高中数学必修1-5_知识点总汇+公式大全

数学必修 1-5 常用公式及结论

必修 1： 一、集合 1、含义与表示： （ 1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性

（2）集合的分类；有限集，无限集 （ 3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法

2、集合间的关系：子集：对任意 x A ，都有 x B ，则称 A 是 B 的子集。记作 A B

真子集：若 A 是 B 的子集，且在 B 中至少存在一个元素不属于 A ，则 A 是 B 的真子集，

记作 A B 集合相等：若： A B,B A ,则 A B

3. 元素与集合的关系：属于 不属于： 空集：

4、集合的运算：并集：由属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合叫并集，记为 A B

交集：由集合 A 和集合 B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为 A B

补集：在全集 U 中，由所有不属于集合 A 的元素组成的集合叫补集，

记为 CUA

5．集合 { a1, a2 , , an} 的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n –1 个；非空子集有 2n –1 个；

6. 常用数集：自然数集： N 正整数集： N * 整数集： Z 有理数集： Q 实数集： R

二、函数的奇偶性

1、定义： 奇函数 <=> f (–x ) = –f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域）

2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；

（ 2）偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形；

（ 3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；

（ 4）如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数．二、函数的单调性

1、定义：对于定义域为 D 的函数 f ( x )，若任意的 x1, x2∈ D，且 x1 < x 2

① f ( x 1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) –f ( x2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数

② f ( x 1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) –f ( x2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数

2、复合函数的单调性 : 同增异减

三、二次函数 y = ax2 +bx + c（ a 0 ）的性质

1

b 4ac b 2 b 4ac b2

1、顶点坐标公式： , ， 对称轴： x ，最大（小）值：

2a 4a 2a 4a

2. 二次函数的解析式的三种形式

(1) 一般式 f ( x) ax2 bx c(a 0) ; (2) 顶点式 f (x) a( x h)2 k(a 0) ;

(3) 两根式 f ( x) a( x x1 )( x x2 )(a 0) .

四、指数与指数函数

1、幂的运算法则：

（1） a m ? a n = a m + n ，（ 2） a m an am n ，（ 3） ( a m ) n = a m n （ 4）( ab ) n = a n ? b n

n n n

（5） a a n （ 6）a 0 = 1 ( a≠0)（7） a n 1 （8） a m m an （ 9） a m 1

b bn an m a n

2、根式的性质

（ 1） ( n a )n a .

（ 2）当 n 为奇数时， n an a ； 当 n 为偶数时， n an | a | a, a 0 .

a,a 0

4、指数函数 y = a x (a > 0 且 a≠ 1) 的性质：

（1）定义域： R ； 值域： (0,+∞) （ 2）图象过定点（ 0，1）

Y Y

a > 1 0 < a < 1

1 1

0 X

X 0

5. 指数式与对数式的互化： loga N b ab N (a 0, a 1, N 0) .

五、对数与对数函数

1 对数的运算法则：

（1） a b = N <=> b = log a N（ 2）log a 1 = 0（ 3） log a a = 1（ 4） log a a b = b （ 5） a log a N = N

2

（6） log a (MN) = log a M + log a N M （ 7） log a () = log a M -- log a N

N

（8） log a N b log b N = b log a N （9）换底公式： log a N =

a logb

（10）推论 loga m bn n log a b ( a 0 , 且 a 1 , m, n 0 , 且 m 1, n 1, N 0 ).

m

1 （ 12）常用对数： lg N = log 10 N （ 13）自然对数： ln A = log e A （11）log a N =

log N a

（其中 e = 2.71828, ） 2、对数函数 y = log a x (a > 0 且 a≠ 1) 的性质：

（1）定义域： ( 0 , +∞) ； 值域：R （ 2）图象过定点（ 1，0）

Y a >1 Y

0 < a < 1

01 X

1 X

0

六、幂函数 y = x a 的图象 : （1） 根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图.

a > 1 0 < a < 1 a < 0

1

1 x 1

例如： y = x 2 y x x 2 y

x

七. 图象平移：若将函数 y f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位，

得到函数 y f (x a) b 的图象； 规律：左加右减，上加下减

八. 平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 p ，则对于时间 x 的总产值 y ，有 1( ) x

