稳态导热例题

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稳态导热例题

“稳态导热”例题例题1：某加热炉炉墙由厚460mm 的硅砖、厚230mm 的轻质粘土砖和厚5mm 的钢板组成，炉墙内表面温度为1600℃，外表面温度为80℃，三层材料的导系数分别为 1.85 W/(m ∙K)、0.45 W/(m ∙K)和40 W/(m ∙K)。

已知轻质粘土砖最高使用温度为1300℃，求该炉墙散热的热流密度？并确定轻质粘土砖是否安全？解： (1) 332211413141λδλδλδλδ++-=-=Φ=∑=w w i i iw w t t t t Aq 2W/m 200040/05.045.0/23.085.1/46.0801600=++-=(2) 1121λδw w t t q -=1300110285.146.0200016001112<=⨯-=-=⇒λδqt t w w ℃因此，轻质粘土砖是安全的。

例题2：某炉壁由厚度=1δ250mm 的耐火粘土制品层和厚度=2δ500mm 的红砖层组成。

内壁温度=w1t 1000℃，外壁温度=w3t 50℃。

已知耐火粘土制品的导热系数可表示为t000233.028.01+=λ，红砖的导热系数近似为7.02=λW/(m ∙K)。

试求稳定运行时，该炉壁单位面积上的散热损失和层间接触界面的温度。

解：由于接触界面温度w2t 未知，因此无法计算耐火粘土制品层的平均温度，进而无法求得该层的导热系数。

现用工程计算中广泛应用的试算法求解。

假设接触界面温度600w2=t ℃，则耐火粘土制品层的导热系数为)K W/(m 466.0 ]2/)6001000[(000233.028.0 ]2/)[(000233.028.0000233.028.0w2w11∙=+⨯+=++=+=t t t λ两层炉壁单位面积的散热损失为2332211w3w1 W/m 760 7.010500466.010250501000=⨯+⨯-=+-=--λδλδt t q校核所假设接触界面的温度w2t ，得11w2w1/λδt t q '-=℃ 593 466.0102507601000311w1w2=⨯⨯-=-='-λδq t t593w2='t ℃与假设600w2=t℃相差不大，可认为上述计算有效，即炉壁单位面积上的散热损失=q 760 W/m 2；层间接触界面的温度=w2t 593℃。

工程热力学与传热学：9-2 稳态导热

由边界条件，求 C1，C2：
C2 tw1,
C1
tw1
tw2
因此，平壁内的温度分布：
t
t
w1
tw1
tw2
x
温度梯度：
dt tw1 tw2
dx
通过平壁的热流密度：
q dt tw1 tw2
dx
通过平壁的总热流量：
Q A dt A tw1 tw2
dx
t
A
λ
tw1
tw2 ф
0 x dx δ x
d (r dt ) 0
t
dr dr
B.C r r1 t tw1 r r2 t tw2
求解微分方程，得通解：
λ
tw1
tw2
t C1 ln r C2 由边界条件，求 C1，C2：
ф
r1
dr r
r
r2
C1
tw1 tw2 ln( r2 )
,
r1
C2
tw1
(tw1
tw2 )
ln r1 ln( r2 )
会分析图9-20
Ad
dx x0
hUA0th(mH )
2. 肋片效率
肋片效率：肋片的实际散热量ф与假设整个
肋片都具有肋基温度时的理想散热量ф0之比。
t
hUA0th(mH ) th(mH )
hUH0
mH
影响肋片效率的因素（图9-20，9-21，P207）。
例题
4. 如图不锈钢实心圆杆的直径为10mm，长0.2m。从 t0=120 ℃的基面上伸出，周围的空气保持 t∞=20 ℃杆表面与空气间的表面传热系数 h=25W /(m2.K)。求杆的远端温度和杆的散热量。并考虑这根杆能否近似当作“无限长”的杆对待。如果杆的材料换成铜材，上述情况会发生什么变化？

