=0有非零同解的充分必要条件是2.两个非齐次线性方程组同解的充分必要条件.在上面我们研究了两个线性方程组有公共解的问题.很明显，如果两个线性方程组同解，则这两个线性方程组一定有公共解.反之，当两个线性方程组有公共解时，这两个线性方程组不一定同解.而对于两个线性方程组同解的条件，文献[1]中对此进行了相应的讨论，并给出了如下两个结论(文献 [1]中的定理2)：结论1 设非齐次线性方程组(3)和(4)都有解，则非齐次线性方程组(3)和(4)同解的充分必要条件是向量组α1，α2,…，αm与向量组β1，β2，…，βs等价.其中向量组α1，α2,…，αm是方程组(3)的增广矩阵Ac的行向量组，向量组β1，β2，…，βs是方程组(4)的增广矩阵Bd的行向量组.结论2 设非齐次线性方程组(3)和(4)都有解，则非齐次线性方程组(3)和(4)同解的充分必要条件是所对应的齐次线性方程组(5)和(6)同解.对于结论2，通过研究和讨论，其必要性是完全正确的，但其充分性是有问题的.对此，笔者从理论和实例两个方面来加以说明.首先设向量组a1，a2，…，am是齐次线性方程组(5)的系数矩阵A的行向量组，向量组b1，b2，…，bs是齐次线性方程组(6)的系数矩阵B的行向量组.注意向量组a1，a2，…，am与α1，α2,…，αm的差异，向量组b1，b2，…，bs与β1，β2，…，βs的差异.若齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解，由引理7知向量组a1，a2，…，am与向量组b1，b2，…，bs等价.而向量组a1，a2，…，am与向量组b1，b2，…，bs等价推不出向量组α1，α2,…，αm与向量组β1，β2，…，βs 等价(如(1,2，-1)与(2,4，-2)等价，但(1,2，-1,1)与(2,4，-2,3)不等价)，从而推不出非齐次线性方程组(3)和(4)同解.再则也可以看一反例：方程组x+y=1有解，方程组x+y=2有解且它们所对应的齐次方程组x+y=0和x+y=0同解.但方程组无解,即方程组x+y=1与方程组x+y=2不同解.正因如此，我们对文献[1]中的结论2进行了更加深入的研究，并得出如下结论.定理2 设非齐次线性方程组(3)和(4)都有解，则方程组(3)和(4)同解的充分必要条件是所对应的齐次线性方程组(5)和(6)同解，且非齐次线性方程组(3)和(4)至少有一个公共解.证必要性参见文献[1].充分性.设RA=r.由已知非齐次线性方程组(3)和(4)所对应的齐次线性方程组(5)和(6)同解，所以RA=RB=r，并且Ax=0的基础解系ξ1，ξ2，…，ξn-r也是方程组Bx=0的基础解系.又因为Ax=c及Bx=d有解且至少有一个公共解，不妨设为η*，则x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+η*既是Ax=c的通解，也是Bx=d的通解,所以方程组(3)和(4)同解.定理3 设非齐次线性方程组(3)和(4)都有解，则方程组(3)和(4)同解的充分必要条件是此定理的证明可由引理4和引理6直接得到.定理4 设非齐次线性方程组(3)和(4)都有解，则方程组(3)和(4)同解的充分必要条件是所对应的齐次线性方程组(5)和(6)同解，且向量可由的列向量组线性表示. 此定理的证明可由引理5和引理6直接得到.5 两个方程组同解的判断及同解的求法以下我们仅对非齐次线性方程组加以讨论，而对于齐次线性方程组其方法类似. 设有两个非齐次线性方程组Ax=c(3)及Bx=d.(4)如果能判断出(3)和(4)同解，则它们的同解的求法就很简单了，只要求出(3)或(4)的通解就行了.而同解的判断可以根据定理3的结论来加以进行.下面就通过具体实例来说明这一方法.例1 设非齐次线性方程组及讨论这两个方程组是否有公共解，是否同解？如同解，则求其同解的通解形式. 解,所以.即已知的两个方程组都有解，且有公共解.而由以上易知RA=RB=2≠，即已知的两个方程组所对应的齐次方程组不同解，所以已知的两个方程组不同解. 本例说明，在定理2的充分条件中两个非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组(5)和(6)同解的条件不可缺少，而在第四部分中的反例说明在定理2的充分条件中两个非齐次方程组(3)和(4)至少有一个公共解的条件不可缺少.例2 设非齐次方程组及讨论这两个方程组是否有公共解，是否同解？如同解，则求其同解的通解形式. 解，易知RB=2. 所以.由定理2知，已知的两个线性方程组同解，且同解的通解形式为【相关文献】[参考文献][1] 罗家贵. 关于线性方程组同解的条件[J]．大学数学，2012，28 (3)：141—145.[2] 尹晓东. 线性代数习题课需要解决的几个问题[J]．大学数学，2012，28 (2)：139—141.[3] 同济大学. 线性代数 [M]．5版．北京：高等教育出版社，2007.。

