山东省济宁市2015届高考数学专题复习 第10讲 古典概型练习1 新人教A版

︱
等可能性 － 每个基本事件出现的可能性_相__等___
2．古典概型的概率公式
A包含的基本事件的个数 P(A)＝_______基__本__事__件__的__总__数_______.
服/务/教/师 免/费/馈/赠
返回菜单 第四页，编辑于星期日：九点 五分。
数学·新课标(理科)山东专用
1．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )
服/务/教/师 免/费/馈/赠
返回菜单 第二十一页，编辑于星期日：九点 五分。
数学·新课标(理科)山东专用
考向二 [185] 古典概型与统计的综合应用
某高校在 2015 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100
名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．
组号
分组
频数 频率
第1组
[160,165)
数学·新课标(理科)山东专用
3．三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排 成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．
【解析】 三张卡片随机排成一行的基本事件有 BEE，EBE，
EEB，共 3 个，
故所求概率为 P＝13.
【答案】
1 3
服/务/教/师 免/费/馈/赠
返回菜单 第七页，编辑于星期日：九点 五分。
数学·新课标(理科)山东专用
(2)①从甲、乙两校报名的教师中各选 1 名，共有 n＝C13C13＝9 种选法．
记“2 名教师性别相同”为事件 A，则事件 A 包含基本事件 总数 m＝C12·1＋C12·1＝4，∴P(A)＝mn ＝49.
②从报名的 6 人中任选 2 名，有 n＝C26＝15 种选法． 记“选出的 2 名老师来自同一学校”为事件 B，则事件 B 包 含基本事件总数 m＝2C23＝6. ∴选出 2 名教师来自同一学校的概率 P(B)＝165＝25.

菜 单
隐 藏
高考总复习 A 数学（理）
抓主干 考 点 解 密
研考向 要 点 探 究 悟典题 能 力 提 升 提素能 高 效 训 练
反思总结 计算古典概型事件的概率可分三步 (1)算出基本事件的总个数n；(2)求出事件A所包含的基本事件个数
m；(3)代入公式求出概率P.
菜 单
隐 藏
高考总复习 A 数学（理）
研考向 要 点 探 究 悟典题 能 力 提 升 提素能 高 效 训 练
基本事件的特点 1．任何两个基本事件是 互斥 的． 2．任何事件都可以表示成 基本事件的和 (除不可能事件)．
菜 单
隐 藏
高考总复习 A 数学（理）
抓主干 考 点 解 密
研考向 要 点 探 究 悟典题 能 力 提 升 提素能 高 效 训 练
(1,4) ， (2,2) ， (2,3) ， (2,4) ， (3,1) ， (3,2) ， (3,3) ， (3,4) ， (4,1) ， (4,2) ，
(4,3)，(4,4)． (3) 事件 “出现点数相等 ” 包含以下 4 个基本事件： (1,1) ， (2,2) ，
(3,3)，(4,4)．
菜 单
隐 藏
高考总复习 A 数学（理）
抓主干 考 点 解 密
研考向 要 点 探 究 悟典题 能 力 提 升 提素能 高 效 训 练
解析：用事件C表示“至少有1道乙类题”，则C包含的基本事 件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}， 9 3 {5,6}，共9个，所以P(C)＝15＝5.
