人教版高中数学选修2-3练习：第二章2.3-2.3.2离散型随机变量的方差 Word版含解析

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课堂达标·效果检测1.设投掷1颗骰子的点数为ξ,则( )A.E(ξ)=3.5,D(ξ)=3.52B.E(ξ)=3.5,D (ξ)=C.E(ξ)=3.5,D(ξ)=3.5D.E(ξ)=3.5,D(ξ)=【解析】选B.ξ可以取1,2,3,4,5,6.P(ξ=1)=P(ξ=2)=P(ξ=3)=P(ξ=4)=P(ξ=5)=P(ξ=6)=,所以E(ξ)=1×+2×+3×+4×+5×+6×=3.5,D(ξ)=[(1-3.5)2+(2-3.5)2+(3-3.5)2+(4-3.5)2+(5-3.5)2+(6-3.5)2]×=,故选B.2.已知ξ～B(n,p),且E(ξ)=7,D(ξ)=6,则p等于( )A. B. C. D.【解析】选A.因为随机变量ξ～B(n,p),则E(ξ)=np,D(ξ) =np(1-p),又E(ξ)=7,D(ξ)=6,所以np=7,np(1-p)=6,所以p=,故选A.3.有两台自动包装机甲与乙,包装重量分别为随机变量ξ1,ξ2,已知E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2),则自动包装机的质量较好.【解析】因为E(ξ1)=E(ξ2),所以甲、乙两机包装的重量的平均水平一样. D(ξ1)>D(ξ2)说明甲机包装重量的差别大,不稳定.所以乙机质量好.答案:乙4.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回地摸取5次,设摸得白球数为X,已知E(X)=3,则D(X)= .【解析】由题意知,X～B,所以E(X)= 5×=3,解得m=2,所以X～B,所以D(X)=5××=.答案:5.(2014·广州高二检测)为防止山体滑坡,某地决定建设既美化又防护的绿化带,种植松树、柳树等植物.某人一次种植了n株柳树,各株柳树成活与否是相互独立的,成活率为p,设ξ为成活柳树的株数,数学期望E(ξ)=3,标准差σ(ξ)为.(1)求n,p的值并写出ξ的分布列.(2)若有3株或3株以上的柳树未成活,则需要补种,求需要补种柳树的概率.【解析】(1)由E(ξ)=np=3,(σ(ξ))2=np(1-p)=,得1-p=,从而n=6,p=,ξ的分布列为ξ0 1 2 3 4 5 6P(2)记“需要补种柳树”为事件A,则P(A)=P(ξ≤3),得P(A)==.关闭Word文档返回原板块。

选修2-3 第二章 2.3 2.3.2一、选择题1．已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k )＝13，k ＝1、2、3，则D (3X ＋5)＝( )A ．6B ．9C ．3D ．4[答案] A[解析] E (X )＝(1＋2＋3)×13＝2，D (X )＝[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]×13＝23，∴D (3X ＋5)＝9D (X )＝6.2．若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3·2－2 B ．2－4 C ．3·2－10D ．2－8[答案] C[解析] E (X )＝np ＝6，D (X )＝np (1－p )＝3， ∴p ＝12，n ＝12，则P (X ＝1)＝C 112·12·(12)11＝3·2－10. 3．设随机变量X 的概率分布列为P (X ＝k )＝p k ·(1－p )1－k (k ＝0,1)，则E (X )、D (X )的值分别是( )A ．0和1B ．p 和p 2C ．p 和1－pD ．p 和(1－p )p[答案] D[解析] 由X 的分布列知，P (X ＝0)＝1－p ，P (X ＝1)＝p ，故E (X )＝0×(1－p )＋1×p ＝p ，易知X 服从两点分布，∴D (X )＝p (1－p )．4．(2013·浙江余姚中学高二期中)已知随机变量ξ和η，其中η＝10ξ＋2，且E (η)＝20，若ξ的分布列如下表，则m 的值为( )ξ 1 2 3 4 P14mn112A.4760B ．3760C ．2760D ．18[答案] A[解析] ∵E (η)＝E (10ξ＋2)＝10E (ξ)＋2＝20， ∴E (ξ)＝1.8即：1×14＋2m ＋3n ＋4×112＝1.8，∴2m ＋3n ＝7360① 又m ＋n ＝1－14－112＝23②，由①②得，m ＝4760.5．随机变量X ～B (100,0.2)，那么D (4X ＋3)的值为( ) A ．64 B ．256 C ．259 D ．320 [答案] B[解析] 由X ～B (100,0.2)知随机变量X 服从二项分布，且n ＝100，p ＝0.2，由公式得D (X )＝np (1－p )＝100×0.2×0.8＝16，因此D (4X ＋3)＝42D (X )＝16×16＝256，故选B.6．已知X 的分布列如下表：且a 、b 、c 成等比数列，E (X )＝19，则a ＝( )A ．16B ．13C ．12D ．23[答案] C[解析] 由分布列的性质得a ＋b ＋c ＝1318①∵E (X )＝19，∴－a ＋c ＋59＝19，∴a －c ＝49，② 又a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ，③ 将②代入①、③得，⎩⎨⎧2a ＋b ＝76， ④b 2＝a (a －49). ⑤由④得b ＝76－2a ，代入⑤得，a ＝12或a ＝4954，当a ＝4954时，a ＋518＝6454>0，不合题意舍去，∴a ＝12.二、填空题7．某射手击中目标的概率为p ，则他射击n 次，击中目标次数X 的方差为________． [答案] np (1－p ) [解析] ∵X ～B (n ，p )， ∴D (X )＝np (1－p )．8．(2014·浙江理，12)随机变量ξ的取值为0、1、2，若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.[答案] 25[解析] 设ξ＝1的概率为P .则E (ξ)＝0×15＋1×P ＋2(1－P －15)＝1，∴P ＝35.故D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.9．(2013·汶上高二检测)已知随机变量X 的分布列为且E (X )＝1.1，则D (X )＝[答案] 0.49[解析] 由题意知⎩⎨⎧15＋m ＋310＝1，0×15＋1·m ＋x ·310＝1.1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12x ＝2.所以D (X )＝(0－1.1)2×15＋(1－1.1)2×12＋(2－1.1)2×310＝0.49.三、解答题10．(2013·北京理，16)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望； (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) [解析] 设A i 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i ＝1,2，…，13)， 根据题意，P (A i )＝113，且A i ∩A j ＝∅(i ≠j )．(1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A 5∪A 8， 所以P (B )＝P (A 5∪A 8)＝P (A 5)＋P (A 8)＝213.