第一讲 基本概念1．线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等.线性方程组的解是一个n 维向量()n k k k ,,21 〔称为解向量〕,它满足：当每个方程中的未知数i x 都用i k 替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种：无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题有两个：〔1〕判断解的情况.〔2〕求解,特别是在有无穷多解时求通解.021====m b b b 的线性方程组称为齐次线性方程组.n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种：唯一解〔即只要零解〕和无穷多解〔即有非零解〕.把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0,所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组,简称导出组. 2．矩阵和向量 〔1〕基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.由n m ⨯个数排列成的一个m 行n 列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个n m ⨯型矩阵.例如是一个54⨯矩阵,对于上面的线性方程组,称矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A212222111211 和()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m mn m m n n b b b a a a a a a a a a A 21212222111211|β 为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i 行第j 列的数称为()j i ,位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A 和B 相等〔记作B A =〕,是指它的行数相等,列数也相等〔即它们的类型相同〕,并且对应的元素都相等.由n 个数构成的有序数组称为一个n 维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是n a a a ,,,21 的向量可表示成()n a a a ,,,21 或⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21,请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样〔左边是n ⨯1矩阵,右边是1⨯n 矩阵〕.习惯上把它们分别称为行向量和列向量.〔请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.〕一个n m ⨯的矩阵的每一行是一个n 维向量,称为它的行向量；每一列是一个m 维向量,称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A 的列向量组为n ααα,,,21 时〔它们都是表示为列的形式！〕可记()n A ααα,,,21 =.矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量α和β相等〔记作βα=〕,是指它的维数相等,并且对应的分量都相等. 〔2〕线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加〔减〕法：两个n m ⨯的矩阵A 和B 可以相加〔减〕,得到的和〔差〕仍是n m ⨯矩阵,记作()B A B A -+,法则为对应元素相加〔减〕.数乘：一个n m ⨯的矩阵A 与一个数c 可以相乘,乘积仍为n m ⨯的矩阵,记作cA ,法则为A 的每个元素乘c .这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律：① 加法交换律：A B B A +=+. ② 加法结合律：()()C B A C B A ++=++. ③ 加乘分配律：()cB cA B A c +=+.()dA cA A d c +=+. ④ 数乘结合律：()()A cd A d c =. ⑤00=⇔=c cA 或0=A .转置：把一个n m ⨯的矩阵A 行和列互换,得到的m n ⨯的矩阵称为A 的转置,记作TA 〔或A '〕. 有以下规律：①()A A TT=. ②()T T TB A B A +=+. ③()T TcA cA =.转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当α是列向量时,Tα表示行向量,当α是行向量时,Tα表示列向量.向量组的线性组合：设s ααα,,,21 是一组n 维向量,s c c c ,,,21 是一组数,则称s s c c c ααα+++ 2211为s ααα,,,21 的〔以s c c c ,,,21 为系数的〕线性组合.n 维向量组的线性组合也是n 维向量. 〔3〕n 阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n 的矩阵也常常叫做n 阶矩阵.把n 阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.〔其上的元素行号与列号相等.〕 下面列出几类常用的n 阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的. 对角矩阵：对角线外的元素都为0的n 阶矩阵.单位矩阵：对角线上的元素都为1的对角矩阵,记作E 〔或I 〕.数量矩阵：对角线上的元素都等于一个常数c 的对角矩阵,它就是cE . 上三角矩阵：对角线下的元素都为0的n 阶矩阵. 下三角矩阵：对角线上的元素都为0的n 阶矩阵.对称矩阵：满足A A T =矩阵.也就是对任何()j i j i ,,,位的元素和()i j ,位的元素总是相等的n 阶矩阵.〔反对称矩阵：满足A A T -=矩阵.也就是对任何()j i j i ,,,位的元素和()i j ,位的元素之和总等于0的n 阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.〕 3．矩阵的初等变换和阶梯形矩阵 矩阵有以下三种初等行变换： ①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.<称这类变换为倍加变换>类似地,矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了.初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵：一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足： ①如果它有零行,则都出现在下面.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增. 把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角. 