其中x表示第1个正四面体玩具出现的点数，y表示第2个正四面体玩具
出现的点数．试写出： (1)试验的基本事件；

第2讲古典概型[最新考纲]1．理解古典概型及其概率计算公式．2．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.知识梳理1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．3．古典概型的概率公式P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.辨析感悟1．古典概型的意义(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(×)(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(×)(3)(教材习题改编)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13.(√)2．古典概型的计算(4)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，所有的基本事件构成集合I，则事件A的概率为card(A) card(I).(√)(5)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为22的概率是0.2.(×)(6)(2013·新课标全国Ⅱ卷改编)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.(√)[感悟·提升]1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型，(1)、(2)不符合定义．2．从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集，故P(A)＝card(A)card(I)＝mn，如(4)；根据古典概型概率公式计算，如(5)、(6)．考点一简单古典概型的概率【例1】现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．解从6道题中任取2道有n＝C26＝15(种)取法．(1)记“所取的2道题都是甲类题”为事件A，则A发生共有m＝C24＝6种结果．∴所求事件概率P(A)＝mn＝615＝25.(2)记“所取的2道题不是同一类题”事件为B，事件B包含的基本事件有C14C12＝8(种)，则事件B的概率为P(B)＝8 15.规律方法有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.学生用书第183页【训练1两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两种卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．解(1)从5张卡片中任取两张，共有n＝C25＝10种方法．记“两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为事件A，则A包含基本事件m＝C12 C12－1＝3个．由古典概型概率公式，P(A)＝mn＝310.(2)从6张卡片中任取两张，共有n＝C26＝15个基本事件，记“两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为事件B，则事件B包含基本事件总数m＝C11(C12＋C13)＋(C12C12－1)＝8，∴所求事件的概率P(B)＝mn＝815.考点二复杂的古典概型的概率【例2】将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数中至少有一个奇数的概率；(2)以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的外部或圆上的概率．解由题意，先后掷2次，向上的点数(x，y)共有n＝6×6＝36种等可能结果，为古典概型．(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，记为B.∵事件B包含的基本事件数m＝C13C13＝9.∴P(B)＝936＝14，则P(B)＝1－P(B)＝34，因此，两数中至少有一个奇数的概率为34.(2)点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15的内部记为事件C ，则C 表示“点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15上或圆的外部”．又事件C 包含基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共有8个．∴P (C )＝836＝29，从而P (C )＝1－P (C )＝1－29＝79. ∴点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15上或圆外部的概率为79.规律方法 (1)一是本题易把(2,4)和(4,2)，(1,2)和(2,1)看成同一个基本事件，造成计算错误．二是当所求事件情况较复杂时，一般要分类计算，即用互斥事件的概率加法公式或考虑用对立事件求解．(2)当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时，通常考虑用对立事件的概率公式P (A )＝1－P (A )求解．【训练2】 某小组共有A ，B ，C ，D ，E 五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：(1) 1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．解 (1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6个． 由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 选到的2人身高都在1.78以下的事件有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共3个． 因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为 P ＝36＝12.(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P＝310.考点三古典概型与统计的综合问题【例3】(2013·广东卷)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．审题路线(1)阅读茎叶图得出样本数据，利用平均数公式计算出样本均值．(2)根据样本算出优秀工人的比例，再估计12人中优秀工人的个数．(3)用组合数公式求出所有可能的组合的个数和符合条件的组合的个数，利用古典概型概率公式计算．解(1)由茎叶图可知：样本数据为17,19,20,21,25,30.则x＝16(17＋19＋20＋21＋25＋30)＝22，故样本均值为22.(2)日加工零件个数大于样本均值的工人有2名，故优秀工人的频率为26＝13.该车间12名工人中优秀工人大约有12×13＝4(名)，故该车间约有4名优秀工人．