可用柯西不等式的基本不等式训练题(含详解)

新课标数学选修4-5柯西不等式一、二维形式的柯西不等式.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++ 二、二维形式的柯西不等式的变式bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈ bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.),0,,,()())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++三、二维形式的柯西不等式的向量形式.),,,(.等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαββαβαk k =≤⋅借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。

比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。

【1】、设6 ),2,1,2(=-=b a ，则b a⋅之最小值为________；此时=b ________。

答案：-18; )4,2,4(-- 解析：b a b a ≤⋅ ∴18≤⋅b a ∴1818≤⋅≤-b a b a ⋅之最小值为-18，此时)4,2,4(2--=-=a b【2】 设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若x 2 + y 2 + z 2 = 16，则a b的最大值为 。

【解】∵ a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z) ∴ a．b = x - 2z 由柯西不等式[12 + 0 + (- 2)2](x 2 + y 2 + z 2) ≥ (x + 0 - 2z)2 ⇒ 5 ⨯ 16 ≥ (x - 2z)2 ⇒ - 45≤ x ≤ 45⇒ - 45≤ a ．b ≤ 45，故a ．b 的最大值为45【3】空间二向量(1,2,3)a =，(,,)b x y z =，已知56b =，则(1)a b ⋅的最大值为多少？(2)此时b =？ 答案：(1) 28：(2) (2,4,6)【4】设a 、b 、c 为正数，求4936()()a b c a b c++++的最小值。

二一般形式的柯西不等式基础巩固1设a,b,c>0,且a+b+c=1,则的最大值是A.1 B,得[·(12+12+12)≥∵a+b+c=1,∴ ≤ ×1=3,当且仅当a=b=c时,等号成立.的最大值为2设a,b,c,x,y,z是正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则A,得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2=400,当且仅当时,等号成立,因此有3已知则的最大值是A.1B.2C.3D.4a1x1+a2x2+…+a n x n)2≤当且仅当a i=x i,n)时,等号成立.故a1x1+a2x2+…+a n x n的最大值是1.4已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,则a的最大值是()A.1B.2C.3D.4,得(2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2,即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2,,等号成立.又b+c+d=3-a,2b2+3c2+6d2=5-a2,故5-a2≥( -a)2,解得 ≤a≤ ,即a的最大值是2.5n个正数的和与这n个正数的倒数的和的乘积的最小值是()A.1B.nC.n2Dn个正数为x1,x2,…,x n,由柯西不等式,得(x1+x2+…+x n…≥··…·=…共个当且仅当x1=x2=…=x n时,等号成立.6若x,y,z∈R+,且则的最小值是7设a,b,c为正数,则(a+b+c的最小值是(a+b+c···当且仅当时,等号成立.8设x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为.x+2y+z+8=0⇒2(x-1)+2(y+2)+(z-3)=-9.考虑以下两组向量:u=(2,2,1),v=(x-1,y+2,z-3),由柯西不等式,得(u·v)2≤|u|2·|v|2; 即[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]2≤( 2+22+12)·[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2].所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥(- )当且仅当x=-1,y=-4,z=2时,等号成立,此时取得最小值9.9已知a ,b ,c ∈R ,a+2b+3c=6,则a 2+4b 2+9c 2的最小值为 .,得(12+12+12)(a 2+4b 2+9c 2)≥(a+2b+3c )2,即a 2+4b 2+9c 2≥ ,当a=2b=3c=2时,等号成立,所以a 2+4b 2+9c 2的最小值为12.10设x 1,x 2,x 3,…,x n 都是正实数,且x 1+x 2+x 3+…+x n =S. 求证----S-x 1+S-x 2+…+S-x n .,得 不等式左边---=[(S-x 1)+(S-x 2)+…+(S-x n )]·( - )--…-( - )- - + ---…( )· · …( - ) +x n )2( - )·S 2- 不等式右边.故原不等式成立.a>0,∴a≥ ,∴a ≥当且仅当a=1时,等号成立.-- ( - ) - - - - ( - )-- ( - ),n.n 个式子相加,有-------( - )- ( - )…- ( - )-- ( - )-故原不等式成立. 能力提升1若实数x+y+z=1,则2x 2+y 2+3z 2的最小值为( )A.1B.6C.11 D(2x2+y2+3z2≥···=(x+y+z)2=1,∴2x2+y2+3z2≥当且仅当x时,等号成立.∴2x2+y2+3z2的最小值为2已知a+b+c=1,且a,b,c>0,则的最小值为A.1B.3C.6D.9a+b+c=1,=2(a+b+c=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]·≥( +1+1)2=9,当且仅当a=b=c时,等号成立.3若则的最小值为A.-25B.-5C.5D.25,得≥(a1a2+a2a3+…+a n-1a n+a n a1)2,∴|a1a2+a2a3+…+a n-1a n+a n a1|≤ .∴- ≤a1a2+a2a3+…+a n-1a n+a n a1≤ .故所求最小值为-5,应选B.4已知2x+3y+z=8,则x2+y2+z2取得最小值时,x,y,z形成的点(x,y,z)= .,得(22+32+12)(x2+y2+z2)≥( x+3y+z)2,即x2+y2+z2≥当且仅当时,等号成立.又2x+3y+z=8,解得x故所求点为,,,,5已知实数x,y,z满足x+2y+z=1,则x2+4y2+z2的最小值为.,得(x2+4y2+z2)(1+1+ )≥(x+2y+z)2.∵x+2y+z=1,∴3(x2+4y2+z2)≥ ,即x2+4y2+z2≥当且仅当x=2y=z即x时,等号成立.故x2+4y2+z2的最小值为6已知二次三项式f(x)=ax2+bx+c的所有系数均为正数,且a+b+c=1,求证:对于任何正数x1,x2,当x1x2=1时,必有f(x1)f(x2)≥ .(x1)f(x2)=(≥[a=f2故f(x1)f(x2)≥ .★7已知:α1,α2,…,αn是平面凸n边形的内角的弧度数,求证(- ),得(α1+α2+…+αn…≥··…·=n2.∵α1+α2+…+αn=(n-2)π,( ) 当且仅当α1=α2=…=αn-时,等号成立.。

柯西不等式与平均值不等式一、比较法1．求差比较法知道a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＜b ⇔a －b ＜0，因此要证明a ＞b ，只要证明a －b ＞0即可，这种方法称为求差比较法．2．求商比较法由a ＞b ＞0⇔a b ＞1且a ＞0，b ＞0，因此当a ＞0，b ＞0时要证明a ＞b ，只要证明1a b即可，这种方法称为求商比较法．二、分析法从所要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．三、综合法从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法称为综合法即“由因寻果”的方法．四、放缩法在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．五、反证法的步骤1．作出否定结论的假设；2．进行推理，导出 矛盾；3．否定假设，肯定结论．六、柯西不等式的二维形式1．柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2).(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd)2，其中等号当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时成立．2．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反时成立．3．二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2七、柯西不等式的一般形式柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.八、基本不等式的一般形式a 1+ a 2+…a n n≥n (a 1+ a 2+...a n ) 例3：设n 是正整数，求证：12≤1＋1＋ (12)＜1.解：(1)由|2x －1|＜1，得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1，所以M ＝{x|0＜x ＜1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0＜a ＜1,0＜b ＜1.所以(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)＞0, 故ab ＋1＞a ＋b. 本例条件不变，试比较logm(ab ＋1)与logm(a ＋b)(m ＞0且m≠1)的大小．解：∵0＜a ＜1,0＜b ＜1，∴(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)＞0.故ab ＋1＞a ＋b.当m ＞1时，y ＝logmX 在(0，＋∞)上递增，∴logm(ab ＋1)＞logm(a ＋b)当0＜m ＜1时logmX 在(0，＋∞)上单调递减，∴logm(ab ＋1)＜logm(a ＋b)．例6：设a ＞b ＞0，求证：a2＋b 2＞a －b .例8：已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：a mb +⎛⎫ ⎪≤a 2＋mb 21＋m . 它的变形形式又有(a ＋b )2≥4ab ，a 2＋b 22≥22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭等；(4)a ＋b 2≥ab (a ≥0，b ≥0)，它的变形形式又有a ＋1a ≥2 (a ＞0)，b a ＋a b ≥2(ab ＞0)，b a ＋a b≤－2(ab ＜0)等. 2．分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”.例10：设m 是|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2＜2. [证明]由已知m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.又|x |＞m ，∴|x |＞|a |，|x |＞|b |，|x |＞1.∴⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪b x 2＝|a ||x |＋|b ||x |2＜|x ||x |＋|x ||x |2＝1＋1|x |＜1＋|x ||x |＝2.∴|a x ＋b x2|＜2成立． 例11：已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，a ＋b ＞c .求证：a 1＋a ＋b 1＋b ＞c 1＋c. 证明：∵a ＞0，b ＞0，∴a 1＋a ＞a 1＋a ＋b ，b 1＋b ＞b 1＋a ＋b .∴a 1＋a ＋b 1＋b ＞a ＋b 1＋a ＋b. 而函数f (x )＝x 1＋x ＝1－11＋x 在(0，＋∞)上递增，且a ＋b ＞c ，∴f (a ＋b )＞f (c )，则a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c， 所以a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c，则原不等式成立． 