(完整版)《弹性力学》试题参考答案
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弹性力学试题及答案
弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。
8、已知一点处的应力分量，200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
弹性力学试题含答案
弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移」_2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量, 也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L M T。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性_________6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量J=100MPa 口y=50MPa弋xy=10/5O MPa，则主应力6= 150MPao^nQMPa a r=35l6"。
&已知一点处的应力分量， a ^200 MPa 口y=0MPa Jy=—400 MPa,则主应力▽“=512 MPa, 二2 =-312 MPa，： 1 =-37 ° 57'。
9、已知一点处的应力分量，匚x=-2000 MPa匚y =1000 MPa，岑=-400 MPa,则主应力匚1 = 1052 MPa二2= -2052 MPa , :- "-82 ° 32'。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界________________ 条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
《弹性力学》试题参考答案(2021年整理精品文档)
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《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分)1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。
2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程(变形协调条件） 。
3．等截面直杆扭转问题中, M dxdy D=⎰⎰ 2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M .4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为:0,=+i j ij X σ ，)(21,,i j j i ij u u +=ε。
二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用.圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同）,则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用:(1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替.（2)将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。
题二（2）图（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++=)(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ,板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 已知。
弹性力学试题及标准答案
弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。
8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
弹性力学期末考试试题及答案
弹性力学期末考试试题及答案一、名词解释（每题5分，共25分）1. 弹性力2. 弹簧常数3. 应力4. 应变5. 胡克定律6. 弹性模量7. 弹性体的形变8. 弹性位移9. 弹性能量10. 弹性碰撞二、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪种材料不属于弹性材料？A. 钢铁B. 橡胶C. 玻璃D. 水2. 在弹性限度内，弹性力与形变量之间的关系遵循哪一定律？A. 平方律B. 立方律C. 直线律D. 反比律3. 一弹簧的弹簧常数为50N/m，当一个力作用于弹簧上使其压缩0.1m时，弹簧的弹性势能为多少？A. 0.5JB. 1JC. 2JD. 5J4. 下列哪种情况下，弹簧的弹性力最大？A. 弹簧处于自然长度时B. 弹簧被压缩时C. 弹簧被拉伸时D. 弹簧被压缩或拉伸到极限时5. 两个相同的弹性球碰撞，如果它们的弹性系数不同，那么碰撞后它们的速度关系是？A. 速度大小不变，方向相反B. 速度大小不变，方向相同C. 速度大小发生变化，方向相反D. 速度大小发生变化，方向相同三、填空题（每题5分，共25分）1. 一弹性体的形变是指其_________的变化。
2. 在弹性碰撞中，两个物体的速度满足_________定律。
3. 弹簧的弹簧常数_________，表示弹簧的_________。
4. 当一个力作用于弹性体上时，该力与弹性体的_________之比称为应力。
5. 弹性模量是衡量材料_________的物理量。
四、计算题（共40分）1. 一弹簧的弹簧常数为200N/m，当一个力作用于弹簧上使其压缩0.5m时，求弹簧的弹性势能。
（5分）2. 质量为2kg的物体从静止开始沿斜面滑下，斜面与水平面的夹角为30°，斜面长度为10m，摩擦系数为0.2。
求物体滑到斜面底部时的速度。
（5分）3. 两个弹性球A和B，质量分别为m1和m2，弹性系数分别为k1和k2。
它们从静止开始相互碰撞，求碰撞后A和B的速度。
《弹性力学》试题(重学考试试卷 参考答案)
（1）将φ代入相容方程
4Φ x 4
2
4Φ x 2 y
2
4Φ y 4
0 ，显然满足。因此，该函数可以作为应力函数。
O
（2）应力分量的表达式：
x
2 y 2
6qx2 h3
y
4qy3 h3
3qy 3h
,
y
y
2 x 2
q 2
4y3 h3
3y h
1
xy
2 xy
6qx h3
h2 4
y2
考察边界条件：在主要边界 y＝±h/2 上，应精确满足应力边界条件
响可以不计。
A．几何上等效
B．静力上等效
C．平衡 D．任意
3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程不完全相同，其比较关系为（ B ）。
