齐次线性方程组解的判定、线性组合与线性相关1
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线性组合与线性相关
五、关于向量组线性相关性的主要结论
1.零向量是线性相关的，一个非零向量是线性无关的。 2.两个向量线性相关的充分条件是对应分量成比例。 3.含有零向量的向量组线性相关。 4.部分组线性相关，则整个向量组组线性相关；
向量组线性无关，则其部分组线性无关。 5. 线性无关向量组的“加长”向量组线性无关；
1 1 1
1 1 1
答案：1. A 1 2 3,| A | t 5 或 A 0 1 2
1 3 t
0 0 t 5
所以，t=5时线性相关，t≠5时线性无关。
2.t取任何值，向量组都线性相关。（4个3维向量）
即4可由1,2,3线性表示，
且表示方式不唯一。
对 A~ 继续施行初等行变换，
A~
1 1 2 2 1 1 2 2
0 2 1
5
0 1
1 2
5 2
1
0
3 2
1 2
0
1
1 2
5 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
最后一个矩阵对应的线性方程组为：
x1
x2
1
2 5
2
3
2 1
2
x3 x3
| A | 0 有非零解。
二、向量组的线性组合
1.线性表示：如果β=k11+k22+···+kss，则称β可由 1,2,···,s 线性表示，或称β是1,2,···,s 的线性组合。 2.β能由1,2,···,s线性表示的含义是线性方程组
x11+x22+···+xss=β
有解，其充要条件是 r(A)=r(A|β)
1,2,···,s,β线性相关 r(1,2,···,s ,β) <s+1 s= r(1,2,···,s)≤ r(1,2,···,s ,β) <s+1
齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r (A )=r <n ,若AX =0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12ξξξ,且满足：(1),,,n r -12ξξξ线性无关;(2)AX =0的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为AX =0的基础解系.称=X 齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系【定理】(1)(2)（注：当注：1()n r A -2AX O = （1） 当（2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； （3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >，则齐次线性方程组无解。
1、求AX =0（A 为m n ⨯矩阵）通解的三步骤（1）−−→A C 行（行最简形）;写出同解方程组CX =0.(2)求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;(3)写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…,k n-r 为任意常数.【例题1】解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵显然有(r 解法二：2341A =注：【例题2解：可得()r A 12x x x =⎧⎨=-⎩令31x =令30x =令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-， 于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以，原方程组的通解为112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）.二、非齐次线性方程组的解法 求AX =b 的解（,()m n r r ⨯=A A ）用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关1112111222221()0rn r n rrrn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥A b 行其中0(1,2,,),ii c i r ≠=所以知1(1)r d +≠1(2)r d +=1(3)r d +=其通解为,,n r k -为任意常数。
齐次线性方程组解的性质
,
0
0
x5 0 0 1
即得对应的齐次线性方程组的基础解系
(1, 2,1, 0, 0) , 1
(1, 2, 0,1, 0) , 2
(5, 6, 0, 0,1). 3
于是所求通解为
k11 k22 k33 *
(4) 利用C写出导出组的同解方程组得到导出 组的基础解系
(5) 利用特解和基础解系写出通解
四、小结
１．齐次线性方程组基础解系的求法
（1）对系数矩阵 A进行初等变换，将其化为
最简形
1 0 b11 b1,nr
0 A~
1
br1
br
,nr
0
,
x5
0
0 1 0
(k
,
1
k
,
2
k
3
R).
由例（2）可归纳出求解非齐次线性 方程组的步骤：
(1) 对增广矩阵 B 进行初等行变换，将其化 为行最简形矩阵C
(2) 写出C对应的原方程组的同解方程组
(3) 确定自由未知量，对自由未知量取零值得 到一个特解
向
量b能
由
向
量组
1
,
2
,
,
线
n
性
表
示;
向量组1, 2 ,, n与向量组1, 2 ,, n , b等价;
矩阵A 1,2 ,,n 与矩阵B 1,2 ,,n , b
的秩相等.
４．线性方程组的解法
（1）应用克莱姆法则
特点：只适用于系数行列式不等于零的情形， 计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可 用来证明很多命题．
线性方程组解的结构及其判定
通解为 η 或
ξ = (5,3,1)T 所以 基础解系为
+ kξ
将其写成矩阵 方程形式为
x1 = 5c 3 x = 3c + 2 2 x3 = c
x1 5 3 x2 = 3 c + 2 x 1 0 3
~
A = (α1 , α 2 , , α n , β )称为方程组(1)的增广矩阵.
非齐次线性方程组的解法 1.非齐次线性方程组解的性质
性质1:非齐次方程组(1)的两个解的差是它的导出组的解.
Aη1 = B, Aη 2 = B A(η1 η 2 ) = O
性质2:非齐次方程组(1)的一个解与其导出组的一个解的和是 非齐次方程组(1)的解.
系数矩阵
(1)
a1n x1 b1 a2n x2 b2 X = B= x b a mn n m
方程组的 矩阵形式
AX = B
AX = O
非齐次 方程组的 导出组
引 a11 a12 进 a 21 a 22 向 α1 = α 2 = 量 a a
例1:求解方程组
1 1 0 → 0 2 0 1 0 5 3 1 → 0 1 3 2 → 0 0 0 0 0 0
同解方程组为
1 2 1 A = 2 3 1 4 7 1
x1 + 2 x2 x3 = 1 2 x1 + 3x2 + x3 = 0 4 x + 7 x x = 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 A = 1 1 1 3 → 0 0 2 4→ 0 1 1 2 3 0 0 1 2 0
x1 x2 x3 + x4 = 0 x1 x2 + x3 3x4 = 0 x x 2 x + 3x = 0 2 3 4 1
ξ = (5,3,1)T 所以 基础解系为
+ kξ
将其写成矩阵 方程形式为
x1 = 5c 3 x = 3c + 2 2 x3 = c
x1 5 3 x2 = 3 c + 2 x 1 0 3
~
A = (α1 , α 2 , , α n , β )称为方程组(1)的增广矩阵.
非齐次线性方程组的解法 1.非齐次线性方程组解的性质
性质1:非齐次方程组(1)的两个解的差是它的导出组的解.
Aη1 = B, Aη 2 = B A(η1 η 2 ) = O
性质2:非齐次方程组(1)的一个解与其导出组的一个解的和是 非齐次方程组(1)的解.