例12：求证：32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n(n ≥2，n ∈N ＋)． 证明：∵k (k ＋1)＞k 2＞k (k －1)，k ≥2，∴1k (k ＋1)＜1k 2＜1k (k －1)，即1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k ，分别令k ＝2,3，…，n 得12－13＜122＜1－12；13－14＜132＜12－13；…1n －1n ＋1＜1n 2＜1n －1－1n； 将上述不等式相加得：12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n， 即12－1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－1n ，∴32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n. (1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析得出的．常见的放缩变换有变换分式的分子和分母，如1k 2＜1k (k －1)，1k 2＞1k (k ＋1)，1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1.上面不等式中k ∈N ＋，k ＞1.利用函数的单调性，真分数性质“若0＜a ＜b ，m ＞0，则a b ＜a ＋m b ＋m ”，添加或减少项，利用有界性等． (2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均有一个度．例13：已知x ，y 均为正数，且x ＞y,2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3. 解：因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0，2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1x －y 2＝(x －y )＋(x －y )＋1x －y 2≥33x －y 21x －y 2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3. 例14：设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3. 证明：因为a ，b ，c 为正实数，由平均不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc. 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc .而3abc ＋abc ≥2 3abc ·abc ＝2 3.所以1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3. 例15：若n 为大于1的自然数，求证：n n n ＋1＜n ＋1＋12＋13＋ (1). 证明：由柯西不等式右边＝1＋1＋1＋12＋1＋13＋…＋1＋1n ＝2＋32＋43＋54＋…＋n ＋1n ≥n ·n 2·32·43·…·n ＋1n＝n .n n ＋1＝左边．∵2≠32≠43，故不取等号．∴不等式n n n ＋1＜n ＋1＋12＋13＋ (1)成立． 例16：已知f (x )＝x 2＋px ＋q ，求证|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.证明：假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2.而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥|f (1)＋f (3)－2f (2)|＝|(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－(8＋4p ＋2q )|＝2，与|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2矛盾，∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12. 例17：设a 、b 、c 均为正数，求证：12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b. 证明：∵a 、b 、c 均为正数，∴121122a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥12ab ≥1a ＋b，当a ＝b 时等号成立；12(12b ＋12c )≥12bc ≥1b ＋c ，当b ＝c 时等号成立；12(12c ＋12a )≥12ca ≥1c ＋a ，当a ＝c 时等号成立．三个不等式相加即得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a＋1a ＋b，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 例18：已知：a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n n ＋1(n ∈N ＋)，求证：n n ＋12＜a n ＜n n ＋22. 证明：∵n n ＋1＝n 2＋n ，∴n n ＋1＞n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n n ＋1＞1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.∵n n ＋1＜n ＋n ＋12，∴a n ＜1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n ＋n ＋12＝12＋(2＋3＋…＋n )＋n ＋12＝n n ＋22.综上得：n n ＋12＜a n ＜n n ＋22. 例19：设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证：21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥1003. 证明：21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝13(12＋12＋12)[21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭] ≥132111111a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯++⨯++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝2111113a b c ⎡⎤⎛⎫+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝()2111113a b c a b c ⎡⎤⎛⎫+++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥13(1＋9)2＝1003. 例20：已知a ，b 为正实数．(1)求证：a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ；(2)利用(1)的结论求函数y ＝1－x 2x＋x 21－x(0＜x ＜1)的最小值． 解：(1)证明：法一：∵a ＞0，b ＞0，∴(a ＋b )22a b b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝a 2＋b 2＋a 3b ＋b 3a ≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2. ∴a 2b ＋b 2a≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立。

柯西不等式与平均值不等式训练题1一．选择题（共20小题）1．（2015•湖南）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2 C．2D．42．（2015•福建）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．53．若实数x、y满足=1，则x2+2y2有（）A．最大值3+2 B．最小值3+2C．最大值6 D．最小值64．（2015•上海）已知a＞0，b＞0，若a+b=4，则（）A．a2+b2有最小值B．有最小值C．有最大值 D．有最大值5．（2015•浙江）设正实数a，b满足a+λb=2（其中λ为正常数）．若ab的最大值为3，则λ=（）A．3 B．C．D．6．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（）A．2 B．2C．4 D．27．已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在8．若a＞0，b＞0，且a+2b﹣2=0，则ab的最大值为（）A．B．1 C．2 D．49．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得a m a n=16a12，则+的最小值为（）A．B．C．D．不存在10．若正数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．511．已知正实数m，n满足m+n=1，且使取得最小值．若曲线y=x a过点P（，），则a的值为（）A．﹣1 B．C．2 D．312．设a＞b＞0，则a++的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．3+213．若x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．B．3 C．D．414．若4x+4y=1，则x+y的取值范围是（）A．[0，1] B．[﹣1，0] C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]15．已知a＞0，b＞0，c＞0，且ab=1，a2+b2+c2=4，则ab+bc+ac的最大值为（）A．B．C．3 D．416．若正数x，y满足x2+6xy﹣1=0，则x+2y的最小值是（）A ．B ．C ．D ．17．已知a ＞0，b ＞0且a≠1，若函数y=log a x 过点（a+2b ，0），则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．218．已知a ＞0，b ＞1且2a+b=4，则+的最小值为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．19．若正数a ，b 满足+=1，则+的最小值为（ ）A ．16B ．25C ．36D ．4920．已知x ，y ∈（﹣∞，0），且x+y=﹣1，则xy+有（ ）A ．最大值B ．最小值C ．最小值﹣D ．最大值﹣二．解答题（共10小题） 21．已知正实数a 、b 满足：a 2+b 2=2．（1）求的最小值m ；（2）设函数f （x ）=|x ﹣t|+|x+|（t≠0），对于（1）中求得的m ，是否存在实数x ，使得f （x ）=2m成立，说明理由． 22．已知不等式x 2﹣5ax+b ＞0的解集为{x|x ＞4或x ＜1}（1）求实数a ，b 的值；（2）若0＜x ＜1，f （x ）=，求f （x ）的最小值．23．已知函数f （x ）=的定义域为R ．（Ⅰ）求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足+=n 时，求7a+4b 的最小值．24．已知a ，b 都是正实数，且a+b=1（Ⅰ）求证：≥4；（Ⅱ）求的最小值．25．已知实数a ，b ，c 满足a 2+b 2+c 2=3．（Ⅰ）求证a+b+c≤3；（Ⅱ）求证．26．已知关于x 的不等式：|2x ﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值1．（1）求整数m 的值；（2）已知a ，b ，c 均为正数，若2a+2b+2c=m ，求++的最小值．27．已知正数x ，y ，z 满足2x+2y+z=1，求3xy+yz+zx 的最大值． 28．已知a ，b ，c ∈R ，a 2+b 2+c 2=1．（1）若a+b+c=0，求a 的最大值．（2）若ab+bc+ca 的最大值为M ，解不等式|x+1|+|x ﹣1|≥3M ．29．已知正实数a ，b ，c 满足a+b+c=3，求证：++≥3．30．已知a ＞0，b ＞0，且a+b=2．（1）求+的最小值及其取得最小值时a ，b 的值；（2）求证：a 2+b 2≥2．一．选择题（共20小题）1．C；2．C；3．B；4．A；5．D；6．C；7．A；8．A；9．A；10．D； 11．B；12．C； 13．D； 14．D； 15．A； 16．A； 17．A； 18．D； 19．A； 20．B；二．解答题（共10小题）21.解：（1）∵2=a2+b2≥2ab，即，∴．又∴≥2，当且仅当a=b时取等号．∴m=2．