稳态导热例题

“稳态导热”例题例题1：某加热炉炉墙由厚460mm 的硅砖、厚230mm 的轻质粘土砖和厚5mm 的钢板组成，炉墙内表面温度为1600℃，外表面温度为80℃，三层材料的导系数分别为 1.85 W/(m ∙K)、0.45 W/(m ∙K)和40 W/(m ∙K)。

已知轻质粘土砖最高使用温度为1300℃，求该炉墙散热的热流密度？并确定轻质粘土砖是否安全？解： (1) 332211413141λδλδλδλδ++-=-=Φ=∑=w w i i iw w t t t t Aq 2W/m 200040/05.045.0/23.085.1/46.0801600=++-=(2) 1121λδw w t t q -=1300110285.146.0200016001112<=⨯-=-=⇒λδqt t w w ℃因此，轻质粘土砖是安全的。

例题2：某炉壁由厚度=1δ250mm 的耐火粘土制品层和厚度=2δ500mm 的红砖层组成。

内壁温度=w1t 1000℃，外壁温度=w3t 50℃。

已知耐火粘土制品的导热系数可表示为t000233.028.01+=λ，红砖的导热系数近似为7.02=λW/(m ∙K)。

试求稳定运行时，该炉壁单位面积上的散热损失和层间接触界面的温度。

解：由于接触界面温度w2t 未知，因此无法计算耐火粘土制品层的平均温度，进而无法求得该层的导热系数。

现用工程计算中广泛应用的试算法求解。

假设接触界面温度600w2=t ℃，则耐火粘土制品层的导热系数为)K W/(m 466.0 ]2/)6001000[(000233.028.0 ]2/)[(000233.028.0000233.028.0w2w11∙=+⨯+=++=+=t t t λ两层炉壁单位面积的散热损失为2332211w3w1 W/m 760 7.010500466.010250501000=⨯+⨯-=+-=--λδλδt t q校核所假设接触界面的温度w2t ，得11w2w1/λδt t q '-=℃ 593 466.0102507601000311w1w2=⨯⨯-=-='-λδq t t593w2='t ℃与假设600w2=t℃相差不大，可认为上述计算有效，即炉壁单位面积上的散热损失=q 760 W/m 2；层间接触界面的温度=w2t 593℃。

由边界条件，求 C1，C2：
C2 tw1,
C1
tw1
tw2
因此，平壁内的温度分布：
t
t
w1
tw1
tw2
x
温度梯度：
dt tw1 tw2
dx
通过平壁的热流密度：
q dt tw1 tw2
dx
通过平壁的总热流量：
Q A dt A tw1 tw2
dx
t
A
λ
tw1
tw2 ф
0 x dx δ x
d (r dt ) 0
t
dr dr
B.C r r1 t tw1 r r2 t tw2
求解微分方程，得通解：
λ
tw1
tw2
t C1 ln r C2 由边界条件，求 C1，C2：
ф
r1
dr r
r
r2
C1
tw1 tw2 ln( r2 )
,
r1
C2
tw1
(tw1
tw2 )
ln r1 ln( r2 )
会分析图9-20
Ad
dx x0
hUA0th(mH )
2. 肋片效率
肋片效率：肋片的实际散热量ф与假设整个
肋片都具有肋基温度时的理想散热量ф0之比。
t
hUA0th(mH ) th(mH )
hUH0
mH
影响肋片效率的因素（图9-20，9-21，P207）。
例题
4. 如图不锈钢实心圆杆的直径为10mm，长0.2m。 从 t0=120 ℃的基面上伸出，周围的空气保持 t∞=20 ℃杆表面与空气间的表面传热系数 h=25W /(m2.K)。求杆的远端温度和杆的散热量。 并考虑这根杆能否近似当作“无限长”的杆对待。 如果杆的材料换成铜材，上述情况会发生什么 变化？

