组合数学习题答案卢开澄

1 / 59 1.1 题从{1，2，……50}中找两个数{a，b}，使其满足（1）|a-b|=5；（2）|a-b|5；

解：（1）：由|a-b|=5a-b=5或者a-b=-5，

由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。

当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。

所以这样的序列有90对。

（2）：由题意知，|a-b|5|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0；

由上题知当|a-b|=5时有90对序列。

当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。

当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对，

当|a-b|=0时有50对

所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520

1.2题5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A和B之间正好有3个女生的排列是多少？

解：（a）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！×5！，

（b）用x表示男生，y表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺，

Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y

在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数： C（8，5）×7！×5！

（c）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下：

6. 若A，B之间存在0个男生， A，B之间共有3个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2

1．若A，B之间存在1个男生， A，B之间共有4个人，所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2

2．若A，B之间存在2个男生，A，B之间共有5个人，所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2

3．若A，B之间存在3个男生，A，B之间共有6个人，所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2

4．若A，B之间存在4个男生，A，B之间共有7个人，所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2

5．若A，B之间存在5个男生，A，B之间共有8个人，所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2

所以总的排列数为上述6种情况之和。

1.3题m个男生，n个女生，排成一行，其中m,n都是正整数，若

(a)男生不相邻)1(nm; (b)n个女生形成一个整体； (c)男生A和女生B排在一起；

分别讨论有多少种方案。

解：(a) 可以考虑插空的方法。

n个女生先排成一排，形成n+1个空。因为1nm正好m个男生可以插在n+1个空中，形成不相邻的关系。

则男生不相邻的排列个数为ppnmnn1

(b) n个女生形成一个整体有n！种可能，把它看作一个整体和m个男生排在一起，则排列数有(m+1)!种可能。

因此，共有)!1(!mn种可能。

(c)男生A和女生B排在一起，因为男生和女生可以交换位置，因此有2！种可能，

A、B组合在一起和剩下的学生组成排列有(m+n-1)！

(这里实际上是m+n-2个学生和AB的组合形成的)种可能。共有组合数为)!1(!2nm

1.4题26个英文字母进行排列，求x和y之间有5个字母的排列数

解：C（24，5）*13！

1.5题求3000到8000之间的奇整数的数目，而且没有相同的数字。

解：根据题意，千位可以从3，4，5，7，6中选取，个位可以从1，3，5，7，9中选取；因此 2*5*8*7+3*4*8*7=1232

1.6 题计算，1·1！+2·2！+3·3！+。。。+n·n！

解：由序数法公式可知1!+1=2!2·2!+1·1!+1=3!3·3！+2·2！+1·1！+1=4！

n·n!+(n-1)(n-1)!+。。。+2·2!+1·1!+1= (n+1)!

所以1·1！+2·2！+3·3！+。。。+n·n！=(n+1)!－１

1.7题试证：)2()2)(1(nnn被2n除尽。

证明：因!)!12(!2)!2(nnnn

!)!12(2!)!2(2!)2()2)(1(!2)2()2)(1(nnnnnnnnnnnnnn

因为(2n-1)!!是整数所以)2()2)(1(nnn能被2n除尽。 2 / 59 1．8题求4010和3020的公因数数目。

解：因为1030404040405*5*25*2103020403060305*2*25*220

它们最大公因子为30405*2转化为求最大公因子能除尽的整数个数，能除尽它的整数是

300,400,5*2baba

根据乘法法则，能除尽它的数个数为 41*31=1271

1.9题试证2n的正除数的数目是奇数。

证明：设有20,annbn, 则一定有表达式2nab，

则可知符合围的a和b必成对出现，所以为偶数。

又当a=b=n时，表达式2n=ab仍然成立。所以2n的正除数的数目是“偶数1”为奇数。

1.10题证任一正整数n可唯一地表成如下形式:,0≤ai≤i,i＝1,2,…。

证：对n用归纳法。

先证可表示性：当n=0,1时，命题成立。

假设对小于n的非负整数，命题成立。

对于n,设k!≤n＜(k+1)!,即0≤n-k!＜k·k!

由假设对n-k!,命题成立，设，其中ak≤k-1,，命题成立。

再证表示的唯一性：设, 不妨设aj＞bj,令j=max{i|ai≠bi}

aj·j!+aj-1·(j-1)!+…+a1·1! =bj·j!+bj-1·(j-1)!+…+b1·1!,

!)(!!!!)(!)(iabiabiijiabjbaiiiiiijj矛盾，命题成立。

1.11题证明nC(n-1,r)= (r+1)C(n,r+1),并给予组合解释.