（2）函数f（x）=|x﹣t|+|x+|≥≥2=1，∴满足条件的实数x不存在．22．解：（1）由题意可得，解得，∴实数a，b的值分别为1，4；（2）由（1）知f（x）=+∵0＜x＜1，∴0＜1﹣x＜1，∴＞0，＞0，∴f（x）=+=（+）[x+（1﹣x）]=5++≥5+2=9当且仅当=即x=时，等号成立．∴f（x）的最小值为9．23．解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x﹣3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|=4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n=4，∴7a+4b===，当且仅当a+2b=3a+b，即b=2a=时取等号．∴7a+4b的最小值为．24．证明：．（Ⅱ）解：≥，即，又∵得，即，∴．∴当且仅当上式等号成立．25．证明：（I）∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤a2+b2+c2+（a2+b2）+（b2+c2）+（a2+c2）=3（a2+b2+c2）=9．∴a+b+c≤3；（II）∵（a2+b2+c2）=3+++++=3+++≥+2+2=9．当且仅当a2=b2=c2=1时取等号．∴≥326．解：（1）由关于x的不等式：|2x﹣m|≤1 可得﹣1≤2x﹣m≤1，解得≤x≤．由于整数解有且仅有一个值为1，∴，∴1＜m＜3．故整数m的值为2．（2）由2a+2b+2c=m得a+b+c=1．∵，，，∴，即∴，当且仅当a=b=c 时取等号故的最小值为1．27．解：∵正数x，y，z满足2x+2y+z=1，可得z=1﹣2（x+y）＞0，解得．∴3xy+yz+zx=3xy+[1﹣2（x+y）]（x+y）≤﹣2（x+y）2+（x+y）==+，当x+y=，x=y=时，取等号．∴3xy+yz+zx的最大值为．28．解：（1）∵a2=（﹣b﹣c）2=b2+c2+2bc≤2（b2+c2）∴a2≤2（1﹣a2），∴3a2≤2，即，∴a 的最大值为．（2）∵，∴M=1．若不等式|x+1|+|x﹣1|≥3M对一切实数a，b，c 恒成立，则|x+1|+|x﹣1|≥3，当x≥1时，化为2x≥3，解得，满足x≥1，∴；当﹣1≤x＜1时，化为x+1﹣x+1≥3，即2≥3，此时x∈∅；当x＜﹣1时，化为﹣2x≥3，解得x≤﹣，满足x≤﹣1，∴x≤﹣．综上可得：不等式|x+1|+|x﹣1|≥3的解集为∪．29．证明：∵正实数a，b，c满足a+b+c=3，∴，∴abc≤1，∴．30．解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+b=2．∴+===5++≥=9，当且仅当，b=时等号成立．∴+的最小值为9．（2）∵a＞0，b＞0，且a+b=2．∴2（a2+b2）≥（a+b）2=4，∴a2+b2≥2，当且仅当a=b=1时取等号．。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~不等式柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式目录1方法技巧与总结 12题型归纳与总结 2题型一:柯西不等式之直接套公式型 2题型二:柯西不等式之根式下有正负型 3题型三:柯西不等式之高次定求低次型 4题型四:柯西不等式之低次定求高次型 5题型五:柯西不等式之整式与分式型 6题型六:柯西不等式之多变量型 7题型七:柯西不等式之三角函数型 8题型八:Aczel 不等式 9题型九:权方和不等式之整式与分式综合型 10题型十:权方和不等式之三角函数型 11题型十一:权方和不等式之杂合型 123过关测试 131方法技巧与总结1、柯西不等式(Cauchy 不等式)(1)二元柯西不等式：对于任意的a ,b ,c ,d ∈R ，都有(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2)．(2)n 元柯西不等式：(a 21+a 22+⋯+a 2n )(b 21+b 22+⋯+b 2n )≥(a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n )2，取等条件：a i =λb i 或b i =λa i (i =1,2,⋯,n )．2、Aczel 不等式(反柯西不等式)设a 1,a 2,⋯,a n ；b 1,b 2,⋯,b n 均为实数，a 21-a 22-⋯-a 2n >0或b 21-b 22-⋯-b 2n >0，则有(a 21-a 22-⋯-a 2n )(b 21-b 22-⋯-b 2n )≤(a 1b 1-a 2b 2-⋯-a n b n )2．当且仅当a k ，b k 成比例时取等．3、权方和不等式(1)二维形式的权方和不等式对于任意的a ,b ,x ,y >0，都有a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ．当且仅当a x =by时，等号成立．(2)一般形式的权方和不等式若a i >0，b i >0，m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+⋯+a m +1nb m n ≥(a 1+a 2+⋯a n )m +1(b 1+b 2+⋯b n )m，当a i =λb i 时等号成立．2题型归纳与总结题型一:柯西不等式之直接套公式型1已知x ,y ,z ∈R +且x +y +z =1则x 2+y 2+z 2的最小值是()A.1B.13C.23D.2【答案】B【解析】由柯西不等式可得：x 2+y 2+z 2 ×12+12+12 ≥x +y +z 2=1，即3x 2+y 2+z 2 ≥1所以x 2+y 2+z 2≥13，当且仅当x =y =z x +y +z =1 即x =y =z =13时取等号，故x 2+y 2+z 2的最小值为13，故选：B ．2若a 21+a 22+⋯+a 2n =8，则a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1的最小值为()A.25B.8C.-8D.-25【答案】C【解析】由柯西不等式，得(a 21+a 22+⋯+a 2n -1+a 2n )(a 22+a 23+⋯+a 2n +a 21)≥(a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n -1a n +a n a 1)2，∴(a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n -1a n +a n a 1)2≤8×8，∴-8≤a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1≤8，当a 1a 2=a 2a 3=a 3a 4=⋯=a n -1a n =a n a 1=-1且a 21+a 22+⋯+a 2n =8时，即a 1 =a 2 =a 3 =⋯=a n -1 =a n =22nn，且a 1,a 3,a 5,⋯与a 2,a 4,a 6,⋯异号时，a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1=-8，则a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1的最小值为-8.选：C .3已知a ，b ，c ∈R ，满足a +2 2+b 2+c +1 2=12，则a +b +c 的最大值为()A.2B.3C.4D.6【答案】B【解析】设a +2=w ，b =v ，c +1=u ，可得w 2+v 2+u 2=12，所以a +b +c =w +v +u -3．因为w +v +u 2≤12+12+12 w 2+v 2+u 2 =36，所以-6≤w +v +u ≤6，当且仅当w =v =u =2，w +v +u 取得最大值6，此时a +2=b =c +1=2，所以a +b +c 的最大值为6-3=3．故选：B4(2024·高三·山东青岛·期中)柯西不等式(Caulhy -Schwarz Lnequality )是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：a 2+b 2c 2+d 2≥ac +bd 2，当且仅当a c =b d时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数f x =34-3x +3x -2的最大值为()A.25 B.23 C.12 D.20【答案】A 【解析】由4-3x ≥03x -2≥0，解得23≤x ≤43，所以函数f x 的定义域为23,43，由柯西不等式得，f x =34-3x +3x -2≤32+12 4-3x +3x -2=25，当且仅当34-3x=13x -2，即x =1115时等号成立，所以f x 的最大值为25.故选：A .5柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量a =x 1,y 1 ,b =x 2,y 2 ,由a ⋅b≤a b 得到(x 1x 2+y 1y 2)2≤(x 21+y 21)(x 22+y 22),当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0,b ≥0,a +b =5,则2a +2+b +3的最大值为()A.18B.9C.23D.33【答案】D【解析】因为(x 1x 2+y 1y 2)2≤(x 21+y 21)(x 22+y 22),令x 1=2,y 1=1,x 2=a +1,y 2=b +3,又a ≥0,b ≥0,a +b =5,所以2a +2+b +3 2=2⋅a +1+1⋅b +3 2≤2 2+12 ⋅a +1+b +3 =27,当且仅当2⋅b +3=1⋅a +1即a =5,b =0时等号成立,即2a +2+b +3≤33,故选:D .6(2024·浙江·模拟预测)已知x >0，y ∈R ，且x 2+xy -x +5y =30，则2-x +30-3y 的最大值为()A.3 B.6C.26D.32【答案】C【解析】由x 2+xy -x +5y =30可得x 2-x -30+xy +5y =0，即x +5 x +y -6 =0.由x >0可知x +y =6，所以2-x +30-3y =2-x +12+3x =2-x +3⋅4+x .由x >0，2-x ≥0可得0<x ≤2，由柯西不等式得2-x +3⋅4+x 2≤12+3 2⋅2-x 2+4+x 2=24，所以2-x +3⋅4+x ≤26，当4+x3=2-x 1即x =12时，取等号.所以2-x +30-3y 的最大值为26.故选：C .7设a ，b ，c 为正数，且a 2+b 2+c 2=1，则a (a +b +c )的最大值为()A.3+12B.2+12C.32D.22【答案】A【解析】解法一根据题意，有a (a +b +c )≤a 2+λa 2+1λb 22+μa 2+1μc 22=1+λ2+μ2 a 2+12λb 2+12μc 2，其中λ,μ>0，令1+λ2+μ2=12λ=12μ，解得λ=μ=3-12，于是a (a +b +c )≤12λa 2+b 2+c 2 =3+12，等号当a :b :c =(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为3+12．解法二令a =cos φ,b =sin φsin θ,c =sin φcos θ，其中0≤φ≤π,0≤θ<2π，则a (a +b +c )=cos 2φ+sin φcos φ(sin θ+cos θ)≤cos 2φ+2sin φcos φ=22sin2φ+12cos2φ+12≤3+12，等号当a :b :c =(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为3+12．解法三根据题意，有a (a +b +c )≤a a +2b 2+c 2 =a 2+2a 21-a 2 =a 2-12 2+2⋅14-a 2-12 2+12≤3+12，等号当b 2=c 2，且14a 2-12 2=2a 2-12 2即a :b :c =(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为3+12．故选：A .8(2024·全国·模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 a 1,a 2,a 3 和 b 1,b 2,b 3 ，有a 21+a 22+a 23 b 21+b 22+b 23 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 2等号成立当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3已知 x 2+y 2+z 2=14 ，请你用柯西不等式，求出 x +2y +3z 的最大值是()A.14B.12C.10D.8【答案】A【解析】由题干中柯西不等式可得x +2y +3z 2≤x 2+y 2+z 2 12+22+32 =14×14=196，所以x +2y +3z 的最大值为14，当且仅当x =1,y =2,z =3时取等号.