(2)由题意可知，X 的所有可能取值为0、1、2，且 P (X ＝1)＝P (A 3∪A 6∪A 7∪A 11) ＝P (A 3)＋P (A 6)＋P (A 7)＋P (A 11)＝413，P (X ＝2)＝P (A 1∪A 2∪A 12∪A 13) ＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 12)＋P (A 13)＝413，P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝513.所以X 的分布列为：X 0 1 2 P513413413故X 的期望E (X )＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．一、选择题11．某人射击一次击中的概率为35，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )A ．81125B ．54125C ．36125D ．27125[答案] A[解析] 该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是 P 1＝C 23·(35)2·25， 三次全部击中目标的概率是P 2＝C 33·(35)3，所以此人至少有两次击中目标的概率是 P ＝P 1＋P 2＝C 23·(35)2·25＋C 33·(35)3＝81125. 12．甲、乙两台自动机床各生产同种标准产品1000件，ξ表示甲车床生产1000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经过一段时间的考察ξ，η的分布列分别如表一，表二所示．据此判定( )表一表二A.甲比乙质量好 C ．甲与乙质量相同 D ．无法判定[答案] B[解析] 由分布列可求甲的次品数期望为E (ξ)＝0.7，乙的次品数期望为E (η)＝0.7，进而得D (ξ)＝(0－0.7)2×0.7＋(1－0.7)2×0＋(2－0.7)2×0.2＋(3－0.7)2×0.1＝1.21，D (η)＝(0－0.7)2×0.6＋(1－0.7)2×0.2＋(2－0.7)2×0.1＋(3－0.7)2×0.1＝1.01，故乙的质量要比甲好．13．(2013·海口高二检测)设ξ是离散型随机变量，P (ξ＝x 1)＝23，P (ξ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知E (ξ)＝43，D (ξ)＝29，则x 1＋x 2的值为( )A ．53B ．73C ．3D ．113[答案] C[解析] 由E (ξ)＝43，D (ξ)＝29得，⎩⎨⎧23x 1＋13x 2＝43，(x 1－43)2·23＋(x 2－43)2·13＝29，解之得，⎩⎨⎧x 1＝53，x 2＝23，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2. ∵x 1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2.∴x 1＋x 2＝3.14．随机变量X 的分布列如下：若E (X )＝158，则D (X )等于( )A ．732B ．932C ．3364D ．5564[答案] D[解析] 由题意知， ⎩⎪⎨⎪⎧1×0.5＋2x ＋3y ＝158，0.5＋x ＋y ＝1，∴⎩⎨⎧x ＝18，y ＝38.∴D (X )＝(1－158)2×12＋(2－158)2×18＋(3－158)2×38＝5564.二、填空题15．已知随机变量ξ的概率分布列如下：已知E (ξ)＝6.3，随机变量[答案] 1.68[解析] 由分布列的性质知b ＝1－0.5－0.1＝0.4，∵E (ξ)＝4×0.5＋0.1×a ＋9×0.4＝0.1a ＋5.6＝6.3，∴a ＝7， ∵η～B (a ，b )，即η～B (7,0.4)，∴D (η)＝7×0.4×(1－0.4)＝1.68. 三、解答题16．(2013·辽宁理，19)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．[解析] (1)设事件A ＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”， 则有A －＝“张同学所取的3道题都是甲类题”． 因为P (A －)＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (A －)＝56.(2)X 所有的可能取值为0、1、2、3. P (X ＝0)＝C 02·(35)0·(25)2·15＝4125； P (X ＝1)＝C 12·(35)1·(25)1·15＋C 02(35)0·(25)2·45＝28125； P (X ＝2)＝C 22·(35)2·(25)0·15＋C 12(35)1·(25)1·45＝57125； P (X ＝3)＝C 22·(35)2·(25)0·45＝36125. 所以X 的分布列为：所以E (X )＝0×4125＋1×28125＋2×57125＋3×36125＝2.17．(2014·哈师大附中高二期中)现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下．(如：落在区间[10,15)内的频率/组距为(0.0125)规定分数在[10,20)、[20,30)、[30,40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表．(1)求a 的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数；(2)若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数X 的分布列； (3)若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y 的期望．[解析] (1)由频率分布直方图知：(0.0625＋0.0500＋0.0375＋a ＋2×0.0125)×5＝1，∴a ＝0.0250.其中为一级运动员的概率为(0.0125＋0.0375)×5＝0.25， ∴选出篮球运动员代表中一级运动员为0.25×16＝4人． (2)由已知可得X 的可能取值分别为0、1、2、3， P (X ＝0)＝C 312C 316＝1128，P (X ＝1)＝C 212·C 14C 316＝3370，P (X ＝2)＝C 112·C 24C 316＝970，P (X ＝3)＝C 34C 316＝1140，∴X 的分布列为X 0 1 2 3 P112833709701140(3)由已知得Y ～B (3，14)，∴E (Y )＝np ＝3×14＝34，∴恰有一级运动员人数Y 的期望为34人．。

