南开区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
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第 1 页，共 18 页南开区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线于两点且)0,0(1
22
22
ba
by
ax
21FF、
2FQP,
，若，，则双曲线离心率的取值范围为（ ）.1PFPQ||||
1PFPQ
34
125
e
A. B. C.
D. ]
210
,1(]
537
,1(]
210
,537[),
210
[
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
2
．
设=
（1
，2
），=
（1
，1
），=+k，若，则实数k
的值等于（ ）
A
．﹣B
．﹣C
．D
．
3
．
如图，设全集U=R
，M={x|x
＞2}，N={0，1
，2
，3}
，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A
．{3}B
．{0
，1}C
．{0
，1
，2}D
．{0
，1，2
，3}
4
．
已知双曲线﹣=1
（a
＞0
，b＞0
）的渐近线与圆（x
﹣2
）2+y2=1
相切，则双曲线的离心率为（ ）
A
．B
．C
．D
．
5． 某几何体的三视图如下（其中三视图中两条虚线互相垂直）则该几何体的体积为（ ）
A. B．48
3第 2 页，共 18 页C.D．16
320
3
6
．
设曲线y=ax2在点（1
，a
）处的切线与直线2x
﹣y
﹣6=0
平行，则a=
（ ）
A
．1B
．C
．D
．﹣1
7
．
已知函数y=f
（x
）对任意实数x
都有f
（1+x
）=f
（1
﹣x
），且函数f
（x
）在[1
，+∞
）上为单
调函数．若数列{a
n}
是公差不为0
的等差数列，且f
（a
6）=f
（a
23），则{a
n}
的前28
项之和S
28=
（ ）
A
．7B
．14C
．28D
．56
8． 已知向量，（），且，点在圆上，则(,2)am
(1,)bn
0n0ab
(,)Pmn22
5xy
（ ）|2|ab
A
． B． C
． D
．344232
9． 执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k的最大值为（ ）
A
．4B
．5C
．6D
．7
10．一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P
，直线PF
1（F
1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）
A
．B
．C
．D
．
11．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a
∈A，b∈B}，则M中元素的个数为
( )。
A3第 3 页，共 18 页B4
C5
D6
12．若圆心坐标为的圆在直线上截得的弦长为
，则这个圆的方程是（ ）
2,110xy22
A． B． 22
210xy22
214xy
C． D．22
218xy22
2116xy
二、填空题13
．若关于x
，y
的不等式组（k
是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则k=
．
14
．过椭圆+=1
（a
＞b
＞0
）的左焦点F
1作x
轴的垂线交椭圆于点P
，F2为右焦点，若∠F
1PF
2=60°
，则椭
圆的离心率为 ．
15
．如图是一个正方体的展开图，在原正方体中直线AB
与CD
的位置关系是 ．
16．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】函数的单调递减区间为__________.
21
ln
2fxxx
17
．已知椭圆+=1
（a
＞b
＞0
）上一点A
关于原点的对称点为B
，F为其左焦点，若AF⊥BF
，设∠ABF=θ
，且θ∈[
，]
，则该椭圆离心率e
的取值范围为 ．
18．某辆汽车每次加油都把油箱加满，如表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）
2015
年5
月1
日1235000
2015
年5
月15
日4835600
注：“
累计里程”
指汽车从出厂开始累计行驶的路程．第 4 页，共 18 页在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 升．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
如图长方体ABCD－A
1B
1C
1D
1中，AB＝16，
BC＝10，AA
1＝8，点E，F分别在A
1B
1，D
1C
1上，A
1E＝4，D
1F＝8，过点E，F，C的平面α与长方体的面
相交，交线围成一个四边形．
（1）在图中画出这个四边形（不必说明画法和理由）；
（2）求平面α
将长方体分成的两部分体积之比．
20．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F
为BE的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；
（Ⅱ）求证：BD⊥AE．第 5 页，共 18 页21．本小题满分12分如图，在边长为4的菱形中，，点、分别在边、上．点ABCD60BADEFCDCB
与点、不重合，，，沿将翻折到的位置，使平面ECDEFACEFACOEFCEFPEFPEF
平面．ABFED
Ⅰ求证：平面；BDPOA
Ⅱ记三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，且，求此时线段的长．PABD
1VPBDEF
2V1
24
3V
VPO
22．（本小题满分12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，过点作垂直
1C1
4822
yx
21FF、
1F
于轴的直线，直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点.
2lP
2PF
2lM
（1）求点的轨迹的方程；M
2C
（2）过点作两条互相垂直的直线，且分别交椭圆于，求四边形面积
2FBDAC、DCBA、、、ABCD
的最小值.P
A
BCD
OE
FFE
OD
C
BA第 6 页，共 18 页23．（本小题满分10分）
已知圆过点，.P)0,1(A)0,4(B
（1）若圆还过点，求圆的方程； P)2,6(CP
（2）若圆心的纵坐标为，求圆的方程.PP
24
．如图，在四棱柱ABCD
﹣A
1B
1C
1D
1中，底面ABCD
是矩形，且AD=2CD=2
，AA
1=2
，∠A
1
AD=
．若O
为AD
的中点，且CD⊥A
1O
（Ⅰ
）求证：A
1O⊥
平面ABCD
；
（Ⅱ
）线段BC
上是否存在一点P
，使得二面角D
﹣A
1A
﹣P
为？若存在，求出BP的长；不存在，说明理由．
第 7 页，共 18 页南开区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】如图，由双曲线的定义知，，，两式相加得 aPFPF2||||
21aQFQF2||||21
，又，， ， aPQQFPF4||||||
11||||
1PFPQ
1PFPQ||1||
12
1PFQF
，①， aPFPQQFPF4||)11(||||||
12
11
21
114
||a
PF
②，在中，，将①②代入得
22
2
11)11(2
||a
PF
12PFF2
212
22
1||||||FFPFPF
，化简得：
2
2)
114
(
a
22
22
4)
11)11(2
(ca
22
)11(4
，令，易知在上单调递减，故2
2222
)11()11(
e
t2
11
2
11y]
34
,
125
[
，，，故答案 选]
35
,
34
[t
22
22
2284)2(4
ttt
tt
te
]
25
,
2537
[
21
)
411
(82
t]
210
,
537
[e
C.
2
．
【答案】A
【解析】解：∵ =
（1
，2
），=
（1
，1
），
∴=+k=
（1+k
，2+k
）
∵
，∴ =0
，
∴1+k+2+k=0
，解得k=
﹣
故选：A
【点评】本题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题．
3
．
【答案】C
【解析】解：由图可知图中阴影部分所表示的集合∁
M∩N
，
∵
全集U=R
，M={x|x
＞2}
，N={0
，1
，2
，3}
，
∴∁
M={x|x≤2}
，
∴∁
M∩N={0
，1
，2}
，
故选：C
