高考物理一轮复习 第五章 机械能及其守恒定律 第1讲
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第1讲 功和功率
板块一 主干梳理·夯实基础
【知识点1】 功 Ⅱ
1.做功的两个必要条件
(1)作用在物体上的力。
(2)物体在力的方向上发生的位移。
2.公式：W＝Flcosα
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体对地的位移。
(2)该公式只适用于恒力做功。
(3)功是标量。
3.功的正负判断
夹角 功的正负
α<90° 力对物体做正功
α>90°
力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功
α＝90° 力对物体不做功
【知识点2】 功率
Ⅱ
1.定义：功与完成这些功所用时间的比值。
物理意义：描述力对物体做功的快慢。
2.公式
(1)P＝Wt，P为时间t内的平均功率。
(2)P＝Fvcosα(α为F与v的夹角)
①v为平均速度，则P为平均功率。
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率。
3.额定功率
机械正常工作时的最大输出功率。
4.实际功率
机械实际工作时的功率，要求不大于额定功率。
板块二 考点细研·悟法培优
考点1功的正负判断与计算[拓展延伸]
1.功的正负的判断方法
(1)恒力做功的判断：若物体做直线运动，依据力与位移的夹角来判断。
(2)曲线运动中功的判断：若物体做曲线运动，依据F与v的方向夹角来判断。当0°≤α<90°，力对物体做正功；90°
2.功的计算方法
(1)恒力做功
(2)变力做功
①用动能定理：W＝12mv22－12mv21；
②当变力的功率P一定时，可用W＝Pt求功，如机车以恒定功率启动时；
③将变力做功转化为恒力做功：当力的大小不变，而方向发生变化且力的方向与速度夹角不变时，这类力的功等于力和路程(不是位移)的乘积。如滑动摩擦力做功、空气阻力做功等；
④用Fx图象围成的面积求功；
⑤用微元法(或分段法)求变力做功：可将整个过程分为几个微小的阶段，使力在每个阶段内不变，求出每个阶段内外力所做的功，然后再求和。
(3)总功的计算
①先求物体所受的合力，再求合力的功；
②先求每个力做的功，再求各功的代数和；
③动能定理。
例1 (多选)如图所示，轻绳一端受到大小为F的水平恒力作用，另一端通过定滑轮与质量为m、可视为质点的小物块相连。开始时绳与水平方向的夹角为θ。当小物块从水平面上的A点被拖动到水平面上的B点时，位移为L，随后从B点沿斜面被拖动到定滑轮O处，BO间距离也为L。小物块与水平面及斜面间的动摩擦因数均为μ，若小物块从A点运动到O点的过程中，F对小物块做的功为WF，小物块在BO段运动过程中克服摩擦力做的功为Wf，则以下结果正确的是(
)
A．WF＝FL(cosθ＋1) B．WF＝2FLcosθ
C.Wf＝μmgLcos2θ D．Wf＝FL－mgLsin2θ
哪一段距离是沿力F方向的位移大小？
提示：AO段的长度。
尝试解答 选BC。
小物块从A点运动到O点，拉力F的作用点移动的距离为AO的长度，即拉力F的位移为x＝2Lcosθ，所以拉力F做的功WF＝Fx＝2FLcosθ，A错误，B正确；由几何关系知斜面的倾角为2θ，所以小物块在BO段受到的摩擦力f＝μmgcos2θ，则Wf＝fL＝μmgLcos2θ，C正确，D错误。
总结升华
使用W＝Flcosα应注意的几个问题
(1)位移l
①“l”应取作用点的位移，如例题中力F的作用点从A点移到O点，所以位移的大小是AO的长度；
②“l”的取值一般以地面为参考系。
(2)力F
①力的独立性原理，即求某个力做的功仅与该力及物体沿该力方向的位移有关，而与其他力是否存在、是否做功无关。
②力只能是恒力。此公式只能求恒力做功。
(3)α是l与F之间的夹角。
[跟踪训练] (多选)如图所示，建筑工人通过滑轮装置将一质量是100 kg的料车沿30°角的斜面由底端匀速地拉到顶端，斜面长L是4 m，若不计滑轮的质量和各处的摩擦力，g取10 N/kg，则对这一过程下列说法哪些正确(
)
A.人拉绳子的力做功为1000 J
B.人拉绳子的力做功为2000 J
C.料车的重力做功为2000 J
D.料车受到的合力对料车做的总功为0
答案 BD
解析 工人拉绳子的力：F＝12mgsin30°＝250 N，工人将料车拉到斜面顶端时，力F作用点的位移：l＝2L＝8
m，人拉绳子的力做的功W＝Fl＝2000 J，故A错误，B正确。重力做功：W2＝－mgh＝－mgLsin30°＝－2000 J。故C错误。由于料车在斜面上匀速运动，则料车所受的合力为0，故W合＝0，D正确。
考点2功率的计算[解题技巧]
1.平均功率的计算方法
(1)利用P＝Wt。
(2)利用P＝F·vcosθ，其中v为物体运动的平均速度，F为恒力。
2.瞬时功率的计算方法
利用公式P＝F·vcosθ，其中v为t时刻的瞬时速度。
例2 [2017·海口模拟](多选)质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用。力的大小F与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则( )
A.3t0时刻的瞬时功率为5F20t0m
B.3t0时刻的瞬时功率为15F20t0m
