2020-2021学年北京市西城区高一(上)期末数学试卷-含详细解析

2020-2021学年北京市101中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知函数f（x）＝lg（4﹣x）的定义域为M，函数的定义域为N，则M∩N ＝（）A．M B．N C．{4}D．∅2．sin2021°可化简为（）A．sin41°B．﹣sin41°C．cos41°D．﹣cos41°3．向量“，不共线”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．函数y＝sin（x+），x∈（﹣，]的值域为（）A．B．C．D．5．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，若a＝f（1），b＝f（2），，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b6．甲、乙两人解关于x的方程：log2x+b+c log x2＝0，甲写错了常数b，得到根为，；乙写错了常数c，得到根为，x＝64．那么原方程的根正确的是（）A．x＝4B．x＝3C．x＝4或x＝8D．x＝2或x＝3 7．已知2cos2α﹣3sin2α＝1，α∈（﹣，﹣π），那么tanα的值为（）A．2B．﹣2C．D．8．如图是函数y＝sin x（0≤x≤π）的图象，A（x，y）是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合）．设线段AB的长为f（x），则函数f（x）的图象是（）A．B．C．D．9．已知3sin（﹣α）﹣sin（π+α）＝﹣，则cosα﹣sinα的取值可以为（）A．B．C．D．10．如图，一个摩天轮的半径为10m，轮子的最低处距离地面2m．如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点P（点P与摩天轮天轮中心O的高度相同）时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是（）A．8分钟B．10分钟C．12分钟D．14分钟二、填空题（共6小题）.11．已知向量＝（1，﹣2），＝（x，4），且∥，则实数x＝．12．若角β与角的终边关于直线y＝x对称，则角β的终边上的所有角的集合可以写为13．已知幂函数在（0，+∞）上单调递增，则实数m的值为14．在如图所示的方格纸中，向量，，的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若与x+y（x，y为非零实数）共线，则的值为．15．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64ppm（ppm为浓度单位，1ppm表示百万分之一），经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间t （分钟）之间存在函数关系y＝27﹣mt（m为常数）．求得m＝；若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，那么至少需要排气分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态．16．已知△ABC，点P是平面上任意一点，且（λ，μ∈R），给出以下命题：①若，，则P为△ABC的内心；②若λ＝μ＝1，则直线AP经过△ABC的重心；③若λ+μ＝1，且μ＞0，则点P在线段BC上；④若λ+μ＞1，则点P在△ABC外；⑤若0＜λ+μ＜1，则点P在△ABC内．其中真命题为．三、解答题（共4小题）.17．已知函数．（1）求函数f（x）的值域：（2）若函数g（x）＝log a x的图象与函数f（x）的图象有交点，请直接写出实数a的取值范围．18．已知关于x的方程的两根为sinθ和cosθ，．（1）求实数b的值；（2）求的值．19．已知函数，．（1）①直接写出函数f（x）的奇偶性；②写出函数f（x）的单调递增区间，并用定义证明；（2）计算：＝；f（4）﹣5f（2）g（2）＝；f（9）﹣5f（3）g（3）＝；（3）由（2）中的各式概括出f（x）和g（x）对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并加以证明．20．设A是由n个实数构成的一个有序数组，记作A＝（a1，a2，…，a i，…，a n）．其中a i（i＝1，2，…，n）称为数组A的“元”，i称为数组A的“元”a i的下标，如果数组S＝（b1，b2，…，b m）（m≤n，m∈N+）中的每个“元”都是来自数组A中不同下标的“元”，则称S为A的“子数组”．定义两个数组A＝（a1，a2，…，a n），B＝（b1，b2，…，b n）的“关系数”为C（A，B）＝a1b1+a2b2+…+a n b n．（1）若，B＝（b1，b2，b3，b4），且B中的任意两个“元”互不相等，B 的含有两个“元”的不同“子数组”共有p个，分别记为S1，S2，…，S p．①p＝；②若b j∈N+，1≤b j≤101（j＝1，2，3，4），记，求X的最大值与最小值；（2）若，B＝（0，a，b，c），且a2+b2+c2＝1，S为B的含有三个“元”的“子数组”，求C（A，S）的最大值．参考答案一、选择题（共10小题）.1．已知函数f（x）＝lg（4﹣x）的定义域为M，函数的定义域为N，则M∩N ＝（）A．M B．N C．{4}D．∅解：根据题意得，M＝{x|x＜4}，N{x|x≥4}，∴M∩N＝∅．故选：D．2．sin2021°可化简为（）A．sin41°B．﹣sin41°C．cos41°D．﹣cos41°解：sin2021°＝sin（360°×60﹣139°）＝sin（﹣1390）＝﹣sin139°＝﹣sin41°．故选：B．3．向量“，不共线”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当向量“，不共线”时，由向量三角形性质得“”成立，即充分性成立，反之当向量“，方向相反时，满足“”，但此时两个向量共线，即必要性不成立，即向量“，不共线”是“”的充分不必要条件，故选：A．4．函数y＝sin（x+），x∈（﹣，]的值域为（）A．B．C．D．解：y＝sin（x+）＝cos x，因为x∈（﹣，]，所以cos x∈[﹣，1]，即函数的值域为[﹣，1]．故选：B．5．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，若a＝f（1），b＝f（2），，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b解：因为偶函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，因为a＝f（1），b＝f（2），＝f（），又2＞1＞＞0，则b＞a＞c．故选：C．6．甲、乙两人解关于x的方程：log2x+b+c log x2＝0，甲写错了常数b，得到根为，；乙写错了常数c，得到根为，x＝64．那么原方程的根正确的是（）A．x＝4B．x＝3C．x＝4或x＝8D．x＝2或x＝3解：原方程可变形为：，因为甲写错了常数b，得到根为，，所以，又因为乙写错了常数c，得到根为，x＝64，所以，所以原方程为，解得log2x＝2或3，所以x＝4或8．故选：C．7．已知2cos2α﹣3sin2α＝1，α∈（﹣，﹣π），那么tanα的值为（）A．2B．﹣2C．D．解：因为2cos2α﹣3sin2α＝2（1﹣sin2α）﹣3sin2α＝1，可得sin2α＝，cos2α＝，因为α∈（﹣，﹣π），所以sinα＝，cosα＝﹣，可得tanα＝＝﹣．故选：D．8．如图是函数y＝sin x（0≤x≤π）的图象，A（x，y）是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合）．设线段AB的长为f（x），则函数f（x）的图象是（）A．B．C．D．解：当x＝时，A，B两点重合，此时f（x）＝0，故排除C，D；当x∈（0，）时，f（x）＝π﹣2x是关于x的一次函数，其图象是一条线段，故选：A．9．已知3sin（﹣α）﹣sin（π+α）＝﹣，则cosα﹣sinα的取值可以为（）A．B．C．D．解：因为3sin（﹣α）﹣sin（π+α）＝3cosα+sinα＝﹣，所以，整理得，所以，①当时，，则②当cos时，，则故选：C．10．如图，一个摩天轮的半径为10m，轮子的最低处距离地面2m．如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点P（点P与摩天轮天轮中心O的高度相同）时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是（）A．8分钟B．10分钟C．12分钟D．14分钟解：由题意知，在t时摩天轮上某人所转过的角为t＝t，所以在t时此人相对于地面的高度为h＝10sin（t﹣）+12（t≥0）；由10sin（t﹣）+12≥17，得sin（t﹣）≥，解得≤t﹣≤，即5≤t≤15；所以此人有10分钟相对于地面的高度不小于17 m．故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．已知向量＝（1，﹣2），＝（x，4），且∥，则实数x＝﹣2．解：由已知，且，所以1×4﹣（﹣2）x＝0，解得x＝﹣2，故答案为：﹣212．若角β与角的终边关于直线y＝x对称，则角β的终边上的所有角的集合可以写为{}．解：角α的取值集合是{α|α＝2kπ+，k∈Z}，角β与角的终边关于直线y＝x对称，可得β＝2kπ+﹣2×（﹣）＝﹣+2kπ，k∈Z，可得角β的取值集合是{β|β＝﹣+2kπ，k∈Z}，故答案为：{β|β＝﹣+2kπ，k∈Z}．13．已知幂函数在（0，+∞）上单调递增，则实数m的值为0解：由题意得：m﹣1＝±1，解得：m＝0或m＝2，m＝0时，f（x）＝x2在（0，+∞）递增，符合题意，m＝2时，f（x）＝1，是常函数，不合题意，故答案为：0．14．在如图所示的方格纸中，向量，，的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若与x+y（x，y为非零实数）共线，则的值为．解：设图中每个小正方形的边长为1，则＝（2，1），＝（﹣2，﹣2），＝（1，﹣2），∴x+y＝（2x﹣2y，x﹣2y），∵与x+y共线，∴﹣2（2x﹣2y）＝x﹣2y，∴5x＝6y，即＝故答案为：15．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64ppm（ppm为浓度单位，1ppm表示百万分之一），经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间t （分钟）之间存在函数关系y＝27﹣mt（m为常数）．求得m＝；若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，那么至少需要排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态．解：（1）∵函数y＝27﹣mt（m为常数）经过点（4，64），∴64＝27﹣4m，解得m＝；（2）由（1）得y＝，由，解得t≥32．故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．故答案为：（1）；（2）32．16．已知△ABC，点P是平面上任意一点，且（λ，μ∈R），给出以下命题：①若，，则P为△ABC的内心；②若λ＝μ＝1，则直线AP经过△ABC的重心；③若λ+μ＝1，且μ＞0，则点P在线段BC上；④若λ+μ＞1，则点P在△ABC外；⑤若0＜λ+μ＜1，则点P在△ABC内．其中真命题为②④．解：对于①，，此时P点在∠BAC平分线上，但未必在△ABC 的内心，则①错；对于②，由λ＝μ＝1知，AP＝，由向量加法法则知APBC中点，AP经过△ABC的重心，则②对；对于③，λ+μ＝1⇒λ＝1﹣μ⇒＝，当μ＞1，P点在BC延长线上，不在BC边上，则③错；对于④，令t＝λ+μ＞1，＝t，t＞1，由向量加法法则知，P点在△ABC外，则④对；对于⑤，取λ═﹣1/4，μ＝1/2，λ+μ＝1/4，0＜λ+μ＜1，但P点在△ABC外，则⑤错；故答案为：②④．三、解答题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．已知函数．（1）求函数f（x）的值域：（2）若函数g（x）＝log a x的图象与函数f（x）的图象有交点，请直接写出实数a的取值范围．解：（1）函数．则f（x）＝，因为y＝1﹣x在（﹣2，0）单调递减，可得f（x）值域为[1，3）．（2）当0＜a＜1，当0＜x≤2时，g（x）＝log a x的图象与函数f（x）的图象恒有交点，当1＜a时，当0＜x≤2时，g（x）＝log a x是单调递增函数，则log a2≥1，可得a≤2．则1＜a≤2．故得实数a的取值范围是0＜a＜1或1＜a≤2．18．已知关于x的方程的两根为sinθ和cosθ，．（1）求实数b的值；（2）求的值．