2020-2021学年江西赣州高二上数学期中试卷

第1页 共20页 ◎ 第2页 共20页 2020-2021学年江西赣州高二上数学期中试卷

一、选择题

1. 直线√3𝑥−𝑦−1=0的倾斜角是（ ）

A.𝜋3 B.2𝜋3 C.𝜋6 D.5𝜋6

2. 庚子新春，病毒肆虐，某老师为了解某班41名同学宅家学习期间上课、锻炼、休息等情况，决定将某班学生编号为01，02，…，41．利用下面的随机数表选取10个学生调查，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个学生的编号为( )

9258 0613 0604 7214 0702 4312 9728 0198

3104 9231 4935 8209 3624 4869 6938 7481

A.04 B.06 C.13 D.14

3. 已知直线𝑚𝑥+3𝑦+2=0与直线2𝑥+(𝑚−1)𝑦+𝑚=0平行，则实数𝑚=（ ）

A.−3 B.3 C.−2 D.−2或3

4. 若两个变量𝑥，𝑦是线性相关的，且样本(𝑥𝑖,𝑦𝑖)(𝑖=1,2,⋯,𝑛)的平均点为(3,2.5)，则这组样本数据算得的线性回归方程不可能是（ ）

A.𝑦=0.5𝑥+1 B.𝑦=0.6𝑥+0.7 C.𝑦=0.2𝑥+1.9 D.𝑦=𝑥−1.5

5. 已知圆𝐶:𝑥2+𝑦2−2𝑥−5=0，该圆过点𝑃(2,−1)的最短弦为𝐴𝐵，则弦𝐴𝐵的直线方程为（ ）

A.𝑥+𝑦+1=0 B.2𝑥+𝑦−3=0 C.𝑥−𝑦−3=0 D.2𝑥−𝑦−5=0

6. 一组数据的平均数是26，方差是6，若将这组数据中的每一个数据都加上30，得到一组新数据，所得新数据的平均数和方差分别为( )

A.56，6 B.30，6 C.56，10 D.30，10

7. 若𝑚，𝑛是两条不同的直线， 𝛼，𝛽是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）

A.若𝑚⊥𝛼，𝑛//𝛽，𝛼//𝛽，则𝑚⊥𝑛 B.若𝑚⊥𝛽，𝛼⊥𝛽，则𝑚//𝛼 C.若𝑚⊆𝛼，𝑛⊆𝛼，𝑚//𝛽，𝑛//𝛽，则𝛼//𝛽

D.若𝑚//𝛼，𝛼∩𝛽=𝑛，则𝑚//𝑛

8. 某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的最长棱的长度为（ ）

A.2 B.2√2 C.2√3 D.4

9. 已知正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1，𝑀是𝐵𝐵1的中点，则异面直线𝐴1𝑀与𝐵1𝐶所成角的余弦值为（ ）

A.√105 B.√1010 C.√155 D.3√1010

10. 已知𝑎=1 ，𝑏=0.50.9

，𝑐=log50.8，𝑑=log0.80.5，则执行如图所示的程序框图，输出的𝑥值等于（ ）（结果用𝑎，𝑏，𝑐，𝑑表示）

A.𝑎 B.𝑏 C.𝑐 D.𝑑

11. 已知圆𝐶:𝑥2+(𝑦−1)2=1，直线𝑙经过点𝐴(3,0)，过直线𝑙上的点𝑃引圆𝐶的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线𝑙的斜率𝑘=( )

A.−13 B.12 C.−2或12 D.−13或12

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12. 数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（常数大于零且不等于一）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，𝐴(−2,0)，动点𝑀满足|𝑀𝐴|=√2|𝑀𝑂|，得到动点𝑀的轨迹是阿氏圆𝐶．若对任意实数𝑘，直线𝑙:𝑦=𝑘(𝑥−1)+𝑏与圆𝐶恒有公共点，则𝑏的取值范围是（ ）

A.[−√5,√5] B.[−√6,√6] C.[−√7,√7] D.[−2√2,2√2]

二、填空题

已知𝑎→=(1,2)，𝑏→=(𝑥,2)，若𝑎→⊥𝑏→，则|𝑏→|=________.

已知𝑎>0，𝑏>0，𝑎+𝑏=1，则1𝑎+1𝑏的最小值为________ ．

某水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，它是底角为45∘，腰和上底均为1的等腰梯形，则该平面图形的周长为________.

如图，平面四边形𝐴𝐷𝐵𝐶中， 𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，𝐴𝐵=√3，𝐵𝐶=2√3 ，△𝐴𝐵𝐷为等边三角形，现将△𝐴𝐵𝐷沿𝐴𝐵翻折，使点𝐷移动至点𝑃，且𝑃𝐵⊥𝐵𝐶，则三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶的外接球的体积为________.

三、解答题

已知等比数列{𝑎𝑛}各项均为正数，𝑆𝑛是数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，且𝑎1=4,𝑆3=28.

(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；

(2)设𝑏𝑛=log2𝑎𝑛，求数列{𝑎𝑛+𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛.

在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴,𝐵,𝐶所对各边分别为𝑎,𝑏,𝑐，设向量𝑚→=(2𝑏−𝑐,𝑎)，𝑛→=(cos𝐶,cos𝐴)且满足𝑚→//𝑛→.