故选：A9已知实数a i i =1,2,3,4,5 满足(a 1-a 2)2+(a 2-a 3)2+(a 3-a 4)2+(a 4-a 5)2=1，则a 1-2a 2-a 3+2a 5的最大值是()A.22B.25C.5D.10【答案】D【解析】设c =a 1-a 2,b =a 2-a 3,c =a 3-a 4,d =a 4-a 5，则条件为a 2+b 2+c 2+d 2=1，所以a 1-2a 2-a 3+2a 5=a -b -2c -2d ≤12+-1 2+-2 2+-2 2⋅a 2+b 2+c 2+d 2=10，等号当a 1=b -1=c-2=d -2且a >0时取得，因此所求代数式的最大值为10．故选：D10若实数a ，b ，c ，d 满足ab +bc +cd +da =1，则a 2+2b 2+3c 2+4d 2的最小值为()A.1B.2C.3D.以上答案都不对【答案】B【解析】根据题意，有ab +bc +cd +da =1⇒(a +c )(b +d )=1，而a 2+3c 2 1+13 ≥a +c 2，当且仅从a =3c 时等号成立.同理2b 2+4d 2 12+14≥b +d 2，当且仅当2b =4d 式等号成立，记题中代数式为M ，于是M =a 2+3c 2 +2b 2+4d 2≥(a +c )21+13+(b +d )212+14=34(a +c )2+43(b +d )2≥2(a +c )(b +d )=2，等号当a c =3,b d =2,a +c b +d =43,⇒a :b :c :d =3:2:1:1时取得，因此所求代数式的最小值为2．故选：B .11已知空间向量OA =1,12,0 ,OB =1,2,0 ,OC =0,1,12，OP =xOA +yOB +zOC ，且x +2y +z =2，则OP的最小值为()A.2B.3C.2D.4【答案】B【解析】因为OP =xOA +yOB +zOC =x 1,12,0 +y 1,2,0 +z 0,1,12=x +y ,12x +2y +z ,12z ，所以OP 2=x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2=13x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2 1+1+1 ≥13x +y +12x +2y +z +12z 2=1332x +3y +32z 2=34x +2y +z 2=3，当且仅当x +y =12x +2y +z =12z 时等号成立，即x =2,y =-1,z =2时等号成立.所以OP ≥3，所以OP 的最小值为3.故选：B12已知a ，b ，c 为实数，且a +b +c =5，则a 2+2b 2+c 2的最小值为()A.5B.1C.2D.52【答案】C【解析】由三维柯西不等式：a 12+a 22+a 32b 12+b 22+b 32 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 2b 2 2当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3时取等,所以12+222+12 a 2+2b 2+c 2 ≥1×a +22×2b +c ×1 2=a +b +c 2=5所以a 2+2b 2+c 2≥552=2，当且仅当a 1=2b 22=c1时取等,所以a 2+2b 2+c 2的最小值为：2故选：C题型五:柯西不等式之整式与分式型13(2024·高三·浙江台州·期末)已知正实数a ,b 满足a +2b =1，则a 4b+32b 4a 的最小值为．【答案】12/0.5【解析】由柯西不等式a 4b +32b 4a =a 4b+32b 4a (2b +a )≥(2a 2+42b 2)2=2(a 2+4b 2)2而a 2+4b 2=12(a 2+4b 2)(1+1)≥12(a +2b )2=12，所以a 4b+32b 4a ≥2a 2+4b 2 2≥12，a =12,b =14时等号成立，故答案为：12.14已知a 、b 、c ∈R +，且满足a +2b +3c =1，则1a +12b+13c 的最小值为.【答案】9【解析】因为a 、b 、c ∈R +，且满足a +2b +3c =1，所以，1a +12b+13c =a +2b +3c 1a +12b +13c ≥a a +2b 2b +3c 3c 2=9，当且仅当a =2b =3c =13时，等号成立，故1a +12b+13c 的最小值为9.故答案为：9.15已知a ,b ,c ∈(0,1)，且ab +bc +ac =1，则11-a +11-b+11-c 的最小值为()A.3-32B.9-32C.6-32D.9+332【答案】D【解析】因为a ,b ,c ∈(0,1)且ab +bc +ac =1，∴(a +b +c )2≥3(ab +bc +ca )=3，∴a +b +c ≥3，因为11-a +11-b +11-c(1-a +1-b +1-c )≥1+1+1 2所以11-a +11-b +11-c ≥9(1-a +1-b +1-c )≥93-3=9+332，当且仅当a =b =c =33时，11-a +11-b+11-c 的最小值为9+332.故选：D .题型六:柯西不等式之多变量型16已知x ,y ,z >0且x +y +z =1，a ，b ，c 为常数，则a 2x +b 2y +c 2z的最小值为()A.a 2+b 2+c 2B.3a 2+b 2+c 2C.(a +b +c )3D.前三个答案都不对【答案】D【解析】根据柯西不等式，有a 2x +b 2y +c 2z ≥(a +b +c )2x +y +z=(a +b +c )2，等号当a x =b y =cz >0时取得，因此所求最小值为(a +b +c )2．故选：D .17已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a +b +c +d +e =8,a 2+b 2+c 2+d 2+e 2=16, 则e 的取值范围是()A.[-2,2]B.[0,1]C.[0,2)D.以上答案都不对【答案】D【解析】根据柯西不等式，有-4⋅a 2+b 2+c 2+d 2≤a +b +c +d ≤4⋅a 2+b 2+c 2+d 2，从而|8-e |≤216-e 2⇒0≤e ≤165，因此e 的取值范围是0,165．故选：D .18已知a ,b ,c ∈R +，且(a +b -c )1a +1b-1c =3，则a 4+b 4+c 4 1a 4+1b 4+1c4 的最小值是()A.417+2403B.417-2403C.417D.以上答案都不对【答案】A【解析】由(a +b -c )1a +1b-1c=3可得a 2+b 2ab ×1a +b =c ×1ab+1c ，由对称性可设ab =1，则条件即(a +b -c )a +b -1c =3即c +1c =a 2+b 2a +b，从而a 2+b 2a +b≥2⇒a +b ≥1+3，根据柯西不等式a 4+b 4+c 4 a 4+b 4+1c4 ≥a 4+b 4+1 2=(a +b )4-4(a +b )2+32≥417+2403，等号当c =1,a +b =1+3时取得．因此所求最小值为417+2403．故选：A .题型七:柯西不等式之三角函数型19函数3+23cosθ+cos2θ+5-23cosθ+cos2θ+4sin2θ的最大值为()A.2+3B.22+3C.2+23D.前三个答案都不对【答案】D【解析】题中代数式为3+cosθ+10-(3cos+1)2=3cosθ+13+10-(3cosθ+1)2+23≤13+1×10+23=210+23，等号当10-(3cosθ+1)23cosθ+1=3⇒cosθ=10-223时可以取得，因此所求最大值为210+23．故选：D.20(2024·浙江·一模)若sin x+cos y+sin x+y=2，则sin x的最小值是() A.0 B.2-3 C.3-7 D.12【答案】C【解析】由已知sin x+cos y+sin x cos y+cos x sin y=2整理得2-sin x=sin x+1cos y+cos x sin y，由柯西不等式得sin x+1cos y+cos x sin y≤1+sin x2+cos2x⋅cos2y+sin2y=2+2sin x，当sin x+1sin y=cos y cos x时取等号，所以2-sin x2≤2+2sin x，即sin2x-6sin x+2≤0，解得3-7≤sin x≤1，所以sin x的最小值为3-7.故选：C．21函数y=2cos x+31-cos2x的最大值为()A.22B.5C.4D.13【答案】A【解析】利用柯西不等式进行求最值.y=2cos x+31-cos2x=2cos x+32sin2x ≤cos2x+sin2x22+(32)2=22当且仅当cos xsin2x=232，即tan x=±322时，函数有最大值22.故选：A.题型八:Aczel 不等式22f (x )=5x -4-x -4的最小值为．【答案】855【解析】f (x )=5x -4-x -4=5⋅x -45-1⋅x -4≥(5-1)x -45 -(x -4)=4×165=85当且仅当x -45x -4=51即x =245时取等号，故f (x )=5x -4-x -4的最小值为855．23为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式(二维)；当向量a =x 1,y 1 ,b =x 2,y 2 时，有a ⋅b 2≤a 2b 2，即x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：x 1x 2-y 1y 2 2≥x 21-y 21 x 22-y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当x ∈R 时，12x 2+1-2x 2+1的最小值是．【答案】-1【解析】由题意得12x 2+1-2x 2+1=12x 2+1-42x 2+2，则12x 2+1-42x 2+22x 2+1 -2x 2+2 =12x 2+1 2-22x 2+222x 2+1 2-2x 2+2 2 ≤12x 2+1⋅2x 2+1-22x 2+2⋅2x 2+22=1，当且仅当12x 2+1⋅2x 2+2=22x 2+2⋅2x 2+1，即x =0时，等号成立，即12x 2+1-42x 2+22x 2+1 -2x 2+2 ≤1，则-12x 2+1-42x 2+2 ≤1，所以12x 2+1-2x 2+1=12x 2+1-42x 2+2≥-1，最小值为-1，此时x =0．故答案为：-1.题型九:权方和不等式之整式与分式综合型24已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =1，则x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y的最小值为【答案】13【解析】因为正数x ，y 满足x +y +z =1，所以x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y ≥x +y +z 2y +2z +z +2x +x +2y =13，当且仅当x y +2z =y z +2x =z x +2y 即x =y =z =13时取等号.故答案为：13.25权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =b y 时等号成立．根据权方和不等式，函数f (x )=2x+91-2x 0<x <12的最小值为()A.16 B.25 C.36 D.49【答案】B【解析】因a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时等号成立，又0<x <12，即1-2x >0，于是得f (x )=222x +321-2x ≥(2+3)22x +(1-2x )=25，当且仅当22x =31-2x ，即x =15时取“=”，所以函数f (x )=2x +91-2x 0<x <12的最小值为25.故选：B26已知a ，b ，c 为正实数，且满足a +4b +9c =4，则1a +1+1b +1+1c +1的最小值为.【答案】2【解析】由权方和不等式，可知1a +1+1b +1+1c +1=1a +1+44b +4+99c +9≥1+2+3 2a +1 +4+4b +9c +9=3618=2，当且仅当a =2,b =12,c =0时等号成立，所以1a +1+1b +1+1c +1的最小值为2.故答案为：2.27已知正实数x 、y 且满足x +y =1，求1x 2+8y2的最小值.【答案】27【解析】设x =cos 2α，y =sin 2α，α∈0,π2，由权方和不等式，可知1x 2+8y 2=13cos 2α 2+23sin 2α 2≥1+2 3cos 2α+sin 2α2=27，当且仅当1cos 2α=2sin 2α，即x =13，y =23时取等号，所以1x 2+8y2的最小值为27.故答案为：2728已知θ为锐角，则1sin θ+8cos θ的最小值为.【答案】55【解析】1sin θ+8cos θ=132sin2θ12+432cos2θ12≥1+4 32sin2θ+cos 2θ12=532=55当且仅当1sin 2θ=4cos 2θ即sin θ=55，cos θ=255时取“=”.故答案为：5529(2024·四川·模拟预测)“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设a n >0,b n >0,n ∈N *,m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+a m +13b m3+⋯+a m +1n b m n ≥a 1+a 2+a 3+⋯+a nm +1b 1+b 2+b 3+⋯+b n m，当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3=⋯=a n b n 时，等号成立．