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第十一章线性回归分析

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线性回归分析教程ppt

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04
线性回归分析的应用
预测与决策
销售预测
通过分析历史销售数据，建立线性回归模型，预测未来销售趋势，为企业的生产和库存管理提供决策 依据。
投资决策
利用线性回归分析评估投资项目的潜在收益和风险，帮助投资者做出明智的决策。
市场细分与定位
市场细分
通过线性回归分析，识别不同消费群体 的特征和需求，将市场细分为不同的子 市场，以便更有针对性地进行营销。
影响预测精度。
数据不平衡
03
在某些情况下，某些类别的样本数量过少，可能导致模型对少
数类别的预测能力不足。
样本选择偏差
过拟合
训练数据集过小或过于特定，导致模型对训练数据过度拟合，而 对新数据预测能力不足。
欠拟合
训练数据集过大或过于复杂，导致模型过于简单，无法捕捉到数 据中的复杂模式。
选择偏差
由于某些原因（如实验设计、数据收集过程等），训练数据可能 存在选择偏差，导致模型预测能力下降。
通过残差分析、决定系数、显著性检 验等统计方法对模型进行检验，评估 模型的拟合效果。
多重共线性问题
多重共线性定义
多重共线性是指线性回归模型中自变量 之间存在高度相关或完全相关的情况。
多重共线性的诊断
通过计算自变量之间的相关系数、条 件指数、方差膨胀因子等方法诊断多
重共线性。
多重共线性的影响
多重共线性会导致模型不稳定、参数 估计不准确、甚至出现完全的多重共 线性。
பைடு நூலகம்
VS
定位策略
基于线性回归分析的结果，确定目标市场 和产品定位，制定有效的市场推广策略。
成本预测与控制
成本预测
通过分析历史成本数据，建立线性回归模型，预测未来的生产成本，为企业制定合理的 价格策略提供依据。

线性回归分析PPT

线性回归分析PPT

分析宏观经济因素对微观 经济主体的影响，为企业 决策提供依据。
评估政策变化对经济的影 响，为政策制定提供参考。
市场分析
STEP 02
STEP 03
评估市场趋势和竞争态势， 为企业战略规划提供支持。
STEP 01
分析消费者行为和偏好， 优化产品设计和营销策略。
预测市场需求和销售量， 制定合理的生产和销售计 划。
参数解释
(beta_0) 是截距项，表示当所有自变量值为0时，因变量的值；(beta_1, beta_2, ..., beta_p) 是斜率项，表示自 变量变化一个单位时，因变量变化的单位数量。
线性回归分析的假设
线性关系
自变量和因变量之间存在线性关系， 即它们之间的关系可以用一条直线近 似表示。
01
02
无多重共线性
自变量之间不存在多重共线性，即它 们之间没有高度的相关性，每个自变 量对因变量的影响是独特的。
03
无异方差性
误差项的方差不随自变量的值变化。
无随机性
误差项是随机的，不包含系统的、可 预测的模式。
05
04
无自相关
误差项之间不存在自相关性，即一个 误差项与另一个误差项不相关。
Part
02
线性回归模型的建立
确定自变量与因变量
01
根据研究目的和数据特征，选择 与因变量相关的自变量，并确定 自变量和因变量的关系。
02
考虑自变量之间的多重共线性问 题，避免选择高度相关的自变量 。
散点图与趋势线
通过绘制散点图，观察自变量与因变 量之间的关系，了解数据的分布和趋 势。
根据散点图的分布情况，选择合适的 线性回归模型，如简单线性回归或多 元线性回归。

定量分析方法(11-1)

定量分析方法(11-1)