《冶金传输原理》5 稳态导热及导热微分方程

红硅耐藻火
砖土砖
T T3 T22 T21
T1
0
r
5. 稳态导热及导热微分方程
解：
q
1
T1 T3
2 3
（ 240
1000 60 50 115 ）103
1259w
1 2 3 1.04 0.15 0.63
T21
T1
q
1 1
70（ 0 ℃）
T22
T3
q
3 3
28（ 9 ℃）
因此，硅藻土层的平均温度为： T21 T22 49（ 9 ℃） 2
导热过程的单值性条件
初始条件
边界条件
T 0 f x, y, z I.
T 0 T0 II.
已知任何时刻边界面上的温度分布
已知任何时刻边界面上的热通量
T W TW
T n
W
qW
T n
W
0
III. 对流边界条件：
已知周围介质
温度和对流换
T n
W
T
W Tf
热系数
5. 稳态导热及导热微分方程
稳定温度场 t 0 非稳定温度场 t 0
– 如果温度仅是坐标的函数而与时间无关： – 则此温度场为稳定温度场，此时温度场的表达式
为： t = f（ x, y, z ）
– 即空间各点的温度将不随时间的变化而变化。仅是位置的函数。
– 发生在稳定温度场内的传热叫稳态传热， – 发生在非稳定温度场中的传热即为非稳态传热。
s
r
d T dT 0
dx dx
分析导热问题的一般方法－－通过解微分方程得到温度场，然后利用傅立叶定律确定导热速率。
5. 稳态导热及导热微分方程

02-3-稳态导热部分习题课

2013年7月9日
13
计算
5. 柱长9cm，周界为7.6cm，截面为1.95cm2，柱体的一端被冷却到305℃。815℃的高温燃气吹过该柱体，假设表面上各处的对流换热系数是均匀的，并为28 W/(m2•K)，柱体导热系数 λ=55W/(m•K)，肋端绝热。试：(1)计算该柱体中间截面上的平均温度及柱体中的最高温度。(2)冷却介质所带走的热量。（作业2）
t 2 A t 2 B t C RC
A
t t t t t x
8
⑵影响因素及工程措施
粗糙度减小粗糙度
B
挤压压力
材料硬度空隙介质
2013年7月9日
增大挤压压力一硬一软相接触热涂油 Nhomakorabea分析
2.热电偶测温套管的材料用铜好，还是用铁好？为什么？
⑴分析:从总体上讲，凡是使肋片表面平均温度越接近于肋基温度，则使肋片效率越大。 ⑵ η影响因素：λ、h、肋片的形状及尺寸大小。 λ铜=398 W/m.K； λ铁=52 W/m.K λ铜>λ铁，η铜 > η铁 ⑶结论：为减小测稳误差，需要沿直肋的导热强度越小，而对流换热强度越大。
2
t t 0, t t0 ; x 0, | x 0 q0 ; x L, | x L 0 x x
2013年7月9日
10
计算
2.一具有内热源qv，外径为r0的实心长圆柱，向周围温度为t∞的环境散热，表面传热系数为h，试列出圆柱体中稳态温度场的微分方程式和边界条件，并对qv =常数的情形进行求解以确定实心长圆柱的温度场。（作业1）
铁材料比铜材料好。
2013年7月9日
9
计算
1.一个质量为M、具有常物性(导热系数λ，比热c，密度ρ)、无内热源的长方体，该物体开始处于均匀温度t0，然后将一电加热器突然通电，在表面x＝０处提供均匀热流密度q0，而在x＝L处和其他边界都完全绝热。试写出该导热现象完整的数学描述。