根据权方和不等式，若x ∈0,π2 ，当33sin x +1cos x取得最小值时，x 的值为()A.π12 B.π6 C.π3D.5π12【答案】C【解析】由题意得，sin x >0,cos x >0，则33sin x +1cos x=332sin 2x 12+132cos 2x 12≥(3+1)32sin 2x +cos 2x 12=432=8，当且仅当3sin 2x =1cos 2x ，即cos x =12时等号成立，所以x =π3．故选：C ．30已知x ,y >0,1x +22y=1，则x 2+y 2的最小值是．【答案】33【解析】由题意得，1=1x +22y =132x 2 12+232y 2 12≥1+2 32x 2+y 212=33x 2+y 2．(权方和的一般形式为：a m +11b m 1+a m +12b m 2+a m +13b m 3+⋯+a m +1nb m n ≥a 1+a 2+a 3+⋯+a n m +1b 1+b 2+b 3+⋯+b n m ,a i >0,b i >0,当且仅当a i =λb i 时等号成立)当1x 2=2y 21x +22y =1 ，即x =3,y =32时，x 2+y 2取得最小值33．故答案为：3331已知x +2y +3z +4u +5v =30，求x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2的最小值为【答案】60【解析】x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2=x 21+2y 22+3z 23+4u 24+5v 25≥x +2y +3z +4u +5v 21+2+3+4+5=30215=60当且仅当x =y =z =u =v 时取等号故答案为：6032求f x =x 2-3x +2+2+3x -x 2的最大值为【答案】22【解析】f (x )=x 2-3x +2+2+3x -x 2=x 2-3x +2 121-12+2+3x -x 2 121-12≤x 2-3x +2+2+3x -x 2 121+1-12=22当且仅当x 2-3x +2=2+3x -x 2，即x =0或x =3时取等号故答案为：2 2.3过关测试33(2024·吉林白山·一模)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a ，b ，x ，y ，满足a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时，等号成立．则函数f x =3x +161-3x 0<x <13的最小值为()A.16 B.25 C.36 D.49【答案】D【解析】因为a ，b ，x ，y ，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时等号成立，又0<x <13，即1-3x >0，于是得f x =323x +421-3x ≥3+4 23x +1-3x =49，当且仅当1x =41-3x ，即x =17时取“=”，所以函数的f x =3x +161-3x 0<x <13最小值为49．故选：D34已知a ，b ，c 均大于1，log a 3+log b 9+log c 27=12，则ab 2c 3的最小值为()A.243B.27C.81D.9【答案】B【解析】由log a 3+log b 9+log c 27=12得log a 3+2log b 3+3log c 3=12，所以log 3ab 2c 3 =log 3a +log 3b 2+log 3c 3=log 3a +2log 3b +3log 3c =112log 3a +2log 3b +3log 3c log a 3+2log b 3+3log c 3 ≥112log 3a ⋅log a 3+2log 3b ⋅2log b 3+3log 3c ⋅3log c 3 2=1121+2+3 2=3，当且仅当log 3a log a 3=log 3b log b 3=log 3clog c 3时取等，所以log 3ab 2c 3 ≥3=log 327，所以ab 2c 3≥27，即ab 2c 3的最小值为27，故选：B35(2024·福建·模拟预测)设p 、q ∈R +，x ∈0,π2，则psin x+qcos x的最小值是()A.p 35+q 3553B.p 45+q4554C.p 12+q 122 D.p 14+q144【答案】B 【解析】设f =psin x+q cos x，因为x ∈0,π2 ，则0<sin x <1且0<cos x <1，因为sin 2x +cos 2x =1，构造数字式5=1+4=1+4p f sin x +qf cos x=4p f sin x +sin 2x +4q f cos x+cos 2x≥55p f sin x4⋅sin 2x +55q f cos x4⋅cos 2x =5⋅5p 4+5q 45f4，所以，5f 4≥5p 4+5q 4=p 45+q 45，故f ≥p 45+q 4554，当且仅当p f sin x =sin 2x q f cos x =cos 2x ，即当tan x =pq25时，等号成立，因此，psin x+q cos x的最小值是p 45+q 45 54.故选：B .36由柯西不等式，当x +2y +z =4时，求x +y +z 的最大值为()A.10 B.4C.2D.10【答案】D【解析】由柯西不等式，得(x +2y +z )(4+2+4)≥(2x +2y +2z )2，当且仅当x 4=2y 2=z 4，即x =z =82,y =25时，等号成立.因为x +2y +z =4，所以(x +y +z )2≤10，则x +y +z ≤10，故x +y +z 的最大值为10.故选：D37已知3x +2y +z =3，则x 2+y 2+2z 2的取最小值时，xyz 为()A.7B.83C.3D.73【答案】B【解析】由柯西不等式得：3=3x +2y +z ≤32+22+122⋅x 2+y 2+2z 2则x 2+y 2+2z 2≥23．则根据等号成立条件知3x +2y +z =33x =2y =12z⇒x =23，y =49，z =19，所以xy z =23×4919=83故选：B38已知：a 2+b 2=1，x 2+y 2=1，则ax +by 的取值范围是()A.0,2B.-1,1C.-2,2D.0,1【答案】B【解析】利用柯西不等式，可得1≥ax +by 2,解不等式即可.解:利用柯西不等式，得a 2+b 2=1,1=a 2+b 2 x 2+y 2 ≥ax +by 2，解得-1≤ax +by ≤1.故选:B39实数x 、y 满足3x 2+4y 2=12，则z =2x +3y 的最小值是()A.-5B.-6C.3D.4【答案】A【解析】∵实数x 、y 满足3x 2+4y 2=12，∴x 24+y 23=1，∴x 24+y 2316+9 ≥2x +3y 2，-5≤2x +3y ≤5，当且仅当33x =8y 时取等号，∴z =2x +3y 的最小值是-5.故选：A .40已知a ，b >0，a +b =5，则a +1+b +3的最大值为()A.18B.9C.32D.23【答案】C【解析】由题意，a +1+b +3 2≤1+1 a +1+b +3 =18，当且仅当a +1=b +3时等号成立，∴当a =72，b =32时，故a +1+b +3的最大值为3 2.故选：C .41若实数x +2y +3z =1，则x 2+y 2+z 2的最小值为()A.14B.114C.29D.129【答案】B【解析】根据柯西不等式：x 2+y 2+z 2 1+4+9 ≥2+2y +3z =1，即x 2+y 2+z 2≥114，当且仅当x =114，y =17，z =314时等号成立.故选：B .42函数y =x 2-2x +3+x 2-6x +14的最小值是A.10B.10+1C.11+210D.210【答案】B【解析】y =x 2-2x +3+x 2-6x +14=(x -1)2+2+(3-x )2+5根据柯西不等式，得y 2=(x -1)2+2+(3-x )2+5+2(x -1)2+2 (3-x )2+5 ≥(x -1)2+2+(3-x )2+5+2[(x -1)(3-x )+10]=[(x -1)+(3-x )]2+2+5+210=11+210当且仅当x -13-x =25，即x =210-13时等号成立.此时，y min =11+210=10+1 2=10+1，故选：B .43若x 2+4y 2+9z 2=4，则x +y +3z 的最大值()A.3 B.6C.9D.27【答案】A【解析】根据柯西不等式可得：(x +2y +3z )2≤(x 2+4y 2+9z 2)12+122+12 =4×94=9∴x +y +3z ≤3，当且仅当x =4y =3z ，即x =43,y =13,z =49时，等号成立.故选:A .44函数y =x -5+26-x 的最大值是()A.3B.5C.3D.5【答案】B【解析】利用柯西不等式求解.因为y =x -5+26-x ≤x -5 2+6-x 212+22 =5当且仅当x -5=6-x 2，即x =265时，取等号.故选：B45已知a 21+a 22+⋯+a 2n =1，x 21+x 22+⋯+x 2n =1，则a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n 的最大值是()A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】利用柯西不等式求解.a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n 2≤a 21+a 22+⋯+a 2n x 21+x 22+⋯+x 2n =1×1=1，当且仅当x 1a 1=x 2a 2=⋯=xn a n=1时取等号.∴a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n 的最大值是1故选：A46函数f x =1-cos2x +cos x ，则f x 的最大值是()A.3B.2C.1D.2【答案】A【解析】将f x 化为f x =2sin 2x +cos x ，利用柯西不等式即可得出答案.因为f x =1-cos2x +cos x所以f x =2sin 2x +cos x ≤2+1 sin 2x +cos 2x=3当且仅当cos x =33时取等号.故选：A47(2024·高三·河北衡水·期末)已知a ，b ，c >0，且a +b +c =1，则3a +1+3b +1+3c +1的最大值为()A.3B.32C.18D.9【答案】B【解析】由柯西不等式得：3a +1+3b +1+3c +1 2≤12+12+12 3a +1 2+3b +1 2+3c +1 2=3×3a +b +c +3 =18，所以3a +1+3b +1+3c +1≤32，当且仅当a =b =c =13时，等号成立，故选B .48已知x ，y 均为正数，且x +y =2，则x +4xy +4y 的最大值是()A.8 B.9C.10D.11【答案】C【解析】x +4xy +4y =x +2y 2≤x +2y 2+2x -y 2=5x +y =10当且仅当2x =y ，即x =25,y =85时，等式成立.故选：C49(2024·广西南宁·二模)设实数a ,b ,c ,d ,e 满足关系：a +b +c +d +e =8，a 2+b 2+c 2+d 2+e 2=16，则实数e 的最大值为A.2 B.165C.3D.25【答案】B【解析】根据柯西不等式知：4(a 2+b 2+c 2+d 2)=(1+1+1+1)(a 2+b 2+c 2+d 2)≥(a +b +c +d )2，当且仅当a =b =c =d 时等号成立，所以4(16-e 2)≥(8-e )2，即64-4e 2≥64-16e +e 2，所以5e 2-16e ≤0，解得0≤e ≤165，即实数e 的最大值为165.故选：B .50(2024·山西·二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，由a ⋅b ≤a b 得到x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0，b ≥0，a +b =9，则2a +4+b +1的最大值为.【答案】6【解析】令x 1=2,y 1=1,x 2=a +2,y 2=b +1，又a ≥0，b ≥0，a +b =9，所以2a +4+b +1 2≤2+1 a +2+b +1 =3×12=36，所以2a +4+b +1≤6，当且仅当2⋅b +1=a +2，即a =6,b =3时取等号，所以2a +4+b +1的最大值为6.故答案为：651若不等式x +y ≤k 5x +y 对任意正实数x ，y 都成立，则实数k 的最小值为.【答案】305/1530【解析】由柯西不等式的变形可知5x +y =x215+y21≥x +y15+1，整理得x +y5x +y≤305，当且仅当x15=y1，即y=25x时等号成立，则k的最小值为30 5.故答案为：30 552已知x，y，z>0，且x+y+z=9，则x2+4y2+z2的最小值为．【答案】36【解析】由柯西不等式可得x2+4y2+z212+122+12≥(x+y+z)2，所以94x2+4y2+z2≥81，即x2+4y2+z2≥36，当且仅当x1=2y12=z1即x=4y=z也即x=4,y=1,z=4时取得等号，故答案为:36.53(2024·高三·江苏苏州·开学考试)设角α、β均为锐角，则sinα+sinβ+cosα+β的范围是．