第十一章 回 归 分 析本章以一元线性回归模型为重点介绍回归分析方法，对于一元线性回归模型所建立的理论与方法作适当的修改便可推广到多元线性回归模型。

§1 回归的概念一、变量之间的关系现实中，各种变量相互依赖、相互影响，存在着某种关系。

如：价格与需求量、利率与投资、收入与消费，等等。

大致可以归纳为两类关系：确定性关系（函数关系），非确定性关系（统计关系）。

1. 确定性关系：变量之间存在着某种完全确定的关系。

如：总收益Y 与产量X 之间的关系：X P Y ⋅=当价格一定时，Y 由X 完全确定。

表现在图形上，()Y X ,的所有点位于一条直线上。

一般地：()n X X X f Y ,,21= （多元函数）2. 非确定性关系：变量之间由于受到某些随机因素的影响而呈现出一种不确定的关系。

如：农业产量主要受到降雨量、施肥量、温度等的影响，但决定产量的并非完全是这些因素，还要受到许多其它因素的影响，如冰雹、蝗灾等自然灾害。

非确定性关系可以分为两大类：1) 相关关系：两个变量处于完全对等的位置，且两个变量皆为随机变量，常用相关系数来度量。

如：计量经济学成绩与统计学成绩，物价水平和股票价格，等等。

2) 回归关系：一个变量的变化是另一个变量变化的原因，而不是相反。

如：消费量Y 与可支配收入X 之间便是一种回归关系。

一般来讲，随着可支配收入的增加，消费增加，可支配收入是影响消费的主要因素，但并非唯一的因XYPX Y =素，影响消费的因素还有消费习惯、地区差异、年龄构成、宗教信仰等等。

同样收入的家庭，有的支出多，有的支出少，即使是同一家庭，其每个月的收入相同的话，各个月的支出也不会完全一样。

这样，对应于一个X 的值，Y 有多个不同的值相对应，X 与Y 呈现出不确定性的关系。

此时：()u X f Y += （u 为随机影响）表现在图形上，()Y X ,的点不是完全处于一条直线（或曲线）上，而是围绕在一条理论线的两旁变化。

线性回归分析

线性回归分析

线性回归分析线性回归是一种用来建立和预测变量间线性关系的统计分析方法。

它可以帮助我们了解变量之间的相互影响和趋势，并将这些关系用一条直线来表示。

线性回归分析常被应用于经济学、社会科学、自然科学和工程等领域。

一、概述线性回归分析是一个广泛使用的统计工具，用于建立变量间的线性关系模型。

该模型假设自变量（独立变量）与因变量（依赖变量）之间存在线性关系，并通过最小化观测值与模型预测值之间的误差来确定模型的参数。

二、基本原理线性回归分析基于最小二乘法，通过最小化观测值与模型预测值之间的残差平方和来确定模型的参数。

具体来说，线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中Y是因变量，X1到Xn是自变量，β0到βn是回归系数，ε是误差项。

回归系数表示自变量对因变量的影响程度。

三、应用步骤进行线性回归分析时，通常需要以下几个步骤：1. 收集数据：获取自变量和因变量的样本数据。

2. 建立模型：根据数据建立线性回归模型。

3. 评估模型的准确性：通过计算残差、决定系数等指标来评估模型的准确性。

4. 进行预测和推断：利用模型对未知数据进行预测和推断。

四、模型评价指标在线性回归分析中，有几个常用的指标用于评价模型的准确性：1. R平方值：R平方值表示因变量的变异性能够被模型解释的比例，数值范围为0到1。

R平方值越接近1，表示模型对数据的拟合程度越好。

2. 残差分析：进行残差分析可以帮助我们判断模型是否符合线性回归的基本假设。

一般来说，残差应该满足正态分布、独立性和等方差性的假设。

五、优缺点线性回归分析有以下几个优点：1. 简单易懂：线性回归模型的建立和解释相对较为简单，无需复杂的数学知识。

2. 实用性强：线性回归模型适用于很多实际问题，可以解决很多预测和推断的需求。

然而，线性回归分析也存在以下几个缺点：1. 假设限制：线性回归模型对于变量间关系的假设比较严格，不适用于非线性关系的建模。

管理统计学习题参考答案第十一章

管理统计学习题参考答案第十一章

十一章1. 解：回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，运用十分广泛。

回归分析按照涉及的变量的多少，分为一元回归和多元回归分析；在线性回归中，按照因变量的多少，可分为简单回归分析和多重回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。