简单阶梯形矩阵：是特殊的阶梯形矩阵,特点为： ③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.请注意：1．一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.2．一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的. 4．线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法：用同解变换把方程组化为阶梯形方程组〔即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组〕. 线性方程组的同解变换有三种： ①交换两个方程的上下位置. ②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法. 对非齐次线性方程组步骤如下：〔1〕写出方程组的增广矩阵()β|A ,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵()γ|B . 〔2〕用()γ|B 判别解的情况：如果最下面的非零行为()d |0,,0,0 ,则无解,否则有解.有解时看非零行数r 〔r 不会大于未知数个数n 〕,n r =时唯一解；n r <时无穷多解. 〔推论：当方程的个数n m <时,不可能唯一解.〕 〔3〕有唯一解时求解的初等变换法：去掉()γ|B 的零行,得到一个()1+⨯n n 矩阵()00|γB ,并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵()η|E ,则η就是解.对齐次线性方程组：〔1〕写出方程组的系数矩阵A ,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B .〔2〕用B 判别解的情况：非零行数n r =时只有零解：n r <时有非零解〔求解方法在第五章讲〕.〔推论：当方程的个数n m <时,有非零解.〕 讨论题1．设A 是n 阶矩阵,则〔A 〕A 是上三角矩阵⇒A 是阶梯形矩阵. 〔B 〕A 是上三角矩阵⇐A 是阶梯形矩阵. 〔C 〕A 是上三角矩阵⇔A 是阶梯形矩阵.〔D 〕A 是上三角矩阵与A 是阶梯形矩阵没有直接的因果关系. 2．下列命题中哪几个成立？〔1〕如果A 是阶梯形矩阵,则A 去掉任何一行还是阶梯形矩阵. 〔2〕如果A 是阶梯形矩阵,则A 去掉任何一列还是阶梯形矩阵. 〔3〕如果()B A |是阶梯形矩阵,则A 也是阶梯形矩阵. 〔4〕如果()B A |是阶梯形矩阵,则B 也是阶梯形矩阵. 〔5〕如果⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A 是阶梯形矩阵,则A 和B 都是阶梯形矩阵.第二讲 行列式一．概念复习 1．形式和意义形式：用2n 个数排列成的一个n 行n 列的表格,两边界以竖线,就成为一个n 阶行列式： 如果行列式的列向量组为n ααα,,,21 ,则此行列式可表示为n ααα,,,21 .意义：是一个算式,把这2n 个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号！〔不必形式一样,甚至阶数可不同.〕 每个n 阶矩阵A 对应一个n 阶行列式,记作A .行列式这一讲的核心问题是值的计算,以与判断一个行列式的值是否为0.2．定义〔完全展开式〕2阶和3阶行列式的计算公式： 2112221122211211a a a a a a a a -=.一般地,一个n 阶行列式的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n 个元素的乘积,其一般形式为：nnj j j ααα 2121,这里把相乘的n 个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标n j j j 21构成n ,,2,1 的一个全排列〔称为一个n 元排列〕,共有!n 个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有!n 个项. 所谓代数和是在求总和时每项先要乘1+或1-.规定()n j j j 21τ为全排列n j j j 21的逆序数〔意义见下面〕,则项n nj j j a 2121αα所乘的是()()n j j j 211τ-.全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.逆序数可如下计算：标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数：()10002323436512,215634002323=+++++=τ.至此我们可以写出n 阶行列式的值：()()∑-=nnn j j j nj j j j j j nnn n nna a a a a a a a a a a 212121212122221112111ατ.这里∑nj j j 21表示对所有n 元排列求和,称此式为n 阶行列式的完全展开式.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上〔下〕三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0. 3．化零降阶法把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的1-n 阶行列式称为()j i ,位元素ij a 的余子式,记作ij M .称()ij ji ij M A +-=1为元素ij a 的代数余子式.定理〔对某一行或列的展开〕行列式的值等于该行〔列〕的各元素与其代数余子式乘积之和.命题第三类初等变换〔倍加变换〕不改变行列式的值.化零降阶法 用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理,于是化为计算一个低1阶的行列式.化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握. 4．其它性质行列式还有以下性质：① 把行列式转置值不变,即A A T =.② 某一行〔列〕的公因子可提出.于是,A c cA n =. ③ 对一行或一列可分解,即如果某个行〔列〕向量γβα+=,则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行〔列〕向量α换为β或γ所得到的行列式.例如γβαγβαγββα,,,,,,2121+=+.④ 把两个行〔列〕向量交换,行列式的值变号.⑤ 如果一个行〔列〕向量是另一个行〔列〕向量的倍数,则行列式的值为0. ⑥某一行〔列〕的各元素与另一行〔列〕的对应元素的代数余子式乘积之和0=. ⑦如果A 与B 都是方阵〔不必同阶〕,则B A A A B*0 B0* ==.X 德蒙行列式：形如 in ni n i n i n n na a a a a a a a a a a a ----32122322213211111 的行列式〔或其转置〕.它由n a a a a ,,,,321 所决定,它的值等于()∏-ji i jαα.因此X 德蒙行列式不等于n a a a a ,,,,0321 ⇔两两不同.对于元素有规律的行列式〔包括n 阶行列式〕,常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等. 5．