系数矩阵
(1)
a1n x1 b1 a2n x2 b2 X = B= x b a mn n m
方程组的 矩阵形式
AX = B
AX = O
非齐次 方程组的 导出组
引 a11 a12 进 a 21 a 22 向 α1 = α 2 = 量 a a
例1:求解方程组
1 1 0 → 0 2 0 1 0 5 3 1 → 0 1 3 2 → 0 0 0 0 0 0
同解方程组为
1 2 1 A = 2 3 1 4 7 1
x1 + 2 x2 x3 = 1 2 x1 + 3x2 + x3 = 0 4 x + 7 x x = 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 A = 1 1 1 3 → 0 0 2 4→ 0 1 1 2 3 0 0 1 2 0
x1 x2 x3 + x4 = 0 x1 x2 + x3 3x4 = 0 x x 2 x + 3x = 0 2 3 4 1
线性代数齐次线性方程组解的结构PPT资料(正式版)
x1 b1, r1k1 b1nknr
x2
b2,r1k1 b2nknr
xr br,r1k1 br nknr
xr1 k1
xr2
k2
xn
knr
其中， k1,k2, ,knr 任意取值。
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 2. 基础解系的求法
b 1 ,r 1
b 1 ,r 2
即 X k k k , (2) A X = 0 有非零解的充要条件是
只需按前面的求解过程完成即可。 设 A 为 n 阶方阵，且 r ( A ) = n - 1，证明 称之为齐次线性方程组的解空间，
1 12 2 n rn r
由 r ( A ) = n - 1，有
因此 (2) 若 为
一组基础解系，那么 AX0的通解可表示为
x k 11 k 22 k tt,P119
其中 k1,k2, ,knr是任意常数。
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 2. 基础解系的求法
设齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 r(A )rn,
不妨设 A 的前 r 个列向量线性无关，于是 A 可化为
x1
b1,r 1 xr 1
b1n xn
x2
b2,r1 xr 1 b2n xn
xr
br ,r 1 xr 1 brn xn
其中 xr1,xr2, ,xn是自由未知量，共有 ( n r ) 个。
由此得到方程组 A X = 0 的所有解为：
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 2. 基础解系的求法
线性表出。
称 1,2, ,t为方程组 AX0的(一个)基础解系。
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 说明 (1) 齐次线性方程组的基础解系就是其解空间的基，
线性代数——齐次线性方程组
T
综上可知方程组 Ax = 0与( AT A) x = 0同解, 因此 R( AT A) = R( A).
�
例1 求齐次线性方程组 x 1 + x 2 x 3 x 4 = 0, 2 x 1 5 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 0, 7x 7x + 3x + x = 0 1 2 3 4 的基础解系与通解. 解 对系数矩阵 A作初等行变换,变为行最简矩 阵,有
1 1 1 1 A = 2 5 3 2 7 7 3 1 1 0 2 7 3 7 ~ 0 1 5 7 4 7 , 0 0 0 0
b1,n r x n br , n r x n
所以 ξ 与 η 都是此方程组的解 , λ1 c1 λ c r r 由 ξ = λ r + 1 η = λ r + 1 λ1 = c1 , λ λ r+2 r+2 λ λ n n
现对 x r +1 ,
, x n 取下列 n r 组数:
0 1 , 0 0 0 , . 1
b1 ,n r xn br ,n r xn
xr +1 1 xr + 2 0 = , x 0 n
x1 = b11 xr +1 分别代入 x = b x r 1 r +1 r
=
2 7 5 7 ,ξ 1 0
2
=
3 7 4 7 , 0 1
2 7 3 7 x1 x2 5 7 4 7 = c 1 1 + c 2 0 , ( c 1 , c 2 ∈ R ). x3 0 1 x4
例2 解线性方程组
+ ktη t
, k n r 是任意常数 .
的一组基础解系, 那么, Ax = 0 的通解可表示为
综上可知方程组 Ax = 0与( AT A) x = 0同解, 因此 R( AT A) = R( A).
�
例1 求齐次线性方程组 x 1 + x 2 x 3 x 4 = 0, 2 x 1 5 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 0, 7x 7x + 3x + x = 0 1 2 3 4 的基础解系与通解. 解 对系数矩阵 A作初等行变换,变为行最简矩 阵,有
1 1 1 1 A = 2 5 3 2 7 7 3 1 1 0 2 7 3 7 ~ 0 1 5 7 4 7 , 0 0 0 0
b1,n r x n br , n r x n
所以 ξ 与 η 都是此方程组的解 , λ1 c1 λ c r r 由 ξ = λ r + 1 η = λ r + 1 λ1 = c1 , λ λ r+2 r+2 λ λ n n
现对 x r +1 ,
, x n 取下列 n r 组数:
0 1 , 0 0 0 , . 1
b1 ,n r xn br ,n r xn
xr +1 1 xr + 2 0 = , x 0 n
x1 = b11 xr +1 分别代入 x = b x r 1 r +1 r
=
2 7 5 7 ,ξ 1 0
2
=
3 7 4 7 , 0 1
2 7 3 7 x1 x2 5 7 4 7 = c 1 1 + c 2 0 , ( c 1 , c 2 ∈ R ). x3 0 1 x4
例2 解线性方程组
+ ktη t
, k n r 是任意常数 .
的一组基础解系, 那么, Ax = 0 的通解可表示为
线性代数重点知识总结
说明：1.本总结只是把课本的重点知识总结了一下，我没有看到期末考试题，所以考着了算是侥幸，考不着也正常。
2.知识点会了不一定做的对题，所以还要有相应的练习题。
3.前后内容要贯穿起来，融汇贯通，建立自己的知识框架。
第一章行列式1.行列式的定义式（两种定义式）-->行列式的性质-->对行列式进行行、列变换化为上下三角（求行列式的各种方法逐行相加、倒叙相减、加行加列、递推等方法，所有方法是使行列式出现尽可能多的0为依据的）。
2.行列式的应用——>克拉默法则（成立的前提、描述的内容、用途，简单的证明可从逆矩阵入手）。
总结：期末第一章可能不再单独考，但会在求特征值/判断正定性等内容时顺便考察行列式的求解。
第二章矩阵1.矩阵是一个数组按一定的顺序排列，和行列式（一个数）具有天壤之别。
2.高斯消元法求线性方程组的解—>唯一解、无解、无穷解时阶梯型的样子(与第三章解存在的条件以及解的结构联系在一起)3.求逆矩阵的方法（初等变换法，I起到记录所有初等变换的作用）、逆矩阵与伴随矩阵的关系。
4.初等矩阵和初等变换的一一对应关系，学会由初等变换找出与之对应的初等矩阵。
5.分块矩阵（运用分块矩阵有时可以很简单的解决一些复杂问题）记得结论A 可逆，则)A -(1|A |A -1T T αααα=+。
第三章 线性方程组第三章从向量组的角度入手，把线性方程组的系数矩阵的每一列看作一个列向量，从而得到一个向量组假设为n 21,,,ααα ，右边常则看作一个向量β，1）若向量β被向量组n 21,,,ααα 表出唯一（即满足关系：n n n ==),,,,(r ),,,(r 2121βαααααα 时，因为只有向量组n 21,,,ααα 线性无关才表出唯一），则只有唯一解；2）若β不能由向量组n 21,,,ααα 线性表出（即满足条件),,,,(r 1),,,(r 2121βααααααn n =+时）则无解；3）若β由向量组n 21,,,ααα 表出不唯一（即满足条件n n n <=),,,,(r ),,,(r 2121βαααααα 时，只有n 21,,,ααα 线性相关才表出不唯一）有无穷解。
齐次线性方程组解的结构(精)
齐次线性方程组解的结构
在学习齐次线性方程组解的结构之前，我们先来学习一下概念：向量空间.