传热学-稳态导热例题

《传热学》
稳态导热
【计算题】考察冰箱壁，其为多层结构，是在厚度均为1mm的两块金属板（导热系数为15.1 W/(m· ℃)）之间夹一玻璃纤维保温板（导热系数为0.035 W/(m· ℃)）构成。冰箱内、外表面的对流换热系数分别为4 W/(m2· ℃) 和
9 W/(m2· ℃)。冰箱内温度为3℃ ，厨房温度为25℃ 。当
①写出微分方程和边界条件
②温度分布 ③最大温度tmax
【解】控制方程: 边界条件:
d 2t Φ 0 2 dx λ
dt x 0, q 0; dx dt x L, h (t L t f ) dx
第一次积分:
dt Φ x c1 dx λ dt x 0, q 0; c1 =0 dx
专题二稳态热传导
【解】
Φo
t h to r3 1 1 1 n 2ol r2 ho 2 lro 2 50
300 250 2922.7W / m 190 1 n 170 50 2 0.19
Φi
t h ti 300 50 34691.6W / m r2 1 170 1 1 1 n n 2il r1 hi 2 lri 2 150 150 150 2 0.15
2 Φ 1 2 t t1 x 21 2
燃料层温度分布：
燃料层最高温度：
1 2 t0 t1 196.8 ℃ 21
2
【计算题】一长为L的长圆柱内热源为，常物性，导热系数为λ，左端面和侧面都绝热，右端与流体接触，温度为tf，表面传热系数为 h，求
【解】双层玻璃
25 ( 10) q 17.11W / m 2 1 0.003 0.005 0.003 1 1 1 2 1 h1 1 2 h1 15 1.05 0.0026 1.05 20 qA 17.11 1.1 1.2 22.6W tf 2 tf1

传热学2-稳态导热

tw1 tw2 1 d ln 2 2 l d1
虽然是稳态情况，但热流密度 q 与半径 r 成反比！
热阻为：
t ln(d 2 / d1 ) R Φ 2l
t w1 t w 2 ql d2 1 l ln 2 d1
21
长度为 l 的圆筒壁的导热热阻
t w1 t w 2 d2 1 ln 2 l d1
采用圆柱坐标系，这是沿半径方向的一维导热，稳态导热微分方程为：
d dt r 0 dr dr
积分得：通解为：
dt r c1 dr
dt c1 dr r
19
t c1 ln r c2
第一类边界条件
边界条件为： r r1 r r2 代入通解：
t tw1
如果采用单层玻璃窗，则散热损失为
10 Φ' 3333 .3W 0.003
是双层玻璃窗散热损失的 35 倍，可见采用双层玻璃窗可以大大减少散热损失，节约能源。
例题2-1 P 29
4)第三类边界条件已知平壁的壁厚为，无内热源，导热系数为常数传热过程：一侧的热流体通过固体壁面把热量传给另一侧冷流体的过程。 1、热流体传给壁面的热流密度：

k为传热系数
1 1 h1 A A h2 A
tf1 tf 2
•
平壁的表面积为A，热流量为:

例题2-2 P31
1 1 h1 A A h2 A
tf1 tf 2
第二节复合平壁的稳定导热
工程上经常碰到沿宽度或厚度方向的材料不同构成
平壁，这种平壁为复合平壁，如空心墙、夹心板等。导热系数相差不大时，仍近似作一维处理：
总热阻为：

传热学-稳态导热例题29页PPT

1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有久久不会退去的余香。
传热学-稳态导热例题 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮回里有你。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子

第2章稳态热传导(与杨世铭陶文栓第四版传热学配套答案)

第2章稳态热传导课堂讲解【2-5】对于无限大平板内的一维导热问题，试说明在三类边界条件中，两侧边界条件的哪些组合可以使平板中的温度场获得确定的解？【解】两侧面的第一类边界条件；一侧面的第一类边界条件和第二类边界条件；一侧面的第一类边界条件和另一侧面的第三类边界条件；一侧面的第一类边界条件和另一侧面的第三类边界条件。

【2-12】在某一产品的制造过程中，厚为1.0mm 的基板上紧贴了一层透明的薄膜，其厚度为0.2mm 。

薄膜表面上有一股冷却气流流过，其温度为20℃，对流换热表面传热系数为40 W/(m 2•K)。

同时，有一股辐射能透过薄膜投射到薄膜与基板的结合面上，如附图所示。

基板的另一面维持在温度t 1=30℃。

生成工艺要求薄膜与基板结合面的温度t 0应为60℃，试确定辐射热流密度q 应为多大？薄膜的导热系数λf =0.02W /(m∙K)，基板的导热系数λf =0.06W /(m∙K)。