【答案】1,3 2【解析】因为角α、β均为锐角，所以sinα,cosα,sinβ,cosβ的范围均为0,1，所以sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ<sinα+sinβ，所以sinα+sinβ+cosα+β>sinα+β+cosα+β=2sinα+β+π4因为0<α<π2,0<β<π2,π4<α+β+π4<3π4，所以2sinα+β+π4>2×22=1，sinα+sinβ+cosα+β=sinα+sinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=1-sinβsinα+cosαcosβ+sinβ≤1-sinβ2+cos2β+sinβ=21-sinβ+sinβ，当且仅当1-sinβcosα=sinαcosβ时取等，令1-sinβ=t，t∈0,1，sinβ=1-t2，所以=21-sinβ+sinβ=2t+1-t2=-t-2 22+32≤32.则sinα+sinβ+cosα+β的范围是：1,3 2.故答案为：1,3 254在锐角△ABC中，tan A tan B+2tan B tan C+3tan C tan A的最小值是．【答案】6+22+23+26【解析】记题中代数式为M，我们熟知三角形中的三角恒等式：cot A cot B+cot B cot C+cot C cot A= 1，于是M=tan A tan B+2tan B tan C+3tan C tan A≥(1+2+3)2cot A cot B+cot B cot C+cot C cot A=(1+2+3)2=6+22+23+26，等号当tan A tan B =2tan B tan C =3tan C tan A ⇒tan A :tan B :tan C =2:3:1时取得，因此所求最小值为6+22+23+26故答案为：6+22+23+2655函数f (x )=2020-x +x -2010的最大值与最小值之积为．【答案】102【解析】函数f (x )的定义域为[2010,2020]，一方面，2020-x +x -2010≥(2020-x )+(x -2010)=10，等号当x =2010,2020时取得；另一方面，2020-x +x -2010≤2⋅(2020-x )+(x -2010)=20，当且仅当x =2015时等号成立，于是最大值为20，最小值为10，所求乘积为102．故答案为：10 2.56(2024·高三·天津南开·期中)已知正实数a ，b 满足a +b =1，则1a +2a b +1的最小值为.【答案】52/2.5【解析】由题设，a =1-b ，则1a +2a b +1=1a +2-2b b +1=1a +4b +1-2，又(a +b +1)1a +4b +1 =a ⋅1a +b +1⋅2b +12=9，∴1a +4b +1≥92，当且仅当a =b +12时等号成立，∴1a +2a b +1≥92-2=52，当且仅当a =b +12=23时等号成立.∴1a +2a b +1的最小值为52.故答案为：52.57已知a >1,b >1，则a 2b -1+b 2a -1的最小值是．【答案】8【解析】令a +b -2=t >0，则a 2b -1+b 2a -1≥a +b 2a +b -2=t +2 2t =t +4t +4≥24+4=8，当a +b -2=2a b -1=b a -1时，即a =2,b =2时，两个等号同时成立，原式取得最小值8．故答案为：858已知x >0，y >0，且12x +y +1y +1=1，则x +2y 的最小值为.【答案】3+12【解析】解法一：设x +2y =λ1(2x +y )+λ2(y +1)+t ，可解得λ1=12,λ2=32,t =-32，从而x +2y =12(2x +y )+32(y +1)-32=12(2x +y )+32(y +1)12x +y +1y +1 -32≥3+12，当且仅当x =12+33,y =33时取等号.故答案为：3+12．解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y，1=12x +y +33y +3≥(1+3)22x +4y +3⇒2x +4y +3≥4+23，所以x +2y ≥3+12，当且仅当x =12+33,y =33时取等号.故答案为：3+12．。

柯西不等式练习2学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若正实数、、满足，则的最小值为（）A．2 B．1 C．D．2【答案】D【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c的最小值即可．详解：由题得：因为a2+ac+ab+bc=2，∴（a+b）（a+c）=2，又a，b，c均为正实数，∴2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2=2，当且仅当a+b=a+c时，即b=c取等号．故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．2．已知是的三内角的弧度数，则与的大小关系为()A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】直接利用柯西不等式即可得结果.【详解】由柯西不等式,得≥,当且仅当，时等号成立，故选A.【点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答.3．已知x,y,z∈(0,+∞),且则的最小值为（）A．5B．6C．8D．9【答案】D【解析】【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解的最小值即可.【详解】x≥=9.当且仅当x=3,y=6,z=9时等号成立.即的最小值为9.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值的方法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．若5x1+6x2-7x3+4x4=1,则的最小值是（）A．B．C．3D．【答案】B【解析】【分析】由题意结合柯西不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意结合柯西不等式有：.故.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查柯西不等式其最值的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．若α,β为锐角,且则等于A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由题意结合柯西不等式确定等号成立的条件求得的值即可.【详解】由题意：.当且仅当，时等号成立，即，.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，三角方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题6．已知实数满足条件，求的最小值是_________【答案】-24【解析】【分析】设z=，由柯西不等式，可求得，z的最小值为。

2018年10月20日基本不等式和柯西不等式复习卷及答案第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一．选择题（共17小题）1．若直线过点（1，1），则4a+b的最小值为（）A．6B．8C．9D．102．已知a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．C．D．ab＜b23．下列命题正确的是（）A．若a＞b，则（a﹣b）c＞（b﹣a）c B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若ac＞bc，则D．若a＞b，则4．设x≥2，则y=1+3x+的最小值是（）A．4+3B．4+2C．8D．1+25．已知实数m＞0，n＞0，且m+n=2，则的最小值为（）A．4B．2C．4D．26．若实数x＞0，y＞0，且x+4y=xy，则x+y的最小值为（）A．7B．8C．9D．107．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，6）B．（﹣∞，6]C．（﹣∞，8]D．（﹣∞，8）8．已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．9．设x＞0．y＞0，若是9x与3y的等比中项，则+的最小值为（（）A．2B．8C．9D．1010．已知x＞0，y＞0，xy﹣2x﹣y=2，则x+y的最小值为（）A．5B．7C．9D．1011．如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且，则的最小值为（）A．B．18C．9D．2512．已知a，b∈R，a2+b2=15﹣ab，则ab最大值是（）A．15B．12C．5D．313．下列函数中，最小值为4的函数是（）A．B．C．y=2e x+2e﹣x D．14．若正数a，b满足：lga+lgb=lg（a+b），则的最小值为（）A．16B．9C．4D．115．设x＞0，y＞0且x+y=1，函数y=的最小值为（）A．10B．9C．8D．16．已知a＞0，b＞﹣1，且a+b=1，则+的最小值为（）A．B．C．D．17．当x＞1时，函数f（x）=2x+的最小值是（）A．2B．2+1C．2（+1）D．4+2第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明二．解答题（共1小题）18．已知数列{a n}的前n项和S n=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，n∈N*，求的前n项和T n．2018年10月20日克拉玛****高级中学的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）1．若直线过点（1，1），则4a+b的最小值为（）A．6B．8C．9D．10【解答】解：∵直线过点（1，1），∴=1则4a+b=（4a+b）（）=5≥5+2=9∴4a+b的最小值为9故选：C．2．已知a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．C．D．ab＜b2【解答】解：a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，则a2=4，b2=1，a2＞b2，∴A错误；=﹣，=﹣1，＞，∴B错误；=，=2，＜，∴C正确；ab=2，b2=1，ab＞b2，∴D错误．故选：C．3．下列命题正确的是（）A．若a＞b，则（a﹣b）c＞（b﹣a）c B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若ac＞bc，则D．若a＞b，则【解答】解：利用排除法：对于选项A：当令c=0时，则：（a﹣b）c=（b﹣a）c故错误．对于选项B：若0＞a＞b，0＞c＞d，则：ac＜bd．故错误．对于选项D：当a=2，b=0时，不存在．故错误．故选：C．4．设x≥2，则y=1+3x+的最小值是（）A．4+3B．4+2C．8D．1+2【解答】解：y=1+3x+=3（x﹣1）++4．令x﹣1=t，t≥1．∴y=3t++4．当t时，函数是递增函数，∵t≥1，∴当t=1时，即x=2时，函数y=1+3x+取得最小值为8．故选：C．5．已知实数m＞0，n＞0，且m+n=2，则的最小值为（）A．4B．2C．4D．2【解答】解：实数m＞0，n＞0，且m+n=2，可得，则=（）（）=1+=2．当且仅当m=n=1时取等号．∴则的最小值为2；故选：B．6．若实数x＞0，y＞0，且x+4y=xy，则x+y的最小值为（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：根据题意，实数x＞0，y＞0，若x+4y=xy，则+=1，x+y=（x+y）（+）=++5≥2+5=9，当且仅当x=2y时等号成立，即x+y的最小值为9；故选：C．7．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，6）B．（﹣∞，6]C．（﹣∞，8]D．（﹣∞，8）【解答】解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y=（）（x+2y）=4+，当且仅当x=2y=4时取等号．若x+2y＞m恒成立，∴m＜8，∴实数m的取值范围是（﹣∞，8）．8．已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵a＞b＞0，∴a﹣b+﹣=（a﹣b）+=（a﹣b）（1+）＞0，故a+＞b+，故A正确，B，D错误，同理可证明C错误，故选：A．9．设x＞0．y＞0，若是9x与3y的等比中项，则+的最小值为（（）A．2B．8C．9D．10【解答】解：x＞0．y＞0，若是9x与3y的等比中项，则：，即：2x+y=1，所以：=4+1+≥5+4=9．（当且仅当x=等号成立）故选：C．10．已知x＞0，y＞0，xy﹣2x﹣y=2，则x+y的最小值为（）A．5B．7C．9D．