线性方程组的向量表示
设有齐次线性方程组，记：
,，
则方程组可写成向量形式： Ax=0.
若为此方程组的解，则称为该方程组的解向量.
定义：若S为此线性方程组的全体解向量的集合，可以证明有：
（1）若，则；（2）若，则.
所以集合S是一个向量空间，我们称S为该齐次线性方程组的解空间.
对于齐次线性方程组，其向量方程形式为：Ax=0，
它的解向量可用通式表示为：
=1，
，(其右端的都是解向量：若取k
1
其余的k为0，即可看出ξ
为解向量，...。
)
1
故我们可以说，Ax=0的解向量为某n-r个线性无关的解向量的线性组合。
（注：
对此我们不加证明）
定义：齐次线性方程组的任何n-r个线性无关的解向量都称为此齐次方程组的一组基础解系.
注：这任意n-r个线性无关的解向量是齐次线性方程组解空间中的一个最大线性无关组。
是解空间的一个基。
设为方程组的一个基础解系，则方程组的解可表示为：
，其中k
1，k
2
，...，k
n-r
为任意实数.这个式子称为方
程组的通解。
例：求解方程组：
解：因为，故原方程的解向量可由任意3-2=1个线性无关的解向量的线性组合表示.
通过解方程可知为此方程组的一解向量,故原方程组的通解为：(k为任意实数。
线性代数课件3-5齐次线性方程组的解法
下面证明 1 , 2 , , n r 是齐次线性方程组(1)的一 个基础解系．
(1)证明 1 , 2 ,, n 线性无关.
1 0 , 0 0 1 , , 0 0 0 1
n 由于
r
个n
r
维向量
线性无关， 所以n r 个n 维向量 1 , 2 , , n r 亦线性无关.
(2)证明 1 , 2 , , n 线性无关.
设 x 1 方程组的一个解
r
r 1
n 为上述
T
. 再作 1 , 2 , , n r 的线性组合
b11 b12 b b r1 r2 r 1 1 r 2 0 n 0 1 0 0 b1 ,n r c 1 b r ,n r c r 0 r 1 0 r2 1 n
~
1 0 0
0 1 0
2 7 5 7 0
3 7 4 7 , 0
便得
2 x1 x 3 7 5 x2 x3 7
3 7 4 7
x4, x4.
x3 1 0 2 7 3 7 令 及 ,对应有 x 1 及 , 0 1 x4 x2 5 7 4 7
解
对系数矩阵施 行初等行变换
1 2 A 1 3
1 1 1 1
1 3 3 5
4 5 2 6
齐次线性方程组解的判定、线性组合与线性相关1
1 2 4 ~ 2 −1 3 A= − 1 1 − 1 5 1 11
1 2 0 − 5 0 3 0 − 9
4 −5 3 −9
1 2 0 1 0 0 0 0
4 1 0 0
三、向量组间的线性表示 1.定义：设有两向量组 A:α1,α2,···,αs；B:β1,β2,···,βt 若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示， 则称向量组B能由向量组A线性表示。 若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个 A B 向量组等价。 2.定理：若向量组A可由向量组B线性表示，向量组B 可由向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C线性 表示。(传递性）
k1α1 + k2α 2 + ⋯ + knα n = O
1.定义：对于向量组:α1,α2,···,αs，如果存在一组不全 为零的数k1,k2,···,ks, 使得： k1α1+k2α2+···+ksαs=O 则称向量组α1,α2,···,αs 线性相关； 如果当且仅当k1=k2=···=ks=0时上式才成立，则称向 量组α1,α2,···,αs 线性无关。 例 α1=(1,1)T,α2=(2,2) T 线性相关。 2α1－α2=O 例 n维单位向量组 ε1 , ε 2 ,⋯, ε n 线性无关。 若 k1ε1 + k2ε 2 + ⋯ + knε n = O = (k1 , k2 ,⋯, kn )T 则： 1 = k2 = ⋯ = kn = 0 k
练习： 1.α=(1,1,1)T, β=(1,3,0)T, γ =(2,4,1)T, 试将α表示为β, γ的 线性组合。 性相关性。 线性相关性。 4.课本96页第7题。 α=－β＋γ 线性相关 线性相关 2.讨论α1=(1,2,1)T, α2=(4,－1,－5)T, α3 =(2,1,－1)T 的线 3.若α1,α2, α3线性无关，讨论α1－α2,α2－α3 ,α3－α1的
向量组的线性相关性的判定方法浅析
目录摘要： (I)关键词： (I)Abstract (II)Keywords： (II)1．前言 (1)2．预备知识 (1)2.1线性相关性的概念及性质 (1)2.1.1线性相关的概念 (1)2.1.2线性相关的性质 (2)3.向量组线性相关的判定方法 (3)3.1定义法 (3)3.2根据齐次线性方程组的解进行判定 (4)3.3利用矩阵的秩进行判定 (5)3.4利用行列式值进行判定 (6)3.5反证法 (7)3.6 数学归纳法 (7)3.7用线性变换的性质进行判定 (8)3.8利用朗斯基行列式来判定 (10)4.结束语 (11)参考文献 (12)致谢 (13)向量组的线性相关性的判定方法浅析摘要：本文总结综述了向量组线性相关性的判定方法，并阐述了不同判定方法适用的条件.关键词：线性相关；线性无关；判定方法.Several Methods of Judging the Linear Dependence of A VectorGroup is analysedAbstract：This article summarizes the judging methods of vector linear correlation, and expounds the different methods applicable conditions.Keywords：linear correlation; linear independence; judging methods .1．前言向量组的线性相关性在线性代数中起到贯穿始终的作用.线性相关性这个概念在许多数学专业课程中都有体现，如微分几何，高等代数和偏微分方程等等.它是线性代数理论的基本概念，它与线性空间(包括基，维数），子空间等概念有密切关系，同时在微分几何以及偏微分方程中都有广泛的应用.因此，掌握线性相关性这个概念有着非常重要的意义，也是解决其它问题的重要理论依据.向量组的线性相关与线性无关判定方法是非常灵活的。
线性代数重要知识点总结