克莱姆法则克莱姆法则 应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n 〔即系数矩阵为n 阶矩阵〕的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为()D D D D D D n / , ,/ ,/21 ,这里D 是系数行列式的值,i D 是把系数行列式的第i 个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.说明与改进：按法则给的公式求解计算量太大,没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上,用在对解的唯一性的判断,而在这方面法则不够.法则的改进：系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.实际上求解可用初等变换法：对增广矩阵()β|A 作初等行变换,使得A 变为单位矩阵：()()ηβ||E A →,η就是解.用在齐次方程组上：如果齐次方程组的系数矩阵A 是方阵,则它只有零解的充分必要条件是0≠A .第三讲 矩阵一．概念复习1．矩阵乘法的定义和性质定义2．1 当矩阵A 的列数和B 的行数相等时,和A 和B 可以相乘,乘积记作AB .AB 的行数和A 相等,列数和B 相等.AB 的()j i ,位元素等于A 的第i 个行向量和B 的第j 个列向量〔维数相同〕对应分量乘积之和. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ns n n s s b b b b b b b b b B 212222111211,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==ms m m s s c c c c c c c c c AB C 212222111211,则nj in j i j i ij b a b a b a c +++= 2211.矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同：① 矩阵乘法有条件. ② 矩阵乘法无交换律.③ 矩阵乘法无消去律,即一般地由0=AB 推不出0=A 或0=B .由AC AB =和0≠A 推不出C B =.〔无左消去律〕 由CA BA =和0≠A 推不出C B =.〔无右消去律〕请注意不要犯一种常见的错误：把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来. 矩阵乘法适合以下法则：① 加乘分配律 ()AC AB C B A +=+,()BC AC C B A +=+. ② 数乘性质()()AB c B cA =.③ 结合律 ()()BC A C AB =.④()TT TA B AB =.2．n 阶矩阵的方幂和多项式任何两个n 阶矩阵A 和B 都可以相乘,乘积AB 仍是n 阶矩阵.并且有行列式性质：B A AB =.如果BA AB =,则说A 和B 可交换.方幂 设k 是正整数,n 阶矩阵A 的k 次方幂kA 即k 个A 的连乘积.规定E A =0.显然A 的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则：①h k h k A A A +=.②()kh hkA A =. 但是一般地()kAB 和k k B A 不一定相等！n 阶矩阵的多项式设()0111a x a xa x a x f m m m m ++++=-- ,对n 阶矩阵A 规定 ()E a A a A a A a A f m m m m 0111++++=-- .称为A 的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E .乘法公式 一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n 阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是乘法交换的,则乘法公式成立.例如当A 和B 可交换时,有：()2222B AB A B A +±=±；()()()()B A B A B A B A B A -+=-+=-22.二项展开式成立：()∑=-=+mi i i m i mmB A CB A 1等等.前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的.一个n 阶矩阵的多项式可以因式分解. 3．分块法则矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个可以相乘的矩阵A 和B ,可以先用纵横线把它们切割成小矩阵〔一切A 的纵向切割和B 的横向切割一致！〕,再用它们来作乘法.〔1〕两种常见的矩阵乘法的分块法则〔2〕⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222212212122112122121211211211112221121122211211B A B A B A B A B A B A B A B A B B B B A AA A要求ij A 的列数jk B 和的行数相等. 准对角矩阵的乘法：形如的矩阵称为准对角矩阵,其中k A A A ,,,21 都是方阵. 两个准对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k A A A A00000021, ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k B B B B00000021如果类型相同,即i A 和i B 阶数相等,则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k k B A B A B A AB000002211. 〔2〕乘积矩阵的列向量组和行向量组设A 是n m ⨯矩阵B 是s n ⨯矩阵.A 的列向量组为n ααα,,,21 ,B 的列向量组为s βββ,,,21 ,AB 的列向量组为s γγγ,,,21 ,则根据矩阵乘法的定义容易看出〔也是分块法则的特殊情形〕：①AB 的每个列向量为：i i A βγ=,s i ,,2,1 =. 即()()s s A A A A ββββββ,,,,,,2121 =. ②()Tn b b b ,,,21 =β,则n n b b b A αααβ+++= 2211.应用这两个性质可以得到：如果()Tni i i i b b b ,,,21 =β,则n ni i i i b b b A αααβγ+++== 22111.类似地,乘积矩阵AB 的第i 个行向量是B 的行向量组的线性组合,组合系数就是A 的第i 个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的. 〔1〕当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.〔2〕利用以上规律容易得到下面几个简单推论：用对角矩阵Λ从左侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量；用对角矩阵Λ从右侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.