A．平衡方程、几何方程、物理方程完全相同
B．平衡方程、几何方程相同，物理方程不同
C．平衡方程、物理方程相同，几何方程不同
D．平衡方程相同，物理方程、几何方程不同
（在各个方向上相同）。
2、位移法求解的条件是什么？怎样判断一组位移分量是否为某一问题的真实位移？（5 分）
答： 按位移法求解时，u，v 必须满足求解域内的平衡微分方程，位移边界条件和应力边界条件。 平衡微分方程、位移边界条件和（用位移表示的）应力边界条件既是求解的条件，也是校核 u，v 是否正确的条件。
1
3i
m
2
j
4
5
6
7
89
j
m
i
（a）
（b）
题八图
解：
因结构关于沿编码 2、5、8 的轴线对称，故可取左半部分进行分析，见下图所示。
弹性力学 - 答案
《弹性力学》习题答案一、单选题1、所谓“完全弹性体”是指（B）A、材料应力应变关系满足虎克定律B、材料的应力应变关系与加载时间、历史无关C、本构关系为非线性弹性关系D、应力应变关系满足线性弹性关系2、关于弹性力学的正确认识是（A ）A、计算力学在工程结构设计中的作用日益重要B、弹性力学从微分单元体入手分析弹性体,因此与材料力学不同,不需要对问题作假设C、任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象D、弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析3、下列对象不属于弹性力学研究对象的是（D ）。
A、杆件B、块体C、板壳D、质点4、弹性力学对杆件分析（C）A、无法分析B、得出近似的结果C、得出精确的结果D、需采用一些关于变形的近似假定5、图示弹性构件的应力和位移分析要用什么分析方法？（C）A、材料力学B、结构力学C、弹性力学D、塑性力学6、弹性力学与材料力学的主要不同之处在于（ B ）A、任务B、研究对象C、研究方法D、基本假设7、下列外力不属于体力的是（D）A、重力B、磁力C、惯性力D、静水压力8、应力不变量说明（ D ）。
A. 应力状态特征方程的根是不确定的B. 一点的应力分量不变C. 主应力的方向不变D. 应力随着截面方位改变，但是应力状态不变9、关于应力状态分析，（D）是正确的。
A. 应力状态特征方程的根是确定的，因此任意截面的应力分量相同B. 应力不变量表示主应力不变C. 主应力的大小是可以确定的，但是方向不是确定的D. 应力分量随着截面方位改变而变化，但是应力状态是不变的10、应力状态分析是建立在静力学基础上的，这是因为（ D ）。
A. 没有考虑面力边界条件B. 没有讨论多连域的变形C. 没有涉及材料本构关系D. 没有考虑材料的变形对于应力状态的影响11、下列关于几何方程的叙述，没有错误的是（ C ）。
A. 由于几何方程是由位移导数组成的，因此，位移的导数描述了物体的变形位移B. 几何方程建立了位移与变形的关系，因此，通过几何方程可以确定一点的位移C. 几何方程建立了位移与变形的关系，因此，通过几何方程可以确定一点的应变分量D. 几何方程是一点位移与应变分量之间的唯一关系12、平面应变问题的应力、应变和位移与那个（些）坐标无关（纵向为 z 轴方向）（ C ）A、 xB、 yC、 zD、 x, y, z13、平面应力问题的外力特征是（A）A 只作用在板边且平行于板中面B 垂直作用在板面C 平行中面作用在板边和板面上D 作用在板面且平行于板中面。
《弹性力学》试题参考答案与弹性力学复习题
弹性力学复习资料一、简答题√1．试写出弹性力学平面问题的基本方程.它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时.应注意些什么问题？答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。
应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx .因此.决定应力分量的问题是超静定的.还必须考虑形变和位移.才能解决问题。
√平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。
应注意当物体的位移分量完全确定时.形变量即完全确定。
反之.当形变分量完全确定时.位移分量却不能完全确定。
√平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。
应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。
√2．按照边界条件的不同.弹性力学问题分为那几类边界问题？试作简要说明。
答：按照边界条件的不同.弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。
位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的.也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。
应力边界问题中.物体在全部边界上所受的面力是已知的.即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。
混合边界问题中.物体的一部分边界具有已知位移.因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。
√3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出。
如何确定它们的正负号？ 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定.它们是：σx 、σy 、σz 、τxy 、τyz 、、τzx 。
正面上的应力以沿坐标轴正方向为正.沿坐标轴负方向为负。
负面上的应力以沿坐标轴负方向为正.沿坐标轴正方向为负。
√4．在推导弹性力学基本方程时.采用了那些基本假定？什么是“理想弹性体”？试举例说明。
答：答：在推导弹性力学基本方程时.采用了以下基本假定： （1）假定物体是连续的。
（2）假定物体是完全弹性的。
（3）假定物体是均匀的。
（4）假定物体是各向同性的。
弹性力学教材习题及解答(供参考)
1－1. 选择题a. 下列材料中，D属于各向同性材料。
A. 竹材；B. 纤维增强复合材料；C. 玻璃钢；D. 沥青。
b. 关于弹性力学的正确认识是A。
A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设；C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。
c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。
A. 任务；B. 研究对象；C. 研究方法；D. 基本假设。
d. 所谓“完全弹性体”是指B。
A. 材料应力应变关系满足胡克定律；B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关；C. 本构关系为非线性弹性关系；D. 应力应变关系满足线性弹性关系。