线性代数N阶行列式定理1：任意一个排列经过对换后，其奇偶性改变。
推论：奇排列变成自然数顺序排列的对换次数为奇数，偶排列变成自然数顺序排列的对换次数为偶数。
定理2：n个自然数（n-1）共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半。
行列式的性质性质1：行列式与它的转置行列式相等。
性质2：交换行列式的两行（列），行列式变号。
*注2：交换i,j两列，记为ri↔ri（ci↔cj）。
推论1：如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，那么该行列式必为零。
性质3：用数k乘行列式的某一行（列），等于用k乘此行列式。
注3：第i行（列）乘以k，记为ri×k（ci×k）。
推论2：行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
推论3：在一个行列式中，如果有两行（列）元素成比例，则这个行列式必等于零。
性质4：如果将行列式的某一行（列）的每个元素都改写成两个数的和，则此行列式可写为两个行列式的和，且这两个行列式分别为所在行（列）对应位置的元素，其它元素不变。
#注4：上述结果可推广到有限个数和的情形。
性质5：将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数k后加到另一个行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。
注5：以数k乘第j行加到第i行上，记作ri+krj；以数k乘第j列加到第i列上，记作ci+kcj。
行列式按行（列）展开余子式：Mij 代数余子式：Aij=（-1）i+j Mij引理：一个n阶行列式D,若其中第i行所有元素除aij外都为0，则该行列式等于aij 与它代数余子式的乘积，即D=aijAij[定理：行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
推论：行列式某一行（列）的每元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零。
k阶行列式：在n阶行列式D中，任意选定k行k列，位于这些行和列交叉处的k²个元素，按原来顺序构成一个k阶行列式M,称为D的一个k阶子式，划去这k行k列，余下的元素按原来的顺序构成一个n-k阶行列式，在其前面冠以符号(-1)的（i1+i2+…+i k+j1+j2+…+j k）次方，称为M的代数余子式，其中i1,i2,…,i k为k阶子式M在D中的各行标，j1,j2,…,j k为M在D 中的各列标。
6-齐次线性方程组的解法
- 8 1 2 750 1 - 8 2 1200 1 1 - 9 2250
1 0 0 200 0 1 0 250 0 0 1 300
所以此方程组的解为 x1 200 x2 250 x 300 3
若各部门在计划期内的最终产品为y1=75,y2=120, y3=225，预测各部门在计划期内的总产出x1,x2,x3.
解：列出此经济系统在计划期内的产品分配 平衡表。
产出 投入
1 生产部门 2 3
消费部门 最终产品 1 2 3 0.2x1 0.1x2 0.2x3 75 0.1x1 0.1x1 0.2x2 0.1x2 0.2x3 0.1x3 120 225
取x4为自由未知量， 则方程可化为
x1 c x 2 c 令x4 c， 则方程的解为 x 3 0 x4 c
x1 x 4 , x x , 4 2 x3 0
第四节 投入产出问题
投入产出是分析研究经济各个部分（作为 生产单位或消费单位的产业部门、行业、产品 等）之间表现为投入和产出的相互依存关系的 一种经济数量分析方法。由美国经济学家里昂 惕夫1933年提出。
产出 投入
消费部门 农业 工业 190 1520 95 1995 3800 其他 30 180 60 330 600 60 90 30 420 600
最终产品 总产出 320 2010 415 600 3800 600
农业 生产部门 工业 其他 创造价值 总投入
xij 解： 由公式 aij 得出直接消耗系数矩阵 xj
令X ( x1 , x 2 ,, xn )T , Y ( y 1 , y 2 ,, y n )T , 则上式可化为矩阵方程
线性代数7.方程组解的判定、向量的线性运算
一、n 维向量的概念
定义 n 个有次序的数 a1, a2, , an 所组成的数组称为n维向量， 这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
例如
(1,2,3,, n)
n维实向量
(1,3i,3 i)
3维复向量
n 维向量的表示方法
c2 ,
x3 c1,
x4 c2 ,
或：
x1 x2 x3 x4
5 2c1 3 c2
2c1
4 3
c2
c1
c2
5
c1
2 2 1
c2
3 4
3
.
0
0
1
例 求解非齐次线性方程组
x1 3 x1
2
x2 x23x3 5ຫໍສະໝຸດ 3x4 3 x4R A
R A,b
3
方程组有唯一解
1 1 2 4
当
-2 时，
A,b
r
0
3
3
6
0 0 0 3
R A 2
R
A,b
3
R A
R A,b
方程组无解
1 1 1
当
1 时， A,b
r
0
0
0
由等价方程组：
0 0 0
x1 x2
1
0
0
x3
R A 1
R
A,b
1
1.
R A
x1 x2 x3 x4 0 x1 x2 x3 3x4 2
.
x1
x2
2x3
3x4
1
解 写出增广矩阵并进行初等行变换至行阶梯形得：
定义 n 个有次序的数 a1, a2, , an 所组成的数组称为n维向量， 这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
例如
(1,2,3,, n)
n维实向量
(1,3i,3 i)
3维复向量
n 维向量的表示方法
c2 ,
x3 c1,
x4 c2 ,
或：
x1 x2 x3 x4
5 2c1 3 c2
2c1
4 3
c2
c1
c2
5
c1
2 2 1
c2
3 4
3
.
0
0
1
例 求解非齐次线性方程组
x1 3 x1
2
x2 x23x3 5ຫໍສະໝຸດ 3x4 3 x4R A
R A,b
3
方程组有唯一解
1 1 2 4
当
-2 时，
A,b
r
0
3
3
6
0 0 0 3
R A 2
R
A,b
3
R A
R A,b
方程组无解
1 1 1
当
1 时， A,b
r
0
0
0
由等价方程组：
0 0 0
x1 x2
1
0
0
x3
R A 1
R
A,b
1
1.
