2019-2020学年广东省广州市华南师大附中高一(上)期末数学试卷

2019-2020学年广东省广州市高一上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题 1．函数()()32f x log x =+-的定义域为()A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,22⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】要使得()f x 有意义，则需满足21020x x ->⎧⎨->⎩，解出x的范围即可． 【详解】 要使()f x 有意义，则21020x x ->⎧⎨->⎩，解得122x <<， ()f x ∴的定义域为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：A 【点睛】本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．2．在下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是（ ）A ．f （x ）=x -1，()211x g x x -=+B ．f （x ）=|x +1|，()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<⎩C ．f （x ）=x +1，x ∈R ，g （x ）=x +1，x ∈ZD ．f （x ）=x，()2g x =【答案】B【解析】A 中的2个函数()1f x x =-与()211x g x x -=+的定义域不同，故不是同一个函数；B 中的2个函数()1f x x =+与()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一个函数；C 中的2个函数()1f x x =+，x R ∈与()1g x x =+，x Z ∈的定义域不同，故不是同一个函数；D 中的2个函数()f x x =，()2g x =的定义域、对应关系都不同，故不是同一个函数；综上，A C D 、、中的2个函数不是同一个函数，只有B 中的2个函数才是同一个函数，故选 B ． 3．函数()326x f x x =+-的零点所在的区间是( ) A ．()1,0- B ．()0,1 C ．()1,2 D ．()2,3【答案】C【解析】由零点存在定理，依次判断选项中区间端点函数值的正负，从而得到零点所在的区间. 【详解】 因为()132)1(160f -=+---⋅<，()03600f =-<，()132610f =+-=-<，()294670f =+-=>，所以()f x 在()1,2上存在零点． 故选：C.【点睛】本题考查零点存在定理的运用，考查基本运算求解能力，求解时只要算出区间端点函数值的正负，即可得到答案. 4．已知向量()()3,2,,4a b x ==，且//a b ，则x 的值为() A ．6 B ．－6C ．83-D ．83【答案】A【解析】两向量平行，內积等于外积。

广东省中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（）=log（2﹣1）的定义域是（）A．（，+∞） B．（，1）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）2．（5分）直线+2ay﹣1=0与（a﹣1）﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A．B．或0 C．0 D．﹣2或03．（5分）设f（）是定义在R上单调递减的奇函数，若1+2＞0，2+3＞0，3+1＞0，则（）A．f（1）+f（2）+f（3）＞0 B．f（1）+f（2）+f（3）＜0C．f（1）+f（2）+f（3）=0 D．f（1）+f（2）＞f（3）4．（5分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2B．a2C．2a2D．2a25．（5分）设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β=m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ．可以填入的条件有（）A．①或③ B．①或②C．②或③D．①或②或③6．（5分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（）A．17 B．C．D．187．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离 B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积8．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ABC内，∠OPC=45°，∠OPA=60°，则∠OPB的余弦值为（）A． B．C．D．9．（5分）已知函数+2，则关于的不等式f（3+1）+f（）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣，+∞）10．（5分）当0＜≤时，4＜log a，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）11．（5分）已知函数f（）=2+e﹣（＜0）与g（）=2+ln（+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）12．（5分）若1满足2+2=5，2满足2+2log2（﹣1）=5，1+2=（）A．B．3 C．D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知函数f（）=（a＞0），若1+2=1，则f（1）+f（2）=，并求出=．14．（5分）如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为．15．（5分）点M（1，y1）在函数y=﹣2+8的图象上，当1∈[2，5]时，则的取值范围．16．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2，则二面角A﹣PB﹣C的正切值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）过点（3，2）的直线l与轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程及△AOB面积．18．（12分）已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．（Ⅱ）若点E为PC的中点，AC∩BD=O，求证：EO∥平面PAD；（Ⅲ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．19．（10分）设直线l的方程为（a+1）+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．20．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．21．（12分）已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．22．（12分）已知函数g（）=a2﹣2a+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（）=．（1）求a，b的值；（2）不等式f（2）﹣•2≥0在∈[﹣1，1]上恒成立，求实数的取值范围；（3）方程f（|2﹣1|）+（﹣3）有三个不同的实数解，求实数的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（）=log（2﹣1）的定义域是（）A．（，+∞） B．（，1）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）【解答】解：由，解得＞且≠1．∴函数f（）=log的定义域是（，1）∪（1，+∞）．（2﹣1）故选：B．2．（5分）直线+2ay﹣1=0与（a﹣1）﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A．B．或0 C．0 D．﹣2或0【解答】解：当a=0时，两直线重合；当a≠0时，由，解得a=，综合可得，a=，故选：A．3．（5分）设f（）是定义在R上单调递减的奇函数，若1+2＞0，2+3＞0，3+1＞0，则（）A．f（1）+f（2）+f（3）＞0 B．f（1）+f（2）+f（3）＜0C．f（1）+f（2）+f（3）=0 D．f（1）+f（2）＞f（3）【解答】解：∵1+2＞0，2+3＞0，3+1＞0，∴1＞﹣2，2＞﹣3，3＞﹣1，又f（）是定义在R上单调递减的奇函数，∴f（1）＜f（﹣2）=﹣f（2），f（2）＜f（﹣3）=﹣f（3），f（3）＜f（﹣1）=﹣f（1），∴f（1）+f（2）＜0，f（2）+f（3）＜0，f（3）+f（1）＜0，∴三式相加整理得f（1）+f（2）+f（3）＜0故选B4．（5分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2B．a2C．2a2D．2a2【解答】解：由斜二测画法的规则知与′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在y′轴上，可求得其长度为a，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原的2倍，长度为2a，∴原平面图形的面积为=故选：C．5．（5分）设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β=m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ．可以填入的条件有（）A．①或③ B．①或②C．②或③D．①或②或③【解答】解：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故选A．6．（5分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（）A．17 B．C．D．18【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，棱台的上下底面的棱长为2和4，故棱台的上下底面的面积为4和16，侧高为，故棱台的高h==2，故棱台的体积为：=，棱锥的底面是棱台上底面的一半，故底面面积为2，高为2，故棱锥的体积为：×2×2=，故组合体的体积V=﹣=，故选：B7．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离 B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积【解答】解：A．∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P到平面QEF 即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．∵点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；B．直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．8．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ABC内，∠OPC=45°，∠OPA=60°，则∠OPB的余弦值为（）A． B．C．D．【解答】解：已知如图所示：过O做平面PBA的垂线，交平面PBC于Q，连接PQ则∠OPQ=90°﹣45°=45°．∵cos∠OPA=cos∠QPA×cos∠OPQ，∴cos∠QPA=，∴∠QPA=45°，∴∠QPB=45°∴cos∠OPB=cos∠OPQ×cos∠QPB=．故选C．9．（5分）已知函数+2，则关于的不等式f（3+1）+f（）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣，+∞）【解答】解：设g（）=2016+log2016（+）﹣2016﹣，g（﹣）=2016﹣+log2016（+）﹣2016+=﹣g（）；g′（）=2016ln2016++2016﹣ln2016＞0；∴g（）在R上单调递增；∴由f（3+1）+f（）＞4得，g（3+1）+2+g（）+2＞4；∴g（3+1）＞g（﹣）；∴3+1＞﹣；解得＞﹣；∴原不等式的解集为（﹣，+∞）．故选：D．10．（5分）当0＜≤时，4＜log a，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【解答】解：∵0＜≤时，1＜4≤2要使4＜log a，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a，∴即对0＜≤时恒成立∴解得＜a＜1故选B11．（5分）已知函数f（）=2+e﹣（＜0）与g（）=2+ln（+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）【解答】解：由题意，存在＜0，使f（）﹣g（﹣）=0，即e﹣﹣ln（﹣+a）=0在（﹣∞，0）上有解，令m（）=e﹣﹣ln（﹣+a），则m（）=e﹣﹣ln（﹣+a）在其定义域上是增函数，且→﹣∞时，m（）＜0，若a≤0时，→a时，m（）＞0，故e﹣﹣ln（﹣+a）=0在（﹣∞，0）上有解，若a＞0时，则e﹣﹣ln（﹣+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为e0﹣﹣ln（a）＞0，即lna＜，故0＜a＜．综上所述，a∈（﹣∞，）．故选：C12．（5分）若1满足2+2=5，2满足2+2log2（﹣1）=5，1+2=（）A．B．3 C．D．4【解答】解：由题意①22+2log2（2﹣1）=5 ②所以，=log2（5﹣21）即21=2log2（5﹣21）1令21=7﹣2t，代入上式得7﹣2t=2log2（2t﹣2）=2+2log2（t﹣1）∴5﹣2t=2log2（t﹣1）与②式比较得t=2于是21=7﹣22即1+2=故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知函数f（）=（a＞0），若1+2=1，则f（1）+f（2）=1，并求出=．【解答】解：∵函数f（）=（a＞0），1+2=1，∴f（1）+f（2）=f（1）+f（1﹣1）=+=+==1，∴=1007+f（）=1007+=．故答案为：1，．14．（5分）如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为16+2．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其直观图如下图所示：E和F分别是AB和CD中点，作EM⊥AD，连接PM，且PD=PC，由三视图得，PE⊥底面ABCD，AB=4，CD=2，PE═EF=2在直角三角形△PEF中，PF==2，在直角三角形△DEF中，DE==，同理在直角梯形ADEF中，AD=，根据△AED的面积相等得，×AD×ME=×AE×EF，解得ME=，∵PE⊥底面ABCD，EM⊥AD，∴PM⊥AD，PE⊥ME，在直角三角形△PME中，PM==，∴该四棱锥的表面积S=×（4+2）×2+×4×2+×2×2+2×××=16+2．故答案为：16+2．15．（5分）点M（1，y1）在函数y=﹣2+8的图象上，当1∈[2，5]时，则的取值范围．【解答】解：当1∈[2，5]时，可得A（2，4），B（5，﹣2）．设P（﹣1，﹣1），则PA==，PB==，∴的取值范围是．16．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2，则二面角A﹣PB﹣C的正切值为．【解答】解：以D为原点，DA为轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂直线为轴，建立空间直角坐标系，在△PDC中，由于PD=CD=2，PC=2，可得∠PCD=30°，∴P到平面ABCD的距离为PCsin30°=．∴A（1，0，0），P（0，﹣1，），B（1，2，0），C（0，2，0），=（1，1，﹣），=（1，3，﹣），=（0，3，﹣），设平面PAB的法向量=（，y，），则，取=1，得=（），设平面PBC的法向量=（a，b，c），则，取c=，得=（2，1，），设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，则cosθ===，sinθ==，tanθ==．∴二面角A﹣PB﹣C的正切值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）过点（3，2）的直线l与轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程及△AOB面积．【解答】解：设A（a，0），B（0，b），则直线l的方程为：+=1．把点P（3，2）代入可得：+=1．（a，b＞0）．∴1≥2，化为ab≥24，当且仅当a=6，b=4时取等号．=ab≥12，l的方程为：+=1，即4+6y﹣24=0∴S△AOB18．（12分）已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．（Ⅱ）若点E为PC的中点，AC∩BD=O，求证：EO∥平面PAD；（Ⅲ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．【解答】（Ⅰ）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．…（1分）=S▱ABCD•PC=．…（3分）∴V P﹣ABCD（Ⅱ）证明：∵E、O分别为PC、BD中点∴EO∥PA，…（4分）又EO⊄平面PAD，PA⊂平面PAD．…（6分）∴EO∥平面PAD．