C.在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为23F20t04m
D.在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为25F20t06m
(1)3t0时刻的瞬时功率如何求解？
提示：P＝3F0v，v为3t0时刻的瞬时速度。
(2)t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率如何求解？
提示：P＝Wt，分段求力F的功。
尝试解答 选BD。
解法一：根据Ft图线，在0～2t0时间内的加速度
a1＝F0m，
2t0时刻的速度v2＝a1·2t0＝2F0mt0，
0～2t0时间内位移x1＝v22·2t0＝2F0mt20，
故F0做的功W1＝F0x1＝2F20mt20。
在2t0～3t0时间内的加速度a2＝3F0m，
3t0时刻的速度v3＝v2＋a2t0＝5F0mt0，
故3t0时刻的瞬时功率
P3＝3F0v3＝15F20t0m，A错误，B正确。
在2t0～3t0时间内位移，x2＝v2＋v32·t0＝7F0t202m，
故3F0做的功W2＝3F0·x2＝21F20t202m，
因此在0～3t0时间内的平均功率P＝W1＋W23t0＝25F20t06m，C错误，D正确。
解法二：0～3t0图象与坐标轴围成的面积为物体动量的变化。
故mv＝F0·2t0＋3F0t0＝5F0t0，
3t0时刻P＝3F0v＝15F20t0m，A错误，B正确。
3t0时刻动能为12mv2
根据动能定理W＝12mv2
平均功率P′＝W3t0＝25F20t06m，C错误，D正确。
总结升华
求力做功的功率时应注意的问题
(1)明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。求平均功率首选P＝Wt，其次是用P＝F·vcosα，v应容易求得，如求匀变速直线运动中某力的平均功率。
(2)求瞬时功率用P＝Fvcosα要注意F与v方向间的夹角α对结果的影响，功率是力与力的方向上速度的乘积。
[跟踪训练] [2017·昆明七校调研](多选)物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动。通过力和速度传感器监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律分别如图甲、乙所示。取g＝10 m/s2，则下列说法正确的是(
)
A．物体的质量m＝0.5 kg
B.物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4
C.第2 s内物体克服摩擦力做的功W＝2 J
D.前2 s内推力F做功的平均功率P＝3 W
答案 ABC
解析 由题图甲、乙可知，在1～2 s内，推力F2＝3 N，物体做匀加速直线运动，其加速度a＝2 m/s2，由牛顿运动定律可得，F2－μmg＝ma；在2～3 s，推力F3＝2 N，物体做匀速直线运动，由平衡条件可知，μmg＝F3；联立解得物体的质量m＝0.5 kg，物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4，A、B正确；由速度—时间图象所围的面积表示位移可得，第2 s内物体位移x＝1 m，克服摩擦力做的功Wf＝μmgx＝2 J，C正确；第1 s内，由于物体静止，推力不做功；第2 s内，推力做功W＝F2x＝3 J，即前2 s内推力F做功为W′＝3 J，前2 s内推力F做功的平均功率P＝W′t＝32 W＝1.5 W，D错误。
考点3机车启动问题[对比分析]
1.两种启动方式的比较
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
Pt图和
v t图
OA
段 过程
分析 v↑⇒F＝P不变v↓
⇒a＝F－F阻m↓ a＝F－F阻m不变⇒
F不变v↑⇒P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动
性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝v1a
AB
段 过程
分析 F＝F阻⇒a＝0⇒
F阻＝Pvm v↑⇒F＝P额不变v↓⇒
a＝F－F阻m↓
运动
性质 以vm匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
BC段 无 F＝F阻⇒a＝0⇒
以vm＝P额F阻匀速运动
2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速直线运动时的速度，即vm＝PFmin＝PF阻(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝PF
(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理：Pt－F阻x＝ΔEk。此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。
例3 [2018·河北高三月考](多选)下列各图是反映汽车(额定功率P额)从静止开始匀加速启动，最后做匀速直线运动的过程中，其速度随时间以及加速度、牵引力和功率随速度变化的图象，其中正确的是( )