解：（1）∵方程的两根为sinθ、cosθ，∴sinθ+cosθ＝，sinθcosθ＝＞0，∵，∴θ+∈（，π），即sinθ+cosθ＝sin（θ+）＞0，∴（sinθ+cosθ）2＝sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＝1+2×＝，解得：b＝（负值舍去），则b＝；（2）∵（sinθ﹣cosθ）2＝sin2θ+cos2θ﹣2sinθcosθ＝1﹣2×＝，∴sinθ﹣cosθ＝，∵sinθ+cosθ＝，∴＝＝＝．19．已知函数，．（1）①直接写出函数f（x）的奇偶性；②写出函数f（x）的单调递增区间，并用定义证明；（2）计算：＝0；f（4）﹣5f（2）g（2）＝0；f（9）﹣5f（3）g（3）＝0；（3）由（2）中的各式概括出f（x）和g（x）对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并加以证明．解：（1）①函数f（x）为奇函数．②f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（0，+∞），证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝（﹣）（1+）因为x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，所以＜，所以﹣＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，由奇函数的性质可得f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，故（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（0，+∞）．（2）经过代入计算可得＝0，f（4）﹣5f（2）g（2）＝0，f（9）﹣5f（3）g（3）＝0．（3）由（2）中的各式概括出f（x）和g（x）对所有不等于0的实数x都成立的一个等式为f（x2）﹣5f（x）g（x）＝0（x≠0），证明：f（x2）﹣5f（x）g（x）＝0＝﹣5••＝﹣＝0．20．设A是由n个实数构成的一个有序数组，记作A＝（a1，a2，…，a i，…，a n）．其中a i（i＝1，2，…，n）称为数组A的“元”，i称为数组A的“元”a i的下标，如果数组S＝（b1，b2，…，b m）（m≤n，m∈N+）中的每个“元”都是来自数组A中不同下标的“元”，则称S为A的“子数组”．定义两个数组A＝（a1，a2，…，a n），B＝（b1，b2，…，b n）的“关系数”为C（A，B）＝a1b1+a2b2+…+a n b n．（1）若，B＝（b1，b2，b3，b4），且B中的任意两个“元”互不相等，B 的含有两个“元”的不同“子数组”共有p个，分别记为S1，S2，…，S p．①p＝6；②若b j∈N+，1≤b j≤101（j＝1，2，3，4），记，求X的最大值与最小值；（2）若，B＝（0，a，b，c），且a2+b2+c2＝1，S为B的含有三个“元”的“子数组”，求C（A，S）的最大值．解：（1）①根据“子数组”的定义可得，B的含有两个“元”的不同“子数组”有（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b2，b3），（b2，b4），（b3，b4）共6个，∴p＝6；②不妨设b1＜b2＜b3＜b4，＝，∵1≤b j≤101（j＝1，2，3，4），则当b1＝1，b2＝2，b3＝100，b4＝101时，X取得最大值为，当b1，b2，b3，b4是连续的四个整数时，X取得最小值为；（2）由B＝（0，a，b，c），且a2+b2+c2＝1可知，实数a，b，c具有对称性，故分为S中含0和不含0两种情况进行分类讨论，①当0是S中的“元”时，由于中的三个“元”都相等及B中三个“元”a，b，c的对称性，可只计算的最大值，∵a2+b2+c2＝1，则（a+b）2≤2（a2+b2）≤2（a2+b2+c2）＝2，可得，故当时a+b达到最大值，故；②当0不是S中的“元”时，，又a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，则，当且仅当时，取到最大值，故C（A，S）max＝1，综上，C（A，S）max＝1．。

北京市西城区高一（上）期末数学试卷A卷[必修模块4]本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）如果θ是第三象限的角，那么（）A．sinθ＞0 B．cosθ＞0 C．tanθ＞0 D．以上都不对2．（4分）若向量=（1，﹣2），=（，4）满足⊥，则实数等于（）A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣23．（4分）若角α的终边经过点（﹣4，3），则tanα=（）A．B． C．D．4．（4分）函数是（）A．奇函数，且在区间上单调递增B．奇函数，且在区间上单调递减C．偶函数，且在区间上单调递增D．偶函数，且在区间上单调递减5．（4分）函数f（）=sin﹣cos的图象（）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于直线对称 D．关于直线对称6．（4分）如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若，则=（）A．B．C．2 D．7．（4分）定义在R上，且最小正周期为π的函数是（）A．y=sin|| B．y=cos|| C．y=|sin| D．y=|cos2|8．（4分）设向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，则|+|等于（）A．B．13 C．D．199．（4分）函数（其中ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则（）A．B．C．D．10．（4分）如图，半径为1的圆M，切直线AB于点O，射线OC从OA出发，绕O点顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交⊙M于P，记∠PMO为，弓形PNO的面积S=f（），那么f （）的图象是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）若向量=（﹣1，2）与向量=（，4）平行，则实数= ．12．（4分）若θ为第四象限的角，且，则cosθ=；sin2θ=．13．（4分）将函数y=cos2的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数表达式为．14．（4分）若，均为单位向量，且与的夹角为120°，则﹣与的夹角等于．15．（4分）已知，则cos（﹣y）= ．16．（4分）已知函数f（）=sin（ω+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））满足，给出以下四个结论：①ω=3；②ω≠6，∈N*；③φ可能等于；④符合条件的ω有无数个，且均为整数．其中所有正确的结论序号是．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知φ∈（0，π），且．（Ⅰ）求tan2φ的值；（Ⅱ）求的值．18．（12分）已知函数．（1）求函数f（）的单调增区间；（2）若直线y=a与函数f（）的图象无公共点，求实数a的取值范围．19．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设，，则得到函数y=f（）．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）对于任意a∈（0，+∞），求函数f（）的最大值．B卷[学期综合]本卷满分：50分．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．（4分）设全集U=R，集合A={|＜0}，B={|||＞1}，则A∩（∁B）= ．U21．（4分）已知函数若f（a）=2，则实数a= ．22．（4分）定义在R上的函数f （）是奇函数，且f（）在（0，+∞）是增函数，f（3）=0，则不等式f（）＞0的解集为．23．（4分）函数的值域为．（其中表示不大于的最大整数，例如[3.15]=3，[0.7]=0．）24．（4分）在如图所示的三角形空地中，欲建一个面积不小于200m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 25．（10分）已知函数．（Ⅰ）若，求a的值；（Ⅱ）判断函数f（）的奇偶性，并证明你的结论．26．（10分）已知函数f（）=3，g（）=|+a|﹣3，其中a∈R．（Ⅰ）若函数h（）=f[g（）]的图象关于直线=2对称，求a的值；（Ⅱ）给出函数y=g[f（）]的零点个数，并说明理由．27．（10分）设函数f（）的定义域为R，如果存在函数g（），使得f（）≥g（）对于一切实数都成立，那么称g（）为函数f（）的一个承托函数．已知函数f（）=a2+b+c的图象经过点（﹣1，0）．（1）若a=1，b=2．写出函数f（）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=为函数f（）的一个承托函数，且f（）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．北京市西城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析A卷[必修模块4]本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）如果θ是第三象限的角，那么（）A．sinθ＞0 B．cosθ＞0 C．ta nθ＞0 D．以上都不对【解答】解：如果θ是第三象限的角，则sinθ＜0，cosθ＜0，tanθ＞0，故选：C．2．（4分）若向量=（1，﹣2），=（，4）满足⊥，则实数等于（）A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2【解答】解：根据题意，若向量、满足⊥，必有•=0，又由=（1，﹣2），=（，4），则有•=1×+（﹣2）×4=0，解可得=8；故选：A．3．（4分）若角α的终边经过点（﹣4，3），则tanα=（）A．B． C．D．【解答】解：由定义若角α的终边经过点（﹣4，3），∴tanα=﹣，故选：D．4．（4分）函数是（）A．奇函数，且在区间上单调递增B．奇函数，且在区间上单调递减C．偶函数，且在区间上单调递增D．偶函数，且在区间上单调递减【解答】解：函数=cos，是偶函数，且在区间上单调递减，故选D．5．（4分）函数f（）=sin﹣cos的图象（）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于直线对称 D．关于直线对称【解答】解：函数y=sin﹣cos=sin（﹣），∴﹣=π+，∈，得到=π+，∈，则函数的图象关于直线=﹣对称．故选：B．6．（4分）如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若，则=（）A．B．C．2 D．【解答】解：∵BD=2DC，∴=+=+=+（﹣）=+，∵，∴λ=，μ=，∴=，故选：A7．（4分）定义在R上，且最小正周期为π的函数是（）A．y=sin|| B．y=cos|| C．y=|sin| D．y=|cos2|【解答】解：对于A：y=sin||不是周期函数，对于B，y=cos||的最小正周期为2π，对于C，y=|sin|最小正周期为π，对于D，y=|cos2|最小正周期为，故选：C8．（4分）设向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，则|+|等于（）A．B．13 C．D．19【解答】解：∵向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，∴=||•||cos60°=2×3×=3，∴|+|2=||2+||2+2=4+9+2×3=19，∴|+|=，故选：C．9．（4分）函数（其中ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则（）A．B．C．D．【解答】解：如图根据函数的图象可得：函数的周期为（6﹣2）×4=16，又∵ω＞0，∴ω==，当=2时取最大值，即2sin（2×+φ）=2，可得：2×+φ=2π+，∈，∴φ=2π+，∈，∵0＜φ＜π，∴φ=，故选：B．10．（4分）如图，半径为1的圆M，切直线AB于点O，射线OC从OA出发，绕O点顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交⊙M于P，记∠PMO为，弓形PNO的面积S=f（），那么f （）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得S=f （）=﹣f′（）=≥0当=0和=2π时，f′（）=0，取得极值．则函数S=f （）在[0，2π]上为增函数，当=0和=2π时，取得极值．结合选项，A正确．故选A．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）若向量=（﹣1，2）与向量=（，4）平行，则实数= ﹣2 ．【解答】解：因为向量=（﹣1，2）与向量=（，4）平行，所以，所以﹣1=λ，2=λ4，解得：λ=，=﹣2．