如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。

如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且自变量之间存在线性相关，则称为多元线性回归分析。

相关分析，相关分析是研究现象之间是否存在某种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度，是研究随机变量之间的相关关系的一种统计方法。

相关分析和回归分析是研究客观现象之间数量联系的重要统计方法。

既可以从描述统计的角度，也可以从推断统计的角度来说明。

所谓相关分析，就是用一个指标来表明现象间相互依存关系的密切程度。

所谓回归分析，就是根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型，来近似地表达变量间的平均变化关系。

它们具有共同的研究对象，在具体应用时，相关分析需要依靠回归分析来表明现象数量相关的具体形式，而回归分析则需要依靠相关分析来表明现象数量变化的相关程度。

只有当变量之间存在着高度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义。

由于相关分析不能指出变量间相互关系的具体形式，所以回归分析要对具有相关关系的变量之间的数量联系进行测定，从而为估算和预测提供了一个重要的方法。

在有关管理问题的定量分析中，推断统计加具有更加广泛的应用价值。

需要指出的是，相关分析和回归分析只是定量分析的手段。

通过相关与回归分析，虽然可以从数量上反映现象之间的联系形式及其密切程度，但是现象内在联系的判断和因果关系的确定，必须以有关学科的理论为指导，结合专业知识和实际经验进行分析研究，才能正确解决。

因此，在应用时要把定性分析和定量分析结合起来，在定性分析的基础上开展定量分析。

第11章多重线性回归分析思考与练习参考答案

第11章多重线性回归分析思考与练习参考答案
0.706
0.674
5
0.795
0.809
1.734
1.715
0.549
0.654
6
0.787
0.779
1.509
1.474
0.782
0.571
7
0.933
0.880
1.695
1.656
0.737
0.803
8
0.799
0.851
1.740
1.777
0.618
0.682
9
0.945
0.876
1.811
三、计算题
为确定老年妇女进行体育锻炼还是增加营养会减缓骨骼损伤，一名研究者用光子吸收法测量了骨骼中无机物含量,对三根骨头主侧和非主侧记录了测量值，结果见教材表11-20。分别用两种桡骨测量结果作为反应变量对其他骨骼测量结果作多重线性回归分析，提出并拟合适当的回归模型，分析残差。
解：答案提示，需要对自变量进行筛选，而且要考虑是否存在多重共线性，如果存在，应进行适当的处理。
5.如何判断、分析自变量间的交互作用？
答：基于专业背景知识，构造可能的交互作用项，并检验交互作用项是否有统计学意义。
6.多重线性回归模型的基本假定有哪些？如何判断资料是否满足这些假定？如果资料不满足假定条件，常用的处理方法有哪些？
答：多重线性回归的前提条件是线性、独立性、正态性和等方差性，可以借助残差分析等方法判断资料是否满足条件。如果资料不满足前提条件，可以采用变量变换和非线性回归等方法处理。
19
0.856
0.786
1.390
1.324
0.578
0.610
20
0.890
0.950
2.187

统计学教案习题11多元线性回归与logistic回归

第十一章 多元线性回归与logistic 回归一、教学大纲要求（一）掌握内容1．多元线性回归分析的概念：多元线性回归、偏回归系数、残差。

2．多元线性回归的分析步骤：多元线性回归中偏回归系数及常数项的求法、多元线性回归的应用。

3．多元线性回归分析中的假设检验：建立假设、计算检验统计量、确定P 值下结论。

4．logistic 回归模型结构：模型结构、发病概率比数、比数比。

5．logistic 回归参数估计方法。

6．logistic 回归筛选自变量：似然比检验统计量的计算公式；筛选自变量的方法。

（二）熟悉内容 常用统计软件（SPSS 及SAS ）多元线性回归分析方法：数据准备、操作步骤与结果输出。

（三）了解内容 标准化偏回归系数的解释意义。

二、教学内容精要(一) 多元线性回归分析的概念将直线回归分析方法加以推广，用回归方程定量地刻画一个应变量Y 与多个自变量X 间的线形依存关系，称为多元线形回归（multiple linear regression ），简称多元回归（multiple regression ）基本形式：01122ˆk kY b b X b X b X =+++⋅⋅⋅+ 式中Y ˆ为各自变量取某定值条件下应变量均数的估计值，1X ，2X ，…，k X 为自变量，k 为自变量个数，0b 为回归方程常数项，也称为截距，其意义同直线回归，1b ，2b ，…, k b 称为偏回归系数（partial regression coefficient ），j b 表示在除j X 以外的自变量固定条件下，j X 每改变一个单位后Y 的平均改变量。