投射到结合面上的辐射热流全部为结合面所吸收。

薄膜对60℃的热辐射是不透明的。

【解】由薄膜与基板结合面向基板另一面的稳态导热的热流密度为：()211m W 0081001.0306006.0Δ=-⨯==t q δλ 由于薄膜对60℃的热辐射是不透明的，则从薄膜与基板的结合面通过薄膜向冷却气流传热，无辐射换热23222m W 1142.8640102.0102.020601Δ=+⨯-=+=-h t q λδ辐射热流密度q 应为221m W 2942.8686.11421800=+=+=q q q课后作业【2-4】一烘箱的炉门由两种保温材料A 及B 组成，且δA =2δB （见附图）。

已知λA =0.1W /(m∙K)，λB =0.06W /(m∙K)，烘箱内空气温度t f1=400℃，内壁面的总表面传热系数h 1=50W/(m 2•K)。

为安全起见，希望烘箱炉门的外表面温度不得高于50℃。

设可把炉门导热作为一维问题处理，试决定所需保温材料的厚度。

传热学第2章稳态传导重点习题

Z 2l t1 t 2 lnd1 d 2 / 1 lnd 3 d 2 / 2
代入数据得到
Z 168.25W
由附录知粉煤灰泡沫砖材料最高允许温度为 300℃ 由此设在 300℃时
2l t1 t 2 1 72.33W ln d1 d 2 / 1 2l t1 t 2 2 358.29W ln d 3 d 2 / 2
因为 1 2 z
所以不会超过允许温度。当增加煤灰泡沫砖的厚度会使热损失增加，从而边界面处温度下降。
3 2-16 一根直径为 3mm 的铜导线，每米长的电阻为 2.22 10 。导线
外包有厚为 1mm 导热系数为 0.15 W /( m.K ) 的绝缘层。限定绝缘层的最高温度为 65℃，最低温度为 0℃。试确定在这种条件下导线中允许通过的最大电流。
由附录 7 查得导热系数为 0.033 0.0023t 0.08475W /(m.K )
ln d 1 2 t1 t 2 d2 l
代入数据得到 d 2 ＝0.314mm 所以

d 2 d1 107mm 2
2-15 外径为 50mm 的蒸气管道外，包覆有厚为 40mm 平均导热系数为 0.11 W /( m.K ) 的煤灰泡沫砖。绝热层外表面温度为 50℃，试检查矿棉渣与煤灰泡沫砖交界面处的温度是否超过允许值？又。增加煤灰泡沫砖的厚度对热损失及交界面处的温度有什么影响？蒸气管道的表面温度取为 400℃。解：由题意多层蒸气管总热流量
第 2 章稳态传导重点习题
平板
2-2 一冷藏室的墙由钢皮矿渣棉及石棉板三层叠合构成，各层的厚度依次为 0.794mm.,152mm 及 9.5mm ，导热系数分别为 45 W /( m.K ) ,0. 2 07 W /( m.K ) 及 0.1 W /( m.K ) 。冷藏室的有效换热面积为 37.2 m ，室内外气温分别为 -2 ℃及 30 ℃，室内外壁面的表面传热系数可分别按 1.5 W /(m .K ) 及 2.5 W /(m .K ) 计算。为维持冷藏室温度恒定，试确定冷藏室内的冷却排管每小时需带走的热量。解：由题意得

导热部分习题讲解

解：对于节点2 ：
λδ（t1-t2）/Δx+ λδ（t3-t2）/Δx+ h2 Δx （tf-t2）=0 对于节点3：
λδ（t2-t3）/Δx+ λδ（t4-t3）/Δx+ h2 Δx （tf-t3）=0 对于节点4：
1 2 34 Δx
λδ（t3-t4）/Δx+h2 Δx （tf-t4）=0
Θ0＝100-20＝80℃，m=14.14 H=0.045
t2 ＝92.19℃ t3 ＝86.16℃
t4＝86.15℃
解：(1)由傅立叶定律：

q Φ dt
A dx
所以墙壁两侧的热流密度：

W m2

(4000
x)

