212-求曲线的方程-(教学用)精品PPT课件

(0,2y) ， 连 结
PM. 因 为
l1⊥l2
，
所
以
|PM|
＝
1 2
|AB|.
而
பைடு நூலகம்|PM|
＝
(x－2)2＋(y－4)2，
|AB|＝ (2x)2＋(2y)2，
所以 2 (x－2)2＋(y－4)2＝ 4x2＋4y2，
化简，得 x＋2y－5＝0 为所求轨迹方程．
• [点评] 1.直译法求轨迹方程是常用的基 本方法，大多数题目可以依据文字叙述的 条件要求，直接“翻译”列出等式整理可 得．
• [例1] 过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、 lA2B，[解的若析中]l1交点解xM法轴一的于：轨如A迹图点所方，示程l，2交．设y点轴A于(a,0B)，点B，(0，求b)线，M段(x，
y)，因为 M 为线段 AB 的中点，所以 a＝2x，b＝2y，即 A(2x,0)， B(0,2y)．因为 l1⊥l2，所以 kAP·kPB＝－1.而 kAP＝24－－20x(x≠1)， kPB＝42－－20y，
• (6)交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由 方程直接消去参数，例如求动直线的交点 时常用此法，也可以引入参数来建立这些 动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方 程．
• 1．解析几何研究的主要问题
• (1)根据已知条件，求出表示曲线的方程 ；
• (2)通过曲线的方程，研曲究线的性质
．
• 2．求曲线的方程的步骤
故所求轨迹方程为 x2＋y2＝94.
• [例3] 求(x－1)2＋(y－1)2＝1关于直线x＋y ＝[0解的析对] 称设所曲求线对的称曲方线程上．任一点的坐标为(x，y)，它关
于 x＋y＝0 的对称点为(x1，y1)，根据对称定义知：

二、参数法求曲线方程
例5 过点 P( 2 ,4) 作两条相互垂直的直线 l1, l2 ，若 l1 交 x 轴于点A，l2
交y 轴于点B，求线段AB的中点M的轨迹方程。
解析：设点M (x, y) 。
① 当直线 l1 的斜率垂直且不为0时，可设其方程为：y 4 k(x 2)
因为
l1 l2
建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。
解析：如图：取直线 l 为轴，过点F且垂直于 直线 l 的直线为y轴，建立坐标系 xOy. 设点 M (x, y) 是曲线上任意一点，作MB x 轴
垂足为B，则M属于集合
P M || MF | | MB| 2 x2 (y 2)2 y 2 x2 (y 2)2 (y 2)2
③（四川卷）已知两定点 A(2,0), B(1,0) ,若动点P满足|PA|=2|PB|， 则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（ ）
A B 4 C 8 D 9
二、直接法求曲线方程
例3 已知一条直线 l 和它上方的一个点F，点F到的距离是2.一条曲线 也 l 在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到 l 的距离的差都是2，
二、相关点法求曲线方程
例4 在圆 x2 y2 4 上任取一点P，过点P作 x 轴的垂线段PD，D为垂
足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程。
解析：设 M (x, y), P(x0, y0 ),则x

x0 , y

y0 2
.
因为点P在圆上，所以 x02 y02 4 。
把 x0 x, y0 2x 带入上式得：x2 4 y2 4.
所以点M的轨迹方程是 x2 4y2 4. 。
相关点法—知识总结与练习

y
B
M
0
( x, y ) C
A
⋅
x
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小结 （1）如何求曲线的方程？ 如何求曲线的方程？ （2）请对求解曲线方程的五个 步骤进行评价．各步骤的作用， 步骤进行评价．各步骤的作用， 哪步重要，哪步应注意什么？ 哪步重要，哪步应注意什么？
12
13
则 |MA|=|MB| |
2 2
需要尝试、 需要尝试、摸索
先找曲线上的点满足的几何条件
2 2
坐标化 坐标化 ∴ ( x + 1) + ( y + 1) = ( x − 3) + ( y − 7) 2 2 2 2 ∴ x + 2x +1+ y + 2y +1 = x − 6x + 9 + y −14y + 49 化简
课本例
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例 1 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l , 2.一条曲线也在 的上方,它上面的每 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一 点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适 建立适 当的坐标系,求这条曲线的方程 当的坐标系 求这条曲线的方程. 求这条曲线的方程
(1)
由上可知，动点 的轨迹上的任一点的坐标都满足方程 由上可知，动点M的轨迹上的任一点的坐标都满足方程 ）；容易证明 （1）；容易证明，以方程（1）的解为坐标的点都在轨 ）；容易证明，以方程（ ） 迹上。所以，方程（ ）就是动点M的轨迹方程 的轨迹方程。 迹上。所以，方程（1）就是动点 的轨迹方程。 9
──需要掌握一般性的方法 ──需要掌握一般性的方法
4
1.设 、 问题 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段 - - 、 求线段 AB 的垂直平分线的方程 我们的目标就是要找 与y的关系式 的垂直平分线的方程. 我们的目标就是要找x与 的关系式

PA PB 0 2 即 (2 x)(2 x) y 0 ，
所以点P的轨迹方程为 x y 4 ．
2 2
回顾 最后要注意，观察（检验）纯粹性和完备性。 现在回头想一想：以上的例题和练习符合吗？
已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的 距离是2．一条曲线也在l的上方，它上面每一点到F的 距离减去到l的距离的差都是2．求这条曲线的方程． 解：如图，取直线l为x轴，过 点F且垂直于直线l的直线为y 轴，建立直角坐标系． 设点M的坐标为(x,y)，(y>0) B 作MBx轴，垂足为B，则 点M属于集合P={M||MF|-|MB|=2} 即 x 2 ( y 2) 2 y 2 ，
所以曲线的方程为 x 2 y 7 0 ．
已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的 距离是2．一条曲线也在l的上方，它上面每一点到F的 距离减去到l的距离的差都是2．求这条曲线的方程．
已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的 距离是2．一条曲线也在l的上方，它上面每一点到F的 距离减去到l的距离的差都是2．求这条曲线的方程． 解：如图，取直线l为x轴，过 点F且垂直于直线l的直线为y 轴，建立直角坐标系． 设点M的坐标为(x,y)，作 MBx轴，垂足为B，则 B 点M属于集合P={M||MF|-|MB|=2}
PA PB 0 2 即 (2 x)(2 x) y 0 ，
所以点P的轨迹方程为 x y 4 ． (y≠0)
2 2
1 2 所以曲线的方程为 y x ． (y>0) 8
已知两定点A, B间的距离为4，且动 点P使PAPB，求点P的轨迹方程．
解：以AB所在直线为x轴，以AB中点为原点建立直 角坐标系，如图所示： 则A,B的坐标分别为(-2,0)，(2,0)． 设点P的坐标为(x,y)， (y≠0) 因为PAPB ，所以