故答案为﹣2．12．（4分）若θ为第四象限的角，且，则cosθ=；sin2θ=﹣．【解答】解：∵θ为第四象限的角，且，∴cosθ==，sin2θ=2sinθcosθ=2×（﹣）×=﹣．故答案为：，﹣．13．（4分）将函数y=cos2的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数表达式为y=﹣sin2 ．【解答】解：将函数y=cos2的图象向左平移个单位，所得图象对应的解析式为y=cos2（+）=cos（2+）=﹣sin2．故答案为：y=﹣sin2．14．（4分）若，均为单位向量，且与的夹角为120°，则﹣与的夹角等于150°．【解答】解：∵，均为单位向量，且与的夹角为120°，∴（﹣）•=﹣||2=1×1×（﹣）﹣1=﹣，|﹣|2=||2﹣2+||2=1﹣2×1×1×（﹣）+1=3，∴|﹣|=，设﹣与的夹角为θ，则cosθ===﹣，∵0°≤θ≤180°，∴θ=150°，故答案为：150°15．（4分）已知，则cos（﹣y）= ﹣．【解答】解：∵sin+siny=，①cos+cosy=，②①2+②2得：2+2sinsiny+2coscosy=，∴cos（﹣y）=sinsiny+coscosy=﹣，故答案为：﹣．16．（4分）已知函数f（）=sin（ω+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））满足，给出以下四个结论：①ω=3；②ω≠6，∈N*；③φ可能等于；④符合条件的ω有无数个，且均为整数．其中所有正确的结论序号是①③．【解答】解：函数f（）=sin（ω+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））满足，∴ω（）=nπ，∴ω=n（n∈），∴①ω=3正确；②ω≠6，∈N*，不正确；③φ可能等于，正确；④符合条件的ω有无数个，且均为整数，不正确．故答案为①③．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知φ∈（0，π），且．（Ⅰ）求tan2φ的值；（Ⅱ）求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵φ∈（0，π），且=，可得：tanφ=﹣2，∴tan2φ==．（Ⅱ）===﹣．18．（12分）已知函数．（1）求函数f（）的单调增区间；（2）若直线y=a与函数f（）的图象无公共点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数=cos（cos+sin）=+sin2=cos（2﹣）+，由2π﹣π≤2﹣≤2π，∈，解得π﹣≤≤π+，∈，即f（）的增区间为[π﹣，π+]，∈；（2）由（1）可得当2﹣=2π，即=π+，∈时，f（）取得最大值；当2﹣=2π+π，即=π+，∈时，f（）取得最小值﹣．由直线y=a与函数f（）的图象无公共点，可得a的范围是a＞或a＜﹣．19．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设，，则得到函数y=f（）．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）对于任意a∈（0，+∞），求函数f（）的最大值．【解答】解：（1）如图所示，建立直角坐标系．∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），∴B（0，0），A（﹣2，0），D（﹣1，a），C（0，a）．∵=，（0≤≤1）．∴=+=（﹣2，0）+（1，a）=（﹣2，a），∴=﹣=（0，a）﹣（﹣2，a）=（2﹣，a﹣a）∴y=f（）=•=（2﹣，﹣a）•（2﹣，a﹣a）=（2﹣）2﹣a（a﹣a）=（a2+1）2﹣（4+a2）+4．∴f（1）=a2+1﹣（4+a2）+4=1（Ⅱ）由y=f（）=（a2+1）2﹣（4+a2）+4．可知：对称轴=．当0＜a≤时，1＜，∴函数f（）在[0，1]单调递减，因此当=0时，函数f（）取得最大值4．当a＞时，0＜0＜1，函数f（）在[0，）单调递减，在（，1]上单调递增．又f（0）=4，f（1）=1，∴f（）ma=f（0）=4．综上所述函数f（）的最大值为4B卷[学期综合]本卷满分：50分．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.B）= {|﹣1≤＜0} ．20．（4分）设全集U=R，集合A={|＜0}，B={|||＞1}，则A∩（∁U【解答】解：全集U=R，集合A={|＜0}，B={|||＞1}={|＜﹣1或＞1}，则∁B={|﹣1≤≤1}，UB）={|﹣1≤＜0}．A∩（∁U故答案为：{|﹣1≤＜0}．21．（4分）已知函数若f（a）=2，则实数a= e2．【解答】解：∵函数，f（a）=2，∴当a＜0时，f（a）=a﹣2=2，解得a=，不成立；当a＞0时，f（a）=lna=2，解得a=e2．∴实数a=e2．故答案为：e2．22．（4分）定义在R上的函数f （）是奇函数，且f（）在（0，+∞）是增函数，f（3）=0，则不等式f（）＞0的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞）．【解答】解：∵f（）在R上是奇函数，且f（）在（0，+∞）上是增函数，∴f（）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（﹣3）=0，得﹣f（3）=0，即f（3）=0，由f（﹣0）=﹣f（0），得f（0）=0，作出f（）的草图，如图所示：∴f（）＞0的解集为：（﹣3，0）∪（3，+∞），故答案为：（﹣3，0）∪（3，+∞）．23．（4分）函数的值域为{0，1} ．（其中表示不大于的最大整数，例如[3.15]=3，[0.7]=0．）【解答】解：设m表示整数．①当=2m时，[]=[m+0.5]=m，[]=[m]=m．∴此时恒有y=0．②当=2m+1时，[]=[m+1]=m+1，[]=[m+0.5]=m．∴此时恒有y=1．③当2m＜＜2m+1时，2m+1＜+1＜2m+2∴m＜＜m+0.5m+0.5＜＜m+1∴[]=m，[]=m∴此时恒有y=0④当2m+1＜＜2m+2时，2m+2＜+1＜2m+3∴m+0.5＜＜m+1m+1＜＜m+1.5∴此时[]=m，[]=m+1∴此时恒有y=1．综上可知，y∈{0，1}．故答案为{0，1}．24．（4分）在如图所示的三角形空地中，欲建一个面积不小于200m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是[10，20] ．【解答】解：设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：=，解得y=30﹣，（0＜＜30）∴矩形的面积S=（30﹣），∵矩形花园的面积不小于200m2，∴（30﹣）≥200，化为（﹣10）（﹣20）≤0，解得10≤≤20．满足0＜＜30．故其边长（单位m）的取值范围是[10，20]．故答案为：[10，20]．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 25．（10分）已知函数．（Ⅰ）若，求a的值；（Ⅱ）判断函数f（）的奇偶性，并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数．，∴=，∴=2，解得：a=﹣3；（Ⅱ）函数f（）为奇函数，理由如下：函数f（）的定义域（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）关于原点对称，且f（﹣）+f（）=+=0，即f（﹣）=﹣f（），故函数f（）为奇函数．26．（10分）已知函数f（）=3，g（）=|+a|﹣3，其中a∈R．（Ⅰ）若函数h（）=f[g（）]的图象关于直线=2对称，求a的值；（Ⅱ）给出函数y=g[f（）]的零点个数，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）函数h（）=f[g（）]=3|+a|﹣3的图象关于直线=2对称，则h（4﹣）=h（）⇒|+a|=|4﹣+a|恒成立⇒a=﹣2；（Ⅱ）函数y=g[f（）]=|3+a|﹣3的零点个数，就是函数G（）=|3+a|与y=3的交点，①当0≤a＜3时，G（）=|3+a|=3+a与y=3的交点只有一个，即函数y=g[f（）]的零点个数为1个（如图1）；②当a≥3时，G（）=|3+a|=3+a与y=3没有交点，即函数y=g[f（）]的零点个数为0个（如图1）；③﹣3≤a＜0时，G（）=|3+a|与y=3的交点只有1个（如图2）；④当a＜﹣3时，G（）=|3+a|与y=3的交点有2个（如图2）；27．（10分）设函数f（）的定义域为R，如果存在函数g（），使得f（）≥g（）对于一切实数都成立，那么称g（）为函数f（）的一个承托函数．已知函数f（）=a2+b+c的图象经过点（﹣1，0）．（1）若a=1，b=2．写出函数f（）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=为函数f（）的一个承托函数，且f（）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）函数f（）=a2+b+c的图象经过点（﹣1，0），可得a﹣b+c=0，又a=1，b=2，则f（）=2+2+1，由新定义可得g（）=为函数f（）的一个承托函数；（2）假设存在常数a，b，c，使得y=为函数f（）的一个承托函数，且f（）为函数的一个承托函数．即有≤a2+b+c≤2+恒成立，令=1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c=1，即1﹣b=a+c，又a2+（b﹣1）+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b﹣1）2﹣4ac≤0，即为（a+c）2﹣4ac≤0，即有a=c；又（a﹣）2+b+c﹣≤0恒成立，可得a＜，且b2﹣4（a﹣）（c﹣）≤0，即有（1﹣2a）2﹣4（a﹣）2≤0恒成立．故存在常数a，b，c，且0＜a=c＜，b=1﹣2a，可取a=c=，b=．满足题意．。

北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷 高三数学 第1页（共12页）北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷高三数学 2021.1本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|13}A x x =−<<，{|04}B x x =<≤，则A B =（A ）(0,3)（B ）(1,4)−（C ）(0,4]（D ）(1,4]−（2）在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为(1,1)−，则z z ⋅=（A ）2（B ）2i −（C（D ）2i（3）已知()f x 为奇函数，其局部图象如图所示，那么（A ）(2)2f = （B ）(2)2f =− （C ）(2)2f >− （D ）(2)2f <−（4）已知(4,8)A ，(2,4)B ，(3,)C y 三点共线，则y 的值为（A ）4（B ）5（C ）6（D ）7（5）已知双曲线22221x y a b−=的焦距等于实轴长的2倍，则其渐近线的方程为（A）y =（B ）2y x =±（C）3y x =±（D ）12y x =±（6）已知半径为2的圆经过点(1,0)，其圆心到直线34120x y −+=的距离的最小值为（A ）0（B ）1（C ）2 （D ）3北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷 高三数学 第2页（共12页）（7）已知函数()sin 2,[,]f x x x a b =∈，则“2b a π−≥”是“()f x 的值域为[1,1]−”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：2log (1)SC W N=+，其中C 为最大数据传输速率，单位为bit /s ；W 为信道带宽，单位为Hz ；SN为信噪比. 香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.当99SN=，2000Hz W =时，最大数据传输速率记为1C ；当9999S N =，3000Hz W =时，最大数据传输速率记为2C ，则21C C 为 （A ）1（B ）52 （C ）154（D ）3（9）设函数()f x 和()g x 的定义域为D ，若存在非零实数c D ∈，使得()()0f c g c +=，则称函数()f x 和()g x 在D 上具有性质P .现有三组函数：①()f x x =，2()g x x = ②()2x f x −=，()e x g x =−③2()f x x =−，()2x g x =其中具有性质P 的是 （A ）①②（B ）①③（C ）②③（D ）①②③（10）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，,M N 分别为111,BD B C 的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP CN ⊥，则下列说法正确的是 （A ）点P 可以是棱1BB 的中点 （B ）线段MP（C ）点P 的轨迹是正方形 （D ）点P轨迹的长度为北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷 高三数学 第3页（共12页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷+答案+听力材料北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷高一英语2021.1本试卷共13页，共140分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第Ⅰ卷(共75分)I. 听力理解（共三节，22.5分）第一节: (共4小题; 每小题1.5分，共6分)听下面四段对话，每段对话后有一道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

