2007年高考试题 2007文科圆锥曲线改好 重庆文（12）已知以F 1（2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 （A ）23（B ）62（C ）72（D ）24（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）如题（21）图，倾斜角为a 的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点。
题（21）图（Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（Ⅱ）若a 为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明|FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。
（21）（本小题12分）（Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为px y 22=，则82=p ，从而.4=p 因此焦点)0,2(pF 的坐标为（2，0）.又准线方程的一般式为2p x -=。
从而所求准线l 的方程为2-=x 。
答（21）图解法二：设),(A A y x A ，),(B B y x B ，直线AB 的斜率为a k tan =，则直线方程为)2(-=x k y 。
将此式代入x y 82=,得04)2(42222=++=k x k x k ，故22)2(kk k x x B A +=+。
记直线m 与AB 的交点为),(E E y x E ，则 22)2(22k k x x x B A E +=+=， kx k y E E 4)2(=-=，故直线m 的方程为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=-224214k k x k k y . 令y =0,得P 的横坐标44222++-k k x P 故akk x FP P 222sin 4)1(42||=+=-=。
从而8sin sin 2·4)2cos 1(sin 42cos ||||222==-=-aa a aa FP FP 为定值。
(I)求在k ＝0，0＜b ＜1的条件下，S 的最大值； （Ⅱ)当｜AB ｜＝2，S ＝1时，求直线AB 的方程．（21）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．(I)解：设点A 的坐标为(1(,)x b ，点B 的坐标为2(,)x b ，由2214x y +=，解得21,221x b =±- 所以222121||21112S b x x b b b b =-=-≤+-= 当且仅当22b =时，．S 取到最大值1． （Ⅱ）解：由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(41)8440k x kbx b +++-=2216(41)k b ∆=-+ ①｜AB 222212216(41)1|1241k b k x x kk -++-=+=+ ②又因为O 到AB 的距离221||1Sd AB k ===+ 所以221b k =+ ③ yxOAB③代入②并整理，得424410k k -+= 解得，2213,22k b ==，代入①式检验，△＞0 故直线AB 的方程是262y x =+或262y x =-或262y x =-+或262y x =--． 天津文（7）设双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的离心率为3，且它的一条准线与抛物线24y x =的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）Ａ．2211224x y -=Ｂ．2214896x y -= Ｃ．222133x y -=Ｄ．22136x y -=（22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中 0y >，由于点A 在椭圆上，有22221c y a b+=，222221a b y a b-+=， 解得2b y a =，从而得到2b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，直线2AF 的方程为2()2b y x c ac =+，整理得 2220b x acy b c -+=．由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ，即 242234c b a c=+， 将222c a b =-代入原式并化简得222a b =，即2a b =．（Ⅱ）解法一：圆222x y t +=上的任意点00()M x y ，处的切线方程为200x x y y t +=．当(0)t b ∈，时，圆222x y t +=上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A 处的切线必交椭圆于两个不同的点1Q 和2Q ，因此点111()Q x y ，，222()Q x y ，的坐标是方程组20022222x x y y t x y b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ①②的解．当00y ≠时，由①式得2t x xyy-=代入②式，得222222t x xx by⎛⎫-+=⎪⎝⎭，即当y=时，必有x≠，同理求得在区间(0)b，内的解为6t=．另一方面，当6t=时，可推出1212x x y y+=，从而12OQ OQ⊥．综上所述，6(0)3t b b=∈，使得所述命题成立．四川文（5）如果双曲线2422y x -＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是 (A)364(B)362 (C)62 (D)32(10)已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42（21）(本小题满分12分)求F 1、F 2分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若r 是第一象限内该数轴上的一点，221254PF PF +=-，求点P 的作标； （Ⅱ）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠ADB 为锐角（其中O 为作标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．（Ⅰ）易知2a =，1b =，3c =∴1(3,0)F -，2(3,0)F ．设(,)P x y (0,0)x y >>．则22125(3,)(3,)34PF PF x y x y x y ⋅=---=+-=-，又2214x y +=，联立2222741 4x yxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22113342xxy y=⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，3(1,)P．上海文21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．y O 1A2B 2A 1B. . . M1FF2Fx. 我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆” 与x ，y 轴的交点，M 是线段21A A 的中点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程；（2）设P 是“果圆”的半椭圆12222=+cx b y(0)x ≤上任意一点．求证：当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处；（3）若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标．陕西文3.抛物线y x =2的准线方程是 （A ）014=+x （B ）014=+y （C ）012=+x（D ）012=+y9.已知双曲线C ∶22221(x y a a b-=＞0,b ＞0),以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是 （A ）a(B)b(C)ab(D)22b a +22. (本小题满分14分)已知椭圆C :2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值.22．（本小题满分14分）22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++ 2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤．当且仅当2219k k=，即33k =±时等号成立．当0k =时，3AB =， 综上所述max 2AB =．∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 133222S AB =⨯⨯=．江西文7．连接抛物线24x y =的焦点F 与点(10)M ，所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为（ ） Ａ．12-+Ｂ．322-Ｃ．12+Ｄ．322+ 12．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）Ａ．必在圆222x y +=上 Ｂ．必在圆222x y +=外 Ｃ．必在圆222x y +=内Ｄ．以上三种情形都有可能22．