…（7分）（Ⅲ）不论点E在何位置，都有BD⊥AE，…（8分）证明如下：∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，…（9分）∵PC⊥底面ABCD且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC，…（10分）又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC，…（11分）∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC，∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．…（12分）19．（10分）设直线l的方程为（a+1）+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）令=0，得y=a﹣2．令y=0，得（a≠﹣1）．∵l在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a=2或a=0．∴所求的直线l方程为3+y=0或+y+2=0．（2）直线l的方程可化为y=﹣（a+1）+a﹣2．∵l不过第二象限，∴，∴a≤﹣1．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．20．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．【解答】解：（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD1B1相交于点G，连接OG，因为PC∥平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面APC=OG，故OG∥PC，所以，OG=PC=．又AO⊥BD，AO⊥BB1，所以AO⊥平面BDD1B1，故∠AGO是AP与平面BDD1B1所成的角．在Rt△AOG中，tan∠AGO=，即m=．所以，当m=时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为4．（2）可以推测，点Q应当是A I C I的中点，当是中点时因为D1O1⊥A1C1，且D1O1⊥A1A，A1C1∩A1A=A1，所以D1O1⊥平面ACC1A1，又AP⊂平面ACC1A1，故D1O1⊥AP．那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直．21．（12分）已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．【解答】解：（1）证明：如图，取DA1的中点G，连FG，GE；F为A1C中点；∴GF∥DC，且；∴四边形BFGE是平行四边形；∴BF∥EG，EG⊂平面A1DE，BF⊄平面A1DE；∴BF∥平面A1DE；（2）证明：如图，取DE的中点H，连接A1H，CH；AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点；∴△DAE为等边三角形，即折叠后△DA1E也为等边三角形；∴A 1H⊥DE，且；在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°；根据余弦定理，可得：HC2=1+16﹣4=13，在△A 1HC中，，，A1C=4；∴，即A1H⊥HC，DE∩HC=H；∴A1H⊥面DEBC；又A1H⊂面A1DE；∴面A1DE⊥面DEBC；（3）如上图，过H作HO⊥DC于O，连接A1O；A1H⊥面DEBC；∴A1H⊥DC，A1H∩HO=H；∴DC⊥面A1HO；∴DC⊥A1O，DC⊥HO；∴∠A1OH是二面角A1﹣DC﹣E的平面角；在Rt△A 1HO中，，；故tan；所以二面角A1﹣DC﹣E的正切值为2．22．（12分）已知函数g（）=a2﹣2a+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（）=．（1）求a，b的值；（2）不等式f（2）﹣•2≥0在∈[﹣1，1]上恒成立，求实数的取值范围；（3）方程f（|2﹣1|）+（﹣3）有三个不同的实数解，求实数的取值范围．【解答】附加题：（本题共10分）解：（1）g（）=a（﹣1）2+1+b﹣a，当a＞0时，g（）在[2，3]上为增函数，故，可得，⇔．当a＜0时，g（）在[2，3]上为减函数．故可得可得，∵b＜1∴a=1，b=0即g（）=2﹣2+1．f（）=+﹣2．…（3分）（2）方程f（2）﹣•2≥0化为2+﹣2≥•2，≤1+﹣令=t，≤t2﹣2t+1，∵∈[﹣1，1]，∴t，记φ（t）=t2﹣2t+1，∴φ（t）min=0，∴≤0．…（6分）（3）由f（|2﹣1|）+（﹣3）=0得|2﹣1|+﹣（2+3）=0，|2﹣1|2﹣（2+3）|2﹣1|+（1+2）=0，|2﹣1|≠0，令|2﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3）t+（1+2）=0（t≠0），∵方程|2﹣1|+﹣（2+3）=0有三个不同的实数解，∴由t=|2﹣1|的图象（如右图）知，t2﹣（2+3）t+（1+2）=0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1，记φ（t）=t2﹣（2+3）t+（1+2），则或∴＞0．…（10分）。

2019-2020学年广东省高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{0,1,2,3,4,5}A =，{1,3,6,9}B =，则A B =I （ ） A ．{1,3} B ．{1,3,6}C ．∅D ．{3,6}【答案】A【解析】根据集合的交集运算,即可得解. 【详解】集合{0,1,2,3,4,5}A =,{1,3,6,9}B = 由集合的交集运算可得{1,3}A B ⋂= 故选:A 【点睛】本题考查了集合的交集运算,属于基础题.2．函数()()lg 2f x x +的定义域是（ ） A ．(]2,5- B ．()2,5-C ．(]2,5D ．()2,5【答案】A【解析】使解析式有意义，因此必须有5x 0-≥且20x +>． 【详解】由()()lg 2f x x =+，得5020x x -≥⎧⎨+>⎩，即52x x ≤⎧⎨>-⎩，所以(]2,5x ∈-.故选：A. 【点睛】本题考查求函数定义域，即求使函数式有意义的自变量的取值范围． 3．512π=（ ） A ．70︒ B ．75︒C ．80︒D ．85︒【答案】B【解析】根据弧度与角度的转化,代入即可求解. 【详解】根据弧度与角度的关系180π︒=可得55180751212π︒︒=⨯=. 故选:B 【点睛】本题考查了弧度与角度的转化,属于基础题. 4．若函数()21()22m f x m m x -=--是幂函数，则m =（ ）A ．3B ．1-C ．3或1-D ．1【答案】C【解析】根据幂函数定义可知2221m m --=,解方程即可求得m 的值. 【详解】因为函数()21()22m f x m m x -=--是幂函数,所以2221m m --=,解得1m =-或3m =. 故选:C 【点睛】本题考查了幂函数的定义,属于基础题.5．设终边在y 轴的负半轴上的角的集合为M 则（ ） A ．3|,2M k k Z πααπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭B ．3|,22k M k Z ππαα⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭C ．|,2M k k Z πααπ⎧⎫==-+∈⎨⎬⎩⎭D ．|2,2M k k Z πααπ⎧⎫==-+∈⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】根据角的表示方法及终边在y 轴的负半轴上,即可得解. 【详解】根据角的表示方法可知,终边在y 轴的负半轴上的角可以表示为22k παπ=-+,k ∈Z ,故选:D 【点睛】本题考查了角的表示方法,终边在y 轴的负半轴上角的表示形式,属于基础题. 6．圆心角为60°，弧长为2的扇形的面积为（ ） A ．130B ．30πC ．3πD ．6π【答案】D【解析】根据弧长公式，求得半径，结合扇形的面积公式即可求得. 【详解】由弧长公式l r θ=，得半径6r π=.故扇形的面积公式162S lr π==. 故选：D. 【点睛】本题考查弧长公式与扇形的面积公式，属基础题. 7．cos350sin 70sin170sin 20-=o o o o （ ） A ．3-B ．3C ．12D ．12-【答案】B【解析】化简得到原式cos10cos 20sin10sin 20=-o o o o ，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】3cos350sin 70sin170sin 20cos10cos 20sin10sin 20cos30-=-==o o o o o o o o o ． 故选：B 【点睛】本题考查了诱导公式化简，和差公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用. 8．函数()()32ln f x x x x =+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数解析式，判断函数的奇偶性，排除A 、B ，再根据函数值的正负情况，即可判断. 【详解】由题意，3()(2)ln ()f x x x x f x -=-+-=-，即()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，所以排除A ，B ；当01x <<时，()0f x >；当1x >时，()0f x >，排除D 故选：C. 【点睛】本题考查由函数解析式判断性质进而识别图像，属于中等题型. 9．若α为第二象限角，下列结论错误的是（ ） A ．sin cos αα> B ．sin tan αα> C ．cos tan 0αα+< D ．sin cos 0αα+>【答案】D【解析】根据角所在象限,判断三角函数符号,即可判断选项. 【详解】因为α为第二象限角,所以sin 0α>,cos 0α<,tan 0α< A,B,C 对,D 不一定正确. 故选:D 【点睛】本题考查了三角函数在第二象限的符号,属于基础题.10．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8 B ．9C ．10D ．14【答案】C【解析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kte -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值.【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =， 则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.11．设1x ,2x ,3x 分别是方程3log 3x x +=,()3log 2x x +=-,ln 4x e x =+的实根,则( ) A ．123x x x <+ B ．213x x x <<C ．231x x x <<D ．321x x x <<【答案】C【解析】将方程有实根转化为两函数有交点,利用图像判断交点的位置,进而判断选项 【详解】由题,对于3log 3x x +=,由3log y x =与3y x =-的图像,如图所示,可得123x <<；对于()3log 2x x +=-,由()3log 2y x =+与y x =-的图像,如图所示,可得210x-<<；对于ln 4x e x =+,由4x y e =-与ln y x =的图像,如图所示,可得()30,1x ∈或()31,2x ∈ 故231x x x << 【点睛】本题考查零点的分布,考查转化思想与数形结合思想12．已知函数2()ln(1)f x x x =+，若(0,)x ∈+∞时，不等式2(1)()0f x f mx ++-…恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】根据分子有理化,可判断()f x 为奇函数.由解析式判断出单调性,即可将不等式化简,求得m 的最大值. 【详解】依题意知函数()f x 的定义域为R ,()()()2222211()ln 1lnln 11x xx xf x x x x x x x++⎫⎫-=-+==--+⎪⎪⎭⎭+-即()()f x f x -=-,所以()f x 为奇函数.由解析式可知()f x 为减函数.所以不等式()0ff mx +-≤可化为()ff mx ≤,mx ≥,即在(0,)+∞上m ≤.1=>, 所以1,m m £的最大值是1. 故选:B 【点睛】本题考查了对数函数的运算性质,对数函数奇偶性及单调性的判断.根据奇偶性及单调性解不等式求参数,属于中档题.二、填空题13．已知tan 4α=-，则tan2α=_________. 【答案】815【解析】根据正切二倍角公式,代入即可求解. 【详解】由正切的二倍角公式,代入即可求解.22tan tan21tan ααα=-.()()22481514⨯-==-- 故答案为: 815【点睛】本题考查了正切函数而倍加公式的简单应用,属于基础题. 14．已知函数26,0,()log (),0,x x f x x x +⎧=⎨-<⎩…，若()5f a =，则a =______.【答案】32-【解析】根据分段函数,代入自变量即可求解. 【详解】函数26,0,()log (),0,x x f x x x +⎧=⎨-<⎩…所以当0a ≥时,()66f a a =+≥,即()5f a =无解; 当0a <,2()log ()5f a a =-=,即32a -=,解得32a =- 综上可知,32a =- 故答案为:32- 【点睛】本题考查了分段函数的简单应用,根据函数值求自变量,属于基础题. 152032(3)log 6427π+-+-=__________.【答案】1【解析】根据指数幂运算及对数的性质,化简即可求解. 【详解】根据指数幂运算及对数的性质,化简可得2032(3)log 6427π-+-()2633231log 23=-++-31691=++-=.故答案为:1 【点睛】本题考查了指数幂运算及对数的性质应用,属于基础题.16．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(4)f x f x =-,且当[0,2]x ∈时,()cos f x x =,则()()lg g x f x x =-的零点个数为____________.【答案】10【解析】由函数的零点个数与函数图像的交点个数的关系，函数()()lg g x f x x =-的零点个数等价于函数()y f x =的图像与函数lg y x =的图像的交点个数，再结合函数的性质作图观察即可得解. 【详解】解：由于定义在R 上的偶函数()y f x =满足()4()f x f x =-, 所以()y f x =的图象关于直线2x =对称,画出[0,)x ∈+∞时，()y f x =部分的图象如图,在同一坐标系中画出lg y x =的图象, 由图可知：当(0,)x ∈+∞时,有5个交点, 又lg y x =和()y f x =都是偶函数,所以在(,0)x ∈-∞上也是有5个交点,所以()()lg g x f x x =-的零点个数是10， 故答案为：10.【点睛】本题考查了函数的性质，重点考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的相互转化，属中档题.三、解答题17．已知集合{|2A x x a =≤-或3}x a >+，050x B xx ⎧⎫-<⎧⎪⎪=⎨⎨⎬->⎩⎪⎪⎩⎭. （1）当1a =时，求A B U ；（2）若A B B =I ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|1x x ≤-或0}x >；（2）(,3][7,)-∞-+∞U【解析】（1）将1a =代入可得集合A.解不等式组求得集合B.即可根据并集运算求得A B U .（2）根据A B B =I ,可知集合B 为集合A 的子集,即B A ⊆.根据集合关系即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）因为0,50,x x -<⎧⎨->⎩.所以05x <<,即{|05}B x x =<<, 当1a =时,{|1A x x =≤-或4}x >, 所以{|1A B x x =≤-U 或0}x >. （2）因为A B B =I ,所以B A ⊆,由（1）知{|05}B x x =<<, 则30a +≤或25a -≥, 即3a ≤-或7a ≥,所以实数a 的取值范围为(,3][7,)-∞-+∞U . 【点睛】本题考查了集合的简单运算,根据集合的包含关系求参数的取值范围,属于基础题. 18．已知角θ的终边经过点()2,3P -,求下列各式的值. (1)2sin 3cos sin θθθ-;(2)()2223cos sin sin 222πθπθθπ⎛⎫⎛⎫-+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】(1)23-(2)413- 【解析】（1）由三角函数定义可得3tan 2θ=-,对于原式分子分母同除cos θ,进而求解即可；（2）由三角函数定义可得sin θ==利用诱导公式化简,进而代入求解即可 【详解】解:(1)由角θ的终边经过点()2,3P -,可知3tan 2θ=-, 则322sin 2tan 2233cos sin 3tan 332θθθθθ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭===---⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2)因为sin 13θ==-, 所以()2223cos sin sin 222πθπθθπ⎛⎫⎛⎫-+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222sin cos sin 2θθθ=++- 2sin 12θ=+-9411313=-=-【点睛】本题考查利用诱导公式化简,考查分式齐次式化简求值,考查已知终边上一点求三角函数值19．已知函数()2cos()02f x x ππϕϕ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭的图象过点. （1）求函数()f x 的解析式，并求出()f x 的最大值、最小值及对应的x 的值； （2）把()y f x =的图象向右平移1个单位长度后得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调递减区间.