(3)记“恰有1名优秀工人”为事件A，其包含的基本事件总数为C14C18＝32，所有基本事件的总数为C212＝66.由古典概型概率公式，得P(A)＝3266＝1633.所以恰有1名优秀工人的概率为16 33.学生用书第184页规律方法的正确计算．(2)一是题目考查茎叶图、样本均值、古典概型等基础知识，考查样本估计总体的思想方法，以及数据处理能力．二是求解时要设出所求事件，进行必要的说明，规范表达，这都是得分的重点．【训练3】从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：(1)(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．解(1)由题意知苹果的样本总数n＝50，在[90,95)的频数是20，∴苹果的重量在[90,95)的频率是2050＝0.4.(2)设从重量在[80,85)的苹果中抽取x个，则从重量在[95,100)的苹果中抽取(4－x)个．∵表格中[80,85)，[95,100)的频数分别是5,15，∴5∶15＝x∶(4－x)，解得x＝1.即重量在[80,85)的有1个．(3)在(2)中抽出的4个苹果中，重量在[80,85)中有1个，记为a，重量在[95,100)有3个，记为b1，b2，b3.任取2个，有ab1，ab2，ab3，b1b2，b1b3，b2b3共6种不同方法，记基本事件总数为n ，则n ＝6.其中重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的事件记为A ，事件A 包含的基本事件为ab 1，ab 2，ab 3，共3个，由古典概型的概率计算公式得P (A )＝36＝12.1．古典概型计算三步曲第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A 是什么，它包含的基本事件有多少个． 2．确定基本事件的方法(1)当基本事件总数较少时，可列举计算；(2)利用计数原理、排列与组合求基本事件的个数．3．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算．易错辨析10——基本事件计数不正确致误【典例】 (2013·江西卷，文)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6(如图所示)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X >0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X <0就去下棋． (1)写出数量积X 的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率． [错解] (1)数量积X 的所有可能取值为－1,0,1. (2)X ＝0时，有OA 1→·OA 3→，OA 4→·OA 6→，共2种情况；X ＝1时，有OA 1→·OA 2→，OA 2→·OA 3→，OA 4→·OA 5→，OA 5→·OA 6→，共4种情况；X ＝－1时，有OA 1→·OA 6→，OA 3→·OA 4→，共2种情况， ∴所有基本事件总数n ＝2＋4＋2＝8. 因此，小波去下棋的概率p 1＝28＝14，小波唱歌的概率p 2＝24＝12，从而不去唱歌的概率p ＝1－p 2＝12.[错因] (1)没能准确计算出X 的所有可能值，由数量积的运算知X 可能取－2，－1,0,1，忽视OA 2→·OA 5→＝－2.(2)基本事件列举不全面，思维定势，如X ＝－1，盲目认为向量共线，遗漏向量夹角为34π的4种情形．[正解] (1)X 的所有可能取值为－2，－1,0,1. (2)数量积为－2的有OA 2→·OA 5→，共1种，数量积为－1的有OA 1→·OA 5→，OA 1→·OA 6→，OA 2→·OA 4→，OA 2→·OA 6→，OA 3→·OA 4→，OA 3→·OA 5→，共6种．数量积为0的有OA 1→·OA 3→，OA 1→·OA 4→，OA 3→·OA 6→，OA 4→·OA 6→，共4种情形． 数量积为1的有OA 1→·OA 2→，OA 2→·OA 3→，OA 4→·OA 5→，OA 5→·OA 6→，共4种情形． 故所有可能的情况共有15种． 所以小波去下棋的概率为p 1＝715； 因为去唱歌的概率为p 2＝415，所以小波不去唱歌的概率p ＝1－p 2＝1－415＝1115.[防范措施] (1)准确理解题意，向量数量积由向量的模、夹角共同确定，要考虑各种情形，注意分类求解．(2)计算基本事件总数时，画出几何图形、树形图、分类列举法、坐标网格法是克服此类错误的有效手段． 【自主体验】1．(2013·安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )． A.23B.25C.35D.910解析 设事件“甲或乙被录用”为事件A ，则A 表示甲、乙都没被录用，由古典概型，P (A )＝1C 35＝110，∴P (A )＝1－110＝910.答案 D2．(2013·江苏卷)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．解析 因1≤m ≤7,1≤n ≤9且m ，n ∈N *，∴m 为正奇数有4种情形，n 为正奇数有5种，因此所求事件的概率P ＝C 14C 15C 17C 19＝2063.答案 2063对应学生用书P367基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．一个坛子里有编号为1,2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为( )． A.122 B.111 C.322 D.211解析 基本事件总数为C 212，事件包含的基本事件数为C 26－C 23，故所求的概率为P ＝C 26－C 23C 212＝211.答案 D2．一名同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点落在直线2x ＋y ＝8上的概率为( )．A.16B.112C.536D.19解析 依题意，以(x ，y )为坐标的点共6×6＝36个，其中落在直线2x ＋y ＝8上的点有(1,6)，(2,4)，(3,2)，共3个，故所求事件的概率P ＝336＝112. 答案 B3．(2014·杭州模拟)从个位数字与十位数字之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )． A.49 B.13 C.29 D.19解析 (1)当个位为奇数时，有5×4＝20(个)符合条件的两位数． (2)当个位为偶数时，有5×5＝25(个)符合条件的两位数．因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P ＝545＝19. 答案 D4．甲、乙两人一起到阿里山参观旅游，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后1小时他们同在一个景点的概率是( )． A.136 B.19 C.536 D.16解析 甲、乙两人任选4个景点游览，共有A 46·A 46种游览方案，又甲、乙最后1小时在同一景点有C 16·A 35·A 35种可能．∴所求事件的概率P ＝C 16·A 35·A 35A 46·A 46＝16. 