红 硅耐 藻火
砖 土砖
T T3 T22 T21
T1
0
r
5. 稳态导热及导热微分方程
解：
q
1
T1 T3
2 3
（ 240
1000 60 50 115 ）103
1259w
1 2 3 1.04 0.15 0.63
T21
T1
q
1 1
70（ 0 ℃）
T22
T3
q
3 3
28（ 9 ℃）
因此，硅藻土层的平均温度为： T21 T22 49（ 9 ℃） 2
导热过程的单值性条件
初始条件
边界条件
T 0 f x, y, z I.
T 0 T0 II.
已知任何时刻边 界面上的温度分 布
已知任何时刻边 界面上的热通量
T W TW
T n
W
qW
T n
W
0
III. 对流边界条件：
已知周围介质
温度和对流换
T n
W
T
W Tf
热系数
5. 稳态导热及导热微分方程
稳定温度场 t 0 非稳定温度场 t 0
– 如果温度仅是坐标的函数而与时间无关： – 则此温度场为稳定温度场，此时温度场的表达式
为： t = f（ x, y, z ）
– 即空间各点的温度将不随时间的变化而变化。仅 是位置的函数。
– 发生在稳定温度场内的传热叫稳态传热， – 发生在非稳定温度场中的传热即为非稳态传热。
s
r
d T dT 0
dx dx
分析导热问题的一般方 法－－通过解微分方程 得到温度场，然后利用 傅立叶定律确定导热速 率。
5. 稳态导热及导热微分方程

2013年7月9日
13
计算
5. 柱长9cm，周界为7.6cm，截面为1.95cm2， 柱体的一端被冷却到305℃。815℃的高温燃气 吹过该柱体，假设表面上各处的对流换热系数 是均匀的，并为28 W/(m2•K)，柱体导热系数 λ=55W/(m•K)，肋端绝热。 试 ：(1)计算该柱体中间截面 上的平均温度及柱体中的最 高温度。(2)冷却介质所带走 的热量。 （作业2）
t 2 A t 2 B t C RC
A
t t t t t x
8
⑵影响因素及工程措施
粗糙度 减小粗糙度
B
挤压压力
材料硬度 空隙介质
2013年7月9日
增大挤压压力一硬一软相接触 热涂油 Nhomakorabea分析
2.热电偶测温套管的材料用铜好，还是用铁 好？为什么？
⑴分析:从总体上讲，凡是使肋片表面平均温度越 接近于肋基温度，则使肋片效率越大。 ⑵ η影响因素：λ、h、肋片的形状及尺寸大小。 λ铜=398 W/m.K； λ铁=52 W/m.K λ铜>λ铁，η铜 > η铁 ⑶结论：为减小测稳误差，需要沿直肋的导热强 度越小，而对流换热强度越大。
2
t t 0, t t0 ; x 0, | x 0 q0 ; x L, | x L 0 x x
2013年7月9日
10
计算
2.一具有内热源qv，外径为r0的实心长圆柱， 向周围温度为t∞的环境散热，表面传热系数 为h，试列出圆柱体中稳态温度场的微分方 程式和边界条件，并对qv =常数的情形进行 求解以确定实心长圆柱的温度场。 （作业1）
铁材料比铜材料好。
2013年7月9日
9
计算
1.一个质量为M、具有常物性(导热系数λ， 比热c，密度ρ)、无内热源的长方体，该物 体开始处于均匀温度t0，然后将一电加热器 突然通电，在表面x＝０处提供均匀热流密 度q0，而在x＝L处和其他边界都完全绝热。 试写出该导热现象完整的数学描述。

《传热学》
稳态导热
【计算题】考察冰箱壁，其为多层结构，是在厚度均 为1mm的两块金属板（导热系数为15.1 W/(m· ℃)）之间 夹一玻璃纤维保温板（导热系数为0.035 W/(m· ℃)）构成 。冰箱内、外表面的对流换热系数分别为4 W/(m2· ℃) 和
9 W/(m2· ℃)。冰箱内温度为3℃ ，厨房温度为25℃ 。当
①写出微分方程和边界条件
②温度分布 ③最大温度tmax
【解】 控制方程: 边界条件:
d 2t Φ 0 2 dx λ
dt x 0, q 0; dx dt x L, h (t L t f ) dx
第一次积分:
dt Φ x c1 dx λ dt x 0, q 0; c1 =0 dx
专题二 稳态热传导
【解】
Φo
t h to r3 1 1 1 n 2ol r2 ho 2 lro 2 50
300 250 2922.7W / m 190 1 n 170 50 2 0.19
Φi
t h ti 300 50 34691.6W / m r2 1 170 1 1 1 n n 2il r1 hi 2 lri 2 150 150 150 2 0.15
2 Φ 1 2 t t1 x 21 2
燃料层温度分布：
燃料层最高温度：
1 2 t0 t1 196.8 ℃ 21
2
【计算题】一长为L的长圆柱内热源为 ，常物性，导 热系数为λ，左端面和侧面都绝热，右端与流体接触，温 度为tf，表面传热系数为 h，求
【解】 双层玻璃
25 ( 10) q 17.11W / m 2 1 0.003 0.005 0.003 1 1 1 2 1 h1 1 2 h1 15 1.05 0.0026 1.05 20 qA 17.11 1.1 1.2 22.6W tf 2 tf1

