广东省广州市2019届高三第二次模拟考试数学(文)试题含答案
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2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
文科数学
2019.4
本试卷共6页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B
铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答
案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在
试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指
定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；
不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合A={x∈N|0
A.{0,1,3,5} B.{0,2,4,6} C. {1,3,5} D.{2,4,6}
2．已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是
A． B. C． D.
3．某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n=
A. 96 B. 72 C. 48 D. 36
4．执行如图所示的程序框图，则输出z的值是
A. 21 B. 22 C. 23 D. 24
5．从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，则所选3人中至少有1名女生的概率为
A. B. C. D.
6．函数y=的部分图像如图所示，则函数的解析式为
A．B.
C. D．
7．设等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列等式中一定成立的是
A. Sn+S2n=S3n B. S22n=SnS3n C. S22n=Sn+S2n- S3n D. S2n + S22n=Sn (S2n+S3n)
8．已知双曲线拘渐近线方程为5x±3y=0，则此双曲线的离心率为
A. B. C. D.
9．一个圆锥的体积为，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为
A． B． C． D．
10.设a≥b≥c，且1是一元二次方程ax2+ bx+c=0的一个实根，则的取值范围为
A．[-2，0] B．C．D．
11．在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=I，BC=，则该三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
12.己知函数与的图像上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知向量，向量，则=
14. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为 ．
15.若函数f(x)=x2 -x+l+ alnx在(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
16.己知点P在直线x+2y-l=0上，点Q在直线x+2y+3=O E，PQ的中点为M(x0，y0)，且-1≤y0 -x0≤7，则
的取值范围是____．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．
（一）必考题：共60分．
17. （本小题满分12分）
△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求的值；
(2)若c=2，求△ABC的面积．
18. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∠APD=90°，
且PA=PD，AD=PB．
(1)求证：AD⊥PB；
(2)求点A到平面PBC的距离．
19. （本小题满分12分）
科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：
根据上表的数据得到如下的散点图．
(1)根据上表中的样本数据及其散点图：
(i)求;
(ii)计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度．
(2)若y关于x的线性回归方程为 ，求 的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量．
附：
参考数据：
参考公式：相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
20. （本小题满分12分）
从抛物线y2 =36x上任意一点P向x轴作垂线段，垂足为Q，点M是线段PQ上的一点，且满足
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)设直线x=my+1(m∈R)与轨迹c交于A，B两点，T为C上异于A，B的任意一点，直线AT，BT分别与直线x=-1交于D，E两点，以DE为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由．
21. （本小题满分12分）
已知函数f(x)=(x+2)lnx+ax2 - 4x+ 7a．
(1)若a=，求函数f(x)的所有零点；
(2)若a≥，证明函数f(x)不存在极值．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4 -4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为sin3,cos2tytx（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2= 2p cosθ+8．
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且求直线l的倾斜角．
23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
己知函数f(x) =|2x-l|-a．
(1)当a=l时，解不等式f(x)>x+1；
(2)若存在实数x，使得f(x)< f(x+1)成立，求实数a的取值范围.
绝密 ★ 启用前
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
文科数学试题答案及评分参考
评分说明:
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题不给中间分．
一、选择题
题号 1 2
3 4 5 6 7 8 9
10 11
12
答案 D B B A A B D B D C B
C
二、填空题
13．17 14．53 15．1,8 16．2,05
三、解答题
17．解：（1）因为tantan2(tantan)coscosABABBA，
所以sinsinsinsinB2coscoscoscoscoscosABAABABAB．………………………………………………1分
化简得2sincoscossinsinsinABABAB．………………………………………………2分
即2sinsinsinABAB．………………………………………………………………………3分
因在ABC中，ABC，则sinsinsinABCC．……………………………4分
从而sinsin2sinABC．…………………………………………………………………………… 5分
由正弦定理，得2abc．
所以=2abc．……………………………………………………………………………………………6分
（2）由（1）知2abc，且2c，所以4ab．……………………………………………………7分
因为=3C，所以222222cos22ababcabcCabab．……………………………………9分
即122cos32abab．
所以4ab．……………………………………………………………………………………………10分
所以11sin4sin3223ABCSabC．
所以△ABC的面积为3．……………………………………………………………………………12分
18．（1）证明：取AD的中点O，连结OP，OB，BD，
因为底面ABCD为菱形，60BAD，
所以ADABBD．…………………………………1分
因为O为AD的中点，所以BOAD． ……………2分
在△PAD中，PAPD，O为AD的中点，
所以POAD． ………………………………………3分
因为BOPOO，所以AD平面POB．………4分
因为PB平面POB，所以ADPB．………………………………………………………………5分
（2）解法1：在Rt△ PAD中，2AD，所以1PO．
因为底面ABCD是边长为2的菱形，60BAD，所以3BO．……………………………6分 DCBAPO