2.3.2 离散型随机变量的方差1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(重点)3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．(难点)[基础·初探]教材整理1 离散型随机变量的方差的概念阅读教材P 64～P 66上面第四自然段，完成下列问题． 1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义：设离散型随机变量X 的分布列为则(x i －E (X ))2描述了x i (i ＝1,2，…，n )相对于均值E (X )的偏离程度，而D (X )＝i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．称D (X )为随机变量X 的方差，其算术平方根错误!为随机变量X 的标准差．(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．2．随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．1．下列说法正确的有________(填序号)．①离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值；②离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平；③离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平；④离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平．【解析】①错误．因为离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的平均水平．②错误．因为离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了随机变量偏离于期望的平均程度．③错误．因为离散型随机变量的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平，而随机变量的期望E(ξ)反映了ξ取值的平均水平．④正确．由方差的意义可知．【答案】④2．已知随机变量ξ，D(ξ)＝19，则ξ的标准差为________．【解析】ξ的标准差错误!＝错误!＝错误!.【答案】1 33．已知随机变量ξ的分布列如下表：则ξ的均值为________【解析】均值E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13；方差D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋(x3－E(ξ))2·p3＝5 9 .【答案】－1359教材整理2离散型随机变量的方差的性质阅读教材P66第5自然段～P66探究，完成下列问题．1．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)；(2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )． 2．离散型随机变量方差的线性运算性质 设a ，b 为常数，则D (aX ＋b )＝a 2D (X )．1．若随机变量X 服从两点分布，且成功概率P ＝0.5，则D (X )＝________，E (X )＝________.【解析】 E (X )＝0.5，D (X )＝0.5(1－0.5)＝0.25. 【答案】 0.25 0.52．一批产品中，次品率为13，现连续抽取4次，其次品数记为X ，则D (X )的值为________.【导学号：29472071】【解析】 由题意知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4，13，所以D (X )＝4×13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13＝89.【答案】893．已知随机变量X ，D (10X )＝1009，则X 的标准差为________．【解析】 因为D (10X )＝100D (X )＝1009，所以D (X )＝19，所以错误!＝错误!.【答案】 13[小组合作型]离散型随机变量的方差的性质及应用(1)已知随机变量X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，且E (X )＝7，D (X )＝6，则p 等于( )A.17B.16C.15D.14(2)已知η的分布列为：②设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．【精彩点拨】(1)利用二项分布的方差计算公式求解．(2)①利用方差、标准差定义求解；②利用方差的线性运算性质求解．【自主解答】(1)np＝7且np(1－p)＝6，解得1－p＝67，∴p＝17.【答案】 A(2)①∵E(η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，D(η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，∴错误!＝8错误!.②∵Y＝2η－E(η)，∴D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1 536.1．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D (ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．2．若ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p)，若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，其中p为成功概率，应用上述性质可大大简化解题过程．[再练一题]1．为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设X 为成活沙柳的株数，已知E (X )＝3，D (X )＝32，求n ，p 的值．【解】 由题意知，X 服从二项分布B (n ，p )， 由E (X )＝np ＝3，D (X )＝np (1－p )＝32，得1－p ＝12，∴p ＝12，n ＝6.求离散型随机变量的方差、标准差编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E (ξ)和D (ξ)．【精彩点拨】 首先确定ξ的取值，然后求出ξ的分布列，进而求出E (ξ)和D (ξ)的值． 【自主解答】 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P (ξ＝0)＝2A33＝13； ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了， 则P (ξ＝1)＝C13A33＝12；ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座，则P(ξ＝3)＝1A33＝16.所以，ξ的分布列为E(ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1；D(ξ)＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.求离散型随机变量的方差的类型及解决方法1．已知分布列型(非两点分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下，(1)求均值；(2)求方差．2．已知分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下，(1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．3．未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况．4．对于已知D(X)求D(aX＋b)型，利用方差的性质求解，即利用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．[再练一题]2．