tw1 tw2 1 d ln 2 2 l d1
虽然是稳态情况，但热流密度 q 与半径 r 成反比！
热阻为：
t ln(d 2 / d1 ) R Φ 2l
t w1 t w 2 ql d2 1 l ln 2 d1
21
长度为 l 的圆筒壁的导热热阻
t w1 t w 2 d2 1 ln 2 l d1
采用圆柱坐标系，这是沿半径方向 的一维导热，稳态导热微分方程为：
d dt r 0 dr dr
积分得： 通解为：
dt r c1 dr
dt c1 dr r
19
t c1 ln r c2
第一类边界条件
边界条件为： r r1 r r2 代入通解：
t tw1
如果采用单层玻璃窗，则散热损失为
10 Φ' 3333 .3W 0.003
是双层玻璃窗散热损失的 35 倍，可见采用双层玻璃 窗可以大大减少散热损失，节约能源。
例题2-1 P 29
4)第三类边界条件 已知平壁的壁厚为，无内热源，导热系数为常数 传热过程：一侧的热流体通过固体壁面把热量传给 另一侧冷流体的过程。 1、热流体传给壁面的热流密度：



k为传热系数
1 1 h1 A A h2 A
tf1 tf 2
•
平壁的表面积为A，热流量为:

例题2-2 P31
1 1 h1 A A h2 A
tf1 tf 2
第二节 复合平壁的稳定导热
工程上经常碰到沿宽度或厚度方向的材料不同构成
平壁，这种平壁为复合平壁，如空心墙、夹心板等。 导热系数相差不大时，仍近似作一维处理：
总热阻为：

1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
传热学-稳态导热 例题 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子

第2章 稳态热传导课堂讲解【2-5】对于无限大平板内的一维导热问题，试说明在三类边界条件中，两侧边界条件的哪些组合可以使平板中的温度场获得确定的解？【解】两侧面的第一类边界条件；一侧面的第一类边界条件和第二类边界条件；一侧面的第一类边界条件和另一侧面的第三类边界条件；一侧面的第一类边界条件和另一侧面的第三类边界条件。

【2-12】在某一产品的制造过程中，厚为1.0mm 的基板上紧贴了一层透明的薄膜，其厚度为0.2mm 。

薄膜表面上有一股冷却气流流过，其温度为20℃，对流换热表面传热系数为40 W/(m 2•K)。

同时，有一股辐射能透过薄膜投射到薄膜与基板的结合面上，如附图所示。

基板的另一面维持在温度t 1=30℃。

生成工艺要求薄膜与基板结合面的温度t 0应为60℃，试确定辐射热流密度q 应为多大？薄膜的导热系数λf =0.02W /(m∙K)，基板的导热系数λf =0.06W /(m∙K)。

投射到结合面上的辐射热流全部为结合面所吸收。

薄膜对60℃的热辐射是不透明的。

【解】由薄膜与基板结合面向基板另一面的稳态导热的热流密度为：()211m W 0081001.0306006.0Δ=-⨯==t q δλ 由于薄膜对60℃的热辐射是不透明的，则从薄膜与基板的结合面通过薄膜向冷却气流传热，无辐射换热23222m W 1142.8640102.0102.020601Δ=+⨯-=+=-h t q λδ辐射热流密度q 应为221m W 2942.8686.11421800=+=+=q q q课后作业【2-4】一烘箱的炉门由两种保温材料A 及B 组成，且δA =2δB （见附图）。

