2015高考数学相似三角形的判定及有关性质一轮复习测试
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2015高考数学相似三角形的判定及有关性质一轮复习测试
2015高考数学相似三角形的判定及有关性质一轮复习测试
【选题明细表】
知识点、方法题号
平行线截割定理及应用1、4、9、11、15
相似三角形的判定与性质2、6、7、8、9、10、11、13、14
直角三角形中的射影定理3、5、12
一、选择题
1.
如图所示,在△ABC中,DE∥BC,DF∥AC,AE=2,AC=3,BC=4,则BF的长为(B)
(A)(B)
(C)(D)
解析:因为DE∥BC,
所以==,①
因为DF∥AC,
所以=,②
由①②得=,
解得CF=.
故BF=4-=.故选B.
2.
如图所示,▱ABCD中,AE∶EB=2∶5,若△AEF的面积等于4cm2,则△CDF的面积等于(D)
(A)10cm2(B)16cm2
(C)25cm2(D)49cm2
解析:▱ABCD中,△AEF∽△CDF,
由AE∶EB=2∶5,得AE∶CD=2∶7,
∴=2=2,
∴S△CDF=2×S△AEF=×4=49(cm2).故选D.
3.一个直角三角形的一条直角边为3,斜边上的高为,则这个三角形的外接圆半径是(B)
(A)5(B)(C)(D)25
解析:长为3的直角边在斜边上的射影为=,故由射影定理知斜边长为=5,因此这个直角三角形的外接圆半径为.故选B.
4.
如图所示,在△ABC中,MN∥DE∥BC,若AE∶EC=7∶3,则DB∶AB的值为(C)
(A)3∶7(B)7∶3
(C)3∶10(D)7∶10
解析:∵MN∥DE∥BC,
∴==,
∴=,
∴=, ∴=.故选C.
二、填空题
5.
已知圆O的直径AB=4,C为圆上一点,过C作CD⊥AB于D,若CD=,则AC=.
解析:因AB为圆O的直径,
所以∠ACB=90°,
设AD=x,
因为CD⊥AB,由射影定理得CD2=AD•DB,
即()2=x(4-x).
整理得x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.
当AD=1时,得AC=2;
当x=3时,得AC=2.
答案:2或2
6.
如图所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE∥AC,EF∥BC,AB=15,AF=4,则DE=.
解析:设DE=x,
∵DE∥AC,EF∥BC,
∴=,
解得BE=.
∴===.
又∵AD平分∠BAC, ∴===,解得x=6.
答案:6
7.
如图所示,矩形ABCD中,E是BC上的点,AE⊥DE,BE=4,EC=1,则AB的长为.
解析:法一∵∠B=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°.
∵AE⊥DE,
∴∠AEB+∠CED=90°.
∴∠BAE=∠CED,
∴Rt△ABE∽Rt△ECD,
∴=,
即=,
∴AB=2.
法二过E作EF⊥AD于F.
由题知AF=BE=4,
DF=CE=1.
则EF2=AF•DF=4.
∴AB=EF=2.
答案:2
8.
(2013年高考陕西卷)如图,AB与CD相交于点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P.已知∠A=∠C,PD=2DA=2,则PE=.
解析:由BC∥PE,得∠C=∠PED,
又∠A=∠C,
得∠PED=∠A,
∠P为△DPE与△EPA的公共角,
所以△PED∽△PAE,=,PE2=PD•PA.
由PD=2,DA=1,
得PA=3,PE=.
答案:
9.
(2013陕西师大附中高三第四次模拟)如图所示,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD的长为.
解析:由相交弦定理得
AF•FB=EF•FC,
所以FC==2,
连接BC、BE,如图所示,
则∠1=∠2,∠2=∠A,
∴∠A=∠1,
又∠CBF=∠ABC,
∴△CBF∽△ABC, 由=,得BC=2,
由=,得AC=4,
又由平行线等分线段定理得=,
解得CD=.
答案:
10.
如图所示,A,E是半圆周上的两个三等分点,直径BC=4,AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交于点F,则AF的长为.
解析:如图所示,设圆心为O,连接OA,OE,AE,因为A,E是半圆周上的两个三等分点,
所以AE∥BC,AE=BC=2,
所以△AFE∽△DFB,
所以=.
在△AOD中,
∠AOD=60°,AO=2,AD⊥BC,
故OD=AOcos∠AOD=1,AD=AOsin∠AOD=,
所以BD=1.故AF=•DF=2(AD-AF).
解得AF=.
答案:
11.
如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,CD=2,E,F分别为AD,BC上的点,且EF=3,EF∥AB,则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为.
解析:延长AD、BC交于点H,
由DC∥EF知=2=,
∴=,
由DC∥AB知=2=,
∴=,
∴=.
答案:7∶5
12.
(2013年高考湖北卷)如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D,点D在半径OC上的射影为E.若AB=3AD,则的值为.
解析:连接AC,BC,则AC⊥BC.
∵AB=3AD,
∴AD=AB,BD=AB,
OD=AB.
又AB是圆O的直径,OC是圆O的半径,
∴OC=AB.
在△ABC中,根据射影定理有CD2=AD•BD=AB2.
在△OCD中,根据射影定理有
OD2=OE•OC,CD2=CE•OC,
可得OE=AB,CE=AB,∴=8. 答案:8
三、解答题
13.
如图所示,平行四边形ABCD中,E是CD延长线上的一点,BE与AD交于点F,DE=CD.
(1)求证:△ABF∽△CEB;
(2)若△DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,AB∥CD.
∴∠ABF=∠CEB.
∴△ABF∽△CEB.
(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.
∵DE=CD,
∴==,
==.
∵S△DEF=2,
∴S△CEB=18,S△ABF=8.
∴S四边形BCDF=S△CEB-S△DEF=16.
∴S平行四边形ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24. 14.
(2012高考新课标全国卷)如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB,证明:
(1)CD=BC;
(2)△BCD∽△GBD.
证明:(1)因为D,E分别为AB,AC的中点,
所以DE∥BC.
又已知CF∥AB,
故四边形BCFD是平行四边形,
所以CF=BD=AD.
而CF∥AD,连接AF,
所以四边形ADCF是平行四边形,
故CD=AF.
因为CF∥AB,所以BC=AF,故CD=BC.
(2)因为FG∥BC,故GB=CF.
由(1)可知BD=CF,
所以GB=BD.
所以∠BGD=∠BDG.
由BC=CD知,∠CBD=∠CDB.
而∠DGB=∠EFC=∠DBC,
故△BCD∽△GBD. 15.
如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,EF经过梯形对角线的交点O,且EF∥AD.
(1)求证:OE=OF;
(2)求:+的值;
(3)求证:+=.
(1)证明:∵EF∥AD,AD∥BC,
∴EF∥AD∥BC.
∵EF∥BC,∴=,=.
∵EF∥AD∥BC,
∴=.
∴=,∴OE=OF.
(2)解:∵OE∥AD,
∴=.
∴由(1)知,=,
∴+=+==1.
(3)证明:由(2)知+=1,
∴+=2.
又EF=2OE,
∴+=2,
∴+=.
