2021年高三上学期12月测试一数学(文)试题 含答案
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实用文档 2021年高三上学期12月测试一数学（文）试题 含答案
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．等差数列的前项和为，已知，，则的值是（ ）
A．1 B．3 C．10 D．55
5．已知向量，，若∥，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．与的取值有关
7．已知函数，下面结论错误．．的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数是偶函数
C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上是增函数
8．设一个球的表面积为，它的内接正方体的表面积为，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
9．已知实数满足若目标函数取得最小值时最优解有无数个，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．1
10．定义：若函数的图像经过变换后所得图像对应函数的值域与的值域相同，则称变换是的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换，其中不属于的同值变换的是（ ）
A．，将函数的图像关于轴对称
B．，将函数的图像关于轴对称
C．，将函数的图像关于点对称
D．，将函数的图像关于点对称
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
11．在区间内任取两个实数，则这两个实数之和小于的概率是 ．
12．已知程序框图如右，则输出的= ． 开始1S结束3i100?Si输出2ii*SSi是否精品文档
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13．已知直线与抛物线相交于、两
点，为抛物线的焦点，若，则的值为 ．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）
如右图，是圆的直径，直线与圆相切于点，于
点，若圆的面积为，，则的长为 ．
15．（极坐标与参数方程选做题）
在极坐标系中，点的坐标为，曲线的方程为，则（为极点）所在直线被曲线所截弦的长度为 ．
三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
如图，在中，点在边上，，，
．
（1）求的值；
（2）求的长．
17．（本小题满分12分）
某城市为准备参加“全国文明城市”的评选，举办了“文明社区”评选的活动，在第一轮暗访评分中，评委会对全市50个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分，每项评分均采用5分制，若设“社区服务”得分为分，“居民素质”得分为分，统计结果如下表：
社区数量 居民素质
1分 2分 3分 4分 5分
社
区
服
务 1分 1 3 1 0 1
2分 1 0 7 5 1
3分 2 1 0 9 3
4分 6 0 1
5分 0 0 1 1 3
（1）若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即且）的社区可以进入第二轮评比，现从50个社区中随机选取一个社区，求这个社区能进入第二轮评比的概率；
（2）若在50个社区中随机选取一个社区，这个社区的“居民素质”得1分的概率为，求、的值．
18.（本小题满分14分）
各项均为正数的数列，满足，（）．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
A
D E C B
O
A
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19.（本小题满分14分）
如图所示，已知正方形的边长为2，．将正方形沿对角线折起，得到三棱锥．
（1）求证：平面平面；
（2）若三棱锥的体积为，求的长．
20．（本小题满分14分）
设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，若（其中为坐标原点）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值．
21．（本小题满分14分）
已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若对于任意都有成立，求实数的取值范围；
（3）若过点可作函数图象的三条不同切线，求实数的取值范围． A
B
C D O 精品文档
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所以
sincoscossinADCBADADCBAD …………………6分
．…………………………………………8分
（2）在△中，由正弦定理，得，…………………………10分
所以．………………………………………………12分
17．（本小题满分12分）
解：（1）从表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即且）的社区数量为个．………………………………………………………………………………2分
设这个社区能进入第二轮评比为事件，则．
所以这个社区能进入第二轮评比的概率为．……………………………………………………4分
（2）从表中可以看出，“居民素质”得1分的社区共有个，……………………………6分
因为“居民素质”得1分的概率为，
所以．………………………………………………………………………8分
解得．…………………………………………………………………………………………10分
因为社区总数为个，所以．
解得．………………………………………………………………………………………12分
18．（本小题满分14分）
解：（1）因为，
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列．………………………………………………2分
所以．…………………………………………………………………4分 精品文档
实用文档 因为，所以．………………………………………………………6分
（2）由（1）知，，所以．…………………………………………7分
所以， ①………………………………………8分
则234111352321222222nnnnnS，
②………………………………………9分
①－②得，2341112222212222222nnnnS…………………………………………11分
．………………………………………6分
以下分两种情形求的长：
①当为钝角时，如图，过点作的垂线交的延长线于点，
由（1）知平面，所以．
又，且，所以平面．
所以为三棱锥的高，即．………………………………………………7分
在△中，因为，
所以
．………………8分 A
B D H 精品文档
实用文档 在△中，因为，
则．……………9分
所以2222632622ACAHCH．…………………………10分
②当为锐角时，如图，过点作的垂线交于点，
由（1）知平面，所以．
又，且，所以平面．
所以为三棱锥的高，即．……………………………………………11分
在△中，因为，
所以
．…………12分
在△中，因为，
则．…………………………………………………………13分
所以222262222ACAHCH．
综上可知，的长为或．………………………………………………………………14分
20．（本小题满分14分）
解：（1）由题设知，，，………………………………………1分
由，得．…………………………………3分
解得．
所以椭圆的方程为．…………………………………………………………4分
（2）方法1：设圆的圆心为，
则 ……………………………………………………………6分
……………………………………………………………7分
．……………………………………………………………8分
从而求的最大值转化为求的最大值．………………………………………………9分
因为是椭圆上的任意一点，设，…………………………………………………10分
所以，即．………………………………………11分
因为点，所以121222020202yyxNP．……………………………12分
因为，所以当时，取得最大值12．……………………………13分
所以的最大值为11．……………………………………………………………………14分
方法2：设点，
因为的中点坐标为，所以 ………………………………………………6分
所以10201020()()()()PEPFxxxxyyyy……………………………………………7分
10101010()()()(4)xxxxyyyy A
B
C D O
H 精品文档
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．…………………………………………………9分
因为点在圆上，所以，即．………………………10分
因为点在椭圆上，所以，即．…………………………………11分
所以．……………………………………………12分
因为，所以当时，．………………………………14方法3：①若直线的斜率存在，设的方程为，……………………………6分
由，解得．……………………………………………………7分
因为是椭圆上的任一点，设点，
所以，即．…………………………………………………………8分
所以，00221,211kPFxykk
…………………………………………………9分
所以11)1(21)2(1)2(112020202220220yyxkkykxPFPE．
…………………………………………………10分
因为，所以当时，取得最大值11．………………………11分
②若直线的斜率不存在，此时的方程为，
由，解得或．
不妨设，，．………………………………………………………………………12分
因为是椭圆上的任一点，设点，
所以，即．
所以，．
所以2220000432(1)11PEPFxyyy．
因为，所以当时，取得最大值11．………………………13分
综上可知，的最大值为11．……………………………………………14分
21．（本小题满分14分）
解：（1）当时，，得．………………1分
因为，
所以当时，，函数单调递增；
当或时，，函数单调递减．
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．………………3分
（2）方法1：由，得，
因为对于任意都有成立，
即对于任意都有成立，
即对于任意都有成立，………………………………………………4分
令，
要使对任意都有成立，
