九年级上册数学一元二次方程测试题

九年级上册数学一元二次方程测试题

一、选择题（每题3分，共15分）

1. 一元二次方程x^2-2x = 0的根是（ ）

- A. x = 0

- B. x = 2

- C. x = 0或x=-2

- D. x = 0或x = 2

解析：对于方程x^2-2x = 0，提取公因式x得x(x - 2)=0，则x = 0或者x-2 =

0，解得x = 0或x = 2，所以答案是D。

2. 方程(x + 1)^2=4的解是（ ）

- A. x_1=1，x_2=-3

- B. x = 1

- C. x=-3

- D. x_1=2，x_2=-2

解析：对于方程(x + 1)^2=4，开平方得x + 1=±2。当x + 1 = 2时，x=1；当x +

1=-2时，x=-3。所以x_1=1，x_2=-3，答案是A。

3. 一元二次方程x^2-3x - 1 = 0与x^2-x + 3 = 0的所有实数根的和等于（ ）

- A. 2.

- B. -4.

- C. 4. - D. 3.

解析：对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其根的判别式Δ=b^2-4ac。在方程x^2-3x - 1 = 0中，Δ=(-3)^2-4×1×(-1)=9 + 4 = 13>0，方程有两个实数根，根据韦达定理，两根之和为x_1+x_2=-(b)/(a)=3。在方程x^2-x + 3 = 0中，Δ=(-1)^2-4×1×3=1 -

12=- 11<0，方程没有实数根。所以这两个方程的所有实数根的和等于3，答案是D。

4. 若关于x的一元二次方程kx^2-2x - 1 = 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）

- A. k>-1

- B. k>-1且k≠0

- C. k<1

- D. k<1且k≠0

解析：因为方程kx^2-2x - 1 = 0是一元二次方程，所以k≠0。又因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ =(-2)^2-4k×(-1)>0，即4 + 4k>0，4k>-4，解得k>-1。所以k的取值范围是k>-1且k≠0，答案是B。

5. 已知m是方程x^2-x - 1 = 0的一个根，则代数式m^2-m的值等于（ ）

- A. -1.

- B. 0.

- C. 1.

- D. 2.

解析：因为m是方程x^2-x - 1 = 0的一个根，将m代入方程得m^2-m - 1 =

0，移项可得m^2-m = 1，答案是C。

二、填空题（每题3分，共15分） 1. 方程3x^2-5x = 2化为一般形式为______。

解析：将方程3x^2-5x = 2移项化为一般形式为3x^2-5x - 2 = 0。

2. 一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的求根公式是______。

解析：一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的求根公式是x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

3. 若x = 1是关于x的一元二次方程x^2+3mx + n = 0的解，则6m + 2n=______。

解析：因为x = 1是方程x^2+3mx + n = 0的解，将x = 1代入方程得1 + 3m + n

= 0，即3m + n=-1。那么6m + 2n = 2(3m + n)=2×(-1)=-2。

4. 方程x^2-4x - 5 = 0的解为______。

解析：对于方程x^2-4x - 5 = 0，分解因式得(x - 5)(x + 1)=0，则x - 5 = 0或x +

1 = 0，解得x = 5或x=-1。

5. 关于x的一元二次方程(m - 1)x^2+3x + m^2-1 = 0的一个根是0，则m=______。

解析：因为方程(m - 1)x^2+3x + m^2-1 = 0的一个根是0，将x = 0代入方程得m^2-1 = 0，解得m=±1。又因为方程是一元二次方程，所以m - 1≠0，即m≠1，所以m=-1。

三、解答题（每题10分，共60分）

1. 解方程x^2-6x + 8 = 0。

解析：对于方程x^2-6x + 8 = 0，分解因式得(x - 2)(x - 4)=0，则x - 2 = 0或者x

- 4 = 0，解得x = 2或x = 4。

2. 用配方法解方程2x^2+3x - 1 = 0。

解析： 首先将方程2x^2+3x - 1 = 0变形为x^2+(3)/(2)x-(1)/(2)=0。

然后配方：x^2+(3)/(2)x+<=ft((3)/(4))^2-<=ft((3)/(4))^2-(1)/(2)=0

即<=ft(x+(3)/(4))^2=(9)/(16)+(1)/(2)=(9 + 8)/(16)=(17)/(16)