答案 D5．(2014·济南质检)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是( )． A.23 B.29 C.13 D.79解析 三位同学每人选择三项中的两项有C 23C 23C 23＝3×3×3＝27种选法，其中有且仅有两人所选项目完全相同的有C 23C 23C 12＝3×3×2＝18(种)选法．∴所求概率为P＝1827＝23.答案 A二、填空题6．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．解析从5个球中任取2个球有C25＝10(种)取法，2个球颜色不同的取法有C13C12＝6(种)．故所求事件的概率P＝610＝3 5.答案3 57．在集合{x|x＝nπ6，n＝1,2,3，…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x＝12的概率是________．解析基本事件总数为10，满足方程cos x＝12的基本事件数为2，故所求概率为P＝210＝1 5.答案1 58．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率e>5的概率是________．解析由e＝1＋b2a2>5，得b>2a，当a＝1时，b＝3,4,5,6四种情况；当a＝2时，b＝5,6两种情况，总共有6种情况．又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有36种结果．∴所求事件的概率P＝636＝16.答案1 6三、解答题9．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名老师来自同一学校的概率．解(1)从甲、乙两校报名的教师中各选1名，共有n＝C13×C13＝9种选法．记“2名教师性别相同”为事件A，则事件A包含基本事件总数m＝C12·1＋C12·1＝4，∴P(A)＝mn＝49.(2)从报名的6人中任选2名，有n＝C26＝15种选法．记“选出的2名老师来自同一学校”为事件B，则事件B包含基本事件总数m＝2C23＝6.∴选出2名教师来自同一学校的概率P(B)＝615＝25.10．(2014·郑州质检)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽到小学、中学各一所的概率．解(1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3；从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2；从大学中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)记“抽到小学、中学各一所”为事件A，则事件A共有基本事件m＝C13·C12＝6(种)抽法，又从6所学校任抽取2所有n＝C26＝15种抽法．因此，所求事件的概率P＝mn＝615＝25.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ.则θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2的概率是( )． A.512 B.12 C.712 D.56解析 ∵cos θ＝m －n m 2＋n 2·2，θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2， ∴m ≥n 满足条件，m ＝n 的概率为636＝16.m >n 的概率为12×56＝512. ∴θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2的概率为16＋512＝712. 答案 C2．(2014·合肥模拟)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )． A.15 B.25 C.35 D.45解析 第一步先排语文书有A 22＝2(种)排法．第二步排物理书，分成两类．一类是物理书放在语文书之间，有1种排法，这时数学书可从4个空中选两个进行排列，有A 24＝12(种)排法；一类是物理书不放在语文书之间有2种排法，再选一本数学书放在语文书之间有2种排法，另一本有3种排法．因此同一科目的书都不相邻共有2×(12＋2×2×3)＝48(种)排法，而5本书全排列共有A 55＝120(种)，所以同一科目的书都不相邻的概率是48120＝25.答案 B二、填空题3．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．解析 法一 6节课的全排列为A 66种，相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的排法是：先排三节文化课，再利用插空法排艺术课，即为(A 33C 23A 22A 22＋2A 33A 33)种，由古典概型概率公式得P (A )＝A 33C 23A 22A 22＋2A 33A 33A 66＝15. 法二 6节课的全排列为A 66种，先排三节艺术课有A 33种不同方法，同时产生四个空，再利用插空法排文化课共有A 34种不同方法，故由古典概型概率公式得P (A )＝A 33A 34A 66＝15. 答案 15三、解答题4．现有8名2012年伦敦奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A 1被选中的概率；(2)求B 1和C 1不全被选中的概率．解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件共有C 13C 13C 12＝18个，由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．记“A 1恰被选中”为事件M ，则M 发生共有C 13C 12＝6个基本事件．因而P (M )＝618＝13.(2)用N 表示“B 1，C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1，C 1全被选中”这一事件，由于N 包含(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)3个结果，事件N 有3个基本事件组成，所以P (N )＝318＝16，由对立事件的概率公式得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56.。