已知λA =0.1W /(m∙K)，λB =0.06W /(m∙K)，烘箱内空气温度t f1=400℃，内壁面的总表面传热系数h 1=50W/(m 2•K)。

为安全起见，希望烘箱炉门的外表面温度不得高于50℃。

设可把炉门导热作为一维问题处理，试决定所需保温材料的厚度。

Z 2l t1 t 2 lnd1 d 2 / 1 lnd 3 d 2 / 2
代入数据得到
Z 168.25W
由附录知粉煤灰泡沫砖材料最高允许温度为 300℃ 由此设在 300℃时
2l t1 t 2 1 72.33W ln d1 d 2 / 1 2l t1 t 2 2 358.29W ln d 3 d 2 / 2
因为 1 2 z
所以不会超过允许温度。当增加煤灰泡沫砖的厚度会使热损失增加， 从而边界面处温度下降。
3 2-16 一根直径为 3mm 的铜导线，每米长的电阻为 2.22 10 。导线
外包有厚为 1mm 导热系数为 0.15 W /( m.K ) 的绝缘层。 限定绝缘层的最 高温度为 65℃，最低温度为 0℃。试确定在这种条件下导线中允许通 过的最大电流。
由附录 7 查得导热系数为 0.033 0.0023t 0.08475W /(m.K )
ln d 1 2 t1 t 2 d2 l
代入数据得到 d 2 ＝0.314mm 所以

d 2 d1 107mm 2
2-15 外径为 50mm 的蒸气管道外，包覆有厚为 40mm 平均导热系数 为 0.11 W /( m.K ) 的煤灰泡沫砖。绝热层外表面温度为 50℃，试检查矿 棉渣与煤灰泡沫砖交界面处的温度是否超过允许值？又。 增加煤灰泡 沫砖的厚度对热损失及交界面处的温度有什么影响？蒸气管道的表 面温度取为 400℃。 解：由题意多层蒸气管总热流量
第 2 章稳态传导重点习题
平板
2-2 一冷藏室的墙由钢皮矿渣棉及石棉板三层叠合构成，各层的厚度 依次为 0.794mm.,152mm 及 9.5mm ，导热系数分别为 45 W /( m.K ) ,0. 2 07 W /( m.K ) 及 0.1 W /( m.K ) 。冷藏室的有效换热面积为 37.2 m ，室内外 气温 分别为 -2 ℃及 30 ℃，室 内外壁面 的表面传 热系数可 分别按 1.5 W /(m .K ) 及 2.5 W /(m .K ) 计算。为维持冷藏室温度恒定，试确定冷 藏室内的冷却排管每小时需带走的热量。 解：由题意得

解：对于节点2 ：
λδ（t1-t2）/Δx+ λδ（t3-t2）/Δx+ h2 Δx （tf-t2）=0 对于节点3：
λδ（t2-t3）/Δx+ λδ（t4-t3）/Δx+ h2 Δx （tf-t3）=0 对于节点4：
1 2 34 Δx
λδ（t3-t4）/Δx+h2 Δx （tf-t4）=0
Θ0＝100-20＝80℃，m=14.14 H=0.045
t2 ＝92.19℃ t3 ＝86.16℃
t4＝86.15℃
解：(1)由傅立叶定律：

q Φ dt
A dx
所以墙壁两侧的热流密度：

W m2


(4000
x)

4000
x

qx0 4000 0 0

h(Ta-Te)=σ（Te4-Tsky4）
由于Ta>0℃，而Tsky<0℃，因此，地球表面温度Te有可能低 于0℃，即有可能结冰。
例二：如图所示的双层平壁中，导热系数λ1，λ2为定值，假 定过程为稳态，试分析图中三条温度分布曲线所对应的λ1和 λ2相对大小。
解：由于过程是稳态的，因此在三种情况下，

1 ln d2
65 40 33.98(W / m) 1 ln 2
，
2 d1
2 0.15 1

I 2 R 33.98 I 33.98 33.98 123 .7( A)

R
2.22 10 3
，
如图所示的几何形状，假定图中阴影部分所示的导热体没
有内热源，物性为常数，且过程处于稳态。中心圆管内部表 面温度保持t1不变，而正方形外边界处于绝热。有人分别用 不锈钢和铜作为该导热体的材料并进行实验测定。实验前他 预测两种不同材料的导热体中的温度分布不一样。你认为对 吗?