10【解答】解：已知x＞0，y＞0，xy﹣2x﹣y=2，所以，由x＞0，得到y＞2时，x+y==+y=≥3+4=7，故函数x+y的最小值为7．故选：B．11．如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且，则的最小值为（）A．B．18C．9D．25【解答】解：在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且，则x+y=1．所以：==4+9+≥13+12=25（当且仅当x=，y=等号成立），故选：D．12．已知a，b∈R，a2+b2=15﹣ab，则ab最大值是（）A．15B．12C．5D．3【解答】解：a2+b2=15﹣ab≥2ab，即3ab≤15，可得ab≤5，当且仅当a=b=±时，取得等号，则ab的最大值为5．故选：C．13．下列函数中，最小值为4的函数是（）A．B．C．y=2e x+2e﹣x D．【解答】解：对于A：当x＜0时，A显然不满足条件．对于B：当sinx＜0，B 显然不满足条件．∵e x＞0，∴2e x+2e﹣x≥4，当且仅当e x=1时，即x=0时取等号，故有C 满足条件；对于D：∵0＜x＜1，则log3x＜0时，D显然不满足条件．故选：C．14．若正数a，b满足：lga+lgb=lg（a+b），则的最小值为（）A．16B．9C．4D．1【解答】解：由lga+lgb=lg（a+b），可得lg（ab）=lg（a+b），所以，ab=a+b，则ab﹣a﹣b+1=1，即a（b﹣1）﹣（b﹣1）=1，所以，（a﹣1）（b﹣1）=1，由基本不等式可得，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为4，故选：C．15．设x＞0，y＞0且x+y=1，函数y=的最小值为（）A．10B．9C．8D．【解答】解：∵x＞0，y＞0且x+y=1，所以，，当且仅当，即当时，等号成立，因此，函数y=的最小值为9，故选：B．16．已知a＞0，b＞﹣1，且a+b=1，则+的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解法一：∵a＞0，b＞﹣1，且a+b=1，∴+====f（a），0＜a＜2，∴f（a）=[a+（2﹣a）]（+）=（2+++1）=（+3）≥（2+3）=．当且仅当时取等号，故+的最小值为．故选：A．解法二：∵a＞0，b＞﹣1，且a+b=1，∴+====f（a），0＜a＜2，∴f′（a）=﹣+=，令f′（a）＞0，得4﹣2＜a＜2，f（a）单调递增，令f′（a）＜0，得0＜a＜4﹣2，f（a）单调递减，∴当且仅当a=4﹣2时函数f（a）取得极小值即最小值，f（4﹣2）==．ξ故选：A．17．当x＞1时，函数f（x）=2x+的最小值是（）A．2B．2+1C．2（+1）D．4+2【解答】解：∵x＞1，即x﹣1＞0，∴f（x）=2x+=+2=2+2，当且仅当x=1+时等号成立．即f（x）的最小值为2（+1），故选：C．二．解答题（共1小题）18．已知数列{a n}的前n项和S n=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，n∈N*，求的前n项和T n．【解答】解：（1）当n≥2时，由a n=S n﹣S n﹣1=1﹣﹣1+=，当n=1时，a1=，所以a n=，n∈N*；（2）由（1）及=log（）=n，所以==﹣，故的前n项和T n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．。

一、柯西不等式：211212)()()(k nk k n k kn k kb a b a ∑∑∑===≥∙等号成立的条件是)3,2,1(n k b a k k ⋅⋅⋅==λ二维柯西不等式：))(()(2222212122121y x y x y y x x ++≤+证明：（用作差法）0)(2)())((212212121212222212212122222121≥-=-+=+-++y x y x y y x x y x y x y y x x y x y x三维柯西不等式：))(()(2222222121212212121z y x z y x z z y y x x ++++≤++证明：（构造空间向量法） 设),,(),,,(222111z y x n z y x m ==n m n m n m n m ⋅≤⋅=⋅,cos ，所以：222222212121212121z y x z y x z z y y x x ++⋅++≤++，两边平方即可！n 维柯西不等式：211212)()()(k nk k nk knk kb a b a ∑∑∑===≥∙等号成立的条件是)3,2,1(n k b a k k ⋅⋅⋅==λ证明：（用构造函数法）（1）.当021==⋅⋅⋅==n b b b 时，不等式显然成立； （2）当n b b b ⋅⋅⋅,,21不全为0时，构造)()(2)()(121212∑∑∑===+-=nk k k n k k nk ka xb a x bx f ,所以有0)()()(2)()(12121212≥-=+-=∑∑∑∑====nk k k nk kk nk k nk ka xb a x b a x b x f 对任意R x ∈恒成立，因此0)()(4)(4121221≤∙-=∆∑∑∑===nk k n k kk n k k b a b a故：211212)()()(k nk k n k k nk kb a b a∑∑∑===≥∙柯西不等式的变式：2111)()()(∑∑∑===≥∙nk k k n k k n k k b a b ak nk k n k kn k kb a b a ∑∑∑===≥∙11212)()(2111)()()(∑∑∑===≥∙nk k nk k kk n k k a b a b a 等号成立的条件是当且仅当n b b b =⋅⋅⋅==21 2112)()(∑∑==≥nk k nk k n an a （在柯西不等式中令b k =1，两边同时除以n 2即得） ∑∑∑===≥nk knk k nk k kba b a 12112)()( (等号成立的条件是)3,2,1(n k b a k k ⋅⋅⋅==λ二、练习：1.已知z y x ,,>0，且1=++z y x ，求)1()1()1(222x x z z z y y y x -+-+-的最小值； 2.已知b a ,>0,求证：b a b a b a 614121+++++<)7)((3b a b a ++ 3.已知2=++z y x 且z y x ,,>0，求证：x z z y y x +++++111≥494.设c b a ,,为正数且互不相等.求证:a c cb b a +++++222>c b a ++95.设正实数c b a ,, 满足1=abc , 求证:)(1)(1)(1333b a c c a b c b a +++++≥23 6.设c b a ,,为正数, 且1=++c b a ,求证:222)1()1()1(cc bb a a +++++≥31007.设实数c b a ,, 满足632222=++c b a ，求证：c b a ---++2793≥31；8.已知1232=++z y x , 求证:22232z y x ++≥24；9.已知1=++c b a , 求证:33332313≤+++++c b a ； 10.若a >b>c ，求证：ca cb b a -≥-+-411答案：1.证明：由1=++z y x 得：zxxy z y x x x yzzx y x z z z xzxy z x y y y +=+=-+=+=-+=+=-)()1()()1()()1(，所以有)1()1()1(222x x z z z y y y x -+-+-＝zx xy z yz zx y yz xy x +++++222，由柯西不等式得：2222)()()]()()[(z y x zx xy z yz zx y yz xy x zx xy yz zx yz xy ++≥+++++⋅+++++所以有：zx xy z yz zx y yz xy x +++++222)]()()[(1zx xy yz zx yz xy +++++≥即：zxxy z yz zx y yz xy x +++++222)(21zx yz xy ++≥，又zxyz xy z y x z y x z y x zx yz xy ++≥++++-++≤++2222222)()()(2 1=++z y x所有：zx xy z yz zx y yz xy x +++++22223≥，当且仅当31===z y x 时取等号 2.证明：由柯西不等式可得：22)611411211()614121(ba b a b a b a b a b a +⋅++⋅++⋅=+++++])6(1)4(1)2(1)[111(222222b a b a b a +++++++≤< ])7)(5(1)5)(3(1)3)((1[3b a b a b a b a b a b a ++++++++（放缩）)71515131311(23ba b a b a b a b a b a b +-+++-+++-+=（裂项相消）)711(23ba b a b +-+=)7)((623b a b a b b ++=)7)((9b a b a ++= 所以有：b a b a b a 614121+++++<)7)((3b a b a ++3.证明：由柯西不等式得：9)111()111()]()()[(2=++≥+++++⋅+++++xz z y y x x z z y y x ，又2=++z y x所以有：x z z y y x +++++111≥49)(29=++z y x .4.证明：与第3题的证法相同，最后说明c b a ,,为正数且互不相等,所以不取等号；5.证明：由1=abc 得：1222=c b a ，所以：2221c b a =,1,222c a b =2221b a c= )(1)(1)(1333b a c c a b c b a +++++bcac b a bc ab c a ac ab c b b a c b a c a b c a c b a c b +++++=+++++=222222222222)()()(2222222)()()]()()[(ab ac bc bc ac b a bc ab c a ac ab c b bc ac bc ab ac ab ++≥+++++⋅+++++即：232)(2)(32222222222c b a ab ac bc ac bc ab ab ac bc bc ac b a bc ab c a ac ab c b ≥++=++++≥+++++又1=abc ，所以：)(1)(1)(1333b a c c a b c b a +++++≥23 6.证明：由柯西不等式])1()1()1[()111()]1(1)1(1)1(1[2222222cc b b a a c c b b a a +++++⋅++≤+⋅++⋅++⋅结合1=++c b a所以：222)1()1()1(c c b b a a +++++22)]111(1[31)]111()[(31cb ac b a c b a +++=+++++≥又9)111()111)((1112=++≥++++=++cb ac b a c b a 所以：3100)91(31)]111(1[3122=+≥+++c b a故：222)1()1()1(cc b b a a +++++≥31007.证明：c b a ---++2793＝3)32(33232333333333c b a c b a c b a ++-------=⋅⋅≥++又由柯西不等式：])3()2([])3()2(1[)33221(2222222c b a c b a ++⋅++≤⋅+⋅+⋅即：)2(6)32(2222c b a c b a ++⋅≤++，结合632222=++c b a 所以有：632≤++c b a即：313333363)32(=≥-++-c b a 所以：c b a---++2793≥318.证明：由])3()2([])3()2(1[)33221(2222222z y x z y x ++⋅++≤⋅+⋅+⋅结合题目条件即可证出，与第7题一样； 9.证明：]6)(3[3])33()23()13[()111()331231131(2222222+++=+++++∙++≤+⋅++⋅++⋅c b a c b a c b a 结合题目条件就可以证出了！10.证明：由条件a >b>c 得：b a ->0,c b ->0,所以2)11()11()]()[(+≥-+-⋅-+-cb b ac b b a ＝4 所以：c a c b b a -≥-+-411 点评： 1.211212)()()(k nk k n k k nk kb a b a∑∑∑===≥∙中的求和展开式为：222112222122221)())((n n n n b a b a b a b b b a a a +⋅⋅⋅++≥⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++；2.二维、三维、n 维柯西不等式的证明分别用了作差法、向量法、构造函数法证明，其实这 三种方法也可以相互迁移，尤其是向量法简洁明了，值得借鉴；3.带条件的三元不等式很常见, 用柯西不等式来证的较多, 要适当选择k a 和k b , 便于运用柯西不等式211212)()()(k nk k n k k nk kb a b a∑∑∑===≥∙；4.结合柯西不等式及变式中的等号成立的条件，请读者自行研究以上不等式的取等号条件。