(二) 多元线性回归的分析步骤Y ˆ是与一组自变量1X ，2X ，…，kX 相对应的变量Y 的平均估计值。

多元回归方程中的回归系数1b ，2b ，…, k b 可用最小二乘法求得，也就是求出能使估计值Yˆ和实际观察值Y 的残差平方和22)ˆ(∑∑-=Y Y e i 为最小值的一组回归系数1b ，2b ，…, k b 值。

贾俊平第四版统计学-第十一章一元线性回归练习答案

第十一章一元线性回归练习题答案二．填空题 1. 不能；因为该相关系数为样本计算出的相关系数，它的大小受样本数据波动的影响，它是否显著尚需检验；t 检验;2.图1；不能；因为图1反映的是线性相关关系，图2反映的是非线性性相关关系，相关系数只能反映线性相关变量间的相关性的强弱，不能反映非线性相关性的强弱。

三．计算题1.（1） SSR 的自由度是1，SSE 的自由度是18。

（2）2418/6080220/1/==-=SSE SSR F(3)判定系数%14.57140802===SST SSR R 在y 的总变差中，由57.14％的变差是由于x 的变动说引起的。

(4)7559.05714.02-=-=-=R r相关系数为-0.7559。

(5)线性关系显著和：线性关系不显著和y x y x H 10H :因为414.424=>=αF F，所以拒绝原假设，x 与y 之间的线性关系显著。

2.（1）方差分析表df SS MS F Significance F回归分析 1 425 425 85 0.017 残差 15 75 5 － － 总计16500－－－（2）判定系数%8585.05004252====SST SSR R表明在维护费用的变差中，有85％的变差可由使用年限来解释。

（3）9220.085.02===R r二者相关系数为0.9220，属于高度相关（4）x y248.1388.6ˆ+= 分布；显著。

的自由度为t n r n r t 2);12||2---=回归系数为1.248，表示每增加一个单位的产量，该行业的生产费用将平均增长1.248个单位。

（5）线性关系显著性检验：线性关系显著：生产费用和产量之间性关系不显著生产费用和产量之间线10:H H因为Significance F=0.017<05.0＝α,所以线性关系显著。

（6）348.3120248.1388.6248.1388.6ˆ＝＝⨯++=x y当产量为10时，生产费用为31.348万元。

第11章 多重线性回归分析思考与练习参考答案

第11章多重线性回归分析思考与练习参考答案一、最佳选择题1.逐步回归分析中，若增加自变量的个数，则（D）。

A.回归平方和与残差平方和均增大B.回归平方和与残差平方和均减小C.总平方和与回归平方和均增大D.回归平方和增大，残差平方和减小E.总平方和与回归平方和均减小2.下面关于自变量筛选的统计学标准中错误的是（E）。

A.残差平方和（SS残差）缩小B.确定系数（R）增大2C.残差的均方（MS残差）缩小D.调整确定系数（Rad）增大2E.Cp统计量增大3.多重线性回归分析中，能直接反映自变量解释因变量变异百分比的指标为（C）。

A.复相关系数B.简单相关系数C.确定系数D.偏回归系数E.偏相关系数4.多重线性回归分析中的共线性是指（E）。

A.Y关于各个自变量的回归系数相同B.Y关于各个自变量的回归系数与截距都相同C.Y变量与各个自变量的相关系数相同D.Y与自变量间有较高的复相关E.自变量间有较高的相关性5.多重线性回归分析中，若对某一自变量的值加上一个不为零的常数K,则有（D）。

