三角形的垂直平分线

登封市直一初中九年级数学组导学案2012—2013 班级 姓名

课题：三角形三边的垂直平分线

课型：新授课 时间：9月25日 主备课：姜转枝 审核人：姜转枝

学习目标：

1、能够证明三角形三条边的垂直平分线交于一点。

2、已知底边及底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形。

学习内容：

、课本30—31页。

学法指导：自主学习，合作交流。

学习过程：自学课本29——31页，回答下列问题。

1.分别画出锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的三边垂直平分线

2.通过画图可知锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的三边垂直平分线的交点的位置分别在

3、三角形的三边的垂直平分线相交于 ，并且这一点到

相等。

4.议一议：已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗?

如果能,能作出几个?所作出的三角形都全等吗?

已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?

做一做P31 已知底边及底边上的高,利用尺规作等腰三角形.

已知:线段a,h(如图).

求作: △ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h..

二、知识运用

一、填空题

1.如左下图，点P为△ABC三边中垂线交点，则PA________PB________PC. 登封市直一初中九年级数学组导学案2012—2013 班级 姓名

2.如右上图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1_________∠2，∠3________∠4，∠5__________∠6，∠2+∠3=__________度，∠1+∠4=_______度，∠5+∠6=__________度，∠BOC=__________度.

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初一（下）数学暑假班全等模型课第5讲

角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等

中垂线（垂直平分线）：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

角平分线和中垂线是我们学过全等之后，非常重要的两个内容，因此很多全等三角形的问题，都需要

通过角平分线的性质和中垂线的性质进行切入来构造辅助线。

【精1】 如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若

DE＝a

，则下列说法正确的个数有( )

①DC平分

BDE； ②BC

长为

(22)a；

③△BCD

是等腰三角形； ④△CED的周长等于BC的长．

A． 1个； B．2个； C．3个； D．4个

【精2】 如图，在△中，，平分交于，于交于，

∥交于，连接．求证：

CBA

ED

CBA

C'ED

CBA

ABC90BACBDABCACDAEBCEBDGFG

ACBCFDF

DFBC

G

FED

CBA全等三角形经典模型系列精讲—角平分线和中垂线

精选例题

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初一（下）数学暑假班全等模型课第5讲

【精3】 如图（1）所示，

OP是

MON的平行线，请你利用该图形画一对以

OP所在直线为对称轴的全等

三角形．

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图（2），在

ABC中，

ACB是直角，

60B，

AD、

CE分别是

BAC、

BCA的平

分线，

AD、

CE相交于点

F． 请你判断并写出

FE与

FD之间的数量关系．

（2）如图（3），在

ABC中，如果

ACB不是直角，而（1）中的其他条件均不变，请问，你在

（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

【精4】 在中，，是的平分线．是上任意一点．求证：．

（1）P

NM

O

（2）FE

D

CB

A

（3）FE

D

CB

A

ABCABACAD

BACPAD

ABACPBPC

CDBPA

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初一（下）数学暑假班全等模型课第5讲

【精5】 如图⑴，

ABAC，

三角形的中线角平分线与垂直平分线的性质

三角形是几何学中最基本的平面图形之一，有许多有趣的性质和定理与之相关。本文将讨论关于三角形中线角平分线和垂直平分线的性质。

一、中线角平分线的性质

中线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。而三角形的中线角平分线则是从三角形的一个顶点到对边的中点后继续延伸至对边上某一点的线段，它具有以下性质：

1. 中线角平分线将三角形的对边平分成两个相等的线段。这意味着通过中线角平分线将三角形划分为两个面积相等的小三角形。

2. 三角形三个中线角平分线的交点称为三角形的重心，重心位于三角形的内部，且到三角形的三个顶点距离相等。

3. 三角形的重心到三个顶点的距离之和等于重心到三边的距离之和。这个性质在解决实际问题中有广泛的应用，例如确定三个城市的最佳集中点。

4. 三角形的重心将中线分成2:1的比例。也就是说，从顶点到中线交点的距离是从中线交点到对边中点的距离的两倍。

二、垂直平分线的性质

垂直平分线是从三角形某一边上的点垂直地到达对边的线段，具有以下性质： 1. 垂直平分线将三角形的一条边平分成两个相等的线段。这表明通过垂直平分线可以将三角形划分为两个面积相等的小三角形。

2. 三角形三个垂直平分线的交点称为三角形的外心，外心即位于三角形的外部，且到三角形的三个顶点距离相等。

3. 三角形的外心到三个顶点的距离相等，且等于外心到三边的距离。

4. 三角形的外心和三个顶点共线，且外心和三个顶点的连线垂直于各边。

总结：

三角形的中线角平分线与垂直平分线是三角形内部特殊线段的几何性质，在解决几何问题和推导其他定理时起到重要作用。中线角平分线将三角形对边平分，三个中线角平分线的交点为三角形的重心，重心有着特殊的位置和性质；而垂直平分线将三角形的一边平分，三个垂直平分线的交点为三角形的外心，外心也有着特殊的位置和性质。研究三角形的中线角平分线与垂直平分线的性质，有助于加深我们对于三角形几何形状的理解，以及解决与三角形相关的数学问题。

第1页共2页1、垂直平分线：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反之成立重要条件：中点，垂直，中点和垂足共点，等腰三角形（三线合一）

说明：中点和垂足共点，三线合一2、典型例题1．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是．2．如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM．若∠BAC＝45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系．3．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF＝AD，MF＝MA．（1）若∠

MFC＝120°，求证：AM＝2MB；（2）求证：∠MPB＝90

°－12∠FCM．条件：AC=BC，DC⊥AB于C辅助线：连接DA证明:直接得DA=DB条件：AC=BC辅助线：作CD⊥AB于D证明:直接得DA=DB∠ACD=∠BCD条件：AC=BC，D是AB中点辅助线：连接CD证明:直接得DA⊥DB，∠ACD=∠BCD

第2页共2页4．已知，在△ABC中，点E、F分别是AB、AC上的点，且EF∥BC，BM是线段CF的垂直平分线，垂足为M。N是线段BM上一点，且NC=EF。（1）若∠BNC=150o，求证：FM=21EF；（2）若BN=BE，求证：∠MBC=31∠MNC

5．已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，BCAC，点G在BC上，连接AG，过C作CF⊥AG，垂足为点E，过点B作BF⊥CF于点F，点D是AB的中点，连接DE、DF．（1）若∠CAG=30°，EG=1，求BG的长；（2）求证：∠AED=∠DFE。

6．如图，在等腰三角形ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，点D、E是直线BC上两点且CD=BE，过点C作CM⊥AE交AE于点M，交AB于点F，连接DF并延长交AE于点N．(1)若AC=2，CD=1，求CM的值；(2)求证：∠D=∠E．