数量矩阵kE 乘一个矩阵相当于用k 乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵. 两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘. 求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.〔3〕矩阵分解：当一个矩阵C 的每个列向量都是另一个A 的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B ,使得AB C =.例如设()γβα,,=A ,()γαγβαγβα2,3,2++--+=C ,令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211012131B ,则AB C =.〔4〕初等矩阵与其在乘法中的作用对单位矩阵E 作一次初等〔行或列〕交换,所得到的矩阵称为初等矩阵. 有三类初等矩阵： ()j i E ,：交换E 的i ,j 两行〔或列〕所得到的矩阵.()()c i E ：用非0数c 乘E 的第i 行〔或列〕所得到的矩阵,也就是把E 的对角线上的第i 个元素改为c .()()c j i E ,()j i ≠：把E 的第j 行的c 倍加到第i 行上〔或把第i 列的c 倍加到第j 列上〕所得到的矩阵,也就是把E 的()j i ,位的元素改为c .命题 对矩阵作一次初等行〔列〕变换相当于用一个相应的初等矩阵从左〔右〕乘它. 4．矩阵方程和可逆矩阵〔伴随矩阵〕 〔1〕矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程： 〔I 〕B AX =. 〔II 〕B XA =.这里假定A 是行列式不为0的n 阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.〔否则解的情况比较复杂.〕当B 只有一列时,〔I 〕就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B 有s 列,设()s B βββ,,,21 =,则X 也应该有s 列,记()s X X X X ,,,21 =,则有i i AX β=,s i ,,2,1 =,这是s 个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而BAX =有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A ,可同时求解,即得 〔I 〕的解法：将A 和B 并列作矩阵)B A ,对它作初等行变换,使得A 变为单位矩阵,此时B 变为解X .〔II 〕的解法：对两边转置化为〔I 〕的形式：B X A =.再用解〔I 〕的方法求出T X ,转置得X .矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成〔I 〕或〔II 〕的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解. 〔2〕可逆矩阵的定义与意义定义设A 是n 阶矩阵,如果存在n 阶矩阵B ,使得E AB =,E BA =,则称A 为可逆矩阵.此时B 是唯一的,称为A 的逆矩阵,通常记作1-A . 如果A 可逆,则A 在乘法中有消去律：00=⇒=B AB ；C B AC AB =⇒=.〔左消去律〕；00=⇒=B BA ；C B CA BA =⇒=.〔右消去律〕如果A 可逆,则A 在乘法中可移动〔化为逆矩阵移到等号另一边〕：C A B C AB 1-=⇔=.1-=⇔=CA B C BA .由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法：〔I 〕B AX =的解B A X 1-=. 〔II 〕B XA =的解1-=BA X .这种解法想法自然,好记忆,但是计算量比初等变换法大〔多了一次矩阵乘积运算〕.〔3〕矩阵可逆性的判别与性质定理 n 阶矩阵A 可逆0≠⇔A .证明 "⇒〞对E AA =-1两边取行列式,得11=-A A ,从而0≠A .〔并且11--=A A .〕"⇐〞因为0≠A ,矩阵方程E AX =和E XA =都有唯一解.设B ,C 分别是它们的解,即E AB =,E CA =.事实上()C CE CAB EB B C B =====,于是从定义得到A 可逆. 推论如果A 和B 都是n 阶矩阵,则E BA E AB =⇔=.于是只要E AB =〔或E BA =〕一式成立,则A 和B 都可逆并且互为逆矩阵. 可逆矩阵有以下性质：①如果A 可逆,则1-A 也可逆,并且()A A =--11.T A 也可逆,并且()()T T A A 11--=.0≠c 时,cA 也可逆,并且()111---=A c cA .对任何正整数k ,k A 也可逆,并且()()k k A A 11--=.〔规定可逆矩阵A 的负整数次方幂()()k k k A A A 11---==.〕②如果A 和B 可逆,则AB 也可逆,并且()111---=A B AB .〔请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.〕初等矩阵都是可逆矩阵,并且()()j i E j i E ,,1=-,()()()()11--=c i E c i E ,()()()()c j i E c j i E -=-,,1. 〔4〕逆矩阵的计算和伴随矩阵①计算逆矩阵的初等变换法当A 可逆时,1-A 是矩阵方程E AX =的解,于是可用初等行变换求1-A ：这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多. ②伴随矩阵若A 是n 阶矩阵,记ij A 是A 的()j i ,位元素的代数余子式,规定A 的伴随矩阵为()T ij mn n nn n A A A A A A A A A A A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 212221212111*. 请注意,规定n 阶矩阵A 的伴随矩阵并没有要求A 可逆,但是在A 可逆时,*A 和1-A 有密切关系. 基本公式：E A A A AA ==**.于是对于可逆矩阵A ,有A A A /*1=-,即1*-A A A .因此可通过求*A 来计算1-A .这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较,伴随矩阵法的计算量要大得多,除非2=n ,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a c b d d c b a *, 因此当0≠-bc ad 时,()bc ad a c b d d c b a -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1.伴随矩阵的其它性质：①如果A 是可逆矩阵,则*A 也可逆,并且()()*/*11--==A A A A . ②1*-=n A A .③()()T T A A **=. ④()**1A c cA n -=.⑤()***A B AB =；()()k k A A **=.⑥当2>n 时,()A A A n 2**-=；2=n 时,()A A =**.。