第十章 10.1 10.1.3古典概型A 级——基础过关练1．(多选)下列是古典概型的是( )A ．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小B ．同时掷两颗骰子，点数和为7的概率C ．近三天中有一天降雨的概率D ．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率【答案】ABD 【解析】A ，B ，D 为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C 不适合等可能性，故不为古典概型．故选ABD ．2．(2020年湖南月考)五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为( )A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】A 【解析】金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数n ＝10,2类元素相生包含的基本事件有5个，则2类元素相生的概率p ＝510＝12.故选A ．3．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当选的概率为( ) A ．25B ．15C ．310D ．35【答案】C 【解析】从五个人中选取三人有10种不同结果：(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，而甲、乙都当选的结果有3种，故所求的概率为310.故选C ．4．(2020年宁德月考改编)2021年起，广东省高考将实行“3＋1＋2”新高考．“3”是统一高考的语文、数学和英语三门；“1”是选择性考试科目，由考生在物理、历史两门中选一门；“2”也是选择性考试科目，由考生从化学、生物、地理、政治四门中选择两门，则某考生自主选择的“1＋2”三门选择性考试科目中，历史和政治均被选择到的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】A 【解析】基本事件总数n ＝12，某考生自主选择的“1＋2”三门选择性考试科目中，历史和政治均被选择到包含的基本事件个数m ＝3，历史和政治均被选择到的概率p ＝m n ＝312＝14.故选A ．5．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为( )A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】B 【解析】所有样本点为(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)．其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含2个样本点，所以p ＝26＝13.故选B ．6．(2019年沧州期末)定义：abcde ＝10 000a ＋1 000b ＋100c ＋10d ＋e ，当五位数abcde 满足a <b <c ，且c >d >e 时，称这个五位数为“凸数”．由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数共120个，若从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为( )A ．16B ．110C ．112D ．120【答案】D 【解析】由题意，由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有：12543,13542,14532,23541,24531,34521，共6个样本点，所以恰好为“凸数”的概率p＝6120＝120.故选D ． 7．(2020年南通模拟)某普通高中有数学、物理、化学、计算机四个兴趣小组，甲、乙两位同学各自随机参加一个兴趣小组，则这两位同学参加不同的兴趣小组的概率为________．【答案】34 【解析】甲、乙两位同学参加兴趣小组的基本事件总数为16，甲、乙两位同学参加相同的兴趣小组的基本事件个数为4，故两位同学参加不同的兴趣小组的概率p ＝1－416＝34. 8．(2019年钦州期末)在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1,2,3,4,5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为_________．【答案】25 【解析】从五本书中任意选出2本书的所有可能情况为(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)共10种，满足2本书编号相连的所有可能情况为(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)共4种，故选出的2本书编号相连的概率为410＝25.9．(2019年钦州期末)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，并分别记为x ，y .(1)若记“x ＋y ＝5”为事件A ，求事件A 发生的概率； (2)若记“x 2＋y 2≤10”为事件B ，求事件B 发生的概率．解：将一颗质地均匀的骰子抛掷1次，它的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果，抛掷第2次，它的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果，因为骰子共抛掷2次，所以共有36种结果．(1)事件A 发生的样本点有(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)共4种结果，所以事件A 发生的概率为P (A )＝436＝19.(2)事件B 发生的样本点有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)共6种结果，所以事件B 发生的概率为P (B )＝636＝16.10．(2020年北京期末)某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选出三个科目作为选考科目．若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．某学校为了了解高一年级200名学生选考科目的意向，随机选取20名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如表：(2)从选考方案确定的男生中任选2名，试求出这2名学生选考科目完全相同的概率． 解：(1)由统计表可知，选考方案确定的男生中，同时选择物理、化学和生物的人数是2.(2)由统计表可知，已确定选考科目5名男生中，有2人选择物理、化学和生物，记为a 1，a 2，有1人选择物理、化学和历史，记为b ，有2人选择物理、化学和地理，记为c 1，c 2.从已确定选考科目的男生中任选2人，有10种选法，分别为：a 1a 2，a 1b ，a 1c 1，a 1c 2，a 2b ，a 2c 1，a 2c 2，bc 1，bc 2，c 1c 2，两名学生选考科目完全相同的有2种选法，分别为：a 1a 2，c 1c 2，设事件A 为“从已确定选考科目的男生中任选出2人，这两名学生选考科目完全相同”，则P (A )＝210＝15.B 级——能力提升练11．有一列数由奇数组成：1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3,5，第三组有3个数为7,9,11，…，依此类推，则从第10组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为( )A ．110B ．310C ．15D ．35【答案】B 【解析】由已知可得前九组共有1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，则第10组第一个数为45×2＋1＝91，第10组有10个数分别为91,93,95,97,99,101,103,105,107,109，其中恰为3的倍数的数为93,99,105.