【答案】（1）()2cos 4f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭；12()4x k k Z =-∈时，max ()2f x =；32()4x k k Z =+∈时，min ()2f x =-；（2）372,2()44k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】（1）将点代入解析式,结合02πϕ<<即可求得ϕ的值.进而求得函数()f x 的解析式;根据余弦函数的图像与性质,即可求得最大值、最小值及对应的x 的值.（2）根据三角函数的平移变换可求得()g x 的解析式,结合余弦函数的图像与性质即可求得其单调递减区间. 【详解】（1）代入点,得2cos(0)ϕ+=cos 2ϕ=. 因为02πϕ<<,所以4πϕ=,则()2cos 4f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 当24x k πππ+=,即12()4x k k Z =-∈时,max ()2f x =； 当24x k ππππ+=+,即32()4x k k Z =+∈时,min ()2f x =-.（2）由（1）知()2cos 4f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭,所以3()2cos (1)2cos 44g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫=-+=-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭. 当322()4k x k k Z πππππ-+∈剟时,()g x 单调递减,所以3722()44k x k k Z ++∈剟, 所以()g x 的单调递减区间为372,2()44k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了余弦函数的图像与性质的简单应用,整体代入法求最值及单调区间,属于基础题.20．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-.（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由奇函数的定义可求得解析式；（2）由分段函数解析式知，函数在R 上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即0x >时要是增函数，且端点处函数值不小于0. 【详解】解：（1）因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x <时，0x ->，则()()()232f x x a x a -=-+-+-()232x ax a f x =-+-=-， 所以()()2320x ax a f x x =-+-+<，所以()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩. （2）若()f x 是R 上的单调函数，且()00f =，则实数a 满足02320a a ⎧-≤⎪⎨⎪-≥⎩， 解得302a ≤≤，故实数a 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系． 21．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+06,||2πωϕ⎛⎫<<<⎪⎝⎭，()f x 的图象的一条对称轴是3x π=，一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知,,A B C 是ABC ∆的三个内角，且481225f B π⎛⎫+=⎪⎝⎭，5cos 13C =，求cos A . 【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）3365或1665【解析】（1）根据对称轴和对称中心,可表示出周期.由06ω<<即可求得ω的值.再由对称轴即可求得ϕ的值,进而求得()f x 的解析式; （2）根据481225f B π⎛⎫+=⎪⎝⎭,代入解析式,结合同角三角函数关系式,即可求得sin ,cos B B 的值.再根据5cos 13C =求得sin C ,结合诱导公式及余弦的和角公式即可求得cos A . 【详解】（1）设()f x 的最小正周期为T , ∵()f x 的图象的一条对称轴是3x π=,一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭, ∴7(21)1234Tk ππ-=⨯-,*k N ∈, ∴21T k π=-,*k N ∈,∴221k ππω=-,*k N ∈, ∴42k ω=-,*k N ∈ ∵06ω<<,∴2ω= ∵()f x 图象的一条对称轴是3x π=,∴232k ϕππ+=+π,k Z ∈, ∴6k πϕπ=-+,k Z ∈.∵||2ϕπ<, ∴6πϕ=- ∴6πϕ=-∴()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （2）由（1）知482sin 21225f B B π⎛⎫+== ⎪⎝⎭, 所以24sin 225B =,即12sin cos 25B B =.① 因为,,A BC 是ABC ∆的三个内角,0B π<<,所以sin 0B >,cos 0B >. 又因为22sin cos 1B B +=,②联立①②,得4sin ,53cos 5B B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3sin ,54cos .5B B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当4sin 5B =,3cos 5B =时, 3541233cos cos()cos cos sin sin 51351365A B C B C B B =-+=-+=-⨯+⨯=；当3sin 5B =,cos 45B =时,4531216cos cos()cos cos sin sin 51351365A B C B C B B =-+=-+=-⨯+⨯=.【点睛】本题考查了根据三角函数的性质求三角函数解析式.由同角三角函数关系式及余弦的和角公式求三角函数值,属于基础题.22．已知函数22()3x xe ef x -+=，其中e 为自然对数的底数.（1）证明：()f x 在(0,)+∞上单调递增.（2）设0a >，函数2()cos2cos 3g x x a x a =+-+，如果总存在1],[x a a ∈-，对任意2x R ∈，()()12f x g x …都成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）[ln 2,)+∞【解析】（1）根据定义任取,12,(0,)x x ∈+∞,且12x x <,利用作差()()12f x f x -,变形后即可判断符号,即可证明函数的单调性.（2）根据定义可判断()f x 和()g x 的奇偶性.由不等式在区间上的恒成立,可知存在1[,](0)x a a a ∈->,对任意2x R ∈都有()()12f x g x ….根据解析式及单调性,分别求得()f x 的最大值和()g x 的最大值,即可得不等式()25()33a a f a e e -=+≥.再利用换元法,构造对勾函数形式,即可解不等式求得a 的取值范围. 【详解】（1）证明：任取,12,(0,)x x ∈+∞,且12x x <,则()()12f x f x -()()()11221212121222222222113333x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e ----⎡⎤⎛⎫++⎡⎤=-=-+-=-+-⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎣⎦()()()()21121212121212122212(11333x x x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e ee e e ++++⎡⎤-⎫=-+=--=--⎢⎥⎪⎭⎣⎦因为12,(0,)x x ∈+∞,12x x <,所以121x x e e <<,120x x e e -<,121x x e +>,所以()()12f x f x <,即当120x x <<时,总有()()12f x f x <,所以()f x 在(0,)+∞上单调递增.（2）由2e 2e ()()3x xf x f x -+-==,得()f x 是R 上的偶函数,同理,()g x 也是R 上的偶函数.总存在1[,](0)x a a a ∈->,对任意2x R ∈都有()()12f x g x …,即函数()y f x =在[,]a a -上的最大值不小于()y g x =,x ∈R 的最大值.由（1）知()f x 在(0,)+∞上单调递增,所以当[,]x a a ∈-时,()f x 的最大值为()f a ,22211()2cos cos 2cos 3483a a g x x a x a x a ⎛⎫=+--=+--- ⎪⎝⎭.因为1cos 1x -≤≤,0a >,所以当cos 1x =时,()g x 的最大值为53. 所以()25()33a af a e e -=+≥. 令1(0)at e a =>>,则152t t +…,令1()(1)h t t t t=+>,易知()h t 在(1,)+∞上单调递增,又5(2)2h =,所以2t ≥,即2a e ≥, 所以ln 2a ≥,即实数a 的取值范围是[ln 2,)+∞. 【点睛】本题考查了利用定义判断函数的单调性,由存在性与恒成立问题,解不等式求参数的取值范围,综合性强,对思维能力要求较高,属于难题.。

广东省华南师范大学附属中学2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题（考试时间：120分钟，满分：100分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复核题目要求的．） 1．下列命题中正确的是（）．A ．OA OB AB -=u u u r u u u r u u u r B ．0AB BA +=u u u r u u u rC ．00AB ⋅=r u u u r rD ．AB BC CD AD ++=u u u r u u u r u u u r u u u r2．已知角600︒的终边上有一点(4,)a -，则a 的值是（）．A ．B ．-C ．±D3．函数2π3cos 56y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是（）．A ．2π5B ．5π2C ．2πD ．5π4．函数1sin (0π)2y x ϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是（）．A ．0B ．π4C ．π2D ．π5．已知向量(cos ,sin )a θθ=r，向量1)b =-r ，则|2|a b -r r 的最大值，最小值分别是（）．A ．0B ．4，C ．16，0D ．4，06．已知ABC △是锐角三角形，sin sin P A B =+，cos cos Q A B =+，则（）．A ．P Q >B ．P Q <C ．P Q =D ．P 与Q 的大小不能确定7．曲线sin (0,0)y A x a A ωω=+>>在区间2π0,ω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上截直线2y =及1y =-所得的弦长相等且不为0，则下列对A ，a 的描述正确的是（）．A ．12a =，32A >B ．12a =，32A ≤ C ．1a =，1A ≥ D ．1a =，1A ≤ 8．若a r ，b r 是非零向量且满足(2)a b a -⊥r r r ，(2)b a b -⊥r r r ，则a r 与b r的夹角是（）．A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．已知函数()y f x =的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向右平移π2个单位，这样得到的曲线和2sin y x =的图象相同，则已知函数()y f x =的解析式为（）． A ．1()sin 22f x x =B ．1()cos22f x x =C ．1()sin 2f x x =D ．1()cos 2f x x =10．如图，在ABC △中，BO 为边AC 上的中线，2BG GO =u u u r u u u r ，设CD AG u u u r u u u r∥，若1()5AD AB AC λλ=+∈R u u u r u u u r u u u r ，则λ的值为（）．D ABCOGA ．15B ．12C ．65D ．211．函数π()sin(2)||2f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位后关于原点对称，则函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）． A．B ．12-C ．12D12．已知a 为常数，函数()sin sin3f x x x a =-在(]0,πx ∈内有且只有一个零点，则常数a 的值形成的集合是（）． A ．{}1,1-B ．10,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．{}1-D ．[)(]1,00,1-U二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13．计算2πtan cos 24π2cos 4ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭__________． 14．函数3π()22sin sin(π)2f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭的单调增区间是__________．15．已知向量11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，若||2a =r ，||3b =r ，6a b ⋅=-r r，则1122x y x y ++的值为__________．16．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且π2y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，对于函数()y f x =有下列几种描述：①()y f x =是周期函数；②πx =是它的一条对称轴； ③(π,0)-是它图象的一个对称中心； ④当π2x =时，它一定取最大值； 其中描述正确的是__________．三、解答题： 17．（本题满分7分）如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为BF 与DE 的交点，若AB a =u u u r r ,AD b =u u u r r，试以a r ，b r 为基底表示DE u u u r 、BF u u u r 、CG u u u r ．18．（本题满分7分）已知函数2()sin cos )f x x x x =+ （1）用五点法作出()f x 在一个周期上的简图．（按答题卡上所给位置作答） （2）求()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的值域．19．（本题满分9分）已知A 、B 、C 的坐标分别为(3,0)A ，(0,3)B ，(cos ,sin )C αα，π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）若||||AC BC =u u u r u u u r，求α的值．（2）若1AC BC ⋅=-u u u r u u u r ，求22sin sin 21tan ααα++的值．20．（本题满分9分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A 、B 在y 轴的正半轴上，点(,0)C x 在x 轴的正半轴上．若||6OA =u u u r ，||4OB =u u u r．（1）求向量CA u u u r ，CB u u u r夹角的正切值．（2）问点C 在什么位置时，向量CA u u u r ，CB u u u r夹角最大？21．（本题满分10分）在平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点A 的坐标为(,)a b ，点B 的坐标为(cos ,sin )x x ωω，其中220a b +≠且0ω>．设()f x OA OB =⋅u u u r u u u r．（1）若a =1b =，2ω=，求方程()1f x =在区间[]0,2π内的解集．（2）若函数()f x 满足：图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，在π2x =处取得最小值，试确定a 、b 和ω应满足的与之等价的条件．22．（本题满分10分）设()f x 是定义在[]1,1-上的偶函数，()g x 的图象与()f x 的图象关于直线1x =对称，且当[]2,3x ∈时，2()2(2)4(2)g x a x x =---．（1）求()f x 的解析式．（2）若()f x 在(]0,1上为增函数，求a 的取值范围．（3）是否存在正整数a ，使()f x 的图象的最高点落在直线12y =上？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．广东省华南师范大学附属中学2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题参考答案（考试时间：120分钟，满分：100分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复核题目要求的．） 1．下列命题中正确的是（）．