广东省东莞市2017届高三第二次模拟测试数学文试题含答案

学必求其心得，业必贵于专精

东莞市2017届高三第二次模拟测试

数学（文科)

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．i73i（

）

A．37i1616 B．37i1616 C．37i1616 D．37i1616

2．已知集合2530Axxx,1,2,3,4,5B，则RAB（ ）

A．1,2,3 B．2,3 C．1,2 D．1

3．某公司为了解该公司800名员工参加运动的情况,对公司员工半年来的运动时间进行统计得到如图所示的频率分布直方图，则运动时间超过100小时的员工有（ ）

A．360人 B．480人 C．600人 D．240人

4．《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅同方升,其主体部分的三视图如图所示，则该量器的容积为( ） 学必求其心得，业必贵于专精

A．252 B．189 C．126 D．63

5．函数sin43yx的图象的一条对称轴方程是（ )

A．1124x B．8x C．4x D．1124x

6．已知单位向量a与b的夹角为120，则3ab（ ）

A．3 B．23 C．13 D．15

7．已知等比数列na的前n项积为nT,若2327loglog2aa，则9T的值为( )

A．512 B．512 C．1024 D．1024

8．运行如图所示的程序框图,若输出的k的值为13，则判断框中可以填( ）

A．7?m B．7?m C．8?m D．9?m

9．已知过原点的直线1l与直线2l:310xy垂直，圆C的方程为学必求其心得，业必贵于专精

2222212xyaxaya（0a）,若直线1l与圆C交于M，N两点，则当CMN的面积最大时，圆心C的坐标为（ ）

A．55,22 B．33,22 C．11,22 D．1,1

10．已知函数22,20,11,02,xxxfxfxx,则关于x的方程0xfx在2,2上的根的个数为（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3

11．已知F为双曲线C:22221xyab（0a,0b）的右焦点，1l，2l为C的两条渐近线，点A在1l上，且1FAl,点B在2l上,且1FBl∥，若45FAFB，则双曲线C的离心率为( )

A．52或5 B．52或352 C．52 D．5

12．已知函数2e2xmfxxxmx,则函数fx在1,2上的最小值不可能．．．为( ）

A．3e2m B．21ln2mm C．22e4m D．2e2m

第Ⅱ卷（共90分)

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)

13．已知实数x，y满足3,26,8,xyxyx则2zxy的最小值为 ．

14．已知等差数列na的前n项和为nS,若3，7a,5a也成等差数列，则17S ．

15．从1,2,3，4，5这5个数字中随机抽取3个，则所抽取的数字中有且仅有1个数能被2整除的概率为 ． 学必求其心得，业必贵于专精

16．如图所示，三棱锥PABC中,ABC为边长为3的等边三角形，D是线段AB的中点，DEPBE，且DEAB，若120EDC，32PA，332PB，则三棱锥PABC的外接球的表面积为 ．

三、解答题 （本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．已知ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sin3sinAC，7b。

（Ⅰ）若6B，证明：sinsinBC；

（Ⅱ)若B为钝角，1cos22B，求AC边上的高.

18．为了更好地规划进货的数量,保证蔬菜的新鲜程度，某蔬菜商店从某一年的销售数据中,随机抽取了8组数据作为研究对象，如下图所示（x(吨)为买进蔬菜的质量，y(天）为销售天数):

x 2 3 4 5 6 7 9 12

y 1 2 3 3 4 5 6 8

(Ⅰ)根据上表数据在下列网格中绘制散点图；

学必求其心得，业必贵于专精

（Ⅱ）根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ˆˆˆybxa;

（Ⅲ）根据(Ⅱ）中的计算结果，若该蔬菜商店准备一次性买进25吨，则预计需要销售多少天.

参考公式：121ˆniiiniixxyybxx1221niiiniixynxyxnx，ˆˆaybx.

19．已知多面体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，AD平面AEC，且2AC,1AEEC，2ADEF，EFAD∥.