12. 图中所示为纯铝制作的圆锥形截面。其圆形截面
直径为D=ax1/2，其中a=0.5m1/2。小端位于
x1=25mm处，大端位于x2=125mm处，端部温度 分别为T1=600K和T2=400K，周侧面隔热良好。 （1）作一维假定，推导用符号形式
表示的温度分布T(x)的表示式，
画出温度分布的示意图。 （2）计算传热热流量Q。
习题课 一维稳态导热 — 肋片
14. 采用套管式热电偶温度计测量管道内的蒸汽温度，
套管长H=6cm，直径为1.5cm，壁厚为2mm，
导热系数为40W/(m.K)，温度计读数为240℃。
若套管根部温度为100℃，
V
蒸汽与套管壁的换热系数
为140W/(m2.K)。
如果仅考虑套管的导热，
t0
试求管道内蒸汽的真实温度。
习题课 一维稳态导热 — 圆筒壁
9. 蒸汽管道的外直径d1=30mm，准备包两层厚度都是 15mm的不同材料的热绝缘层。a种材料的导热系数 λa=0.04W/(m.K)，b种材料的导热系数 λb=0.1W/(m.K)。 若温差一定，试问从减少热损失的观点看下列两种方案： （1）a在里层，b在外层； （2）b在里层，a在外层；哪一种好，为什么？
习题课傅立叶定律和导热微分方程应用如图所示的墙壁其导热系数为50wmk厚度为50mm在稳态情况下墙壁内一维温度分布为t2002000x1墙壁两侧表面的热流密度
传热学
第 2 章 稳态热传导 习题课
习题课 傅立叶定律和导热微分方程应用
1. 如图所示的墙壁，其导热系数为50W/(m.K)，
厚度为50mm，在稳态情况下墙壁内一维温度
习题课 变导热系数和变截面稳态导热
10. 某炉壁由厚度为250mm的耐火粘土制品层和 厚500mm的红砖层组成。内壁温度为1000℃， 外壁温度为50℃。耐火粘土的导热系数为

稳态导习题1 固体内的一维导热问题例1 具有均匀内热源强度q v 的无限大平壁处于稳态导热，其厚度为2δ，导热系数λ为常数,两侧壁温各自均布，分别为 t w1和t w2，试求该平壁内的温度分布表达式。

解: 根据题意，x 坐标的原点取平壁的中心线，描述该平壁内稳态导热现象的微分方程式为:2v2d 0d q t x λ+= (1） 边界条件： x= -δ： t=t w1x= δ： t=t w2 (2）移项后积分该微分方程式两次可得其通解v 1d d q tx C x λ=-+ 2v 122qt x C x C λ=-++ （3)代入边界条件2vw112()()2q t C C δδλ=--+-+ (4） 2v w2122qt C C δδλ=-++ （5）式（4）+式（5）2w1w2v 22δλ+=+t t q C （6) 式（4）－式(5）w2w112t t C δ-=（7）C 1和C 2代入微分方程式的通解式（3）后得到壁内的温度表达式22v w2w1w2w1(2)222δλδ-+=-++q t t t tt x x （8）例2具有均匀内热源q v 的无限大平壁处于稳态导热,其厚度为2δ，导热系数λ为常数，两侧壁温各自均布且相同，均为t w ，试求该平壁内的温度分布表达式。

解： 根据题意,导热微分方程式同上题。

由于两侧壁温相同，是一种对称情况，因此只需求解一半的求解域即可,x 坐标的原点取平壁的中心线。

描述该平壁内稳态温度场的微分方程式为：2v2d 0d q t x λ+= （1） 边界条件：x=0:d 0d tx=x=δ: w = t t (2） 该微分方程式的通解为2v 122q t x C x C λ=-++ （3） 代入边界条件v100q C λ=-+ （4）2v w 122q t C C δδλ=-++ （5） 由式（4）10C = （6)常数C 1代入式（5）2v 2w 2q C t δλ=+（7)常数C 1和C 2代入微分方程式的通解式（3)后得到壁内的温度表达式22v w ()2q t x t δλ=-+ （8)例3一锥台如附图所示，顶面和底面温度各为均匀的t w1和t w2，侧面覆有保温材料。