A ．OA OB AB -=u u u r u u u r u u u r B ．0AB BA +=u u u r u u u rC ．00AB ⋅=r u u u r rD ．AB BC CD AD ++=u u u r u u u r u u u r u u u r【答案】D【解析】对于A ，由于两个向量共起点，因此OA OB BA -=u u u r u u u r u u u r，因此错误，对于B ，由于向量的首尾相接，因此可知和向量为起始向量的起点，指向终向量的终点的向量，故可知结果为零向量，不是数，而是向量，错误．对于C ，由于零与任何向量的数量积为零向量，因此错误． 对于D ，由于符合向量的加法法则，那么可知结论成立，选D ．2．已知角600︒的终边上有一点(4,)a -，则a 的值是（）．A ．B ．-C ．±D 【答案】B【解析】解：因为tan 600tan(54060)tan 604a︒==︒+︒=︒=-所以a =-B ， 故答案为：B ．3．函数2π3cos 56y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是（）．A ．2π5B ．5π2C ．2πD ．5π【答案】D【解析】∵23cos 56x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，25ω=，∴2π5πT ω==．4．函数1sin (0π)2y x ϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是（）．A ．0B ．π4C ．π2D ．π【答案】C【解析】解：∵1sin 2y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是R 上的偶函数，则11sin sin 22x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin cos cos sin sin cos cos sin 2222x x x xϕϕϕϕ-+=+，即2sin cos 02xϕ=成立，∴cos 0ϕ=， 又∵0πϕ≤≤， ∴π2ϕ=． ∴选C ．5．已知向量(cos ,sin )a θθ=r，向量1)b =-r ，则|2|a b -r r 的最大值，最小值分别是（）．A ．0B ．4，C ．16，0D ．4，0【答案】D【解析】本题主要考查平面向量的数量积和坐标运算．设|2|y a b =-r r ，则2222π|2|4488sin 3y a b a b a b θ⎛⎫=-=+-⋅=+- ⎪⎝⎭r r r r r r ，因为[]πsin 1,13θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以2y 的最大值为16，最小值为0，即|2|a b -r r的最大值为4，最小值为0． 故本题正确答案为D ．6．已知ABC △是锐角三角形，sin sin P A B =+，cos cos Q A B =+，则（）．A ．P Q >B ．P Q <C ．P Q =D ．P 与Q 的大小不能确定【答案】A【解析】(sin sin )(cos cos )2sin cos 2cos cos 2222A B A B A B A BP Q A B A B +-+--=+-+=-， 2cossin 2cos 222A B A B A B -++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由于是锐角三角形18090A B C +=︒->︒， 所以452A B+>︒， sin2cos 22A B A B++>， 0A <，90B <︒，所以45452A B--︒<<︒， cos02A B->， 综上，知P Q P Q ->>．7．曲线sin (0,0)y A x a A ωω=+>>在区间2π0,ω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上截直线2y =及1y =-所得的弦长相等且不为0，则下列对A ，a 的描述正确的是（）．A ．12a =，32A >B ．12a =，32A ≤ C ．1a =，1A ≥ D ．1a =，1A ≤【答案】A【解析】由题意可知2y =，1y =-关于函数中心轴对称， 所以中心轴12y =，即12a =，弦长不为0，所以12y =，2y =的距离小于A ， ∴32A >．8．若a r ，b r 是非零向量且满足(2)a b a -⊥r r r ，(2)b a b -⊥r r r ，则a r 与b r的夹角是（）．A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】设a 与b 的夹角是a ， ∵(2)a b a -⊥， ∴(2)0a b a -⋅=， 即2||20a a b -⋅=，①又∵(2)b a b -⊥，∴(2)0b a b -⋅=， 即2||20b a b -⋅=．②， 由①②知||||a b =，2211||||22a b a b ⋅==， ∴221||12cos ||||||2a ab a b a α===． ∴a 与b 的夹角为π3．9．已知函数()y f x =的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向右平移π2个单位，这样得到的曲线和2sin y x =的图象相同，则已知函数()y f x =的解析式为（）．A ．1()sin 22f x x =B ．1()cos22f x x =C ．1()sin 2f x x =D ．1()cos 2f x x =【答案】 【解析】10．如图，在ABC △中，BO 为边AC 上的中线，2BG GO =u u u r u u u r ，设CD AG u u u r u u u r∥，若1()5AD AB AC λλ=+∈R u u u r u u u r u u u r ，则λ的值为（）．D ABCOGA ．15B ．12C ．65D ．2【答案】C【解析】本题主要考查平面向量的运算．有1(1)5CD AD AC AB AC λ=-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为2BG GO =u u u r u u u r，则13OG OB =u u u r u u u r ，有AG AO OG =+u u u r u u u r u u u r ，111211()333333AO OB AO OA AB AB AO AB AC =+=++=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由CD AG u u u r u u u r ∥可知1131153λ-=，解得65λ=． 故本题正确答案为C ．11．函数π()sin(2)||2f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位后关于原点对称，则函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）． A．B ．12-C ．12D【答案】A【解析】由已知，将π()sin(2)||2f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位后得到ππsin 2||32y x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为其图像关于原点对称，故πsin 03ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ππ3k ϕ+=，ππ3k ϕ=-， 因为π||2ϕ<，故π3ϕ=-，则π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故ππ2π2333x --≤≤，所以函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为πsin 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭．12．已知a 为常数，函数()sin sin3f x x x a =-在(]0,πx ∈内有且只有一个零点，则常数a 的值形成的集合是（）．A ．{}1,1-B ．10,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．{}1-D ．[)(]1,00,1-U【答案】C【解析】()sin sin3f x x x a =-，(0,π)x ∈，sin sin3a x x =(0,π)，[]sin sin(2)x x x =+，sin (sin cos2cos sin 2)x x x x x =+， 2sin cos2sin cos sin 2x x x x x =+，221sin cos2sin 22x x =⨯+，21cos21cos2sin 222x x x -=+， 22111cos2cos 2sin 2222x x x =-+， 22111cos2cos 2(1cos 2)222x x x =-+-， 211cos2cos 222x x =-+， 211cos 2cos222x x =-++，0πx <<， 022πx <≤，1cos21x -≤≤，令cos2x t =，21122y t t =-++，11t -≤≤，21122y t t =-++， []1,1t ∈-， 14t =．2max 11114242y ⎛⎫=-+⨯+ ⎪⎝⎭， 916=， min 1y =-，91,16a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦， ∵零点只有一个，∴函数y a =与sin sin3y x x =只有一个交点，此时，1t =-，1y a =-=．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13．计算2πtan cos 24π2cos 4ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭__________． 【答案】1【解析】解：原式2ππtan sin 242ππ2cos 24ααα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 2πsin ππ42sin cos π44cos 4π2sin 4ααααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⋅-- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭， 1=．因此，本题正确答案是：1．14．函数3π()22sin sin(π)2f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭的单调增区间是__________． 【答案】5π11ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z【解析】解：3π()22sin sin(π)2f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，2cos sin sin 2x x x x x =-=-，π2sin 23x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 由ππ3π2π22π232k x k +-+≤≤，计算得出5π11πππ1212k x k ++≤≤， 因此函数()f x 的单调递增区间为：5π11ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．15．已知向量11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，若||2a =r ，||3b =r ，6a b ⋅=-r r ，则1122x y x y ++的值为__________． 【答案】23-【解析】本题考查了共线向量的坐标运算及等比性质．∵||2a =r ，||3b =r ，6a b ⋅=-r r ，∴向量a r 与b r 平行， 且23a b =-r r ， ∴1111222223x y x y x y x y +===-+．16．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且π2y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，对于函数()y f x =有下列几种描述： ①()y f x =是周期函数； ②πx =是它的一条对称轴；③(π,0)-是它图象的一个对称中心； ④当π2x =时，它一定取最大值； 其中描述正确的是__________．【答案】①③ 【解析】本题主要考察函数的图像与性质，考查了逻辑推理能力． 因为π2y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数， 所以图像关于直线0x =对称，所以()y f x =的图像关于直线π2x =-对称， 又因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()y f x =的图像关于直线π2x =对称， 因此函数()y f x =的图像的对称轴为直线ππ()2x k k =+∈Z ， 且是周期函数，则①正确，②错误；又因为(0)0f =，所以(π)0f -=，则③正确； 因为直线π2x =是函数()y f x =的图像的一条对称轴， 所以当π2x =时，它取最大值或最小值，也可能不是最值， 故④错误．三、解答题：17．（本题满分7分）如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为BF 与DE 的交点，若AB a =u u u r r ,AD b =u u u r r ，试以a r ，b r 为基底表示DE u u u r 、BF u u u r 、CG u u u r ．【答案】见解析 【解析】解：由题意，如图1122DE DC CE AB CB a b =+=+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r ， 1122BF BC CF AD AB a b =+=-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r ， 连接BD ，则G 是BCD △的重心，连接AC 交BD 于点O ，则O 是BD 的中点，∴点G 在AC 上， ∴22211()33323CG CO OC AC a b ==-=-⨯=-+u u u r u u u r u u u r u u u r r r ， 故答案为：12DE a b =-u u u r r r ；12BF a b =-+u u u r r r ； ∴1()3CG a b =-+u u u r r r ．18．（本题满分7分）已知函数2()sin cos )f x x x x =+ （1）用五点法作出()f x 在一个周期上的简图．（按答题卡上所给位置作答）（2）求()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的值域． 【答案】见解析【解析】解：（1）2()sin cos )f x x x x =+212sin cos )x x x =-+，sin 2)x x =+，2x x ⎫=⎪⎪⎝⎭， πsin 24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 五点作图法的五点：π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭，π,18⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭，5π,18⎛⎫- ⎪⎝⎭，7π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π(2),444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴max ()1f x =，此时，ππ242x +=，即π8x =，min ()f x =，此时，π5π244x +=，即π2x =，∴()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦．19．（本题满分9分）已知A 、B 、C 的坐标分别为(3,0)A ，(0,3)B ，(cos ,sin )C αα，π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）若||||AC BC =u u u r u u u r ，求α的值．（2）若1AC BC ⋅=-u u u r u u u r ，求22sin sin 21tan ααα++的值． 【答案】见解析【解析】（1）∵||||AC BC =u u u r u u u r ，化简得tan 1α=， ∵π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴5π4α=． （2）∵1AC BC ⋅=-u u u r u u u r ， ∴(cos 3,sin )(cos ,sin 3)1αααα-⋅-=-， ∴2sin cos 3αα+=， ∴52sin cos 9αα=-， ∴22sin sin 22sin cos (sin cos )52sin cos 1tan sin cos 9ααααααααααα++===-++．20．（本题满分9分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A 、B 在y 轴的正半轴上，点(,0)C x 在x 轴的正半轴上．若||6OA =u u u r ，||4OB =u u u r ．（1）求向量CA u u u r ，CB u u u r 夹角的正切值．（2）问点C 在什么位置时，向量CA u u u r ，CB u u u r 夹角最大？【答案】【解析】21．（本题满分10分）在平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点A 的坐标为(,)a b ，点B 的坐标为(cos ,sin )x x ωω，其中220a b +≠且0ω>．