回旋行波管动力学分析及数值计算
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第12卷 第3期强激光与粒子束V o l.12,N o .3 2000年6月H IGH POW ER LA SER AND PA R T I CL E B EAM SJun .,2000 文章编号:1001-4322(2000)03-0347-04回旋行波管动力学分析及数值计算Ξ 张宏斌 李宏福,周晓岚(电子科技大学光纤通信国家重点实验室,成都610054) (电子科技大学高能电子学研究所,成都610054) 摘 要: 以小回旋电子注、均匀截面光滑壁圆柱波导为例,对回旋行波管动力学色散方程作了解析分析和讨论;数值计算和分析了注波互作用耦合系数与电子注参数的相互关系,为优化选择电子注参数,提高注波互作用效率获得了依据。
关键词: 回旋行波管;回旋谐波次数;动力学色散方程;注波互作用;耦合系数 中图分类号:TN 124 文献标识码:A 回旋行波管动力学理论是研究回旋行波管注波互作用的物理基础,也是建立并发展回旋行波管线性及非线性理论的基础。
其基本分析方法是以线性伏拉索夫方程为基础,通过对电子注分布函数沿其未扰轨道积分,求出电子注的扰动分布函数,进而求出扰动电流,并结合有源波动方程进一步求出注波互作用色散方程。
本文以均匀截面光滑壁圆柱波导为例,对小回旋电子注模式回旋行波管的动力学理论作了解析分析,给出了相应的动力学色散方程,对注波互作用耦合系数作了数值计算和讨论。
1 回旋行波管色散方程分析 图1中,C 为电子的引导中心,O 代表波导轴,r L 、r C 分别为电子的回旋半径和引导中心半径,r 、Υ、z 为圆柱坐标,p ⊥是与回旋半径相垂直的动量分量,<为动量空间角,即p ⊥与x 轴的夹角。
电子的分布函数f (r ,p ,t )满足伏拉索夫方程[1,2]55tf +v r f +e [E +v ×(B 0+B )] p f =0(1)上式中,v 为电子的速度;B 0为外加直流磁场;E 、B 是高频电磁场,对均匀截面光滑壁圆柱波导,其表达式如下(T E 波)F ig .1 C ro ss secti on view of one circle of electron beam图1 小回旋电子轨道横截面示意图E r =-mrC m n J m (k c r )exp [j (Ξt -m Υ-k z z )](2) E Υ=j k c C m n J ’m (k c r )exp [j (Ξt -m Υ-k z z )](3) B r =-jk z k cΞC m n J ’m (k c r )exp [j (Ξt -m Υ-k z z )](4) B Υ=-k z mΞrC m n J m (k c r )exp [j (Ξt -m Υ-k z z )](5) B z =k 2cΞC m n J m (k c r )exp [j (Ξt -m Υ-k z z )](6) 式中,k c 为波导截止波数,k z 为场沿波导轴向的传播常数;C m n 为高频电场在横截面上的归一化常数,其表达式如下C m n =2Π∫r w[m 2r2J 2m (k c r )+k 2c J ’2m (k c r )]r d r -1 2(7)令f (r ,p ,t )=f 0(r ,p ,t )+f 1(r ,p ,t ),其中f 0(r ,p )、f 1(r ,p ,t )分别为电子注的平衡分布函数和扰动分布Ξ国家863激光技术领域及博士后基金资助课题2000年1月19日收到原稿,2000年4月5日收到修改稿。
张宏斌,男,1963年9月出生,在站博士后函数。
在小信号情况下, E ν E 0 , B ν B 0 ,f 1νf 0,从(1)式可得到f1=-e∫t-∞d t ’(E +v ×B ) p f(8)不考虑空间电荷效应的有源时谐波动方程为2E +k 2E =j ΞΛ0J(9)式中k 2=Ξ2 c 2,J 为高频扰动电流,其表达式为J =e ∫f 1(p m 0Χ)d 3p (10) 从(8)、(9)和(10)式出发,并利用贝塞尔加法定理对高频场(2)～(6)式进行局部展开[1～3],经过繁长的推导后得到小回旋注波互作用色散方程的积分形式[4](Ξ2c2-k 2z -k 2c )=4Πk 2c Λ0e 2C 2m n∫r m ax Cr Cd r C∫∞p⊥d p ⊥∫∞-∞d p z f 0Χm e∑l[-v 2⊥(Ξ2-k 2z c 2)H l m (x ,y )(Ξ-k z v z -l 80 Χ)2+(Ξ-k z v z )T l m (x ,y )-k c v ⊥U l m (x ,y )Ξ-k z v z -l 80 Χ](11)式中Hl m(x ,y )=[Jl -m(x )J ’l (y )]2(12)Tl m(x ,y )=2Hl m(x ,y )+yJ ’l (y ){2J 2l -m(x )J "l (y )-J l (y )[x -1J l -m (x )J ’l -m (x )+J ’2l -m (x )+Jl -m(x )J ″l -m (x )]}(13)U l m (x ,y )=-0.5yJ ’l (y ){J l -1(y )[J 2l -m 21(x )-J 2l -m(x )]+J l +1(y )[J 2l -m +1(x )-J 2l -m(x )]}(14)另外,x =k c r C ;y =k c r L ;Χ为电子的相对论因子,且Χ=(1-Β2)-1 2;Β=v c ;m e 为电子的静止质量,v ⊥=p ⊥ Χm e ;8为电子回旋频率,即8=e B 0 Χm e =80 Χ。