R A
x1 x2 x3 x4 0 x1 x2 x3 3x4 2
.
x1
x2
2x3
3x4
1
解 写出增广矩阵并进行初等行变换至行阶梯形得：
第二节 齐次线性方程组 齐次线性方程组的概念
定义
设1,2 , r 是齐次线性方程组 AX 0
的一组解向量，若它满足下列条件：
（1） 1 ,2 , r 线性无关；
（2）方程组 AX 0 的任一解向量都可由1 ,2 , r 线性表出 则称向量组 1 ,2 , r是齐次线性方程组
AX 0 的一个基础解系。
如果 1,2 , r 是齐次线性方程组 AX 0 的一个基础解系 那么，对任意常数 k1, k2 , kr ,
若令
A
a21
am1
a12 a22 am2
a1n
a2n
,
amn
x1
X
x2 xn
则 （1）可写成矩阵形式: AX 0 (2)
a1 j
若令
aj
a2 j
j 1,2, , n
amj
即向量组 a1 , a2 , an为齐次线性方程组（1）的
系数矩阵的列向量组
第二节 齐次线性方程组
齐次线性方程组的概念 齐次线性方程组的解空间 齐次线性方程组的基础解系
一、齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
齐次线性方程组
a21 x1
a22 x2
a2n xn
0
(1)
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
a11
的基础解系，即证明了当 R（A）= r〈 n 时齐次
线性方程组 AX 0 中有n- r个自由变量，
使基础解系由n- r个解向量组成。
说明１．方程组的基础解系不是唯一的． ２．方程组的基础解系又称为解空间的基．
３．若1 ,2 , ,nr 是 Ax 0 的基础解系，
则其通解为
x k11 k22 knrnr .
一,齐次线性方程组解的性质共97页文档
说明 １．解空间的基不是唯一的．
２．解空间的基又称为方程组的基础解系．
３．若1,2,,nr 是A x0的基础解系，则
其通解为 x k 1 1 k 2 2 k n rn r . 其k中 1,k2,,knr是任意 . 常数
定理1 n元齐次线性 Am方 nx程 0的组全体解 构成的S是 集一 合个向,当 量系 空数 间矩阵的
也是 Ax0 的解.
证明 A 1 0 ,A 2 0
A 1 2 A 1 A 2 0
故 x 1 2也 A 是 0 x 的 . 解
（2）若 x1 为 A x0的解， k为实数，则
xk1也是 A x0的解．
证明 A k 1 k 1 A k 0 0 .
证毕.
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线
R(Amn)r时,解空S的 间维数 nr为 . 当 R(A)n时 ,方程组只 ,故有 没零 有解 基
系 (此时解空间向 只,量 为 含 0维 一向 个量 )零 ;空 当R(A) r n时,方程组必有n含r个向量的
基础解系1,2, ,nr,此时,方程组的解可表示 x k11 k22 knr nr,
性方程组 Ax0的解空间．
二、基础解系及其求法
１．基础解系的定义
1,2,,t称为齐次线 A性 x 0的 方基 程础
解,系 如果
(1)1,2,,t是 A x0的一组的 线 ;解 性 (2)A x0的任一1解 ,2,都 ,t线 可 性 由
出 .
如 果 1,2,,t为齐次线性 Ax方 0 程
的一组基 ,那 础,么 A 解 x0系 的通解可表
x
x2
x n
２．解空间的基又称为方程组的基础解系．
３．若1,2,,nr 是A x0的基础解系，则
其通解为 x k 1 1 k 2 2 k n rn r . 其k中 1,k2,,knr是任意 . 常数
定理1 n元齐次线性 Am方 nx程 0的组全体解 构成的S是 集一 合个向,当 量系 空数 间矩阵的
也是 Ax0 的解.
证明 A 1 0 ,A 2 0
A 1 2 A 1 A 2 0
故 x 1 2也 A 是 0 x 的 . 解
（2）若 x1 为 A x0的解， k为实数，则
xk1也是 A x0的解．
证明 A k 1 k 1 A k 0 0 .
证毕.
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线
R(Amn)r时,解空S的 间维数 nr为 . 当 R(A)n时 ,方程组只 ,故有 没零 有解 基
系 (此时解空间向 只,量 为 含 0维 一向 个量 )零 ;空 当R(A) r n时,方程组必有n含r个向量的
基础解系1,2, ,nr,此时,方程组的解可表示 x k11 k22 knr nr,
性方程组 Ax0的解空间．
二、基础解系及其求法
１．基础解系的定义
1,2,,t称为齐次线 A性 x 0的 方基 程础
解,系 如果
(1)1,2,,t是 A x0的一组的 线 ;解 性 (2)A x0的任一1解 ,2,都 ,t线 可 性 由
出 .
如 果 1,2,,t为齐次线性 Ax方 0 程
的一组基 ,那 础,么 A 解 x0系 的通解可表
x
x2
x n
3.4 齐次线性方程组解
线性代数
第三章 n维向量与线性方程组
3.4 齐次线性方程组解的结构
1. 向量组的极大无关组：
i1 , i2 ,, ir 是极大无关组的充分必要条件： 1, 2 ,, s i1 , i2 ,, ir .
r 1, 2 ,, s r 为向量组 1, 2 ,, s 的秩。
x1 2 7 x 5 7 2 有解： x3 1 x4 0
2 7 5 7 为解向量。 称 1 1 0 再如, 设 A aij mn , B bij ns 1, 2 ,, s
x1 b1r 1x r 1 b1r 2 x r 2 b1n x n x 2 b2 r 1x r 1 b2 r 2 x r 2 b2n x n x r brr 1x r 1 brr 2 x r 2 brn x n
若记
x1 a11 a12 a1n x a a a 2 21 22 2n X A 1 2 n , a a a m2 mn m1 xn
则等价的向量形式为：
x11 x2 2 xn n 0
其中
xr 1, xr 2 ,, xn 是自由未知量，分别取
x r 1 1 0 0 x 0 1 0 r 2 , ,, 1 xn 0 0
n－r个 n－r维 向量。
得到方程组AX=0的 n r 个解：
b1r 1 b1n b1r 2 b 2 r 1 b2 n b2 r 2 brr 2 brn brr 1 1 ,, nr , 2 0 0 1 0 0 1 0 1 0
第三章 n维向量与线性方程组
3.4 齐次线性方程组解的结构
1. 向量组的极大无关组：
i1 , i2 ,, ir 是极大无关组的充分必要条件： 1, 2 ,, s i1 , i2 ,, ir .
r 1, 2 ,, s r 为向量组 1, 2 ,, s 的秩。
x1 2 7 x 5 7 2 有解： x3 1 x4 0
2 7 5 7 为解向量。 称 1 1 0 再如, 设 A aij mn , B bij ns 1, 2 ,, s
x1 b1r 1x r 1 b1r 2 x r 2 b1n x n x 2 b2 r 1x r 1 b2 r 2 x r 2 b2n x n x r brr 1x r 1 brr 2 x r 2 brn x n
若记
x1 a11 a12 a1n x a a a 2 21 22 2n X A 1 2 n , a a a m2 mn m1 xn
则等价的向量形式为：
x11 x2 2 xn n 0
其中
xr 1, xr 2 ,, xn 是自由未知量，分别取
x r 1 1 0 0 x 0 1 0 r 2 , ,, 1 xn 0 0
n－r个 n－r维 向量。
得到方程组AX=0的 n r 个解：
b1r 1 b1n b1r 2 b 2 r 1 b2 n b2 r 2 brr 2 brn brr 1 1 ,, nr , 2 0 0 1 0 0 1 0 1 0
4-1齐次线性方程组
5 x1 2 x3 3 x4 0, 4 x 2 2 x 3 x 4 0, 3
5 x1 2 x3 3 x4 , 由此即得 4 x 2 2 x 3 x4 , 3
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 c1 , x4 c2，把它写成通常的参数 形式 5 5 x1 2c1 c2 , x1 2 3 3 x2 2 x 2c 4 c , 4 . c1 c2 1 2 2 3 x3 1 3 0 0 x x3 c1 , 4 x c , 1 4 2
故 .