4000
x

qx0 4000 0 0

h(Ta-Te)=σ（Te4-Tsky4）
由于Ta>0℃，而Tsky<0℃，因此，地球表面温度Te有可能低于0℃，即有可能结冰。
例二：如图所示的双层平壁中，导热系数λ1，λ2为定值，假定过程为稳态，试分析图中三条温度分布曲线所对应的λ1和 λ2相对大小。
解：由于过程是稳态的，因此在三种情况下，

1 ln d2
65 40 33.98(W / m) 1 ln 2
，
2 d1
2 0.15 1

I 2 R 33.98 I 33.98 33.98 123 .7( A)

R
2.22 10 3
，
如图所示的几何形状，假定图中阴影部分所示的导热体没
有内热源，物性为常数，且过程处于稳态。中心圆管内部表面温度保持t1不变，而正方形外边界处于绝热。有人分别用不锈钢和铜作为该导热体的材料并进行实验测定。实验前他预测两种不同材料的导热体中的温度分布不一样。你认为对吗?

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例题2：某炉壁由厚度=1δ250mm 的耐火粘土制品层和厚度=2δ500mm 的红砖层组成。

内壁温度=w1t 1000℃，外壁温度=w3t 50℃。

已知耐火粘土制品的导热系数可表示为t000233.028.01+=λ，红砖的导热系数近似为7.02=λW/(m ∙K)。

试求稳定运行时，该炉壁单位面积上的散热损失和层间接触界面的温度。

解：由于接触界面温度w2t 未知，因此无法计算耐火粘土制品层的平均温度，进而无法求得该层的导热系数。

现用工程计算中广泛应用的试算法求解。

例题3：某过热器出口处管道内壁面温度为550℃，外壁面温度为557℃，管壁外径为42mm ，壁厚为5mm ，该壁面导热系数为23 W/(m ∙K)，求每米长管道所传递的热量？如果管内结水垢为1mm ，其导热系数为 1.16 W/(m ∙K)，若水垢内表面温度仍为550℃，单位管长的热流量还想保持不变，求此时管道的外壁面温度？并据此结果说明其危害性。

解：(1)结垢前： W/m 3718524242ln 2314.321550557ln2112121=⨯-⨯⨯-=-=Φ=d d t t Lq w w lπλ(2)结垢后：23212121ln 21ln 21d d d d t t q w wlπλπλ+-'=)ln 21ln21(23212121d d d d q t t l w wπλπλ++='⇒即590)1252425242ln 16.114.321524242ln 2314.321(3718550 1=⨯-⨯-⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯+='wt ℃由计算可知，管内壁结垢后其温度在为升高，长期如此，易使管壁过热而爆管，影响安全运行。

例题4：一主蒸气管道，蒸气温度为540℃，管子外直径为273mm ，管外包裹厚度为δ的水泥蛭石保温层，外侧再包裹厚度为15mm 的保护层。

按规定，保护层外侧温度为48℃，管道单位长度的散热损失不超过442W 。

已知水泥蛭石保温层和保护层的导热系数分别为0.15 W/(m ∙K)和0.192 W/(m ∙K)，试求水泥蛭石保温层的最小厚度minδ。

解:该蒸气管道单位长度的散热损失可表示为0.1923.142)]2273/()1522273ln[(105.014.32]273/)2273ln[(48405 2)ln(2)ln(2)ln(2)ln(223112w3w1223112w3w1L ⨯⨯+⨯+++⨯⨯+-=+-=+-=δδδπλπλπλπλ/d d /d d t t /r r /r r t t q采用试算法求水泥蛭石保温层的最小厚度δ。

假设m m 150=δ，代入上式得 W/m 442 W/m 421L<=q再假设m m 140=δ，代入上式得W/m5.441L =q这与规定的442W/m 相近似，因此取水泥蛭石保温层的最小厚度mm 140min=δ。