2－1. 选择题a. 所谓“应力状态”是指B。
A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；C. 3个主应力作用平面相互垂直；D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。
2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。
已知水的比重为 ，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’的面力边界条件。
2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。
根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。
2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为γ，楔形体左侧作用比重为γ1的液体，如图所示。
试写出楔形体的边界条件。
2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为ρ1，球体在密度为ρ1（ρ1＞ρ1）的液体中漂浮，如图所示。
试写出球体的面力边界条件。
2－6. 矩形横截面悬臂梁作用线性分布载荷，如图所示。
试根据材料力学应力解答推导挤压应力σy的表达式。
3－1. 选择题a. 切应力互等定理根据条件B 成立。
A. 纯剪切；B. 任意应力状态；C. 三向应力状态；D. 平面应力状态；b. 应力不变量说明D.。
弹性力学试题及标准答案
弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。
8、已知一点处的应力分量，200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
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《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。
2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。
3．等截面直杆扭转问题中， 的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于M dxdy D=⎰⎰2ϕ杆截面内的扭矩M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准ϕ点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： ，。
0,=+i j ij X σ)(21,,i j j i ij u u +=ε二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数的分离变量形式。
ϕ题二（2）图（a ） （b ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x ⎩⎨⎧=+++= )(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。
试求薄板面积的改变量。
S∆题二（3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为。
由得，l ∆q E)1(1με-=)1(2222με-+=+=∆Eb a q b a l 设板在力P 作用下的面积改变为，由功的互等定理有：S ∆lP S q ∆⋅=∆⋅将代入得：l ∆221b a P ES +-=∆μ显然，与板的形状无关，仅与E 、、l 有关。
S ∆μ4．图示曲杆，在边界上作用有均布拉应力q ，在自由端作用有水平集中力P 。
试写出其边界条b r =件（除固定端外）。
题二（4）图（1）；0 ,====b r r b r r q θτσ（2）0,0====ar r ar r θτσ（3）sin cos θτθσθθP dr P dr bar ba=-=⎰⎰2cos b a P rdr b a+-=⎰θσθ5．试简述拉甫（Love ）位移函数法、伽辽金（Galerkin ）位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各自的适用性Love 、Galerkin 位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：（1）变求多个位移函数或为求一些特殊函数，如调和),(),,(),,(y x w y x v y x u ),(),,(θθθr u r u r 函数、重调和函数。
（2）变求多个函数为求单个函数（特殊函数）。
适用性：Love 位移函数法适用于求解轴对称的空间问题；Galerkin 位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。
三、计算题t h1．图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d 的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P ，设间距d 很小。
试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。
（提示：取应力函数为）（13分）θθϕB A +=2sin 题三（1）图解：很小，，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M 的情形。
d Pd M =∴将应力函数代入，可求得应力分量：),(θϕr ； ；θθϕϕσ2sin 4112222A r r r r r -=∂∂+∂∂=022=∂∂=rϕσθ)2cos 2(112B A r r r r +=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=θθϕτθ 边界条件：（1）； 0 ,00==≠=≠=r r r θθθθτσ0,00==≠=≠=r r r πθθπθθτσ代入应力分量式，有或（1）0)2(12=+B A r 02=+B A （2）取一半径为r 的半圆为脱离体，边界上受有：，和M = Pdθτσr r ,由该脱离体的平衡，得222=+⎰-M d r r ππθθτ将代入并积分，有θτr 0)2cos 2(12222=++⎰-M d r B A r ππθθ 得（2）02sin 22=++-M BA ππθ0=+M B π联立式（1）、（2）求得：，ππPd M B -=-=π2PdA =代入应力分量式，得r； ； 。
22sin 2r Pd r θπσ-==0=θσ22sin 2r Pd r θπτθ-=结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用。
