高二数学《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》教案 新人教版必修4
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云南省陇川县高二数学《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》教案 新人教版必修4
一、内容及其解析
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.
二．教学目的
1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；
2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；
三、教学重点难点
重点：平面向量数量积的含义与物理意义，性质与运算律及其应用。
难点：平面向量数量积的概念
四:教学过程
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标。
创设问题情景，引出新课
1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用
3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义
（三）合作探究，精讲点拨
探究一：数量积的概念
1、给出有关材料并提出问题3：
（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，
那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。
（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空： SFα ①W（功）是 量，
②F（力）是 量，
③S（位移）是 量，
④α是 。
（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积
2、明晰数量积的定义
（1） 数量积的定义：
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量 ︱a︱·︱bb︱cos叫做a与b的数量积（或内积），记作：a·b，即：a·b= ︱a︱·︱b︱cos
（2）定义说明：
①记法“a·b”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。
② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。
（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？
期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量a与b的模有关，还和它们的夹角有关。
（4）学生讨论，并完成下表：
的范围 0°≤<90° =90° 0°<≤180°
a·b的符号
例1 ：已知｜a｜＝３，｜b｜＝６，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.
解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝０°，
∴a·b＝｜a｜·｜b｜cos0°＝3×6×1＝18；
若a与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴a·b＝｜a｜｜b｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，
∴a·b＝０；
③当a与b的夹角是60°时，有
a·b＝｜a｜｜b｜cos60°＝3×6×21＝9
评述：
两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当a∥b时，有0°或180°两种可能.
变式：对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角。
探究二：研究数量积的意义
1.给出向量投影的概念：
如图，我们把│b│cos（│a│cos）
叫做向量b在a方向上（a在b方向上）的投影，
记做：OB1=︱│b│︱cos
2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？
期望学生回答：数量积a·b等于a的长度︱a︱与b在a的方向上的投影
︱b︱cos 的乘积。
3. 研究数量积的物理意义
请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积 。
探究三：探究数量积的运算性质
1、提出问题6： 比较︱a·b︱与︱a︱×︱b︱的大小，你有什么结论？
2、明晰：数量积的性质
3.数量积的运算律
（1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？
预测：学生可能会提出以下猜想：
① a·b= b·a
② （a·b）c=a (b·c)
③（a
+ b）·c =a·c +b ·c
（2）、分析猜想：
猜想①的正确性是显而易见的。
关于猜想②的正确性，请同学们先来讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？
期望学生回答：左边是与向量c共线的向量，而右边则是与向量a共线的向量，显然在向量c与向量a不共线的情况下猜测②是不正确的。
（3）、明晰：数量积的运算律：
例2、（师生共同完成）已知︱a︱=6，︱b︱=4, a与b的夹角为60°，求（a+2b ）·（a-3b），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？
解：（a+2b ）·（a-3b）=a.a-3a.b+2a.b-6b.b 设a和b都是非零向量，则
1、a⊥b a ·b=0
2、当a与b同向时，︱a·b︱=︱a︱︱b︱；当a与b反向时，
︱a·b︱= -︱a︱︱b︱， 特别地，a·a=︱a︱2或︱a︱=aa
3、︱a·b︱≤︱a︱×︱b︱
已知向量a、 b、c和实数λ，则：
（1）a·b= b·a （2）（λa）·b=λ（a·b)= a·（λb）
abcacbc =36-3×4×6×0.5-6×4×4
= -72
评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律
变式：（1）(a+b)2=a2+2a·b+b2
（2）(a+b )·(a-b)= a2—b2
（四）反思总结，当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）
五：目标检测
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ ）
A.6 B.5 C.7 D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ ）
A.-3 B.-1 C.1 D.3
3.已知│a│=8，│b│=10，│a+b│=16，a与b的夹角θ的余弦.
六：课后反思