例题5：一蒸气管道外敷设两层保温材料，其厚度δ相等，第二层的平均直径是第一层平均直径的2倍，而第二层的导热系数是第一层的1/2。

若把两层保温材料互换位置，其他条件不变，试问每米管长的散热损失改变多少？解：利用多层长圆管壁热流量的简化计算式可得L d r L d r t t A r A r t t Φ222111w3w1m222m111w3w1A '∆+'∆-='∆+'∆-=πλπλλλ L d r L d r t t A r A r t t Φ212121w3w1m222m121w3w1B '∆+'∆-='∆+'∆-=πλπλλλ因此比较上面两式可得12212121BA 1d d d d ΦΦ''+''+=λλλλ根据题意，有122d d '='及2/12λλ=，代入上式得25.1)2/1(212/12B A =⨯++=ΦΦ因此，导热系数小的保温材料安置在内层有利于提高保温效果。

例题 6. 一具有内热源的无限大平壁，导热系数为50K)W/(m ∙，厚度为50mm 。

稳态下，该大平壁内一维温度场的表达式为2bx a t +=，其中系数200=a ℃，2000-=b ℃/m 2，x 的单位为m 。

试求：(1) 该平壁内热源的热量? (2) 大平壁的热流密度与内热源的关系。

例题7. 储存60-℃低温液体的球形罐直径为2m ，其外包覆有厚0.4m 、导热系数为0.04K)W/(m ∙的软木保温层，环境温度为30℃。

低温液体与内壁金属壳体间换热的表面传热系数为850)K W/(m 2⋅，球形罐外表面与环境换热的表面传热系数为15)K W/(m 2⋅。

由于软木保温层的密封性不好，环境中的水蒸气渗入软木层，并且在某位置处结冰。

假设软木保温层的导热系数不受水蒸气及所形成的冰层的影响，且该球形罐壳体的厚度及其热阻均可不计，试确定软木层中冰层(达到0℃)的位置？解：(1)已知条件：m r 11=，m r 4.14.012=+=，90)60(3012=--=-=∆f f t t t ℃，04.0=λW/(m ﹒K)，8501=h W/(m 2﹒K)，152=h W/(m 2﹒K)。

该球形罐的传热过程热阻式为：W157.6 154.114.341850114.34104.014.344.1/11/19041414/1/12222212121=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯-=++-∆=Φh r h r r r tπππλ(2)根据串联热路特点，求球形罐内、外壁面温度：内壁面温度1t ： 985.59 )60(850114.346.1574 4121121112111-=-+⨯⨯⨯=+Φ=⇒-=Φf f t h r t h r t t ππ℃ 外壁面温度2t ：573.29154.114.346.157304 4122222222222=⨯⨯⨯-=Φ-=⇒-=Φh r t t h r t t f f ππ℃ (3)根据球壳一维稳态温度场表达式，求保温材料中冰层，即0℃所在位置：⇒--=--212212/1/1/1/1r r r r t t t t 2212121)11(1r r r t t t t r +---= 8086.04.11)4.111 1 (573.29985.59573.290=+----=237.1=⇒r m因此，从外层算起，冰层位置163.0237.14.12=-=-=r r δm例题8. 一厚度为7cm 的大平壁，一侧绝热，另一侧暴露于温度为30℃的流体中，其内热源热量为5103⨯W/m 3。

已知该平壁材料的导热系数为18K)W/(m ∙，平壁与流体间的对流表面传热系数为450)K W/(m 2⋅，试确定该平壁中的最高温度位置及其温度值？解：(1) 该题为具有内热源的一维平壁稳态导热问题，导热微分方程式为：022=Φ+λ dxt d 边界条件为：0=x ，0=dxdt； δ=x ，∞+Φ==t t t w λ2 （根据热平衡求得：δΦ=-∞ )(t t h w ) 解方程，并代入边界条件得温度场为：∞+Φ+-Φ=t hx t δδλ )(222 (2) 该平壁中最高温度在0=x 处(即0=dxdt)： 117.5 30450)107()103()107(182103225252=+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+Φ+Φ=--∞t h t δδλ ℃。

稳态导热例题

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