每段对话你将听一遍。

1. What does the man think the weather will be like in the afternoon?A. Cloudy.B. Rainy.C. Sunny.2. Where does the conversation probably take place?A. In a restaurant.B. In a cinema.C. In a supermarket.3. Why did the man leave his previous job?A. To study further.B. To get experience.C. To find a new job.4. Why does the woman make the phone call?A. To book a service.B. To ask about a delivery.C. To arrange a meeting.第二节:（共6小题；每小题1.5分，共9分）听下面三段对话，每段对话后有两道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

每段对话你将听两遍。

听第5段材料，回答第5至第6小题。

5. What is the woman?A. A bus driver.B. A college student.C. A shop assistant.6. How much will the woman save with a discount?A. 50 dollars.B. 30 dollars.C. 20 dollars.听第6段材料，回答第7至第8小题。

北京市西城区高一（上）期末数学试卷A卷[必修模块4]本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）如果θ是第三象限的角，那么（）A．sinθ＞0 B．cosθ＞0 C．tanθ＞0 D．以上都不对2．（4分）若向量=（1，﹣2），=（，4）满足⊥，则实数等于（）A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣23．（4分）若角α的终边经过点（﹣4，3），则tanα=（）A．B． C．D．4．（4分）函数是（）A．奇函数，且在区间上单调递增B．奇函数，且在区间上单调递减C．偶函数，且在区间上单调递增D．偶函数，且在区间上单调递减5．（4分）函数f（）=sin﹣cos的图象（）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于直线对称 D．关于直线对称6．（4分）如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若，则=（）A．B．C．2 D．7．（4分）定义在R上，且最小正周期为π的函数是（）A．y=sin|| B．y=cos|| C．y=|sin| D．y=|cos2|8．（4分）设向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，则|+|等于（）A．B．13 C．D．199．（4分）函数（其中ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则（）A．B．C．D．10．（4分）如图，半径为1的圆M，切直线AB于点O，射线OC从OA出发，绕O点顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交⊙M于P，记∠PMO为，弓形PNO的面积S=f（），那么f （）的图象是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）若向量=（﹣1，2）与向量=（，4）平行，则实数= ．12．（4分）若θ为第四象限的角，且，则cosθ=；sin2θ=．13．（4分）将函数y=cos2的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数表达式为．14．（4分）若，均为单位向量，且与的夹角为120°，则﹣与的夹角等于．15．（4分）已知，则cos（﹣y）= ．16．（4分）已知函数f（）=sin（ω+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））满足，给出以下四个结论：①ω=3；②ω≠6，∈N*；③φ可能等于；④符合条件的ω有无数个，且均为整数．其中所有正确的结论序号是．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知φ∈（0，π），且．（Ⅰ）求tan2φ的值；（Ⅱ）求的值．18．（12分）已知函数．（1）求函数f（）的单调增区间；（2）若直线y=a与函数f（）的图象无公共点，求实数a的取值范围．19．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设，，则得到函数y=f（）．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）对于任意a∈（0，+∞），求函数f（）的最大值．B卷[学期综合]本卷满分：50分．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．（4分）设全集U=R，集合A={|＜0}，B={|||＞1}，则A∩（∁B）= ．U21．（4分）已知函数若f（a）=2，则实数a= ．22．（4分）定义在R上的函数f （）是奇函数，且f（）在（0，+∞）是增函数，f（3）=0，则不等式f（）＞0的解集为．23．（4分）函数的值域为．（其中表示不大于的最大整数，例如[3.15]=3，[0.7]=0．）24．（4分）在如图所示的三角形空地中，欲建一个面积不小于200m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 25．（10分）已知函数．（Ⅰ）若，求a的值；（Ⅱ）判断函数f（）的奇偶性，并证明你的结论．26．（10分）已知函数f（）=3，g（）=|+a|﹣3，其中a∈R．（Ⅰ）若函数h（）=f[g（）]的图象关于直线=2对称，求a的值；（Ⅱ）给出函数y=g[f（）]的零点个数，并说明理由．27．（10分）设函数f（）的定义域为R，如果存在函数g（），使得f（）≥g（）对于一切实数都成立，那么称g（）为函数f（）的一个承托函数．已知函数f（）=a2+b+c的图象经过点（﹣1，0）．（1）若a=1，b=2．写出函数f（）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=为函数f（）的一个承托函数，且f（）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．北京市西城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析A卷[必修模块4]本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）如果θ是第三象限的角，那么（）A．sinθ＞0 B．cosθ＞0 C．ta nθ＞0 D．以上都不对【解答】解：如果θ是第三象限的角，则sinθ＜0，cosθ＜0，tanθ＞0，故选：C．2．（4分）若向量=（1，﹣2），=（，4）满足⊥，则实数等于（）A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2【解答】解：根据题意，若向量、满足⊥，必有•=0，又由=（1，﹣2），=（，4），则有•=1×+（﹣2）×4=0，解可得=8；故选：A．3．（4分）若角α的终边经过点（﹣4，3），则tanα=（）A．B． C．D．【解答】解：由定义若角α的终边经过点（﹣4，3），∴tanα=﹣，故选：D．4．（4分）函数是（）A．奇函数，且在区间上单调递增B．奇函数，且在区间上单调递减C．偶函数，且在区间上单调递增D．偶函数，且在区间上单调递减【解答】解：函数=cos，是偶函数，且在区间上单调递减，故选D．5．（4分）函数f（）=sin﹣cos的图象（）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于直线对称 D．关于直线对称【解答】解：函数y=sin﹣cos=sin（﹣），∴﹣=π+，∈，得到=π+，∈，则函数的图象关于直线=﹣对称．故选：B．6．（4分）如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若，则=（）A．B．C．2 D．【解答】解：∵BD=2DC，∴=+=+=+（﹣）=+，∵，∴λ=，μ=，∴=，故选：A7．（4分）定义在R上，且最小正周期为π的函数是（）A．y=sin|| B．y=cos|| C．y=|sin| D．y=|cos2|【解答】解：对于A：y=sin||不是周期函数，对于B，y=cos||的最小正周期为2π，对于C，y=|sin|最小正周期为π，对于D，y=|cos2|最小正周期为，故选：C8．（4分）设向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，则|+|等于（）A．B．13 C．D．19【解答】解：∵向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，∴=||•||cos60°=2×3×=3，∴|+|2=||2+||2+2=4+9+2×3=19，∴|+|=，故选：C．9．（4分）函数（其中ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则（）A．B．C．D．【解答】解：如图根据函数的图象可得：函数的周期为（6﹣2）×4=16，又∵ω＞0，∴ω==，当=2时取最大值，即2sin（2×+φ）=2，可得：2×+φ=2π+，∈，∴φ=2π+，∈，∵0＜φ＜π，∴φ=，故选：B．10．（4分）如图，半径为1的圆M，切直线AB于点O，射线OC从OA出发，绕O点顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交⊙M于P，记∠PMO为，弓形PNO的面积S=f（），那么f （）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得S=f （）=﹣f′（）=≥0当=0和=2π时，f′（）=0，取得极值．则函数S=f （）在[0，2π]上为增函数，当=0和=2π时，取得极值．结合选项，A正确．故选A．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）若向量=（﹣1，2）与向量=（，4）平行，则实数= ﹣2 ．【解答】解：因为向量=（﹣1，2）与向量=（，4）平行，所以，所以﹣1=λ，2=λ4，解得：λ=，=﹣2．故答案为﹣2．12．（4分）若θ为第四象限的角，且，则cosθ=；sin2θ=﹣．【解答】解：∵θ为第四象限的角，且，∴cosθ==，sin2θ=2sinθcosθ=2×（﹣）×=﹣．故答案为：，﹣．13．（4分）将函数y=cos2的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数表达式为y=﹣sin2 ．【解答】解：将函数y=cos2的图象向左平移个单位，所得图象对应的解析式为y=cos2（+）=cos（2+）=﹣sin2．故答案为：y=﹣sin2．14．（4分）若，均为单位向量，且与的夹角为120°，则﹣与的夹角等于150°．【解答】解：∵，均为单位向量，且与的夹角为120°，∴（﹣）•=﹣||2=1×1×（﹣）﹣1=﹣，|﹣|2=||2﹣2+||2=1﹣2×1×1×（﹣）+1=3，∴|﹣|=，设﹣与的夹角为θ，则cosθ===﹣，∵0°≤θ≤180°，∴θ=150°，故答案为：150°15．（4分）已知，则cos（﹣y）= ﹣．【解答】解：∵sin+siny=，①cos+cosy=，②①2+②2得：2+2sinsiny+2coscosy=，∴cos（﹣y）=sinsiny+coscosy=﹣，故答案为：﹣．