(1)求𝐴；

(2)若𝑎=4 ，△𝐴𝐵𝐶的面积为√3，求△𝐴𝐵𝐶的周长．

已知直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，∠𝐵𝐴𝐶=90∘，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐷是𝐵𝐶中点，𝐸是𝐴𝐴1中点．

(1)求证：𝐴𝐷⊥𝐵𝐶1；

(2)求证：𝐷𝐸 // 平面𝐴1𝐶1𝐵．

2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法．民法典与百姓生活密切相关，某学校有800名学生，为了解学生对民法典的认识程度，抽查了100名学生进行测试，并按学生的成绩（单位：分）制成如图所示频率分布直方图．

(1)求𝑚的值；

(2)若成绩在80分及以上视为优秀，根据样本数据估计该校学生对民法典认识程度优秀的人数；

(3)如果抽查的测试平均分超过75分，就表示该学校通过测试，试判断该校能否通过测试．

如图，三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，底面△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝑃𝐴=2,𝑃𝐴⊥底面𝐴𝐵𝐶，点𝐸为𝐴𝐶的中点，点𝐹为侧棱𝑃𝐶上任意一点．

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(1)求证：平面𝐵𝐸𝐹⊥平面𝑃𝐴𝐶；

(2)若𝑃𝐺𝐺𝐵=12，求三棱锥𝐴−𝑃𝐺𝐸体积．

已知圆𝐶:𝑥2−6𝑥+𝑦2−6𝑦+3=0，直线𝑙:𝑥+𝑦−2=0是圆𝐸与圆𝐶的公共弦𝐴𝐵所在直线方程，且圆𝐸的圆心在直线𝑦=2𝑥上．

(1)求公共弦𝐴𝐵的长度；

(2)求圆𝐸的方程；

(3)过点𝑄(−2,0)分别作直线𝑀𝑁，𝑅𝑆，交圆𝐸于𝑀，𝑁，𝑅，𝑆四点，且𝑀𝑁⊥𝑅𝑆，求四边形𝑀𝑅𝑁𝑆面积的最大值与最小值．

第7页 共20页 ◎ 第8页 共20页 参考答案与试题解析

2020-2021学年江西赣州高二上数学期中试卷

一、选择题

1.

【答案】

A

【考点】

直线的倾斜角

【解析】

把直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，由斜率公式求出直线的倾斜角．

【解答】

解：由√3𝑥−𝑦−1=0得，𝑦=√3𝑥−1，

∴ 斜率𝑘=√3，则tan𝜃=√3，

∴ 直线√3𝑥−𝑦−1=0的倾斜角为𝜋3.

故选𝐴.

2.

【答案】

D

【考点】

简单随机抽样

【解析】

根据随机数表，依次进行选择即可得到结论.

【解答】

解：从随机数表的第1行的第3列和第4列的数字58开始由左到右依次选取数字，小于41且不重复，依次为06,13,04,14.

故选D.

3.

【答案】

B

【考点】

两条直线平行与倾斜角、斜率的关系

【解析】

由题意利用两直线平行的性质，求出m即可.

【解答】

解：∵ 直线𝑚𝑥+3𝑦+2=0与直线2𝑥+(𝑚−1)𝑦+𝑚=0平行，

∴ 𝑚2=3𝑚−1≠2𝑚，求得𝑚=3.

故选B.

4.

【答案】

D 【考点】

求解线性回归方程

【解析】

利用样本中心的坐标，代入回归直线方程，验证即可.

【解答】

解：两个变量𝑥，𝑦线性相关，且根据观测到的数据(𝑥𝑖,𝑦𝑖) (𝑖=1 ,2,⋯,𝑛）计算样本平均数得

𝑥=3，𝑦=2.5,

因为线性回归直线必过样本中心点，所以将点(3,2.5)代入到各式中检验，

只有D选项中左右两边不相等．

故选D.

5.

【答案】

C

【考点】

圆的一般方程

直线与圆的位置关系

相交弦所在直线的方程

【解析】

先把圆的一般方程化成标准方程确定圆心，再根据过点P弦要最短，计算AB的斜率，最后利用点斜式写出直线方程.

【解答】

解：圆𝐶:𝑥2+𝑦2−2𝑥−5=0，即(𝑥−1)2+𝑦2=6，表示以

𝐶(1,0)为圆心，半径等于√6的圆．由于点𝑃应在圆内，𝑃𝐶的斜率等于−1−02−1=−1,故过𝑃的最短弦所在的直线的斜率等于1，

由点斜式求得过𝑃的最短弦所在的直线方程为𝑦−(−1)=(𝑥−2)，即𝑥−𝑦−3=0.

故选C.

6.

【答案】

A

【考点】

众数、中位数、平均数

极差、方差与标准差

【解析】

首先写出原来数据的平均数表示式和方差的表示式，把数据都加上30以后，再表示出新数据的平均数和方差的表示式，两部分进行比较，从而得到结果．

【解答】

解：设这组数据分别为𝑥1，𝑥2，…，𝑥𝑛，

则𝑥¯=1𝑛(𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑛)=26，

方差为𝑠2=1𝑛[(𝑥1−𝑥¯)2+(𝑥2−𝑥¯)2+⋯+(𝑥𝑛−𝑥¯)2]=6，

每一组数据都加30后，