A.截距和该偏回归系数值均不变B.该偏回归系数值为原有偏回归系数值的K 倍C.该偏回归系数值会改变，但无规律D.截距改变，但所有偏回归系数值均不改变E.所有偏回归系数值均不会改变二、思考题1.多重线性回归分析的用途有哪些？答：多重线性回归在生物医学研究中有广泛的应用，归纳起来，可以包括以下几个方面：定量地建立一个反应变量与多个解释变量之间的线性关系，筛选危险因素，通过较易测量的变量估计不易测量的变量，通过解释变量预测反应变量，通过反应变量控制解释变量。

2.多重线性回归模型中偏回归系数的含义是什么？答：偏回归系数的含义是：在控制其他自变量的水平不变的情况下，该自变量每改变一个单位，反应变量平均改变的单位数。

3.请解释用于多重线性回归参数估计的最小二乘法的含义。

答：最小二乘法的含义是：残差的平方和达到最小。

4.如何判断和处理多重共线性？答：如果自变量之间存在较强的相关，则存在多重共线性。

线性回归分析课件


线性回归分析
24
01-03 回归分析的应用
两种回归分析工具使用总结： • 利用回归分析工具进行线性回归的优缺点如下： ① 优点：可以进行一元线性回归，也可以进行多元线性回归。 ② 缺点：只能进行线性回归，不能直接进行非线性回归。 • 利用散点图和趋势线进行回归分析的优缺点如下： ① 优点：不仅能进行线性回归，还能进行非线性回归。 ② 缺点：只能进行一元回归，不能进行多元回归。
线性回归分析
10
01-03 回归分析的应用
案例分析：
表：小区超市的年销售额（百万元）与小区常住人口数（万人）统计表
线性回归分析
11
01-03 回归分析的应用
分析步骤：(一)
线性回归分析
12
01-03 回归分析的应用
分析步骤：（二）
反映模型的拟合度
线性回归分析
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01-03 回归分析的应用
分析步骤：（三） • 一元线性回归 y=kx+b
线性回归分析
5
01-02 回归分析的概念
• 分类
（1）回归分析按照涉及的变量多少，分为 一元回归分析 多元回归分析
（2）按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为 线性回归分析 非线性回归分析线性回归分析601-02 回归分析的概念
• 步骤
线性回归分析
7
01-02 回归分析的概念
• 决定系数
当变量之间的关系可以用一个数学模型来模拟时，我们用决定系数（ R2）判定数学模型拟合效果的好坏。
利用Excel散点图和趋势线进行回归分析： 在现实生活中，很多社会经济现象是非线性发展的，此时数据点分布在 一条曲线附近，例如指数曲线、抛物线等。 将例中的直线模型改成指数模型，操作如下。
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要找出一个错误最小的方法来预测依变量的 数值.
一、获得回归线有两种办法：
局部平均法和函数拟合法
（一）局部平均法
收集到n对父亲和儿子的身高数据（xi,yi）(i=1,2,……n)，
可以对它们进行散点图绘制、计算基本描述统计 量等基本分析。现在得到一个父亲身高数据X0 ， 其儿子身高预测值可以是：第一，子辈身高的平 均值。显然这个预测是不准确的，因为没有考虑 父亲身高X0的作用；第二，父亲身高为X0的所有儿 子身高的平均值。该预测较第一种方法显然要准 确的多。第三，如果在所得数据中没有父亲身高 为X0的样本数据，可考虑计算父亲身高X0左右的一 个较小区间内的儿子的平均值。按照这种思路在 散点图上不难得到一系列对应的数据点，如果这 些点足够多，则可以光滑出一条曲线，即回归线 的近似线。可见回归线是局部平均的结果。
（三）矩阵散点图（matrix）
以方形矩阵的形式在多个坐标轴上分别显示多对 变量间的统计关系。矩阵散点图的关键是弄清各 矩阵单元中的横纵变量。
把参与绘图的若干个变量指定到Matrix Variables 框中。选择变量的先后顺序决定了矩阵对角线上 变量的排列顺序。
可把分组变量指定到Set Markers by框中，同简 单散点图；
Pearson相关系数r