设()f x OA OB =⋅u u u r u u u r ．（1）若a =1b =，2ω=，求方程()1f x =在区间[]0,2π内的解集．（2）若函数()f x 满足：图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，在π2x =处取得最小值，试确定a 、b 和ω应满足的与之等价的条件．【答案】见解析【解析】解：（1）根据题意()sin cos f x OA OB b x a x ωω=⋅=+u u u r u u u r ，当a 1b =，2ω=时，π()sin 222sin 213f x x x x ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，π1sin 232x ⎛⎫⇒+= ⎪⎝⎭， 则有ππ22π36x k +=+或π5π22π36x k +=+，k ∈Z ． 即ππ12x k =-或ππ4x k =+，k ∈Z ． 又因为[]0,2πx ∈，故()1f x =在[]0,2π内的解集为π11π5π23π,,,412412⎧⎫⎨⎬⎩⎭．（2）解：因为())f x OA OB x ωφ=⋅=+u u u r u u u r ，设周期2πT ω=． 因为函数()f x 须满足“图象关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且在π6x =处()f x 取得最小值”． 因此，根据三角函数的图象特征可以知道，ππ3642T n T -=+， 故有π2π2164n ω+=⋅， ∴63n ω=+，n ∈N ，又因为，形如())f x x ωφ=+的函数的图象的对称中心都是()f x 的零点， 故需满足πsin 03ωφ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而当63n ω=+，n ∈N 时， 因为π(63)2ππ3n n φφ++=++，n ∈N ；所以当且仅当πk φ=，k ∈Z 时，()f x 的图象关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；此时，sin 0cos 1φφ⎧==⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩， ∴0a =，1||b b =±． （i ）当0b >，0a =时，()sin f x x ω=，进一步要使π6x =处()f x 取得最小值， 则有ππsin 166f ω⎛⎫⎛⎫=⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ππ2π62k ω⋅=-，故123k ω=-，k ∈Z ． 又0ω>，则有123k ω=-，k ⨯∈N ，因此，由63,123,n n k k ωω=+∈⎧⎨=-∈⎩N N可得129m ω=+，m ∈N ． （ii ）当00b a <=时，()sin f x x ω=-，进一步要使π6x =处()f x 取得最小值， 则有ππππsin 12π126662f k k ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅=-⋅=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 又0ω>，则有123k ω=+，k ∈N ．因此，由63,123,n n k k ωω=+∈⎧⎨=+∈⎩N N ，可得123m ω=+，m ∈N ． 综上，使得函数()f x 满足“图象关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且在π6x =处()f x 取得最小值的充要条件”是“0b >，0a =时，129m ω=+，m ∈N ；或当00b a <=时，123m ω=+，m ∈N ”．22．（本题满分10分）设()f x 是定义在[]1,1-上的偶函数，()g x 的图象与()f x 的图象关于直线1x =对称，且当[]2,3x ∈时，2()2(2)4(2)g x a x x =---．（1）求()f x 的解析式．（2）若()f x 在(]0,1上为增函数，求a 的取值范围．（3）是否存在正整数a ，使()f x 的图象的最高点落在直线12y =上？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【解析】解：（1）当[]1,0x ∈-时，[]22,3x -∈，3()(2)24f x g x ax x =-=-+；当(]0,1x ∈时，3()()24f x f x ax x =-=-，∴3324,10()24,0 1.ax x x f x ax x x ⎧-+-⎪=⎨-<⎪⎩≤≤≤， （2）由题设知，()0f x '>对(]0,1x ∈恒成立，即22120a x ->对(]0,1x ∈恒成立，于是，26a x >，从而2max (6)6a x >=．（3）因为()f x 为偶函数，故只需研究函数3()24f x ax x =-在(]0,1x ∈的最大值． 令2()2120f x a x '=-=，计算得出x =（1(]0,1，即06a <≤， 3max |()|24212f x f a a ==<⎝⎭⎝⎭， 故此时不存在符合题意的a ．（21>，即6a >， 则()f x 在(]0,1上为增函数，于是[]max ()(1)24f x f a ==-．令2412a -=，故8a =．综上，存在8a =满足题设．。

2019-2020学年广州市华南师大附中高一(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1.四面体P−ABC中，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC内的射影点O是三角形ABC的()A. 内心B. 外心C. 垂心D. 重心2.已知直线l1：x−2y+1=0与直线l2：mx−y=0平行，则实数m的值为()A. 12B. −12C. 2D. −23.三条直线l1：x−y=0，l2：x+y−2=0，l3：5x−ky−15=0构成一个三角形，则k的取值范围是()A. k∈RB. k∈R且k≠±1，k≠0C. k∈R且k≠±5，k≠−10D. k∈R且k≠±5，k≠14.如果圆柱与圆锥的底面直径、高和球的直径相等，则体积比V圆柱：V圆锥：V球为()A. 3：1：2B. 3：1：4C. 6：√3：4D. 3：3：25.两圆和的位置关系是()A. 相交B. 外切C. 内切D. 外离6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=1，B=π4，△ABC的面积S=2，则bsinB的值为()A. 5√2B. 5C. 5√22D. 527.已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，E，F分别为AB，CD的中点，将四边形AEFD沿EF折起，使二面角A−EF−C的大小为120°，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为()A. 6πB. 5πC. 4πD. 3π8.若直线过两点A(1,2)，B(3,6)，则该直线的斜率为()A. 2B. 3C. 4D. 59.已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是()A. a⊥α，b⊥β，α//βB. a⊥α，b//β，a⊥βC. a⊂a，b⊥β，α//βD. a⊂α，b//β，α⊥β10.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=BC=2，AA1=1，线段AC1的三个视图所在的直线所成的最小角的余弦值为()A. 15B. 25C. √55D. √10511.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥C−ABD的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为()A. √22B. 12C. √24D. 1412.已知直线l上两点A，B的坐标分别为(3,5)，(a,2)，且直线l与直线3x+4y−5=0垂直，则a的值为()A. −34B. 34C. −43D. 43二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13.两条平行线4x+3y+1=0与4x+3y−9=0的距离是______ ．14.直线mx+y−m=0，无论m取任意实数，它都过点______ ．15.如图，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(在A的上方)，且|AB|=2.过点A任作一条直线与圆O：x2+ y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：①|NA||NB|=|MA||MB|；②|NB||NA|−|MA||MB|=3；③|NB||NA|−|MA||MB|=2√2其中正确结论的序号是______.(写出所有正确结论的序号) 16.如图是正方体的平面张开图，在这个正方体中：①与平行；②与是异面直线；③与成角；④与是异面直线；以上四个命题中，正确命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. (本小题满分12分)已知△ABC中，A(2,−1)，B(4,3)，C(3,−2)，求：(1)BC边上的高所在直线方程的一般式；(2)求18. 如图，ABCD和ABEF都是正方形，M∈AC，N∈FB，且AM=FN.证明：MN//平面BCE．19. 如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD．(1)求证：∠EDF=∠CDF；(2)求证：AB 2=AF・AD．20. 已知四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=1，M是2PB的中点(Ⅰ)证明：面PAD⊥面PCD；(Ⅱ)求面AMC与面BMC所成二面角的大小．21. (本题满分14分)已知三个顶点坐标分别为：，且，直线经过点．(1)求值；(2)求外接圆⊙M的方程；(3)若直线与⊙M相切，求直线的方程；22. 已知函数f(x)=|x2−ax|(a∈R)．(1)当a=2时，写出函数f(x)的单调区间；(不要求写出过程)3(2)当a=−2时，记函数g(x)=f(x)−t，(t∈R)，讨论函数g(x)的零点个数；(3)记函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式，并求g(a)的最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查三角形外心的判断，是基础题，解题时认真审题，注意空间思维能力的培养．由已知条件推导出△POA≌△POB≌△POC ，由此能求出点P 在平面ABC 内的射影点O 是三角形ABC 的外心．解：设P 在平面ABC 射影为O ，∵PA =PB =PC ，PO =PO =PO(公用边)，∠POA =∠POB =∠POC =90°， ∴△POA≌△POB≌△POC ， ∴OA =OB =OC ， ∴O 是三角形ABC 的外心． 故选：B ．2.答案：A解析：解：∵直线l 1：x −2y +1=0与直线l 2：mx −y =0平行， ∴m 1=−1−2，解得m =12． 故选：A ．由已知条件推导出m1=−1−2，由此能求出m 的值．本题考查实数m 的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的位置关系的合理运用．3.答案：C解析：解：由l 1//l 3得k =5，由l 2//l 3得k =−5， 由{x −y =0x +y −2=0得{x =1y =1， 若(1,1)在l 3上，则k =−10．故若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠−10． 故选：C ．如果三条直线组不成三角形，则必存在平行线，或三条直线过同一点，由此求出不能构成三角形的条件再求此条件的补集．本题考查两条直线平行的判定，直线的一般式方程，考查逻辑思维能力，计算能力，是基础题．4.答案：A解析：解：设球的半径为R，则圆柱、圆锥的底面半径也为R，高为2R，则球的体积V球=43πR3，圆柱的体积V圆柱=2πR3，圆锥的体积V圆锥=23πR3，故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR3：23πR3：43πR3=3：1：2故选：A由已知中圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，我们设出球的半径，代入圆柱、圆锥、球的体积公式，计算出圆柱、圆锥、球的体积即可得到答案．本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．5.答案：C解析：试题分析：圆的圆心为，半径；圆的方程可以变形为，其圆心为，半径.圆心距，所以圆内切于圆．考点：平面内两圆的位置关系．6.答案：A解析：解：∵a=1，B=π4，△ABC的面积S=12acsinB=12×1×c×√22=2，∴解得：c=4√2，∴由余弦定理可得：b=√a2+c2−2accosB=√12+(4√2)2−2×1×4√2×√22=5，∴bsinB =√22=5√2．故选：A．由已知及三角形面积公式可求c，利用余弦定理即可求b的值，根据特殊角的三角函数值即可计算得解．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7.答案：B解析：解：如图，易知∠AEB=120°，作出菱形AEBM，DFCN，可知MA=ME=MB，ND=NF=NC，且MN⊥平面AEBM，故MN中点O即为外接球球心，易得BM=1，OM=12，求得OB=√52，∴S球=4π×54=5π，故选：B．根据题意作出图形，利用二面角大小为120度，可知三角形AEB的外心即对应菱形的另一顶点M，同样得到三角形DFC的外心N，MN的中点O即为外接球球心，计算就简单了．此题考查了二面角，几何体外接球问题，难度适中．8.答案：A解析：解：∵两点A(1,2)，B(3,6)，∴k AB=6−23−1=42=2．故选：A．直接利用过两点的斜率公式求解．本题考查由直线上的两点坐标求直线的斜率，是基础题．9.答案：C解析：解：在A、B、D条件下，都可能出现a//b，C：α//β，b⊥β，所以b⊥α，又a⊂α，所以必有a⊥b.此时C为a⊥b的一个充分条件．故选：C．根据线线垂直的条件结合充分条件的定义去判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，解答本题，关键是掌握好充分条件的定义，以及空间直线，平面之间的平行和垂直的性质，属于基础题．10.答案：D解析：解：如图，线段AC1的三个视图所在的直线分别为AC，DC1，AD1，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， A(2,0，0)，C(0,2，0)，D 1(0,0，1)，D(0,0，0)，C 1(0,2，1)， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，1)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，1)，设直线AC 与DC 1所成角为α，AC 与AD 1所成角为β，DC 1与AD 1所成角为γ， 则cosα=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√8⋅√5=√105， cosβ=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√8⋅√5=√105， cosγ=|DC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5⋅√5=15． ∴线段AC 1的三个视图所在的直线所成的最小角的余弦值为√105． 故选：D ．线段AC 1的三个视图所在的直线分别为AC ，DC 1，AD 1，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段AC 1的三个视图所在的直线所成的最小角的余弦值． 本题考查长方体中线段的三个视图所在的直线所成的最小角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．11.答案：D解析：解：在三棱锥C −ABD 中， C 在平面ABD 上的射影为BD 的中点， 左视图的面积等于S △AOC =12(√22)2=14，故选：D ．画出几何体的图形，根据三视图的特征，推出左视图的形状，然后求解即可．本题考查空间几何体的三视图的画法，三棱锥的三视图的画法，有难度，注意左视图的形状，及其数据，是解题的关键．12.答案：B解析：本题考查了由直线上的两点的坐标求直线的斜率，考查了直线的斜率与直线垂直间的关系，是基础的计算题．由两点求斜率得到直线l 的斜率，求出直线3x +4y −5=0的斜率，由斜率之积等于−1求解a 的值． 解：∵直线3x +4y −5=0的斜率为−34，若直线l与直线3x+4y−5=0垂直，则直线l的斜率存在，由直线l上两点A，B的坐标分别为(3,5)，(a,2)，得k l=5−23−a =33−a，再由−34×33−a=−1，解得：a=34．故选：B．13.答案：2解析：解：两条平行线4x+3y+1=0与4x+3y−9=0的距离是√16+9=2，故答案为：2．由条件利用两平行线间的距离公式，计算求得结果．本题主要考查两平行线间的距离公式的应用，属于基础题．14.答案：(1,0)解析：解：直线mx+y−m=0，即m(x−1)+y=0，令x−1=0，求得x=1，y=0，∴无论m取任意实数，它都过点(1,0)，故答案为：(1,0)．令参数m的系数等于0，求得x、y的值，可得直线经过定点的坐标．本题主要考查直线经过定点问题，属于基础题．15.答案：①③解析：解：∵圆C与x轴相切于点T(1,0)，∴圆心的横坐标x=1，取AB的中点E，∵|AB|=2，∴|BE|=1，则|BC|=√2，即圆的半径r=|BC|=√2，∴圆心C(1,√2)，∴E(0,√2)，又∵|AB|=2，且E为AB中点，∴A(0,√2−1)，B(0,√2+1)，∵M、N在圆O：x2+y2=1上，∴可设M(cosα,sinα)，N(cosβ,sinβ)，∴|NA|=√(cosβ−0)2+[sinβ−(√2−1)]2=√2(√2−1)(√2−sinβ)，|NB|=√(cosβ−0)2+[sinβ−(√2+1)2=√2(√2+1)(√2−sinβ),∴|NA||NB|=√2−1，同理可得|MA||MB|=√2−1，∴|NA||NB|=|MA||MB|，①成立，|NA| |NB|−|MA||MB|=2，②不正确．|NA| |NB|+|MA||MB|=2√2，③正确．故答案为：①③．取AB的中点E，通过圆C与x轴相切于点T，利用弦心距、半径与半弦长之间的关系，计算即可；设M(cosα,sinα)，N(cosβ,sinβ)，计算出相应值即可．本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．16.答案：③④.解析：解：把正方体的平面展开图还原，得到将展开图折回，可得原正方体如下图(1)，由此可知，与显然不平行，故①错误；由图(2)及正方体的性质易知，故②错误；由图(3)易知，为正三角形，，所以与成角，故③正确；如图(4)，一方面，另一方面，且，于是可得平面，进而可得，故④正确；综上可知，正确命题的序号是③④.17.答案：(1)；(2)．解析：试题分析：(1)由可得边上的高所在直线斜率，即可得解；(2)求得直线方程为：，点到直线距离为，，故可得．试题解析：(1)∵所以边上的高所在直线斜率∴所在直线方程即：(2)求得直线方程为：点到直线距离为考点：1.直线与直线的位置关系；2.距离公式．18.答案：解：作MG//AB交BC于G，作NH//EF交BE于H．连结GH，则CM：CA=MG：AB，BN：BF=NH：EF，又AM=FN，AC=BF，故C M=BN，∴MG=NH，且MG//NH．∴MNGH为平行四边形，∴MN//GH．GH⊂平面BCE，MN⊄平面BCE，∴MN//平面BCE．解析：作MG//AB交BC于G，作NH//EF交BE于H.连结GH，先运用线段比例关系证明出MG=NH，且MG//NH.推断出MNGH为平行四边形，进而证明出MN//GH，最后利用线面平行的判定定理证明出结论．本题主要考查了线面平行的判定定理的运用．解题的关键是证明出MN//GH．19.答案：证明：(1)、(2)、解析：分析：(1)由∠EDF=∠ADB，∠ADB=∠ACB，∠CDF=∠ABC，AB=AC，能够证明∠EDF=∠CDF．(2)由∠ADC+∠ABC=180°，∠ACF+∠ACB=180°，知∠ADC=∠ACF，故△ADC与△ACF相似，由此能够证明AB2=AD⋅AF．解析：证明：(1)、。