高代定理整理一．线性方程组理论定理一：设向量组a1,a2.......a s线性无关，则向量B可以由a1,a2.......a s线性表出的充分必要条件是a1,a2.......a s,B线性相关。

定理二：设向量组a1,a2.......a s线性无关，则向量B不能由a1,a2........a s线性表出的充分必要条件是a1,a2.......a s,B线性无关。

定理三：几何空间中任意4个向量都线性相关。

定理四：K n中，任意n+1个向量都线性相关。

定理五：如果向量B可以由向量组a1,a2.......a s线性表出，则表出方式唯一的充分必要条件是a1,a2.......a s线性无关。

定理六：由非零向量组成的向量组a1,a2.......a s（s>=2)线性无关的充分必要条件是：每一个a i(1<i<=s)都不能用它的前面的向量线性表出。

定理七：设向量组b1,b2,.........,b r可以由向量组a1,a2,........,a s线型表出。

如果r>s，那么向量组b1,b2,.........,b r线性相关。

定理八：设向量组b1,b2,.........,b r可以由向量组a1,a2,........,a s线性表出。

如果b1,b2,.........,b r 线性无关，则r<=s。

定理九：等价的线性无关的向量组所含向量个数的数目相等。

定理十：向量组的两个极大线性无关向量组所含向量的数目相等。

定理十一：向量组a1,a2,........,a s线性无关的充分必要条件是它的秩等于它所含向量的数目s.定理十二：如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，则（I）的秩<=（II）的秩定理十三：等价的向量组有相同的秩。

定理十四：秩为r的向量组中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关向量组。

定理十五：K n中任一线性无关的向量组所含向量个数不超过n.定理十六：K n中，如果a1,a2,........,a n线性无关，则任一向量B可以由a1,a2,........,a n 线性表出。