即 r 11 r 2 2 n n r .
所以1 , , n r 是齐次线性方程组解空间的一个基. 说明 １．解空间的基不是唯一的． ２．解空间的基又称为方程组的基础解系．
３．若1 , 2 , , n r 是Ax 0 的基础解系，则 其通解为 x k11 k2 2 kn r n r .
1 0 A~ 0 0
0
1
b11 b1, n r br 1 br , n r 0 0
1 0 Ax 0 0 0
由于x r 1 b1,n r x n 方程组 x b x b r 1 r 1 r ,n r x n r 所以与都是此方程组的解, 1 c1 c r r 由 r 1 r 1 1 c1 , , r cr . r2 r2 n n
5 x1 2 x3 3 x4 , 由此即得 4 x 2 2 x 3 x4 , 3
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 c1 , x4 c2，把它写成通常的参数 形式 5 5 x1 2c1 c2 , x1 2 3 3 x2 2 x 2c 4 c , 4 . c1 c2 1 2 2 3 x3 1 3 0 0 x x3 c1 , 4 x c , 1 4 2
故 .
即 r 11 r 2 2 n n r .
所以1 , , n r 是齐次线性方程组解空间的一个基. 说明 １．解空间的基不是唯一的． ２．解空间的基又称为方程组的基础解系．
３．若1 , 2 , , n r 是Ax 0 的基础解系，则 其通解为 x k11 k2 2 kn r n r .
1 0 A~ 0 0
0
1
b11 b1, n r br 1 br , n r 0 0
1 0 Ax 0 0 0
由于x r 1 b1,n r x n 方程组 x b x b r 1 r 1 r ,n r x n r 所以与都是此方程组的解, 1 c1 c r r 由 r 1 r 1 1 c1 , , r cr . r2 r2 n n
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从而α1,α2, α3线性相关。
1 0 2 0 2 2 0 5 5
1 0 2 0 2 2 0 0 0
1 0 2
注：也可通过计算 1 2 4 = 0 得出结论。
1 5 7
4.定理2：如果向量组中有一部分向量线性相关，则 整个向量组线性相关。 （部分相关，则整体相关） 分析：若存在一组不全为零的数k1, k2 , ···, kr，使得： r≤s 则： k1α1+k2α2+···+krαr+0αr+1+···+ 0αs=O 5.推论3：线性无关向量组中任何一部分组皆线性 无关。 （整体无关，则部分无关） 例 含有零向量的向量组线性相关。 0α1+0α2+···+ 0αs+1·O=O 或：零向量线性相关（部分相关，则整体相关） k1α1+k2α2+···+krαr=O
三、向量组间的线性表示 1.定义：设有两向量组 A:α1,α2,···,αs；B:β1,β2,···,βt 若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示， 则称向量组B能由向量组A线性表示。 若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个 A B 向量组等价。 2.定理：若向量组A可由向量组B线性表示，向量组B 可由向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C线性 表示。(传递性）
1 2 4 ~ 2 −1 3 A= − 1 1 − 1 5 1 11
1 2 0 − 5 0 3 0 − 9
4 −5 3 −9
1 2 0 1 0 0 0 0
4 1 0 0
二、向量的线性组合 1.定义：给定向量组：α1, α2, ···, αs和向量β，如果存 在一组数k1,k2,···,ks, 使得： β=k1α1+k2α2+···+ksαs 则称β可由向量组α1,α2,···,αs 线性表示(线性表出)； 又称β是向量组α1,α2,···,αs 的线性组合。 例：若β = (2,−1,1)T , ε1 = (1,0,0)T , ε 2 = (0,1,0)T , ε 3 = (0,0,1)T 则β可由向量组ε1,ε2,ε3线性表示为： β=2ε1－ε2＋ε3 T α 任一n维向量： = (a1 , a2 ,⋯, an ) = a1ε1 + a2ε 2 + ⋯ + anε n
练习： 1.α=(1,1,1)T, β=(1,3,0)T, γ =(2,4,1)T, 试将α表示为β, γ的 线性组合。 性相关性。 线性相关性。 4.课本96页第7题。 α=－β＋γ 线性相关 线性相关 2.讨论α1=(1,2,1)T, α2=(4,－1,－5)T, α3 =(2,1,－1)T 的线 3.若α1,α2, α3线性无关，讨论α1－α2,α2－α3 ,α3－α1的
1 0 2 0 1 1 0 0 0 0 0 0
所以x1=2,x2=1， 即：β=2α1+α2.
判断向量β能否用向量组α1,α2,···,αs线性表示，等同 于判断x1α1+x2α2+···+xsαs=β是否有解。 线性方程组 2.定理：向量β能用向量组α1, α2, ···, αs线性表示的充 r(α1, α2, ···, αs)= r(α1, α2, ···, αs,β) 要条件是： 注：(1) r(α1, α2, ···, αs)= r(α1, α2, ···, αs,β)=s时，表示 式唯一； (2) r(α1, α2, ···, αs)= r(α1, α2, ···, αs,β)< s时，表示式不 唯一。
列向量（列矩阵）
α = (a1 , a2 ,⋯, an )
行向量（行矩阵）
2.一些特殊向量： （1）零向量：所有分量都为零的向量； （2）单位向量组： ε1 = (1,0,⋯,0)T , ε 2 = (0,1,⋯,0)T ,⋯, ε n = (0,0,⋯,1)T a1 j a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2 n 的每一列α = a2 j j （3）A = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a a mj am 2 ⋯ amn m1
α1
α2
αn
都是m维列向量； 而其每一行 β i = (ai1 , ai 2 ,⋯, ain ) 都是n维行向量。
a11 a12 a21 a22 （3）A = ⋯ ⋯ a m1 am 2
β1 β2 故A可记为： = (α1 , α 2 ,⋯, α n ) = A ⋯ β m
⇔ r(α1,α2,···,αs)<s
注：向量组:α1,α2,···,αs线性无关⇔ r(α1,α2,···,αs)=s
对齐次线性方程组，我们有以下结论： 推论1：如果齐次线性方程组的方程个数小于未知数 个数，则它必有非零解。 向量维数 向量个数 推论2：n个方程n个未知数的齐次线性方程组有非零 解的充要条件是|A|=0；而它只有零解的充要条件是 |A|≠0. 所以对向量，我们相应有： 2.推论1：向量个数大于维向量维数时，向量组线性 相关。 3.推论2：n个n维向量组:α1,α2,···,αn线性相关 ⇔ |α1,α2,···,αn |=0, 线性无关 ⇔ |α1,α2,···,αn |≠0.