保温材料的应用范围广泛，不 仅可以用于民用建筑，还可用 于工业和商业建筑等领域。
电子元件散热方案
随着电子技术的不断发展，电子元件的功率密度越来越高，散热问题越 来越突出。
电子元件的散热方案包括自然散热、强制风冷、液冷等，需要根据电子 元件的发热量、使用环境和可靠性要求等因素选择合适的散热方案。
良好的散热方案能够有效地降低电子元件的工作温度，提高其稳定性和 寿命。
稳态热传导通常发生在物体内部，当 热量传递速率与热量生成速率相平衡 时，物体内部温度分布达到稳定状态 。
稳态热传导的物理模型
01
稳态热传导的物理模型通常采用 一维导热模型，即温度随空间坐 标的变化而变化，忽略时间因素 对温度分布的影响。
02
在一维导热模型中，温度分布可 以用一维偏微分方程来描述，该 方程基于傅里叶导热定律和能量 守恒原理。
02
解析
首先，我们需要计算平壁的传热量，然后根据传热量和平壁的热导率计
算平壁的温度变化。由于平壁是稳态热传导，所以温度分布是线性的。
03
答案
平壁的另一面的温度升高了20℃。
习题二解析
题目
一圆筒壁，内径为1m，长度为2m，加热功率为50W，材料的热导率为0.02W/m·℃，求圆 筒壁的另一面的温度升高了多少？
常见问题解答
问题2
如何求解一维稳态热传导问题？
解答
一维稳态热传导问题可以通过分离变量法求解。首先将温度表示为x的函数，然后根据傅里叶定律和 边界条件建立方程，最后求解方程得到温度分布。在求解过程中，需要注意初始条件和边界条件的处 理。
下节课预告
重点内容
非稳态热传导的基本概念、扩散 方程的建立和求解、初始条件和 边界条件的处理。

0, t t1
x , t t2
温度分布:
t
t1
t1
t2
x
通过平壁的热流量和热流密度
Φ A dt A t1 t2
dx
q dt t1 t2
dx
Φ A t1 t2 t1 t2 / A
ΦI RURt
平壁导热热阻:
R A
2.多层平壁
Φ t R
Φ t1 t4 R1 R2 R3
圆筒壁的导热热阻
例题3 厂房内有一外径为140mm蒸汽管道，其外侧敷设有厚度为30mm的保温材料， 保温层内侧壁温为350 ℃，保温层外侧壁温为50℃，保温层材料的导热系数 为0.1 W/(m·K)，试计算该蒸汽管道单位长度上的导热量。
分析： 通过单层圆筒壁的稳态导热问题。
2lt1 t2 lnr2 / r1
练习
3.热电厂中有一水平放置的蒸汽管道，内径为98 mm，壁厚 5mm，钢管 材料的导热系数为 45W/(mK)，外包厚度为 70mm厚的保温层，保温材料 的导热系数为 0.05W/(mK)。管内蒸汽温度为 300℃，管内表面传热系数 为150 W/(m2K)，保温层外表面传热系数为8 W/(m2K)，周围空气的温度 为20 ℃。试计算单位长度蒸汽管道的散热损失 及管道保温层外壁面的温 度。
2
0.11 (350 50)
ln70 30/ 70
528.48W/m
练习
1. 一炉子的炉墙厚30cm，总面积120m2，平均导热系数1.2 W/(m·K)，内、 外壁温分别为800℃和50℃。试计算通过炉墙的热损失。
2. 有一根蒸汽管道，外径为150mm，在外敷设导热系数为0.12 W/(m·K) 的保温材料。若已知正常情况下，保温层内、外表面温度分别为250℃、 40℃。为使单位长度的热损失不大于160W/m，问保温层的厚度多少才能 满足要求？

2-36 q=1000W/m 2的热流沿x 方向穿过厚20mm 的平板(见附图)。

已知x=0mm 、10mm 、20mm 处的温度分别为100℃、60℃及40℃。

试据此确定材料导热系数表达式)1(0--+=t b λλ(-t 为平均温度)中的λ0及b 。

2-37 设某种材料的局部导热系数按λ=λ0(1+bt)的关系式变化，对于由该材料做成的一块厚δ的无内热源的平板，试:(1)导出利用两侧面温度t 1(x=0)、t 2(x=δ)，计算导热量的公式；(2)证明下列关系式成立:δλλλλx =--212221 其中λ1、λ2为相应于温度t 1、t 2的导热系数，λ为x 处的导热系数；(3)导出平板中温度沿x 方向变化的下列两个公式:bx b x t 1)(1)(2/12122210-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=λλδλλ bb qx t b x t 12)1()(021--+=λ 习题2-36附图2-38 一厚为δ的平壁，两侧面分别维持在恒定的温度t 1，t 2。