（Ⅰ）求证:平面FCE平面ADE；

（Ⅱ）若2AD，求多面体ABCDEF的体积。

20．已知椭圆C：22221xyab（0ab)的离心率为12,且过点31,2,椭圆C的右顶点为A.

(Ⅰ）求椭圆的C的标准方程；

(Ⅱ）已知过点1,02B的直线交椭圆C于P,Q两点，且线段PQ的中点为R，求直线AR的斜率的取值范围。

21．已知函数lnxfxx，exgx。

（Ⅰ）若关于x的不等式fxmxgx恒成立,求实数m的取值范围;

（Ⅱ）若120xx，求证：1122xfxxfx2212xx2122xxx。 学必求其心得，业必贵于专精

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．选修4-4:坐标系与参数方程

已知在平面直角坐标系中，曲线1C的参数方程为33cos,13sinxy（为参数）,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2cos。

（Ⅰ）求曲线1C的极坐标方程与曲线2C的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线6（R）与曲线1C交于P，Q两点,求线段PQ的长度。

23．选修4-5：不等式选讲

已知函数31fxxx的最小值为m。

（Ⅰ)求m的值以及此时的x的取值范围；

(Ⅱ)若实数p，q，r满足2222pqrm，证明：2qpr。

东莞市2017届高三第二次模拟测试

数学（理科）·答案

一、选择题

1-5:BCBAD 6-10：CBAAC 11、12:AD

二、填空题 学必求其心得，业必贵于专精

13．2 14．51 15．35

16．13

三、解答题

17．解：(Ⅰ)依题意，由正弦定理可知3ac.

由余弦定理，得2273cc23cosccB，

故27c,7cb,故sinsinBC。

（Ⅱ）因为1cos22B，故523B,故56B。

由余弦定理可得2273cc23cosccB，解得1c，3a。

由正弦定理可得175sinsin6C，解得7sin14C，故213sin14hC.

18．解:（Ⅰ）散点图如图所示：

（Ⅱ）依题意，123458x679126，112348y5684，

821491625iix364981144364,

8126121524iiixy355496244，

818218ˆiiiiixyxybx2244864133648619，132ˆ461919a,

回归直线方程为132ˆ1919yx。 学必求其心得，业必贵于专精

(Ⅲ）由（Ⅱ)知，当25x时，132519y21719.

即若一次性买进蔬菜25吨，则预计需要销售17天。

19．解：（Ⅰ)AD平面AEC，EC平面AEC，ADEC。

又2AC,1AEEC，222ACAEEC，AEEC.

又AEADA,EC平面ADE.

EC平面FCE，平面FCE平面ADE.

（Ⅱ)易知AEAD,又EFAD∥,AEEF,由（Ⅰ)知AEEC,

又EFECE，AE平面BCEF,

又2AD，1EF。

ABCDEFABCEFDAECVVV1132EFBCECEA1132AEECAD

11123211113211256。

20．解：（Ⅰ)依题意,221914ab,12ca，222abc，

解得2a，3b,1c，

故椭圆C的标准方程为22143xy.

（Ⅱ)依题意，直线PQ过点1,02。①当直线PQ的斜率不为0时，可设其方程为12xmy，

联立221,21,43xmyxy消去x得2243412450mymy，

设点11,Pxy，22,Qxy，00,Rxy，直线AR的斜率为k,

故122334myym,023234mym,

当0m时,0k， 学必求其心得，业必贵于专精

当0m时，144kmm，因为444mmm48m，故110484mm，

当且仅当44mm，即1m时等号成立。

故108k,故1188k且0k.

②当直线PQ的斜率为0时，线段PQ的中点R与坐标原点重合，AR的斜率为0。

综上所述,直线AR的斜率的取值范围为11,88。

21．解：（Ⅰ)对任意0x,不等于fxmxgx恒成立，

2lnexxmxx在0x上恒成立,进一步转化为2maxminlnexxmxx，

设2lnxhxx,312lnxhxx,当0,ex时，0hx，当e,x时,0hx，

当ex时，max12ehx.

设extxx,则2eexxxtxx2e1xxx，当0,1x时，0tx，

当1,x时，0tx，所以1x时，minetx，