故所求概率p ＝310.故选B ．12．从1,2,3,4中任取两个不同的数，则取出两个数之差的绝对值为2的概率是( )A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】B 【解析】从1,2,3,4中任取两个不同的数，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6种不同的结果，取出的2个数之差的绝对值为2有(1,3)，(2,4)共2种结果，故取出两个数之差的绝对值为2的概率p ＝26＝13.故选B ．13．(2020年上海月考)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，任取一个数k∈A ，则幂函数f (x )＝x k 为偶函数的概率为________．【答案】14 【解析】集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，任取一个数k ∈A ，基本事件总数n ＝8，幂函数f (x )＝x k 为偶函数包含的基本事件个数m ＝2，∴所求概率p ＝mn ＝28＝14. 14．将两颗正方体型骰子投掷一次，则向上的点数之和是10的概率为________，向上的点数之和不小于10的概率为________．【答案】112 16 【解析】将两骰子投掷一次，共有36种情况．向上的点数之和为10的情况有(4,6)，(5,5)，(6,4)共3种，故概率p 1＝336＝112；向上的点数之和不小于10的情况有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共6种，故概率p 2＝636＝16.15．设a 是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数，b 是从集合{1,2,3}中随机取出的一个数，构成一个样本点(a ，b )．记“这些样本点中，满足log b a ≥1”为事件E ，则E 发生的概率是________．【答案】512 【解析】事件E 发生包含的样本点是分别从两个集合中取一个数字，共有12种结果，满足条件的样本点是满足log b a ≥1，可以列举出所有的样本点，当b ＝2时，a ＝2,3,4；当b ＝3时，a ＝3,4.所以根据古典概型的概率公式得到概率是3＋212＝512.16．某校从高二甲、乙两班各选出3名学生参加书画比赛，其中从高二甲班选出了2名男同学、1名女同学，从高二乙班选出了1名男同学、2名女同学．(1)若从这6名同学中抽出2名进行活动发言，写出所有可能的结果，并求高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率；(2)若从高二甲班和乙班各选1名同学现场作画，写出所有可能的结果，并求选出的2名同学性别相同的概率．解：(1)设选出的3名高二甲班同学为A ，B ，C ，其中A 为女同学，B ，C 为男同学，选出的3名高二乙班同学为D ，E ，F ，其中D 为男同学，E ，F 为女同学．从这6名同学中抽出2人的所有可能结果有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．其中高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的可能结果有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(C ，D )，(D ，E )，(D ，F )，共9种，故高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率p ＝915＝35.(2)高二甲班和乙班各选1名的所有可能结果为(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种，选出的2名同学性别相同的有(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(C ，D )，共4种，所以选出的2名同学性别相同的概率为49.17．在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有4个小球，小球上分别写有0,1,2,3的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下小球上数字将小球放回．①若取出的两个小球上数字之积大于4，则奖励飞机玩具一个；②若取出的两个小球上数字之积在区间[1,4]上，则奖励汽车玩具一个；③若取出的两个小球上数字之积小于1，则奖励饮料一瓶．(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率；(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率哪个更大？请说明理由．解：样本空间Ω＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)}共16个．(1)记“获得飞机玩具”为事件A ，事件A 包含的样本点有(2,3)，(3,2)，(3,3)共3个． 故每对亲子获得飞机玩具的概率为P (A )＝316.(2)记“获得汽车玩具”为事件B ，“获得饮料”为事件C ．事件B 包含的样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个，所以P (B )＝616＝38.事件C 包含的样本点有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(2,0)，(3,0)共7个，所以P (C )＝716.所以P (B )<P (C )，即每对亲子获得饮料的概率大于获得汽车玩具的概率．C 级——探索创新练18．(2020年江西月考)某学校有40名高中生参加足球特长生初选，第一轮测身高和体重，第二轮足球基础知识问答，测试员把成绩(单位：分)分组如下：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]，得到频率分布直方图如图所示．(1)根据频率分布直方图估计成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)用分层抽样的方法从成绩在第3,4,5组的高中生中抽6名组成一个小组，若从6人中随机选2人担任小组负责人，求这2人来自第3,4组各1人的概率．解：(1)因为(0.01＋0.07＋0.06＋x ＋0.02)×5＝1， 所以x ＝0.04.所以成绩的平均值为0.05×75＋802＋0.35×80＋852＋0.30×85＋902＋0.20×90＋952＋0.10×95＋1002＝87.25.(2)第3组学生人数为0.30×40＝12，第4组学生人数为0.20×40＝8，第5组学生人数为0.10×40＝4，所以抽取的6人中第3,4,5组的人数分别为3,2,1.第3组的3人分别记为A 1，A 2，A 3，第4组的2人分别记为B 1，B 2，第5组的1人记为C ，则从中选出2人的基本事件为共15个，记“从这6人中随机选出2人担任小组负责人，这2人来自第3,4组各1人”为事件M ， 则事件M 包含的基本事件为(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，共6个，所以P(M)＝615＝2 5.。