1 0 2 例 讨论 α1 = 1,α 2 = 2 ,α3 = 4 的线性相关性。 1 5 7
1 0 2 解：(α1,α 2 ,α3 ) = 1 2 4 1 5 7的线性运算： 向量的加法和数乘运算。 矩阵的加法和数乘运算。
⋯ a1n ⋯ a2 n ⋯ ⋯ ⋯ amn
4.线性方程组的向量表示：
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1 n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2 n xn = b2 线性方程组 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ am1 x1 + am 2 x2 + ⋯ + amn xn = bm αn α1 α2 β 可表示为 x1α1 + x2α 2 + ⋯ + xnα n = β
§2 向量与向量组的线性组合 一、向量及其线性运算 1.定义： n个有次序的数a1, a2, ⋅⋅⋅ , an所组成的数组称 为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数 ai称为第i个分量。 a1 a2 如： = = (a1 , a2 ,⋯, an )T α ⋮ a n
k1α1 + k2α 2 + ⋯ + knα n = O
1.定义：对于向量组:α1,α2,···,αs，如果存在一组不全 为零的数k1,k2,···,ks, 使得： k1α1+k2α2+···+ksαs=O 则称向量组α1,α2,···,αs 线性相关； 如果当且仅当k1=k2=···=ks=0时上式才成立，则称向 量组α1,α2,···,αs 线性无关。 例 α1=(1,1)T,α2=(2,2) T 线性相关。 2α1－α2=O 例 n维单位向量组 ε1 , ε 2 ,⋯, ε n 线性无关。 若 k1ε1 + k2ε 2 + ⋯ + knε n = O = (k1 , k2 ,⋯, kn )T 则： 1 = k2 = ⋯ = kn = 0 k
练习：判断以下向量组是否线性相关。 1.α1=(1,2,3)T,α2=(0,4,5)T,α3 =(0,0,6)T 2.α1=(1,1,1)T,α2=(3,2,3)T,α3 =(4,3,4)T 3.α1=(1,2,3)T,α2=(2,3,4)T,α3 =(3,4,5)T ,α3 =(4,5,6)T 4.α1=(1,0,0,2,5)T,α2=(0,1,1,3,4)T,α3 =(0,0,0,0,0)T
二、齐次线性方程组 定理：齐次线性方程组有非零解 ⇔ r ( A) < n 齐次线性方程组只有零解⇔ r ( A) = n 推论1：如果齐次线性方程组的方程个数小于未知数 个数（m<n），则它必有非零解。 推论2：n个方程n个未知数的齐次线性方程组有非零 解的充要条件是|A|=0；而它只有零解的充要条件是 |A|≠0.
例 零向量可由任一向量组线性表示： O = 0α1 + 0α 2 + ⋯ + 0α s 例 向量组α1, α2, ···, αs中的任一向量αj都可由该向量 组线性表示：α j = 0α1 + ⋯ + 0α j −1 + α j + 0α j +1 ⋯ + 0α s 判断向量 β = (4,3,−1,11)T能否表示为向量组： α1 = (1,2,−1,5)T ,α 2 = (2,−1,1,1)T 的线性组合，若可以， 写出表示式。 x1 + 2 x2 = 4 2x − x = 3 2 解： 设 β = x1α1 + x2α 2 ，即： 1 − x1 + x2 = −1 5 x1 + x2 = 11 例
例 一个零向量线性相关，一个非零向量线性无关； 例 证明：若α1,α2线性无关，则α1+α2,α1－α2也线性 无关。 二 、向量组线性相关性的一些判定定理 n维向量组:α1,α2,···,αs线性相关等同于齐次线性方程组 x1α1+x2α2+···+xsαs=O 有非零解。 1.定理1：n维向量组:α1,α2,···,αs线性相关
§3 向量组的线性相关性 一、线性相关性的概念 引例 齐次线性方程组Ax=O的向量形式为
x1α1 + x2α 2 + ⋯ + xnα n = O
显然，其必有零解。 (零向量可由任一向量组线性表示) 我们关心其是否有非零解？ 其是否有非零解等同于是否存在一组不全为零的数 k1,k2,···,kn, 使得：
1 0 2 0 2 2 0 5 5
1 0 2 0 2 2 0 0 0
1 0 2
注：也可通过计算 1 2 4 = 0 得出结论。
1 5 7
4.定理2：如果向量组中有一部分向量线性相关，则 整个向量组线性相关。 （部分相关，则整体相关） 分析：若存在一组不全为零的数k1, k2 , ···, kr，使得： r≤s 则： k1α1+k2α2+···+krαr+0αr+1+···+ 0αs=O 5.推论3：线性无关向量组中任何一部分组皆线性 无关。 （整体无关，则部分无关） 例 含有零向量的向量组线性相关。 0α1+0α2+···+ 0αs+1·O=O 或：零向量线性相关（部分相关，则整体相关） k1α1+k2α2+···+krαr=O
三、向量组间的线性表示 1.定义：设有两向量组 A:α1,α2,···,αs；B:β1,β2,···,βt 若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示， 则称向量组B能由向量组A线性表示。 若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个 A B 向量组等价。 2.定理：若向量组A可由向量组B线性表示，向量组B 可由向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C线性 表示。(传递性）
1 2 4 ~ 2 −1 3 A= − 1 1 − 1 5 1 11
1 2 0 − 5 0 3 0 − 9
4 −5 3 −9
1 2 0 1 0 0 0 0
4 1 0 0
二、向量的线性组合 1.定义：给定向量组：α1, α2, ···, αs和向量β，如果存 在一组数k1,k2,···,ks, 使得： β=k1α1+k2α2+···+ksαs 则称β可由向量组α1,α2,···,αs 线性表示(线性表出)； 又称β是向量组α1,α2,···,αs 的线性组合。 例：若β = (2,−1,1)T , ε1 = (1,0,0)T , ε 2 = (0,1,0)T , ε 3 = (0,0,1)T 则β可由向量组ε1,ε2,ε3线性表示为： β=2ε1－ε2＋ε3 T α 任一n维向量： = (a1 , a2 ,⋯, an ) = a1ε1 + a2ε 2 + ⋯ + anε n
练习： 1.α=(1,1,1)T, β=(1,3,0)T, γ =(2,4,1)T, 试将α表示为β, γ的 线性组合。 性相关性。 线性相关性。 4.课本96页第7题。 α=－β＋γ 线性相关 线性相关 2.讨论α1=(1,2,1)T, α2=(4,－1,－5)T, α3 =(2,1,－1)T 的线 3.若α1,α2, α3线性无关，讨论α1－α2,α2－α3 ,α3－α1的
1 0 2 0 1 1 0 0 0 0 0 0
所以x1=2,x2=1， 即：β=2α1+α2.