16．（4分）已知函数f（）=sin（ω+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））满足，给出以下四个结论：①ω=3；②ω≠6，∈N*；③φ可能等于；④符合条件的ω有无数个，且均为整数．其中所有正确的结论序号是①③．【解答】解：函数f（）=sin（ω+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））满足，∴ω（）=nπ，∴ω=n（n∈），∴①ω=3正确；②ω≠6，∈N*，不正确；③φ可能等于，正确；④符合条件的ω有无数个，且均为整数，不正确．故答案为①③．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知φ∈（0，π），且．（Ⅰ）求tan2φ的值；（Ⅱ）求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵φ∈（0，π），且=，可得：tanφ=﹣2，∴tan2φ==．（Ⅱ）===﹣．18．（12分）已知函数．（1）求函数f（）的单调增区间；（2）若直线y=a与函数f（）的图象无公共点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数=cos（cos+sin）=+sin2=cos（2﹣）+，由2π﹣π≤2﹣≤2π，∈，解得π﹣≤≤π+，∈，即f（）的增区间为[π﹣，π+]，∈；（2）由（1）可得当2﹣=2π，即=π+，∈时，f（）取得最大值；当2﹣=2π+π，即=π+，∈时，f（）取得最小值﹣．由直线y=a与函数f（）的图象无公共点，可得a的范围是a＞或a＜﹣．19．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设，，则得到函数y=f（）．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）对于任意a∈（0，+∞），求函数f（）的最大值．【解答】解：（1）如图所示，建立直角坐标系．∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），∴B（0，0），A（﹣2，0），D（﹣1，a），C（0，a）．∵=，（0≤≤1）．∴=+=（﹣2，0）+（1，a）=（﹣2，a），∴=﹣=（0，a）﹣（﹣2，a）=（2﹣，a﹣a）∴y=f（）=•=（2﹣，﹣a）•（2﹣，a﹣a）=（2﹣）2﹣a（a﹣a）=（a2+1）2﹣（4+a2）+4．∴f（1）=a2+1﹣（4+a2）+4=1（Ⅱ）由y=f（）=（a2+1）2﹣（4+a2）+4．可知：对称轴=．当0＜a≤时，1＜，∴函数f（）在[0，1]单调递减，因此当=0时，函数f（）取得最大值4．当a＞时，0＜0＜1，函数f（）在[0，）单调递减，在（，1]上单调递增．又f（0）=4，f（1）=1，∴f（）ma=f（0）=4．综上所述函数f（）的最大值为4B卷[学期综合]本卷满分：50分．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.B）= {|﹣1≤＜0} ．20．（4分）设全集U=R，集合A={|＜0}，B={|||＞1}，则A∩（∁U【解答】解：全集U=R，集合A={|＜0}，B={|||＞1}={|＜﹣1或＞1}，则∁B={|﹣1≤≤1}，UB）={|﹣1≤＜0}．A∩（∁U故答案为：{|﹣1≤＜0}．21．（4分）已知函数若f（a）=2，则实数a= e2．【解答】解：∵函数，f（a）=2，∴当a＜0时，f（a）=a﹣2=2，解得a=，不成立；当a＞0时，f（a）=lna=2，解得a=e2．∴实数a=e2．故答案为：e2．22．（4分）定义在R上的函数f （）是奇函数，且f（）在（0，+∞）是增函数，f（3）=0，则不等式f（）＞0的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞）．【解答】解：∵f（）在R上是奇函数，且f（）在（0，+∞）上是增函数，∴f（）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（﹣3）=0，得﹣f（3）=0，即f（3）=0，由f（﹣0）=﹣f（0），得f（0）=0，作出f（）的草图，如图所示：∴f（）＞0的解集为：（﹣3，0）∪（3，+∞），故答案为：（﹣3，0）∪（3，+∞）．23．（4分）函数的值域为{0，1} ．（其中表示不大于的最大整数，例如[3.15]=3，[0.7]=0．）【解答】解：设m表示整数．①当=2m时，[]=[m+0.5]=m，[]=[m]=m．∴此时恒有y=0．②当=2m+1时，[]=[m+1]=m+1，[]=[m+0.5]=m．∴此时恒有y=1．③当2m＜＜2m+1时，2m+1＜+1＜2m+2∴m＜＜m+0.5m+0.5＜＜m+1∴[]=m，[]=m∴此时恒有y=0④当2m+1＜＜2m+2时，2m+2＜+1＜2m+3∴m+0.5＜＜m+1m+1＜＜m+1.5∴此时[]=m，[]=m+1∴此时恒有y=1．综上可知，y∈{0，1}．故答案为{0，1}．24．（4分）在如图所示的三角形空地中，欲建一个面积不小于200m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是[10，20] ．【解答】解：设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：=，解得y=30﹣，（0＜＜30）∴矩形的面积S=（30﹣），∵矩形花园的面积不小于200m2，∴（30﹣）≥200，化为（﹣10）（﹣20）≤0，解得10≤≤20．满足0＜＜30．故其边长（单位m）的取值范围是[10，20]．故答案为：[10，20]．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 25．（10分）已知函数．（Ⅰ）若，求a的值；（Ⅱ）判断函数f（）的奇偶性，并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数．，∴=，∴=2，解得：a=﹣3；（Ⅱ）函数f（）为奇函数，理由如下：函数f（）的定义域（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）关于原点对称，且f（﹣）+f（）=+=0，即f（﹣）=﹣f（），故函数f（）为奇函数．26．（10分）已知函数f（）=3，g（）=|+a|﹣3，其中a∈R．（Ⅰ）若函数h（）=f[g（）]的图象关于直线=2对称，求a的值；（Ⅱ）给出函数y=g[f（）]的零点个数，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）函数h（）=f[g（）]=3|+a|﹣3的图象关于直线=2对称，则h（4﹣）=h（）⇒|+a|=|4﹣+a|恒成立⇒a=﹣2；（Ⅱ）函数y=g[f（）]=|3+a|﹣3的零点个数，就是函数G（）=|3+a|与y=3的交点，①当0≤a＜3时，G（）=|3+a|=3+a与y=3的交点只有一个，即函数y=g[f（）]的零点个数为1个（如图1）；②当a≥3时，G（）=|3+a|=3+a与y=3没有交点，即函数y=g[f（）]的零点个数为0个（如图1）；③﹣3≤a＜0时，G（）=|3+a|与y=3的交点只有1个（如图2）；④当a＜﹣3时，G（）=|3+a|与y=3的交点有2个（如图2）；27．（10分）设函数f（）的定义域为R，如果存在函数g（），使得f（）≥g（）对于一切实数都成立，那么称g（）为函数f（）的一个承托函数．已知函数f（）=a2+b+c的图象经过点（﹣1，0）．（1）若a=1，b=2．写出函数f（）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=为函数f（）的一个承托函数，且f（）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）函数f（）=a2+b+c的图象经过点（﹣1，0），可得a﹣b+c=0，又a=1，b=2，则f（）=2+2+1，由新定义可得g（）=为函数f（）的一个承托函数；（2）假设存在常数a，b，c，使得y=为函数f（）的一个承托函数，且f（）为函数的一个承托函数．即有≤a2+b+c≤2+恒成立，令=1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c=1，即1﹣b=a+c，又a2+（b﹣1）+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b﹣1）2﹣4ac≤0，即为（a+c）2﹣4ac≤0，即有a=c；又（a﹣）2+b+c﹣≤0恒成立，可得a＜，且b2﹣4（a﹣）（c﹣）≤0，即有（1﹣2a）2﹣4（a﹣）2≤0恒成立．故存在常数a，b，c，且0＜a=c＜，b=1﹣2a，可取a=c=，b=．满足题意．。

北京市东城区2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（）A．M＝∅B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M2．（5分）下列函数为偶函数的是（）A．y＝|x| B．y＝lnx C．y＝e x D．y＝x33．（5分）已知函数y＝sin x在区间M上单调递增，那么区间M可以是（）A．（0，2π）B．（0，π）C．D．4．（5分）命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为（）A．∃x∈A，2x∉B B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B 5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．a D．6．（5分）下列各式正确的是（）A．B．C．D．7．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A．8100 B．900 C．81 D．9二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．（5分）关于函数f（x）＝1+cos x，x∈（，2π）的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A．当t＜0或t≥2时，有0个交点B．当t＝0或时，有1个交点C．当时，有2个交点D．当0＜t＜2时，有2个交点10．（5分）已知函数f（x）＝4|x|+x2+a，下列命题正确的有（）A．对于任意实数a，f（x）为偶函数B．对于任意实数a，f（x）＞0C．存在实数a，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是．12．（5分）sin的值为．13．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f （x）可以为．（写出符合条件的一个函数即可）14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为．15．（5分）已知函数f（x）＝则f（﹣2）＝；若f（t）＝1，则实数t＝．16．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t﹣1（a＞0且a≠1），它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3．其中正确命题的序号有．（注：请写出所有正确结论的序号）四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．（1）求∁U A；（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁U A，求m的取值范围．18．（13分）已知函数，f（0）＝．（1）求f（x）的解析式和最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为．（1）求tanβ的值；（2）求的值．20．（16分）已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）的单调性并说明理由；（3）若f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，求x的取值范围．21．（15分）对于集合A，定义函数f A（x）＝对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出f A（1）与f B（1）的值，并求出A*B；（2）证明：f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．2020-2021学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（）A．M＝∅B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M【分析】利用集合与集合的关系直接求解．