原则上讲,只要知道电子注的平衡分布函数f 0的表达式,就可以通过(11)式求出注波互作用色散方程,但在一般情况下此积分式难以求出。
为简化分析,这里考虑没有速度分散的单能电子注,即f=Ne2Πr C 0∆(r C -r C 0)12Πp ⊥0∆(p ⊥-p ⊥0)∆(p z -p z 0)(15)式中N e 为单位长度内的电子数。
将(15)式代入(11)式积分后得(Ξ2c2-k 2z -k 2c )=4Πk 2c C 2m n I b I-1A∑∞l =-∞[-v 2⊥0(Ξ2-k 2z c 2)H l m (x ,y )(Ξ-k z v z -l 80 Χ)2+(Ξ-k z v z )T l m (x ,y )-k c v ⊥U l m (x ,y )Ξ-k z v z -l 80 Χ](16)式中,电子注电流I b =e N e v z ∃,∃代表电子注厚度;I A 为爱尔芬电流(A lfven 2L aw son )I A =4Πm e c Βz Χ0 Λ0e ≈1.7×104Βz Χ0 [A ](17) 色散方程(16)中包含了无限多个回旋谐波项,从等式右边容易看出,满足分母趋于零的回旋谐波项对注波互作用贡献最大,此回旋谐波项称为共振回旋谐波项。
用s 表示共振回旋谐波项的次数,则有Ξ-k z v z -s 80 Χ=∃Ξ≈0(18)(18)式为电子回旋脉塞谐振条件,(16)式略去非谐振项的影响后得(Ξ2c2-k 2z -k 2c )=4Πk 2c C 2m n I b I-1A[-v 2⊥0(Ξ2-k 2z c 2)H s m (x ,y )(Ξ-k z v z -s 80 Χ)2+(Ξ-k z v z )T s m (x ,y )-k c v ⊥U s m (x ,y )Ξ-k z v z -s 80 Χ](19) 色散方程(19)可以看为波导模式与电子回旋模式的耦合方程。
实际上,如果没有电子注,即I b =0,则(19)式退化为真空波导模式,即Ξ2 c 2-k 2z -k 2c =0(20) (18)式又称为回旋波模式的色散方程,这种回旋波是由电子作回旋运动的同时,又具有纵向漂移运843强激光与粒子束第12卷F ig .2 D iagram of electron gyro 2m aser图2 电子回旋脉塞示意图动而产生的。
有源色散方程(19)正是将真空波导模式和回旋波模式耦合起来的总方程形式。
这种耦合可以通过图2得到进一步说明。
由图可见,脉塞不稳定性的互作用区就在波导模式曲线和回旋波模式直线相切的附近。
由于(Ξ-k z v z -s 80 Χ)-1比(Ξ-k z v z -s 80 Χ)-2要小得多,且H s m µT s m 、U s m ,所以色散方程(19)式右边第一项远远大于第二项,作为近似估算,可以忽略第二项,于是得到(Ξ2 c 2-k 2z -k 2c )=4Πk 2c C 2m n I b I -1A [-v 2⊥0(Ξ2-k 2z c 2)Hs m(x ,y ) (Ξ-k z v z -s 80 Χ)2](21)如果略去k c 的影响,则由方程(21)可以得到波的增长率I m (∃Ξ)=[4Πk 2c C 2nm v 2⊥0H s m (x ,y )I b I A ]1 2(22)从(22)式看出,波的增长率正比于Ws m=C 2nm H s m 、v 2⊥0和I b 。
波的增长率正比于v 2⊥0和I b 这一性质早已为实验和数值计算所证实。
在其它条件相对不变时,电子与波交换能量的有效性取决于Ws m的大小,因此,W s m 又称为耦合系数。
下面对耦合系数作数值计算和分析。
2 耦合系数数值计算分析 计算结果在图3中给出。
图中r w 、r L 及r C 分别为波导半径、电子回旋半径和引导中心半径,s 为回旋谐波次数。
图3(a )、(b )、(c )给出了在不同回旋谐波次数情况下,回旋半径对耦合系数的影响情况。
从耦合系数的量值大小容易看出,回旋谐波次数越高,耦合系数的量值越小,这说明高次谐波互作用比低次谐波互作用要弱得多,这一结论与有关注波互作用自洽非线性计算结果吻合[5,6]。
另外,从这三个图容易看出,电子回旋半径对耦合系数的影响情况因谐波次数是基次回旋谐波还是非基次回旋谐波而大不一样。
在基次谐波时,耦合系数的值随回旋半径的增大而有所下降,而在非基次谐波时,耦合系数的值随回旋半径的增大而增大。
因此,适当增大回旋半径对非基次回旋谐波互作用很有好处,而对于基次回旋谐波情况恰恰相反。
F ig .3 D ependences of coup ling coefficient on param eters of electron beam fo r several situati ons图3 几种情况下耦合系数计算分析结果 图3(d )、(e )、(f )给出了在几个不同情况下引导中心半径对耦合系数的影响情况。