证：(1)!(1)!(1)!(1,)(1)(,1)!(1)!(1)!(1)!(1)!(1)!nrnrnnCnrnrCnrrnrrrnrrnr

所以左边等于右边

组合意义：等式左边：n个不同的球，先任取出1个，再从余下的n-1个中取r个；

等式右边：n个不同球中任意取出r+1个，并指定其中任意一个为第一个。

所以两种方案数相同。

1.12题证明等式：112),(nnknknkC

证明：11110111(1,0)(1,1)(1,1)211nnnnkksnnnnnnnCnCnCnnnkks等式左边右边

1.13题有N个不同的整数，从中间取出两组来，要求第1组的最小数大于另一组的最大数。

解题思路：（取法由大到小）

第1步：从N个数由大到小取一个数做为第一组，其它N-1个数为第二组，

组合数为：c（n,1）*{c(n-1,1)+c(n-1,2)-…+c(n-1,n-1)}

第2步：从N个数由大到小取两个数做为第一组，其它N-2个数为第二组，

组合数为：c（n,2）*{c(n-2,1)+c(n-2,2)-…+c(n-2,n-2)}

…

第n-2步：从N个数由大到小取n-2个数做为第一组，其它2个数为第二组，组合数为：c（n,n-2）*{c(2,1)}

第n-1步：从N个数由大到小取n-1个数做为第一组，其它1个数为第二组，组合数为：c（n,n-1）*{c(1,1}

总的组合数为：

(,1){(1,1)(1,2)(1,1)}(,2){(2,1)(2,2)(2,2)}(,2){(2,1)(,1)(1,1)}CnCnCnCnnCnCnCnCnnCnnCCnnC

1.14 题6个引擎分列两排，要求引擎的点火顺序两排交错开来，试求从特定一引擎开始有多少种方案？

解：第1步从特定引擎对面的3个中取1个有C(3,1)种取法，

第2步从特定引擎一边的2个中取1个有C(2,1)种取法，

第3步从特定引擎对面的2个中取1个有C(2,1)中取法，剩下的每边1个取法固定。

所以共有C(3,1)•C(2,1)•C(2,1)=12种方案。

1.15题求1至1000000中0出现的次数。 3 / 59 解：当第一位为0时，后面6位组成的数可以从1-100000，共100000个0；

当第二位为0时，当第一位取0-9时，后面5位可以取1-9999，此外当第一位取0时，后面5位还可以取为10000，这样共有9999*10+1=99991个0；

同理第三位为0时，共有99901个0；第四位为0时，共有99001个0；第五位为0时，共有90001个0；第六位为0时，只有1个0；

这样总共的0数为：100000+99991+99901+99001+90001+1=488895。

1.16题n个相同的球放到r个不同的盒子里，且每个盒子里不空的放法。

解：如果用“O”表示球，用“|”表示分界线，就相当于用r-1个“|”把n个“O”分成r份，要每份至少有一个球。如下图所示： 00|00000000|00000000|00000|000000……

对于第一个分界线，它有n-1种选择，对于第二个分界线只有n-2个选择，(因为分界线不能相临，如果相临它们之间就没有了球，这不合要求)，依次第r-1个分界线只有n-(r-1)种选择。但是这样的分法中存在重复，重复度为(r-1)!,所以总得放法为：(n-1)*(n-2)*…*(n-r+1)/(r-1)!=C(n-1,r-1)。

1.18题8个盒子排成一列，5个有标志的球放到盒子中，每盒最多放一个球，要求空盒不相邻，问有多少种排列方案？

解：要求空盒不相邻，这样球的位置共有8种。而不同标志的球的排列有!555p。所以共有8*5！种排列。

8种排列如下两类。因为要求空盒不相邻，途中1代表球

a) 1 1 1 1

b) 1 1 1 1

在a)中剩下的一个球有四种位置，b)中剩下的一个球也有四种位置，两者合起来一共有8种

1.17题n和r都是正整数，而且nr，试证下列等式：

11111111111()()(1)(),()()!()nnnnnnrrrrrrnnnnnnrrrrrrrrnanbnrcrnnrdrerrppppppppppppp

解：(a) ppnrnrrnnrnnnn•)!(!)!()!1(11等式成立。