高一数学柯西不等式试题1. x、y>0, x＋y="1," 且≤a恒成立, 则a的最小值为A．B． 2C．2D．【答案】D【解析】解：因为x、y>0, x＋y=1,要使≤a恒成立，则a大于等于的最大值即可。

而2.已知n个正整数的和是1000，求这些正整数的乘积的最大值．【答案】22×3332．【解析】n个正整数x1，x2，x3，…，xn中，不可能有大于或等于5的数，也不可能有三个或三个以上的2，因此n个数的最大积只可能是由332个3及2个2的积组成．解：n个正整数x1，x2，x3，…，xn满足x1+x2+x3+…+xn=1000，x 1，x2，x3，…，xn中，不可能有大于或等于5的数，这是因为5＜2×3，6＜3×3，…也不可能有三个或三个以上的2，这是因为三个2的积小于两个3的积，因此n个数的最大积只可能是由332个3及2个2的积组成，最大值为22×3332．点评：本题考查正整数的乘积的最大值的求法，是中档题，解题时要注意排序不等式的合理运用．3.已知a，b，c为正数，用排序不等式证明：2（a3+b3+c3）≥a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）．【答案】见解析【解析】由（a3+b3）﹣（a2b+ab2）=（a+b）（a﹣b）2≥0，得a3+b3≥a2b+ab2，同理，a3+c3≥a2c+ac2，b3+c3≥b2c+bc2三式相加，能证明2（a3+b3+c3）≥a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）．证明：先证明：a3+b3≥a2b+ab2，∵（a3+b3）﹣（a2b+ab2）=a2（a﹣b）﹣b2（a﹣b）=（a2﹣b2）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）2≥0，∴a3+b3≥a2b+ab2，取等号的条件是a=b，同理，a3+b3≥a2b+ab2，a3+c3≥a2c+ac2，b3+c3≥b2c+bc2三式相加，得：2（a3+b3+c3）≥a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b），取等号的条件是a=b=c，∴2（a3+b3+c3）≥a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）．点评：本题考查不等式的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意作差法的合理运用．4.设a1，a2，…，an为实数，证明：≤．【答案】见解析【解析】利用排序原理，n个式子相加，可得n（a12+a22+…+an2）≤（a1+a2+…+an）2，上式两边除以n2，并开方可得结论．证明：不妨设a1≤a2≤…≤an，则由排序原理得：a 12+a22+…+an2=a1a1+a2a2+…+anana 12+a22+…+an2≤a1a2+a2a3+…+ana1a 12+a22+…+an2≤a1a3+a2a4+…+an﹣1a1+a n a2…a 12+a22+…+an2≤a1an+a2a1+…+anan﹣1．将上述n个式子相加，得：n（a12+a22+…+an2）≤（a1+a2+…+an）2，上式两边除以n2，并开方可得：≤．点评：本题考查排序原理，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．5.设a1，a2，…，an为正数，求证：++…++≥a1+a2+…+an．【答案】见解析【解析】不妨设a1＞a2＞…＞an＞0，则a12＞a22＞…＞an2，，由排序原理：乱序和≥反序和，可得结论．证明：不妨设a1＞a2＞…＞an＞0，则a12＞a22＞…＞an2，由排序原理：乱序和≥反序和，可得：++…++≥=a1+a2+…+an．点评：本题考查不等式的证明，考查排序原理：乱序和≥反序和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6.（2012•湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可．解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2，当且仅当时等号成立∵a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，∴等号成立∴∴=故选C．点评：柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．7.设a，b∈R+，a+b=1，则+的最小值为（）A．2+B．2C．3D．【答案】D【解析】利用二维形式的柯西不等式求得的最小值为10，可得+的最小值．解：∵a，b∈R+，a+b=1，∴a2+b2=1﹣2ab，又∵=a2+b2+5+2≥6﹣2ab+2=6﹣2ab+2（ab+2）=10，∴+≥，当且仅当=时，等号成立，故+的最小值为，故选：D．点评：本题主要考查利用二维形式的柯西不等式求函数的最小值，属于基础题．8.已知2x+3y+4z=1，则x2+y2+z2的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由条件利用柯西不等式可得（x2+y2+z2）（4+9+16）≥（2x+3y+4z）2=1，由此求得x2+y2+z2的最小值．解：∵2x+3y+4z=1，利用柯西不等式可得（x2+y2+z2）（4+9+16）≥（2x+3y+4z）2=1，故x2+y2+z2≥，当且仅当时，取等号，故x2+y2+z2的最小值为，故选：D．点评：本题主要考查柯西不等式应用，属于基础题．9.已知x，y均为正数，θ∈（，），且满足=，+=，则的值为（）A．2B．1C．D．【答案】C【解析】由题意可得tanθ=＞1，再由+=化简可得 3tan4θ﹣10tan2θ+3=0．解得 tan2θ 的值，可得tanθ=的值．解：∵x，y均为正数，θ∈（，），且满足=，∴tanθ=＞1．再由，+=，可得=，化简可得 3tan4θ﹣10tan2θ+3=0．解得 tan2θ=3，或 tan2θ=（舍去），∴tanθ==，故选：C．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，一元二次方程的解法，属于基础题．10.（2014•黄浦区一模）设向量=（a，b），=（m，n），其中a，b，m，n∈R，由不等式||•||恒成立，可以证明（柯西）不等式（am+bn）2≤（a2+b2）（m2+n2）（当且仅当，即an=bm时等号成立），己知x，y∈R+，若恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是．【答案】k＞．【解析】由（am+bn）2≤（a2+b2）（m2+n2），可得≤（1+9）（x+y），结合x，y∈R+，恒成立，即可求得实数k的取值范围．解：∵（am+bn）2≤（a2+b2）（m2+n2），∴≤（1+9）（x+y），∴≤，∵x，y∈R +，恒成立，∴k＞．故答案为：k＞．点评：本题考查柯西不等式，考查学生运用数学知识解决问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

高一数学柯西不等式试题1.若a＜b＜c，x＜y＜z，则下列各式中值最大的一个是（）A．ax+cy+bz B．bx+ay+czC．bx+cy+az D．ax+by+cz【答案】D【解析】根据条件：a＜b＜c，x＜y＜z，结合排序不等式：反序和≤乱序和≤同序和，即可得出同序和ax+by+cz最大．解：∵a＜b＜c，x＜y＜z，排序不等式：反序和≤乱序和≤同序和，得：同序和ax+by+cz最大．故选D．点评：本题主要考查了不等关系与不等式、排序不等式等基本知识，解答关键是利用不等关系与不等式的性质：反序和≤乱序和≤同序和．2.已知n个正整数的和是1000，求这些正整数的乘积的最大值．【答案】22×3332．【解析】n个正整数x1，x2，x3，…，xn中，不可能有大于或等于5的数，也不可能有三个或三个以上的2，因此n个数的最大积只可能是由332个3及2个2的积组成．解：n个正整数x1，x2，x3，…，xn满足x1+x2+x3+…+xn=1000，x 1，x2，x3，…，xn中，不可能有大于或等于5的数，这是因为5＜2×3，6＜3×3，…也不可能有三个或三个以上的2，这是因为三个2的积小于两个3的积，因此n个数的最大积只可能是由332个3及2个2的积组成，最大值为22×3332．点评：本题考查正整数的乘积的最大值的求法，是中档题，解题时要注意排序不等式的合理运用．3.设a，b，c为正数，利用排序不等式证明a3+b3+c3≥3abc．【答案】见解析【解析】由排序原理：顺序和≥反序和，结合基本不等式，即可得到结论．证明：不妨设a≥b≥c＞0，∴a2≥b2≥c2，由排序原理：顺序和≥反序和，得：a3+b3≥a2b+b2a，b3+c3≥b2c+c2b，c3+a3≥a2c+c2a三式相加得2（a3+b3+c3）≥a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）．又a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca．所以2（a3+b3+c3）≥6abc，∴a3+b3+c3≥3abc．当且仅当a=b=c时，等号成立．点评：本题考查排序原理：顺序和≥反序和，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4.函数（）A．6B．2C．5D．2【答案】D【解析】函数可化为=，利用柯西不等式，即可求得最大值．解：由柯西不等式可得=≤=2当且仅当，即x=时，函数取得最大值2故选D．点评：本题考查函数的最值，考查柯西不等式的运用，考查计算能力，属于中档题．5.（2014•湖北模拟）设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】运用柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，当且仅当等号成立．解：∵x、y、z是正数，x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，∴（22+22+12）（x2+4y2+9z2）=9×4≥（2x+4y+3z）2=36，∴可设，（k为常数），代入2x+4y+3z=6，得k=，∴x+y+z==．故选A．点评：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题．6.二维形式的柯西不等式可用（）表示．A．a2+b2≥2ab（a，b∈R）B．（a2+b2）（c2+d2）≥（ab+cd）2（a，b，c，d∈R）C．（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）D．（a2+b2）（c2+d2）≤（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）【答案】C【解析】二维形式的柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d∈R 均为实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2其中等号当且仅当ad=bc时成立．解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2故选C点评：本小题主要考查二维形式的柯西不等式等基础知识．属于基础题．7.设a，b∈R+，a+b=1，则+的最小值为（）A．2+B．2C．3D．【答案】D【解析】利用二维形式的柯西不等式求得的最小值为10，可得+的最小值．解：∵a，b∈R+，a+b=1，∴a2+b2=1﹣2ab，又∵=a2+b2+5+2≥6﹣2ab+2=6﹣2ab+2（ab+2）=10，∴+≥，当且仅当=时，等号成立，故+的最小值为，故选：D．点评：本题主要考查利用二维形式的柯西不等式求函数的最小值，属于基础题．8.（2014•长安区三模）己知x，y∈（0，+∞），若+3＜k恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是．【答案】k＞．【解析】由柯西不等式可得（+3）2≤（x+y）（1+9），即+3＜10结合条件，即可得出结论．解：由柯西不等式可得（+3）2≤（x+y）（1+9），∴+3＜10∵+3＜k恒成立，∴k＞．故答案为：k＞．点评：本题考查柯西不等式，考查学生的计算能力，正确运用柯西不等式是关键．9.（2014•陕西模拟）函数的最大值是．【答案】10．【解析】由函数的特点，利用柯西不等式，即可得到结论．解：由于．当且仅当即时等号成立．故函数的最大值是 10．故答案为：10．点评：本题考查了柯西不等式求函数最值，关键是对所给函数解析式灵活变形，再应用柯西不等式，此类型是函数中两个根式变量的系数不互为相反数（互为相反数时可用基本不等式），但是符号相反，注意先求函数的定义域，验证等号成立的条件．10.（2014•黄冈模拟）设a、b、c为正数，a+b+9c2=1，则++c的最大值是，此时a+b+c= ．【答案】．【解析】由条件利用柯西不等式求得++c的最大值、以及此时对应的a+b+c的值．解：∵a、b、c为正数，a+b+9c2=1，由柯西不等式可得≤[++（3c）2]•[12+12+]=1×=，∴++c的最大值是=，此时，且a+b+9c2=1，即 a=b=，c=时，取等号，故此时，a+b+c=++=，故答案为：．点评：本题考查了柯西不等式的应用，考查了变形能力和计算能力，属于中档题。