2．图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力由材料力学公式给出，试由平衡微分方x σ程求出，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。
y xy στ,（12分）题三（2）图解：（1）求横截面上正应力xσ任意截面的弯矩为，截面惯性矩为，由材料力学计算公式有306x lq M -=123h I = （1）y x lhq I Myx 3302-==σ（2）由平衡微分方程求、xy τyσ平衡微分方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂(3) 0(2) 0Y y x X y x y yx xyx σττσ其中，。
将式（1）代入式（2），有0,0==Y X y x lhq y xy 2306=∂∂τ积分上式，得)(312230x f y x lhq xy +=τ利用边界条件：，有02=±=hy xyτ 即 0)(4312230=+x f h x lh q 2230143)(h x lh q x f -=（4）)41(322230h y x lh q xy -=τ将式（4）代入式（3），有或 0)41(62230=∂∂+-y h y x lh q y σ)41(62230h y x lh q y y --=∂∂σ积分得)()4133(62230x f y h y x lh q y +--=σ利用边界条件：，x lq hy y2-=-=σ02=+=hy y σ得：⎪⎩⎪⎨⎧=+---=++--0)()8124(6)()8124(623330023330x f h h x lhq x lq x f h h x lh q 由第二式，得x lq x f 2)(02-=将其代入第一式，得自然成立。
x lqx l q x l q 00022-=--将代入的表达式，有)(2x f y σ（5）x l qy h y x lhq y 2)413(602330---=σ所求应力分量的结果：y x lhq I Myx 3302-==σ（6）)41(322230h y x lh q xy -=τxl q y h y x lhq y 2)413(602330---=σ校核梁端部的边界条件：（1）梁左端的边界（x = 0）：，代入后可见：自然满足。
022=⎰-=h h x xdy σ022=⎰-=h h x xydy τ（2）梁右端的边界（x = l ）：022233022=-=⎰⎰-=-=h h lxh h lx x dy y lh x q dy σ2)4(30222232022lq dy h y lh x q dy h h l x hh lx xy=-=⎰⎰-=-=τMl q y lh l q dy y lhx q ydy hh h h lx h h lx x=-=-=-=--=-=⎰⎰63222022333022233022σ可见，所有边界条件均满足。
检验应力分量是否满足应力相容方程：y xy x στσ,,常体力下的应力相容方程为0))(()(22222=+∂∂+∂∂=+∇y x y x yx σσσσ将应力分量式（6）代入应力相容方程，有y xy x στσ,,，xy lh q x yx 302212)(-=+∂∂σσxylh q y y x 302212)(-=+∂∂σσ024)()(3022222≠-=+∂∂+∂∂=+∇xy lhq y x y x y x σσσσ显然，应力分量不满足应力相容方程，因而式（6）并不是该该问题的正确解。
y xy x στσ,,3．一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l ，抗弯刚度EI 为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为k 。
梁受有均匀分布载荷q 作用，如图所示。
试：（1）构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度试函数；)(x w （2）用最小势能原理或Ritz 法求其多项式形式的挠度近似解（取1项待定系数）。
（13分）题二（3）图解：两种形式的梁挠度试函数可取为—— 多项式函数形式)()(23212 +++=x A x A A x x w —— 三角函数形式2cos1()(1∑=-=nm m lxm A x w π此时有：)()(023212=+++==x x A x A A x x w 0)()(2)(03222321=++++++='=x x A A x x A x A A x x w 0)2cos1()(01=-===∑x nm m l xm A x w π02sin 2)(01=='==∑x nm mlx m m l A x w ππ即满足梁的端部边界条件。
梁的总势能为[]22022)(21)(21l w k dx x qw dx dx w d EI Πl l +-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰取：，有21)(x A x w =，1222A dx w d =21)(l A l w =代入总势能计算式，有221012021)(21)2(21l A k dx A qx dx A EI Πl l +-=⎰⎰42131212132l kA l qA EIlA +-=由，有0=Πδ0343411=-+l ql kA EIlA )4(34301kl EIl l q A +=代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为2430)4(3)(xkl EIl l q x w +=4．已知受力物体内某一点的应力分量为：，，，，0=x σMPa 2=y σMPa 1=z σMPa 1=xy τ，，试求经过该点的平面上的正应力。
0=yz τMPa 2=zx τ13=++z y x （12分）解：由平面方程，得其法线方向单位矢量的方向余弦为13=++z y x ，，1111311222=++=l 1131313222=++=m 1111311222=++=n ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=102021210ij σ{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=131111n m l L [][][][]111131102021210131111⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==L L T Nσσ[]MPa 64.21129111131375==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=《弹性力学》课程考试试卷学号：姓名：工程领域： 建筑与土木工程题号一二三四五总分得分考试时间：120分钟 考试方式：开卷 任课教师：杨静 日期：2007年4月28日一、简述题（40分）1.试叙述弹性力学两类平面问题的几何、受力、应力、应变特征，并指出两类平面问题中弹性常数间的转换关系。