西北师大附中2019-2020学年第一学期期末试卷高一数学一、选择题(本大题共12个小题,每小题有且只有一个正确答案,每小题5分,共60分) 1.已知全集,U R =集合(){}{22log 2,1A x y x x B y y ==-+==+,则U A C B ⋂= ( ) A. {}01x x << B. {}0x x < C.{}2x x > D.{}12x x << 答案：A{U A C B x =2.设l 为直线,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A. ,//l l αβαβ⊥⇒⊥ B. //,////l l αβαβ⇒ C. ,//l l αβαβ⊥⇒⊥ D. ,//l l αβαβ⊥⊥⇒ 答案：D解析：在A 中,若,//l αβα⊥,则l 与α相交、平行或l β⊂,故A 错误；在B 中,若//,//l l αβ,则α与β相交、平行,故B 错误； 在C 中,若,//l l βα⊥,则α与β相交、平行,故C 错误；在D 中,若,l l αβ⊥⊥,则由面面平行的判定定理得//αβ,故D 正确。

3.已知直线()410a x y -++=与直线2350x y +-=垂直,则a =( ) A.143 B.52 C.112 D.3 答案：B解析：由题意得()243052.a a -+=⇒=4.设()102,0x x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩,则()()2f f -=( )A.1-B.14C.12D.32 答案：C解析：因为()21224f --==,所以()()111211422f f f ⎛⎫-===-= ⎪⎝⎭.5.《九章算术》中队一些特殊的几何有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖騰（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵111ABC A B C -中15,3,4AA AC AB BC =+==,则阳马111C ABB A -的外接球的面积是( )A.25πB.50πC.100πD.200π 答案：B解析：以1,,BC BA BB 为边,将图形补形为长方体,长方体外接球即阳马的外接球,长方体的对角线为球的直径,即()2222234550R =++=,故球的表面积为2450R ππ=.选B.6.已知0x 是函数()112xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个零点,且()()1020,,,0x x x x ∈-∞∈,则( )A.()()120,0f x f x <<B.()()120,0f x f x >>C.()()120,0f x f x <>D.()()120,0f x f x ><答案：D 解析：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),0-∞单调递减, 1y x =在(),0-∞上单调递减,()112xf x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭在(),0-∞单调递减,()()()0102120,0,0,0f x x x x f x f x =<<<∴><,故选D.7.设0.90.8 1.1log 0.9,log 0.9, 1.1a b c ===,则,,a b c 的大小关系为( ) A.a b c << B.a c b << C.b a c << D.c a b << 答案：C解析：根据对数函数的性质,有0.80.8 1.1log 0.8log 1,log 1,10,0,a b a b >><∴>>< 根据指数函数的性质,有0.901.1 1.11,.c b a c =>=∴<< 故选C.8.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示 (单位：cm),则该几何体的体积为( )A.3120cmB.380cmC.3100cmD. 360cm 答案：C解析：由题意得几何体是长宽高分别是5,4,6cm 的长方体剪去一个角,如图：所以几何体的体积为311546546100.32cm ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=故选C.9.过三点()()()1,3,4,2,1,7A B C -的圆交y 轴于,M N 两点,则MN =( )A. B.8C. D. 10 答案：C解析：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则2219300,164420,14970D E F x y Dx Ey F D E F D E F ++++=⎧⎪++++=∴++++=⎨⎪++-+=⎩222,4,20,24200,D E F x y x y ∴=-==-∴+-+-=令0,x =可得24200y y +-=,2y MN ∴=-±=故选C.10.若不等式()()1213lg1lg33x xa x ++-≥-对于(),1x ∀∈-∞恒成立,则a 的取值范围为( )A.(],0-∞B.[)1,+∞C.(],1-∞D.[)0,+∞ 答案：C 解析：不等式()()1213lg1lg33x xa x ++-≥-,即()11213lglg3,3x xx a -++-≥()1121312123,3333xxx xx x x a a -++-+⎛⎫⎛⎫∴≥⇒≤=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1233xxy ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(),1-∞上单调递减, ()1212,1,1, 1.3333xxx y a ⎛⎫⎛⎫∴∈-∞=+>+=∴≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选C. 11.过点)引直线l与曲线=y ,A B 两点,O 为坐标原点,当AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于( )B.C.答案：B解析：由y =得()2210,x y y +=≥所以曲线y =x 轴上方的部分(含与x 轴的交点), 由题意知,直线斜率存在,设直线l 的斜率为k ,若直线l 与曲线有两个交点,且直线不与x 轴重合,则10,k -<< 故直线l的方程为：(0,y k x -=即0,kx y -=则圆心O 到直线l的距离d ==直线l 被圆O截得的弦长为AB =12AOBS d AB ∴=== 令21,1t k=+则AOB S = 当21314t k ==+时, AOB S 有最大值为1.2此时,213,14k k =∴=+ 又10,k -<<k ∴= 12.已知函数()()221,70,2ln ,-⎧+-≤≤==-⎨≤<⎩x x f x g x x x x e x e,设a 为实数,若存在实数m ,使得()()20-=f m g a ,则a 的取值范围是( )A.[)1,+∞B.[]1,3-C.(][),13,-∞-+∞D.(],3-∞答案：B解析：()22,g x x x =-设a 为实数,()2222,,g a a a a R ∴=-∈222,,y a a a R =-∈故当min 1,2,a y ==-()()()221,70,76,2,ln ,x x f x f f e x e x e --⎧+-≤≤=-==-⎨≤≤⎩ ()[]2,6,f x ∴∈-存在实数,m 使()()220,2246,f m g a a a -=∴-≤-≤1 3.a ∴-≤≤二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线AC 与1A D 所成角的大小为____________. 答案：3π 14.已知线段PQ 两端点的坐标分别为()1,1P -和()2,2Q ,若直线:0l x my m ++=与线段PQ 有交点,则实数m 的取值范围是__________.答案：2132m -≤≤15.利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P ABCD -,其中底面四边形ABCD 是边长为1的正方形,1PA =,且PA ⊥平面ABCD ,则球体毛坯体积的最小值应为_________.16.已知圆()()222:34C x y r -+-=和两点()()4,0,4,0A B -,若圆C 上存在一点P ,使得90APB ∠=︒,则r =_________.答案：1解析：由题意得,圆C 与以AB 为直径的圆外切,即45, 1.r r +=∴= 三、解答题(本题共5小题,共70分.)17.直线420ax y +-=与250x y b -++=互相垂直,垂足为()1,.c (1)求a b c ++的值;(2)求过垂足与4370x y --=的平行的直线方程. 答案：(1)4;(2)43100.x y --=(2)垂足为()1,2,-设与4370x y --=平行的直线方程为430,x y m -+= 把垂足()1,2-代入得,460,10,m m ++=∴=- 故所求的直线方程为43100.x y --=18.函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1.设()()g x f x x=.(1)求,a b 的值;(2)若不等式()220x x f k -⋅≥在[]1,1x ∈-上有解,求实数k 的取值范围. 答案：(1) 1;0a b =⎧⎨=⎩(2) 1.k ≤19.如图,ABC 是边长为2的正三角形,AE ⊥平面ABC ,//,2CD AE AC CD A ==.(1)求证:平面BDE ⊥平面BCD ; (2)求D 点到平面BCE 的距离.答案：(1) 略；FG是BCD的中位线故四边形AEFG为平行四边形AE⊥平面,ABC∴⊥AG DC∴⊥平面EF3,BDC面积为的体积为23322,AE AG BCE+面积为-则三棱锥D BCE的体积相等20.已知半径为5的圆的圆心在x轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线43290+-=相切,x y(1)求圆的方程;(2)若直线()500ax y a-+=>与圆交于,A B两点,求实数a的取值范围;(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得弦AB的垂直平分线l过点()2,4P-,若存在,求实数a的值;若不存在,请说明理由.答案：(1)()22125;x y-+=(2)5,+12⎛⎫∞⎪⎝⎭；(3)34a=.使得过()2,4P -的直线l 垂直平分弦AB .21.已如函数()22,f x x a x x a R =-+∈.(1)若0a =,判断函数()y f x =的奇偶性,并加以证明(2)若函数()f x 在R 上是增函数,求实数的a 的取值范围；(3)若存在实数[]2,2a ∈-,使得关于x 的方程()()20f x tf a -=有三个不相等的实数根,求实数t 的取值范围.答案：(1)奇函数; (2)11a -≤≤;(3)91.8t <<.由(]1,2a ∈知()211,a a a y f x >+>-∴=在(),1a -∞+上单调增, 在()1,2a a +上单调减,在()2,a +∞上单调增, 1,1a >∴。

2019学年广东省高一上期末数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 直线的倾斜角是（）A ． B． C． D．2. 不等式的解集是（）A ． B．C ．___________________ D．3. 下列函数中，在区间上为增函数的是（）A ． B． C．D．4. 设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A ．若，则___________B．若，则C ．若，则___________D．若，则5. 已知两直线．若，则的值为（）A ． 4 B． 0 或 4 C． -1 或 D．6. 若方程表示圆，则实数的取值范围是（）A ． B． C． D．7. 函数的零点所在的一个区间是（）A ． B． C． D．8. 在空间直角坐标系中，给定点，若点与点关于平面对称，点与点关于轴对称，则（）A ． 2 B． 4 C． D．9. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）A ． B． C． D．10. 为圆外一点，则直线与该圆的位置关系为（）A ．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相离11. 若，则的大小关系是（）A ． B． C． D．12. 设函数，对于给定的正数，定义函数，若对于函数定义域内的任意，恒有，则（）A ．的最小值为 1 _________ B．的最大值为 1C．的最小值为___________ D．的最大值为二、填空题13. 为圆的动点，则点到直线的距离的最大值为 ________ ．14. 已知直线与圆相交于两点，则等于 __________ ．15. 若函数恒过定点，则的值为 ________ ．16. 设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为 ________ ．三、解答题17. 设函数的定义域为集合，已知集合，，全集为．（1）求；（2）若，求实数的取值范围．18. 直线经过点，且和圆相交，截得弦长为，求的方程．19. 如图所示，已知平面，分别是的中点，．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．20. 如图，在长方体中，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．21. 已知圆，圆与轴交于两点，过点的圆的切线为是圆上异于的一点，垂直于轴，垂足为，是的中点，延长分别交于．（1）若点，求以为直径的圆的方程，并判断是否在圆上；（2）当在圆上运动时，证明：直线恒与圆相切．22. 函数所经过的定点为，圆的方程为，直线被圆所截得的弦长为．（1）求以及的值；（2）设点，探究在直线上是否存在一点（异于点），使得对于圆上任意一点到两点的距离之比（为常数）．若存在，请求出点坐标以及常数的值，若不存在，请说明理由．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。