【解答】解：∵集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，∴M⫋N．故选：C．【点评】本题考查集合的关系的判断，考查交集、并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）下列函数为偶函数的是（）A．y＝|x| B．y＝lnx C．y＝e x D．y＝x3【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝|x|，是偶函数，符合题意；对于B，y＝lnx，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；对于C，y＝e x，是指数函数，不是偶函数，不符合题意；对于D，y＝x3，是幂函数，不是偶函数，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性，属于基础题．3．（5分）已知函数y＝sin x在区间M上单调递增，那么区间M可以是（）A．（0，2π）B．（0，π）C．D．【分析】直接利用函数的单调性和子区间之间的关系求出结果．【解答】解：根据函数y＝sin x的单调递增区间：[]（k∈Z），当k＝0时，单调增区间为[]，由于为[]的子区间，故选：D．【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4．（5分）命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为（）A．∃x∈A，2x∉B B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为∃x∈A，2x∉B，故选：A．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．a D．【分析】直接利用不等式的应用和函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：由于a＞b，且a和b的正负号不确定，所以选项ACD都不正确．对于选项：B由于函数y＝2x为单调递增函数，且a＞b，故正确故选：B．【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6．（5分）下列各式正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式直接求解．【解答】解：在A中，sin＞0＞sin＝﹣sin，故A错误；在B中，＜cos，故B正确；在C中，＞，故C错误；在D中，＞cos＝sin，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】可以取特殊值讨论充要性．【解答】解：若a，b为正实数，取a＝1，b＝1，则a+b＝2，则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的不充分条件；若a+b＞2，取a＝1，b＝0，则b不是正实数，则“a+b＞2”是“a，b为正实数''的不必要条件；则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题考查命题充要性，以及不等式，属于基础题．8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A．8100 B．900 C．81 D．9【分析】由题意令V＝2m/s，0m/s，则可求出耗氧量，求出之比．【解答】解：鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量为：令v＝2＝，即，即，即o＝8100，鲑鱼静止时耗氧量为：令v＝0＝，即，即o'＝100，故鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为，故选：C．【点评】本题考查对数求值，属于中档题．二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．（5分）关于函数f（x）＝1+cos x，x∈（，2π）的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A．当t＜0或t≥2时，有0个交点B．当t＝0或时，有1个交点C．当时，有2个交点D．当0＜t＜2时，有2个交点【分析】直接利用函数的图象和函数的性质及参数的范围求出函数的交点的情况，进一步确定结果．【解答】解：根据函数的解析式画出函数的图象：①对于选项A：当t＜0或t≥2时，有0个交点，故正确．②对于选项B：当t＝0或时，有1个交点，故正确．③对于选项C：当t＝时，只有一个交点，故错误．④对于选项D：当，只有一个交点，故错误．故选：AB．【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的应用，利用函数的图象求参数的取值范围，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10．（5分）已知函数f（x）＝4|x|+x2+a，下列命题正确的有（）A．对于任意实数a，f（x）为偶函数B．对于任意实数a，f（x）＞0C．存在实数a，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】直接利用函数的对称性和函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：函数f（x）＝4|x|+x2+a，①对于选项A：由于x∈R，且f（﹣x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数．故选项A正确．②对于选项B：由于x2≥0，所以，故4|x|+x2≥1所以当x＝0时a＝﹣2时，f（x）＜0，故选项B错误．③对于选项C：由于函数f（x）的图象关于y轴对称，在x＞0时，函数为单调递增函数，在x＜0时，函数为单调递减函数，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，故选项C正确．④对于选项D：由于函数的图象关于y轴对称，且在x＞0时，函数为单调递增函数，在x＜0时，函数为单调递减函数，故存在实数a＝0时，当x∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）时，不等式成立，故选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是（﹣1，1）．【分析】解不等式1﹣x2＞0即可．【解答】解：令1﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题．12．（5分）sin的值为﹣．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果．【解答】解：sin＝sin（2π﹣）＝﹣sin＝﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．13．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f （x）可以为f（x）＝．（写出符合条件的一个函数即可）【分析】由函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，即是符合要求的一个函数．【解答】解：∵函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，∴函数f（x）＝（）x即是符合要求的一个函数，故答案为：f（x）＝（）x．【点评】本题主要考查了指数函数的单调性和值域，是基础题．14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C．【分析】①利用交集定义直接求解．②利用并集定义直接求解．【解答】解：①设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B．故答案为：A∩B．②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C．故答案为：A∪C．【点评】本题考查并集、交集的求法，考查并集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．（5分）已知函数f（x）＝则f（﹣2）＝；若f（t）＝1，则实数t＝0或1 ．【分析】结合已知函数解析式，把x＝﹣2代入即可求解f（﹣2），结合已知函数解析式及f（t）＝1，对t进行分类讨论分别求解．【解答】解：f（x）＝则f（﹣2）＝2﹣2＝，∵f（t）＝1，①当t≥1时，可得＝1，即t＝1，②当t＜1时，可得2t＝1，即t＝0，综上可得t＝0或t＝1．故答案为：；0或1【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．16．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t﹣1（a＞0且a≠1），它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3．其中正确命题的序号有①②④．（注：请写出所有正确结论的序号）【分析】直接利用函数的图象求出函数的解析式，进一步利用函数的额关系式再利用函数的性质的应用求出结果．【解答】解：浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t ﹣1（a＞0且a≠1），函数的图象经过（2，2）所以2＝a2﹣1，解得a＝2．①当x＝0时y＝，故选项A正确．②当第8个月时，y＝28﹣1＝27＝128＞60，故②正确．③当t＝1时，y＝1，增加0.5，当t＝2时，y＝2，增加1，故每月的增加不相等，故③错误．④根据函数的解析式，解得t1＝log210+1，同理t2＝log220+1，t3＝log230+1，所以2t2＝2log220+2＝log2400+2＞t1+t2＝log2300+2，所以则2t2＞t1+t3．故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，定义性函数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．（1）求∁U A；（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁U A，求m的取值范围．【分析】（1）根据题意，求出集合A，进而由补集的性质分析可得答案；（2）根据题意，结合集合间的关系分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，因为A＝{x|x2+3x+2＜0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1}．因为全集U＝R，所以∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，（2）根据题意，∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，若B⊆∁U A，当m﹣1≥﹣1或m≤﹣2，即m≥0或m≤﹣2，所以m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）．【点评】本题考查集合的补集运算，涉及集合的子集关系，属于基础题．18．（13分）已知函数，f（0）＝．（1）求f（x）的解析式和最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．【分析】（1）利用函数值，转化求解函数的解析式，推出函数的周期；（2）利用函数的自变量的范围，求出相位的范围，然后求解正弦函数的最值．【解答】解：（1）因为，所以．又因为φ∈，所以φ＝．所以．所以f（x）最的小正周期．（2）因为x∈[0，2π]，所以．当，即时，f（x）有最大值2，当，即x＝2π时，f（x）有最小值．【点评】本题考查函数的周期以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为．（1）求tanβ的值；（2）求的值．【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得tanβ的值．（2）由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：（1）因为β的终边与单位圆交于点B，B点的纵坐标为，所以．因为，所以．所以．（2）因为α的终边与单位圆交于点A，A点的纵坐标为，所以．因为，所以，故＝＝＝．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于基础题．20．（16分）已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）的单调性并说明理由；（3）若f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，求x的取值范围．