开方得x+(3)/(4)=±(√(17))/(4)

解得x=(-3±√(17))/(4)。

3. 已知关于x的一元二次方程x^2+(2m - 1)x + m^2=0有两个实数根x_1和x_2。

(1)求实数m的取值范围；

(2)当x_1^2-x_2^2=0时，求m的值。

解析：

(1)对于一元二次方程x^2+(2m - 1)x + m^2=0，其判别式Δ=(2m - 1)^2-4m^2≥slant0。

展开得4m^2-4m + 1-4m^2≥slant0，即-4m+1≥slant0，4m≤slant1，解得m≤slant(1)/(4)。

(2)由x_1^2-x_2^2=0可得(x_1+x_2)(x_1-x_2)=0。

根据韦达定理，x_1+x_2=-(2m - 1)=1 - 2m。

当x_1=x_2时，Δ = 0，即m=(1)/(4)。

当x_1+x_2=0时，1 - 2m = 0，解得m=(1)/(2)，但m=(1)/(2)不满足m≤slant(1)/(4)，舍去。所以m=(1)/(4)。

4. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。设每件衬衫降价x元。 (1)用含x的代数式表示每天的销售量为______件；

(2)若商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价多少元？

解析：

(1)因为每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，现在每件衬衫降价x元，所以每天多销售2x件，那么每天的销售量为(20 + 2x)件。

(2)根据题意，可列方程(40 - x)(20 + 2x)=1200。

展开得800+60x - 2x^2=1200，移项化为标准的一元二次方程形式2x^2-60x +

400 = 0，即x^2-30x + 200 = 0。

分解因式得(x - 10)(x - 20)=0，解得x = 10或x = 20。所以每件衬衫应降价10元或20元。

5. 已知关于x的方程x^2-2(k - 1)x + k^2=0有两个实数根x_1，x_2。

(1)求k的取值范围；

(2)若| x_1+x_2|=x_1x_2-1，求k的值。

解析：

(1)对于方程x^2-2(k - 1)x + k^2=0，其判别式Δ = 4(k - 1)^2-4k^2≥slant0。

展开得4(k^2-2k + 1)-4k^2≥slant0，即4k^2-8k + 4-4k^2≥slant0，-8k+4≥slant0，8k≤slant4，解得k≤slant(1)/(2)。

(2)根据韦达定理，x_1+x_2=2(k - 1)，x_1x_2=k^2。

因为| x_1+x_2|=x_1x_2-1，所以|2(k - 1)|=k^2-1。

当2(k - 1)≥slant0，即k≥slant1时，2(k - 1)=k^2-1，k^2-2k + 1 = 0，(k -

1)^2=0，k = 1，但k = 1不满足k≤slant(1)/(2)，舍去。 当2(k - 1)<0，即k<1时，-2(k - 1)=k^2-1，k^2+2k - 3 = 0，分解因式得(k + 3)(k

- 1)=0，解得k=-3或k = 1（舍去），所以k=-3。

6. 若关于x的一元二次方程x^2+3x + m - 1 = 0的两个实数根分别为x_1，x_2。

(1)求m的取值范围；

(2)若2(x_1+x_2)+x_1x_2+10 = 0，求m的值。

解析：

(1)对于一元二次方程x^2+3x + m - 1 = 0，其判别式Δ = 3^2-4(m - 1)≥slant0。

展开得9-4m+4≥slant0，13-4m≥slant0，4m≤slant13，解得m≤slant(13)/(4)。

(2)根据韦达定理，x_1+x_2=-3，x_1x_2=m - 1。

因为2(x_1+x_2)+x_1x_2+10 = 0，将x_1+x_2=-3，x_1x_2=m - 1代入得2×(-3)+m - 1+10 = 0，-6+m - 1+10 = 0，m+3 = 0，解得m=-3。