广东省广州市2019-2020年度高一上学期数学期末考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）(2020·德州模拟) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （1分） (2019高一上·盘山期中) 已知函数为幂函数且为偶函数，则（）A . 3B . 2C .D .3. （1分） (2015九上·沂水期末) 已知函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值是（）A . 85B . 82C . 80D . 764. （1分）已知sinθ+cosθ=，，则sinθ﹣cosθ的值为（）A .B . -C .D . -5. （1分）已知实数a，b，c满足不等式0＜a＜b＜c＜1，且M=2a ， N=5﹣b ， P=，则M、N、P的大小关系为（）A . M＞N＞PB . P＜M＜NC . N＞P＞MD . P＞N＞M6. （1分）已知f(x)＝x3－3x＋m在区间[0,2]上任取三个数a，b，c，均存在以f(a)，f(b)，f(c)为边长的三角形，则实数m的取值范围是（）A . (6，＋∞)B . (5，＋∞)C . (4，＋∞)D . (3，＋∞)7. （1分）已知，则=（）A .B .C .D .8. （1分）在中，若，则三角形的形状为（）A . 直角三角形B . 锐角三角形C . 等腰三角形D . 等边三角形9. （1分）设集合，若，则实数a，b必满足（）A .B .C .D .10. （1分） (2019高一下·浙江期中) 将函数的图象向左平移个单位后得到的图象，下列是的其中一个单调递增区间的是（）A .B .C .D .11. （1分）(2017·武威模拟) 已知g（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，g（x）=﹣ln（1﹣x），函数f（x）= ，若f（2﹣x2）＞f（x），则x的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B . （﹣∞，1）∪（2，+∞）C . （﹣2，1）D . （1，2）12. （1分）若函数满足，且时，，则函数的图象与函数的图象的交点的个数为（）A . 3B . 4C . 6D . 8二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一下·南宁期中) 已知为锐角，，则 ________.14. （1分）函数的图象恒过定点P ，则点P坐标为________．15. （1分） (2019高二上·浙江期中) 在中，，，，若，且，则 ________.16. （1分）(2020·海安模拟) 设函数f（x）＝（2x﹣1）ex﹣ax+a，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共12分)17. （2分） (2016高二上·邹平期中) 已知cosα=﹣，α∈（，π）．求：（1） sin（α﹣）的值；（2）cos2α的值．18. （2分）已知函数 =sin2x+acos2x，a为常数，a∈R，且．（1）求函数的最小正周期．（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．19. （2分） (2019高一上·南京月考) 已知函数 .（1）判断该函数单调性并证明；（2）设，求函数的最小值．20. （2分） (2019高三上·禅城月考) 已如函数部分图象如图所示．（1）求函数的解析式．（2）当时，求函数的值域．21. （2分）(2019·乌鲁木齐模拟) 已知函数，．Ⅰ 当时，求不等式的解集；Ⅱ 若关于x的不等式有实数解，求实数a的取值范围．22. （2分） (2019高一上·太原月考) 已知函数（1）求的零点；（2）若有两个零点，求实数的取值范围.（3）若有三个零点，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共12分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、22-3、。

2022-2023学年第一学期高一年级期末检测数学满分：100分，时间：120分钟本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分100分.考试用时120分钟.第I 卷一､单选题：本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合399|1x A x ⎧=≤<⎫⎨⎬⎩⎭，集合{}3|log 1B x x =<，则A B = （）A.()0,2 B.[)2,3-C.[)0,2 D.[)2,0-2.“sin 1θ=”是“2πθ=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.命题“0x ∀>，210x x ++≥，”的否定是（）A.0x ∃≤，210x x ++<B.0x ∃>，210x x ++<C.0x ∃≤，210x x ++≥D.0x ∀>，210x x ++<4.不等式2311x x +≥-的解集为（）A.312x x x ⎧⎫<≥⎨⎬⎩⎭或 B.{}4x x ≥ C.{}4x x ≤- D.{14}x x x >≤-或5.已知二次函数221y x ax =-+在区间()2,3内是单调函数，则实数a 的取值范围是（）A.(][),23,-∞⋃+∞ B.[]2,3C.(][),32,-∞-⋃-+∞ D.[]3,2--6.砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得图形，已知0.2m,0.3m,100OA AD AOB ==∠=︒，则该扇环形砖雕的面积为（）2m ．A.6π B.π12C.7π60D.7π1207.已知角α的终边过点()1,2-，则()π11πsin 3πcos sin 22ααα⎛⎫⎛⎫--+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A.55B.255C.455D.8.已知函数()f x 是R 上的奇函数，且0x >时，()11e 1xf x =--，则不等式()12ln 3ln 0f t f t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的解集为（）A.()0,2 B.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.()1,0,22∞⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭ D.()10,1,22⎛⎫⎪⎝⎭二､多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得1分，有选错的得0分.9.下列命题中正确的是（）A.1x >时，1x x+的最小值是2B.存在实数x ，使得不等式12x x+≤成立C.若,x y ∈R ，则2()2x y xy +≤D.若0,0x y >>，且16x y +=，则64xy ≤10.下列结论正确的是（）A.函数()23(0x f x aa -=->且1)a ≠的图像必过定点()2,2-B.若(0m n a a a >>且1)a ≠，则m n>C.已知函数()e 1e 1x x f x -=+，则方程()12f x =的实数解为ln3x =D.对任意x ∈R ，都有32x x >11.下列等式成立的是（）A.πsin 2cos22⎛⎫+= ⎪⎝⎭B.cos73cos28sin73sin282︒︒+︒︒=C.tan152︒=-D.1sin40cos40sin7022︒︒︒+=12.已知函数()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根个数可能为（）A.8B.7C.6D.5第II 卷三､填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分.13.函数11=+-y x ____________.（用区间表示）14.已知5sin cos 5x x -=，则cos 22x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.15.如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将____________块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍．（参考数据：lg 20.3010,lg 30.4771≈≈．）16.若[]2,3∀∈x ，不等式kx x k≤-恒成立，则实数k 的取值范围是__________.四､解答题：本大题共6小题，满分52分.解答应写出文字说明､证明过程或演算过程.17.（1）求值：22log 3321272log 8-⨯；（2）设45ab m ==，且131a b+=，求m 的值.18.已知函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若()f x 在区间[],0m 上的值域为⎡-⎣，求m 的取值范围.19.在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y （单位：百万个）与培养时间x （单位：小时）的关系为：x 234568y3.5 3.844.16 4.3 4.5根据表格中的数据画出散点图如下：为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：①2log y a x b =+，②2y x ax b =++，③2x a y b -=+.（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；（2）利用()4,4和()8,4.5这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到6百万个.20.已知两个变量,(0x y x >且1)x ≠满足关系式e y x =，且y 是x 的函数.（1）写出该函数的表达式()y f x =，值域和单调区间（不必证明）；（2）在坐标系中画出该函数的图象（直接作图，不必写过程及理由）.21.已知函数()()441sin cos cos 2f x x x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）令()()()2π5π3,,1212g x fx af x a x ⎡⎤=++-∈⎢⎥⎣⎦，求()g x 的最小值.22.给定常数0a >，定义在R 上的函数()15πsin 2sin 22f x x a x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（1）若()f x 在R 上的最大值为2，求a 的值；（2）设1,2a n ≥为正整数.如果函数()y f x =在区间()0,πn 内恰有2022个零点，求n 的值.2022-2023学年第一学期高一年级期末检测数学满分：100分，时间：120分钟本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分100分.考试用时120分钟.第I 卷一､单选题：本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合399|1x A x ⎧=≤<⎫⎨⎬⎩⎭，集合{}3|log 1B x x =<，则A B = （）A.()0,2 B.[)2,3-C.[)0,2 D.[)2,0-【答案】A【分析】求出集合,A B ，由交集的定义即可得出答案.【详解】{}1|39229x A x x x ⎧⎫=≤<=-≤<⎨⎬⎩⎭，{}{}3|log 1|03B x x x x =<=<<，则A B = ()0,2.故选：A.2.“sin 1θ=”是“2πθ=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】解三角函数的方程，由小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围可得结果.【详解】∵sin 1θ=，∴22k πθπ=+，Z k ∈，∴2,Z 22k k ππθπθ=+∈=¿且2,Z 22k k ππθθπ=⇒=+∈，∴“sin 1θ=”是“2πθ=”的必要不充分条件.故选：B.3.命题“0x ∀>，210x x ++≥，”的否定是（）A.0x ∃≤，210x x ++<B.0x ∃>，210x x ++<C.0x ∃≤，210x x ++≥D.0x ∀>，210x x ++<【答案】B【分析】根据全称量词命题的否定的知识求得正确答案.【详解】原命题的全称量词命题，其否定是存在量词命题,注意到要否定结论而不是否定条件，所以B 选项符合.故选：B 4.不等式2311x x +≥-的解集为（）A.312x x x ⎧⎫<≥⎨⎬⎩⎭或 B.{}4x x ≥ C.{}4x x ≤- D.{14}x x x >≤-或【答案】D【分析】将原不等式转化为一元二次不等式求解.【详解】2311x x +≥-，即23410,011x x x x ++-≥≥--，等价于()()41010x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得1x >或4x ≤-；故选：D.5.已知二次函数221y x ax =-+在区间()2,3内是单调函数，则实数a 的取值范围是（）A.(][),23,-∞⋃+∞ B.[]2,3C.(][),32,-∞-⋃-+∞ D.[]3,2--【答案】A【分析】结合图像讨论对称轴位置可得.【详解】由题知，当222a --≤或232a --≥，即2a ≤或3a ≥时，满足题意.故选：A6.砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得图形，已知0.2m,0.3m,100OA AD AOB ==∠=︒，则该扇环形砖雕的面积为（）2m ．A.6πB.π12C.7π60D.7π120【答案】D【分析】根据扇形的面积公式公式即可求解.【详解】由5π100=9以及扇形的面积公式可得: ()222215π15π15π7π0.50.2292929120ABCD COD AOBS S S OD OA =-=⨯-⨯=⨯-=扇环扇扇,故选：D7.已知角α的终边过点()1,2-，则()π11πsin 3πcos sin 22ααα⎛⎫⎛⎫--+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A.5B.5C.5D.【答案】D【分析】先求得sin ,cos αα，然后利用诱导公式求得正确答案.【详解】由于角α的终边过点()1,2-，所以sin αα====，()π11πsin 3πcos sin 22ααα⎛⎫⎛⎫--+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()πsin 2ππsin sin 6π2ααα⎛⎫+-++-+ ⎝=⎪⎭()πsin πsin sin 2ααα⎛⎫-++- ⎝=⎪⎭2sin cos αα=-=故选：D8.已知函数()f x 是R 上的奇函数，且0x >时，()11e 1xf x =--，则不等式()12ln 3ln 0f t f t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的解集为（）A.()0,2B.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.()1,0,22∞⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭ D.()10,1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【分析】分析函数()f x 的单调性，且()()ln 2ln 20f f =-=.根据奇偶性可得()12ln 3ln 0f t f t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭即为()ln 0f t >，根据单调性即可求解.【详解】0x >时，()11e 1x f x =--，可得()f x 在()0,∞+上单调递减，因为函数()f x 是R 上的奇函数，所以()f x 在(),0∞-上也单调递减.()12ln 3ln 0f t f t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，可转化为()()()2ln 3ln 3ln f t f t f t <--=,可得()ln 0f t >.令()110e 1xf x =-=-，可得ln 2x =,故()()ln 2ln 20f f =-=.故由()ln 0f t >，可得0ln ln 2t <<或ln ln 2t <-,解得12t <<或102t <<，故不等式()12ln 3ln 0f t f t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的解集为()10,1,22⎛⎫⎪⎝⎭.故选:D.二､多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得1分，有选错的得0分.9.下列命题中正确的是（）A.1x >时，1x x+的最小值是2B.存在实数x ，使得不等式12x x+≤成立C.若,x y ∈R ，则2()2x y xy +≤D.若0,0x y >>，且16x y +=，则64xy ≤【答案】BCD【分析】根据基本不等式的取等条件可判断A ；取1x =可判断B ；作差可判断C ；利用基本不等式可判断D.【详解】当1x >时，12x x +≥=，当且仅当1x =时等号成立，故1x >时，1x x+取不到最小值2，故A 错误；当1x =时，12x x+=,故B 正确；()()22222210222x y x xy y xy xy x y +++-=-=+≥,故2()2x y xy +≤，故C 正确；0,0x y >>，16x y +=，则16x y =+≥解得64xy ≤，当且仅当8x y ==时等号成立，故D 正确.故选:BCD.10.下列结论正确的是（）A.函数()23(0x f x aa -=->且1)a ≠的图像必过定点()2,2-B.若(0m n a a a >>且1)a ≠，则m n>C.已知函数()e 1e 1x x f x -=+，则方程()12f x =的实数解为ln3x =D.对任意x ∈R ，都有32x x >【答案】AC【分析】令2x =可判断A ；当01a <<时可判断B ；令()12f x =可得e 3x =，从而可判断C ；当0x <时可判断D.【详解】对于A ，令2x =,可得()0232f a =-=-,故函数()f x 的图象必过定点()2,2-，故A 正确；对于B ，若01a <<,函数x y a =单调递减，由m n a a >可得m n <，故B 错误；对于C ，令()e 11e 12x xf x -==+，可得e 3x =,解得ln3x =，故C 正确；对于D ，当0x <时，312x⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以32x x <,故D 错误.故选:AC.11.下列等式成立的是（）A.πsin 2cos22⎛⎫+= ⎪⎝⎭B.cos73cos28sin73sin282︒︒+︒︒=C.tan152︒=-D.13sin40cos40sin7022︒︒︒+=【答案】ABC【分析】根据诱导公式可判断A ；根据两角差的余弦公式可判断B ；156045︒=︒-︒根据两角差的正切公式可判断C ；根据两角和的正弦公式可判断D.