论文修改作业

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 3015

所属学校（请填写完整的全名）： 郑州轻工业学院

参赛队员 (打印并签名) ：1. 潘钰烛

2. 姜敬华

3. 黄龙

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 指导教师组

日期： 2009 年 9 月 14

日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编 号 专 用 页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评阅人

评分

备注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

1 病床安排模型的优化设计

摘要

针对眼科病人的病床合理安排问题，根据排队论的一般原理与非抢先优先占用原则，建立对于医院病床合理安排优化的数学模型，对现有FCFS模型及改进后模型进行了综合评价。提出了以闭合式排队模型、ARIMA模型为基础的两种方案，对单个病人入院时间的进行了预测。同时，讨论了周末不能进行手术情况下的调整方案，并根据损失制排队模型，建立了各病种病床比例分配模型.

问题一，在数据因素集中，选出体现医院服务效率的评价指标，即周出院人数、出院者平均住院日、周手术人数、周入院人数。使用TOPSIS综合评价法对现有病床安排模型进行了评价，结果显示，FCFS排队法的模型的不合理性，并提供了进一步需要改进的依据。

问题二，由于每周手术时间有规定，且各类型疾病准备期不同，各类病人入院后等待手术时间由入院日期决定。基于非抢先优先占用原则，将目标设定为减短等待手术时间，确立了一周内每天动态变化的各类型疾病优先级排序模型。在此模型基础上，利用C语言编程，结合现有数据，重新模拟了整个排队、入院、手术、出院全过程，并输出相关数据。运用TOPSIS法对该模型进行评价，发现出院者平均住院日较之FCFS排队模型有明显减少，并且各周对于病床的使用效率稳定性也得到较大提高。

问题三，在病人的入院时间预测问题上，我们采用了两种方法进行分析预测。第一种方法是基于对当时住院人数和等待入院人数的统计和分析，构建了闭合式排队模型，得出非急症病人约需11-12天可以入院。另一种方法是采用ARIMA模型对当前门诊病人之后一定时间内的每天可能来门诊的各类病人数量进行预测，在非抢先优先占用原则的改进模型的基础上，将预测所得的病人数据代入进行模拟演算，得到了当前门诊病人的预测入院时间。

问题四，对于周末不能进行手术的情况，分析了各类病人的等待手术时间的改变。由白内障（双眼）病例所需特殊手术时间安排，提出了两种手术调整方案。以充分利用周末进行手术准备，并使周末入住的病人度过准备期后尽快进行手术的原则，得出将白内障的手术日期移至每周周三，周五是较为合理的手术调整方法。

问题五，针对病床比例分配方案，在给出每类病人到达数满足泊松分布条件下，将平均等待时间最小化转化为病床的利用率最优化，利用损失制排队模型得到病床的分配方案为：白内障病人17张，青光眼病人15张，视网膜病人37张，外伤病人10张，并进行模型的合理性分析。

最后，通过对所构建模型和仿真结果的深入分析和讨论，指出了各模型的优缺点，并提出了一种基于动态自适应医院门诊排队模式的改进方向。

关键词：病床分配 TOPSIS法 抢先优先占用原则 ARIMA模型 损失制排队模型

2 1.问题的重述

医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。

我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。

该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。

白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。

外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。

其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。

该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。

问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。

问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对模型利用问题一中的指标体系作出评价。

问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。

问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?

问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。

2.模型的假设与符号说明

2.1模型的假设与说明

1.白内障病人的的手术准备时间均为1天；

2.青光眼和视网膜疾病的手术准备时间均为2天；

3 3.对于白内障（双眼）的患者，恢复期是指从第一次手术到出院的这段时间；

4.当天门诊的病人最快入住日期为门诊的第二天；

5.当天空床数由当天出院数决定，有空床当天即可入住；

6.入院当天计算入准备期中；

7.各类型病人的到来是平稳的。

2.2符号使用说明

λ 参数(平均到达率)

μ 负指数分布参数

qW平均等待时间

k 每天来就诊的人数

kf每天来就诊的人数k的频数

t 每个病人在医院接受的服务的天数

tf服务的天数t的频数

3模型的准备

3.1患者输入流服从的概率分布

据观测，患者流基本满足平稳性、无后效性及普遍性，因而假设患者输入流为Poisson流，单个到达，来源无限。

设)(tN表示],0(t时间内来到的患者数，现根据所给数据，用2检验法对)(tN服从Poisson分布进行假设检验[1]。

0H：)(tN的分布率!)()()(ketktNPtPtkk，3,2,1,0k

对于每类病的就诊人数是否服从Poisson分布进行的假设检验也可用上述方法，以视网膜疾病为例来说明如下。

取t=1天，得表3-1：

表3-1

患者数 0 1 2 3 4 5 6 7

频数 2 16 11 11 9 10 1 1

由点估计：787.21ˆ70kkkfn，计算检验结果见表3-2

4

表3-2 检验结果

病人到达数k（每天) 出现次数fk Pk 理论次数npi (T-fk)2/T

0 2 0.0616 3.7576 0.822109

1 16 0.1717 10.4737 2.915874

2 11 0.2393 14.5973 0.886504

3 11 0.2223 13.5603 0.483406

4 9 0.1549 9.4489

0.021326

5 10 0.0863 5.2643 4.260178

6 1 0.0401 2.4461 0.854914

7 1 0.016 0.976 0.00059

合计 61 10.2449

由于取05.0，自由度为7的0671.14)7(295.0大于10.2449，则可以认为视网膜疾病的就诊人数服从Poisson分布。同理，证明可得其它几类病的就诊人数及总体就诊人数均服从Poisson分布并可分别求得相应的参数

表3-3 各种疾病参数λ值

种类 青光眼 视网膜 外伤 白内障（单） 白内障（双） 总体

λ 1.066 2.787 1.049 1.639 2.18 8.67

由于现实生活中排队模型的输入过程多服从Poisson过程，服务时间多服从指数分布，上面已经证明输入过程服从Poisson分布，在此假设各类病人住院时间均服从指数分布，下面对其参数给出估计。

由于每次服务的平均时间为ttftf，则平均服务率ttftf/1，由此可以推导出各种病人及总体在接受服务时所服从的指数分布的参数[2]。

表3-4 各种疾病参数μ值