-1≤r≤+1 R=1 R=-1 R=0 |r|＞0.8表示两变量之间具有较强线性相关。 |r|＜0.3表示两变量之间线性相关关系较弱。
Pearson 简单相关系数特点：
（1）对称性【x与y的相关系数等同于y与x的相 关系数】
（2）是标准化处理后的值，所以无量纲。 （3）对x与y作线性变换后可能会改变它们之间
学模型来描述回归线（线性回归模型还是非线性回 归模型）。 （三）建立回归方程。根据收集到的样本数据以及前 步所确定的回归模型，在一定的统计拟合准则下估 计出模型的各个参数，得到一个回归方程。 （四）对回归方程进行各种检验。 （五）利用回归方程进行预测。 利用SPSS进行回归分析时，应重点关注上述过程中第 一步和最后一步，至于中间各个步骤，SPSS会自动 完成，并给出最合理的模型。
(二)重叠散点图overlay scatterplot
表示多对变量间统计关系的散点图。 两个变量为一对，指定绘制哪些变量间的散
点图。其中前一个作为图的纵轴变量，后一 个变量作为图的横轴变量，并可单击
按钮进行横纵轴的调换。 把标记变量指定到Label Cases by框中。涵义
同简单散点图。
在Test of Significance框中选择输出相关系数检验的 双尾（Two Tailed）或单尾（One Tailed）概率P值。
选中Flag significance correlations表示在输出统计 检验的概率P值外，还输出星号，表明变量间相关性是 否显著。不选中则不输出星号。
在Option按钮中的 Statistics选项中，选中 Crossproduct deviations and covariances表示输出各变量 的离差平方和、样本方差、协方差等。
“申请课题数”与“投入科研事业费”的相 关性及推断也可以在我们以前介绍的交互分 类表中进行。
相关分析应用举例
利用偏相关系数进行变量之间的净相关关系分 析通常需要完成以下两大步骤。
第一，计算样本的偏相关系数，
第二，对样本来自的两总体是否存在显著的净 相关进行推断。
偏相关分析的检验统计量为t统计量，它的数学
定义为：
t
nq2 1 r2
r为偏相关系数，n为样本数，q为阶数，t统计
量服从n-q-2个自由度的t分布。
其次，利用样本数据在一定的统计拟合准则下，估计出 回归模型中的各个参数，得到一个确定的回归方程。
最后，对回归方程的参数进行各种检验，判断该方程是 否真实反映事物总体间的统计关系，能否用于预测，并 最终得到回归线的近似线。
函数拟合方法应用广泛。
回归分析的一般步骤
（一）确定回归方程中的解释变量和被解释变量。 （二）确定回归模型：根据散点图确定应通过哪种数
的相关系数的符号（相关的方向），但不会改变 相关系数的值。 （4）不适用度量非线性关系变量间的相关系数
计算Pearson相关系数的操作
Analyze---Correlate---Bivariate
把参加计算相关系数的变量选到Variables框。
在Correlation Coefficients 框中选择计算哪种相关 系数，
第二节 简单线性回归分析
回归分析是一种极为广泛的数量分析方法。 它用于分析事物之间的统计关系，侧重考察 变量之间的数量变化规律，并通过回归方程 的形式描述和反映这种关系，帮助人们准确 把握变量受其他一个或多个变量影响的程度， 进而为控制和预测提供科学依据。
回归分析的核心目的是找到回归线，涉及如 何找到回归线？如何描述回归线？回归线是 否可用于预测？等问题。
表示一对变量间统计关系的散点图。
指定某个变量为散点图的纵轴变量，选入Y Axis 框中； 指定某个变量为散点图的横轴变量，选入X Axis 框中； 可把分组变量指定到Set Markers by框中，样本数据被分
成若干组，并在一张图上分别以不同颜色绘制散点图。 该项可省略； 把标记变量指定到Label Cases by框中，表示将标记变量 的各变量值标记在散点图相应点的旁边。该项可省略。
第十一章 线性相关与回归分析
第一节 线性相关与偏相关分析 第二节 简单线性回归分析 第三节 二项logistic回归分析
第一节 线性相关分析与偏相关分析