【详解】πsin 2cos22⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故A 正确；()2cos73cos28sin73sin28cos 732c 28os 45=︒-︒=︒︒+︒︒︒=，故B 正确；()tan15tan 60452︒=︒-︒==-C正确；1sin40cos40sin40cos 60cos40sin 6022︒+︒=︒︒+︒︒()sin 4060sin100sin 80=︒+︒=︒=︒，故D 错误.故选:ABC.12.已知函数()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根个数可能为（）A.8B.7C.6D.5【答案】ABC 【分析】以()1f x =的特殊情形为突破口，解出1x =或3或45或4-，将12x x+-看作整体，利用换元的思想进一步讨论即可.【详解】由基本不等式可得120x x +-≥或124x x+-≤-，作出函数()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩的图像，如下：①当2a >时，1224x x +-≤-或1021x x<+-<，故方程12f x a x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭的实数根个数为4；②当2a =时，1224x x +-=-或1021x x <+-<或122x x+-=，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为6；③当12a <<时，12424x x -<+-<-或1021x x <+-<或1122x x<+-<或1223x x<+-<，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为8；④当1a =时，124x x +-=-或1021x x <+-<或121x x +-=或123x x+-=，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为7；⑤当01a <<时，1420x x -<+-<或1324x x<+-<，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为2；⑥当0a =时，120x x +-=或1324x x<+-<，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为3；⑦当a<0时，123x x+->，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为2；故选：ABC【点睛】本题考查了求零点的个数，考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想，属于难题.第II 卷三､填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分.13.函数11=+-y x ____________.（用区间表示）【答案】[1,1)(1,)-⋃+∞【分析】根据分母不为0，偶次根式的被开方非负列式可求出结果.【详解】由函数11=-y x 有意义，得1010x x -≠⎧⎨+≥⎩，解得1x ≥-且1x ≠.所以函数11=+-y x [1,1)(1,)-⋃+∞.故答案为：[1,1)(1,)-⋃+∞14.已知5sin cos 5x x -=，则cos 22x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【答案】45##0.8【分析】将条件由辅助角公式化简，将条件由二倍角公式化简，再代入即可得出答案.【详解】sin cos 5x x -= ，由辅助角公式可得455x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即10sin 410x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，224cos 2cos212sin 12244105x x x πππ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：45.15.如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将____________块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍．（参考数据：lg 20.3010,lg 30.4771≈≈．）【答案】7【分析】构造不等式()1110%2n -<，利用对数运算法则解不等式可求得结果.【详解】假设需要n 块这样的玻璃，则()1110%2n -<，0.90.91log log 22n ∴>=-，lg 2lg 2 6.6lg 9lg1012lg 3n -∴>=≈--，∴至少需要7块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的12.故答案为：7.16.若[]2,3∀∈x ，不等式k x x k ≤-恒成立，则实数k 的取值范围是__________.【答案】9,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】将不等式等价转化为k k x k x x -≤-≤，根据函数的单调性与最值接不等式即可求解.【详解】根据不等式k x x k ≤-恒成立恒成立可知0k >，由k x x k ≤-可得k x k x -≤，所以k k x k x x-≤-≤，即k x k x k x k x ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，即22k x kx x kx k ⎧-≤-⎨-≤⎩，先解2k x kx -≤-，即()21x k x -≤，也即21x k x ≤-，设函数()2212(1)1112111x x x y x x x x -+-+===-++---，令1t x =-，则[]1,2t ∈，根据双勾函数的性质可得12y t t =++在[]1,2t ∈单调递增，当1t =时，12y t t=++有最小值为4，所以4k ≤，再解2x kx k -≤，即2(1)x x k ≤+，也即21x k x ≥+，令[]13,4x m +=∈，则1x m =-，所以()2112m k m mm -≥=+-，设函数12y m m=+-，根据双勾函数的性质可得12y m m =+-在[]3,4m ∈单调递增，当4m =时，12y m m =+-有最大值为94，所以94k ≥，所以9,44k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故答案为:9,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.四､解答题：本大题共6小题，满分52分.解答应写出文字说明､证明过程或演算过程.17.（1）求值：22log 3321272log 8-⨯；（2）设45a b m ==，且131a b+=，求m 的值.【答案】（1）18；（2）500.【分析】（1）根据指对数的运算性质即可求解；（2）根据指对互化可得45log ,log a m b m ==，代入131a b +=，根据换底公式即可求解.【详解】（1）()()222log 333321272log 33399188-⨯=-⨯-=+=.（2）由45a b m ==，可得45log ,log a m b m ==,所以()53413log 43log 5log lo log 451g m m m m m+=+=⨯=，解得345500m =⨯=.18.已知函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若()f x 在区间[],0m上的值域为⎡-⎣，求m 的取值范围.【答案】（1）5πππ,π,1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）5π5π,612⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）令πππ2π2π,2322k x k k ≤+-+≤+∈Z 即可求得单调递增区间；（2）由[],0x m ∈，得πππ,33322x m ⎡++⎤∈⎢⎣⎦，画出2sin y x =在[]2π,π-的图象，可得24πππ332m ≤+-≤-，从而可求解.【小问1详解】令πππ2π2π,2322k x k k ≤+-+≤+∈Z ，解得5ππππ,1212k k k x -+≤+≤∈Z .故()f x 的单调递增区间为5πππ,π,1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .【小问2详解】因为[],0x m ∈，所以πππ,33322x m ⎡++⎤∈⎢⎥⎣⎦.画出2sin y x =在[]2π,π-的图象如图所示：所以24πππ332m ≤+-≤-，解得5π5π612m -≤-≤.故m 的取值范围为5π5π,612⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.19.在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y （单位：百万个）与培养时间x （单位：小时）的关系为：x 234568y 3.5 3.84 4.16 4.3 4.5根据表格中的数据画出散点图如下：为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：①2log y a x b =+，②2y x ax b =++，③2x a y b -=+.（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；（2）利用()4,4和()8,4.5这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到6百万个.【答案】（1）2log y a x b =+;（2）62.【分析】（1）根据函数的增长速度可求解；（2）将所选的两点坐标代入函数解析式，求出参数值，可得出函数模型的解析式，再由6y ≥即可求解.【小问1详解】随着自变量的增加，函数值的增长速度变小，而2y x ax b =++在对称轴右方，随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，2x a y b -=+随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，故选择函数2log y a x b =+.【小问2详解】由题意可得22log 424,log 83 4.5a b a b a b a b +=+=⎧⎨+=+=⎩，解得1,23a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以21log 32y x =+.令21log 362y x =+≥，解得64x ≥.故至少再经过62小时，细菌数列达到6百万个.20.已知两个变量,(0x y x >且1)x ≠满足关系式e y x =，且y 是x 的函数.（1）写出该函数的表达式()y f x =，值域和单调区间（不必证明）；（2）在坐标系中画出该函数的图象（直接作图，不必写过程及理由）.【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由e y x =两边取以e 为底的对数可求()f x 的解析式，再根据对数函数的性质即可求单调区间与值域；（2）根据解析式与单调性即可画出图象.【小问1详解】由e y x =，可得ln ln e 1y x ==,即1ln y x =(0x >且1)x ≠,故()1ln f x x =(0x >且1)x ≠.当()0,1x ∈时，ln y x =单调递增，故()1ln f x x=单调递减；当()1,x ∈+∞时，ln y x =单调递增，故()1ln f x x =单调递减.故()f x 的单调递增区间为()0,1，()1,+∞，无单调递减区间.当()0,1x ∈时，ln 0x <，故()0f x <；当()1,x ∈+∞时，ln 0x >，故()0f x >.故函数()f x 的值域为()(),00,∞-+∞U .【小问2详解】函数()1ln f x x=(0x >且1)x ≠的图象如图所示;21.已知函数()()441sin cos cos 2f x x x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）令()()()2π5π3,,1212g x fx af x a x ⎡⎤=++-∈⎢⎥⎣⎦，求()g x 的最小值.【答案】（1）π;（2）()2min 3,0,3,20,44, 2.a a a g x a a a -≥⎧⎪⎪=--+-<<⎨⎪≤-⎪⎩【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式及辅助角公式可得()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而可求函数()f x 的最小正周期；（2）利用正弦函数的图象与性质可得π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()[]0,1f x ∈，令()t f x =，根据二次函数的性质即可求最小值.【小问1详解】()()221331πsin cos 2sin 222226f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2=.【小问2详解】由π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得π2π20,63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以()[]πsin 20,16f x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.令()t f x =,则()()[]2233,0,1fx af x a t at a t ++-=++-∈，令()[]23,0,1h t t at a t =++-∈，其对称轴为2a t =-，①当02a -≤，即0a ≥，()h t 在[]0,1上单调递增，所以()()min 03h t h a ==-；②当012a <-<，即20a -<<时，()h t 在0,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()2min324a a h t h a ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭；③当12a -≥，即2a ≤-时，()h t 在[]0,1上单调递减，所以()()min 14h t h ==.综上所述，()2min3,0,3,20,44, 2.a a a h t a a a -≥⎧⎪⎪=--+-<<⎨⎪≤-⎪⎩故()2min 3,0,3,20,44, 2.a a a g x a a a -≥⎧⎪⎪=--+-<<⎨⎪≤-⎪⎩22.给定常数0a >，定义在R 上的函数()15πsin 2sin 22f x x a x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（1）若()f x 在R 上的最大值为2，求a 的值；（2）设1,2a n ≥为正整数.如果函数()y f x =在区间()0,πn 内恰有2022个零点，求n 的值.【答案】（1）52；（2）1011或1348.【分析】（1）根据诱导公式及二倍角公式可得()21sin sin 2f x x a x =-++，设[]sin ,1,1t x t =∈-，分类讨论，根据二次函数的性质即可求解；（2）由题意可得2102y t at =-++=有两个不等的实数根()1212,t t t t <，12110,122t t -≤<<≤.分12110,122t t -≤<<<与1210,12t t -≤<=讨论，结合正弦函数的图象即可求解.【小问1详解】()1π1sin 2π2sin cos 2sin 222f x x a x x a x ⎛⎫=+-+=+ ⎪⎝⎭()221112sin sin sin sin 22x a x x a x =-+=-++，设[]sin ,1,1t x t =∈-，则2211sin sin 22x a x t at -++=-++，()2102y t at a =-++>的开口向下，对称轴为02a t =>，当012a <<，即02a <<时，222max 1142242a a a y =-++=+，又max2y =，所以21242a +=，解得26a =，与02a <<矛盾.当12a ≥，即2a ≥时，当1t =时，max 11122y a a =-++=-，又max 2y =，所以122a -=，解得[)52,2a =∈+∞.综上所述，52a =.【小问2详解】()21sin sin 2f x x a x =-++，令()0f x =，[]sin ,1,1t x t =∈-，则2102y t at =-++=.因为220a ∆=+>，所以2102y t at =-++=有两个不等的实数根()1212,t t t t <，且1212110,22t t t t a =-<+=≥，所以12110,122t t -≤<<≤.又sin ,t x x =∈R ，当12110,122t t -≤<<<时，(]0,πx ∈时，sin t x =有2个根；(]π,2πx ∈时，sin t x =有2个根；故(]0,2πx ∈时，sin t x =有4个根.因为()y f x =在区间()0,πn 内恰有2022个零点，所以1011n =.当1210,12t t -≤<=时，(]0,πx ∈时，sin t x =有1个根；(]π,2πx ∈时，sin t x =有2个根；故(]0,2πx ∈时，sin t x =有3个根.因为()y f x =在区间()0,πn 内恰有2022个零点，且20226743=⨯，所以67421348n =⨯=.综上所述，n的值为1011或1348.【点睛】关键点睛：二次函数与正弦型函数的复合问题，求值域可利用换元法，转化为二次函数求值域，单调性问题需要结合正弦函数及二次函数的单调性.。