判断向量β能否用向量组α1,α2,···,αs线性表示，等同 于判断x1α1+x2α2+···+xsαs=β是否有解。 线性方程组 2.定理：向量β能用向量组α1, α2, ···, αs线性表示的充 r(α1, α2, ···, αs)= r(α1, α2, ···, αs,β) 要条件是： 注：(1) r(α1, α2, ···, αs)= r(α1, α2, ···, αs,β)=s时，表示 式唯一； (2) r(α1, α2, ···, αs)= r(α1, α2, ···, αs,β)< s时，表示式不 唯一。
列向量（列矩阵）
α = (a1 , a2 ,⋯, an )
行向量（行矩阵）
2.一些特殊向量： （1）零向量：所有分量都为零的向量； （2）单位向量组： ε1 = (1,0,⋯,0)T , ε 2 = (0,1,⋯,0)T ,⋯, ε n = (0,0,⋯,1)T a1 j a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2 n 的每一列α = a2 j j （3）A = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a a mj am 2 ⋯ amn m1
α1
α2
αn
都是m维列向量； 而其每一行 β i = (ai1 , ai 2 ,⋯, ain ) 都是n维行向量。
a11 a12 a21 a22 （3）A = ⋯ ⋯ a m1 am 2
β1 β2 故A可记为： = (α1 , α 2 ,⋯, α n ) = A ⋯ β m
⇔ r(α1,α2,···,αs)<s
注：向量组:α1,α2,···,αs线性无关⇔ r(α1,α2,···,αs)=s
对齐次线性方程组，我们有以下结论： 推论1：如果齐次线性方程组的方程个数小于未知数 个数，则它必有非零解。 向量维数 向量个数 推论2：n个方程n个未知数的齐次线性方程组有非零 解的充要条件是|A|=0；而它只有零解的充要条件是 |A|≠0. 所以对向量，我们相应有： 2.推论1：向量个数大于维向量维数时，向量组线性 相关。 3.推论2：n个n维向量组:α1,α2,···,αn线性相关 ⇔ |α1,α2,···,αn |=0, 线性无关 ⇔ |α1,α2,···,αn |≠0.
1 0 2 例 讨论 α1 = 1,α 2 = 2 ,α3 = 4 的线性相关性。 1 5 7
1 0 2 解：(α1,α 2 ,α3 ) = 1 2 4 1 5 7的线性运算： 向量的加法和数乘运算。 矩阵的加法和数乘运算。
⋯ a1n ⋯ a2 n ⋯ ⋯ ⋯ amn
4.线性方程组的向量表示：
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1 n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2 n xn = b2 线性方程组 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ am1 x1 + am 2 x2 + ⋯ + amn xn = bm αn α1 α2 β 可表示为 x1α1 + x2α 2 + ⋯ + xnα n = β
§2 向量与向量组的线性组合 一、向量及其线性运算 1.定义： n个有次序的数a1, a2, ⋅⋅⋅ , an所组成的数组称 为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数 ai称为第i个分量。 a1 a2 如： = = (a1 , a2 ,⋯, an )T α ⋮ a n
k1α1 + k2α 2 + ⋯ + knα n = O
1.定义：对于向量组:α1,α2,···,αs，如果存在一组不全 为零的数k1,k2,···,ks, 使得： k1α1+k2α2+···+ksαs=O 则称向量组α1,α2,···,αs 线性相关； 如果当且仅当k1=k2=···=ks=0时上式才成立，则称向 量组α1,α2,···,αs 线性无关。 例 α1=(1,1)T,α2=(2,2) T 线性相关。 2α1－α2=O 例 n维单位向量组 ε1 , ε 2 ,⋯, ε n 线性无关。 若 k1ε1 + k2ε 2 + ⋯ + knε n = O = (k1 , k2 ,⋯, kn )T 则： 1 = k2 = ⋯ = kn = 0 k
练习：判断以下向量组是否线性相关。 1.α1=(1,2,3)T,α2=(0,4,5)T,α3 =(0,0,6)T 2.α1=(1,1,1)T,α2=(3,2,3)T,α3 =(4,3,4)T 3.α1=(1,2,3)T,α2=(2,3,4)T,α3 =(3,4,5)T ,α3 =(4,5,6)T 4.α1=(1,0,0,2,5)T,α2=(0,1,1,3,4)T,α3 =(0,0,0,0,0)T
二、齐次线性方程组 定理：齐次线性方程组有非零解 ⇔ r ( A) < n 齐次线性方程组只有零解⇔ r ( A) = n 推论1：如果齐次线性方程组的方程个数小于未知数 个数（m<n），则它必有非零解。 推论2：n个方程n个未知数的齐次线性方程组有非零 解的充要条件是|A|=0；而它只有零解的充要条件是 |A|≠0.
例 零向量可由任一向量组线性表示： O = 0α1 + 0α 2 + ⋯ + 0α s 例 向量组α1, α2, ···, αs中的任一向量αj都可由该向量 组线性表示：α j = 0α1 + ⋯ + 0α j −1 + α j + 0α j +1 ⋯ + 0α s 判断向量 β = (4,3,−1,11)T能否表示为向量组： α1 = (1,2,−1,5)T ,α 2 = (2,−1,1,1)T 的线性组合，若可以， 写出表示式。 x1 + 2 x2 = 4 2x − x = 3 2 解： 设 β = x1α1 + x2α 2 ，即： 1 − x1 + x2 = −1 5 x1 + x2 = 11 例
例 一个零向量线性相关，一个非零向量线性无关； 例 证明：若α1,α2线性无关，则α1+α2,α1－α2也线性 无关。 二 、向量组线性相关性的一些判定定理 n维向量组:α1,α2,···,αs线性相关等同于齐次线性方程组 x1α1+x2α2+···+xsαs=O 有非零解。 1.定理1：n维向量组:α1,α2,···,αs线性相关
§3 向量组的线性相关性 一、线性相关性的概念 引例 齐次线性方程组Ax=O的向量形式为
x1α1 + x2α 2 + ⋯ + xnα n = O
显然，其必有零解。 (零向量可由任一向量组线性表示) 我们关心其是否有非零解？ 其是否有非零解等同于是否存在一组不全为零的数 k1,k2,···,kn, 使得：