线性相关分析通过图形和数值两种方式，能 够有效揭示事物之间的统计关系的强弱程度 。
一、散点图
绘制散点图是相关分析中极为直观的分析方 式。它将数据以点的形式画在直角平面上。 通过观察散点图能够直观地发现变量间的统 计关系以及它们的强弱程度和数据的可能走 向。
首先根据散点图，观察被解释变量与解释变 量之间是否呈现显著的直线关系，若是，则 用采用线性回归分析的方法，建立线性回归 模型。根据模型中解释变量的个数，可将线 性回归模型分为一元线性回归模型和多元线 性回归模型，相应的分析称为一元线性回归 分析和多元线性回归分析。
二、一元线性回归分析 Simple linear regression
（二）函数拟合
利用局部平均得到的回归线应在样本量足够大时才可实 现。通常样本量可能无法达到预期的数量，此时多采用 函数拟合的方法得到回归线。函数拟合的基本思路：
首先，通过散点图观察变量之间的统计关系，得到回归 线形状的感性认识（线性或非线性），并确定一个能够 反映和拟合这种认知的最简捷的数学函数，即回归模型。
在上表中，在把投入高级职称的人年数作为控 制变量的条件下，课题总数与论文数间的偏 相关系数为-0.140，呈极弱的负相关关系， 说明上年发表的论文数对当年立项课题数的 线性影响非常弱。该结论与相关分析的结论 （简单相关系数为0.887）差距甚远。分析原 因发现，上年投入高级职称人年数对立项课 题数有很大的影响，该因素也充分地作用在 发表论文数上，并对发表论文数起了决定性 作用。因此，当控制投入高级职称的人年数 后，发表论文数就不再对立项课题数有显著 的线性作用了。可见，偏相关分析对辨别变 量间的虚假相关有极为重要的影响。
单散点图。
80
50 男性平均60预期寿命 70
40
2
2.5
3
3.5
4
4.5
log（人均gdp）
Lowess smoother
80
50 男性平均60预期寿命 70
40
2
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3
3.5
4
4.5
二、相关系数
虽然散点图能够直观地展现变量之间的统计 关系，但并不精确。相关系数以数值的方式 精确地反映了两个变量之间的线性相关的强 弱程度。
现实社会经济现象中，某一事物（被解释变 量）总会受到多方面因素（多个解释变量） 的影响。一元线性回归分析是在不考虑其他 影响因素或在认为其他影响因素确定的条件 下，分析一个解释变量是如何线性影响被解 释变量的，因而是比较理想化的分析。
（一）回归参数的普通最小二乘估计
一元线性回归方程的数学模型：Y=A+BX+ε Y ：因变量（dependent variable）
三、偏相关分析
在多数情况下，单纯利用相关系数来评价变 量之间的相关性显然是不准确的，需要剔除 其他因素的影响，再计算变量之间的相关系 数。这个过程就是偏相关分析，又叫净相关 分析。控制变量个数为一个时称为一阶偏相 关。两个时为二阶偏相关；控制变量个数为 零个时称为零阶偏相关，也就是相关系数。
研究商品需求量和价格、消费者收入之间的 线性关系。
X：自变量（independent variable） B ：斜率（sloቤተ መጻሕፍቲ ባይዱe）（回归系数） A：截距intercept. （回归常数）
ε：随机误差。应当满足两个前提条件： E(ε)=0 var(ε)=σ2
残差的图示
Case 7: x=3, y=5
yi = a + bxi + ei 4
Graphs---Legacy Dialogs---Scatter/Dot
例题
根据31个省市自治区部分高校有关社科研究 方面的数据，研究立项课题数（当年）与投 入的具有高级职称的人年数（上年），发表 的论文数（上年）之间是否具有较强的线性 关系。
（一）简单散点图simple scatterplot
偏相关分析的基本操作
Analyze---correlate---partial 根据31个省市自治区部分高校有关社科研究
方面的数据，控制投入的具有高级职称的人 年数（上年），分析研究立项课题数（当年） 与发表的论文数（上年）之间是否具有较强 的线性关系。
把参与分析的变量选到Variables框。