【分析】（1）定义域为R，然后求出f（﹣x），得f（﹣x）＝﹣f（x），所以为奇函数；（2）直接由指数函数的单调性可判断函数f（x）的单调性；（3）不等式变形，由奇函数的性质得出ax﹣1＞x﹣2对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，令关于a的函数g（a）＝xa+1﹣x＞0在（﹣∞，2]上恒成立，g（a）一定单调递减，所以满足则只需解出x的范围．【解答】解：（1）f（x）为奇函数．因为f（x）定义域为R，，所以f（﹣x）＝﹣f（x）．所以f（x）为奇函数；（2）在（﹣∞，+∞）是增函数．因为y＝3x在（﹣∞，+∞）是增函数，且y＝3﹣x在（﹣∞，+∞）是减函数，所以在（﹣∞，+∞）是增函数，（3）由（1）（2）知f（x）为奇函数且f（x）（﹣∞，+∞）是增函数．又因为f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0，所以f（ax﹣1）＞﹣f（2﹣x）＝f（x﹣2）．所以ax﹣1＞x﹣2对任意a∈（﹣∞，2]恒成立．令g（a）＝xa+（1﹣x），a∈（﹣∞，2]．则只需，解得所以﹣1＜x≤0．所以x的取值范围为（﹣1，0]．【点评】考查函数的奇函数的判断即函数的单调性，使用中档题．21．（15分）对于集合A，定义函数f A（x）＝对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出f A（1）与f B（1）的值，并求出A*B；（2）证明：f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．【分析】（1）由新定义的元素即可求出f A（1）与f B（1）的值，再分情况求出A*B；（2）对x是否属于集合A，B分情况讨论，即可证明出f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）利用（2）的结论即可证明出*运算具有交换律和结合律．【解答】解：（1）∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，∴f A（1）＝﹣1，f B（1）＝1，∴A*B＝{1，4，5}；（2）①当x∈A且x∈B时，f A（x）＝f B（x）＝﹣1，所以x∉A*B．所以f A*B（x）＝1，所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x），②当x∈A且x∉B时，f A（x）＝﹣1，f B（x）＝1，所以x∈A*B．所以f A*B（x）＝﹣1，所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x），③当x∉A且x∈B时，f A（x）＝1，f B（x）＝﹣1．所以x∈A*B．所以f A*B（x）＝﹣1．所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）．④当x∉A且x∉B时，f A（x）＝f B（x）＝1．所以x∉A*B．所以f A*B（x）＝1．所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）．综上，f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）因为A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}，B*A＝{x|f B（x）•f A（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}，所以A*B＝B*A．因为（A*B）*C＝{x|f A*B（x）•f C（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）•f C（x）＝﹣1}，A*（B*C）＝{x|f A（x）•f B*C（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）•f C（x）＝﹣1}，所以（A*B）*C＝A*（B*C）．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了新定义问题，是中档题．。

2020-2021学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1．设向量，，则＝（）A．11B．9C．7D．52．sin330°＝（）A．B．﹣C．D．﹣3．在复平面内，复数z对应的点Z如图所示，则复数＝（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i4．某圆锥的母线长为5cm，底面半径长为3cm，则该圆锥的体积为（）A．12πcm3B．15πcm3C．36πcm3D．45πcm35．函数f（x）＝cos22x﹣sin22x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π6．若sinα＝0.4，，则符合条件的角α有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是（）A．B．C．D．8．向量与的夹角为（）A．30°B．40°C．60°D．90°9．在△ABC中，内角A和B所对的边分别为a和b，则a＞b是sin A＞sin B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．已知单位向量，满足•＝﹣，若非零向量＝x+y，其中x，y∈R，则的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（每题3分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．设复数，则|z|＝．12．已知半径为r的球的表面积为36πcm2，那么半径为2r的球的表面积为cm2．13．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则A ＝．14．已知向量，满足，，，那么＝．15．设函数f（x）＝sinπx，g（x）＝x2﹣x+1，有以下四个结论．①函数y＝f（x）+g（x）是周期函数；②函数y＝f（x）﹣g（x）的图像是轴对称图形；③函数y＝f（x）•g（x）的图像关于坐标原点对称；④函数存在最大值．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．已知．（Ⅰ）求tanθ的值；（Ⅱ）求sin2θ的值．17．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，且AB＝AD＝2，AA1＝1．（Ⅰ）求三棱锥B1﹣ABD的体积；（Ⅱ）求证：BC∥平面ADD1A1；（Ⅲ）求证：AC⊥B1D．18．在△ABC中，AB＝4，AC＝3，．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求的值．19．已知函数同时满足下列三个条件中的二个：①f（0）＝2；②最大值为2；③最小正周期为π．（Ⅰ）求出所有可能的函数f（x），并说明理由；（Ⅱ）从符合题意的函数中选择一个，求其单调增区间．20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，E为AA1的中点，O为BD1的中点．（Ⅰ）求证：平面A1BD1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：EO∥平面ABCD；（Ⅲ）设P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱上一点，给出满足条件OP＝的点P的个数，并说明理由．21．设函数f（x）的定义域为R．若存在常数T，A（T＞0，A＞0），使得对于任意x∈R，f（x+T）＝Af（x）成立，则称函数f（x）具有性质P．（Ⅰ）判断函数y＝x和y＝cos x具有性质P？（结论不要求证明）（Ⅱ）若函数f（x）具有性质P，且其对应的T＝π，A＝2．已知当x∈（0，π]时，f（x）＝sin x，求函数f（x）在区间[﹣π，0]上的最大值；（Ⅲ）若函数g（x）具有性质P，且直线x＝m为其图像的一条对称轴，证明：g（x）为周期函数．参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1．设向量，，则＝（）A．11B．9C．7D．5解：向量，，则＝﹣3+8＝5．故选：D．2．sin330°＝（）A．B．﹣C．D．﹣解：sin330°＝sin（270°+60°）＝﹣cos60°＝﹣．故选：B．3．在复平面内，复数z对应的点Z如图所示，则复数＝（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i 解：由图可知，点Z对应的复数z＝2+i，则，故选：B．4．某圆锥的母线长为5cm，底面半径长为3cm，则该圆锥的体积为（）A．12πcm3B．15πcm3C．36πcm3D．45πcm3解：圆锥的母线长l＝5cm，底面半径长r＝3cm，所以圆锥的高h＝＝＝4（cm），所以该圆锥的体积为V＝πr2h＝π×32×4＝12π（cm）3．故选：A．5．函数f（x）＝cos22x﹣sin22x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π解：因为f（x）＝cos22x﹣sin22x＝cos4x，所以f（x）的最小正周期T＝＝，故选：A．6．若sinα＝0.4，，则符合条件的角α有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：利用正弦函数y＝sin x，的图象，和函数y＝0.4的图象，所以这两个函数的图象有3个交点，如图所示：故满足条件的角有3个．故选：C．7．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是（）A．B．C．D．解：由图象得函数f（x）的最小正周期为T＝4（6﹣2）＝16，所以；由图象的最高点为（2，3），得A＝3，且f（2）＝3，即，由0＜φ＜π，解得φ＝．故选：C．8．向量与的夹角为（）A．30°B．40°C．60°D．90°解：根据题意，设两个向量的夹角为θ，向量与，则||＝1，||＝1，•＝cos50°cos10°+sin50°sin10°＝cos40°，则cosθ＝＝cos40°，又由0°≤θ≤180°，故两个向量的夹角为40°，故选：B．9．在△ABC中，内角A和B所对的边分别为a和b，则a＞b是sin A＞sin B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：在三角形中，若a＞b，由正弦定理，得sin A＞sin B．若sin A＞sin B，则正弦定理，得a＞b，所以，a＞b是sin A＞sin B的充要条件．故选：C．10．已知单位向量，满足•＝﹣，若非零向量＝x+y，其中x，y∈R，则的最大值为（）A．B．C．D．解：因为单位向量，满足•＝﹣，所以＜，＞＝，设＝（1，0），＝（﹣，），所以＝x+y＝x（1，0）+y（﹣，＝（x﹣，y），所以||＝＝，所以＝＝当x＝0时，＝0，当x≠0时，＝，令t＝，则1﹣t+t2＝（t﹣）2+≥，所以≤，所以的最大值为．故选：D．二、填空题（每题3分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．设复数，则|z|＝．解：因为z＝＝＝＝，所以|z|＝＝，故答案为：．12．已知半径为r的球的表面积为36πcm2，那么半径为2r的球的表面积为144πcm2．解：由题意，4πr2＝36π，解得r＝3，那么半径为2r的球的表面积为4π×62＝144πcm2，故答案为：144π．13．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则A＝．解：因为，所以由正弦定理可得sin A sin B＝sin B，因为sin B≠0，所以sin A＝，又A为锐角，所以A＝．故答案为：．14．已知向量，满足，，，那么＝．解：∵向量，满足，，，∴（+）•＝+＝+16＝0，∴＝﹣16，∴＝＝＝＝，故答案为：．15．设函数f（x）＝sinπx，g（x）＝x2﹣x+1，有以下四个结论．①函数y＝f（x）+g（x）是周期函数；②函数y＝f（x）﹣g（x）的图像是轴对称图形；③函数y＝f（x）•g（x）的图像关于坐标原点对称；④函数存在最大值．其中，所有正确结论的序号是②④．解：对于①：因为函数f（x）＝sinπx是周期函数，但是g（x）＝x2﹣x+1不是周期函数，所以y＝f（x）+g（x）不是周期函数，故①不正确；对于②：因为函数f（x）＝sinπx对称轴为x＝+k，k∈Z，所以x＝是f（x）的一条对称轴，因为g（x）＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+，对称轴为x＝，所以y＝f（x）﹣g（x）的对称轴为x＝，故②正确；对于③：因为函数f（x）＝sinπx是关于原点对称，但是g（x）＝x2﹣x+1不关于原点对称，所以y＝f（x）•g（x）不是关于原点对称，故③不正确；对于④：y＝＝，f（x）＝sinπx，当x＝时，f（x）max＝1，因为g（x）＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+，则g（x）min＝g（）＝，所以y＝有最大值为，故④正确．