抛物线中三角形面积的计算方法

1 抛物线中的三角形面积问题（一）

导师团数学组供稿

一． 求面积

1. 常见三角形的面积

已知抛物线223yxx与坐标轴的交点及顶点D如图所示：

（1）求S△BOC

(2) 求S△BAC

(3) 求S△BDC

法一：连原点

法二：过点D作X轴的垂线

2 二． 面积相等

已知抛物线24yxx与坐标轴的交点及与直线y=-0.5x+2的交点A、B如图：

（1）在抛物线上求异于点A的点P，使S△BOP=S△BOA

(2)在抛物线上求点M,使S△ABM=S△ABO

方法小结：关注高相等或底相等得到面积相等；常用平行线求交点的方法；必要时转化为坐标轴上的线段

抛物线上的三角形的面积

抛物线是一种二次函数的图像，其形式为 $y=ax^2+bx+c$（其中 $a$ 不等于 0）。如果在抛物线上存在一个三角形，则它的底边一定是抛物线的某一条直线切线，并且顶点在抛物线的极值处。

如果要计算抛物线上三角形的面积，可以使用以下步骤：

找出抛物线的极值点。极值点的坐标为 $(h,k)$，其中 $h$ 是抛物线的横坐标，$k$ 是抛物线的纵坐标。极值点的横坐标可以通过求解方程

$ax^2+bx+c=0$ 来获得，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 分别是抛物线的系数。

求出抛物线的切线方程。切线的斜率为抛物线的导数 $2ax+b$，可以使用斜截式 $y=mx+b$ 来表示切线的方程，其中 $m$ 是斜率，$b$ 是切线的截距。

求出抛物线的底边长。底边的两个端点的坐标分别为抛物线的两个交点，可以使用切线的方程求解。

计算三角形的面积。可以使用海伦公式求解三角形的面积，公式为

$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$，其中 $s$ 为三角形的半周长，即 $s=\frac{a+b+c}{2}$，$a$、$b$ 和 $c$ 分别是三角形的三条边长。

因此，计算抛物线上三角形的面积的步骤如下：

求出抛物线的极值点 $(h,k)$。

求出抛物线的切线方程 $y=mx+b$。

求出抛物线的底边长 $a$。

计算三角形的半周长 $s$。

使用海伦公式计算三角形的面积。

举个例子，假设抛物线的方程为 $y=x^2-2x+1$，底边长为 $a=2$，那么抛物线上三角形的面积就是 $\sqrt{s(s-2)(s-2)(s-2)}=\sqrt{s(s-2)^3}$。

二次函数与面积

求三角形的面积：

（1）直接用面积公式计算；

如图：抛物线与x轴交于A、B两点，P是抛物线上一点。则S△ABP=21AB•PE

（2）割补法；

如图：直线MN与抛物线交于M、N，与y轴交于E，

则S△MON=S△OEM+S△OEN

（3）铅垂高法；

如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，

外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的

这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．

我们可得出一种计算三角形面积的新方法：

S△ABC=12ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

B C 铅垂高

水平宽 h

a A

1、如图，抛物线经过A（-1,0），B（3,0），C（0，-3）三点，点P在第二象限的抛物线上，S△POB=S△PCO，求P点的坐标。

2、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，-

3）．

（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；

（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB。

3、如图，在平面直角坐标系中，直线112yx与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），连接PA、PB，S△PAB=6，求P点的坐标。

4、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数2+2yaxaxc的图像与y轴交于点3 0，C，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为0 3，。

（1） 求二次函数的解析式及顶点D的坐标；

（2） 点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标。

5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C (0，4)，顶点为（1，92）．

中考压轴题分类专题一——抛物线中的三角形面积

基本题型：

AB为0kdkxy:l与抛物线02acbxaxy相交，点P在抛物线上。

（1）已知ABPS，求点P的坐标：

利用斜弦长公式求出AB，进而求出AB边上的高ABh。设点P为cbtat,t2，利用点到直线的距离公式列出点P到直线AB的距离ABlPd，而ABlPhdAB，则可求得点P的坐标。

（2）如图，若点P在AB上方的抛物线上时，求ABPS的最大值：

利用斜弦长公式求出AB。作/l∥ABl且与抛物线相切，则切点为所求。

设/l为/dkxy代入抛物线02acbxaxy，因为它们只有一个交点。所以有：042//dcakb，则可求出/d，利用平行线之间的距离公式求出/l与ABl的距离（即AB边上的高ABh），进而可求得ABPS的最大值。

7654321-1-2246ABP 所需知识点：

（1）点到直线的距离公式：

已知点00y,xP与直线0kbkxy:l，点P到直线l的距离记作lPd，则有1200kbykxdlP。

（2）弦长公式

抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线02acbxaxy与x轴两交点为0021，，，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,

aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121。

（3）斜弦长公式：

一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G两个交点2211yxByxA，，，，由于1x、2x是方程02)nc(x)kb(ax的两个根，ncakb/42

。akxxxxkxxknkxnkxxxyyxxAB/221221222122212212212211411