平壁的导热系数是温度的函数：)1()(20t t βλλ+=。

试对稳态导热给出热流密度的计算式。

一维有内热源的导热2-39 试建立具有内热源Φ(x)、变截面、变导热系数的一维稳态导热同题的温度场微分方程式(参考附图)。

习题2-39附图 变截面的一维导热问题2-40 试由导热微分方程式出发，导出通过有内热源的空心柱体的稳态导热热量计算式及壁中的温度分布。

Φ为常数。

2-41 确定附图所示铀棒的最大热功率。

已知：铀棒的最高温度不能高于1600C ，冷却水平均温度为110C ，表面传系数为120002W/(m K)∙，铀棒与包复它的锆锡合金层间的接触热阻为422.2210m K/W -⨯∙。

包复层的内外半径为 6.1mm 及6.5mm，铀棒和锆锡合金的导热系数分别为7.9W/(m K),14.2W/(m K)∙∙。

习题2-41附图2-42 一具有内热源Φ,外径为r 0的实心长圆柱体，向四周温度为t ∞的环境散热，表面传热系数为h 。

多维稳态导热问题例题
多维稳态导热问题是指在一个传热系统中，各点的温度随位置和时间而变化，但不受时间变化的影响。

这种传热过程称为多维稳态导热。

以下是一个例题:
假设有一个长度为 L 的直热管道，其中一端处于高温热源，另一端处于低温热源，热源温度为 T1，冷源温度为 T2。

管道内部温度均匀，不计摩擦等因素，求热管道中的温度分布。

根据热传导定律，可知热管道中某一点的导热速率为:
dT/dt = -k(T_e - T_i)
其中，dT/dt 表示某一时刻温度的变化率，k 为热导率，T_e 表示远离热源处的温度，T_i 表示靠近热源处的温度。

由于热管道中的温度均匀，因此可以将管道分为两个部分，一个是靠近热源的部分，另一个是远离热源的部分。

对于靠近热源的部分，由于热传导方向是从高温到低温，因此可以将导热速率式中的
-k(T_e - T_i) 简化为 k(T1 - T_i)。

对于远离热源的部分，可以将导热速率式中的 -k(T_e - T_i) 简化为 k(T2 - T_i)。

因此，可以将热管道中的温度分布求解如下:
T(x, t) = T1 + k(T2 - T1) * exp(-k*L*t)
其中，x 表示热管道的长度，t 表示时间。

上述公式描述的是热管道中的温度随时间的变化规律，当时间趋于无限大时，热管道中的温度将趋于稳定值 T1 + k(T2 - T1)。

这个稳定值即为多维稳态导热问题求解的结果。

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将导热系数大的包在外面：
qL
t1 t2 1 ln2 1
＝ 3t
ln 3 0.1426
23
2 23 2
两种情况散热量之比为：
qL 0.1426 1.19 qL 0.11969
结论：导热系数大的材料在外面，导热系数 小的材料放在里层对保温更有利。
x x y y z z
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1、通过平壁的导热
平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而当 平板两侧保持均匀边界条件时，热量只在厚度方向 传递，温度只在厚度方向变化，即一维稳态导热问 题。
a.通过单层平壁的稳态导热
（无内热源，λ为常数）
导热微分方程:
d 2t 0
dx2
t tw1 t(x)
工程上，为减少管道的散热损

失，常在管道外侧覆盖热绝缘
层或称隔热保温层。
ins
问题：覆盖热绝缘层是否在任
ql
何情况下都能减少热损失？保 温层是否越厚越好？
单位长度管道上的总热阻：
Rl

1
h1d1

1
21
ln
d2 d1

1
2 ins
ln
dx d2

1
h2d x
dx

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b.通过多层平壁的导热
例：房屋的墙壁由白灰内层 (1, 1) 、水泥沙浆层 (2, 2 ) 、 红砖主体层 (3, 3 ) 等组成，假设各层之间接触良好，近似地
认为接合面上温度相等。
q

t1 t2
1

t2 t3
2