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ).【导学号：29472072】【解】这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2，则P(ξ＝6)＝C38C310＝715.ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P(ξ＝9)＝C28C12C310＝715.ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P(ξ＝12)＝C18C22C310＝115.∴ξ的分布列为∴E(ξ)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.D(ξ)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.[探究共研型]均值、方差的综合应用探究1A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：试求E(X12【提示】E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.探究2 在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？【提示】不能．因为E(X1)＝E(X2)．探究3 在探究1中，试想利用什么指标可以比较A、B两台机床加工质量？【提示】利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．【精彩点拨】(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值．【自主解答】(1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为(2)由(1)得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好．利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤1．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．2．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．3．下结论．依据方差的几何意义做出结论．[再练一题]3．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：【解】 因为E (X )＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90， D (X )＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40， E (Y )＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，D (Y )＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80， 即E (X )＝E (Y )，D (X )<D (Y )，所以甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的学习成绩较稳定．1．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m )【解析】 随机变量ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m ∴D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m )． 【答案】 D 2．已知X 的分布列为则D(X)等于( )A．0.7 B．0.61C．－0.3 D．0【解析】E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D(X)＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.【答案】 B3．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1 )>D(X2)，则自动包装机________的质量较好．【解析】因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的质量稳定．【答案】乙4．已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________.【解析】由E(X)＝30，D(X)＝20，可得错误!解得p＝错误!.【答案】1 35．已知离散型随机变量X的分布列如下表：若E(X)＝0，D(X)＝1【导学号：29472073】【解】由题意，错误!解得a＝512，b＝c＝14.。

离散型随机变量的方差．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(重点)．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．(难点)[基础·初探]教材整理离散型随机变量的方差的概念阅读教材～上面第四自然段，完成下列问题．．离散型随机变量的方差、标准差()定义：设离散型随机变量的分布列为则(－())描述了(＝，为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值()的平均偏离程度．称()为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差．的平()意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．．随机变量的方差与样本方差的关系常数随机变量的方差是总体的方差，它是一个，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本变化的方差越来越于总体的方差．接近．下列说法正确的有(填序号)．①离散型随机变量ξ的期望(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值；②离散型随机变量ξ的方差(ξ)反映了ξ取值的平均水平；③离散型随机变量ξ的期望(ξ)反映了ξ取值的波动水平；④离散型随机变量ξ的方差(ξ)反映了ξ取值的波动水平．【解析】①错误．因为离散型随机变量ξ的期望(ξ)反映了ξ取值的平均水平．②错误．因为离散型随机变量ξ的方差(ξ)反映了随机变量偏离于期望的平均程度．③错误．因为离散型随机变量的方差(ξ)反映了ξ取值的波动水平，而随机变量的期望(ξ)反映了ξ取值的平均水平．④正确．由方差的意义可知．【答案】④．已知随机变量ξ，(ξ)＝，则ξ的标准差为．【解析】ξ的标准差＝＝.【答案】．已知随机变量ξ的分布列如下表：ξ的均值为，方差为．【解析】均值(ξ)＝＋＋＝(－)×＋×＋×＝－；方差(ξ)＝(－(ξ))·＋(－(ξ))·＋(－(ξ))·＝.【答案】－教材整理离散型随机变量的方差的性质阅读教材第自然段～探究，完成下列问题．．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差()若服从两点分布，则()＝(－)；()若～(，)，则()＝(－)．．离散型随机变量方差的线性运算性质()．设，为常数，则(＋)＝．若随机变量服从两点分布，且成功概率＝，则()＝，()＝.。