.

y N p

九、函数的零点： 1. 定义：对于 y f ( x) ，把使 f (x) 0 的 X 叫 y f (x) 的零点。即

3

y f ( x) 的图象与 X 轴相交时交点的横坐标。

2.函数零点存在性定理：如果函数 y f (x) 在区间 a, b 上的图象是连续不断的一条

曲线，并有 f (a) f (b) 0 ，那么 y f ( x) 在区间 a, b 内有零点， 即存在 c a, b ，

使得 f (c) 0 ，这个 C 就是零点。

3.二分法求函数零点的步骤： （给定精确度 ）

（ 1）确定区间 a, b ，验证 f (a)

f (b) 0 ;(2) 求 a, b a b

的中点 x1 2

（ 3）计算 f ( x1 ) ①若 f ( x1) 0 ，则 x1 就是零点；②若 f (a) f ( x1 ) 0 ，则零点

x0 a, x1 ③若 f ( x1 ) f (b) 0 ，则零点 x0 x1 ,b ；

（ 4）判断是否达到精确度 ，若 a b ，则零点为 a 或 b 或 a,b 内任一值。否

则重复（ 2）到（ 4）

必修 2： 一、直线与圆 1、斜率的计算公式： k = tan α=y2 y1 （ α≠90 °， x 1≠ x2）

x2 x1

2、直线的方程（ 1）斜截式 y = k x + b,k 存在 ；（ 2）点斜式 y –y 0 = k ( x –x 0 ) ， k 存在；

（3）两点式 y y1 x x1 （ x1 x2 , y1 y2 ） ；4）截距式 x y （ a 0,b 0 ）

y2 y1 x2 x1 a 1

b

（ 5）一般式 Ax By c 0(A, B不同时为 0）

3、两条直线的位置关系：

l1： y = k 1 x + b 1 l1： A 1 x + B 1 y + C 1 = 0

l2： y = k 2 x + b2 l2： A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

重合 k1= k 2 且 b1= b 2 A1 B1 C1

A2 B2 C 2

平行 k1= k 2 且 b1≠ b2 A1 B1 C1

A2 B2 C2

垂直 k1 k 2 = –1 A1 A2+B1B2=0

4、两点间距离公式： 设 P1 ( x 1 , y 1 ) 、P 2 ( x 2 , y 2 ) ，则 | P1 P2 | = x1 x2 2 y1 y2 2

5、点 P ( x 0 , y 0 )到直线 l ： A x + B y + C = 0 Ax0 By0 C

的距离： d

A2 B2

4

7、圆的方程

圆的方程 圆心 半径

标准方程 x 2+ y 2= r 2 （0， 0） r

(x –a ) 2 + ( y –b ) 2 = r 2

（ a， b） r

一般方程 x 2 + y 2 +D x + E y + F = 0 D , E 1 D 2 E 2 4F

2 2 2

8. 点与圆的位置关系

点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x a) 2 ( y b)2 r 2 的位置关系有三种若 d(a x0 )2 (b y0 )2 ，

则 d r 点 P 在圆外 ; d r 点 P 在圆上 ; d r 点 P在圆内.

9. 直线与圆的位置关系 ( 圆心到直线的距离为 d)

直线 Ax By C 0 与圆 ( x a) 2 ( y b) 2 r 2 的位置关系有三种 :

d r 相离 0 ; d r 相切 0 ; d r相交 0 .

10. 两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为 O1， O2，半径分别为 r 1， r 2， O1O2 d

d r1 r2 外离 4条公切线 ;

d r1 r2 外切 3条公切线 ;

r1 r2 d r1 r2 相交 2条公切线 ;

d r1 r2 内切 1条公切线 ;

0 d r1 r 2 内含 无公切线 .

11. 圆的切线方程

(1) 已知圆 x2 y2 Dx Ey F 0 ．

①若已知切点 (x0 , y0 ) 在圆上，则切线只有一条，其方程是

D( x0 x) E( y0 y) F 0 .

x0 x y0 y

2

2

当 ( x0 , y0 ) 圆外时 , x0 x D ( x0 x) E( y0 y)

y0 y

2 F 0 表示过两个切点

2

的切点弦方程．