故答案为：②④．三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．已知．（Ⅰ）求tanθ的值；（Ⅱ）求sin2θ的值．解：（Ⅰ）∵＝，∴tanθ＝2．（Ⅱ）sin2θ＝＝＝＝．17．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，且AB＝AD＝2，AA1＝1．（Ⅰ）求三棱锥B1﹣ABD的体积；（Ⅱ）求证：BC∥平面ADD1A1；（Ⅲ）求证：AC⊥B1D．【解答】（Ⅰ）．（Ⅱ）证明：因为AD∥BC，BC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以BC∥平面ADD1A1．（Ⅲ）证明：因为BB1⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，所以BB1⊥AC．又因为AC⊥BD，BB1∩BD＝B，所以AC⊥平面BB1D．又因为B1D⊂平面BB1D，所以AC⊥B1D．18．在△ABC中，AB＝4，AC＝3，．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求的值．解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理可知：cos C＝＝＝﹣，解得：BC＝2或BC＝﹣（舍），又∵cos C＝﹣，0＜C＜π，∴sin C＝，∴S△ABC＝×BC×AC×sin C＝×2×3×＝；（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得：＝，则sin B＝＝＝，∵BC＜AC＜AB，∴∠B为锐角，∴cos B＞0，∴cos B＝，∴•＝||•||•cos B＝4×3×＝．19．已知函数同时满足下列三个条件中的二个：①f（0）＝2；②最大值为2；③最小正周期为π．（Ⅰ）求出所有可能的函数f（x），并说明理由；（Ⅱ）从符合题意的函数中选择一个，求其单调增区间．解：（I）；若选①②，则，无解，f（x）不存在；若选①③，则，解得m＝1，ω＝2，；若选②③，则，解得m＝0，ω＝2，．（II）若，令，所以增区间为．若，其增区间与相同，为．20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，E为AA1的中点，O为BD1的中点．（Ⅰ）求证：平面A1BD1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：EO∥平面ABCD；（Ⅲ）设P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱上一点，给出满足条件OP＝的点P的个数，并说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵A1D1⊥平面ABB1A1，A1D1⊂平面A1BD1，∴平面A1BD1⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）证明：连接BD，AC，设BD∩AC＝G，连接0G．∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，∴AE∥DD1，且AE＝DD1，且G是BD的中点，又因为O是BD1的中点，∴OG∥DD1，且OG＝DD1，∴OG∥AE，且OG＝AE，即四边形AGOE是平行四边形，所以OE∥AG，又∵EO⊄平面ABCD，AG⊂平面ABCD，所以EO∥平面ABCD．（Ⅲ）解：满足条件OP＝的点P有12个．理由如下：因为ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，AA1＝2，所以AC＝2．所以OE＝AG＝AC＝．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，因为AA1⊥平面ABCD，AG⊂平面ABCD，所以AA1⊥AG，又因为EO∥AG，所以AA1⊥OE，则点O到棱AA1的距离为，所以在棱AA1上有且只有一个点（即中点E）到点O的距离等于，同理，正方体ABCD﹣A1B1C1D1每条棱的中点到点的距离都等于，所以在正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱上使得OP＝的点P有12个．21．设函数f（x）的定义域为R．若存在常数T，A（T＞0，A＞0），使得对于任意x∈R，f（x+T）＝Af（x）成立，则称函数f（x）具有性质P．（Ⅰ）判断函数y＝x和y＝cos x具有性质P？（结论不要求证明）（Ⅱ）若函数f（x）具有性质P，且其对应的T＝π，A＝2．已知当x∈（0，π]时，f（x）＝sin x，求函数f（x）在区间[﹣π，0]上的最大值；（Ⅲ）若函数g（x）具有性质P，且直线x＝m为其图像的一条对称轴，证明：g（x）为周期函数．解：（Ⅰ）函数y＝x不具有性质P；函数y＝cos x具有性质P．（Ⅱ）设x∈（﹣π，0]，则x+π∈（0，π]．由题意，得f（x+π）＝2f（x）＝sin（x+π），所以当f（x）＝﹣sin x，x∈（﹣π，0]由f（﹣π+π）＝2f（﹣π），f（0+π）＝2f（0），得f（﹣π）＝f（π）＝0．所以当x∈[﹣π，0]时，f（x）＝﹣sin x．故当x＝时，f（x）在区间[﹣π，0]上有最大值．（Ⅲ）证明：当g（x）＝0，x∈R时，结论显然成立；下面考虑g（x）不恒等于0的情况，即存在x0，使得g（x0）≠0，由于直线x＝m为函数g（x）图象的一条对称轴，所以g（2m﹣x0）＝g（x0）≠0，由题意，存在T0，A0，（T0＞0，A0＞0），使得g（x+T0）＝A0g（x0）成立，所以g（2m﹣x0）＝A0g（2m﹣x0﹣T0），即g（2m﹣x0﹣T0）＝g（x0），由直线x＝m是函数g（x）图像的一条对称轴，得g（2m﹣x0﹣T0）＝g（x0+T0），又因为g（x0+T0）＝A0g（x0），g（x0）≠0，所以g（x0）＝A0g（x0），即A0＝1，故对于任意x∈R，g（x+T0）＝g（x）成立，其中T0＞0．综上，g（x）为周期函数．。

北京市西城区2020-2021学年度第二学期期末试卷高一数学一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设向量()3,2a = ，()1,4b =-r ，则a b ⋅=（）A.11 B.9C.7D.5【答案】D 2.sin 330︒=A.12B.–12C.2D.–2【答案】B3.在复平面内，复数z 对应的点Z 如图所示，则复数z =（）A.2i +B.2i -C.12i +D.12i-【答案】B4.某圆锥的母线长为5cm ，底面半径长为3cm ，则该圆锥的体积为（）A.312cm πB.315cm πC.336cm π D.345cm π【答案】A5.函数()22cos 2sin 2f x x x =-的最小正周期是（）A.2π B.πC.2πD.4π【答案】A6.若sin 0.4α=，33,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则符合条件的角α有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C7.函数()()sin f x A x =+ωϕ(其中0A >，0>ω，0ϕπ<<)的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是（）A.()3sin 42f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.3()3sin 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.3()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C8.向量cos500)n 5(,si a ︒︒= 与()cos10,sin10b ︒︒= 的夹角为（）A.30°B.40︒C.60︒D.90︒【答案】B9.在ABC 中，内角A 和B 所对的边分别为a 和b ，则a b >是sin sin A B >的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C10.已知单位向量1e ，2e 满足1212e e ⋅=- ，若非零向量12a xe ye =+ ，其中x ，y R ∈，则x a 的最大值为（）A.43 B.23C.22D.233【答案】D二､填空题(每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上)11.设复数12i3iz +=-，则z =___________.【答案】2212.已知半径为r 的球的表面积为236cm π，那么半径为2r 的球的表面积为___________2cm .【答案】144π13.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若1sin 2a Bb =，则A =___________.【答案】6π14.已知向量a ，b满足5a = ，4b = ，()a b b +⊥ ，那么a b -= ___________.【答案】15.设函数()sin f x x π=，()21gx x x =-+，有以下四个结论.①函数()()y f x g x =+是周期函数：②函数()()y f x g x =-的图像是轴对称图形：③函数()() y f x g x =⋅的图像关于坐标原点对称：④函数()()f x yg x =存在最大值其中，所有正确结论的序号是___________.【答案】②④三､解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知tan 34πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（1）求tan θ的值；（2）求sin 2θ的值.【答案】（1）2；（2）45.17.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面ABCD ，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AC BD ⊥，且2AB AD ==，11AA =.（1）求三棱锥1B ABD -的体积；（2）求证：//BC 平面11ADD A ；（3）求证：1AC B D ⊥.【答案】（1）23；（2）证明过程见解析；（3）证明过程见解析.18.在ABC 中，4AB =，3AC =，1cos 4C =-.（1）求ABC 的面积；（2）求BA BC ⋅的值.【答案】（1）3154；（2）112.19.已知函数()()3cos 0f x x x m ωωω=++>同时满足下列三个条件中的二个：①()02f =；②最大值为2；③最小正周期为π.（1）求出所有可能的函数()f x ，并说明理由；（2）从符合题意的函数中选择一个，求其单调增区间.【答案】（1）若选择①②，不存在这样的函数；若选择①③，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；若选择②③，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）(),Z 36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.20.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，E 为1AA 的中点，O 为1BD 的中点.（1）求证：平面11A BD ⊥平面11ABB A ；（2）求证：EO ⊥平面11BDD B ；（3）设P 为正方体1111ABCD A B C D -棱上一点，给出满足条件2OP =的点P 的个数.(结论不要求证明)【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析，（3）1221.设函数()f x 的定义域为R .若存在常数T ，()0,0A T A >>，使得对于任意x ∈R ，()()f x T Af x +=成立，则称函数()f x 具有性质P .（1）判断函数y x =和cos y x =具有性质P ？(结论不要求证明)（2）若函数()f x 具有性质P ，且其对应的T π=，2A =.已知当(]0,x π∈时，()sin f x x =，求函数()f x 在区间[],0π-上的最大值；（3）若函数()g x 具有性质P ，且直线x m =为其图像的一条对称轴，证明：()g x 为周期函数.【答案】（1）函数y x =不具有性质P ，cos y x =具有性质P ，（2）()f x 在[],0π-上有最大值122f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，（3）证明见解析。