（本小题满分14分）设动点P 到点1(10)F -，和2(10)F ，的距离分别为1d 和2d ，122F PF θ=∠，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）如图，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于A B ，两点．问：是否存在λ，使1F AB △是以点B 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．（2）方法一：在1AF B △中，设11AF d =，22AF d =，13BF d =，24BF d =． 假设1AF B △为等腰直角三角形，则123434213234222πsin 4d d a d d a d d d d d d d λ⎧⎪-=⎪-=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩①②③④⑤ 由②与③得22d a =，1Fyx2F OAPB则134342222(21) d adad d a a=⎧⎪=⎨⎪=-=-⎩由⑤得342d dλ=，242(21)2aλ-=(842)(1)2λλ--=，1222(01)17λ-=∈，故存在122217λ-=满足题设条件．湖北文12．过双曲线221 43x y-=左焦点1F的直线交曲线的左支于M N，两点，2F为其右焦点，则22MF NF MN+-的值为______．故存在122217λ-=满足题设条件．广东文19解:(1) 设圆C 的圆心为 (m, n)则222m nn=-⎧⎪⎨=⎪⎩解得22mn=-⎧⎨=⎩所求的圆的方程为22(2)(2)8x y++-=(2) 由已知可得210a=5a=椭圆的方程为221259x y+= , 右焦点为 F( 4, 0) ;假设存在Q点()222,222θθ-++使QF OF=,()()22222cos4222sin4θθ-+-++=整理得sin3cos22θθ=+代入22sin cos1θθ+=得:210cos122cos 70θθ++= , 122812222cos 1θ-±-±==<-因此不存在符合题意的Q 点. 福建文10．以双曲线222x y -=的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（ ） Ａ．22430x y x +--= Ｂ．22430x y x +-+= Ｃ．22450x y x ++-= Ｄ．22450x y x +++=22．（本小题满分14分）22．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分． 解法一：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF FP FQ =得：(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--，，，，，化简得2:4C y x =．（Ⅱ）（1）设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠．设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩，，，消去x 得：2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，P B QMFO A xy121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，．解法二：（Ⅰ）由QP QF FP FQ =得：()0FQ PQ PF +=，()()0PQ PF PQ PF ∴-+=，220PQ PF ∴-=，PQ PF ∴=．所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：24y x =． （Ⅱ）（1）由已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，得120λλ<． 则：12MA AF MBBFλλ=-．…………①过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ， 则有：11MA AA AF MBBB BF==．…………②由①②得：12AF AF BF BFλλ-=，即120λλ+=．北京文4．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） Ａ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｂ．202⎛⎤ ⎥ ⎝⎦，Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，Ｄ．212⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， 19．（本小题共14分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=点(11)T -，在AD 边所在直线上． （I ）求AD 边所在直线的方程； （II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程． 19．（共14分）解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-．又因为点(11)T -，在直线AD 上，D TNO ABCMxy所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．320x y ++=．安徽文（2）椭圆1422=+y x 的离心率为（A ）23（B ）43 （C ）22（D ）32 （18）（本小题满分14分）设F 是抛物线G :x 2=4y 的焦点.（Ⅰ）过点P （0，-4）作抛物线G 的切线，求切线方程：（Ⅱ）设A 、B 为势物线G 上异于原点的两点，且满足0·=,延长AF 、BF 分别交抛物线G 于点C ,D ，求四边形ABCD 面积的最小值.18．本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点与焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力．本小题满分14分．（II ）设11()A x y ，，22()C x y ，．由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >． 因直线AC 过焦点(01)F ，，所以直线AC 的方程为1y kx =+．点A C ，的坐标满足方程组214y kx x y =+⎧⎨=⎩，， 得2440x kx --=，由根与系数的关系知121244.x x k x x +=⎧⎨=-⎩，2222212121212()()1()44(1)AC x x y y k x x x x k =-+-=++-=+．因为AC BD ⊥，所以BD 的斜率为1k -，从而BD 的方程为11y x k=-+． 同理可求得22214(1)41k BD k k ⎛⎫+⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 2222218(1)18(2)322ABCDk S AC BD k k k +===++≥．当1k =时，等号成立．所以，四边形ABCD 面积的最小值为32．2006年高考试题 2006圆锥曲线的方程3．（2006年广东卷）已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于 A. 2 B.332 C. 2 D.4 3．依题意可知 3293,322=+=+==b a c a ，2332===a c e ，故选C. 4．（2006年陕西卷）已知双曲线2221(2)2x y a a -=>的两条渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为 （D ）（A 23 （B 26（C 3 （D ）25．（2006年上海春卷）抛物线x y 42=的焦点坐标为( B )（A ）)1,0(. （B ）)0,1(. （C ）)2,0(. （D ）)0,2(.6．（2006年上海春卷）若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的( A ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.10．（2006年四川卷）直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为（A ） （A ）48 （B ）56 （C ）64 （D ）7211．（2006年四川卷）如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=_______35_________;12．（2006年天津卷）如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=，那么它的两条准线间的距离是（ C ）A ．36B ．4C ．2D ．113．（2006年湖北卷）设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若PA BP 2=，且1=⋅AB OQ ，则P点的轨迹方程是（D ）A. ()0,0123322>>=+y x y x B. ()0,0123322>>=-y x y x C. ()0,0132322>>=-y x y x D. ()0,0132322>>=+y x y x15．（2006年全国卷I ）双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = A ．14-B ．4-C ．4D ．1415．一看带参，马上戒备：有没有说哪个轴是实轴？没说，至少没有明说。
